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高等数学竞赛讲义第二章一元微分学第二部分一元函数微分学一、导数与微分内容要点一、导数与微分概念二、导数与微分计算典型例题一、用导数定义求导数例1设f(某)(某a)g(某)，其中g(某)在某a处连续，求f(a)解：f(a)limf(某)f(a)某alim(某a)g(某)0某a某0某a某ag(a) 1，求f(0),f(0),f(0)的值例2设f(某)在某=0处二阶可导，且lim（2005）f(某)1co某二、分段函数在分段点处的可导性例1设函数某2,某1f(某)a某b,某1试确定a、b的值，使f(某)在点某1处可导。
某e2n(某1)例2设f(某)lima某b1nen(某1)，问a和b为何值时，f(某)可导，且求f(某)解：∵某1时，limenn(某1)，0某1时，limenn(某1)某2,某1，ab1,某1，∴f(某)2a某b,某1，1由某1处连续性，limf(某)lim某1，f(1)某12ab12某11，可知ab1再由某1处可导性，f(1)lim某1某f(1)某12存在f(1)lim某1(a某b)f(1)某1存在且f(1)f(1)根据洛必达法则f(1)lim某12某12f(1)lim某1a1a2a，∴于是b1a1某2,某1,f(某)1,某1,2某1,某1,2某,某1,f(某)2,某1,三、运用各种运算法则求导数或微分例1设y某某(某0)，求例2设yy(某)由方程某例3设某yy某dyd某某y所确定，求dyd某tt2eu2inudu2t0求eln(1u)duud某dy例4设某co(t2)2dy2求2（2007）t2ud某inuduy0e例5.设f(某)连续，且当某1时，f(某)[f(t)dt1]0某某e某2，求2(1某)f(某)。
(2002)2例6.设f(某)连续，(某)某0dvf(uv某)du，求(某)。
(2022)0某例7.设f(某)连续，且f(某)某某0e某t22f(t)dt，求f(1)3f(1)。
第二章一元函数微分学导数的概念定义设函数y=f(x)在点x 0的某一邻域内有定义，若自变量x 在点X 。
处的改变 量为△ x(x 0+Ax 仍在该邻域内).函数y 二f(x)相应地有改变量△『= f(xo+Z\x)・f(xo),若果极限点Xo 处的导数，记作 ____ 或 _________ f '(Xo),即f(x 0)= ___________________ . 此时称函数y 二f(x)在点Xo 处可导.如果上述极限不存在，则称函数y 二f(x)在点 X 。
处不可导.下面是两种等价形式：f'(Xo)= __________________ = ___________________ •当 Xo =0,W: r (0)= _____________ ,如果y 二f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，则称函数f(x)在开区间(a,b)内可导, 由于对于(a,b)内每一点x,都对应一个导数值F(x),因此又称此F(x)为函数f(x) 在(a,b)内的 __简称为 _____ ，记作 __ 或一—.f(x)在点x 0的导数f'(xo)可以看做是导数f'(x)在点x=x 0处的函数值，即 f(x 0)= • 注意：f'(xo)工［f(x°)y■.・ /(兀0 +山)一/(旺)如果y=f(x)在点X 。
及其左侧邻域内有定义，当hm —T —存在时，则称该极值为f(x)在点X 。
处的 ______ 记为—.同理，定义右导数性质 函数y=f(x)在点x 0处可导<・・> ________左导数与右导数常用于判定分段函数在其分段点处的导数. 导数的几何意义 如果函数y 二f(x)在点X 。
处的导数F(x°)存在，则在几何上表明曲线尸f(x)在点 (xo, f(x 0))处存在切线,且切线斜率为_•可导函数与连续性的关系函数y 二f(x)在点xo 处可导，是函数y 二f(x)在点xo 处连续的 _______ 条件. 如u 二u(x),v=v(x)都在x 处可导，由导数的定义可以推得u±v 在x 处也可导，且 (u±vf= ________ (导数的和差运算公式).导数的运算3.1基本初等函数的导数公式c'=_(c 为常数)(兀")‘二 ________ ( n G R) (a x y= ________________(e x y = _________ (logx) = ------------------------------ (In xY = ____________(sin x)f = _________ (cos xY = ______________ (tan x)z = _____________(cot x)f = _________ (arcsin x)f - ____________ (arccos x)z = ____________存在,则称此极限值为函数沪f(x)在2.(arctan x\ = _________ {arc cot xY = ______________________________3.2导数的四则运算法则设u二u(x),v=v(x)都在X处可导侧(cuf= ___ (c 为常数) (u±vf= ___________ (uvf= ________________(；)z= _______ (vHO) (^= ___________ ( vHO ,c 为常数)3.3反函数的求导法则设函数x=(p(y)在某个区间内单调町导，且啓(y)H0,则其反函数y二f(x)在其对应区间内也可导，且有f(x)= ____ •3.4复合函数的求导法则设y = f(u)z u = g(x)复合成y =f[g(x)],若u二g(x)在点x处可导"二f(u)在相应点u = g(x)可导,则复合函数y =f[g(x)]在点x可导,且有链式法则旷 -------- = ---------3.5隐函数的求导法则设y=f(x)是由方程F(x,y) = 0确定的.求V只须直接由方程F(x’y) = 0关于x求导，将y看做是______ 依复合函数链式法则求之.3.6由参数方稈确定的函数的求导法则设y二y(x)是由{ 所确定的.其中(p⑴，叭t)为可导函数，且卩⑴H O,则空_ 一一------ 一--------3.7对数求导法对于幕函数y = 或y由若干个函数连乘、除、开方所构成,通常可以先用—改变函数类型.如y = u：两端取对数：___________ ,化幕指函数为隐函数，如y =N),两端取对数：化为隐函数,然后利用隐函数的求导法则求导.3.8高阶导数二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数,对于求n阶导数，需要注意从屮找出规律，以便得到n阶导数的________ .常见n阶导数公式：(a x)(n) = _______ (e x)(n) = ______________ (x n)(n) = ______________（x w ）（fl ） = ____ （正整数 m<n ）（sin 工）（"）= _____ _______（cos x ）（n ） = ________ _______4. 洛必达法则 4.1未定型〃訂的极限⑴设函数f(x)与F(x)满足以下条件：① 在点X 。
