第三章三角恒等变换单元测试卷

第三章 三角恒等变换单元测试卷【人教A 版】考试时间：100分钟；满分：100分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）（2019秋•诏安县校级期中）cos45cos15sin225sin165︒︒+︒︒的值为( )A ．B ．12-C D ．122．（5分）（2019•和平区校级二模）已知1sin()63πα+=，则2cos(2)3πα-的值等于( )A ．59-B ．79-C ．59D ．793．（5分）（2019秋•市中区校级月考）002cos10sin 20sin 70-的值是( )A ．12B C D 4．（5分）（2019秋•未央区校级期中）若2tan 3α=，则23sin cos (sin 2sin αααα+= )A ．116B ．23C ．43D ．25．（5分）（2019秋•镇海区校级期中）已知22ππαβ-<-<，sin 2cos 1αβ-=，cos 2sin αβ+=sin()(6πβ+= )A B C ． D ． 6．（5分）函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是( )A ．2π B ．π C ．32π D ．2π7．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2(θ=)A ．45-B ．35-C ．35D ．458．（5分）（2019秋•武昌区校级期末）函数cos2sin 2cos2sin 2x xy x x+=-的最小正周期为( )A ．2πB ．πC ．2π D ．4π9．（5分）（2019的值为( )A ．12B C D ．210．（5分）（2019•河北区一模）设sin14cos14a =︒+︒，sin16cos16b =︒+︒，c =，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<11．（5分）如果sin 11cos 2αα=+，那么sin cos αα+的值是( )A ．75B ．85C ．1D ．291512．（5分）（2019•南开区一模）若函数()sin cos (0)f x x a x ωωω=+>的图象关于点(,0)3M π对称，且在6x π=处函数有最小值，则a ω+的一个可能的取值是( ) A ．0 B ．3C ．6D ．9第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2019春•沈阳校级期末）化简sin(60)2sin(60))x x x +︒+-︒︒-的结果是 ． 14．（5分）（2019•邯郸二模）已知3sin85α=-，812παπ<<，则tan 4α= ．15．（5分）设函数2()2cos 2f x x x a =+，已知当[0x ∈，]2π时，()f x 的最小值为2-，则a = ．16．（5分）（2019春•彭山县校级月考）给出下列命题： ①若(tan )sin 2f x x =，则(1)1f -=-；②将函数sin(2)3y x π=+的图象向右平移3π个单位，得到sin 2y x =的图象；③方程sin x lgx =有三个实数根；④函数212cos 2sin y x x =--的值域是323≤≤-y ；⑤把cos cos()3y x x π=++写成一个角的正弦形式是)3y x π+其中正确的命题的序号是 （要求写出所有正确命题的序号）．三．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2019秋•东湖区校级期末）已知5sin()413x π-=，04x π<<，求cos 2cos()4x x π+的值．18．（12分）（2019•江苏模拟）已知12(,),(0,),cos(),2273πππαπβαβαβ∈∈-=+=．（1）求sin(22)αβ-的值； （2）求cos α的值．19．（12分）（2019秋•黄陵县校级月考）已知sin sin sin 0A B C ++=，cos cos cos 0A B C ++=，求证：2223cos cos cos 2A B C ++=．20．（12分）（2019•泉州一模）已知函数2()cos 2sin 1222x x xf x =-+．（Ⅰ）若f （a ）65=，求cos()3πα-的值； （Ⅱ）把函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移(0)m m >个单位，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为偶函数，求m 的最小值．21．（12分）（2019•肥东县校级一模）已知向量(sin ,cos )m A A =，(1,2)n =-且m n ⊥． （1）求tan A 的值；（2）求函数()cos2tan sin ()f x x A x x R =+∈的值域．22．（12分）（2019春•辽宁期中）设()4cos()sin cos(2)6f x x x x πωωωπ=--+，其中0ω>．（1）当1ω=时，求函数()y f x =的值域； （2）若()f x 在区间3[2π-，]2π上为增函数，求ω的最大值．第三章 三角恒等变换单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）（2019秋•诏安县校级期中）cos45cos15sin225sin165︒︒+︒︒的值为( )A ．B ．12-C D ．12【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【答案】解：cos45cos15sin 225sin165cos45cos15(sin 45)sin15︒︒+︒︒=︒︒+-︒︒ 1cos45cos15sin 45sin15cos(4515)cos602=︒︒-︒︒=︒+︒=︒=， 故选：D ．【点睛】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．2．（5分）（2019•和平区校级二模）已知1sin()63πα+=，则2cos(2)3πα-的值等于( )A ．59-B ．79-C ．59D ．79【分析】利用二倍角的余弦公式把要求的式子化为22cos ()13πα--，再利用诱导公式化为22sin ()16πα+-，再把条件代入运算求得结果． 【答案】解：1sin()63πα+=， 22cos(2)cos2()2cos 33ππαα∴-=-= 227()12sin ()113699ππαα--=+-=-=-， 故选：B ．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，二倍角的余弦公式、诱导公式的应用，属于中档题．3．（5分）（2019秋•市中区校级月考）002cos10sin 20sin 70-的值是( )A ．12B C D 【分析】利用诱导公式、两角差的余弦公式，化简所给的式子，可得结果．【答案】解：0002cos10sin 202cos(3020)sin 202(cos30cos20sin30sin 20)sin 20sin 70cos20cos20-︒-︒-︒︒︒+︒︒-︒==︒︒=故选：D ．【点睛】本题主要考查诱导公式、两角差的余弦公式的应用，属于基础题．4．（5分）（2019秋•未央区校级期中）若2tan 3α=，则23sin cos (sin 2sin αααα+= )A ．116B ．23C ．43D ．2【分析】由同角三角函数基本关系式化弦为切求解． 【答案】解：2tan 3α=，∴2223sin cos 3sin cos 3tan sin 22sin cos 2tan sin sin tan αααααααααααα+++==222()311332623+⨯==⨯． 故选：A ．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 5．（5分）（2019秋•镇海区校级期中）已知22ππαβ-<-<，sin 2cos 1αβ-=，cos 2sin αβ+=sin()(6πβ+= )ABC． D． 【分析】直接利用三角函数关系式的变换和同角三角函数关系式的变换的应用求出结果． 【答案】解：已知22ππαβ-<-<，sin 2cos 1αβ-=，cos 2sin αβ+则2(sin 2cos )1αβ-=，①2(cos 2sin )2αβ+=②， ①+②整理得：4sin cos 4cos sin 2αβαβ-+=-， 所以1sin()2βα-=-，又因为22ππαβ-<-<，所以6πβα-=-，即6πβα+=，所以sin()sin 6πβα+=，由条件可得sin 12cos αβ=+，整理得2cos sin 1βα=-③，cos 2sin αβ=④，所以2πβπ<<，26ππαπ<-<，即2736ππα<<， 所以③和④两式平方和得，tan α=所以324ππα<<，解得sin α=．故选：B ．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 6．（5分）函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是( ) A ．2πB ．πC ．32π D ．2π【分析】先将原函数进行化简，再求周期． 【答案】解：2(sin cos )1sin 22y x x x =++=+， 故其周期为22T ππ==． 故选：B ．【点睛】本题主要考查正弦函数周期的求解．7．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2(θ=)A ．45-B ．35-C ．35D ．45【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tan θ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cos θ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cos θ的平方代入即可求出值．【答案】解：根据题意可知：tan 2θ=， 所以222111cos sec tan 15θθθ===+， 则213cos22cos 12155θθ=-=⨯-=-．故选：B ．【点睛】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．8．（5分）（2019秋•武昌区校级期末）函数cos2sin 2cos2sin 2x xy x x+=-的最小正周期为( )A ．2πB ．πC ．2π D ．4π【分析】将cos2sin 2cos2sin 2x x y x x +=-的“弦”化“切”，求得tan(2)4y x π=+，利用正切函数的周期性即可求得答案． 【答案】解：cos2sin 21tan 2tan(2)cos2sin 21tan 24x x x y x x x x π++===+--，2T π∴=．故选：C ．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，“弦”化“切”是关键，考查正切函数的周期性，属于中档题．9．（5分）（2019的值为( )A ．12B ．2CD ．2【分析】利用二倍角的余弦、正弦公式，把要求的式子化为402sin 40︒︒，从而得到结果．【答案】解：式子4020cos 202sin 40sin 402︒︒︒====︒︒，故选：B ．【点睛】本题主要考查二倍角的余弦、正弦公式的应用，属于基础题．10．（5分）（2019•河北区一模）设sin14cos14a =︒+︒，sin16cos16b =︒+︒，c =，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b ac <<【分析】欲比较a 、b 、c 的大小关系，考虑到它们形式的不同，先利用和角公式将它们化成相同的三角函数的形式，再利用三角函数的单调性比较大小．比如，都化成正弦函数，利用下面中正弦函数的单调性比较大小．【答案】解：a ︒，60c ︒，61b =︒， a c b ∴<<．故选：B ．【点睛】形如sin cos a b αα+)αϕ+形式，这里辅助角所在的象限ϕ的符号确定，角的值由a ，b 确定． 11．（5分）如果sin 11cos 2αα=+，那么sin cos αα+的值是( )A ．75B ．85C ．1D ．2915【分析】根据已知和同角三角函数的基本关系可求出sin cos αα+的值． 【答案】解：由sin 11cos 2αα=+得到：2sin 1cos αα=+，而22sin cos 1αα+=，联立解得sin 0α=（舍去）或4sin 5α=，所以3cos 5α= 则437sin cos 555αα+=+= 故选：A ．【点睛】考查学生灵活运用同角三角函数的基本关系解决问题的能力，注意三角函数中的恒等变换的应用．12．（5分）（2019•南开区一模）若函数()sin cos (0)f x x a x ωωω=+>的图象关于点(,0)3M π对称，且在6x π=处函数有最小值，则a ω+的一个可能的取值是( ) A ．