第二章-一元函数微分学.docx

第 2 章 一元函数微分学一、学习要点l 掌握导数的概念及其几何意义，掌握可导性和连续性的关系． l 会求曲线上一点处的切线方程和法线方程．l 熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法． l 掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程确定的函数的求导方法． l 理解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数．l 理解函数微分的概念，掌握微分法则，掌握可微与可导的关系． l 理解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件、结论及其几何意义．l知道柯西定理的条件和结论；会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式．l 熟练掌握用洛必达法则求未定型 0 0 、 ¥¥的极限．l 会用洛必达法则求未定型 00 0 0 1 ¥ ¥-¥×¥¥ ， ， ， ， 的极限．l 理解极值点、驻点的概念．l 了解可导函数极值存在的必要条件；知道极值点与驻点的区别和联系． l 掌握用一阶导数判断函数的单调性及单调区间；会用单调性证明简单的不等式． l 掌握用一阶导数求函数的极值的方法．l 掌握求解一些简单实际问题中的最大值和最小值的方法． l 理解曲线凹凸性和拐点的概念；会用二阶导数判别曲线的凹凸性． l 掌握用二阶导数求曲线凹凸区间及拐点的方法． l会求曲线的水平渐近线、垂直渐近线．二、相关知识总结1．导数的定义：设函数 () y f x = 在点 0 x 的邻域内有定义，则0 000 0 00 0 ()()()() lim()lim lim () x x x x f x x f x f x f x y f x x x x x D ®D ®® +D -- D ¢ $=== D D - ． 2．导数的几何意义及其应用：函数 () y f x = 在 0 x 处的导数 0() f x ¢ 等于曲线 () y f x = 在点 00 (,()) x f x 处的切线的斜率．3．可导与连续的关系：如果函数 () y f x = 在 0 x 处可导，则 () y f x = 在 0 x 处连续（可导是连续 的充分条件，但不是必要条件）．第2章 一元函数微分学214．复合函数求导法则：设 ()() y f u u g x == 、 都关于自变量可导，则[(())]()() f g x f u g x ¢¢¢ = ． 5．牢记基本导数公式： （1） 0 c ¢ = （2） 1 () x x a a a - ¢= （3）()ln x x a a a¢= （4）(e )e x x¢= （5） 1 (log ||)ln a x x a¢= （6） 1(ln ||)x x¢= （7）(sin )cos x x ¢= （8）(cos )sin x x ¢=- （9） 2 (tan )sec x x ¢= （10） 2 (cot )csc x x ¢=- （11）(sec )sec tan x x x¢= （12）(csc )csc cot x x x¢=- （13） 21(arcsin )1 x x ¢= - （14） 21(arccos )1 x x ¢ =- - （15） 21 (arctan ) 1 x x¢= + （16） 21 (arc cot ) 1 x x ¢=- + ．6．理解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数．7．微分的概念：（1）若函数 () y f x = 在 0 x 处可导，称 00 d ()()d y f x x f x x ¢¢ =D = 为函数 () f x 在 0 x 处关于 x D 的 微分．（2） 若函数 () y f x = 在点 0 x 处的改变量 00 ()() y f x x f x D =+D - 可表示为 () y A x x o D =D + D （A 与 x D 无关），则称函数 () y f x = 在点 0 x 处可微．8．罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件、结论及其几何意义；知道柯西定理的条件和结论； 会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式．9．洛必达法则的说明： （1）在定理中将 0 x x ® 改为x ®±¥，洛必达法则仍然成立．（2）将定理条件lim ()lim ()0 f x g x == 改为lim ()lim () f x g x ==¥ 结论仍然成立．（3）每次使用洛必达法则时必须检查所求的极限是否为 0 0 或 ¥¥型．（4）如果 0 () lim () x x f x g x ® ¢ ¢ 仍是 0 0 或 ¥¥型，则可以继续使用洛必达法则．（5）如果 0 () lim() x x f x g x ® ¢ ¢ 不存在且不是¥，并不表明 0 ()lim ()x x f x g x ® 不存在，只表明洛必达法则失效，这时应该用其他方法来求极限． （6）除了 0 0 或 ¥ ¥型外，还有另外5种未定型极限：¥-¥、0×¥ 、 0 ¥ 、 00 、1 ¥ ．10．单调性的判断定理： 设函数 () y f x = 在[,] a b 上连续，在(,) a b 内可导．