人教A版高中数学必修四《第三章三角恒等变换》单元测试题

数学必修4 单元测试题(两角差的余弦公式,两角和与差的正弦、余弦、正切公式)A 组一、选择题:共6小题1、(易)tan 2tan 3αβ==,则tan()αβ-=( )A.7-B.15 C.15- D.17-2、(易)设(0,)2απ∈,若3sin 5α=,)4απ+=( )A.15B.75C.75-D.15- 3、(易)sin110sin 40cos 40cos70+等于( )A.12-12 D.4、(中)0000(1tan 21)(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)++++的值等于( ) A.16 B.8 C.4 D.25、(中)1sin10sin80-的值是( )A.1B.2C.4D.146、(中)sin1212ππ的值是( )2D.-12二、填空题:共3小题7、(易)已知3sin 5α=-,α是第四象限角,则sin 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭=____________. 8、(中)若tan()24πα+=,则212sin cos cos ααα=+____________.9、(中)0tan 20tan 4020tan 40+=_____________. 三、解答题:共2小题10、(中)化简:()()1sin cos sin 2sin 2αβααββ+-+-⎡⎤⎣⎦.11、(中)已知44απ3π<<,0＜β＜4π,cos(4π+α)=－53,sin(43π+β)=135,求sin(αβ+)的值.B 组一、选择题:共6小题1、(易)sin(27)cos(18)sin(18)cos(27)x x x x +-+-+ =( )A.12 B.12- C.- 2、(中)tan 20tan(50)1tan 20tan 50--=-( )A.-3、(中)2cos10sin 20cos 20-的值是 ( )124、(中)已知11tan(),tan 34αββ+==则tan α的值为( ) A.112 B.113 C.713 D.12135、(难)如果sin()2009sin()2010αβαβ-=+,则=βαtan tan ( )A.14019 B.14019- C.4019 D.4019-6、(难)已知A.B 均为钝角,sin A =,sin B =则A+B 的值为( ) A.74π B.54π C.34π D.4π二、填空题:共3小题 7、(中)︒+︒︒-︒15cos 15sin 15cos 15sin =_______8、(中)函数22sincos()336x x y π=++的图象中相邻两对称轴的距离是 .9、(中)若,22sin sin =+βα则βαcos cos +的取值范围. . 三、解答题:共2小题10、(中)化简:［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］·︒80sin 22.11、(难)已知tan tan αβ，是一元二次方程22(42)230mx m x m +-+-=的两个不等实根,求函数2()53tan()4f m m m αβ=+++的值域.C 组解答题:共2小题1、(难)已知非零常数a 、b 满足5πsin 5πcos 5πcos5πsin b a b a -+=tan 15π8,求a b . 2、(较难)已知sin sin sin 0,cos cos cos 0.αβγαβγ++=++=(1)求cos()αβ-的值; (2)若,,[0,3αβγ4π∈],求sin()αβγ++的值.参考答案 A 组1.D tan tan 23tan()1tan tan 123αβαβαβ---==++⨯=17-2.A ∵(0,)2απ∈,3sin 5α=,∴4cos 5α=, 原式cos sin sin )44ααππ-=431cos sin 555αα-=-=3.B 原式cos40cos70sin 40sin(18070)=+-cos 40cos70sin 40sin 70=+=cos(4070)cos(30)-=-=4.C 0000(1tan 21)(1tan 24)2,(1tan 22)(1tan 23)2++=++=,更一般的结论 045,(1tan )(1tan )2αβαβ+=++=,5.C 原式=cos10sin10cos10 =()2sin 301041sin 202-=6.B 原式=12sin21212⎛⎫ππ- ⎪⎝⎭=2sin 2sin 1234πππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭由3sin 5α=-,α是第四象限角,得4cos 5α==,于是有sin sin cos cos sin 444ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭πππ4355⎛⎫=- ⎪⎝⎭=8.23 由1tan tan()241tan αααπ++==-,得1tan 3α= ∴212sin cos cos ααα=+2222sin cos tan 122sin cos cos 2tan 13ααααααα++==++∵0000tan 20tan 40tan 60tan(2040)1tan 20tan 40+=+==-000020tan 40tan 20tan 40=+,即原式10.解:()()1sin cos sin 2sin 2αβααββ+-+-⎡⎤⎣⎦ = ()()()1sin cos sin sin 2αβααβααβα+-++-+-⎡⎤⎣⎦= ()()()()()1sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin 2αβααβααβααβααβα+-+++-+++⎡⎤⎣⎦ =()()sin cos cos sin αβααβα+-+=()sin αβα+-=sin β 11.解:∵4π＜α＜4π3, ∴2π＜4π+α＜π.又cos(4π+α)=－53, ∴sin(4π+α)=54.又∵0＜β＜4π, ∴4π3＜4π3+β＜π.又sin(4π3+β)=135, ∴cos(4π3+β)=－1312,∴sin(α+β)=－sin ［π+(α+β)］=－sin ［(4π+α)+(4π3+β)］=－［sin(4π+α)cos(4π3+β)+cos(4π+α)sin(4π3+β)］=－［54×(－1312)－53×135］=6563.B 组1.D 原式=sin(2718)sin 45x x ++-==2.B 原式=tan 20tan 50111tan 50tan 20tan(5020)tan 30+===--3.A 2cos10sin 20cos 20- =2cos 3020sin 20cos 20--（）4.B []tan()tan tan tan ()1tan()tan αββααββαββ+-=+-=++⋅=1135.C 可得2010sin cos 2010cos sin 2009sin cos 2009cos sin αβαβαβαβ-=+, ∴sin cos 4019cos sin αβαβ=,得tan 4019tan αβ=,∴tan 4019tan αβ=.6.A,,cos 22A B A B ππ<<π<<π∴==cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-=(5105102---=又724A B A B ππ<+<π∴+=7.－33把原式分子、分母同除以cos15°,有 ︒+︒︒-︒15cos 15sin 15cos 15sin =115tan 115tan +︒-︒=145tan 15tan 45tan 15tan +︒︒︒-︒=tan(15°－45°)=tan(－30°)=－33. 8.32π 22222sincos cos sin sin cos cos sin sin 336363636x x x x x y ππππ=+-=+ 22cos(),3362/3x T ππ=-==π,相邻两对称轴的距离是周期的一半9.22t -≤≤ 令cos cos t αβ+=, 则2221(sin sin )(cos cos ),2t αβαβ+++=+221322cos(),2cos()22t t αβαβ+-=+-=-2231722,,222t t t -≤-≤-≤≤≤≤10.解:原式=［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］·︒80sin 22=［2sin50°+sin10°(1+3︒︒10cos 10sin )］·︒10cos 22=［2sin50°+sin10°(︒︒+︒10cos 10sin 310cos )］·︒10cos 22=(2sin50°+2sin10°·︒︒10cos 50cos )·2cos10°=22(sin50°cos10°+sin10°·cos50°) =22sin60°=6. 11.解:由已知,有12tan tan m m αβ-+=,23tan tan 2m mαβ-=·, 24tan()3m αβ-∴+=. 又由0∆>,知10(0)2m ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭ ，，∞, 2224()534(1)33mf m m m m -∴=++=++·. 当10(0)2m ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭，，∞时()f m 在两个区间上都为单调递增, 故所求值域为134(4)4⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，∞.C 组1.分析:这道题看起来复杂,但是只要能从式子中整理出a b ,用15π8、5π的三角函数表示出来,再利用两角和与差的正、余弦公式计算即可.解:由于5πsin 5πcos 5πcos 5πsin 5πsin 5πcos 5πcos 5πsina b a b b a b a -+=-+,则15π8tan 5πsin 5πcos 5πcos 5πsin =-+a b a b . 整理,有)5π15π8cos()5π15π8sin(5πsin 15π8sin 5πcos 15π8cos 5πsin 15π8cos 5πcos 15π8sin--=+-=a b =tan 3π=3. 2.解:(1)sin sin sin ,cos cos cos ,αβγαβγ+=-+=-22(sin sin )(cos cos )1,αβαβ+++=22cos()1,αβ+-=∴1cos()2αβ-=-.(2)由(1)同理得11cos(),cos()22βγαγ-=--=-,∵,,[0,3αβγ4π∈],由对称性,不防设03αβγ4π≥>>≥, 则03αβ4π<-<,03βγ4π<-<,03αγ4π<-≤,又由(1)知3αβ2π-=,3βγ2π-=,3αγ4π-=,若0γ>,则33αγ4π4π=+>矛盾！∴0γ=,有3β2π=,3α4π=,∴sin()sin 2αβγ++=π=0.。