0B ．3C ．6D ．9【分析】根据相邻对称点与最小值之间可以相差14T ，可也以是34T ，不妨设3()364n T ππ-=+，再由周期公式求得ω，然后由()03f π=，求出a ，进而求出a ω+的可能值．【答案】解：根据题意3()364n T ππ-=+， 23(43)T n π=+，23(43)n Tπω∴==+，()03f π=， sin(43)cos(43)n a n a ππ∴+++=-，0a ∴=，3(43)a n ω∴+=+．9是a ω+的一个可能值．故选：D ．【点睛】本题主要考查正余弦函数的对称点，对称轴与周期间的关系，即相邻的对称轴及对称点之间相差半个周期等．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2019春•沈阳校级期末）化简sin(60)2sin(60))x x x +︒+-︒︒-的结果是 0 ．【分析】先利用两角和公式对进行化简整理，进而利用sin(60)60)x x +︒+︒化简整理，进而利用诱导公式进行化简，最后求得结果．【答案】解：原式sin(60)(60)]2sin(60)x x x =+︒︒-+︒+-︒sin(60)60)2sin(60)x x x =+︒++︒+-︒2sin(6060)2sin(60)x x =+︒+︒+-︒2sin(60180)2sin(60)x x =-︒+︒+-︒2sin(60)2sin(60)x x =--︒+-︒0=．故答案为0【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦函数，诱导公式的化简求值．考查了学生对基础知识的掌握，和基本的运算能力． 14．（5分）（2019•邯郸二模）已知3sin85α=-，812παπ<<，则tan 4α= 247 ． 【分析】由已知可得382αππ<<，234αππ<<，由同角三角函数关系式即可求sin 8α，cos 8α，由倍角公式即可求sin 4α，cos 4α，由同角三角函数关系式即可求得tan 4α．【答案】解：812παπ<<，382αππ∴<<，234αππ<<，4cos85α∴=-，3424sin2sin cos2()()4885525ααα∴==⨯-⨯-=，2247cos2cos12()148525αα∴=-=⨯--=，sin244tan47cos4ααα∴==．故答案为：247．【点睛】本题主要考查了倍角公式及同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．15．（5分）设函数2()2cos2f x x x a=++，已知当[0x∈，]2π时，()f x的最小值为2-，则a=2-．【分析】化简()f x，找出()f x在何时取得最小值，带入计算解出a．【答案】解：2()2cos21cos222sin(2)16f x x x a x x a x aπ=+=++=+++，[0x ∈，]2π，2[66xππ∴+∈，7]6π，∴当7266xππ+=时，()f x取得最小值a，2a∴=-．故答案为2-．【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换与求值，属于基础题．16．（5分）（2019春•彭山县校级月考）给出下列命题：①若(tan)sin2f x x=，则(1)1f-=-；②将函数sin(2)3y xπ=+的图象向右平移3π个单位，得到sin2y x=的图象；③方程sin x lgx=有三个实数根；④函数212cos2siny x x=--的值域是332y-剟⑤把cos cos()3y x xπ=++写成一个角的正弦形式是)3y xπ+其中正确的命题的序号是①③④（要求写出所有正确命题的序号）．【分析】①由题得tan1x=-计算出x的值再计算出2x的值代入即可．②由左加右减得原函数变化为sin(2)3y xπ=-．③函数siny x=与函数y lgx=有三个交点，因为函数y lgx=过点(10,1)结合函数的性质可得答案．④原函数为22cos 2cos 1y x x =--，利用还原方法得到2221y t t =--，[1t ∈-，1]，进而可得答案． ⑤利用公式化简结果是3sin()3y x π=-． 【答案】解：①由题得tan 1x =-所以34x k ππ=+所以3222x k ππ=+所以sin21x =-，故①正确． ②由左加右减得：将函数sin(2)3y x π=+的图象向右平移3π个单位得sin(2)3y x π=-故答案②错误． ③即函数sin y x =与函数y lgx =有三个交点，因为函数y lgx =过点(10,1)且函数sin y x =是周期函数，故③正确．④原函数为22cos 2cos 1y x x =--，还原的2221y t t =--，[1t ∈-，1]，所以函数的值域是332y -剟，故④正确． ⑤cos cos()3y x x π=++化简结果是3sin()3y x π=-，故⑤错误． 故答案为：①③④．【点睛】本题考查利用换元法得到熟悉的函数再求函数的值域，以及把方程的有解问题转化为两个函数的交点问题，解决此类题目的关键是熟悉两个函数的图象．三．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2019秋•东湖区校级期末）已知5sin()413x π-=，04x π<<，求cos 2cos()4x x π+的值． 【分析】角之间的关系：()()442x x πππ-++=及22()24x x ππ-=-，利用余角间的三角函数的关系便可求之． 【答案】解：()()442x x πππ-++=， cos()sin()44x x ππ∴+=-． 又cos2sin(2)2x x π=- sin 2()2sin()cos()444x x x πππ=-=--， ∴cos 212242cos()241313cos()4xx x ππ=-=⨯=+． 【点睛】本题主要考查了倍角公式的应用．三角函数中的公式较多，故应强化记忆．18．（12分）（2019•江苏模拟）已知12(,),(0,),cos(),2273πππαπβαβαβ∈∈-=+=． （1）求sin(22)αβ-的值；（2）求cos α的值．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得sin()αβ-的值，再利用二倍角公式求得sin(22)αβ-的值．（2）利用两角和差的三角公式求得cos2cos[()()]ααβαβ=++-的值，再利用二倍角公式求得cos α的值．【答案】解：（1）已知12(,),(0,),cos(),2273πππαπβαβαβ∈∈-=+=，sin()αβ∴-=sin(22)2sin()cos()αβαβαβ∴-=--=（2）cos2cos[()()]cos()cos()sin()sin()ααβαβαβαβαβαβ=++-=+--+-211343132cos 12714α=--=-=-，求得cos α=cos α= （舍去），综上，cos α= 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，两角和差的三角公式，属于基础题．19．（12分）（2019秋•黄陵县校级月考）已知sin sin sin 0A B C ++=，cos cos cos 0A B C ++=，求证：2223cos cos cos 2A B C ++=． 【分析】根据题意，利用同角的三角函数关系和两角和与差的公式，求出1cos()2B C -=-， 再求出cos2cos2cos20A B C ++=，利用降幂公式即可求出222cos cos cos A B C ++的值．【答案】证明：由sin (sin sin )A B C =-+，cos (cos cos )A B C =-+，22sin cos 1A A +=，22(sin sin )(cos cos )1B C B C ∴+++=，2222sin 2sin sin sin cos 2cos cos cos 1B B C C B B C C +++++=，22cos()1B C +-=即1cos()2B C -=-， 2cos2cos2cos22cos 1cos2cos2A B C A B C ∴++=-++，222cos 2cos 14cos cos cos2cos2B C B C B C =+-+++，2cos22cos24cos cos 1B C B C =+++，4cos()cos()2[cos()cos()]1B C B C B C B C =+-+++-+，2cos()2cos()11B C B C =-+++-+，0=；2221cos21cos21cos2cos cos cos 222A B C A B C +++∴++=++ 313(cos2cos2cos2)222B BC =+++=． 【点睛】本题考查同角的基本关系，两角和差的正余弦公式及二倍角公式，证明过程复杂，需要敏锐的观察能力，属于中档题．20．（12分）（2019•泉州一模）已知函数2()cos 2sin 1222x x x f x =-+． （Ⅰ）若f （a ）65=，求cos()3πα-的值； （Ⅱ）把函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移(0)m m >个单位，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为偶函数，求m 的最小值． 【分析】（Ⅰ）化简可得()2sin()6f x x π=+，由已知数据和诱导公式可得； （Ⅱ）由函数图象变换可得1()2sin()226m g x x π=++，由偶函数可得262m k πππ+=+，k Z ∈，由题意可得m 的最小值．【答案】解：（Ⅰ）化简可得2()cos 2sin 1cos 2sin()2226x x x f x x x x π=-++=+ f （a ）65=， ∴3sin()65πα+=， ∴3cos()sin[()]sin()32365ππππααα-=--=+=， （Ⅱ）依题意得11()2sin[()]2sin()26226m g x x m x ππ=++=++ 函数()g x 为偶函数， ∴262m k πππ+=+，k Z ∈， 223m k ππ∴=+， 又0m >，∴当0k =时，m 取最小值23π．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数图象的变换，属基础题．21．（12分）（2019•肥东县校级一模）已知向量(sin ,cos )m A A =，(1,2)n =-且m n ⊥．（1）求tan A 的值；（2）求函数()cos2tan sin ()f x x A x x R =+∈的值域．【分析】（1）m n ⊥故有sin 2cos 0m n A A =-=可解得tan A 的值；（2）由二倍角的余弦将函数()f x 化简，由三角函数的最值即可求函数()f x 的值域．【答案】解：（1）sin 2cos 0m n A A =-=tan 2A ∴= （2）()cos22sin f x x x =+212sin 2sin x x =-+2132(sin )22x =--+ 1sin 1x -剟∴当1sin 2x =时，()f x 有最大值32； 当sin 1x =-时，()f x 有最小值3-．所以()f x 的值域是3[3,]2-． 【点睛】本题主要考察平面向量数量积的运算、三角函数的最值，属于基础题．22．（12分）（2019春•辽宁期中）设()4cos()sin cos(2)6f x x x x πωωωπ=--+，其中0ω>． （1）当1ω=时，求函数()y f x =的值域；（2）若()f x 在区间3[2π-，]2π上为增函数，求ω的最大值． 【分析】（1）先利用两角和余差的基本公式以及诱导公式等将函数化为sin()y A x ωϕ=+的形式，结合三角函数的图象和性质，求出()f x 的取值最大和最小值，即得到()f x 的值域．（2）结合三角函数的图象和性质，求增区间的范围．()f x 在区间3[2π-，]2π上为增函数，可得ω的最大值． 【答案】解：（1）()4cos()sin cos(2)6f x x x x πωωωπ=--+，其中0ω>．化简可得：：21()4sin [cos sin ]cos222sin cos2122f x x x x x x x x x ωωωωωωωω=++++=当1ω=时，函数()12y f x x ==+根据三角函数的图象和性质可得：()f x 的值域的值域为[11．（2）由（1）可得()12f x x ω=22222k x k πππωπ∴-+剟 解得：44k k x ππππωωωω-+剟，k Z ∈ 故得函数()f x 的增区间为：[4k ππωω-，]4k k Z ππωω+∈． ()f x 在区间3[2π-，]2π上为增函数， 故：342k πππωω--…且24k πππωω+…，k Z ∈ 解得：146k ω-…且412k ω+…，k Z ∈ 0ω>．当0k =时，满足题意，此时16ω=． 故得ω的最大值为16． 【点睛】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．。