应用高等数学教程（能力提升篇）22在(,) a b 内 ()0()[,]. ()0()[,]. f x f x a b f x f x a b ¢ >Þ ì í¢ <Þ î如果 在 上单调增加 如果 在 上单调减少 11．极值点的充分条件，最值的求解.12．凹凸的判断定理：如果 () f x 在[,] a b 上连续，在(,) a b 内具有一阶和二阶导数，若在(,) a b 上 （1） ()0 f x ¢¢ > ，则 () f x 在[,] a b 上的图形是凹的． （2） ()0 f x ¢¢ < ，则 () f x 在[,] a b 上的图形是凸的． 13．拐点的求解步骤： （1）求出 () f x 的定义域和 () f x ¢ .（2）求出 () f x ¢¢ ，解出 ()0 f x ¢¢ = 的点以及二阶导数不存在的点.（3）由凹凸判定定理分区间讨论它的凹凸性． 14．检查上面两类点左右两侧的 () f x ¢¢ 是否异号，若异号且有定义的点即为拐点． 15．会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线． 三、重点例题剖析（一）基础题 1．如果 () f x 为偶函数，且 (0) f ¢ 存在，证明 (0)0 f ¢ = ． 证 因为 ()() f x f x -= ，且000 (0)(0)()(0)()(0)(0)limlim limh x x f h f f x f f x f f h x x ®®® +---- ¢ === 0 ()(0)lim (0) x f x f f x® -- ¢ =-=- - ，所以 (0)0 f ¢ = ．2．求曲线 cos y x = 上点 π 1,32 æöç÷ èø 处的切线方程和法线方程．解 因为切线 sin y x ¢=- ，切线斜率 1 k = π 3 sin 32 =- ，法线斜率 2 k = 0x x = ，所以切线为： 13 π 223 y x æö -=-- ç÷ èø ，即 332 π 1 3x y +=+ ． 法线为： 12 π 23 3 y x æö -=- ç÷èø ，即 4423 π 3 3 x y -=- ． 3．讨论下列函数在 0 x = 处的连续性与可导性： （1） |sin | y x = ；（2） 21 sin00x x y xx ì ¹ ï = í ï = î．解 用连续性的定义判断连续性；用左、右导数是否存在并相等判断函数在该点的可导性：（1）（2）第2章 一元函数微分学23（1）因为 0lim sin lim sin 0 x x x x ++ ®® == ，00lim sin lim (sin )0x x x x -- ®® =-= 所以 0lim sin (00)(00)0. x x f f ® =+=-= 故 |sin | y x = 在 0 x = 处连续，又00 |sin(0)||sin 0|sin (00)lim lim 1 x x x xf x x-- D ®D ® +D -- D ¢ -===- D D ，00 |sin(0)||sin 0|sin (00)lim lim 1 x x x xf x x+- D ®D ® +D - D ¢ +=== D D ，所以 |sin | y x = 在 0 x = 处不可导．（2）由无穷小与有界量之积仍为无穷小知2 0 1lim sin 0(0) x x f x® == 故 21 sin y x x æö = ç÷ èø在 0 x = 处连续，又2 00 1sin 01 (0)lim lim sin 0 x x x x f x x xD ®® D - D ¢ === D ，所以 21 sin y x x æö = ç÷ èø在 0 x = 处亦可导．4．已知 sin 0 () 0 xx f x x x < ì = í î≥ ，求 () f x ¢ ．解 （需要讨论几种情形并分别求导，特别要注意在求这类分段函数衔接点处的导数时，不便 套用公式，还应采用定义去求导）．易知 0 x > 时， ()1 f x x¢¢ == ．当 0 x < 时， ()(sin )cos f x x x ¢¢ == ，当 0 x = 时，因为 00 ()(0)sin 0(0)lim lim 1 0 x x f x f x f x x-- - ®® -- ¢ === - ，又 00 ()(0)0(0)lim lim 1 00x x f x f x f x x +++ ®® -- ¢ === -- ， 由 (0)(0)1f f -+ ¢¢ == ，知 (1)1 f ¢ = ，综上所述，得 cos 0 '() 1 0 x x f x x < ì= í î≥ ．5．证明：双曲线 2 xy a = 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 22a ．证 设双曲线 2xy a = 上任一点 2 0 0(,) a x x ，因为 2ay x = 的导数为 22 a yx¢=-应用高等数学教程（能力提升篇）24 所以20 2()ay xx¢ =-切线方程：2220 0()a ay x xx x-=--分别令 0y = 与 0x = ，得它在两坐标轴上的截距依次为2x x= 与22ayx=于是所构成三角形的面积为22112||2222as xy x ax==××= ．6．以初速度v 竖直上抛的物体，其上升高度s与时间t的关系是 212s v t gt=- ，求： （1）该物体的速度；（2）该物体达到最高点的时刻．解（求速度v，即为求导数 ()s t¢ ，求达到最高点的时刻，只须令 0tv s¢== ，再解出t ）（1）()()v t s t v gt¢==- ．