文科考研微积分第二章 一元函数微分学

第二章 一元函数微分学§2.1 导数与微分（甲） 内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。

如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0x x y ='，x x dxdy=，)(x x dxx df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。

如果上面的极限不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。

导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆，则0000()()()l i m x x f x f x f x x x →-'=- 我们也引进单侧导数概念。

右导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→∆→-+∆-'==-∆ 左导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---→∆→-+∆-'==-∆ 则有：)(x f 在点0x 处可导)(x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。

2．导数的几何意义与物理意义如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。

切线方程：000()()()y f x f x x x '-=- 法线方程：00001()()(()0)()y f x x x f x f x '-=--≠'设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =，如果0()f t '存在，则0()f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。

第二章一元函数微分学110拐点判断定理:若曲线)(x f y =,0连续在点x 0)(0=′′x f 或不存在,但)(x f ′′在两侧异号,0x 则点))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的一个拐点.曲线的渐近线(1)水平渐近线.)(),()(lim )(lim 的一条水平渐近线就是那么为常数或如果x f y b y b b x f b x f x x ====−∞→+∞→考试要求1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系,了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念),会求平面曲线的切线方程和法线方程.2.掌握基本初等函数的导数公式.导数的四则运算法则及复合函数的求导法则,会求分段函数的导数,会求反函数与隐函数的导数.3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数.4.了解微分的概念,导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性,会求函数的微分.5.理解罗尔(Rolle)定理.拉格朗日(Lagrange)中值定理.了解泰勒(Taylor)定理.柯西(Cauchy)中值定理,掌握这四个定理的简单应用.136.会用洛必达法则求极限.7.掌握函数单调性的判别方法,了解函数极值的概念,掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点和渐近线.9.会描述简单函数的图形.1419设||3)(23x x x x f +=,则)(x f 在0=x 处可求导的最高阶数为( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 只要考虑||2x x 的可导性,)(x g ′′在0=x 处的左、右导数分别为6和6−,故不可导,故)(x f 在0=x 处可求导的最高阶数为2阶,本题应选C.例5解⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=,0,,0,0,0,)(33x x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=′,0,3,0,0,0,3)(22x x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=′′.0,6,0,0,0,6)(x x x x x x g21设)(x y y =是由方程y x xy+=e 所确定的隐函数,求:)0(),0(y y ′′′.方程两边关于x 求导,得)1(,1)( y y x y xye ′+=′+,11)0(0式带入及将)(==y x .0)0(=′∴y (1)式两边再关于x 求导,得,)2()(2y y x y y x y xyxy ′′=′′+′+′+e e ,代入及将0)0(1)0(,0=′==y y x .1)0(=′′y 得例7解33。

一元函数微分学一元函数微分学教案引言：微分学是高等数学的重要分支，它研究的是函数的变化规律和局部性质。

一元函数微分学是微分学的基础，是学习微分学的第一步。

本教案将从函数的极限、导数的定义和性质、微分中值定理以及应用等方面进行论述，帮助学生全面理解一元函数微分学的基本概念和方法。

一、函数的极限1. 函数的极限的概念函数的极限是指当自变量趋近于某个值时，函数的取值趋近于某个常数。

通过引入极限的概念，可以研究函数在某一点的趋势和变化规律。

2. 函数极限的性质函数极限具有唯一性、局部性和保号性等性质。

唯一性指函数极限只有一个确定的值；局部性指函数在某一点的极限与该点附近的函数值有关；保号性指函数在某一点的左右极限可以确定函数在该点的取值范围。

二、导数的定义和性质1. 导数的定义导数是函数在某一点的变化率，表示函数曲线在该点处的切线斜率。

导数的定义是极限的一种特殊形式，通过求函数在某一点的极限可以得到函数在该点的导数。

2. 导数的性质导数具有线性性、乘积法则、商法则和复合函数法则等性质。

线性性指导数具有加法和乘法的线性性质；乘积法则指导数的乘积等于函数的导数与函数的乘积之和；商法则指导数的商等于函数的导数与函数的商之差；复合函数法则指导数的复合函数等于函数的导数与外函数的导数的乘积。