三角恒等变换》单元测试题必修④第三章《三角恒等变换》本单元测试题共包含12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、已知cosα=−312π，α∈[π,π]，sinβ=−2513，β是第三象限角，则cos(β−α)的值是（）A、−xxxxxxxxB、无解C、无解D、−xxxxxxxx解析：1、由题意得sinα=−35π，又sinβ=−2513，β∈Ⅲ。

cosα=−4/5，∴cosβ=−3/52、∵cosα=−4/5，∴sinα=−3/5。

又cos(α+β)=−1。

sin(α+β)=−24/5π。

sinβ=sin[(α+β)−α]。

sin(β−α)=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=−xxxxxxxx2、已知α和β都是锐角，且sinα=54，cos(α+β)=−135，求sinβ的值。

A、xxxxxxxxB、无解C、无解D、xxxxxxxx解析：依题意，∵sinα=54，∴cosα=√21/4。

又cos(α+β)=−135。

sin(α+β)=−35π。

sinβ=sin[(α+β)−α]。

sinβ=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=xxxxxxxx3、已知x∈[2kπ−3π4,2kπ+3π4]（k∈Z），且cos(−x)=−，则cos2x的值是（）A、−B、−xxxxxxxxC、无解D、无解解析：x∈[2kπ−3π4,2kπ+3π4]。

cosx−sinx>0。

即sin(−x)=−sinx=cosx<0。

sin(−x)∈(−1,0]。

x∈[2kπ−π2,2kπ]。

x∈[2kπ,2kπ+π2]。

cos2x=2cos2x−1=2cos2(x/2)−1=2cos2(−x/2)−1=2sin2(−x/2)−1=−4、设cos(x+y)sinx−sin(x+y)cosx=12，且y是第四象限角，则y的值是（）A、±2332B、±1212C、无解D、无解解析：由cos(x+y)sinx−sin(x+y)cosx=0得sin(x−y)=−cos(x+y)。

第三章三角恒等变换单元测试题及答案一、选择题1、sin105cos105的值为 （ ）Ａ．14Ｂ．－14Ｃ．4Ｄ．－42、函数21()cos 2f x x =-的周期为 （ ）Ａ．4π Ｂ．2πＣ．2π Ｄ．π 3、已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+等于 （ ） Ａ．16 Ｂ．1322 Ｃ．322 Ｄ．13184、化简1cos 2tancot22ααα+-，其结果是 （ ）Ａ．1sin 22α- Ｂ．1sin 22α Ｃ．2sin α- Ｄ．2sin 2α5. （ ）A.2sin 44cos 4B.2sin 44cos 4C.2sin 4D.4cos 42sin 4-----6. sin1212ππ的值为 ().0..2A B C D -7. 已知α为第三象限角，24sin 25α=-，则tan 2α= （ ） 4A.34B.3-3C.43D.4-8. 若()()11sin ,sin 23αβαβ+=-=，则tan tan αβ为 （ ） A.5 B .1- C.6 1D.69. 已知锐角αβ、满足sin αβ==αβ+等于 （ ） 3A.4π 3B.44ππ或 C.4π ()3D.24k k ππ+∈Z10. 下列函数f (x )与g (x )中，不能表示同一函数的是 （ ）Ａ．()sin 2f x x = ()2sin cos g x x x = Ｂ．()cos 2f x x = 22()cos sin g x x x =- Ｃ．2()2cos 1f x x =- 2()12sin g x x =- Ｄ．()tan 2f x x = 22tan ()1tan xg x x=- 二、填空题 11. 已知cos α=35,且α∈3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭,则cos(3πα- )=＿＿＿＿. 12. 已知1sin cos 2θθ-=，则33sin cos θθ-=＿＿＿＿.13. tan 20tan 403tan 20tan 40++的值是 . 14.ABC 中，3sin 5A =，5cos 13B =，则cosC = .三、解答题15. 求函数2()2cos 3sin f x x x =+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值.16. 已知α，β为锐角，1tan 7α=，sin 10β=，求2αβ+.17. 已知2tan 3tan A B =，求证：sin 2tan()5cos 2BA B B -=-.18. 已知函数2()5sin cos f x x x x =-（其中x ∈R ），求： (1)函数()f x 的最小正周期; (2)函数()f x 的单调区间;(3)函数()f x 图象的对称轴和对称中心．参考答案： 一、选择题二、填空题11.12. 111613. 14.1665三、解答题 15. y max =258, y min =－3 16. 4π 17. 略18. (1)π (2)增区间：5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，减区间：511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，其中k ∈Z(3)对称轴方程：5,212k x ππ=+ 对称中心：,026k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其中k ∈Z。