三角恒等变换》单元测试题必修④第三章《三角恒等变换》本单元测试题共包含12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、已知cosα=−312π，α∈[π,π]，sinβ=−2513，β是第三象限角，则cos(β−α)的值是（）A、−xxxxxxxxB、无解C、无解D、−xxxxxxxx解析：1、由题意得sinα=−35π，又sinβ=−2513，β∈Ⅲ。

cosα=−4/5，∴cosβ=−3/52、∵cosα=−4/5，∴sinα=−3/5。

又cos(α+β)=−1。

sin(α+β)=−24/5π。

sinβ=sin[(α+β)−α]。

sin(β−α)=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=−xxxxxxxx2、已知α和β都是锐角，且sinα=54，cos(α+β)=−135，求sinβ的值。

A、xxxxxxxxB、无解C、无解D、xxxxxxxx解析：依题意，∵sinα=54，∴cosα=√21/4。

又cos(α+β)=−135。

sin(α+β)=−35π。

sinβ=sin[(α+β)−α]。

sinβ=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=xxxxxxxx3、已知x∈[2kπ−3π4,2kπ+3π4]（k∈Z），且cos(−x)=−，则cos2x的值是（）A、−B、−xxxxxxxxC、无解D、无解解析：x∈[2kπ−3π4,2kπ+3π4]。

cosx−sinx>0。

即sin(−x)=−sinx=cosx<0。

sin(−x)∈(−1,0]。

x∈[2kπ−π2,2kπ]。

x∈[2kπ,2kπ+π2]。

cos2x=2cos2x−1=2cos2(x/2)−1=2cos2(−x/2)−1=2sin2(−x/2)−1=−4、设cos(x+y)sinx−sin(x+y)cosx=12，且y是第四象限角，则y的值是（）A、±2332B、±1212C、无解D、无解解析：由cos(x+y)sinx−sin(x+y)cosx=0得sin(x−y)=−cos(x+y)。

第三章三角恒等变换综合检测题本试卷分第I 卷选择题和第U 卷非选择题两部分，满分150分，时间120 分钟。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的 ）n 3 41 .已知 0v av 2v 3<n 又 sin a= 5, cos （a+ ®= — 5,贝V sin （）B . 0 或 2424 C.25 24 D . ±25 ［答案］Cn 3 4［解析］•/ 0v av 2 v 3v n 且 sin a= 5, COS ( a+ 3 = — 54 n3 3• cos a= 5 , 2< a+ 3v ㊁ n, • sin( a+ 3 = ±5,=sin( a+ 3cos a — cos( a+ 3)sin a才< 3v n ••• sin 3> 0•故排除 A , B , D.4 3 4⑵由 cos( a+ 3)= — 5及 Sin a= 3可得 sin 3= §(1 + cos 3)代入 sin 2 3+ cos 2 3= 1 中可解得 cos37 n=—1或一25,再结合2<仟n 可求sin 32.若sin Bv 0, cos2 0v 0，则在（0,2 内）B 的取值范围是（）3 n3=0.sin3=- 5x 4-又氏才，n j, • sin 3> 0，故 sin 3= 24当 sin( a+ 3 =,sin 3= sin ［( a+ a［点评］（1）可用排除法求解，T=器53 245 = 25；A . n< 0< 25 nB.5T <e< ¥3 nC.y <e< 2 nD.严< 0<孕4 4［答案］B［解析］2 2 2•/ cos2 e< 0, • 1 —2sin < 0，即sin e>2或sin < —"2，又已知sin < 0, •— 1 < sin e<—亠2,2由正弦曲线得满足条件的e取值为54n<e< ¥3. 函数y= sin2x+ cos2x的图象，可由函数y= sin2x —cos2x的图象（）A .向左平移f个单位得到B .向右平移f个单位得到8c.向左平移n个单位得到4D .向右平移4个单位得到［答案］C［解析］y= sin2x+ cos2x= , 2sin（2x+J=2si n2(x +》_ n _ ny= sin2x—cos2x= 2sin(2x—4)= . 2sin2(x—§)n n n其中x+8=(x+ 4)—8n•••将y= sin2x—cos2x的图象向左平移：个单位可得y= sin2x+ cos2x的图象.44. 下列各式中，值为~2的是()A . 2sin 15 cos15 °2 2B. cos 15。