（2）令v gt-= ，得 0vtg= ，即达到最高点时间为 0vtg= （秒）．7．设函数 ()f x 和 ()g x 可导，且 22()()0f xg x+¹ ，试求函数 22()()y f x g x=+ 的导数．解22222()()2()()()()()()2()()()()f x f xg x g x f x f x g x g xyf xg x f x g x¢¢¢¢++¢==++．8．设 ()f x 可导，求下列函数 y 的导数ddyx：（1） 2()y f x= ； （2） 22(sin)(cos)y f x f x=+ ．解（1） 22()y xf x¢¢= ．（2） 222sin cos(sin)2cos sin(cos)y x xf x x xf x¢¢¢=-22sin2[(sin)(cos)]x f x f x¢¢=- ．9．若 ()f x¢¢ 存在，求下列函数 y 的二阶导数22ddyx：（1） 2()y f x= ； （2） ln[()]y f x= ．解（1） 22()y xf x¢¢= ， 2222()4()y f x x f x¢¢¢¢¢=+ ．（2）()()f xyf x¢¢ = ，22()()[()]()f x f x f xyf x¢¢¢-¢¢ = ．10．求由下列方程所确定的隐函数的导数ddyx：第2章 一元函数微分学25（1） 33 30 x y axy +-= ； （2） 1e y y x =- ．解 （1）在方程两端分别对x 求导，得22 33330 x y y ay axy¢¢ +--= 从而 22 ay x y y ax- ¢ = - ． （2）在方程两端分别对x 求导，得e e y y y x y¢¢ =-- 从而 e 1e yyy x ¢=- + ．11．求下列参数方程所确定的函数的导数：（1） 23x at y bt ì = í = î； （2） 222 313 1at x t at t ì= ï + ï í ï ï + î ． 解 （1） 2 d d 33 d d d 22 d yy bt b t t x x at a t=== ．（2） 2 22 2 22 2222 2 3 3[2(1)2] d 1 d 2 (1) d d d 3[(1)2]1 3d (1) 1 at a t t t t y t y t t t x x a t t t t at t t t ¢æö +-× ç÷ + + èø ==== +-×- ¢ æö ç÷ + + èø． 12．求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 22 d dyx ：（1） cos sin x a ty b t = ì í = î ； （2） 3e 2ettx y - ì = í = î ． 解 （1） d cos cot d sin y b t b t x a t a - == - ， 2 2223 d d (csc ) d d d d sin dx sin d y bt y bt x a x a t a t tæö -- ç÷ - èø === - ．（2） 2 223 2 4 e d 2e 2d 4 3 e e d 39 3e d 3et t t t t t y y x x -- - ==-== -- ， ． 13．求下列函数的微分： （1） sin 2 y x x = ；（2） 2 ln (1) y x =- ．解 （1）d d (sin 2cos 22)d (sin 22cos 2)d y y x x x x x x x x x ¢ ==+×=+ ．应用高等数学教程（能力提升篇）26（2） (1)2d d 2ln(1)d ln(1)d 11y y x x x x x x x - ¢ ==-×=- -- ． 14．计算下列反三角函数值的近似值（1）arcsin 0.5002； （2）arccos 0.4995．解 （ 1 ） 由 0 00 arcsin arcsin (arcsin )|() x x x x x x x = ¢ »+×- 即取 0 0.5 x = 得 arcsin(0.5002)» 0 2 0.5 1 arcsin 0.50.000230471 x x=¢¢ +×»° - ． （2）由 0 00 arcsin arccos (arccos )|() x x x x x x x = ¢ »+×- 即取 00.5 x = 得arccos(0.4995)arcsin 0.5 »- 0 2 0.51 (0.50.0005)6021 x x= ¢ ×-»° - . 15．验证罗尔定理对函数 ln sin y x = 在区间 π 5π ,66 éùêú ëû上的正确性．证 函数 ()ln sin f x x = 在 π 5π ,66 éù êú ëû 上连续，在 π 5π ,66 æö ç÷ èø 内可导，又 π π 1 ln sin ln 662 f æö== ç÷ èø，5π 5π 1 ln sin ln 662 f æö == ç÷ èø 即 π 5π 66 f f æöæö = ç÷ç÷ èøèø ，故 () f x 在 π 5π ,66 éùêú ëû上满足罗尔定理条件，由罗尔定理知至少存在一点 π 5π ,66 x æöÎ ç÷ èø，使 ()0 f x ¢ = ．又 cos ()cot sin x f x x x ¢ == ，令 ()0 f x ¢ = 得 π π 2 x n =+（ 0 1 2 n =±± L ， ， ， ）． 取 0 n = ，得 π π 5π , 266 x æö =Î ç÷ èø ．因此罗尔定理对函数 ln sin y x = 在区间 π 5π ,66 éùêú ëû上是正确的．