三角恒等变换单元测试基础篇

《第3章三角恒等变换》2013年单元测试卷《第3章三角恒等变换》2013年单元测试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）3．（5分）等于（）C．CC D．2向右平移向右平移个单位向左平移向左平移个单位．C D．9．（5分）的值等于（）D．10．（5分）已知θ为第二象限角，25sin2θ+sinθ﹣24=0，则的值为（）．C D．11．（5分）设（2cosx﹣sinx）（sinx+cosx+3）=0，则的值为（）．C D．12．（5分）已知不等式对于任意的恒成立，．C D二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）=_________．14．（4分）（2006•重庆）已知，，则=_________．15．（4分）化简sin（x+60°）+2sin（x﹣60°）﹣cos（120°﹣x）的结果是_________．16．（4分）已知，则tan（α+β）的值为_________．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（10分）设cos（α﹣）=﹣，sin（﹣β）=，且＜α＜π，0＜β＜，求cos（α+β）．18．（12分）（2004•贵州）已知α为第二象限角，且，求的值．19．（12分）（1）求值：；（2）已知sinθ+2cosθ=0，求的值．20．（13分）（2008•广东）已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，其图象经过点．（1）求f（x）的解析式；（2）已知，且，，求f（α﹣β）的值．21．（13分）（2009•湛江二模）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的单调区间．22．（14分）（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是，．（1）求tan（α+β）的值；（2）求α+2β的值．《第3章三角恒等变换》2013年单元测试卷（参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）3．（5分）等于（）C，．C，把求出的关系式代入即可求出值．=，（C D．后，利用特殊角的三角函数值及两角差的正弦函数公式化简为一个角的正弦函解：∵，，．2，，向右平移向右平移个单位向左平移向左平移个单位．的图象只要将的图象向左平移．C D．===9．（5分）的值等于（）D．．10．（5分）已知θ为第二象限角，25sin2θ+sinθ﹣24=0，则的值为（）．C D．，求出，确定或，∴，且∴，故11．（5分）设（2cosx﹣sinx）（sinx+cosx+3）=0，则的值为（）．C D．=12．（5分）已知不等式对于任意的恒成立，．C D弦函数的性质确定，∴∵∴∴∴二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）=4．由已知可得14．（4分）（2006•重庆）已知，，则=．）解：已知∴∴15．（4分）化简sin（x+60°）+2sin（x﹣60°）﹣cos（120°﹣x）的结果是0．cos[180cos16．（4分）已知，则tan（α+β）的值为．，得，，得故答案为：三、解答题（共6小题，满分74分）17．（10分）设cos（α﹣）=﹣，sin（﹣β）=，且＜α＜π，0＜β＜，求cos（α+β）．两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．=（α﹣）﹣（﹣β），依上述角之间的关系便可求之．解：∵＜，∴﹣，﹣＜．﹣=﹣=（）﹣（2﹣﹣18．（12分）（2004•贵州）已知α为第二象限角，且，求的值．=为第二象限角，且=19．（12分）（1）求值：；（2）已知sinθ+2cosθ=0，求的值．====cot15===2+20．（13分）（2008•广东）已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，其图象经过点．（1）求f（x）的解析式；（2）已知，且，，求f（α﹣β）的值．，图象经过点），求出，将点代入得，∴，∴，故，而∴21．（13分）（2009•湛江二模）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的单调区间．使单调区间落在范围内即可．）的最小正周期时，当即即22．（14分）（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是，．（1）求tan（α+β）的值；（2）求α+2β的值．）先由已知条件得）由已知条件即三角函数的定义可知同理可得．；，．参与本试卷答题和审题的老师有：zhwsd；wzj123；yhx01248；吕静；caoqz；sllwyn；gongjy；qiss；wdlxh；congtou （排名不分先后）菁优网2013年11月20日。

三角恒等变换》单元测试题必修④第三章《三角恒等变换》本单元测试题共包含12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、已知cosα=−312π，α∈[π,π]，sinβ=−2513，β是第三象限角，则cos(β−α)的值是（）A、−xxxxxxxxB、无解C、无解D、−xxxxxxxx解析：1、由题意得sinα=−35π，又sinβ=−2513，β∈Ⅲ。

cosα=−4/5，∴cosβ=−3/52、∵cosα=−4/5，∴sinα=−3/5。

又cos(α+β)=−1。

sin(α+β)=−24/5π。

sinβ=sin[(α+β)−α]。

sin(β−α)=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=−xxxxxxxx2、已知α和β都是锐角，且sinα=54，cos(α+β)=−135，求sinβ的值。

A、xxxxxxxxB、无解C、无解D、xxxxxxxx解析：依题意，∵sinα=54，∴cosα=√21/4。

又cos(α+β)=−135。

sin(α+β)=−35π。

sinβ=sin[(α+β)−α]。

sinβ=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=xxxxxxxx3、已知x∈[2kπ−3π4,2kπ+3π4]（k∈Z），且cos(−x)=−，则cos2x的值是（）A、−B、−xxxxxxxxC、无解D、无解解析：x∈[2kπ−3π4,2kπ+3π4]。

cosx−sinx>0。

即sin(−x)=−sinx=cosx<0。

sin(−x)∈(−1,0]。

x∈[2kπ−π2,2kπ]。

x∈[2kπ,2kπ+π2]。

cos2x=2cos2x−1=2cos2(x/2)−1=2cos2(−x/2)−1=2sin2(−x/2)−1=−4、设cos(x+y)sinx−sin(x+y)cosx=12，且y是第四象限角，则y的值是（）A、±2332B、±1212C、无解D、无解解析：由cos(x+y)sinx−sin(x+y)cosx=0得sin(x−y)=−cos(x+y)。

简单三角恒等变换复习一、公式体系1、和差公式及其变形:（1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ⇔ )sin(sin cos cos sin βαβαβα±=± (２）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ⇔ )cos(sin sin cos cos βαβαβα±= (3)βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=± ⇔ 去分母得 )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=-2、倍角公式的推导及其变形：（１)αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+=⇔ααα2sin 21cos sin =⇔2)cos (sin 2sin 1ααα±=±(2）ααααααααα22sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+=)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=⇔1cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=⇔αααααα⇔把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα2cos 22cos 1=+ 【因为α是2α的两倍,所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2cos 2cos 12αα=+因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成12cos 24cos 2-=αα 或 αα2cos 24cos 12=+ 或 αα2cos 24cos 12=+】αααααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=⇔ ⇔把1移项得αα2sin 22cos 1=- 或αα2sin 22cos 1=- 【因为α是2α的两倍,所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2sin 2cos 12αα=- 或 2sin 2cos 12αα=-因为α4是α2的两倍,所以公式也可以写成αα2sin 214cos 2-= 或 αα2sin 24cos 12=- 或 αα2sin 24cos 12=-】二、基本题型1、已知某个三角函数,求其他的三角函数：注意角的关系，如)4()4(,)(,)(πβαπβααβαβββαα-++=+-+=-+=等等 (1)已知βα,都是锐角,135)cos(,54sin =+=βαα，求βsin 的值（２)已知,40,1312)45sin(,434,53)4cos(πββππαπαπ<<-=+<<=-求)sin(βα+的值 (提示：βαπαπβπ++=--+)4()45(，只要求出)sin(βαπ++即可)2、已知某个三角函数值,求相应的角:只要计算所求角的某个三角函数，再由三角函数值求角，注意选择合适的三角函数（1)已知βα,都是锐角,10103cos ,55sin ==βα,求角βα+的弧度3、)(βα+T 公式的应用（1）求)32tan 28tan 1(332tan 28tan 0000+++的值(2)△ＡＢＣ中,角A 、B 满足2)tan 1)(tan 1(=++B A ，求A ＋B 的弧度4、弦化切,即已知ｔan,求与sin,c ｏｓ相关的式子的值：化为分式，分子分母同时除以αcos 或α2cos 等 (１）已知2tan =α，求αααααααααα2cos 2sin 3,2cos 2sin 12cos 2sin 1,cos sin 3cos 5sin +-++++-的值5、切化弦，再通分,再弦合一(１)、化简：① )10tan 31(50sin 0+ ② 035sin 10cos )110(tan ⋅-(2)、证明:x xx x x tan )2tan tan 1(cos 22sin =+6、综合应用,注意公式的灵活应用与因式分解结合 化简4cos 2sin 22+-1、sin 20cos 40cos 20sin 40+的值等于（ )Ａ.14 Ｂ.2 C .12D ．42、若tan 3α=，4tan 3β=,则tan()αβ-等于( ） Ａ．3- B .3 C .13- Ｄ．13３、c ｏs5πｃos 52π的值等于( ）A .41 B .21 C ．2 D ．４4、 已知02A π<<，且3cos 5A =,那么sin 2A 等于( ）Ａ.425 B .725 C .1225 D .24255、已知,41)4tan(,52)tan(=-=+πββα则)4tan(πα+的值等于ﻩ( )A ．1813ﻩＢ．223ﻩC.2213 D.1836、sin1６5º= （ ) A.21B.23C.426+ D ．426- 7、ｓi ｎ14ºc ｏｓ１6º+ｓｉn76ºcos ７４º的值是（ )Ａ．23 Ｂ．21 Ｃ．23 D ．21- ８、已知(,0)2x π∈-,4cos 5x =，则=x 2tan ( ) A.247 B.247- C ．724 D ．724- ９、化简２sin （4π－x )·sin(4π+x ）,其结果是( ) A ．ｓin ２ｘ B ．cos2x Ｃ．-cos ２x Ｄ．-sin ２x １0、s ｉn12π—3ｃos 12π的值是 ( ) Ａ.0 Ｂ. —2 C ．2 Ｄ． ２ s ｉn125π1１、)( 75tan 75tan 12的值为︒︒-A ．32 B.332 Ｃ． 32- Ｄ．332-。