第三章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin105°cos105°的值为( ) A.14 B ．－14C.34D ．－34解析 原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－14.答案 B2．若sin2α＝14，π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( )A.32B ．－32C.34D ．－34解析 (cos α－sin α)2＝1－sin2α＝1－14＝34.又π4<α<π2， ∴cos α<sin α，cos α－sin α＝－34＝－32. 答案 B3．sin15°sin30°sin75°的值等于( ) A.14 B.34 C.18D.38解析 sin15°sin30°sin75° ＝sin15°cos15°sin30° ＝12sin30°sin30°＝12×12×12＝18. 答案 C4．在△ABC 中，∠A ＝15°，则 3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A. 2 B.22C.32D. 2解析 在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π， 3sin A －cos(B ＋C ) ＝3sin A ＋cos A ＝2(32sin A ＋12cos A ) ＝2cos(60°－A )＝2cos45°＝ 2. 答案 A5．已知tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ等于( )A ．－65B ．－45C.45D.65解析 原式＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝65.答案 D6．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析 ∵sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B ，或∠A ＋∠B ＝π2.答案 D 7．设a ＝22(sin17°＋cos17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则( ) A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c 解析 a ＝22sin17°＋22cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°，b ＝2cos 213°－1＝cos26°，c ＝32＝cos30°， ∵y ＝cos x 在(0,90°)内是减函数， ∴cos26°>cos28°>cos30°，即b >a >c . 答案 A8．三角形ABC 中，若∠C >90°，则tan A ·tan B 与1的大小关系为( ) A ．tan A ·tan B >1 B. tan A ·tan B <1 C ．tan A ·tan B ＝1D ．不能确定解析 在三角形ABC 中，∵∠C >90°，∴∠A ，∠B 分别都为锐角． 则有tan A >0，tan B >0，tan C <0. 又∵∠C ＝π－(∠A ＋∠B )，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A ·tan B <0，易知1－tan A ·tan B >0， 即tan A ·tan B <1. 答案 B9．函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数解析 f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝sin2x . 答案 A10．y ＝cos x (cos x ＋sin x )的值域是( ) A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋22，2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22D.⎣⎡⎦⎤－12，32 解析 y ＝cos 2x ＋cos x sin x ＝1＋cos2x 2＋12sin2x＝12＋22⎝⎛⎭⎫22sin2x ＋22cos2x ＝12＋22sin(2x ＋π4)．∵x ∈R ， ∴当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝1时，y 有最大值1＋22； 当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－1时，y 有最小值1－22. ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22.答案 C11．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为( )A.335 B.45 C ．±35D ．±45解析 由sin(π－θ)＝2425，得sin θ＝2425.∵θ为第二象限的角，∴cos θ＝－725.∴cos θ2＝±1＋cos θ2＝± 1－7252＝±35. 答案 C12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，则cos α的值为( )A.5665 B.1665C.5665或1665D ．以上都不对解析 ∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝1213>0，∴0<α＋β<π2，sin(α＋β)＝513.∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝35>0，∴0<2α＋β<π2，sin(2α＋β)＝45.∴cos α＝cos [(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 13．若1＋tan α1－tan α＝2012，则1cos2α＋tan2α＝______.解析1cos2α＋tan2α＝1＋sin2αcos2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝tan 2α＋1＋2tan α1－tan 2α＝(tan α＋1)21－tan 2α＝1＋tan α1－tan α＝2012.答案 201214．已知cos2α＝13，则sin 4α＋cos 4α＝________.解 ∵cos2α＝13，∴sin 22α＝89.∴sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α ＝1－12sin 22α＝1－12×89＝59.答案 5915.sin (α＋30°)＋cos (α＋60°)2cos α＝________.解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sin αcos30°＋cos αsin30°＋cos αcos60°－sin αsin60°＝cos α，∴原式＝cos α2cos α＝12.答案 1216．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)，则下列命题：①y ＝f (x )的最大值为2； ②y ＝f (x )最小正周期是π；③y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos2x 的图像向右平移π24个单位后，将与已知函数的图像重合．其中正确命题的序号是________． 解析 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝2·⎣⎡⎦⎤22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋π4 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12， ∴y ＝f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确．又当x ∈⎣⎡⎦⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤π24，13π24上是减函数，故③正确． 由④得y ＝2cos2⎝⎛⎭⎫x －π24＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12，故④正确． 答案 ①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos α－23，－1，n ＝(sin x,1)，m 与n 为共线向量，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0.(1)求sin α＋cos α的值； (2)求sin2αsin α－cos α的值．解 (1)∵m 与n 为共线向量， ∴⎝⎛⎭⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0， 即sin α＋cos α＝23. (2)∵1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2＝29，∴sin2α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－sin2α＝169. 又∵α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，∴sin α－cos α<0. ∴sin α－cos α＝－43.∴sin2αsin α－cos α＝712. 18．(12分)求证：2－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 4α－sin 4α＝1＋tan α1－tan α. 证明 左边＝2－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α) ＝2－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α－sin 2α ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2cos 2α－sin 2α＝1＋sin2αcos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α. ∴原等式成立．19．(12分)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值． 解 (1)f ⎝⎛⎭⎫π3＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3 ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫322－4×12 ＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－73， ∵x ∈R ，cos x ∈[－1,1]，∴当cos x ＝－1时，f (x )有最大值6； 当cos x ＝23时，f (x )有最小值－73.20．(12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值． 解 (1)解法1：∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， ∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， 于是sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210.sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4sin π4 ＝7210×22＋210×22＝45. 解法2：由题设得22cos x ＋22sin x ＝210， 即cos x ＋sin x ＝15.又sin 2x ＋cos 2x ＝1， 从而25sin 2x －5sin x －12＝0， 解得sin x ＝45，或sin x ＝－35，因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以sin x ＝45. (2)∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，故 cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425.cos2x ＝2cos 2x －1＝－725.∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350.21．(12分)已知函数 f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6所以f (x )的最小正周期为π.(2)－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3，当2x ＋π6＝π2时，即x ＝π6，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6时，即x ＝－π6，f (x )取得最小值－1.22．(12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.解 (1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4＋π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45.两式相加，得2cos βcos α＝0， ∵0<α<β≤π2，∴β＝π2.∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.。