一、选择题1．若160,0,cos ,sin 2243423ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．53B ．3- C ．53- D ．3 2．设函数22()cos sin 2cos sin f x x x x x =-+，下列说法中，错误的是（ ） A ．()f x 的最小值为2- B ．()f x 在区间,48ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增. C ．函数()y f x =的图象可由函数2sin y x =的图象先向左平移4π个单位，再将横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)而得到. D ．将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位，所得函数的图象关于y 轴对称. 3．若1sin 34a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．78-B ．78C ．1516-D ．15164．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36的等腰三角形（另一种是顶角为108的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，512BC AC -=.根据这些信息，可得sin126=（ ）A 125- B 35+ C 15+ D 45+ 5．若tan 2θ=，则cos2(θ= )A ．45B ．45-C ．35D ．35-6．已知α为锐角，且3cos()65πα+=，则sin α=（ ） ABCD7．若α∈(2π，π)，且3cos 2α＝sin(4π－α)，则sin 2α的值为（ ） A ．－118 B ．118 C ．－1718D ．17188．函数()sin sin 22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为（ ） A ．2B ．1C ．18D ．989．已知()0,απ∈，()2sin 2cos21παα-=-，则sin α=（ ） A ．15BC．-D10．已知()4cos 5αβ+=，()1cos 5αβ-=，则tan tan αβ⋅的值为（ ） A ．12B ．35C ．310-D ．3511．若0||4πα<<，则下列说法①sin2α＞sinα，②cos2α＜cosα，③tan2α＞tanα，正确的是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．①③12．已知()()()ππcos sin 22cos πtan πf ααααα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---，则2020π3f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A． B ．12-C ．12D二、填空题13．将22sin cos x x x +化简为sin()A x B ωϕ++（0A >，0>ω，π2ϕ<）的形式为______. 14．已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3tan 24α=．则2sin 2cos αα+=______．15．已知函数()sin cos ,,22f x x x x ππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，有以下结论：①()f x 的图象关于y 轴对称； ②()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ③()f x 图象的一条对称轴方程是4x π=； ④()f x 的最大值为2．则上述说法中正确的是__________（填序号）16．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠对应边分别为a ，b ，c ，且5a =，4b =，()31cos 32A B -=，则ABC 的边c =________. 17．已知4sin 3cos 0+=αα，则2sin 23cos +αα的值为____________. 18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222A Bsin +=1﹣cos 2C ，cos （B +C ）＞0，则ab的取值范围为_____. 19．已知2tan 3tan 5πα=，则2sin 59cos 10παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭________. 20．设函数()cos f x x x =-的图像为C ，有如下结论： ①图象C 关于直线2π3x =对称； ②()f x 的值域为[]22-,； ③函数()f x 的单调递减区间是π2π2π,2π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈； ④图象C 向右平移π3个单位所得图象表示的函数是偶函数. 其中正确的结论序号是___________________.（写出所有正确结论的序号）.三、解答题21．在ABC 中，A B C <<且 tan A ，tan B ，tan C 均为整数. （1）求A 的大小； （2）设AC 的中点为D ，求BCBD的值. 22．已知函数2()cos sin 32233x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）若,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的递增区间和值域； （2）若004()524f x x ππ=+≤≤，求点02sin 3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭．23．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，ππ22ϕ-<<）的部分图像如图所示，π12，7π12是函数的两个相邻的零点，且图像过()0,1-点．（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()()π4g x f x f x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭的单调增区间以及对称轴方程． 24．已知函数2()2sin sin 26f x x x.（1）求()f x 的最小正周期； （2）若,212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域. 25．已知14cos ,sin()435πββα⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，其中π0π2αβ<<<<． （1）求tan β的值； （2）求cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 26．已知函数3()sin (cos 3)2f x x x x =+-. （1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值及函数()f x 的单调增区间； （2）若,122x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()2m f x m <<+恒成立，求实数m 的取值集合.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】 由cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦展开计算正余弦值代入可得答案. 【详解】 因为10,cos 243ππαα⎛⎫<<+= ⎪⎝⎭，所以3444πππα<+<，sin +43πα⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为02πβ-<<，所以4422ππβπ<-<，又因为sin 42πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭cos 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 而cos cos +2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， cos +cos sin +sin 442442ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13==. 故选：A.【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.2．D解析：D 【分析】由二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦型函数性质判断AB ，利用图象平移伸缩判断CD. 【详解】由22()cos sin 2cos sin cos 2sin 2)4f x x x x x x x x π=-+=+=+，可知函数的最小值为，故A 正确；当,48x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,442x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，由正弦函数单调性知())4f x x π=+单调递增，故B 正确；y x =的图象先向左平移4π个单位得)4y x π=+，再将横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)得)4y x π=+，故C 正确；将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位得)]))44424y x x x πππππ=++=++=+，图象不关于y 轴对称，故D 错误. 故选：D 【点睛】关键点点睛：首先要把函数解析式化简，利用正弦型函数的图象与性质判断值域与单调性，利用图象变换的时候，注意平移与伸缩都变在自变量上，属于中档题.3．B解析：B 【分析】 化简sin 2cos 2()63a ππα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再利用二倍角公式化简求值. 【详解】22sin 2sin[(2)]cos(2)=cos 2()cos 2()632333a ππππππαααα⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝⎭=21712sin ()123168πα--=-⨯=. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角变名变式），要根据已知条件灵活选择方法化简求值.4．C解析：C 【分析】 计算出5cos 72=，然后利用二倍角公式以及诱导公式可计算得出sin126cos36=的值，即可得出合适的选项.【详解】因为ABC 是顶角为36的等腰三角形，所以，72ACB ∠=，则112cos72cos 4BCACB AC =∠==，()sin126sin 9036cos36=+=， 而2cos722cos 361=-，所以，131cos364+====. 故选：C. 【点睛】本题考查利用二倍角公式以及诱导公式求值，考查计算能力，属于中等题.5．D解析：D 【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式把要求的式子化为221tan 1tan θθ-+，把已知条件代入运算，求得结果． 【详解】tan 2θ=，22222222cos sin 1tan 3cos2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ--∴=-===-++， 故选D ． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．6．B解析：B 【分析】由同角三角函数可得in （α6π+）4=5，再利用两角差的正弦公式展开sinα＝sin[（α6π+）6π-]即可. 【详解】∵cos （α6π+）3=5（α为锐角），∴α6π+为锐角，∴sin （α6π+）4=5，∴sinα＝sin[（α6π+）6π-]＝sin （α6π+）cos 6πcos （α6π+）sin 6π4313525210=⋅-⋅=， 故选:B ． 【点睛】本题考查了三角函数的同角公式和两角差的正弦公式，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.7．C解析：C 【分析】按照二倍角的余弦以及两角差的正弦展开可得()3cos sin 2αα+=，对等式平方即可得结果. 【详解】 由3cos 2sin 4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得())223cos sin cos sin 2αααα-=-， 又由,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可知cos sin 0αα-≠，于是()3cos sin 2αα+=，所以112sin cos 18αα=＋， 故17sin 218α=-， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了两角差公式以及二倍角公式的应用，属于中档题.8．D解析：D 【分析】利用诱导公式与二倍角的余弦公式化简，再结合二次函数配方法求解即可. 【详解】因为()sin sin 2sin cos 22f x x x x x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭， 2219sin 12sin 2sin 48x x x ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭所以()f x 的最大值为98， 故选:D.【点睛】本题主要考查诱导公式与二倍角的余弦公式的应用，考查了二次函数的性质，属于基础题.9．D解析：D 【分析】先利用诱导公式化简，再利用正弦、余弦的二倍角公式化简可得结果 【详解】解：由()2sin 2cos21παα-=-，得2sin 2cos21αα=-， 所以24sin cos 12sin 1ααα=--，即22sin cos sin ααα=-， 因为()0,απ∈，所以sin 0α≠， 所以2cos sin αα=-， 因为22sin cos 1αα+=， 所以221sin sin 14αα+=，所以24sin 5α=，因为()0,απ∈，所以sin 0α>，所以sin α=， 故选：D 【点睛】此题考查诱导公式的应用，考查二倍角公式的应用，考查同角三角函数的关系，属于中档题10．B解析：B 【分析】根据两角和与差的余弦函数的公式，联立方程组，求得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-，再结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由4cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，1cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=，联立方程组，可得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-， 又由sin sin 3tan tan cos()cos cos 5αβαβαβαβ=+==-.故选：B. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦函数，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.11．B解析：B 【分析】 取6πα=-判断①③，根据余弦函数的性质结合二倍角公式判断②.【详解】当6πα=-时，1sin 2sin ,sin sin ,sin 2sin 3262ππαααα⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 2tan tan tan ,tan 2tan 363ππαααα⎛⎫⎛⎫=-==-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则①③错误；0||4πα<<，cos cos ||2αα⎛⎫∴=∈ ⎪ ⎪⎝⎭2cos 2cos 2cos cos 1(cos 1)(2cos 1)0αααααα∴-=--=-+<即cos2cos αα<，②正确； 故选：B 【点睛】本题主要考查了求余弦函数的值域以及二倍角的余弦公式的应用，属于中档题.12．B解析：B 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系式，化简函数式，最后代值计算即可. 【详解】()()()cos sin 22cos tan f ππαααπαπα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--- ()()sin sin 2cos tan πααπαα⎡⎤⎛⎫-⋅-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=+⋅- ()()sin cos cos tan αααα-⋅-=-⋅- sin cos sin cos cos ααααα⋅=⋅cos α=， 所以2020202020201cos cos cos 673cos 333332f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-==+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B .【点睛】本题考查利用诱导公式和同角三角函数关系式化简三角函数式并求值，注意三角函数值的符号变化，属于基础题.二、填空题13．【分析】利用正弦二倍角和余弦二倍角公式及辅助角公式化简得解【详解】故答案为：【点睛】本题考查二倍角公式及辅助角公式属于基础题 解析：π2sin(2)16x -+ 【分析】利用正弦二倍角和余弦二倍角公式及辅助角公式化简得解.【详解】2π2sin cos 1cos 222sin(2)16x x x x x x +=-=-+ 故答案为：π2sin(2)16x -+【点睛】本题考查二倍角公式及辅助角公式，属于基础题. 14．【分析】由正切的二倍角公式求得用正弦二倍角公式变形化用1的代换化求值式为关于析二次齐次分式再弦化切后求值【详解】因为所以或（舍）所以故答案为：【点睛】本题考查二倍角公式考查同角间的三角函数解题关键是 解析：12- 【分析】由正切的二倍角公式求得tan α，用正弦二倍角公式变形化用“1”的代换化求值式为关于sin ,cos αα析二次齐次分式，再弦化切后求值．【详解】 因为22tan 3tan 21tan 4ααα==-，所以tan 3α=-或13（舍）， 所以222222sin cos cos 2tan 11sin 2cos sin cos tan 12ααααααααα+++===-++． 故答案为：12-． 【点睛】本题考查二倍角公式，考查同角间的三角函数．解题关键是由221sin cos αα=+化待求值式为关于sin ,cos αα析二次齐次分式，然后利用弦化切求值． 15．①【分析】去掉绝对值利用辅助角公式化简函数解析式利用函数的奇偶性单调性对称性以及函数的最值对选项进行判断即可【详解】当时当时即函数为偶函数图象关于y 轴对称①正确；函数在区间上单调递增在区间上单调递减 解析：①【分析】去掉绝对值，利用辅助角公式化简函数解析式，利用函数的奇偶性，单调性，对称性以及函数的最值对选项进行判断即可.