高中数学三角恒等变换单元测试题C新人教版必修文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]三角恒等变换一、选择题10=（ ）A ．1B ．2CD 2．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．3．函数2sin cos y x x x =- ）A.2(,32π- 5(,)62π-.2(,32π- D.(,3π 4．△ABC 中，090C ∠=，则函数2sin 2sin y A B =+的值的情况（ ）A ．有最大值，无最小值B ．无最大值，有最小值C ．有最大值且有最小值D ．无最大值且无最小值5．0000(1tan 21)(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)++++ 的值是( )A. 16B. 8C. 4D. 26．当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin x f x x x x =-的最小值是（ ） A ．4 B ．12 C ．2 D ．14二、填空题1．给出下列命题：①存在实数x ，使3sin cos 2x x +=；②若,αβ是第一象限角，且αβ>，则cos cos αβ<； ③函数2sin()32y x π=+是偶函数； ④函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，得到函数sin(2)4y x π=+的图象．其中正确命题的序号是____________．（把正确命题的序号都填上）2．函数xx y sin 12tan -=的最小正周期是___________________。

3．已知sin cos αβ+13=，sin cos βα-12=，则sin()αβ-=__________。

4．函数x x y cos 3sin +=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为 ． 5．函数(cos sin )cos y a x b x x =+有最大值2，最小值1-，则实数a =____，b =___三、解答题1．已知函数()sin()cos()f x x x θθ=+++的定义域为R ，（1）当0θ=时，求()f x 的单调区间；（2）若(0,)θπ∈，且sin 0x ≠，当θ为何值时，()f x 为偶函数．2．已知△ABC 的内角B 满足2cos 28cos 50,B B -+=，若BC a =，CA b =且,a b 满足：9a b =-，3,5a b ==，θ为,a b 的夹角.求sin()B θ+。

《三角恒等变换》单元练习题一、选择题（共10题，每题4分，共40分）1．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ）A ．247B ．247- C ．724 D ．724-2. 已知x 为第三象限角，化简=-x 2cos 1（ ） A. x sin 2 B. x sin 2- C. x cos 2 D. x cos 2-3．在△A BC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法判定4．设00sin14cos14a =+，00sin16cos16b =+，c =，则,,a b c 大小关系（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a c b <<5．函数)cos[2()]y x x ππ=-+是（ ）A.周期为4π的奇函数 B.周期为4π的偶函数C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数6．已知cos 23θ=，则44sin cos θθ+的值为（ ）A ．1813B ．1811C ．97D ．1-7. 已知θ是第三象限的角,若445sin cos 9θθ+=,则sin 2θ等于( )B. 23 D. 23-8．0000(1tan 21)(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)++++ 的值是( )A. 16B. 8C. 4D. 29．求值12cos 12sin 22ππ-=（ ）A ．1B ．21C ．21- D ．23-10．000016cos 46cos 46sin 16sin +=（ ） A.23 B.22 C.21 D.1 二、填空题（共5题，每题4分，共20分）11．求值：0000tan 20tan 4020tan 40+=_____________。

12．当40π≤≤x 时,函数1cos 22sin 22)(++=x x x f 的最大值是 最小值是 ,13．函数x x x x f cos sin 32cos 21)(-=的最小正周期是___________。

高中数学必修第三册《第八章 向量的数量积与三角恒等变换》单元测试卷(1)一、单选题（本大题共10小题，共50.0分） 1.设θ为两个非零向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角，已知对任意实数t ，|t a ⃗ +b ⃗ |的最小值为1，则( ) A. 若θ确定，则|a⃗ |唯一确定 B. 若|a⃗ |确定，则θ唯一确定 C. 若θ确定，则|b ⃗ |唯一确定D. 若θ确定，则θ唯一确定2.已知△ABC 中，点M 是线段BC 上靠近B 的三等分点，N 是线段AC 的中点，则BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 12AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 12AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 13AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 3. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若csinC =acosB +bcosA ，则△ABC 的形状为( )A. 锐角三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形4.设函数f(x)=sin3x +acos3x(a ∈R)满足f(π6−x)=f(π6+x)，则a 的值是( )A. 3B. 2C. 1D. 05.已知函数f(x)=sin2x +2cos 2x −1，将f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移π4个单位，得到函数y =g(x)的图象，则g(x)的解析式为( )A. y =√2sinxB. y =√2cosxC. y =√2sin(4x −3π4)D. y =√2cos4x6.已知向量a ⃗ =(m,1)，b ⃗ =(−2,n)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则m ，n 间的关系正确的是( )A. m =2nB. m =−2nC. m =−12nD. m =12n7.圆O 中，弦PQ 满足|PQ|=2，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 2B. 1C. 12D. 48.化简√1−sin 2140°=( )A. ±cos40°B. cos40°C. −cos40°D. ±|cos40°|9.tan40°+tan80°−√3tan40°tan80°的值是( )A. √3B. −√3C. −√33 D. √3310. 如图，A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点P 在该单位圆上，∠AOP =θ(0<θ<π)，点Q 满足PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，三角形OAP 的面积记为S.则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +S 的最大值是( )A. √24B. √2+12C. √22D. √2+14二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）11. 设平面向量a ⃗ =(1,−2)，b ⃗ =(k,2)满足a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|b ⃗ |=______． 12. 已知外接圆的半径为，且，，则__________ ．13. 下面有四个命题： ①函数是偶函数②函数的最小正周期是；③函数在上是增函数；④函数的图像的一条对称轴为直线，则．其中正确命题的序号是 。