数学人教A 必修4第三章 三角恒等变换单元检测(时间：45分钟，满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题6分，共48分) 1．化简22ππcos sin 44αα⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到( ) A ．sin 2α B ．－sin 2αC ．cos 2αD ．－cos 2α 2．已知cos θ＝13，θ∈(0，π)，则3cos π22θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝( )A ．9-B ．79-C ．9D ．793．已知tan α＝12，tan(α－β)＝25-，那么tan(β－2α)的值为( )A ．34-B ．112- C ．98- D ．984．已知函数f (x )ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z B ．5π11ππ+,π+1212k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k ∈Z C ．πππ,π+36k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k ∈ZD ．π2ππ+,π+63k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 5．2cos10sin 20sin 70︒-︒︒的值是( )A ．12B ．2CD 6．22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα⋅+等于( )A ．tan αB ．tan 2αC ．1D ．127．已知等腰三角形顶角的余弦值等于45，则这个三角形底角的正弦值为( )A B ．C D ．8．已知(sin x －2cos x )(3＋2sin x ＋2cos x )＝0，则2sin 22cos 1tan x xx++的值为( )A ．85 B ．58 C ．25 D ．52二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．已知α，β为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________． 10．已知0＜x ＜π2，化简：2lg cos tan 12sin 2x x x ⎛⎫⋅+- ⎪⎝⎭＋πlg 4x ⎤⎛⎫- ⎪⎥⎝⎭⎦－lg(1＋sin 2x )＝________．11．设函数f (x )＝2cos 2x x ＋a ，已知当x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，f (x )的最小值为－2，则a ＝________．三、解答题(本大题共3小题，共34分)12．(10分)已知 3π5sin 413α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π3cos 45β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且ππ44α-<<，π3π44β<<，求cos 2(α－β)的值．13．(10分)已知πcos 4x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭x ∈π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭． (1)求sin x 的值； (2)求πsin 23x ⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 14．(14分)已知函数f (x )＝π3π2cos 2sin 32x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (1)求函数f (x )的单调减区间；(2)求函数f (x )的最大值并求f (x )取得最大值时的x 的取值集合； (3)若f (x )＝65，求πcos 23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．参考答案1答案：A解析：原式＝πcos 24α⎛⎫-⎪⎝⎭＝πcos22α⎛⎫-⎪⎝⎭＝sin 2α．2答案：C解析：3cosπ22θ⎛⎫⎪⎝⎭＋＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝123=．3答案：B解析：tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝1 12 -．4答案：C解析：f(x)ωx＋cos ωx＝π2sin6xω⎛⎫+⎪⎝⎭，由已知得周期T＝π．∴ω＝2，即f(x)＝π2sin26x⎛⎫+⎪⎝⎭．由ππ2π226k x-≤+(k∈Z)得ππππ36k x k-≤≤+(k∈Z)．5答案：C解析：原式＝2cos(3020)sin20sin70︒-︒-︒︒＝2(cos30cos20sin30sin20)sin20sin70︒⋅︒+︒⋅︒-︒︒=．6答案：B解析：原式＝22222 2sin2cos2sin cos2tan12cos1cos2cos sin1tanαααααααααα⋅⋅==+---＝tan2α．7答案：C解析：设等腰三角形的底角为π2αα⎛⎫<<⎪⎝⎭，则其顶角为π－2α．由已知cos(π－2α)＝45，∴cos 2α＝45-．故1－2sin2α＝45-，sin2α＝910．又0＜α＜π2，∴sin α．8答案：C解析：由已知条件知tan x＝2，原式＝22cos(sin cos)2cos(1tan)1tan1tanx x x x xx x++=++＝2cos2x＝2221tan5x=+．9答案：1解析：∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcosβ－cos αsin β．∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(sin β＋cos β)．∵β为锐角，∴sin β＋cos β≠0，∴cos α＝sin α，∴tan α＝1．10答案：0解析：原式＝lg(sin x＋cos x)＋lg(sin x＋cos x)－lg(sin x＋cos x)2＝0．11答案：－2解析：f(x)＝1＋cos 2x x＋a＝π2sin216x a⎛⎫+++⎪⎝⎭．∵x∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴ππ7π2,666x⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦．∴sπ1sin2,162x⎛⎫⎡⎤+∈-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴f (x )min ＝2×12⎛⎫-⎪⎝⎭＋a ＋1＝a ．∴a ＝－2． 13答案：解：∵ππ44α-<<，∴π3ππ24α<+<．∴312cos π413α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． ∵π3π44β<<，∴ππ024β-<-<．∴π4sin 45β⎛⎫-==-⎪⎝⎭．∴cos(α－β)＝3πcos π44αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ＝3π3π16sin πsin cos πcos 444465αβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅--+⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．∴cos 2(α－β)＝2cos 2(α－β)－1＝216371321=654225⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭． 13答案：解：(1)∵x ∈π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭，∴πππ,442x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∵πcos 410x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴πsin 410x ⎛⎫-=⎪⎝⎭． ∴sin x ＝ππsin 44x ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝ππππ4sin cos cos sin 44445x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(2)由(1)可得cos x ＝35-，∴sin 2x ＝2425-，cos 2x ＝725-，∴πsin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝πsin 2cos 3x ＋πcos 2sin 3x＝． 14答案：解：f (x )＝π2cos cos3x ＋π2sin sin 3x －2cos x＝cos x x －2cos x x －cos x＝π2sin 6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(1)令ππ32π2ππ262k x k +≤-≤+ (k ∈Z )，∴2k π＋2π3≤x ≤2k π＋5π3(k ∈Z )， ∴单调递减区间为2π5π2π,2π33k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )．(2)f (x )取最大值2时，ππ2π62x k -=+(k ∈Z )，则x ＝2k π＋2π3(k ∈Z )．∴f (x )的最大值是2，取得最大值时的x 的取值集合是2π2π,3x x k k ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭Z ．(3)f (x )＝65即π62sin 65x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴π3sin 65x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．∴2ππcos 212sin 36x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝＝23712525-⨯=．。