【详解】(),,042sin cos ,0,42x x f x x x x x ππππ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=+=⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦， 当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，()()44f x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()44f x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，①正确；函数()f x 在区间,24ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，②错误； 因为函数()f x 的定义域为,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不关于直线4x π=对称，所以直线4x π=不是一条对称轴，③错误；()f x，④错误．故答案为:①．【点睛】本题考查余弦函数的性质，考查余弦函数的奇偶性，单调性，对称性以及最值，考查辅助角公式的应用，考查学生的分析推理能力，属于中档题.16．6【分析】由可知然后由可求再由正弦定理三角函数恒等变换的应用可求由可求结合同角平方关系可求代入进而可求进而根据余弦定理可求的值【详解】解：可知由正弦定理于是可得又可得可得由余弦定理可得故答案为：6【 解析：6【分析】由a b >可知A B >，然后由cos()A B -可求sin()A B -，再由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求cos B ，由cos cos[()]cos()cos sin()sin A A B B A B B A B B =-+=---可求cos A ，结合同角平方关系可求sin A ，代入cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-，进而可求cos C ，进而根据余弦定理可求c 的值．【详解】解：a b >，A B ∴>， 31cos()32A B -=， ∴可知(0,)2A B π-∈，sin()A B ∴-==， 由正弦定理，sin 5sin 4A aB b ==， 于是可得5sin 31sin sin[()]sin()cos sin cos()sin 432B A A B B A B B B A B B B ==-+=-+-=+，3sin B B ∴，sin cos 22B B 1+=，又B A <，可得3cos 4B =，3139cos cos[()]cos()cos sin()sin 32416A A B B A B B A B B∴=-+=---⨯=，可得sin A ，931cos cos()cos cos sin sin 1648C A B A B A B ∴=-+=-+=⨯=，∴由余弦定理可得6c ．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系及和差角的三角公式的综合应用，同时考查了运算的能力，属于中档题．17．【分析】由已知式求出利用同角三角函数间的平方关系和商数关系将化为代入即可求值【详解】则故答案为：【点睛】本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系正余弦其次式的计算二倍角的正弦公式属于中档题 解析：2425【分析】 由已知式求出3tan 4α=-，利用同角三角函数间的平方关系和商数关系，将2sin 23cos +αα化为22tan 3tan 1αα++，代入即可求值.【详解】4sin 3cos 0αα+=，3tan 4α∴=-， 则22222sin cos 3cos sin 23cos sin cos ααααααα++=+ 22tan 3tan 1αα+=+ 232()343()14⨯-+=-+ 2425=. 故答案为：2425. 【点睛】本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系，正、余弦其次式的计算，二倍角的正弦公式，属于中档题.18．（2+∞）【分析】由已知结合二倍角公式及诱导公式可求然后结合正弦定理及同角基本关系可求【详解】∵21﹣cos2C ∴1﹣2cos2C ∴cos （A+B ）＝2cos2C ﹣1即﹣cosC ＝2cos2C ﹣1整解析：（2，+∞）【分析】由已知结合二倍角公式及诱导公式可求C ，然后结合正弦定理及同角基本关系可求．【详解】∵222A B sin +=1﹣cos 2C ， ∴1﹣222A B sin+=cos 2C ， ∴cos （A +B ）＝2cos 2C ﹣1，即﹣cosC ＝2cos 2C ﹣1， 整理可得，（2cosC ﹣1）（cosC +1）＝0，∵cosC ≠﹣1，∴cosC 12=， 0C π<<∴C 13π=，∵cos （B +C ）＞0， ∴11032B ππ+＜＜， ∴06B π＜＜， 由正弦定理可得13sin B a sinA b sinB sinBπ+==（），=，12=+， ∵06B π＜＜，∴0tanB ＜∴1tanB122， 故a b的范围（2，+∞）. 故答案为：(2,)+∞【点睛】本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于中档题． 19．【分析】由可得然后用正弦的和差公式展开然后将条件代入即可求出原式的值【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题考查的三角恒等变换解决此类问题时要善于发现角之间的关系 解析：12【分析】 由259210πππαα+=++可得22sin sin 5592cos sin 105ππααππαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后用正弦的和差公式展开，然后将条件代入即可求出原式的值【详解】 因为2tan 3tan 5πα=所以222sin sin sin 555922cos cos sin 10255πππαααππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2222sincos cos sin tan tan 2tan 1555522222sin cos cos sin tan tan 4tan 5555ππππαααππππααα---====----- 故答案为：12【点睛】本题考查的三角恒等变换，解决此类问题时要善于发现角之间的关系. 20．①②④【分析】化简函数代入求最值可判断①；求出的最值可判断②；求出函数的单调递减区间可判断③；求出向右平移个单位的解析式化简后可判断④【详解】当时取得最大值2故①正确；因为的最大值为2最小值为所以的解析：①②④.【分析】化简函数()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 代入2π3x =求最值可判断①；求出()f x 的最值可判断②；求出函数()f x 的单调递减区间可判断③；求出()f x 向右平移π3个单位的解析式化简后可判断④.【详解】 ()1cos 2cos 22f x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 2cos sin sin cos 2sin 666x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当2π3x =时，22π2sin 2336f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取得最大值2，故①正确； 因为()π2sin 6f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的最大值为2，最小值为2-，所以()f x 的值域为[]22-,，故②正确； 令π322262k x k ππππ+≤-≤+()k Z ∈，得252233k x k ππππ+≤≤+， 即()f x 的单调递减区间是2π5π2π,2π33k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈，故③错误；图象C 向右平移π3个单位得π2sin 2sin 2cos 362y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数，故④正确. 故答案为：①②④.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简()f x 的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.三、解答题21．（1）45A =︒；（2）1BC BD = 【分析】（1）A B C <<，A 不能是钝角，且若tan 2A ≥，与A B C π++=矛盾，可得45A =︒；（2）由（1）结合两角和与差的正切公式，以及tan B ，tan C 均为整数，可得tan ,tan B C ，再利用正弦定理结合平面向量求出BD ，进而得出答案．【详解】（1）A B C <<，A ∴不能是钝角，tan 0A >若tan 2A ≥，tan 60︒=tan y x =在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭内单调递增，60A ∴>︒ 又A B C <<，,B C ∴都大于60︒，与A B C π++=矛盾tan 1A ∴=，即45A =︒（2）45,135A B C =︒∴+=︒，()tan tan1351B C +=︒=-又()tan tan tan 11tan tan B C B C B C++==--，即tan tan 1tan tan B C B C -=+ 由tan B ，tan C 均为整数，且B C <，可得tan 2,tan 3B C ==则cos B B ==；cos C C ==由正弦定理sin 45sin sin a b c B C ==︒，可得,55b ac a == 又AC 的中点为D ，则2214BA BC BD AC ⋅=-， 即221cos 4c a ABC BD AC ⋅⋅∠=-2214a BD ⎫⋅=-⎪⎪⎝⎭解得BD a =，故1BC a BD a== 【点睛】 关键点点睛：本题考查三角恒等变换，考查同角三角函数的关系，考查正弦定理以及平面向量的应用，解决本题的关键点是充分利用A B C <<且tan A ，tan B ，tan C 均为整数，结合两角和与差的正切公式以及同角三角函数的关系，得出所求的比值，考查学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．22．（1）,24ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，值域,122⎤+⎥⎣⎦；（2）024sin 310x +⎛⎫= ⎪⎝⎭. 【分析】（1）先利用诱导公式和降幂公式可将()f x 化为()2sin 33x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭数的性质可得函数的单调区间和值域.（2）利用两角差的正弦公式可求02sin 3x ⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】①2()sincos 1cos 333x x x f x ⎫=++⎪⎝⎭2sin 33x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由2222332x k k πππππ-≤+≤+得53344k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 又2x ππ-≤≤，所以()f x 的递增区间为,24ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 又2x ππ-≤≤，故2033x ππ≤+≤，所以20sin 133x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，()f x ∴值域为1⎤+⎥⎣⎦.②由024()sin 33252x f x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭得024sin 335x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因04x ππ≤≤，所以02233x πππ≤+≤，故023cos 335x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 00002222sin sin sin cos cos sin 3333333333x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4134525210+=⨯+⨯=. 【点睛】方法点睛：形如()22sin sin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为()()'sin 2'f x A x B ωϕ=++的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法．23．（1）()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）5ππ11ππ,242242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，对称轴方程为5π244k x π=+，k Z ∈． 【分析】 （1）先利用图象解得周期和ω，再结合π3f A ⎛⎫=⎪⎝⎭, ()01f =-，解得ϕ和A ，即得解析式；（2）先根据解析式化简()g x ，再利用整体代入法求解单调区间和对称轴方程即可.【详解】解：（1）由图可知7212122T πππ=-=，周期T π=，故22T πω==， 由π12，7π12是函数的两个相邻的零点，则17π2123π12π⎛⎫= ⎪⎭+⎝处取得最大值， 故π2πsin 33f A A ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得2πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2π2,32k k Z πϕπ+=+∈， 又ππ22ϕ-<<，故π6ϕ=-， 由()0sin sin 16f A A πϕ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，得2A =， 所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （2）()πππππ2sin 22sin 24sin 2cos 262666g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅--=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ π4sin 43x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 当ππ32π4π2π232k x k +≤-≤+，k Z ∈时，5ππ11ππ242242k k x +≤≤+，()g x 单调递增， 所以()g x 的单调增区间为5ππ11ππ,242242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 令ππ4π32x k -=+，对称轴方程为5π244k x π=+，k Z ∈．【点睛】思路点睛：解决三角函数()sin y A ωx φ=+的图象性质，通常利用正弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.24．（1）最小正周期T π=；（2）3()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）先利用余弦的二倍角公式和两角差的正弦化简后，再由辅助角公式化简，利用周期公式求周期；（2）由x 的范围求出26x π-的范围，再由正弦函数的有界性求f （x ）的值域． 【详解】 由已知2()2sin sin 26f x x x11cos 22cos 22x x x =-+12cos 212x x =-+ sin 216x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ （1）函数()f x 的最小正周期T π=；（2）因为,212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以72,066x ππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦ 所以1sin 21,62x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以3()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查三角函数的周期性、值域及两角和与差的正弦、二倍角公式，关键点是对()f x 的解析式利用公式进行化简，考查学生的基础知识、计算能力，难度不大，综合性较强，属于简单题.25．（1）97+-2）315； 【分析】由已知函数值以及角的范围得3444πππβ<-<，322ππαβ<+<，且()44ππββ=-+，()()44ππαβαβ+=+--，结合两角和差公式即可求值. 【详解】（1）2πβπ<<知：3444πππβ<-<， ∵1cos 43πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin()43πβ-=，∴tan 4πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan tan[()]44ππββ=-+，∴tan()tan 944tan 71tan()tan 44ππββππβ-++===--- （2）由cos cos[()()]44ππαβαβ⎛⎫+=+-- ⎪⎝⎭， ∴cos cos()cos()sin()sin()444πππαβαββαβ⎛⎫+=+-++- ⎪⎝⎭， 由π0π2αβ<<<<知：322ππαβ<+<， ∴由题意，得3cos()5βα+=-，结合（1）有sin()43πβ-=，∴3143cos 4535315πα⎛⎫+=-⨯+⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】 关键点点睛：根据已知确定4πβ-，αβ+范围，并确定β，4πα+与已知角的关系，进而求函数值.26．（1）2，单调增区间5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【分析】 （1）根据三角恒等变换化简函数()f x ，代值求3f π⎛⎫⎪⎝⎭，用整体代换法求单调递增区间； （2）求出函数在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，原不等式等价于函数()f x 在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是(),2m m +的子集，列出不等式组化简即可.【详解】解：（1）)21()sin (cos )sin 22sin 1222f x x x x x x =+-=+-1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以sin 2s 3in 3332f ππππ⎛⎛⎫= ⎫⎛⎫⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭ 由222()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 故函数的单调增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （2）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以1(),12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 因为,122x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦不等式()2m f x m <<+恒成立 所以1112212m m m ⎧<-⎪⇒-<<-⎨⎪<+⎩所以实数m 的取值集合11,2⎛⎫--⎪⎝⎭. 【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.。