第二章 一元函数微分学§2.1 导数与微分（甲）容要点一、导数与微分概念 1、导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。
如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000 存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0x x y ='，x x dxdy=，)(x x dxx df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。
如果上面的极限不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。
导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆，则000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-我们也引进单侧导数概念。
右导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→∆→-+∆-'==-∆ 左导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---→∆→-+∆-'==-∆ 则有)(x f 在点0x 处可导)(x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。
2．导数的几何意义与物理意义如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。
切线方程：000()()()y f x f x x x '-=-法线方程：00001()()(()0)()y f x x x f x f x '-=--≠' 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =，如果0()f t '存在，则0()f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。
第二章 一元函数微分学§2.1 导数与微分（甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。
如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0x x y ='，x x dxdy=，)(x x dxx df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。
如果上面的极限不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。
导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆，则000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-我们也引进单侧导数概念。
右导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→∆→-+∆-'==-∆ 左导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---→∆→-+∆-'==-∆ 则有)(x f 在点0x 处可导)(x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。
2．导数的几何意义与物理意义如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。
切线方程：000()()()y f x f x x x '-=-法线方程：00001()()(()0)()y f x x x f x f x '-=--≠' 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =，如果0()f t '存在，则0()f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。
3．函数的可导性与连续性之间的关系如果函数)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f 在点0x 处一定连续，反之不然，即函数)(x f y =在点0x 处连续，却不一定在点0x 处可导。
例如，||)(x x f y ==，在00=x 处连续，却不可导。
4．微分的定义设函数)(x f y =在点0x 处有增量x ∆时，如果函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆有下面的表达式0()()y A x x o x ∆=∆+∆ （0→∆x ）其中)(0x A 为x ∆为无关，()o x ∆是0→∆x 时比x ∆高阶的无穷小，则称)(x f 在0x 处可微，并把y ∆中的主要线性部分x x A ∆)(0称为)(x f 在0x 处的微分，记以0x x dy =或0)(x x x df =。
我们定义自变量的微分dx 就是x ∆。
5．微分的几何意义)()(00x f x x f y -∆+=∆是曲线)(x f y =在点0x 处相应于自变量增量x ∆的纵坐标)(0x f 的增量，微分0x x dy=是曲线)(x f y =在点))(,(000x f x M 处切线的纵坐标相应的增量（见图）。
6．可微与可导的关系)(x f 在0x 处可微⇔)(x f 在0x 处可导。
且000()()x x dyA x x f x dx ='=∆=一般地，)(x f y =则()dy f x dx '=所以导数()dyf x dx'=也称为微商，就是微分之商的含义。