三、微分中值定理1. 罗尔定理罗尔定理是微分中值定理的一种特殊形式，它表明如果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且在两个端点处的函数值相等，那么在开区间上至少存在一个点，使得该点处的导数等于零。

2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的一般形式，它表明如果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，那么在开区间上至少存在一个点，使得该点处的导数等于函数在两个端点处的斜率。

四、应用1. 函数的单调性和极值通过导数的正负可以判断函数的单调性和极值。

当导数大于零时，函数单调递增；当导数小于零时，函数单调递减；当导数等于零时，函数可能存在极值。

第二章一元函数微分学导数的概念定义设函数y=f(x)在点x 0的某一邻域内有定义，若自变量x 在点X 。

处的改变 量为△ x(x 0+Ax 仍在该邻域内).函数y 二f(x)相应地有改变量△『= f(xo+Z\x)・f(xo),若果极限点Xo 处的导数，记作 ____ 或 _________ f '(Xo),即f(x 0)= ___________________ . 此时称函数y 二f(x)在点Xo 处可导.如果上述极限不存在，则称函数y 二f(x)在点 X 。

处不可导.下面是两种等价形式：f'(Xo)= __________________ = ___________________ •当 Xo =0,W: r (0)= _____________ ,如果y 二f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，则称函数f(x)在开区间(a,b)内可导, 由于对于(a,b)内每一点x,都对应一个导数值F(x),因此又称此F(x)为函数f(x) 在(a,b)内的 __简称为 _____ ，记作 __ 或一—.f(x)在点x 0的导数f'(xo)可以看做是导数f'(x)在点x=x 0处的函数值，即 f(x 0)= • 注意：f'(xo)工［f(x°)y■.・ /(兀0 +山)一/(旺)如果y=f(x)在点X 。

及其左侧邻域内有定义，当hm —T —存在时，则称该极值为f(x)在点X 。

处的 ______ 记为—.同理，定义右导数性质 函数y=f(x)在点x 0处可导<・・> ________左导数与右导数常用于判定分段函数在其分段点处的导数. 导数的几何意义 如果函数y 二f(x)在点X 。

处的导数F(x°)存在，则在几何上表明曲线尸f(x)在点 (xo, f(x 0))处存在切线,且切线斜率为_•可导函数与连续性的关系函数y 二f(x)在点xo 处可导，是函数y 二f(x)在点xo 处连续的 _______ 条件. 如u 二u(x),v=v(x)都在x 处可导，由导数的定义可以推得u±v 在x 处也可导，且 (u±vf= ________ (导数的和差运算公式).导数的运算3.1基本初等函数的导数公式c'=_(c 为常数)(兀")‘二 ________ ( n G R) (a x y= ________________(e x y = _________ (logx) = ------------------------------ (In xY = ____________(sin x)f = _________ (cos xY = ______________ (tan x)z = _____________(cot x)f = _________ (arcsin x)f - ____________ (arccos x)z = ____________存在,则称此极限值为函数沪f(x)在2.(arctan x\ = _________ {arc cot xY = ______________________________3.2导数的四则运算法则设u二u(x),v=v(x)都在X处可导侧(cuf= ___ (c 为常数) (u±vf= ___________ (uvf= ________________(；)z= _______ (vHO) (^= ___________ ( vHO ,c 为常数)3.3反函数的求导法则设函数x=(p(y)在某个区间内单调町导，且啓(y)H0,则其反函数y二f(x)在其对应区间内也可导，且有f(x)= ____ •3.4复合函数的求导法则设y = f(u)z u = g(x)复合成y =f[g(x)],若u二g(x)在点x处可导"二f(u)在相应点u = g(x)可导,则复合函数y =f[g(x)]在点x可导,且有链式法则旷 -------- = ---------3.5隐函数的求导法则设y=f(x)是由方程F(x,y) = 0确定的.求V只须直接由方程F(x’y) = 0关于x求导，将y看做是______ 依复合函数链式法则求之.3.6由参数方稈确定的函数的求导法则设y二y(x)是由{ 所确定的.其中(p⑴，叭t)为可导函数，且卩⑴H O,则空_ 一一------ 一--------3.7对数求导法对于幕函数y = 或y由若干个函数连乘、除、开方所构成,通常可以先用—改变函数类型.如y = u：两端取对数：___________ ,化幕指函数为隐函数，如y =N),两端取对数：化为隐函数,然后利用隐函数的求导法则求导.3.8高阶导数二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数,对于求n阶导数，需要注意从屮找出规律，以便得到n阶导数的________ .常见n阶导数公式：(a x)(n) = _______ (e x)(n) = ______________ (x n)(n) = ______________（x w ）（fl ） = ____ （正整数 m<n ）（sin 工）（"）= _____ _______（cos x ）（n ） = ________ _______4. 洛必达法则 4.1未定型〃訂的极限⑴设函数f(x)与F(x)满足以下条件：① 在点X 。