一、选择题1．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos21αα-=，则cos α的值为（ ）A ．15B ．5 C ．3 D ．2552．函数()2cos ||cos 2f x x x =-在[,]x ππ∈-上的单调增区间为（ ） A ．,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,6ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．已知4sin cos 3θθ+=，,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin cos θθ-的值为（ ） A ．13- B ．13C ．23-D ．234．若1sin 34a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．78-B ．78C ．1516-D ．15165．在ΔABC 中,2sin (22c a Ba b c c -=、、分别为角A B C 、、的对边),则ΔABC 的形状为 A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形6．如下图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点,C B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为43,,,55AOC α⎛⎫-∠= ⎪⎝⎭若1BC =，则233cos sin cos 222ααα--的值为（ ）A ．45B ．35C ．45-D ．357．已知()3sin 2020cos2020f x x x =+的最大值为A ，若存在实数1x ，2x ，使得对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ）A ．2020πB ．1010π C ．505π D ．4040π 8．已知α，β均为锐角，5cos()13αβ+=-，3sin()35πβ+=，则sin()3πα-=（ ）A ．3365B ．3365-C ．6365D ．56659．在ABC 中三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222b c a +=，2bc =，则角C 的大小是（ ）A ．6π或23π B ．3πC ．23π D ．6π 10．在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形11．已知A 是函数()3sin(2020)sin(2020)2623f x x x ππ=++-的最大值，若存在实数1x ，2x 使得对任意实数x ，总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x 的最小值为（ ）A ．2020πB ．1010π C ．32020πD12．若sin 2α=()sin βα-=，且,4απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，3,2βπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，则αβ+的值是（ ） A ．74π B ．94πC ．54π或74πD ．54π或94π 二、填空题13．已知()2cos (sin cos )f x x x x =+，若对任意[0,]2x π∈不等式2()m f x m -≤≤+恒成立，则实数m 的取值范围是___________.14．已知02x π-<<，1sin cos 5x x +=，则22sin cos cos x x x -的值为___________. 15．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且PB QD PQ +=，则PAQ ∠的大小为__________．16．求值：sin 50sin 30sin10cos50cos30sin10︒+︒︒︒-︒︒=_______17．已知4sin 3cos 0+=αα，则2sin 23cos +αα的值为____________. 18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222A Bsin+=1﹣cos 2C ，cos （B +C ）＞0，则ab的取值范围为_____. 19．下列判断正确的有___________.①如果θ是第一象限角，那么恒有sin02θ>；②sin 200a ︒=，则2tan 2001a︒=-③若()f x 的定义域为R ，周期为4，且满足()()f x f x -=-，则()f x 在[4,8]x ∈-至少有7个零点； ④若0,,0,66x y ππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且cos tan x y x ⋅=，则x y <. 20．在直角三角形ABC 中，C ∠为直角，45BAC ∠>，点D 在线段BC 上，且13CD CB =，若1tan 2DAB ∠=，则BAC ∠的正切值为_____.三、解答题21．已知函数()2sin cos cos 3f x x x x π⎡⎤⎛⎫=⋅-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭； （2）求()f x 的值域.22．函数2()sin 3cos (0)f x x x x ωωωω=+⋅>且满足___________. ①函数()f x 的最小正周期为π；②已知12x x ≠，()()1212f x f x ==，且12x x -的最小值为2π，在这两个条件中任选一个，补充在上面横线处，然后解答问题. （1）确定ω的值并求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域.23．已知函数()23sin sin 2sin cos 344f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）当[0,]x π∈时，求()f x 的单增区间； （2）将函数()f x 的图像向右平移3π个单位后得到函数()g x ，若关于x 的方程|()3|g x m -=在5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解，那么当m 取某一确定值时，方程所有解的和记为m S ，求m S 所有可能值及相应的m 取值范围.24．已知函数()()23cos sin 3cos 3f x x x x x R π⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值； （2）设函数()g x 对任意x ∈R ，有()2g x g x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()12g x f x =-.求()g x 在区间[],0π-上的解析式. 25．如图，设单位圆与x 轴的正半轴相交于点(1,0)Q ，当2()k k απβ≠+∈Z 时，以x 轴非负半轴为始边作角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于点1(cos ,sin )P αα，1(cos ,sin )Q ββ．（1）叙述并利用上图证明两角差的余弦公式；（2）利用两角差的余弦公式与诱导公式．证明：sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-． （附：平面上任意两点()111,P x y ，()222,P x y 间的距离公式()()22122121PP x x y y =-+-26．已知函数2()[2sin()sin ]cos 33f x x x x x π=++．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）若函数()f x 的图象关于点(,)m n 对称，求正数m 的最小值；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用二倍角公式化简得到2sin cos ,αα=再利用同角的平方关系求解. 【详解】由题得24sin cos 12cos 1,ααα+-= 所以24sin cos 2cos ,ααα= 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以2sin cos ,αα=因为22221sin cos 1,cos cos 14αααα+=∴+=，所以24cos ,(0,),cos 52πααα=∈∴= 故选：D 【点睛】方法点睛：三角函数求值常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角、变名、变式）.2．A解析：A 【分析】先把函数解析式化简，然后令cos t x =，利用复合函数单调性求解即可 【详解】 当[]0,x π∈时，22()2cos ||cos 2=2cos (2cos 1)2cos 2cos 1f x x x x x x x =---=-++，令cos [1,1]t x t =∈-，，则cos t x =在[]0,x π∈上为减函数；而2221y t t =-++ 对称轴为12t =， ∴2221y t t =-++在1[1,]2t ∈-上单增，在1[,1]2t ∈上单减， ∴()y f x =在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为增函数，在,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数．又()2cos ||cos 2f x x x =-为偶函数，其图像关于y 轴对称， ∴()y f x =在,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上为增函数，在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数． 故()y f x =的单调增区间为,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 故选：A 【点睛】复合函数的单调性口诀：同增异减，其具体含义为： 内外函数的单调性相同(同),则复合函数为增函数(增)； 内外函数的单调性相反(异),则复合函数为减函数(减).3．D解析：D 【分析】首先根据题意得到72sin cos 9θθ=，再计算()22sin cos 9θθ-=，根据,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭判断出sin cos θθ-的符号再进行开方计算即可得到答案. 【详解】 因为4sin cos 3θθ+=，所以()216sin cos 12sin cos 9θθθθ+=+=， 所以72sin cos 9θθ=， 所以()22sin cos 12sin cos 9θθθθ-=-=， 因为,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以sin cos θθ>，即sin θcos θ0，所以sin cos θθ-= 故选：D ． 【点睛】易错点睛：本题求sin cos θθ-的值时，采用的方法是先对其平方而后再开方，再开方时应注意根据θ的取值范围正确判断sin cos θθ-的符号，从而得到正确的答案.4．B解析：B 【分析】 化简sin 2cos 2()63a ππα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再利用二倍角公式化简求值. 【详解】22sin 2sin[(2)]cos(2)=cos 2()cos 2()632333a ππππππαααα⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝⎭=21712sin ()123168πα--=-⨯=. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角变名变式），要根据已知条件灵活选择方法化简求值.5．A解析：A 【解析】依题意，利用正弦定理及二倍角公式得sin sin 1cos 2sin 2C A BC --=，即sin sin cos A C B =，又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，故sin cos 0B C =，三角形中sin 0B ≠，故πcos 0,2C C ==，故三角形为直角三角形，故选A. 6．B解析：B 【解析】 ∵点B 的坐标为43,55⎛⎫-⎪⎝⎭，设AOB θ∠=， ∴325sinπθ-=-（），425cos πθ-=（）， 即35sin θ=，45cos θ=， ∵AOC α∠=，若1BC =，∴3πθα+=，则3παθ=-，则213sincossin cos cos sin 2222625αααππαααθθ⎛⎫⎛⎫-=-=+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B.点睛：本题主要考查三角函数的化简和求值，利用三角函数的定义以及三角函数的辅助角公式是解决本题的关键；利用降幂公式可将所求表达式化简为关于α的表达式，设AOB θ∠=，当角α的终边与单位圆的交点坐标为(),u v 时，sin v α=，cos u α=，可先求出关于θ的三角函数式，结合等边三角形寻找,αθ之间的关系即可.7．B解析：B 【分析】化简函数()f x 的解析式可得周期与最大值，对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，即12x x -半周期的整数倍，代入求最小值即可．【详解】()2020cos 20202sin 20206f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则220201010T ππ==，2A = 1212210101010A x x ππ-≥⨯⨯=故选：B 【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查三角恒等变换，考查周期与最值的求法，属于中档题．8．B解析：B 【分析】由所给三角函数值利用同角三角函数的关系求出()sin αβ+、cos 3πβ⎛⎫+⎪⎝⎭，3πα-记为()3παββ⎛⎫+-+⎪⎝⎭，利用两角差的正弦公式展开代入相应值计算即可.【详解】α，β均为锐角，5cos()013αβ+=-<，,2παβπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，∴()12sin 13αβ+==，β均为锐角，5,336πππβ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，则1cos 32πβ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4cos 35πβ⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭或45（4152>，舍去），()sin()sin 33ππααββ⎡⎤⎛⎫∴-=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()sin cos cos sin 33ππαββαββ⎛⎫⎛⎫=+⋅+-+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭124533313513565⎛⎫⎛⎫=⨯---⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查同角三角函数的关系、两角差的正弦公式、三角函数在各象限的符号，属于中档题.9．A解析：A 【分析】由222b c a +=可得cosA =2bc =可得2A =C 值. 【详解】∵222b c a +=，∴cos A 2222b c a bc +-===， 由0＜A ＜π，可得A 6π=，∵2bc =，∴2A =∴5sin 64C sinC π⎛⎫-=⎪⎝⎭，即()1sinCcosC 12244cos C +-=解得50C 6π<< ∴2C=3π或43π，即C=6π或23π 故选A 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，同时考查两角和差的正弦公式和内角和定理，属于中档题．10．B解析：B 【分析】利用两角和与差公式化简原式，可得答案． 【详解】因为sin 2sin cos B A C =， 所以sin()2sin cos A C A C +=所以sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C += 所以sin cos cos sin 0A C A C -= 所以sin()0A C -=, 所以0A C -=,所以A C =.所以三角形是等腰三角形. 故选：B. 【点睛】本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用，考查学生计算能力，属于中档题．11．C解析：C 【分析】利用三角恒等变换化()f x 为正弦型函数，由此求出A 、T 以及12x x -的最小值，可得解. 【详解】()3sin(2020))2623f x x x ππ=++-，392020cos 2020cos 2020202044x x x x =+-，320220cos 2020x x=-3sin(2020)6x π=-， ∴max ()3A f x ==，又存在实数1x ，2x ，对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立， ∴2max ()()2f x f x ==，1min ()()2f x f x ==-， 则12x x -的最小值为函数()f x 的半个最小正周期长度，12min 1122220202020x x T ππ∴-==⨯=∴()12min32020A x x π⋅-=， 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的最值，着重考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角恒等变换，突出正弦函数的周期性的考查，属于中档题．12．A解析：A 【分析】先计算2α和βα-的取值范围，根据取值范围解出cos2α和()cos βα-的值，再利用()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβααβααβα+=+-=---⎡⎤⎣⎦求解()cos αβ+的值.【详解】∵,4απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，∴2,22απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦.∵sin 25α=，∴2,2απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，∴,42ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 2α= ∵3,2βπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，∴5,24βαππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴()cos βα-=， ∴()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβααβααβα+=+-=---⎡⎤⎣⎦⎛⎛=⨯= ⎝⎭⎝⎭ 又∵5,24αβπ⎡⎤+∈π⎢⎥⎣⎦， ∴74αβπ+=. 故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换中和差角公式的运用，难度一般.解答时，要注意三角函数值的正负问题，注意目标式与条件式角度之间的关系，然后通过和差角公式求解.二、填空题13．【分析】先将化解成正弦型然后根据取值范围求出最值根据恒成立可建立不等式解出不等式即可【详解】当时恒成立解得故答案为：【点睛】本题考查三角函数的化解以及以及已知范围求正弦型函数的最值 解析：[1,2]【分析】先将()f x 化解成正弦型，然后根据x 取值范围求出()f x 最值，根据恒成立可建立不等式，解出不等式即可. 【详解】2()=2sin cos 2cos =sin2cos 21)14f x x x x x x x π+++=++，当[0,]2x π∈时，52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴0)114x π≤++≤，2()m f x m -≤≤+恒成立，02212m m，解得12m ≤≤. 故答案为：[1,2] 【点睛】本题考查三角函数的化解以及以及已知x 范围求正弦型函数的最值.14．【分析】根据得到将已知等式两边平方利用同角三角函数基本关系式可求的值然后利用二倍角公式化简求解【详解】∵∴∴∵两边平方可得∴故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数的同角基本关系式以及倍角公式的应用还解析：85- 【分析】 根据1sin cos 5x x +=得到|cos ||sin |x x >， 将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求sin 2x ，cos2x 的值，然后利用二倍角公式化简求解. 