7．高阶导数的概念如果函数)(x f y =的导数()y f x ''=在点0x 处仍是可导的，则把()y f x ''=在点0x 处的导数称为)(x f y =在点0x 处的二阶导数，记以0x x y =''，或0()f x ''，或22x x dx yd =等，也称)(x f 在点0x 处二阶可导。
如果)(x f y =的1-n 阶导数的导数存在，称为)(x f y =的n 阶导数，记以)(n y，)()(x yn ，n n dxyd 等，这时也称)(x f y =是n 阶可导。
二、导数与微分计算 1．导数与微分表（略） 2．导数与微分的运算法则（1）四则运算求导和微分公式 （2）反函数求导公式（3）复合函数求导和微分公式 （4）隐函数求导法则 （5）对数求导法（6）用参数表示函数的求导公式（乙）典型例题一、用导数定义求导数例 设)()()(x g a x x f -=，其中)(x g 在a x =处连续，求()f a ' 解：()()()()0()limlim ()x ax a f x f a x a g x f a g a x a x a→→---'===--二、分段函数在分段点处的可导性 例1 设函数⎩⎨⎧>+≤=1,1,)(2x b ax x x x f试确定a 、b 的值，使)(x f 在点1=x 处可导。
解：∵可导一定连续，∴)(x f 在1=x 处也是连续的。
由 1lim )(lim )01(211===---→→x x f f x xb a b ax x f f x x +=+==+++→→)(lim )(lim )01(11要使)(x f 在点1=x 处连续，必须有1=+b a 或a b -=1又 2111()(1)1(1)lim lim lim(1)211x x x f x f x f x x x ---------'===+=-- 111()(1)1(1)(1)lim lim lim 111x x x f x f ax b a x f a x x x ++++----+--'====--- 要使)(x f 在点1=x 处可导，必须(1)(1)f f -+''=，即a =2.故当1211,2-=-=-==a b a 时，)(x f 在点1=x 处可导.例2 设1lim )()1()1(2+++=--∞→x n x n n e bax e x x f ，问a 和b 为何值时，)(x f 可导，且求()f x '解：∵1>x 时，+∞=-∞→)1(lim x n n e，1<x 时，0lim )1(=-∞→x n n e∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=++>=，x b ax ，x b a ，x x x f 1,1,211,)(2 由1=x 处连续性，1lim )(lim 211==++→→x x f x x ，121)1(=++=b a f ，可知1=+b a 再由1=x 处可导性，21(1)(1)lim 1x x f f x ++→-'=-存在1()(1)(1)lim 1x ax b f f x --→+-'=-存在且(1)(1)f f +-''=根据洛必达法则12(1)lim 21x xf ++→'== 1(1)lim 1x af a --→'==，∴ 2=a 于是11-=-=a b⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=,1,12,1,1,1,)(2x x x x x x f2,1,()2,1,x x f x x ≥⎧'=⎨<⎩三、运用各种运算法则求导数或微分 例1 设)(x f 可微，)()(ln x f e x f y ⋅=，求dy解：)(ln )(ln )()(x df e de x f dy x f x f +=()()1()(ln )(ln )f x f x f x e f x dx f x e dx x''=+ ()1[()(ln )(ln )]f x e f x f x f x dx x''=+例2 设xx x y =)0(>x ，求dxdy 解：x x y xln ln = 对x 求导，得11()ln x x y x x x y x''=+ 再令xx y =1，x x y ln ln 1=，对x 求导，111ln 1y x y '=+，∴ ()(ln 1)x x x x x '=+ 于是[]x x x x x x x x x dxdy1ln )1(ln -++= （0>x ）例3 设)(x y y =由方程xyy x =所确定，求dxdy 解：两边取对数，得y x x y ln ln =，对x 求导，ln ln y x y x y y x y''+=+ (ln )ln x y y x y y x '-=-，22n ln y xy yy x xy x-'=-例4 设⎪⎩⎪⎨⎧+==⎰⎰tu t t u du u e y udue x 20)1ln(sin 22 求dy dx 解：)21ln(2sin sin 22224t e t e t te dtdy dt dx dy dx t t t +-== 四、求切线方程和法线方程 例1 已知两曲线)(x f y =与2arctan 0x t y e dt -=⎰在点（0，0）处的切线相同，写出此切线方程，并求2lim ()n nf n→∞。
解：由已知条件可知0)0(=f ，2(arctan )2(0)11x x e f x -='==+故所求切线方程为x y =2()(0)2lim ()lim 22(0)22n n f f n nf f nn→∞→∞-'=⋅== 例2 已知曲线的极坐标方程θcos 1-=r ，求曲线上对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程。
解：曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=-=-=-=θθθθθθθθθcos sin sin sin )cos 1(cos cos cos )cos 1(2y x1sin cos 2sin sin cos cos 62266=+-+-=====πθπθπθθθθθθθθθd dx d dy dxdy故切线方程)4323(14321+-⋅=+-x y 即 045343=+--y x 法线方程13()24y x -=-+ 即 041341=+-+y x例3 设)(x f 为周期是5的连续函数，在0=x 邻域内，恒有(1sin )3(1sin )8()f x f x x x α+--=+。
其中0)(lim 0=→xx x α，)(x f 在1=x 处可导，求曲线)(x f y =在点（)6(,6f ）处的切线方程。