第二章 一元函数微分学2013考试内容 (本大纲为数学1，数学2-3需要根据大纲作部分增删)导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值 弧微分 曲率的概念 曲率圆与曲率半径2013年考试要求1. 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。

了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

3. 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

4. 会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

5. 理解并会用罗尔（Rolle ）定理、拉格郎日（Lagrange ）中值定理和泰勒（Taylor ）定理，了解并会用柯西（Cauchy ）中值定理。

6. 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

7. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。

8. 会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间（a ，b ）内，设函数f(x)具有二阶导数。

当''()0f x >时，f(x)的图形是凹的；当''()0f x <时，f(x)的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

一、导数的定义、几何意义、物理意义、经济学意义1.1定义：()f x 在0x 的某一邻域内有定义，而且000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆存在；称0000()()lim=()x f x x f x f x x∆→+∆-'∆为导数。

考研数学二（一元函数微分学）-试卷1(总分：58.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________2.设f(x)在x=a处可导，且f(a)≠0，则｜f(x)｜在x=a处( )．（分数：2.00）A.可导B.不可导C.不一定可导D.不连续3.设ξ为f(x)=arctanx在[0，a]( ) 2.00）A.B.C.D.4.设f(x)在x=a 2.00）A.-f""(a)B.f""(a)C.2f""(a)5.设f(x)在x=0处二阶可导，f(0)=0 2.00）A.f(0)是f(x)的极大值B.f(0)是f(x)的极小值C.(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D.f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点6.设f(x)连续可导，g(x) 2.00）A.x=0为f(x)的极大点B.x=0为f(x)的极小点C.(0，f(0))为y=f(x)的拐点D.x=0既不是f(x)极值点，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐点7.设f(x)在x=a处的左右导数都存在，则f(x)在x=a处( )．（分数：2.00）A.一定可导B.一定不可导C.不一定连续D.连续8.曲线 2.00）A.0条B.1条C.2条D.3条9.设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其导数的图形如右图，则f(x)有( ) 2.00）A.两个极大点，两个极小点，一个拐点B.两个极大点，两个极小点，两个拐点C.三个极大点，两个极小点，两个拐点D.两个极大点，三个极小点，两个拐点二、填空题(总题数：5，分数：10.00)10.设 2.00）填空项1:__________________11.设两曲线y=x 2 +ax+b与-2y=-1+xy 3在点(-1，1)处相切，则a= 1，b= 2（分数：2.00）填空项1:__________________填空项1:__________________12.设函数 2.00）填空项1:__________________13.设f(x) 2.00）填空项1:__________________14.设f(x)在x=1处一阶连续可导，且f"(1)=-2 2.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：15，分数：30.