5.5三角恒等变换（基础+提升+拔高）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2021·山西省长治市第二中学校高三月考（文））若角π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos θθ的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ．[0,2]C ．[1,2]-D ．[1,2]2．（2021·全国·高一课时练习）已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()3sin 5αβ+=-，5cos 13β=-，则sin α的值为（ ）A ．1665B ．3365C ．5665D ．63653．（2021·浙江·宁波市北仑中学高一期中）已知11tan(),tan ,,(0,)27αββαβπ-==-∈，则2αβ-=（ ）A ．34π-B ．4π-C ．4π D ．54π4．（2021·福建宁德·高三期中）已知1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos(2)3πα-=（ ）A ．79-B ．79C ．29-D ．295．（2021·全国·高三月考（文））已知1sin 263θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．79-B ．79C． D6．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））中国古代数学家赵爽设计的弦图（如图1）是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图2所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则图2中菱形的一个锐角的余弦值为（ ）A ．725B ．35C ．45D ．24257．（2021·新疆喀什·模拟预测）已知角θ满足()sin cos sin cos θθθθ+=3tan 28θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．12BC．D ．1-8．（2021·福建·福清西山学校高三期中）若tan 2x =，则2sin 2sin cos 2sin sin2x x x xx --=（ ）A ．45B ．45-C ．85D ．85-9．（2021·广东顺德·一模）cos1875︒=（ ）A B C D 10．（2021·天津二十中高三月考）已知函数()sin2sin 213f x x x π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的有（ ）个①()()33ππ+=-f x f x ；①,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心； ①任取方程()1f x =的两个根1x ，2x ，则12x x -是π的整数倍； ①对于任意的123,,0,4x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()123f x f x f x +恒成立.A ．1B ．2C ．3D ．411．（2021·安徽·六安一中高三月考（理））在平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于点00(,)P x y ，若π4cos()65α+=，则 0x =（ ）A B C D 12．（2019·西藏·拉萨中学高二月考（文））在ABC 中，已知cos cos b A a B =，判断ABC 的形状（ ） A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形13．（2021·浙江·宁波市北仑中学高一期中）当0x x =时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则0tan x =（ ） A ．12B ．2C ．12-D ．2-14．（2021·安徽·六安一中高三月考（文））已知函数2()sin 22cos 1f x x x =+-，下列四个结论正确的是（ ） A ．函数()f x 在区间3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数 B ．点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心C ．函数()f x 的图象可以由函数2y x =的图象向左平移4π个单位长度得到D ．若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的值域为15．（2021·广西桂林·模拟预测（理））在同一平面直角坐标系中，画出三个函数()sin 2cos 2f x x x =+，5()sin 2g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π，()co 7s h x x ⎛⎫=- ⎝π⎪⎭的部分图象如图所示，则（ ）A ．a 为()f x 的图象，b 为()g x 的图象，c 为()h x 的图象B ．a 为()h x 的图象，b 为()f x 的图象，c 为()g x 的图象C ．a 为()g x 的图象，b 为()f x 的图象，c 为()h x 的图象D ．a 为()h x 的图象，b 为()g x 的图象，c 为()f x 的图象16．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知,,0,,sin sin sin ,cos cos cos 2παβγαγββγα⎛⎫∈+=+= ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．1cos()3βα-=-B ．1cos()3βα-=C ．3πβα-=-D ．3πβα-=17．（2021·全国·高三月考）已知函数()()2sin ),2(f x x o πωϕωϕ=+>≤图象相邻两条对称轴间的距离为π，且对任意实数x ，都有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．将函数()y f x =图象向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则关于函数()()y f x g x =+描述不正确的是（ ）A ．最小正周期是2πBC ．函数在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．图象关于直线4x π=对称18．（2021·全国·高三月考（理））已知(0,)απ∈，且2cos2cos 1αα+=，则tan α=（ ）A B ．53C D 19．（2021·陕西·西安中学高三期中（理））已知31sin()23πα+=，则cos2α=（ ） A ．79-B ．79C ．13-D ．1320．（2021·河南·高三月考（文））将函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则函数()cos2y g x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A B ．2-C ．D ．32-21．（2021·上海市延安中学高一期中）当函数3cos 4sin y x x =-取得最大值时，tan x 的值是（ ）A ．43B ．34C ．43-D ．34-22．（2021·贵州遵义·高三月考（文））已知函数()()cos 33f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=-+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 是偶函数.若将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，再向上平移1个单位长度得到曲线()y g x =，若关于x 的方程()g x m =在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个不相等实根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[)0,3C ．[)2,3D ．)1,323．（2021·全国·高一单元测试）已知ABC ，则“sin cos A B >”是“tan tan 1A B >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件24．（2021·安徽淮南·一模（理））在平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于点P (x 0，y 0)，若cos(6πα+)=45，则x 0=（ ）A B C D 25．（2021·全国·高一单元测试）在ABC 中，已知()2sin sin sin sin A B C C θλ-=，其中1tan 3θ=（其中π02θ<<），若112tan tan tan A B C++为定值，则实数λ的值是（ ）A B C D26．（2020·黑龙江齐齐哈尔·高一期中）设锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若,3A a π==，则2b 2c bc ++的取值范围为（ ）A ．(1，9]B ．(3，9]C ．(5，9]D ．(7，9]27．（2021·江西·浮梁县第一中学高一期中）已知把函数()πsin cos 3f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π3个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若()()1214g x g x ⋅=，若1x ，[]2π,πx ∈-，则12x x -的最大值为（ ） A ．πB ．3π4C ．3π2D ．2π28．（2021·上海·高一课时练习）若24sin 3k x x k -=+，则k 的取值范围是（ ） A ．13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．()3,-+∞D ．()1,33,2⎛⎤-∞--- ⎥⎝⎦29．（2020·浙江·台州市新桥中学高三月考）已知,x y R +∈，满足21x y +=，则x 的最小值为（ ）A ．45B ．25C ．1 D30．（2022·上海·高三专题练习）在ABC 中，若sin A =cos B C 的取值范围是（ ） A ．(0,1] B ．(0,1](2,5] C ．3(0,1](2,5]2D ．以上答案都不对二、多选题31．（2021·广东·湛江二十一中高三月考）已知sin 3cos 3cos sin αααα+=-5，下列计算结果正确的是（ ）A ．1tan 2α=B ．tan α=2C ．213cos sin225αα+=D ．26sin cos25αα-=32．（2021·湖北·高三期中）已知函数()22sin f x x =，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 是奇函数C ．()f x 的单调递增区间为,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，k ∈ZD ．()f x 的图象关于点,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称33．（2021·山东省实验中学高三月考）下列式子正确的是（ ）A ．sin15cos15+︒︒=B ．cos 75︒=C ．2tan 151︒+︒=D ．tan12tan33tan12tan331︒+︒+︒︒=34．（2021·浙江·宁波市北仑中学高一期中）在①ABC 中，3sin 4cos 6,3cos 4sin 1A B A B +=+=，则C 的大小不可能为（ ） A ．6πB ．3π C ．23πD ．56π35．（2021·福建宁德·高三期中）已知函数()2sin 2x x f x =+ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．曲线()f x 关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．曲线()f x 关于6x π=对称36．（2021·湖南· ）A B ．22cos sin 1212ππ-C ．cos15 sin 45 sin15cos45︒︒-︒︒D ．2tan151tan 15︒-︒37．（2021·江苏扬州·高三月考）已知函数()|||cos |f x x x =+，下列说法正确的有（ ）A ．函数()f x 在27[,]36ππ上单调递减B ．函数()f x 是最小正周期为2π的周期函数C ．若12m <<，则方程()=f x m 在区间[0,]π内，最多有4个不同的根D ．函数()f x 在区间[10,10]-内，共有6个零点38．（2021·浙江·高二开学考试）设ABC 中角A ，B ，C 所对应的边长度分别为a ，b ，c ，满足sin 2:sin 2:sin 24:5:6A B C =，则以下说法中正确的有（ ）A ．ABC 为钝角三角形B ．若a 确定，则ABC 的面积确定 C ．3cos 24A =-D ．sin :sin :sin 5:A B C =39．（2021·江苏南京·三模）已知函数()3sin 24cos 2f x x x =+，()()|()|g x f x f x =+.若存在0x R ∈，使得对任意x ∈R ，()0()f x f x ≥，则（ ）A ．任意()()00,x R f x x f x x ∈+=-B ．任意0,()2x R f x f x π⎛⎫∈≤+ ⎪⎝⎭C ．存在0θ>，使得()g x 在()00,x x θ+上有且仅有2个零点D ．存在512πθ>-，使得()g x 在005,12x x πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减 40．（2021·广东实验中学高一期末）已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中, a b R ∈，且的0ab ≠，若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则（ ） A ．56f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．5()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭是奇函数D ．4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数三、填空题41．（2021·全国·高一课时练习）若sin 2θθ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则θ=________．42．（2021·全国·高一课时练习）化简：44sin cos cos 2ααα-=________．43．（2021·全国·高一课时练习）sin 21cos39cos21sin39︒︒+︒︒=________． 44．（2020·北京八中高三期中）若角α的终边过点()2,1，则cos2α的值为______．45．（2020·陕西·泾阳县教育局教学研究室高三期中（理））若1tan 2θ=，则2cos sin 2θθ+=___________.46．（2021·贵州·凯里一中高二期中（理））2()2sin cos 2cos 1(0)f x x x x ωωωω=+->有五条顺次相邻的对称轴，首尾两条对称之间的距离是π，则()f x 的最小正周期是_______．47．（2021·河南·高二月考（文））已知函数()sin 2cos f x x x =+在x θ=时取得最大值，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.48．