【详解】 ∵02x π-<<，1sin cos 5x x +=， ∴|cos ||sin |x x >， ∴04x π-<<，π202x -<< ∵1sin cos 5x x +=，两边平方， 可得24sin 225x =-，7cos 225x =，∴21cos 282sin cos cos sin 225x x x x x +-=-=-. 故答案为：85-.【点睛】本题主要考查三角函数的同角基本关系式以及倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．【分析】先分别设则在中由勾股定理得再分别表示出之后利用正切的和角公式求即可解决【详解】解：设则因为是直角三角形所以由勾股定理得：化简得在中在中所以又因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查正切的和角公解析：4π【分析】先分别设PB x =，DQ y =，则在PCQ △中，由勾股定理得1xy x y -=+，再分别表示出tan BAP ∠，tan DAQ ∠，之后利用正切的和角公式求()tan BAP DAQ ∠+∠即可解决.【详解】解：设PB x =，DQ y =，则1CP x =-，1CQ y =-， 因为PCQ △是直角三角形，PB QD PQ +=，所以由勾股定理得：()()()22211x y x y -+-=+，化简得1xy x y -=+, 在ABP △中，tan BPBAP x AB ∠==， 在ADQ △中，tan DQDAQ y AD∠==， 所以()tan tan tan 11tan tan 1BAP DAQ x yBAP DAQ DAQ BAP xy∠+∠+∠+∠===-∠∠-，又因为02BAP DAQ π<∠+∠<，所以，=4PAQ π∠故答案为：4π【点睛】本题主要考查正切的和角公式，数据处理能力与运算能力，是中档题.16．【分析】根据代入原式利用正余弦的和差角公式求解即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了非特殊角的三角函数化简与求值需要根据所给的角度与特殊角的关系并利用三角恒等变换进行求解属于中档题【分析】根据506010︒=︒-︒，代入原式利用正余弦的和差角公式求解即可. 【详解】()()sin 6010sin 30sin10sin 50sin 30sin10cos50cos30sin10cos 6010cos30sin10︒-︒+︒︒︒+︒︒=︒-︒︒︒-︒-︒︒sin 60cos10cos60sin10sin 30sin10cos60cos10sin 60sin10cos30sin10︒︒-︒︒+︒︒=︒︒+︒︒-︒︒sin 60cos10tan 60cos60cos10︒︒==︒=︒︒【点睛】本题主要考查了非特殊角的三角函数化简与求值，需要根据所给的角度与特殊角的关系，并利用三角恒等变换进行求解.属于中档题.17．【分析】由已知式求出利用同角三角函数间的平方关系和商数关系将化为代入即可求值【详解】则故答案为：【点睛】本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系正余弦其次式的计算二倍角的正弦公式属于中档题解析：2425【分析】由已知式求出3tan 4α=-，利用同角三角函数间的平方关系和商数关系，将2sin 23cos +αα化为22tan 3tan 1αα++，代入即可求值. 【详解】4sin 3cos 0αα+=，3tan 4α∴=-，则22222sin cos 3cos sin 23cos sin cos ααααααα++=+ 22tan 3tan 1αα+=+ 232()343()14⨯-+=-+ 2425=. 故答案为：2425. 【点睛】本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系，正、余弦其次式的计算，二倍角的正弦公式，属于中档题.18．（2+∞）【分析】由已知结合二倍角公式及诱导公式可求然后结合正弦定理及同角基本关系可求【详解】∵21﹣cos2C ∴1﹣2cos2C ∴cos （A+B ）＝2cos2C ﹣1即﹣cosC ＝2cos2C ﹣1整解析：（2，+∞） 【分析】由已知结合二倍角公式及诱导公式可求C ，然后结合正弦定理及同角基本关系可求． 【详解】∵222A Bsin+=1﹣cos 2C ， ∴1﹣222A Bsin+=cos 2C ， ∴cos （A +B ）＝2cos 2C ﹣1， 即﹣cosC ＝2cos 2C ﹣1，整理可得，（2cosC ﹣1）（cosC +1）＝0， ∵cosC ≠﹣1， ∴cosC 12=， 0C π<<∴C 13π=，∵cos （B +C ）＞0， ∴11032B ππ+＜＜， ∴06B π＜＜，由正弦定理可得13sin B a sinA b sinB sinBπ+==（），=，12=+， ∵06B π＜＜，∴0tanB ＜∴1tanB122， 故ab的范围（2，+∞）. 故答案为：(2,)+∞【点睛】本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于中档题．19．③【分析】①利用来判断；②利用来判断；③通过来判断；④通过当时有恒成立来判断【详解】解：①由已知则此时在第一或第三象限有可能小于零错误；②是第三象限角所以则与矛盾错误；③由已知为奇函数故则又所以则有解析：③ 【分析】 ①利用24k k θπππ来判断；②利用sin 2000a ︒=<来判断；③通过(0)0f =，(2)0f =来判断； ④通过当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有tan sin ααα>>恒成立来判断. 【详解】 解：①由已知22,2k k k Z ππθπ，则,24k k kZ θπππ，此时2θ在第一或第三象限，sin2θ有可能小于零，错误；②200︒是第三象限角，所以sin 2000a ︒=<， 则2tan 20001a︒=<-，与tan 2000︒>矛盾，错误；③由已知()f x 为奇函数，故(0)0f =，则(4)(4)(8)(0)0f f f f -====， 又(2)(24)(2)(2)f f f f =-=-=-，所以(2)0f =，则有(2)(2)(6)0f f f =-==， 则()f x 在[4,8]x ∈-至少有7个零点，正确； ④当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有tan sin ααα>>恒成立， 证明：单位圆中当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，如图点P 为角α的终边与单位圆的交点，由图可知OPA 的面积小<扇形OPA 的面积小<OTA 的面积 则211111sin 111tan 222ααα⋅⋅⋅<⋅⋅<⋅⋅⋅，整理得tan sin ααα>>. 若0,,0,66x y ππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，tan cos tan tan x x x y y >=⋅>，所以x y >，故错误. 故答案为：③【点睛】本题考查函数周期性的应用，考查当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有tan sin ααα>>恒成立这个性质的灵活应用，考查角所在象限和三角函数值符号的关系，是中档题.20．3【分析】在直角三角形中设利用两角差的正切公式求解【详解】设则故故答案为：3【点睛】此题考查在直角三角形中求角的正切值关键在于合理构造角的和差关系其本质是利用两角差的正切公式求解解析：3 【分析】在直角三角形中设3BC =，3AC x =<，1tan tan()2DAB BAC DAC ∠=∠-∠=，利用两角差的正切公式求解. 【详解】设3BC =，3AC x =<， 则31tan ,tan BAC DAC x x∠=∠= 22221tan tan()13321x x DAB BAC DAC x x x ∠=∠-∠===⇒=++， 故tan 3BAC ∠=. 故答案为：3 【点睛】此题考查在直角三角形中求角的正切值，关键在于合理构造角的和差关系，其本质是利用两角差的正切公式求解.三、解答题21．（12）⎡⎢⎣⎦. 【分析】（1）利用两角和与差的正、余弦公式、正弦余弦的二倍角公式进行化简代入函数值可得答案；（2）根据x 的范围可以得到26x π-及sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的范围，再求()f x 的值域可得答案.【详解】（1）23()2sin cos 3sin cos 22f x x x x x x x ⎛⎫=⋅+=⋅+ ⎪⎪⎝⎭31cos 2sin 222x x -=26x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭，所以，662f ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，26x π⎡⎛⎫-∈⎢ ⎪⎝⎭⎣，()f x 的值域为0,2⎡⎢⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数的化简和性质，关键点是要熟练掌握三角函数的性质，考查了学生的基本运算、基础知识.22．条件选择见解析；（1）1ω=，单调增区为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，单调减区间为5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】化简()f x 1sin 262x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （1）若选① ，根据周期公式可得ω；若选②，由12min22T x x π-==，可得周期和ω，再根据正弦函数的单调性可得()f x 单调区间； （2）由x 的范围求出26x π-及1sin 262x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的范围可得答案. 【详解】1cos 2()cos 2xf x x x ωωω-=+112cos 2222x x ωω=-+ 1sin 262x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（1）若选① ，则有T π=，222πωπ∴==，即1ω=，若选②，则有12min22T x x π-==， 222πωπ∴==，即1ω=，综上1()sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，于是由222()262πππππ-+≤-≤+∈k x k k Z ，解得()63ππππ-+≤≤+∈k x k k Z ，即()f x 单调增区为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，由3222()262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得5()36k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以()f x 单调减区间为5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）1()sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2,662x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 则13sin 20,622x π⎛⎫⎡⎤-+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()f x 值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了()()sin f x A x b ωϕ=++的性质，有关三角函数的解答题，考查基础知识、基本技能和基本方法，且难度不大，主要考查以下四类问题；（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期、对称性有关的问题，考查了计算能力.23．（1）单增区间为5012π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，1112ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；（2）答案见解析. 【分析】（1）首先利用两角和与差的正弦公式以及二倍角公式，辅助角公式将()f x 化简，再利用正弦的单调区间即可求解；（2）首先求出()g x 的解析式，再作出|()3|y g x =-，5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象，数形结合即可求出m 取某一确定值时方程的根的情况，分情况讨论即可求解. 【详解】（1）()222223cos sin sin cos sin 232222f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+⋅-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭=()223cos sin sin 233cos 2sin 232sin 233x x x x x x π⎛⎫-+++=-++=-+ ⎪⎝⎭则由222232k x k πππππ-+≤-≤+，可得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 因为[0,]x π∈，所以0k =时，51212x ππ-≤≤；1k =时，11171212x ππ≤≤所以()f x 的单增区间为5012π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，1112ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. （2）由题意可得()2sin 233g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭故()532sin 2,,366y g x x x πππ⎛⎫⎡⎤=-=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，图象如下：由图可知，当0m =时，()30g x =有三个解：5636πππ-，，，此时5636m S ππππ=-++=； 当2m =时，()3g x 有两个解：12π，712π， 此时7212123m S πππ=+=； 当02m <<时，()3g x 有四个解：1x ，2x ，3x ，4x ，此时123474663m S x x x x πππ=+++=+=. 【点睛】 方法点睛：已知三角函数的解析式求单调区间先将解析式化为()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+()0,0A ω>>的形式，然后将x ωϕ+看成一个整体，根据sin y x =与cos y x =的单调区间列不等式求解.24．（1）最大值为14，最小值为12-；（2）()11sin 2,0223211sin 2,2232x x g x x x πππππ⎧⎛⎫+--≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪---≤< ⎪⎪⎝⎭⎩. 【分析】（1）利用两角和的正弦公式，二倍角公式以及辅助角公式将()f x 化简，再由三角函数的性质求得最值；（2）利用0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()12g x f x =-，对x 分类求出函数的解析式即可.【详解】（1）()2cos sin 34f x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭π=++2cos sin cos cos sin 334x x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1sin 224x x = 1sin 223x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 则1sin 21,32x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 111sin 2,2324x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()f x 的最大值为14；()f x 的最小值为12-； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， ()11sin 2223g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，0,22x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ()11sin 22223g x g x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当,2x ππ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时，0,2x ππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭； ()()11sin 2223g x g x x ππ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭， 综上：()g x 在区间[],0π-上的解析式为：()11sin 2,0223211sin 2,2232x x g x x x πππππ⎧⎛⎫+--≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪---≤< ⎪⎪⎝⎭⎩. 【点睛】关键点睛：本题考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法.熟练掌握两角和的正弦公式，二倍角公式以及辅助角公式是解决本题的关键.25．（1）两角差的余弦公式为：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先构造向量()()11cos ,sin ,cos ,sin OP OQ ααββ==，再利用数量积111111cos OP OQ OP AQ POQ ⋅=⋅∠代入计算即得结果；（2）利用诱导公式知()sin cos 2παβαβ⎛⎫-=-+-⎪⎝⎭，再结合两角差的余弦公式展开即得结论.【详解】解：（1）两角差的余弦公式为：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+.证明：依题意，()()11cos ,sin ,cos ,sin OP OQ ααββ==， 则11cos cos sin sin OP OQ αβαβ⋅=+，11111,OP AQ POQ αβ==∠=- 故由111111cos OP OQ OP AQ POQ ⋅=⋅∠得，()cos cos sin sin 11cos αβαβαβ+=⨯⨯-，即cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，当()2k k απβ=+∈Z 时，容易证明上式仍然成立．故cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+成立；（2）证明：由诱导公式可知，()sin cos 2παβαβ⎛⎫-=-+-⎪⎝⎭. 而cos cos 22ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 22ππαβαβ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin cos cos sin αβαβ=-+，故[]sin()sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβ-=--+=-.即证结论.【点睛】本题解题关键在于构造向量，综合运用数量积的定义法运算和坐标运算，即突破难点. 26．（1）T π=，7[,],1212++∈k k k Z ππππ；（2）3π. 【分析】（1）先利用三角恒等变换，将函数转化为()2sin(2)3f x x π=+，再利用正弦函数的性质求解.（2）根据函数()f x 的图象关于点(,)m n 对称，令2()3m k k Z ππ+=∈求解. 【详解】（1）2()[2sin()sin ]cos 3=++f x x x x x π2(sin sin )cos =++-x x x x x2(2sin )cos =+x x x x222sin cos sin )x x x x =+-sin 222sin(2)3x x x π==+， T π=， 由3222232k x k πππππ+≤+≤+， 解得71212k x k ππππ+≤≤+， 则()f x 的单调递减区间是7[,],1212++∈k k k Z ππππ. （2）2()3+=∈m k k Z ππ，,26∴=-∈k m k Z ππ 又0m >m ∴的最小值为3π. 【点睛】 方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．。