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第二章 一元函数微分学及其应用知识点拔2.1 导数的概念一、导数的概念1、函数)(x f 在点0x 导数的定义设函数)(x f y =在0x 的某个邻域内有定义，给自变量0x 以增量x ∆，而相应的函数增量为y ∆，若极限x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000（或写成000)()(limlim 0x x x f x f x y x x x --=∆∆→→∆）存在，则称函数)(x f y =在点0x 可导，并称此极限值为函数)(x f 在0x 点的导数.记作：000),(x x dxdyx x y x f ==''或，且有x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0000 注释：① 函数在点0x 可导必须满足两个条件：a 、)(x f 必须在点0x 的某个邻域),(00δδ+-x x 内有定义，如：x y =在0=x 不可导，因在0<x 时无定义；b 、极限x yx ∆∆→∆lim必须存在，如：x y =，由于极限xy x ∆∆→∆0lim 不存在，所以x y =在0=x 不可导.② 函数在点0x 可导，不能保证函数在点0x 的邻域内可导.如：⎩⎨⎧=，x x x x f 为无理数为有理数,0,,)(2 在点0=x 处可导，且0)0(='f ，但在0≠x 时它不可导，也就是说，或函数)(x f 的0x 可导，则一定有xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim000存在，但是若极限xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim000存在，也不能说)(x f 在0x 点可导，因为它不能保证)(x f 在0x 点有定义.③ 几个常用导数定义的等价形式h x f h x f x f h )()(lim)(0000-+='→；h x f h x f x f h ---='→)()(lim )(0000；h h x f x f x f h )()(lim)(0000--='→；hx f h x f x f h 2)()2(lim )(0000-+='→；h h x f x f x f h 2)2()(lim)(0000-+-='→，一般地有h a x f h a x f x f h ⋅-⋅+='→)()(lim )(0000，ha h a x f x f x f h ⋅-⋅+-='→)()(lim)(0000（a 为常数）；其通式为)()())((lim)(0000x u x f x u x f x f h -+='→，其中)(x u 为奇函数.2、函数)(x f 在区间上的导数定义如果函数)(x f y =在区间),(b a 内的某一点都可导，则称函数)(x f y =在区间),(b a 内可导，那么对于区间),(b a 内的任一点x ，都对应于一个确定的函数值)(x f '，这个新的函数称为函数)(x f y =的导函数，简称：导数，记作：)(x f '、y '、dx dy 、dxx df )(， 即xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim)(00，其中),(b a x ∈.注释：函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f '是导函数)(x f '在点0x x =处的函数值，即)()(0x x x f x f ='='，但])([)(00'≠'x f x f .二、导数的几何意义 1、几何意义可导函数)(x f y =在0x 点的导数)(0x f '是曲线)(x f y =在点)(,(00x f x 处的切线斜率. 2、切线方程与法线方程曲线)(x f y =在点)(,(00x f x 处的切线方程为：))((000x x x f y y -'=-； 曲线)(x f y =在点)(,(00x f x 处的法线方程：)()(1000x x x f y y -'-=-.三、左右导数的概念 1、左右导数的定义右导数：000000)()(lim )()(lim )(0x x x f x f x x f x x f x f x x x --=∆-∆+='++→→∆+； 左导数；000000)()(lim )()(lim )(0x x x f x f x x f x x f x f x x x --=∆-∆+='--→→∆-； 2、可导的充要条件定理 )(x f 在0x 可导)()(00x f x f -+'='⇔，即左、右导数存在且相等. 注释：该定理主要用于讨论分段函数在分段点处的导数是否存在. 四、可导与连续的关系定理 如果函数)(x f 在点0x 处可导，则)(x f 在点0x 处连续，反之不成立.注释：① 若函数在某一点连续，但函数在该点不一定可导，如x y =在0=x 连续，但在0=x 不可导，即函数在某点连续是它在该点可导的必要条件.② 函数在点0x 可导，不能得到它在点0x 的某个邻域内连续，如：⎩⎨⎧=，x x x x f 为无理数为有理数,0,,)(2在0=x 可导，且在0=x 连续，但在0≠x 的任何点都不连续.