（2021·广西·罗城仫佬族自治县高级中学高二开学考试）若tan 2α=，则2cos 2sin 22αα+-=______． 49．（2021·北京·东直门中学高三期中）若sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭35=，则sin 2α = _____________．50．（2021·广东·湛江二十一中高三月考）若33sin π3sin π44x x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2sin 2sin cos 2sin cos2x x x xx ++=__________． 51．（2021·安徽·六安一中高三月考（理））已知1sin 3α=，1cos()65πβ+=，5,(0,)4παβ∈，则cos()3παβ-+=________. 52．（2021·全国·高一课时练习）已知3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若4cos 5α=，则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．53．（2021·宁夏·吴忠中学高三月考（理））当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式sin (cos )2m x x x m <+恒成立，则实数m 的取值范围为____．54．（2021·北京市第十三中学高三期中）若点(cos ,sin )A θθ关于x 轴对称点为(cos(),sin())33B ππθθ++，则θ的一个取值为_____.55．（2021·河南·高二期中（理））已知函数()sin 2cos f x x x =-在x θ=时取得最大值，则tan 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.56．（2021·天津二中高三期中）已知()()()sin 2πωx φωx φf x φ⎛⎫=++< ⎪⎝⎭是奇函数，则ϕ=_______．57．（2021·黑龙江·高三期中（理））已知函数2()2sin 24f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．若关于x 的方程()2f x m -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，则实数m 的取值范围是________． 58．（2021·全国·高一课时练习）已知4cos 5θ=-，且tan 0θ>，则3cos tan 1sin θθθ-的值为______．59．（2021·广东顺德·高三月考）在①ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b ＝a cos C 12+c ，则角A 为_____．60．（2021·四川绵阳·高三月考（文））已知,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 13β=，若()3sin 2sin αβα+=，则()tan αβ+=______．61．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知函数()sin ||cos |f x x x =-，则下列说法正确的有________．（将所有正确的序号填在答题卡横线上） ①π是函数()f x 的一个周期；①()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；①()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减①()f x 的值域为[1,2]-．62．（2021·浙江省桐庐中学高一月考）()f x =________．63．（2020·上海市奉贤中学高三月考）在①ABC 中，已知2sin sin sin()sin A B C C θλ-=，其中1tan 022πθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭.若112tan tan tan A B C++为定值，则实数λ=_________. 64．（2021·广西南宁·模拟预测（理））已知函数()sin 2sin 3f x a x x b πωω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭的图象的相邻两个对称轴之间的距离为2π，且x R ∀∈恒有()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，若存在()()()123123,,0,,2x x x f x f x f x π⎡⎤∈+≤⎢⎥⎣⎦成立，则b 的取值范围为________．65．（2021·福建·高三月考）已知()f x 不是常数函数，写出一个同时具有下列四个性质的函数()f x ：___________.①定义域为R ；①()2f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；①()21(2)2f x x f +=；①14f π⎛⎫≠- ⎪⎝⎭. 66．（2021·全国·高二单元测试）一直线过点()2,3A 且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于B 、C 两点，O 为坐标原点．则OB OC BC +-的最大值为__．67．（2021·上海市延安中学高一期中）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β的终边关于y 轴对称，若1sin 3α=，则cos()αβ-=_________68．（2021·江苏铜山·高一期中）已知函数22()2cos cos 2sin f x x x x x =+-，则函数()f x 的一条对称轴的方程为______.69．（2021·全国·高一单元测试）111sin 45sin 46sin 46sin 47sin89sin90++⋯+=︒︒︒︒︒︒___________.70．（2021·上海市实验学校高一期中）若[],x ππ∈-，则函数()f x =的值域为__________.四、解答题71．（2021·全国·高一课时练习）（1）求()()1tan11tan 44+︒+︒的值；（2）求()()()()()1tan11tan 21tan31tan 441tan 45+︒+︒+︒+︒+︒的值．72．（2021·全国·高一课时练习）设m为实数，已知sin 1m αα=-，求m 的取值范围． 73．（2021·全国·高一课时练习）已知函数22sin 2sin cos 3cos y x x x x =+-，x ∈R ． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的最大值．74．（2021·全国·高一课时练习）求函数cos 22cos 1y x x =-+的值域． 75．（2021·全国·高一课时练习）求下列各函数的周期和值域： （1）sin cos y x x =； （2）sin y x x +．76．（2021·全国·高一课时练习）求值：sin15cos5sin 20cos15cos5cos 20︒︒-︒︒︒-︒．77．（2021·全国·高一课时练习）如图，在等腰直角三角形ABC 中，90B ∠=︒，点E ，F 将BC 三等分，求EAF ∠，FAC ∠的正切值．78．（2021·全国·高一课时练习）已知α是第一象限角，且5cos 13α=，求()πsin 4cos 24παα⎛⎫+ ⎪⎝⎭+的值． 79．（2021·全国·高一课时练习）证明：（1）()()22sin sin sin sin αβαβαβ+-=-；（2）2222π4π3cos cos cos 332x x x ⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 80．（2021·全国·高一课时练习）已知3cos 5θ=-，且180270θ︒<<︒，求sin 2θ，cos 2θ的值．81．（2021·全国·高一课时练习）由倍角公式2cos 22cos 1x x =-，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．对于cos3x ，我们有()cos3cos 2cos2cos sin 2sin =+=-x x x x x x x()()22cos 1cos 2sin cos sin x x x x x =--()322cos cos 21cos cos x x x x =--- 34cos 3cos x x =-．可见cos3x 可以表示为cos x 的三次多项式．一般地，存在一个n 次多项式()n P t ，使得()cos cos n nx P x =，这些多项式()4P t 称为切比雪夫（P ．L ．Tschebyscheff ）多项式．请尝试求出()n P t ，即用一个cos x 的四次多项式来表示cos4x ．利用结论3cos34cos 3cos x x x =-，求出sin18︒的值．（提示：31890218⨯=︒-⨯︒︒）82．（2021·全国·高一课时练习）在ABC 中，已知tan tan tan tan 1A B A B ++=，求角C 的大小． 83．（2021·全国·高一课时练习）已知()2cos 23cos 0αββ++=，求()tan tan αβα+的值． 84．（2021·全国·高一课时练习）化简： （1）ππsin sin 44x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()()cos cos 120cos 120A A A +-+︒+︒； （3）sin 2cos 1cos 21cos αααα⋅++．85．（2021·全国·高一课时练习）已知sin α=α是第二象限角，且()tan 1αβ+=，求tan β的值． 86．（2021·全国·高一课时练习）证明：（1）()()()()cos cos cos cos sin sin sin sin αβγαβγαβγαβγ+-+=+-+； （2）1sin 21tan 1cos 2sin 22θθθθ++=++．87．（2021·安徽·六安一中高三月考（理））已知函数2()sin(2)4sin 2(0)6f x x x ωπωω=++->，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为2π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若将()f x 的图象向右平移(0)m m >个长度单位得到函数()g x 的图象恰好经过点5(,0)24π，求当m 取得最小值时，()g x 的单调区间和对称轴方程.88．（2021·全国·高一课时练习）证明：()()()()()()sin sin sin sin sin sin 0αβαββγβγγαγα+-++-++-=． 89．（2021·全国·高一课时练习）把1sin cos θθ++化成积的形式． 90．（2021·全国·高一课时练习）试用不同的方法求tan15的值．91．（2021·河南·高三月考（文））如图，在矩形ABCD 中，2,AB AD ==点E 为AB 的中点，,F G 分别为线段,AD BC 上的点，且,EF EG AEF θ⊥∠=．（1）若EFG 的周长为f，求f 的解析式及θ的取值范围；（2）求f 的最值． 92．（2021·湖北·高二月考）已知函数()53sin 22sin cos 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (1)解不等式()12f x ≥-； (2)若,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()()4cos 43F x f x x πλ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭的最小值是32-，求实数λ的值.93．（2021·云南·高二月考）已知函数()23sin cos 2f x x x x =+. （1）求()f x 的单调递减区间；（2）0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，cos 03a x f x π⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，求a 的取值范围. 94．（2021·上海·高一专题练习）对于集合{}12,,,n A θθθ=⋅⋅⋅和常数0θ，定义：()()()22210200cos cos cos n n θθθθθθμ-+-++-=为集合A 相对0θ的“余弦方差”． （1）若集合ππ,34A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，00θ=，求集合A 相对0θ的“余弦方差”； （2）求证：集合π2π,,π33A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭相对任何常数0θ的“余弦方差”是一个与0θ无关的定值，并求此定值； （3）若集合π,,4A αβ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，[)0,πα∈，[)π,2πβ∈，相对任何常数0θ的“余弦方差”是一个与0θ无关的定值，求出α、β．95．（2021·江西·九江一中高一月考）已知函数()2sin cos f x x x x = （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()()()212h x f x g x =+在7,612x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域. 96．（2021·全国·高三专题练习）设πA B C ++=，求证：222sin sin 2sin sin cos sin B C B C A A +-=．97．（2021·全国·高三专题练习）已知0απ<<，0βπ<<，且()3cos cos cos 2αβαβ+-+=，求α、β的值.98．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））定义在(1,1)-上的函数)()22()log log 1aa f x a x =+--，若方程()0f x =恰有两个不等实根1x ，2x ，且12x x <，设2122()2g a x x x =--. （1）求函数()g a 的定义域；（2）证明：函数()g a 在定义域内为增函数.99．（2021·黑龙江齐齐哈尔·高一期末）依据《齐齐哈尔市城市总体规划（2011﹣2020）》，拟将我市建设成生态园林城、装备工业基地、绿色食品之都、历史文化名城．计划将图中四边形区域CDEF 建成生态园林城，CD ，DE ，EF ，FC 为主要道路（不考虑宽度）．已知90FCD ∠=︒，120CDE ∠=︒，333FE ED CD ===km ．（1）求道路CF 的长度；（2）如图所示，要建立一个观测站A ，并使得60FAC ∠=︒，AB DC ⊥，求AB 两地的最大距离．100．（2021·全国·高一课时练习）如图，某人身高1.73m ，他站的地点A 和云南大理文笔塔塔底O 在同水平线上，他直立时，测得塔顶M 的仰角22.8MCE ∠=︒（点E 在线段MO 上，忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段AO 向塔前进100m 到达点B ，在点B 直立时，测得塔顶M 的仰角48.3MDE ∠=︒：塔尖MN 的视角 3.3MDN ∠=︒（N 是塔尖底，在线段MO 上）.（1）求塔高MO ；（2）此人在线段AO 上离点O 多远时，他直立看塔尖MN 的视角最大？说明理由.参考数据：sin 22.8sin 48.30.674sin 25.5︒︒=︒，tan 22.80.42125︒=，263.5967.460=⨯.。