新课标高中数学人教版A 必修4章节素质测试题——第三章三角恒等变换（考试时间：120分钟满分：150分）姓名__________评价_________一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.以下给出的四个备选答案中,只有一个正确） 1.（11新课标理5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（）A ．45-B ．35-C ．35D ．452.（09陕西理5）若3sin cos 0αα+=，则21cos sin 2αα+的值为（）A.103B.53C.23D.2- 3.（12重庆理5）设tan ,tan αβ是议程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为（ ） Ａ．3-Ｂ．1-Ｃ．1Ｄ．34.（12辽宁理7）已知sin cos αα-=，α∈（0，π），则tan α=（）A.-1B.2-C.2D.1 5.（11福建文9）若)2,0(πα∈，且412cos sin 2=+αα，则αtan 的值等于（）A ．2B CD6.（10新课标理9）若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=-（） A.12-B.12C.2D.-27.（08宁夏理7）0203sin 702cos 10--=（）A.12B.2C.28.（12全国Ⅰ理7）已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos2α=（ ）A.3-B.9-939.（08宁夏文11）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（）A.－3，1B.－2，2C.－3，32D.－2，3210.（11辽宁理7）设sin 1+=43πθ（），则sin 2θ=（） A ．79- B ．19- C ．19 D ．7911.（08山东文10）已知354sin )6cos(=+-απα，则)67sin(πα+的值是（ ）A.5-B.5C.45-D.4512.（11浙江理6）若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()42πβ-=则cos()2βα+=（） A．3B．3-C．9D．9-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在对应题号后的横线上）13.（07江苏）若13cos(),cos()55αβαβ+=-=，则tan tan αβ=___________. 14.（10全国Ⅰ理14）已知α为第三象限的角，3cos 25α=-，则tan(2)4πα+=___________.15.（11重庆理14）已知1sin cos 2α=+α，且0,2π⎛⎫α∈ ⎪⎝⎭，则cos 2sin 4πα⎛⎫α- ⎪⎝⎭的值为__________. 16.（12江苏11）设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分，08江西文17）已知1tan 3α=-，cos ,5β=,(0,)αβπ∈ （Ⅰ）求tan()αβ+的值；（Ⅱ）求函数())cos()f x x x αβ=-++的最大值．18.（本题满分12分，07四川理18）已知1413)cos(,71cos =-=βαα，且20παβ<<<. （Ⅰ）求α2tan 的值；（Ⅱ）求β.19.（本题满分12分，11广东理16）已知函数1()2sin(),.36f x x x R π=-∈（Ⅰ）求5()4f π的值； （Ⅱ）设，，，，、56)23(1310)23(20=+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πβπαπβαf f 求cos()αβ+的值.20.（本题满分12分，08江苏15）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B的横坐标分别为10． （Ⅰ）求)tan(βα+的值；（Ⅱ）求2αβ+的值．21.（本题满分12分，11四川文18）已知函数73()sin()cos()44f x x x ππ=++-，x ∈R ． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知4cos()5βα-=，4cos()5βα+=-，02παβ<<≤．求证：2[()]20f β-=．22.（本小题满分12分，12湖北文18）设函数)(cos cos sin 32sin )(22R x x x x x x f ∈+-+=λωωωω的图像关于直线π=x 对称，其中λω，为常数，且).1,21(∈ω （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）若)(x f y =的图像经过点(,0)4p ，求函数)(x f 的值域.新课标高中数学人教版A 必修4章节素质测试题——第三章三角恒等变换（参考答案）一、选择题答题卡：二、填空题13. 2 ．14.71-,15．214-.16.50.三、解答题17.解：（Ⅰ）.2cos sin tan ,552cos 1sin ),,0(,55cos 2===-=∴∈=βββββπββΘ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+∴.12311231=⨯++-=（Ⅱ）.101tan cos sin ,103tan 11cos ),,0(,31tan 2==-=+-=∴∈-=αααααπααΘ从而())cos()f x x x αβ=-++.sin 5sin 52cos 51cos 51sin 53sin sin cos cos )sin cos cos (sin 2x xx x x x x x x -=-+--=-+-=ββαα 1sin -=∴x 时，.5)(max =x f18.解：（Ⅰ）由1cos 7α=，π02α<<，得sin α===∴sin 7tan cos 71ααα==⨯=于是22tan tan 21tan 47ααα===--． （Ⅱ）由π02βα<<<，得02παβ<-<． 又∵13cos()14αβ-=，∴sin()14αβ-===． 由()βααβ=--，得 cos cos[()]βααβ=--cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-11317142=⨯+=∴π3β=． 19.解：（Ⅰ）55()2sin()2sin 41264f ππππ=-==.（Ⅱ）1310sin 2]6)23(31sin[2)23(==-+=+αππαπαf ，5sin 13α∴=， 又[0,]2πα∈，12cos 13α∴=. 56cos 2)2sin(2]6)23(31sin[2)23(==+=-+=+βπβππβπβf ，3cos 5β∴=，又[0,]2πβ∈，4sin 5β∴=， 所以16cos()cos cos sin sin 65αβαβαβ+=-=. 20.解：由已知条件及三角函数的定义可知，cos αβ==. 因为α,β为锐角，所以.55cos 1sin ,1027cos 1in 22=-==-=ββααs 因此.21cos sin tan ,7cos sin tan ====βββααα （Ⅰ）.32171217tan tan 1tan tan )(tan -=⨯-+=-+=+βαβαβα （Ⅱ）解法一：ββαββαβαtan )tan(1tan )tan()2(tan +-++=+.121)3(1213-=⨯--+-=.432πβα=+∴解法二：因为22tan 4tan 21tan 3βββ==-，所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==--..432πβα=+∴21.解：（Ⅰ）7733()sin coscos sin cos cos sin sin4444f x x x x x ππππ=+++x x2sin()4x π=-，∴()f x 的最小正周期2T π=，最小值min ()2f x =-．（Ⅱ）证明：由已知得4cos cos sin sin 5αβαβ+=，4cos cos sin sin 5αβαβ-=-两式相加得2cos cos 0αβ=.∵02παβ<<≤，∴cos 0β=，则2πβ=．∴22[()]24sin 204f πβ-=-=．22.解：（Ⅰ）)(cos cos sin 32sin )(22R x x x x x x f ∈+-+=λωωωωλπωλπωπωλωωλωωλωωωω+-=+-=+-=+-=+--⋅=)62sin(2)6sin 2cos 6cos2(sin 2)2cos 212sin 23(22cos 2sin 3)sin (cos cos sin 2322x x x x x x x x x x x.)62sin(2)(λπω+-=∴x x f根据题意得，1)62sin(1)62sin(-=-=-πωππωπ，或， .262Z k k ∈+=-∴，πππωπ即.231Z k k∈+=，ω.65)1,21(=∴∈ωω，Θ这时.)635sin(2)(λπ+-=x x f故函数)(x f 的最小正周期为.56352ππ=÷=T（Ⅱ）由0)4(=πf 得.24sin 20)6435sin(2-=-=∴=+-⨯πλλππ，.2)635sin(2)(--=∴πx x f当1)635sin(-=-πx 时，22)(min --=x f ；当1)635sin(=-πx 时，22)(max -=x f ； 故函数)(x f 的值域为[].2222---，。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015.4必修4 第三章 三角恒等变换(1)一、选择题:1.cos 24cos36cos66cos54︒︒︒︒-的值为 ( ）A 0 B12 C 32 D 12-2.3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ）A 3365-B 6365C 5665D 1665- 3.设1tan 2,1tan x x +=-则sin 2x 的值是 ( )A 35B 34-C 34D 1- 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为 （ ）A 47-B 47C 18D 18-5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则βsin 的值是 （ ）A 3365B 1665C 5665D 63656. )4,43(ππ-∈x 且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭则cos2x 的值是 （ ）A 725-B 2425-C 2425D 7257.在3sin cos 23x x a +=-中，a 的取值域范围是 ( )A 2521≤≤aB 21≤aC 25>aD 2125-≤≤-a 8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为 （ ）A 1010B 1010-C 10103D 10103-9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-=的图像 （ ）A 、向右平移6π个单位 B 、向右平移12π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向左平移12π个单位10. 函数sin 3cos 22x xy =+的图像的一条对称轴方程是 （ ）A 、x =113πB 、x =53πC 、53x π=-D 、3x π=-11.若x 是一个三角形的最小内角，则函数sin cos y x x =-的值域是 ( )A [2,2]-B 31(1,]2-- C 31[1,]2-- D 31(1,)2-- 12.在ABC ∆中，tan tan 33tan tan A B A B ++=，则C 等于 ( )A3π B 23π C 6π D 4π二、填空题:13.若βαtan ,tan 是方程04332=++x x 的两根，且),2,2(,ππβα-∈则βα+等于14. .在ABC ∆中，已知tanA ,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C = 15. 已知tan 2x =，则3sin 22cos 2cos 23sin 2x xx x+-的值为16. 关于函数()cos223sin cos f x x x x =-，下列命题： ①若存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立；②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增； ③函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图像； ④将函数()f x 的图像向左平移512π个单位后将与2sin 2y x =的图像重合． 其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）三、解答题：17. 化简000020cos 1)]10tan 31(10sin 50sin 2[+++18. 求)212cos 4(12sin 312tan 30200--的值．19. 已知α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值.20.已知函数22sin sin 23cos y x x x =++，求 （1）函数的最小值及此时的x 的集合。