人教版高二第三章三角恒等变换单元测试精选（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．函数f (x )=sin 2π4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+cos 2π-4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-1是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数【来源】人教A 版2018-2019学年高中数学必修4第三章三角恒等变换测评 【答案】A 2．已知sin 51π-124θ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则cos π26θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=( ) A ．-78 B ．-1516C ．-12D ．78【来源】人教A 版2018-2019学年高中数学必修4第三章三角恒等变换测评 【答案】A3．若cos 23πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则()cos 2πα-= （ ） A ．59 B ．59-C ．29D ．29-【来源】河南省天一大联考2017届高三阶段性测试（四)（卷) 数学（理)试题 【答案】B 4．函数f (x )=12-cos 2π-4x ⎛⎫⎪⎝⎭的单调增区间是( ) A ．ππ2π-,2π22k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦,k ∈Z B ．π3π2π,2π22k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈Z C ．π3ππ,π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈ZD ．πππ-,π44k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦,k ∈Z 【来源】人教A 版2018-2019学年高中数学必修4第三章三角恒等变换测评 【答案】C5．2sin 50?1sin10?+的值等于( )A ．12B ．14C ．1D ．2【来源】人教A 版2018-2019学年高中数学必修4第三章三角恒等变换测评 【答案】A6．三角函数f (x )=sin π-26x ⎛⎫⎪⎝⎭+cos 2x 的振幅和最小正周期分别是( )A ．π2 BC π2D ,π【来源】人教A 版2018-2019学年高中数学必修4第三章三角恒等变换测评 【答案】D 7．函数f (x )=1-2sin 22x的最小正周期为( ) A ．2πB ．πC ．π2D ．4π【来源】人教A 版2018-2019学年高中数学必修4第三章三角恒等变换测评 【答案】A8．已知sin 2(α+γ)=n sin 2β,则tan()tan(-)αβγαβγ+++=( )A ．-11n n + B ．1n n + C ．-1n n D ．1-1n n + 【来源】人教A 版2018-2019学年高中数学必修4第三章三角恒等变换测评 【答案】D9．2sin y x =是( ) A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为2π的奇函数【来源】甘肃省威武市第十八中学人教版高二数学必修四：第三章单元检测题 【答案】A10．要得到sin 2cos2y x x =+的图像，只需将函数2y x =的图像( )A ．向左平移4π B ．向右平移4π C ．向左平移8π D ．向右平移8π 【来源】甘肃省威武市第十八中学人教版高二数学必修四：第三章单元检测题 【答案】C11．sin15︒=( )A ．B C D 【来源】甘肃省威武市第十八中学人教版高二数学必修四：第三章单元检测题 【答案】C12．不等式sin cos 1,(0,2)x x x π->∈的解集为( ) A ．(0,)2πB ．(,)2ππ C ．3(,)2ππ D ．3(,2)2ππ 【来源】甘肃省威武市第十八中学人教版高二数学必修四：第三章单元检测题 【答案】B13．函数()sin cos f x x x =-的最大值为（ ）A ．1BC D ．2【来源】辽宁省辽河油田第二高级中学高一下学期数学单元测试：必修四 1.2三角函数 【答案】B14．在△ABC 中，若2A B =，则a 等于（ ） A ．2sin b AB ．2cos b AC ．2sin b BD ．2cos b B【来源】广东省揭阳市第三中学2017-2018学年高二上学期数学试题1（必修5第一章) 【答案】D15．若θ∈[4π，2π]，sin2θ＝8，则cos θ＝ ( ) A ．35 B ．－45C ．4D ．34【来源】2017秋人教A 版高中数学必修四：学业质量标准检测3 【答案】C16．21sin 352sin 20-o o的值为（ ）A ．12 B ．12-C ．1-D ．1【来源】2011届吉林省东北师大附中高三第三次摸底考试文科数学卷 【答案】B17．函数()sin ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是（ ） A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ-- C ．[,0]3π-D ．[,0]6π-【来源】山东省莱州市第一中学高一数学必修2综合测试题 【答案】D18．在△ABC 中，已知a ＝2bcosC ，那么△ABC 的内角B 、C 之间的关系是( ) A ．B>C B ．B ＝C C ．B<CD ．关系不确定【来源】高中数学人教A 版必修5第一章《解三角形》单元检测题-高中数学单元检测题 【答案】B19．若tan 2tan5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（重庆卷带解析) 【答案】C 20．将函数f (x )＝12sin2x sin 3π＋cos 2x cos 3π－12sin(2π＋3π)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数g (x )在[0，4π]上的最大值和最小值分别为 ( ) A ．12，－12 B ．14，－14 C ．12，－14D ．14，12【来源】2017秋人教A 版高中数学必修四：学业质量标准检测3【答案】C21．已知点P (cos α，sin α)，Q (cos β，sin β)，则PQ u u u r的最大值是 ( )A ．B ．2C ．4D ．2【来源】2017秋人教A 版高中数学必修四：学业质量标准检测3 【答案】B 22．y ＝sin(2x-3π)－sin2x 的一个单调递增区间是( ) A ．,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．513,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【来源】云南省昆明八中2016-2017学年高一下学期第二次月考数学试题 【答案】B23．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则2tan tan αβ⎛⎫⎪⎭等于 ( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5【来源】2017秋人教A 版高中数学必修四：学业质量标准检测3 【答案】C24．若tan ?tan 3αβ=，且3sin ?sin 5αβ=，则()cos αβ-的值为（ ） A ．25-B ．25C ．45D ．1【来源】湖南省2017年普通高等学校招生全国统一考试考前演练卷（三)理科试题 【答案】C25．A 为△ABC 的内角，且3sin25A =-，则cos 4A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．CD ． 【来源】2011届江西省莲塘一中高三习题精编文科数学单元练习（2) 【答案】B26 ） A ．sin3cos3-B ．cos3sin3-C ．()sin3cos3±-D ．以上都不对【来源】2011届江西省莲塘一中高三习题精编文科数学单元练习（2) 【答案】A27．若()cos 1,6m m πα⎛⎫-=≤ ⎪⎝⎭则2sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．m -B ．2m- C ．2m D ．m 【来源】2011届江西省莲塘一中高三习题精编文科数学单元练习（2) 【答案】D二、填空题28．若函数f (x )=sin x+b cos x 在x=π3处取得最大值,则f (x )在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值等于_____.【来源】人教A 版2018-2019学年高中数学必修4第三章三角恒等变换测评 【答案】229．化简2222tan(45?-)sin cos ·1-tan (45?-)cos -sin αααααα=_____. 【来源】人教A 版2018-2019学年高中数学必修4第三章三角恒等变换测评 【答案】1230．在△ABC 中，∠C ＝60°，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、.C 的对边，则a b b c a c+++＝________．【来源】甘肃省武威市第十八中学2017-2018学年高一人教版高中数学必修五单元测试：第一章解三角形 【答案】131．已知A ，B ，C 皆为锐角，且tan A ＝1，tan B ＝2，tan C ＝3，则A ＋B ＋C 的值为____. 【来源】2017秋人教A 版高中数学必修四：学业质量标准检测3 【答案】π32．给出下列四个命题：①函数y ＝2sin(2x －3π)的一条对称轴是x ＝512π； ②函数y ＝tan x 的图象关于点(2π，0)对称； ③正弦函数在第一象限内为增函数； ④存在实数α，使sin α＋cos α＝32. 以上四个命题中正确的有____(填写正确命题前面的序号). 【来源】2017秋人教A 版高中数学必修四：学业质量标准检测3 【答案】①② 33．化简()()2222tan 45sin cos ·1tan 45cos sin αααααα︒--︒--＝__.【来源】2017秋人教A 版高中数学必修四：学业质量标准检测3 【答案】1234．已知α∈(2π，π)，且sin α＝35，则sin 22α＋sin 4cos 21cos 4ααα+的值为__.【来源】2017秋人教A 版高中数学必修四：学业质量标准检测3 【答案】350-35．设α 为第四象限角，且sin3sin αα＝135，则 2tan ＝α ________. 【来源】陕西省黄陵中学2017-2018学年高二（重点班)上学期开学考试数学试题 【答案】－3436．若cos2cos 0θθ+=，则sin 2sin θθ+的值为 ． 【来源】2011届江西省莲塘一中高三习题精编文科数学单元练习（2)【答案】0或37．化简____________.=【来源】2011届江西省莲塘一中高三习题精编文科数学单元练习（2) 【答案】cos44sin -38．23-sin 70=_________.2-cos 10。