第四讲 三角恒等变形一、三角恒等变形知识点总结1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m 。

2．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-。

3．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

（1）降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=。

（2）辅助角公式()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，sin cos ϕϕ==其中4．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

5．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

三角恒等变形测试题及答案解析一、命题意图恒等变形能力是数学学习和应用中的一项重要的基本功。

基本的三角恒等变形公式是实践中经常使用的工具。

在力学、物理、电气工程、机械制造、图象处理以及其他科学研究和工程实践中经常会用到这些公式。

基本三角恒等变形公式及简单应用，提高了学生理解和运用三角恒等变形公式的能力，培养学生数形结合的思想能力。

本章内容一直是高考的热点、重点，新课改下仍立于不败之地。

本套试题紧扣教学大纲，依据往届高考要求，注重基础知识、基本技能考察，体现了新课程标准数学的基本理念，考察了学生的运用能力和基础知识的掌握情况，难度适中，对新课程标准要求下的三角恒等变形知识的有很好的检测作用。

二、试卷结构特点本章试题是对高一数学必修4第三章“三角恒等变换”的单元检测，满分150分，时间90分钟，分为Ⅰ卷和Ⅱ卷，共有试题22道，其中12道选择题，共60分；5道填空题，共30分；5道解答题，共60分。

难度为中等水平，既有基础题，也有拔高题。

用基础题考察学生对基本知识技能的掌握情况，也同时用拔高题来提高学生的灵活应用能力，为培养学生的数学意识和数学知识的实践与应用能力打基础。

三、典型试题例说以18题为例：18.已知12cos,13α=求sinα和tanα[分析]本题易错，学生看到题目只考虑角在第一象限的情况，或忽视了第四象限这一种情况造成结果不全。

[解析]因为12cos13α=>0,且cosα≠1,所以α是第一或第四象限的角.当α是第一象限的角时,sinα>0.5sin sin,13sin5135tan.cos131212αααα=====⨯=当α是第四象限角时,sin0.α<5sin,13sin5tan.cos12αααα==-==-(参考评分说明:写对角所在象限得2分,分两中情况每种得6分.)以19题为例：19．设cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cos （α＋β）．[分析]讲求做题技巧和方法，培养学生的创新意识是新课标理念，对本题学生易受惯性思维的影响，拿到题容易直接展开做，结果南辕北辙。

六安市田家炳实验中学2011-2012学年度第二学期第一次月考高一数学（文科）试题一、选择题（每题5分，共55分）请将答案填入答题卡中，否则不计分。

1.化简AC - BD + CD - AB得（ ）A ． AB B ． DC C ． BCD ． 02.0570cos =（ ）A ．12-B ．12C ．32-D ．323．以下说法错误的是（ ）A ．与任意向量都平行的向量是零向量B ．零向量与单位向量都没有方向C ．共线向量一定在一条直线上D ．平行向量一定不在一条直线上4．设四边形ABCD 中，有DC =21AB，且|AD |=|BC |，则这个四边形是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．等腰梯形D ．菱形5．下列命题正确的是（ ）A ．向量AB的长度与向量BA 的长度相等。

B ．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同。

C ．若非零向量AB与CD 是共线向量，则A B C D 、、、四点共线。

D ．若AB=DC , 则A B C D 、、、四点构成平行四边形6. 判断下列命题：①若a b = 则a b =，②四边形ABCD 是平行四边形，则AB DC = ，③若a b = ，b c = ，则a c =，④若//a b ，//b c ，则//a c ，其中正确的有（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④7．函数221tan 21tan 2xy x-=+的最小正周期是( )A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 8．设2132tan131cos50cos6sin 6,,,221tan 132a b c -=-==+则有（ ） A.a b c >> B.a b c << C.a c b << D.b c a <<9．已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为（ ） A.1925 B.1625 C.1425 D.72510.已知53sin ,54cos =-=αα，那么角α2的终边所在的象限为（ ）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 11.对于等式,sin 2sin 3sin x x x +=下列说法正确的是A 对于任意x ,R ∈ 等式都成立B ．对于任意x ,R ∈ 等式都不成立C ．存在无数个x ,R ∈ 使等式都成立D ．只有有限个x ,R ∈ 使等式都成立 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案二、填空题（每题5分，共25分）请将答案填入题后横线上。

简单的三角恒等变换一、选择题1．(2013·梅州模拟)设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜b2．已知cos 2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( ) A.1318 B.1118 C.79 D ．－13．已知x ∈(－3π4，π4)，且cos(π4－x )＝－35，则cos 2x 的值是( )A ．－725B ．－2425 C.2425 D.7254．若f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f (π12)的值为( )A ．4 3B.833C ．4D ．85．(2012·湖南高考)函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( ) A ．[－2，2] B ．[－3，3] C ．[－1，1] D ．[－32，32]二、填空题6．(2012·大纲全国卷)当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝________． 7．已知sin(π4－x 2)＝35，x ∈(0，π2)，则tan x ＝________．8．已知α是第三象限角，且sin α＝－2425，则tan α2＝________． 三、解答题9．已知α∈(0，π2)，β∈(π2，π)，cos 2β＝－79，sin(α＋β)＝79. (1)求cos β的值； (2)求sin α的值．10．(2012·重庆高考)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2.(1)求f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f （x ＋π6）的值域．图3－6－111．(2012·四川高考)函数f (x )＝6cos 2ωx2＋3sin ωx －3(ω>0)在一个周期内的图象如图3－6－1所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．(1)求ω的值及函数f (x )的值域；(2)若f (x 0)＝835，且x 0∈(－103，23)，求f (x 0＋1)的值．解析及答案一、选择题1．【解析】 a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°， ∵sin 24°＜sin 25°＜sin 26°，∴a ＜c ＜b . 【答案】 D2．【解析】 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1118. 【答案】 B3．【解析】 ∵x ∈(－3π4，π4)，∴sin(π4－x )＝22(cos x －sin x )＞0，又cos(π4－x )＝－35，∴sin(π4－x )＝45.∴cos 2x ＝sin(π2－2x )＝2sin(π4－x )cos(π4－x )＝－2425. 【答案】 B4．【解析】 f (x )＝2sin xcos x ＋1－2sin 2x212sin x＝2sin x cos x ＋2cos x sin x ＝2（sin 2x ＋cos 2x ）sin x cos x ＝4sin 2x ， 所以f (π12)＝4sin π6＝8.【答案】 D5．【解析】 ∵f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3(32sin x －12cos x )＝3sin(x －π6)(x ∈R)，∴f (x )的值域为[－3，3]． 【答案】 B 二、填空题6．【解析】 ∵y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)， ∴y ＝2sin(x －π3)(0≤x <2π)．由0≤x <2π知，－π3≤x －π3<5π3，∴当y 取得最大值时，x －π3＝π2，∴x ＝56π. 【答案】 56π7．【解析】 ∵sin(π4－x 2)＝35，∴sin x ＝cos(π2－x )＝1－2sin 2(π4－x 2)＝1－2×925＝725. 又x ∈(0，π2)∴cos x ＝2425，从而tan x ＝724.【答案】 7248．【解析】 ∵α是第三角限角且sin α＝－2425，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－（－2425）2＝－725，∴tan α2＝1－cos αsin α＝－43.【答案】 －43三、解答题9．【解】 (1)cos 2β＝1＋cos 2β2＝1＋（－79）2＝19，又∵β∈(π2，π)，∴cos β＝－13. (2)由(1)知sin β＝1－cos 2β＝1－（－13）2＝223.由α∈(0，π2)、β∈(π2，π)得(α＋β)∈(π2，3π2)． cos(α＋β)＝－1－sin 2（α＋β） ＝－1－（79）2＝－429.sin α＝sin(α＋β－β)＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝79×(－13)－(－429)×223＝13.10．【解】 (1)由题设条件知f (x )的周期T ＝π，T ＝2πω，ω＝2.因为f (x )在x ＝π6处取得最大值2，所以A ＝2. 从而sin(2×π6＋φ)＝1， 所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z.又由－π＜φ≤π，得φ＝π6. 故f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)． (2)g (x )＝6cos 4x －sin 2x －12sin （2x ＋π2）＝6cos 4x ＋cos 2x －22cos 2x＝（2cos 2x －1）（3cos 2x ＋2）2（2cos 2x －1）＝32cos 2x ＋1(cos 2x ≠12)．因cos 2x ∈[0，1]，且cos 2x ≠12， 故g (x )的值域为[1，74)∪(74，52]．11．【解】 (1)f (x )＝3cos ωx ＋3sin ωx ＝23sin(ωx ＋π3)． 又正三角形ABC 的高为23，从而BC ＝4.所以函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4.函数f (x )的值域为[－23，23]． (2)因为f (x 0)＝835，由(1)有f (x 0)＝23sin(πx 04＋π3)＝835，∴sin(πx 04＋π3)＝45.由x 0∈(－103，23)， 知πx 04＋π3∈(－π2，π2)．所以cos(πx 04＋π3)＝ 1－（45）2＝35.故f (x 0＋1)＝23sin(πx 04＋π4＋π3)＝23sin[(πx 04＋π3)＋π4]＝23[sin(πx 04＋π3)cos π4＋cos(πx 04＋π3)sin π4]＝23×(45×22＋35×22)＝765.。