第三章《三角恒等变换》单元试卷一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地.1. 化简sin119︒sin181︒－sin91︒sin29︒等于 （ ）A.12B.12- C.32 D.32- 2. 若cos(α+β)=45，cos(α－β)=35-，则tan αtan β等于 ( )A.17-B.75-C.110D.7- 3.已知sin sin sin 0,cos cos cos 0αβγαβγ++=++=，则cos()βγ-地值是 （ ） Ａ．1Ｂ．－1Ｃ．12 Ｄ．12- 4. 若2π-≤x ≤2π，则()3sin cos f x x x=+地取值范围是（ ）Ａ．[2,2]- Ｂ．[2,3]- Ｃ．[3,2]-Ｄ．[3,3]-5.∆ABC 中，若Ｃ＞90o，则tan A tan B 与１地大小关系是 （ ） Ａ．tanAtanB＞１Ｂ．tanAtanB ＜１Ｃ．tanAtanB ＝１ D ．不能确定6. 如果函数sin 2cos 2y x a x =+地图象关于直线8x π=-对称，那么a 等于（ ）Ａ．2 Ｂ．1 Ｃ．2- Ｄ．－17. 已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ+cos θ能够取得地值是 （ ） A.43B.34 C.53D.128. 若04παβ<<<，sin α+cos α=a ，sin β+cos β=b ，则（ ）A.a <bB.a >bC.ab =1D.ab >2 9. 若sin α+cosα=62（0<α<4π），则α为（ ）A.512πB.12πC.56πD.6π10. ω为正实数，函数1()sin cos 222x x f x ωω=在[,]34ππ-上为增函数，则( )Ａ．0ω<≤32Ｂ．0ω<≤2 Ｃ．0ω<≤247 Ｄ．ω≥211. 已知cos 78o约等于0.20，那么sin 66o约等于( )Ａ．0.92 Ｂ．0.55Ｃ．0.88 Ｄ．0.9512. 设cos50cos127cos 40cos37a =+oooo，()2sin 56cos 562b =-o o，221tan 391tan39c -=+oo，()21cos802cos 5012d =-+oo ，则a ，b ，c ，d 地大小关系为（ ） Ａ．a b d c >>> Ｂ．b a d c >>>Ｃ．a c b d >>> Ｄ．c a b d >>> 二、填空题，本大题共6小题，每小题4分，满分24分，把正确地答案写在题中横线上. 13．已知α为锐角，且1sin cos 2αα=，则111sin 1cos αα+=++__________.14．若411sin 3,cos()714ααβ=+=-，若,αβ是锐角，则β=___________.15．函数sin(15)2cos(60)y x x =+++oo 地最大值________.16．若sin αcos β=12，则cos αsin β地取值范围是 . 17．化简：21sin 422cos 4+++地结果是 .18．已知sin cos y x x =+，给出以下四个命题： ① 若[]0,x π∈，则1,2y ⎡⎤∈⎣⎦；② 直线4x π=是函数sin cos y x x =+图象地一条对称轴； ③ 在区间5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上函数sin cos y x x =+是增函数；④ 函数sin cos y x x =+地图象可由2cos y x=地图象向右平移4π个单位而得到. 其中正确命题地序号为____________.三、解答题， 本大题共5小题，共66分，解答应写出必要地文字说明、证明过程和演算步骤. 19．（本题满分12分）求证：2sin()3cos()2sin()0333x x x πππ+--+-=.20．（本题满分12分）已知11tan(),tan 27αββ-==-，且,(0,),αβπ∈求2αβ-地值. 21．（本题满分14分）已知2sin cos 5sin 3cos θθθθ+=--，求下列各式地值:(1)sin cos sin cos θθθθ+-;(2)3cos24sin 2θθ+.22．（本题满分14分）在∆ABC 中，已知tan B cos()sin sin()C B A C B -=+-，试判断∆ABC 地形状。