③ 函数在0x 处可导，不能得到它的导函数在0x 点连续，如：⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,0,1cos )(2x x xx x f 在0=x 可导，但⎪⎩⎪⎨⎧=≠+='0,00,1sin cos 2)(x x xx x x f 在0=x 不连续. 2.2 一元函数的求导法则一、基本初等函数的求导公式（略）二、导数的四则运算法则定理 设函数)(x u 与)(x v 在点x 处都可导，则（1）v u v u '±'='±)(；（2）v u v u v u '±'='⋅)(，特别地u C Cu '=')(，C 为常数；（3）2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛，特别地2v v C v C '-='⎪⎭⎫⎝⎛，其中0≠v . 三、复合函数的求导法则定理 若函数)(x u ϕ=在x 点可导，而)(u f y =在对应的点u 处可导，则复合函数)]([x f y ϕ=在点x 可导，且有dxdudu dy dx dy ⋅= 或 )()]([)(x x f u u f y x x ϕϕ'⋅'='⋅'='. 四、反函数的求导法则定理 若函数)(y x ϕ=在某一区间内单调且可导，且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应的区间上也可导，且有)(1)(y x f ϕ'=' 或dydx dx dy 1=. 注释：① 只有满足求导法则的条件时，才能使用求导法则.② 函数的和、差、积、商、复合函数是可导的，不能保证各自是可导的. 如：⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x f ,1,0)(，⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x g ,0,1)(，因1)()(=+x g x f ，0)()(=⋅x g x f ，0)]([=x g f ，1)]([=x f g 在任意点都是可导的，但)(x f 及)(x g 在任一点都不可导.2.3 高阶导数一、高阶导数的概念 1、二阶导数的定义若函数)(x f y =的导数)(x f '对自变量x 仍可导，则称)(x f '对x 的导数为函数)(x f y =的二阶导数，记作：)(x f ''、y ''、22dx y d 或22xfd .2、高阶导数定义二阶及其以上阶的导数叫高阶导数，一般地)()1(x fn -的导数，称为)(x f 的n 阶导数，记作：)()(x fn 、)(n y、nn dxy d 或n n dx f d ，即[]'=-)()()1()(x f x f n n （4≥n ）. 3、高阶导数的运算法则 （1）)()()()(n n n u u υυ±=± （2）莱布尼兹公式)0()()1(1)()0(0)(0)()()(v u C v u C v u C v u C uv n n n n n n n k n nk k k n n ⋅++⋅'+⋅==--=∑ ，其中u u =)0(，v v =)0(.二、几个常用函数的高阶导数!)()(n x n n =，)()1()1()()(n m x n m m m x n m n m ≥+--=- ，0)()(=n m x （正整数n m <）， n x n x a a a )(ln )()(=，ax n n ax e a e =)()(，x n n x e e ---=)1()()(，x n x e e =)()(，)2sin()(sin )(πn x x n +=，)2cos()(cos )(πn x x n +=，nn n xn x )!1()1()(ln 1)(--=-， 1)()(!)1(1++-=⎪⎭⎫⎝⎛+n n n n b ax a n b ax ，1)()(!)1(1++-=⎪⎭⎫⎝⎛+n n n a x n b x ，1)(!)1(!+-=⎪⎭⎫⎝⎛n n n xn x .2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数求隐函数的导数一般有以下三种方法： 1、公式法设方程0),(=y x F 决定了y 是x 的函数，则),(),(y x F y x F dx dyy x-=. 2、利用一阶微分形式的不变性方程两边同时微分，可得含有dx 、dy 的一个方程，从中求出微商dxdy即可. 3、利用复合函数的求导法则第一步：方程两边同时对x 求导，当遇到y 的表达式时，把y 看成是x 的函数（即先对y 求导，再乘以y 对x 的导数y '），可得到一个含有x 、y 、y '的方程；第二步：从上述方程中解出y '即可. 