三角恒等变换基础过关练习一．选择题（共20小题）1．（2015?XX）若tanα=，tan（α+β）= ，则tanβ=（）A．B．C．D．2．（2015?XX）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A．B．C．D．3．（2015?XX三模）已知sin（）= 则cos（x）等于（）A．﹣B．﹣C．D．4．（2015?XX模拟）化简cos15°cos45°﹣cos75°sin45°的值为（）A．B．C．﹣D．﹣5．（2015?XX一模）已知sinx+cosx=，则cos（﹣x）=（）A．﹣B．C．﹣D．6．（2015?XX校级学业考试）若3sinx﹣cosx=2sin（x﹣φ），φ∈（﹣π，π），则φ=（）A．﹣B．C．D．﹣7．（2015?XX模拟）若△ABC中，cosA=，cosB= ，则cosC的值为（）A．B．﹣C．﹣D．8．（2012?XX）设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1D．39．（2011?新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．10．（2010?全国卷Ⅰ）记cos（﹣80°）=k，那么tan100°=（）A．B．﹣C．D．﹣11．（2012?XX）=（）A．﹣B．﹣C．D．12．（2013?XX）若sin=，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．13．（2015?XX模拟）已知α是△ABC的一个内角，tanα=，则cos（α+ ）等于（）A．B．C．D．14．（2016?XX一模）设α为锐角，若cos =，则sin 的值为（）A．B．C．﹣D．﹣15．（2015?XX模拟）计算sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的结果等于（）A．B．C．D．16．（2016?XX一模）已知角α，β均为锐角，且cosα=，tan（α﹣β）=﹣，tanβ=（）A．B．C．D．317．（2015?汇川区校级三模）若 sin（﹣α）=，则cos（+α）=（）A．±B．﹣C．﹣D．18．（2011?XX）若tanα=3，则的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．619．（2010?XX）函数f（x）=2sinxcosx是（）A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数20．（2015春?澄城县期末）在△ABC中，则C等于（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）21．（2011春?迎泽区校级期中）已知，则tanα的值为．22．（2009?XX区一模）函数y=sinx+ cosx的最小值是．23．（2013春?荔城区校级期中）若tanα=3，，则tan（α﹣β）等于．24．（2015秋?XX校级期末）已=2，则tanθ．25．（2007?XX一模）已知角α的终边在直线上，则2sinα+cosα的值是．26．（2011?XX模拟）若sinθ=﹣，tanθ＞0，则tan2θ=．三．解答题（共4小题）27．（2008?XX）已知，，α，β∈（0，π）（1）求tan（α+β）的值；（2）求函数的最大值．2f（x）=2cosx+228．（2014?XX模拟）设函数sinxcosx﹣1（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若0＜x≤，求y=f（x）的值域．229．（2013?江门一模）已知函数f（x）=2sinx?cosx+2cosx﹣1，x∈R．（1）求f（x）的最大值；（2）若点P（﹣3，4）在角α的终边上，求的值．30．（2015秋?通州区校级期末）已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点．（Ⅰ）求sinα，cosα，tanα的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．三角恒等变换基础过关练习参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2015?XX）若tanα=，tan（α+β）= ，则tanβ=（）A．B．C．D．【解答】解：∵tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=tan[（α+β）﹣α]===，故选：A．2．（2015?XX）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A．B．C．D．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=．故选：D．3．（2015?XX三模）已知sin（）= 则cos（x）等于（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：cos（x）=sin[﹣（x）]=sin（﹣x）=．故选：D．4．（2015?XX模拟）化简cos15°cos45°﹣cos75°sin45°的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：cos15°cos45°﹣cos75°sin45°=cos15°cos45°﹣sin15°sin45°=cos（15°+45°）=cos60°=故选A．5．（2015?XX一模）已知sinx+cosx=，则cos（﹣x）=（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：∵sinx+cosx=，∴2（sinx+cosx）=，∴2cos（﹣x）=∴cos（﹣x）=故选：B6．（2015?XX校级学业考试）若3sinx﹣cosx=2sin（x﹣φ），φ∈（﹣π，π），则φ=（）A．﹣B．C．D．﹣【解答】解：3sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣）=2sin（x﹣φ），∴φ=2kπ+，k∈Z，∵φ∈（﹣π，π），∴φ=，故选：B．7．（2015?XX模拟）若△ABC中，cosA=，cosB= ，则cosC的值为（）A．B．﹣C．﹣D．【解答】解：△ABC中，cosA=，cosB=，即有sinA==，sinB==，则cosC=﹣cos（A+B）=﹣（cosAcosB﹣sinAsinB）=﹣（×﹣×）=故选：D．8．（2012?XX）设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1D．3【解答】解：∵tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，∴tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2，则tan（α+β）===﹣3．故选A9．（2011?新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：根据题意可知：tanθ=2，所以cos2θ= = =，则cos2θ=2cos2θ﹣1=2×﹣1=﹣．故选：B．10．（2010?全国卷Ⅰ）记cos（﹣80°）=k，那么tan100°=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：法一，所以tan100°=﹣tan80°=．：法二cos（﹣80°）=k?cos（80°）=k，=11．（2012?XX）=（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：===sin30°=．故选C12．（2013?XX）若sin=，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：由二倍角的余弦公式可得cosa=1﹣2sin2=1﹣2×=1﹣=故选C13．（2015?XX模拟）已知α是△ABC的一个内角，tanα= ，则cos（α+ ）等于（）A．B．C．D．【解答】解：由于α是△ABC的一个内角，tanα=，则=，又sin2α+cos2α=1，解得sinα=，cosα=（负值舍去）．则cos（α+）=coscosα﹣sinsinα=×（﹣）=．故选B．14．（2016?XX一模）设α为锐角，若cos=，则sin的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵α为锐角，cos=，∴∈，∴==．则sin===．故选：B．15．（2015?XX模拟）计算sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的结果等于（）A．B．C．D．【解答】解：sin43°cos13°﹣cos43°sin13°=sin（43°﹣13°）=sin30°=．故选A16．（2016?XX一模）已知角α，β均为锐角，且cosα=，tan（α﹣β）=﹣，tanβ=（）A．B．C．D．3【解答】解：∵角α，β均为锐角，且cosα=，∴sinα=，tanα=，又tan（α﹣β）===﹣，∴tanβ=3，故选：D．17．（2015?汇川区校级三模）若 sin（﹣α）= ，则cos（+α）=（）A．±B．﹣C．﹣D．【解答】解：cos（α+）转化成cos[﹣（﹣α）]=sin（﹣α）=．故选：D．18．（2011?XX）若tanα=3，则的值等于（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：==2tanα=6故选D19．（2010?XX）函数f（x）=2sinxcosx是（）A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数【解答】解：∵f（x）=2sinxcosx=sin2x，∴f（x）为周期为π的奇函数，故选C20．（2015春?澄城县期末）在△ABC中，则C等于（）A．B．C．D．【解答】解：由tanA+tanB+=tanAtanB可得tan（A+B）==﹣=因为A，B，C是三角形内角，所以A+B=120°，所以C=60°故选A二．填空题（共6小题）21．（2011春?迎泽区校级期中）已知，则tanα的值为﹣．【解答】解：tanα===﹣，故答案为﹣．22．（2009?XX区一模）函数y=sinx+cosx的最小值是﹣2．【解答】解∵y=2sin（x+），∴y的最小值是﹣2．故答案为：﹣2．23．（2013春?荔城区校级期中）若 tanα=3，，则tan（α﹣β）等于．【解答】解：tan（α﹣β）===，故答案为．24．（2015秋?XX校级期末）已=2，则tanθ3．【解答】解：∵∴=2∴tanθ=3故答案为：325．（2007?XX一模）已知角α的终边在直线上，则2sinα+cosα的值是或．【解答】解：∵角α的终边在直线上，∴tanα=﹣，角α的终边在二象限或四象限．当角α的终边在二象限时，cosα=﹣，sinα= ，2sinα+cosα= ﹣=．角α的终边在四象限时，cosα=，sinα=﹣，2sinα+cosα=﹣+ =﹣．故答案为或．26．（2011?XX模拟）若sinθ=﹣，tanθ＞0，则tan2θ= ﹣．【解答】解：∵，故θ是第三象限角，∴cosθ=﹣，tanθ==，∴tan2θ==﹣，故答案为﹣．三．解答题（共4小题）27．（2008?XX）已知，，α，β∈（0，π）（1）求tan（α+β）的值；（2）求函数的最大值．【解答】解：（1）由，β∈（0，π）得，所以tanβ=2，于是tan（α+β）=．（2）因为所以= 故f（x）的最大值为．2（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若0＜x≤，求y=f（x）的值域．【解答】解：（1）因为f（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1=1﹣cos2x+ sin2x﹣1=2sin（2x+ ）．所以f（x）的最小正周期是T= ．（2）∵0 ，∴，∴∴，故函数y=f（x）的值域为[1，2]．229．（2013?江门一模）已知函数f（x）=2sinx?cosx+2cosx﹣1，x∈R．（1）求f（x）的最大值；（2）若点P（﹣3，4）在角α的终边上，求的值．【解答】解：（1）f（x）=sin2x+cos2x⋯（2分）=⋯（5分）所以f（x）的最大值为⋯（6分）．（2）由（1）得⋯（7分）=⋯（8分）P（﹣3，4）在角α的终边上，⋯（10分）所以⋯（11分）=⋯（12分）．30．（2015秋?通州区校级期末）已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点．（Ⅰ）求sinα，cosα，tanα的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．第11页（共12页）11 / 12【解答】解：（Ⅰ）由三角函数的定义知，角α终边与单位圆相较于点，∴sinα=y=，cosα=x=﹣，tanα==﹣．（Ⅱ）原式====﹣11．（Ⅲ）cos2α=2cos2α﹣1=2?﹣1= ，tan（α+ ）==﹣．第12页（共12页）12 / 12。