必修4第三章《三角恒等变换》单元测试题命题人：余德勇 审题人： 总分： 考试时间：第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.) 1.下列命题中不正确．．．的是（ ）. A ．存在这样的α和β的值，使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+ B ．不存在无穷多个α和β的值，使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+ C ．对于任意的α和β，都有βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ D ．不存在这样的α和β值，使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(-≠+ 2.在△ABC 中，若B A B A cos cos sin sin <⋅，则△ABC 一定为（ ）. A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形3.44cossin 88ππ-等于（ ） A ．0B ．22C ．1D ．－22 4.︒⋅︒+︒+︒19tan 11tan 19tan 311tan 3的值是（ ）. A ．3B ．33 C ．0 D ．15.若)sin(32cos 3sin 3ϕ+=-x x x ，(,)ϕ∈-ππ，则ϕ等于（ ）.A ．－6π B ．6π C ．56π D ．56π-6.在△ABC 中，已知A tan ，B tan 是方程01832=-+x x 的两个根，则C tan 等于（ ）. A.4- B.2-C.2D.47.要得到函数2sin 2y x =的图象，只需要将函数3sin 2cos 2y x x =-的图象（ ）.DA.向右平移6π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移6π个单位 D.向左平移12π个单位8.48cos 78sin 24cos 6sin ⋅⋅⋅的值为（ ）.A ．161 B ．161-C ．321 D ．81 9.4cos 2sin 22+-的值等于（ ）.A ．2sinB ．2cos -C ．2cos 3D ．2cos 3-10.已知θ为第二象限角，225sin sin 240θθ+-=，则cos2θ的值为（ ）.A ．53-B ．53±C ．22 D ．54±11.设0)3cos )(sin sin cos 2(=++-x x x x ，则xxx tan 12sin cos 22++的值为（ ）.A ．58 B ．85 C ．52 D ．25 12.已知不等式()2632sincos 6cos 04442x x x f x m =+--≤对于任意的 566x ππ-≤≤恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）. A.3m ≥B.3m ≤C.3m ≤-D.33m -≤≤第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中的横线上.) 13.=︒-︒10cos 310sin 1 .14.已知βα,3(,)4π∈π，53)sin(-=+βα，12sin()413βπ-=，则cos()4απ+= . 15.化简)120cos(3)60sin(2)60sin(x x x -︒-︒-+︒+的结果是 . 16.已知31cos cos ,41sin sin =+=+βαβα，则)tan(βα+的值为 .三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17.（本小题满分10分）已知91)2cos(-=-βα，32)2sin(=-βα，0α<<π，02βπ<<，求)co s(βα+的值.18.（本小题满分12分）已知α为第二象限角，且415sin =α，求sin()4sin 2cos21αααπ+++的值.19．（本小题满分12分）（1）求值：oo o oo o 80cos 15cos 25sin 10sin 15sin 65sin －＋； （2）已知0cos 2sin =+θθ，求θθθ2cos 12sin 2cos +-的值.20.（本小题满分13分）已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图象经过点π132M ⎛⎫⎪⎝⎭，．（1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值． 21．（本小题满分13分）已知函数2()sin()sin()cos 2f x x x x π=π--+． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当3[,]88x ππ∈-时，求函数()f x 的单调区间.22.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为102，552.（1）求)tan(βα+的值； （2）求βα2+的值.第三章《三角恒等变换》测试题参考答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.)1.B 由两角差的余弦公式易知C ，D 正确，当0==βα时，A 成立，故选B.2.D 由B A B A cos cos sin sin <⋅得0)cos(>+B A ，即0)cos()](cos[cos <+-=+-=B A B A C π，故角C 为钝角. 3.B 4422222cossin (cos sin )(cos sin )cos 88888842πππππππ-=-+==. 4.D 原式3(tan11tan19)tan11tan19=︒+︒+︒⋅︒3tan 30(1tan11tan19)tan11tan19=︒-︒⋅︒+︒⋅︒119tan 11tan 19tan 11tan 1=︒⋅︒+︒⋅︒-=.5.A 313sin 3cos 23(sin cos )23sin()226x x x x x π-=-=-，故6ϕπ=-.6.C ∵38tan tan -=+B A ，31tan tan -=B A ，∴231138tan tan 1tan tan )tan()](tan[tan =+--=-+-=+-=+-=BA BA B A B A C π. 7.D 313sin 2cos22(sin 2cos2)2sin(2)2sin 2()22612y x x x x x x ππ=-=-=-=-. 8.A ︒︒︒︒=⋅⋅⋅48cos 24cos 12cos 6sin 48cos 78sin 24cos 6sin1616cos 1696sin 6cos 248cos 24cos 12cos 6sin 6cos 244=︒︒=︒︒︒︒︒︒=. 9.D22222sin 2cos4(1sin 2)(cos41)cos 22cos 2-+=-++=+3|cos2|3cos2==-.10.B 由225sin sin 240θθ+-=得2524sin =θ或1sin -=θ（∵θ为第二象限角，故舍去），∴257cos -=θ，且2θ为第一或者第三象限角，∴25712cos22-=-θ， 故3cos 25θ=±. 11.C 由0)3cos )(sin sin cos 2(=++-x x x x 得x x cos 2sin =，0cos ≠x ，故2tan =x ，5231t a n t a n 2221c o s s i n c o s s i n 2c o s 2t a n 12s i n c o s 222222=++=+++=++x xx x x x x x x x . 12.A ()2632632sin cos 6cos sin cos 44422222x x x x xf x m m =+--=+-， 6sin()026x m π=+-≤， ∴6sin()26x m π≥+，∵566x ππ-≤≤， ∴4264x πππ-≤+≤， ∴36sin()326x π-≤+≤， ∴3m ≥.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中的横线上.)13.4 132(cos10sin10)13cos103sin10221sin10cos10sin10cos10sin 202︒-︒︒-︒-==︒︒︒︒︒4sin(3010)4sin 20︒-︒=︒.14.6556- 由已知可得54)cos(=+βα，5cos()413βπ-=-，故cos()cos[()()]44ααββππ+=+--56cos()cos()sin()sin()4465αββαββππ=+-++-=-.15.0 原式)60sin(2)]60(180cos[3)60sin(︒-+︒+-︒-︒+=x x x )60sin(2)60cos(3)60sin(︒-+︒++︒+=x x x )60sin(2)6060sin(2︒-+︒+︒+=x x0)60sin(2)60sin(2)60sin(2)18060sin(2=︒-+︒--=︒-+︒+︒-=x x x x . 16.724 易知22βαβαα-++=，22βαβαβ--+=， 由41sin sin =+βα，得412cos 2sin 2=-+βαβα， 由31cos cos =+βα，得312cos 2cos 2=-+βαβα， 两式相除，得432tan =+βα，724)43(1432)tan(2=-⨯=+βα. 三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.) 17．解：由已知145,cos()sin()422929βββαααπ<-<π-=--=又故， 同理2757)]2()2cos[(2cos ,531)2cos(=---=+=-βαβαβαβα故， 故72923912cos 2)cos(2-=-+=+βαβα． 18．解：22sin()(sin cos )42sin 2cos212sin cos 2cos ααααααααπ++=+++)cos (sin cos 4)cos (sin 2ααααα++=， 当α为第二象限角，且415sin =α时，0cos sin ≠+αα，41cos -=α，所以sin()4sin 2cos21αααπ+++2cos 42-==α. 19．解：（1）原式=00000000000000sin(8015)sin15sin10sin80cos15cos1523sin(1510)cos15cos80sin15cos10sin15-+===++-. （2）由0cos 2sin =+θθ，得θθcos 2sin -=，又0cos ≠θ，则2tan -=θ，所以θθθθθθθθθ22222cos 2sin cos sin 2sin cos cos 12sin 2cos +--=+-612)2()2(2)2(12tan tan 2tan 12222=+-----=+--=θθθ. 20．解：（1）依题意有1A =，则()s i n ()f x x ϕ=+，将点1(,)32M π代入得1sin()32ϕπ+=，而0ϕ<<π，536ϕπ∴+=π，2ϕπ∴=，故()sin()cos 2f x x x π=+=.（2）依题意有312cos ,cos 513αβ==，而,(0,)2αβπ∈，2234125sin 1(),sin 1()551313αβ∴=-==-=，3124556()cos()cos cos sin sin 51351365f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯=. 21．解：（1）11()sin cos cos 222f x x x x =⋅++111sin 2cos 2222x x =++21sin(2)242x π=++ ∴函数()f x 的最小正周期22T π==π. （2）当3[,]88x ππ∈-时，2[0,]4x π+∈π， ∴当2[0,]42x ππ+∈即[,]88x ππ∈-时，函数()f x 单调递增；当2[,]42x ππ+∈π即3[,]88x ππ∈时，函数()f x 单调递减.22.解：由条件得102cos =α，552cos =β，∵α，β为锐角， ∴1027cos 1sin 2=-=αα，55cos 1sin 2=-=ββ，因此7cos sin tan ==ααα，21cos sin tan ==βββ. （1）32171217tan tan 1tan tan )tan(-=⨯-+=-+=+βαβαβα. （2）∵34)21(1212tan 1tan 22tan 22=-⨯=-=βββ， ∴134713472tan tan 12tan tan )2tan(-=⨯-+=-+=+βαβαβα， ∵α，β为锐角， ∴3022αβπ<+<， ∴324αβπ+=.。

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第三章三角恒等变换一．选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1.15sin 951852-等于 （ ） A 。

185 B.365C 。

3635 D.18352。

已知m A A =+tan 1tan ，则A 2sin 的值为 ( ） A 。

21mB.m 1C.m 2 D 。

m 23．sin 12π—3cos 12π的值是 （ ）A ．0B ． —2C ． 2D ． 2 sin 125π4.已知3cos ()52x x ππ=-<<，则sin 2x =（ ）A.55B.55-C.255- D.2555．若△ABC 中，sin B·sin C＝cos 2错误!，则△ABC 的形状为( ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形6。