二、由参数方程所确定的函数的导数 1、一阶导数设⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ（βα≤≤t ），)(t ϕ和)(t ψ都可导且0)(≠'t ϕ，则)()(t t dx dy ϕψ''=. 2、高阶导数：)(1][)1(t y dxy d t n nn ϕ'⋅'=-（2≥n ）. 三、幂指函数的导数设幂指函数)()]([x v x u y =（其中0)(>x u ，1)(≠x u ），则幂指函数的求导公式为]ln [)]()()()(ln )([)(][])([)()(ln )()(u uvu v u x u x u x v x u x v x u e x u y v x v x u x v x v ⋅+'⋅='⋅+'⋅='=='. 2.5 函数的微分一、微分的概念 1、微分的定义设函数)(x f y =在0x 点的某个邻域内有定义，若函数的改变量y ∆可以表示为自变量增量x ∆的线性函数x ∆⋅A （其中A 是与0x 有关，而与x ∆无关的常数）与一个比x ∆高阶无穷小)(x o ∆之和，即)(x o x y ∆+∆⋅A =∆，则称函数)(x f 在0x 处可微，其中x ∆⋅A 称为函数)(x f 在0x 处的微分，记作：x A dyx x ∆⋅==0.注释：（1）函数)(x f 在点0x 可微必须满足两个条件：a 、函数)(x f 在0x 的某个邻域内必须有定义；b 、等式)(x o x y ∆+∆⋅A =∆成立.（2）若函数)(x f 在点0x 处可微，则dx x f dyx x )(00'==（由于x x x dx ∆=∆⋅'=)(）.2、可微的充要条件定理 )(x f 在0x 点可微⇔)(x f 在0x 可导.3、若函数)(x f 在区间I 上的任一点x 都可微，则称函数)(x f 为I 上的可微函数且有dx x f dy )('=.二、复合函数的微分法则定理 如果函数)(u f y =可微，函数)(x u u =也可微，则复合函数)]([x u f y =的微分为dx x u u f dy )()('⋅'=，也可以写成du u f dy )('=.2.6 微分中值定理一、罗尔（Rolle ）中值定理定理（罗尔（Rolle ）定理） 设函数)(x f 满足条件: （1）函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续； （2）函数)(x f 在开区间),(b a 内可导； （3）)()(b f a f =，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(='ξf .注释：罗尔中值定理可用来证明方程在某个范围内至有一个实根. 二、拉格朗日（Lagrange ）中值定理定理（拉格朗日（Lagrange ）定理） 设函数)(x f 满足条件： （1）函数)(x f 在[]b a ,上连续； （2）函数)(x f 在),(b a 内可导， 则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得()ab a f b f f --=')()(ξ或())()()(a b f a f b f -'=-ξ.推论1 如果函数)(x f y =在区间),(b a 内的导数恒等于零，即0)(≡'x f ，则C x f ≡)(（常数）.推论2 如果函数)(x f 与)(x g 在区间),(b a 上的导数恒相等，即)()(x g x f '≡'，则)(x f 与)(x g 只相差一个常数C ，即C x g x f +=)()(（C 为常数）.三、柯西中值定理定理（柯西（Cauchy ）中值定理） 设函数)(x f 和)(x g 满足 （1）函数)(x f ，)(x g 在闭区间[]b a ,上连续；（2）函数)(x f ，)(x g 在开区间),(b a 内可导，且0)(≠'x g ，)()(b g a g ≠， 则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''=--. 注释：① 柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，即当x x g =)(时，Cauchy 中值定理就变成了拉格朗日中值定理.②Lagrange 中值定理是Rolle 中值定理的推广，即当)()(b f a f =时，Lagrange 中值定理就成了Rolle 中值定理.③在数学理论上Lagrange 中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理，而Rolle 中值定理也看作是Lagrange 中值定理的预备定理，Cauchy 中值定理虽然更广，但使用不多，在实际应用中，使用Rolle 中值定理的最多，其次是Lagrange 定理，而使用Cauchy 中值定理的较少.2.7 函数的单调性与极值一、函数单调性的判定方法设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，如果在),(b a 内有0)(>'x f （或0)(<'x f ），则称)(x f 在[]b a ,上是严格单调增加的（或严格单调减少的）.