张喜林制第三章 三角恒等变换单元能力测控题测试时间：120分钟 试卷满分 :150分一、选择题（5分×12= 60分）1．已知ββππαα,1312sin ),,2(,53cos -=∈-=是第三象限角，则)cos(αβ-的值是( )．6533.-A 6563.B 6556.C 6516.-D2．已知α和β都是锐角，且=+=)cos(,135βααms ,54-则βsin 的值是( )． 6533.A 6516.B 6556.C 6563.D 3．已知),)(42,432(z k k k x ∈+-∈ππππ且,53)4cos(-=-x π则x 2cos 的值是( )．257.-A 2524.-B 2524.C 257.D4．设,1312cos )sin(sin )cos(=+-+x y x x y x 且y 是第四象限角，则2tan y的值是( )． 32.±A 23.±B 23.-C 32.-D5．函数|2cos||2sin|)(x x x f ππ+=的最小正周期是( )．π.A π2.B 1.C 2.D6．已知向量=∈=b a ),180,90(),sin 2,cos 2( φφφ),1,1(则向量a 与b 的夹角为( )．φ.A 45.-φB φ-513.C φ+ 45.D7．要得到函数x y 2sin 2=的图象，只需要将函数=y x x ms 2cos 23- 的图象( )． A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向左平移12π个单位8．已知),24(1312)4(πππ<<=+x x m s 则式子)4cos(2cos x x -π的值为( ）．1310.-A 1324.B 135.C 1312.-D9．函数2cos 32sin xx y +=的图象的一条对称轴方程是( )．π311.=x A 35.π=x B 35.π-=x C 3.π-=x D10.已知,2sin cos 1sin cos 1-=+++-xx xx 则x sin 的值为( )．54.A 54.-B 53.-C 515.-D11．已知),,0(),4,0(πβπα∈∈且,21)tan(=-βα,71tan -=β则βα-2的值是( )．65.π-A 32.π-B 127.π-C 43.π-D12．已知不等式-+=4cos 64cos 4sin23)(2x x x x f 026≤-m 对于任意的665ππ≤≤-x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )．3.≥m A 3.≤m B 3.-≤m C 33.≤≤-m D二、填空题（4分×4 =16分） 13．已知,1)sin(,31sin =+=y x x 则=+)2sin(x y 14.函数3)4cos(222sin +++=x x y π的最小值是15．函数xxy sin cos 1-=图象的对称中心是 （写出通式）16.关于函数,cos sin 322cos )(x x x x f -=下列命题：①若存在21,x x 有π=-21x x 时)()x (21x f f =±成立；)(x f ②在区间]3,6[ππ-上是单调递增；③函数)(x f 的图象关于点)0,12(π成中心对称图象；④将函数)(x f 的图象向左平移125π个单位后将与x y 2sin 2=的图象重合，其中正确的命题是____．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题（共74分） 17.（12分）已知,252tan12tan,20=+<<ααπα试求)3sin(πα-的值．18.（12分）已知,(cos ),cos ,sin 3(x b x x a ωωω=-=),0)(cos >ωωx 令函数,)(b a x f ⋅=且)(x f 的最小正周期为π (1)求ω的值；(2)求)(x f 的单调区间，19．（12分）设),sin ,cos 1(),sin ,cos 1(ββαα-=+=b a ),2,(),,0(),0,1(ππβπα=∈=c 设a 与c 的夹角为b ,1θ与c 夹角为,2θ且⋅=-621πθθ求8sinβα-的值．20.（12分）已知-=∈2tan 1(sin 21)(,2x x x f R x .2cos 23)2tan x x + (1)若,20π<<x 求)(x f 的单调递减区间；(2)若,23)(=x f 求x 的值．21.（12分）设函数a x x x x f ++=ωωωcos sin cos 3)(2（其中),,0R a ∈>ω且)(x f 的图象在），轴右侧的第一个最高点的横坐标为.6⋅π(1)求ω的值； (2)如果)(x f 在区间]65,3[ππ-上的最小值为,3求a 的值．22.（14分）（2011年重庆理）设-<=∈x a x x f R a sin cos )(*)2(cos )cos 2x x -+π满足),0()3(f f =-π求函数)(x f 在]2411,4[ππ上的最大值和最小值，。

两角和与差的正弦、余弦和正切基础梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β. (2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等． 三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列各式的值为14的是( )．A ．2cos 2π12－1 B ．1－2sin 275° C.2tan 22.5°1－tan 222.5°D ．sin 15°cos 15°2．(2011·福建)若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )． 3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )．4．(2011·辽宁)设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝( )．5．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20° tan 40°＝________.考向一 三角函数式的化简【例1】►化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .[审题视点] 切化弦，合理使用倍角公式．三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．【训练1】化简：(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α.考向二三角函数式的求值【例2】►已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin⎝⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值．三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．【训练2】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．考向三 三角函数的求角问题【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．【训练3】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．考向四 三角函数的综合应用【例4】►(2010·北京)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．【训练4】 已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值和最小值．三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法． 一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．【示例】► (2011·江苏)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为________．二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．【示例】► (2011·南昌月考)已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．▲三角恒等变换与向量的综合问题两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．【示例】► (2011·温州一模)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值．【课后训练】A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分) 1． (2012·江西)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ等于( ) A.15B.14 C.13 D.122． (2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于 ( ) A ．－53B ．－59C.59D.533． 已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010， 则α＋β等于 ( )A.π4B.3π4C.π4和3π4D ．－π4和－3π44． (2011·福建)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22B.33C. 2D. 3二、填空题(每小题5分，共15分)5． cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于________．6. 3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________. 7．sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β＝____________.三、解答题(共22分) 8． (10分)已知1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的α的取值集合．9． (12分)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若s in(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值．＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·山东)若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ等于( ) A.35B.45C.74D.342． 已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.1318 B.1322 C.322D.163． 当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的( )A ．最大值是1，最小值是－1B ．最大值是1，最小值是－12C ．最大值是2，最小值是－2D ．最大值是2，最小值是－1二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α＝_______.5．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝_________.6． 设x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为________．三、解答题7． (13分)(2012·广东)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值．。

简单的三角恒等变换学习过程知识点1： 各个公式熟练掌握诱导公式，两角和差的正弦、余弦、正切公式。

知识点2 ：三角恒等变换主要包括：①角的变换——异角变同角②名的变换——异名化同名③式的变换——幂的升降等典型例题例题1、 求证αββαβαβα2222tan tan 1cos sin )sin()sin(-=-+．例题2、 已知：sin β＝ｍ·sin (2α＋β)，求证：tan (α＋β)＝m m -+11t anα例题3、 求tan 70°＋tan 50°－3tan 50°tan 70°的值.例题4、若A 、B 、C 是△ABC 的内角，cosB ＝12, sinC ＝35, 求cosA 的值.简单的三角恒等变换（基础训练）1． 若51124παπ<<，sin2α=－45，求tan 2α________________ 2． 已知sinθ=35-，73<<2ππθ，则tan 2θ的值为___________． 3． 已知3sin +cos = 225αα-，且5<<32παπ，则cot 4α的值为____________． 4．已知α为钝角、β为锐角且4sin 5α=，sinβ= 1213，则cos 2αβ-的值为____________． 5、设5π＜θ＜6π，cos2θ=a ，则sin 4θ的值等于________________6．化简1+sin2cos 21+sin2cos 2θθθθ-+7、求证：2sin （4π－x ）·sin （4π+x ）=cos2x ．8、求sin15°，cos15°，tan15°的值简单的三角恒等变换（强化训练）1、①化简：sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝ ②化简：＝. 2、12sin 702sin170-︒︒的值等于３、3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ） A 、3365- B 、6365 C 、5665 D 、1665- ４、已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（ ）A 47-B 47C 18D 18- ５、求证：2212sin cos 1tan cos sin 1tan a a a a a a -⋅-=-+６、设－3π＜α＜52π-，化简1cos()2a π--简单的三角恒等变换（提高训练）１、βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则βsin 的值是（ ） A 、3365 B 、1665 C 、5665 D 、6365 ２、)4,43(ππ-∈x 且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭则cos2x 的值是（ ） A 、725- B 、2425- C 、2425 D 、725３、 函数44sin cos y x x =+的值域是（ ）A []0,1B []1,1-C 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦４、求证：4sinθ·2cos 2θ=2sinθ+sin2θ．５、设25sin2x+sinx －24=0，x 是第二象限角，求cos 2x的值６、已知sinα=1213，sin （α+β）=45，α与β均为锐角，求cos 2β三角恒等变换测试题一、选择题1．设2132tan131cos50cos6sin 6,,,221tan 132a b c -=-==+则有（）A .a b c >>B .a b c <<C .a c b <<D .b c a <<2．函数221tan 21tan 2xy x -=+的最小正周期是( )A ．4πB ．2πC ．πD ．2π3．sin163sin 223sin 253sin313+=（ ）A ．12- B ．12 C ．32- D ．324．已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为（ ）A .1925 B .1625 C .1425 D .7255．若(0,)απ∈，且1cos sin 3αα+=-，则cos 2α=( ) A ．917 B ．179± C ．179-D ．317 6．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为（ ）A ．4πB ．2π C ．π D ．2π 二、填空题1．已知在ABC ∆中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1,A B B A +=+=则角C 的大小为 ．2．计算：oo o oo o 80cos 15cos 25sin 10sin 15sin 65sin －＋的值为_______． 3．函数22sincos()336x x y π=++的图象中相邻两对称轴的距离是 ． 4．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 ． 5．已知)sin()(ϕω+=x A x f 在同一个周期内，当3π=x 时，)(x f 取得最大值为2，当 0=x 时，)(x f 取得最小值为2-，则函数)(x f 的一个表达式为______________．三、解答题1. 求值：（1）000078sin 66sin 42sin 6sin ； （2）00020250cos 20sin 50cos 20sin ++。