函数sin 3cos 22x xy =+的图象的一条对称轴方程是 （ ）A 。

x =113π B.x =53π C 。

53x π=- D 。

3x π=-7.已知α为锐角，且cos 错误!＝错误!，则cos α的值为( )A 。

错误! B.错误! C 。

错误! D.错误!8。

函数22()cos ()sin ()11212f x x x ππ=-++-是（ )A 。

模块检测(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若cos θ>0，且sin 2θ<0，则角θ的终边所在的象限是( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 sin 2θ＝2sin θcos θ<0，又cos θ>0， ∴sin θ<0，∴θ是第四象限角． 答案 D2．函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤2π3的值域是( )．A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 答案 B3．已知|a |＝8，e 为单位向量，当它们的夹角为2π3时，a 在e 方向上的投影为( )． A.12 B ．－12 C ．4 D ．－4 解析 a 在e 的方向上的投影为|a |cos 2π3＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.答案 D4．下列关系式中，不正确的是( )． A ．sin 585°<0 B ．tan(－675°)>0 C ．cos(－690°)<0D ．sin 1 010°<0 解析 585°＝360°＋225°是第三象限角，则sin 585°<0；－675°＝－720°＋45°，是第一象限角，∴tan(－675°)>0；1 010°＝1 080°－70°，是第四象限角， ∴sin 1 010°<0；而－690°＝－720°＋30°是第一象限角， ∴cos(－690°)>0.答案 C5．函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝( )． A.π6 B.π3 C.π4 D ．－π4 解析 由y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )， 所以3×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )， 得φ＝k π＋π4(k ∈Z )．又|φ|<π2，所以k ＝0，φ＝π4，故应选C. 答案 C6．已知D 是△ABC 的边BC 上的一点，且BD ＝13BC ，设AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )． A. 13(a －b ) B.13(b －a ) C.13(2a ＋b )D.13(2b －a )解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →＝23a ＋13b ，故选C. 答案 C7．已知a ，b 均为单位向量，且它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |等于( )． A.7 B.10 C.13 D. 4解析 本题若直接求|a ＋3b |则较为困难，因此解答时可依据公式|a |＝a 2先求(a ＋3b )2.因为|a |＝1，|b |＝1，且它们的夹角为60°， 故a ·b ＝cos 60°＝12，所以(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝1＋3＋9＝13， 即|a ＋3b |＝13，故应选C. 答案 C8．计算2sin 14°·cos 31°＋sin 17°等于( )．A.22 B ．－22 C.32 D ．－32 解析 原式＝2sin 14°cos 31°＋sin(31°－14°) ＝sin 31°cos 14°＋cos 31°sin 14°＝sin 45°＝22. 答案 A9．设向量a ＝(cos 25°，sin 25°)，b ＝(sin 20°，cos 20°)，若t 是实数，且c ＝a ＋t b ，则|c |的最小值为( )．A. 2 B ．1 C.22 D.12 解析 c ＝a ＋t b ＝(cos 25°，sin 25°)＋(t sin 20°，t cos 20°) ＝(cos 25°＋t sin 20°，sin 25°＋t cos 20°)， ∴|c |＝(cos 25°＋t sin 20°)2＋(sin 25°＋t cos 20°)2 ＝1＋t 2＋2t sin 45°＝t 2＋2t ＋1 ＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋222＋12，∴当t ＝－22时，|c |最小，最小值为22. 答案 C10．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 的值为( )． A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析 ∵m ·n ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，∴3sin(A ＋B )－cos(A ＋B )＝3sin C ＋cos C ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋C ＝1.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋C ＝12，∴π6＋C ＝56π或π6＋C ＝π6(舍去)，∴C ＝23π. 答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)． 11．若cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则sin α＋cos α＝________. 解析 原式可化为cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)22(sin α－cos α)＝－22，∴sin α＋cos α＝12. 答案 1212．已知向量m ＝(3sin x ，cos x )，p ＝(23，1)．若m ∥p ，则sin x ·cos x ＝________. 解析 ∵m ∥p ，∴3sin x ＝23cos x ，tan x ＝2， ∴sin x ·cos x ＝sin x ·cos x sin 2x ＋cos 2x ＝tan x 1＋tan 2x ＝25.答案 2513．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －a ·aa ·b ·b .则向量a 与c 的夹角为________． 解析 ∵a ·c ＝a ·a －a ·aa ·b ·b ·a ＝a ·a －a ·a ＝0，∴a ⊥c ，即a 与c 的夹角为90°. 答案 90°14．已知tan(α＋β)＝35，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan(α＋π4)的值为________． 解析 tan(α＋π4)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan (α＋β)－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35－141＋35×14＝723. 答案723三、解答题(本大题共5小题，共54分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(10分)对任意实数x 和整数n ，已知f (sin x )＝sin[(4n ＋1)x ]，求f (cos x )． 解 f (cos x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(4n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π＋π2－(4n ＋1)x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－(4n ＋1)x＝cos[(4n ＋1)x ]．16．(10分)已知a ，b 不共线，AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋3b ，CD →＝2a －b ，若A ，B ，D 三点共线，求实数k 的值．解 ∵BD →＝BC →＋CD →＝－CB →＋CD →＝a －4b ， 而a 与b 不共线，∴BD →≠0.又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线． 故存在实数λ，使AB →＝λBD →，即2a ＋k b ＝λa －4λb . 又∵a 与b 不共线，∴由平面向量基本定理，得⎩⎨⎧2＝λk ＝－4λ⇒k ＝－8.17．(10分)已知α为锐角，且sin α＝45. (1)求sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α的值；(2)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4的值．解 (1)因α为锐角，且sin α＝45，∴cos α＝1－sin 2α＝35.∴sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α3cos 2α－1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋2×45×353×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝20.(2)∵tan α＝sin αcos α＝43，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－tan 5π41＋tan αtan 5π4＝tan α－11＋tan α＝17.18．(12分)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，cos α，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α，12，若a ∥b ，求锐角α的值．解 ∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，cos α，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α，12，且a ∥b ， ∴32×12－cos αsin α＝0，即sin αcos α＝34.由⎩⎨⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝34，得sin α＋cos α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α ＝1＋32＝3＋12，∴sin α、cos α是方程x 2－3＋12x ＋34＝0的两根． 解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝32cos α＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝12，cos α＝32.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝π3或π6.19．(12分)已知向量b ＝(m ，sin 2x )，c ＝(cos 2x ，n )，x ∈R ，f (x )＝b ·c ，若函数f (x )的图象经过点(0,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1.(1)求m 、n 的值；(2)求f (x )的最小正周期，并求 f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最小值；解 (1)f (x )＝m cos 2x ＋n sin 2x ， ∵f (0)＝1，∴m ＝1. ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，∴n ＝1. (2)f (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f (x )的最小正周期为π. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴π4≤2x ＋π4≤3π4.∴当x ＝0或x ＝π4时，f (x )的最小值为1.。