注释：① 若在),(b a 内有0)(>'x f （或0)(<'x f ），它是)(x f 在[]b a ,上严格单调增加（或严格单调减少）的充分条件，而不是必要条件，如：3x y =在（+∞∞-,）上单调增加，但032≥='x y .② 对于函数)(x f ，若0)(0>'x f （或0)(0<'x f ），不能得到)(x f 在0x 点的某邻域内单调增加（或单调减少）.如：⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,1cos )(2x x xx x x f 01)0(>='f ，但)(x f 在0=x 的任一邻域内不单调.③在满足判别法的条件时，函数不仅在开区间),(b a 内单调，而且在闭区间[]b a ,上也单调. 二、函数的极值 1、函数极值的概念定义 设函数)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，若对于该邻域内任何异于0x 的x 都有)()(0x f x f <（或)()(0x f x f >），则称)(0x f 是)(x f 的一个极大值（或极小值），而称0x 为极大值（极小值）点，极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称极值点.注释：① 函数的极大（小）值只是局部性的概念，它不一定是全局性的最大（小）值. ② 根据极值的定义知，函数在所定义的区间端点处一定不取得极值，即极值点一定在区间的内部取得.2、极值存在的必要条件定理 若函数)(x f 在点),(0b a x ∈取得极值，则0)(0='x f 或)(x f 在0x 点不可导. 注释：① 使0)(0='x f 的点称为)(x f 的驻点.② 极值点不一定是驻点，如:x y =，0=x 是它的极小值点，但不是驻点，如果函数是可导的，则极值点一定是驻点.③ 驻点也不一定是极值点，如：3x y =，0=x 是它的驻点，但函数在0=x 不取得极值.3、极值存在的充分条件 （1）极值存在的第一充分条件定理 设)(x f 在0x 的某去心邻域内可导，且0)(0='x f 或)(0x f '不存在，但)(x f 在点0x 处连续，如果在该邻域内（1）当0x x <时，有0)(>'x f ，而当0x x >时，有0)(<'x f ，则)(x f 在0x x =点取得极大值；（2）当0x x <时，有0)(<'x f ，而当0x x >时，有0)(>'x f ，则)(x f 在0x x =点取得极小值；（3）若当0x x <或0x x >时，)(x f '不改变符号，则)(x f 在0x 点不取得极值. 注释：求连续函数极值的步骤为 （1）确定函数的定义域；（2）求)(x f '并令0)(='x f ，进而求出函数)(x f 的所有驻点和)(x f '不存在的点； （3）然后判定)(x f '在上述各点左右两侧的符号，若左正右负，则该点是极大值点，若左负右正，则该点是极小值点，若两侧)(x f '的符号相同，则该点不是极值点.（2）极值存在的第二充分条件定理 设函数)(x f 在点0x 具有二阶导数，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，若0)(0<''x f ，则)(x f 在0x 点取极大值；若0)(0>''x f ，则)(x f 在0x 取极小值.（3）极值存在的第三充分条件定理 设)(x f 在点0x 的某邻域内存在直到1-n 阶导函数，而在点0x 存在n 阶导数，且0)(0)(=x f k （1,,2,1-=n k ），0)(0)(≠x f n ，则 （1）当n 为偶数时，)(x f 在点0x 取得极值，且当0)(0)(<x f n 时取极大值；当0)(0)(>x f n 时取最小值.（2）当n 为奇数时，)(x f 在点0x 不取得极值.注释：① 若)(x f 在点0x 的某邻域内连续，且在0x 的左侧单调增加，右侧单调减少，则它在0x 点必取得极大值，但反之不一定成立.如：⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=0,20),1sin 1(2)(22x x xx x f 在0=x 取得极大值，但它在0=x 的任一邻域内不单调.② 若0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，则)(x f 在0x 点必取得极值，但0)(0=''x f 时，函数)(x f 在0x 处不一定取得极值，如：4x y =在0=x 处取极小值，而5x y =在0=x 不取极值.三、函数最值的求法（1）闭区间上连续函数的最值求法比较函数在该区间内的驻点、导数不存在的点以及区间端点处的函数值的大小，即可求出函数的最大值与最小值.