第三章测试一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin105°cos105°的值为( )A.14 B ．－14 C.34 D ．－34解析 原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－14.答案 B2．若sin2α＝14，π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( ) A.32 B ．－32 C.34 D ．－34解析 (cos α－sin α)2＝1－sin2α＝1－14＝34. 又π4<α<π2，∴cos α<sin α，cos α－sin α＝－34＝－32.答案 B3已知180°<α<270°，且sin(270°＋α)＝45，则tan α2＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3答案 D4．在△ABC 中，∠A ＝15°，则 3sin A －cos(B ＋C )的值为() A. 2 B.22 C.32 D. 2解析 在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π，3sin A －cos(B ＋C )＝3sin A ＋cos A ＝2(32sin A ＋12cos A )＝2cos(60°－A )＝2cos45°＝ 2.答案 A5．已知tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ等于( )A ．－65B ．－45 C.45 D.65 解析 原式＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝65. 答案 D6．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析 ∵sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B ，或∠A ＋∠B ＝π2.答案 D7．设a ＝22(sin17°＋cos17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c解析 a ＝22sin17°＋22cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°，b ＝2cos 213°－1＝cos26°，c ＝32＝cos30°，∵y ＝cos x 在(0,90°)内是减函数，∴cos26°>cos28°>cos30°，即b >a >c .答案 A8．三角形ABC 中，若∠C >90°，则tan A ·tan B 与1的大小关系为( )A ．tan A ·tanB >1 B. tan A ·tan B <1C ．tan A ·tan B ＝1D ．不能确定解析 在三角形ABC 中，∵∠C >90°，∴∠A ，∠B 分别都为锐角．则有tan A >0，tan B >0，tan C <0.又∵∠C ＝π－(∠A ＋∠B )，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B<0， 易知1－tan A ·tan B >0，即tan A ·tan B <1.答案 B9．函数f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数解析 f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin2x . 答案 A10．y ＝cos x (cos x ＋sin x )的值域是( )A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋22，2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 解析 y ＝cos 2x ＋cos x sin x ＝1＋cos2x 2＋12sin2x ＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin2x ＋22cos2x ＝12＋22sin(2x ＋π4)．∵x ∈R ， ∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1时，y 有最大值1＋22； 当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－1时，y 有最小值1－22.∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22.答案 C 11.2cos10°－sin20°sin70°的值是( ) A.12 B.32 C. 3D. 2 解析 原式＝2cos (30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝ 3. 答案 C12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，则cos α的值为( ) A.5665 B.1665 C.5665或1665 D ．以上都不对解析 ∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝1213>0，∴0<α＋β<π2，sin(α＋β)＝513.∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝35>0，∴0<2α＋β<π2，sin(2α＋β)＝45.∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β)＝35×1213＋45×513＝5665.答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．已知α，β为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.解析 ∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β.∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(sin β＋cos β)．∵β为锐角，∴sin β＋cos β≠0，∴cos α＝sin α，∴tan α＝1.答案 114．已知cos2α＝13，则sin 4α＋cos 4α＝________.解析 ∵cos2α＝13，∴sin 22α＝89.∴sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α＝1－12sin 22α＝1－12×89＝59.答案 5915.sin (α＋30°)＋cos (α＋60°)2cos α＝________. 解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sin αcos30°＋cos αsin30°＋cos αcos60°－sin αsin60°＝cos α，∴原式＝cos α2cos α＝12.答案 1216．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)，则下列命题：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )最小正周期是π；③y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos2x 的图象向右平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是________．解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 ＝2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π4 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12， ∴y ＝f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确． 又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数，故③正确．由④得y ＝2cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π24＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12，故④正确． 答案 ①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－23，－1，n ＝(sin x,1)，m 与n 为共线向量，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0. (1)求sin α＋cos α的值；(2)求sin2αsin α－cos α的值． 解 (1)∵m 与n 为共线向量，∴⎝⎛⎭⎪⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0， 即sin α＋cos α＝23.(2)∵1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2＝29，∴sin2α＝－79. ∴(sin α－cos α)2＝1－sin2α＝169.又∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，∴sin α－cos α<0.∴sin α－cos α＝－43.∴sin2αsin α－cos α＝712. 18．(12分)求证：2－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 4α－sin 4α＝1＋tan α1－tan α. 证明 左边＝2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α－sin 2α＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos 2α－sin 2α＝1＋sin2αcos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α.∴原等式成立． 19．(12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值． 解 (1)解法1：∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2， 于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝7210.sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin π4＝7210×22＋210×22 ＝45.解法2：由题设得22cos x ＋22sin x ＝210，即cos x ＋sin x ＝15.又sin 2x ＋cos 2x ＝1，从而25sin 2x －5sin x －12＝0，解得sin x ＝45，或sin x ＝－35，因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以sin x ＝45. (2)∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，故 cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35. sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425. cos2x ＝2cos 2x －1＝－725.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350.20．(12分)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，c ＝(3，－1)，其中x ∈R .(1)当a ⊥b 时，求x 值的集合；(2)求|a －c |的最大值．解 (1)由a ⊥b 得a ·b ＝0，即cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝0， 则cos2x ＝0，得x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，∴x 值的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π2＋π4，k ∈Z .(2)|a －c |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2＋12 ＝cos 23x 2－23cos 3x 2＋3＋sin 23x 2＋2sin 3x 2＋1 ＝5＋2sin 3x 2－23cos 3x 2＝5＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－π3， 则|a －c |2的最大值为9.∴|a －c |的最大值为3.21．(12分)某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 cm ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．解 连接OC ，设∠COB ＝θ，则0°<θ<45°，OC ＝1.∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD ＝cos θ－sin θ，∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝(cos θ－sin θ)·sin θ＝－sin 2θ＋sin θcos θ＝－12(1－cos2θ)＋12sin2θ＝12(sin2θ＋cos2θ)－12＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4－12. 当2θ－π4＝0，即θ＝π8时，S max ＝2－12(m 2)．∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12 m 2.22．(12分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值． 解 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx .所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx 2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12 ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.由于ω>0，依题意得2π2ω＝π.所以ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12.所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16，π4≤4x ＋π4≤π2.所以22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1.。

单元测试练习 三角恒等变换一、选择题1．式子26cos 34cos 26sin 34sin -的值为（ ） A.21 B. 8cos C. －21 D. － 8cos 2．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形3．下列函数中，周期为2π的是( ) A ．12sin 2+=x y B ．y ＝sin x cos x C ．4cosx y =D ．y ＝cos 22x －sin 22x4．下列各式中，值为23的是( ) A ．2sin15°－cos15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°－1D ．sin 215°＋cos 215°5．函数y ＝sin x ＋cos x ＋2的最小值是( ) A ．22-B ．22+C ．0D ．16．若sin 2x ＞cos 2x ，则x 的取值范围是( )A ．},4ππ2π43π2|{Z ∈+<<-k k x k x B ．},π45π24ππ2|{Z ∈+<<+k k x k xC ．},4ππ4ππ|{Z ∈+<<-k k x k xD ．},π43π4ππ|{Z ∈+<<+k k x k x7．若22)4π(n si 2cos -=-αα，则cos α ＋sin α 的值为( )A ．27-B ．21-C ．21 D ．278．若f (x )·sin x 是周期为π的奇函数，则f (x )可以是( ) A ．sin x B ．cos x C ．sin2x D ．cos2x二、填空题9．若51cos sin =+θθ，则sin2θ 的值是______． 10．已知tan 2x =，则3sin 22cos 2cos 23sin 2x xx x +-的值为 ．11．如果1312cos -=θ，其中)2π3,π(∈θ，那么)4πcos(+θ的值等于______．12．若tan α=3，tan β=34，则tan （α-β）等于______．13．若51)cos(=+βα，53)cos(=-βα，则tan α tan β ＝______．14．若角α 的终边经过点P (1，－2)，则sin2α 的值为______．三、解答题 15．、已知0<α<2π，sin α=541） 求αααα2cos cos 2sin sin 22++的值；2） 求tan （α-45π）的值。