（2）开区间上连续函数的最值求法若函数在开区间内连续、可导且有唯一驻点或不可导点，并在该点处取得极大（小）值，则此极大（小）值就是函数在该区间内的最大（小）值.（3）实际问题中的最值求法先建立目标函数)(x f y =并确定其定义域，如果函数在定义域内只有一个驻点或不可导点，并且知道该问题一定有最值，则函数在该点一定取得最值.注释：函数的最大（小）值，不一定是它的极大（小）值. 如：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<<≤≤=32,321,110,)(x x x x x x f 在区间[]3,0上的最大值为1，但它不是函数的极大值.2.8 曲线的凹凸性及曲线的渐近线一、曲线凹凸性的概念及判别法 1、曲线凹凸性的定义设)(x f 在区间I 上连续，若对I 上的任意两点1x ，2x ，恒有2)()(22121x f x f x x f +≤⎪⎭⎫⎝⎛+ （或2)()(22121x f x f x x f +≥⎪⎭⎫⎝⎛+），则称曲线)(x f y =在区间I 上是凹（凸）的. 2、曲线凹凸性的判别法定理 设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 上二阶可导，若在),(b a 内有0)(<''x f （或0)(>''x f ），则称曲线)(x f y =在[]b a ,上是凸（凹）的.注释：此方法是判定曲线)(x f y =严格凸（或严格凹）的充分而非必要条件，即当曲线在区间I 上是严格凸（或严格凹）时，不一定有0)(<''x f （或0)(>''x f ）. 如：4x y =在（+∞∞-,）上的图形是凹的，但0122≥=''x y .3、拐点的概念及其求法 （1）定义连续曲线上凹弧与凸弧的分界点叫曲线的拐点. （2）拐点的求法方法一：设)(x f 在0x 点连续，若0)(=''x f 或)(x f ''不存在的点0x ，则当)(x f ''在点0x 的两侧异号时，称点))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点；而当)(x f ''在点0x 的两侧同号时，点))(,(00x f x 不是曲线的拐点.方法二：设)(x f 在点0x 的邻域内二阶可导，在点0x 处三阶可导，且0)(0=''x f ，0)(0≠'''x f ，则0x 为曲线的拐点.二、曲线渐近线的求法水平渐近线：若b x f x =∞→)(lim （或b x f x =+∞→)(lim 或b x f x =-∞→)(lim ）时，则直线b y =是曲线)(x f y =的一条水平渐近线；垂直渐近线：若∞=→)(lim 0x f x x （或∞=+→)(lim 0x f x x 或∞=-→)(lim 0x f x x ），则直线0x x =是曲线)(x f y =的垂直渐近线；斜渐近线：若k xx f x =∞→)(lim，且[]b kx x f x =-∞→)(lim ，则直线b kx y +=是曲线的一条斜渐近线.注释：① 当∞=∞=∞=-∞→+∞→∞→)(lim ,)(lim ,)(lim x f x f x f x x x 至少有一个成立时，曲线)(x f y =才可能有斜渐近线.② 一般情况下，当)(lim x f x ∞→是常数或无穷大之一时，水平渐近线与斜渐近线在同一图象中不能共存.2.9 函数不等式的证明方法、方程根的判定方法和辅助函数的构造方法一、函数不等式的常用证明方法函数不等式的证明，可以利用函数的单调性、微分中值定理、最值、凸凹性、导数定义等方法证明不等式.二、方程根的存在性判定方法讨论方程0)(=x f 根的存在性与根的个数问题，主要依据函数的性态（连续性、单调性、极值、凸凹性等）来解决.1、证明方程0)(=x f 至少有一个（或几个）实根的方法 方法一：利用零点定理证明；方法二：利用罗尔定理证明，这时方程0)(=x f 应改写为0)(='x F ；方法三：当证明方程0)(=x f 在某个区间内至少有n 个根时，需证明在该区间内的n 个子区间上分别至少有一个实根.2、证明方程0)(=x f 仅有一个（或n 个）实根的方法 （1）证明方程0)(=x f 仅有一个实根的方法首先根据零点定理或罗尔定理证明方程存在实根，然后利用)(x f 的单调性证明最多有一个实根，从而仅有一个实根.（2）证明方程仅有n 个根的方法首先求)(x f '，从而求得驻点和不可导的点，这些点把定义域为n 个子区间；然后讨论函数)(x f 在各个子区间上的单调性，并求出)(x f 的极值或最值；然后根据极值点与x 轴的相对位置，以及函数伸向无穷远处的情况，借助零点定理可得n 个根的存在性；最后结合各子区间上的单调性，说明方程仅有n 个根.三、构造辅助函数的重要方法——凑导法先将中值等式中的ξ变为x ，得0)(=x G ，再将)(x G 凑成某个函数)(x F 的导数，即G'=，则函数)(xF就是要构造的辅助函数，现列表如下：)x(F)(x。