16． 试证明对函数 2 y px qx r =++ 应用拉格朗日中值定理时所求得的点x 总是位于区间的正中 间．证 任取数值 a ，b ，不妨设a b < ，函数 2 () f x px qx r =++ 在区间[,] a b 上连续，在(,) a b 内可 导，故由拉格朗日中值定理知至少存在一点 (,) a b x Î ，使 ()()()() f b f a f b a x ¢-=- ，即 22 (2)().pb qb r pa qa r p q b a x ++---=+- 经整理得 2a bx + =．即所求得的x 总是位于区间的正中间． 17．不用求出函数 ()(1)(2)(3)(4) f x x x x x =---- 的导数，说明方程 ()0 f x ¢ = 有几个实根，并指出它们所在的区间．解 函数 () f x 分别在 [1,2] [2,3] [3,4] ， ， 上连续，分别在 (1,2) (2,3) (3,4) ， ， 内可导，且 (1)(2)(3)(4)0 f f f f ==== ． 由罗尔定理知至少存在 123 (1,2) (2,3) (3,4) x x x ÎÎÎ ， ， ， 使 123 ()()()0 f f f x x x ¢¢¢ === ．即方程 ()0 f x ¢ = 至少有三个实根，又因为方程 ()0 f x ¢ = 为三次方程，故 它至多有三个实根，因此方程 ()0 f x ¢ = 有且仅有三个实根，它们分别位于区间(1,2) (2,3) (3,4) ， ， 内．第2章 一元函数微分学2718．证明恒等式： π arcsin arccos 11 2x x x +=- （ ≤ ≤ ） ． 证取函数 ()arcsin arccos (1,1) f x x x x =+Î- ， ． 因 2211() 11 f x xx ¢ =--- 0 º ， 故() f x C º ．取 0 x = ，得 π(0) 2 f C == ．从而当 (1,1) x Î- 时，有arcsin x + arccos x π 2 = ．又 1 x = 或 1 - 时，也有 π arcsin arccos 2 x x += ，因此 πarcsin arccos 2x x += ， [1,1] x Î- ．19 ． 若方程 1 011 0 n n n a x a x a x - - +++= L 有一个正根 0 x x = ， 证明方程 12 011 (1)0 n n n a nx a n x a x -- - +-++= L 必有一个小于 0 x 的正根．证 取函数 1 011 () n n n f x a x a x a x - - =+++ L ． () f x 在 0 [0,] x 上连续，在 0 (0,) x 内可导，且 0 (0)()0 f f x == ， 由罗尔定理知至少存在一点 0 (0,) x x Î ， 使 ()0 f x ¢ = ， 即方程12 011 (1)0 n n n a nx a n x a x -- - +-++= L 必有一个小于 0 x 的正根．20． 若函数 () f x 在( , a b )内具有二阶导数， 且 123 ()()() f x f x f x == ， 其中 123 a x x x b <<<< ． 证 明：在( 13 , x x )内至少有一点x ，使得 ()0 f x ¢¢ = ．证根据题意知函数 () f x 在 1223 [,] [,] x x x x ， 上连续 ， 在 1223 (,) (,) x x x x ， 内可导且 123 ()()() f x f x f x == ，故由罗尔定理知至少存在点 11222,3 (,) () x x x x x x ÎÎ ， ，使 12 ()()0 f f x x ¢¢ == . 又 () f x ¢ 在 12 [,] x x 上连续， 在 12 (,) x x 内可导， 故由罗尔定理知至少存在点 1212 (,)(,) x x x x x ÎÌ 使 ()0 f x ¢¢ = ．21．设 0 a b >> ， 1 n > ，证明：11 ()() n n n n nb a b a b na a b -- -<-<- ．证 取函数 () n f x x = ， () f x 在[,] b a 上连续，在(,) b a 内可导，由拉格朗日中值定理知，至少 存在一点 (,) b a x Î ，使 ()()()() f a f b f a b x ¢ -=- ，即1 () n n n a b n a b x - -=- ．又01 b a n x <<<> ， ，故 1110 n n n b ax --- <<< ． 因此 111 ()()() n n n nb a b n a b na a b x --- -<-<- ，即11 ()() n n n n nb a b a b na a b -- -<-<- ．22．设 0 a b >> ，证明：ln a b a a ba b b-- << ． 证 取 ()ln f x x = ， () f x 在[,] b a 上连续，在[,] b a 内可导，由拉格朗日中值定理知，至少存在一点 (,) b a x Î ，使 ()()()() f a f b f a b x ¢ -=- ，即1ln ln () a b a b x-=- ．应用高等数学教程（能力提升篇）28又0 b a x <<< ，故 111 0 a b x <<< ，因此 a b a b a b a bx --- << ，即 ln a b a a ba b b-- << ． 23．证明：当 1 x > 时，e e x x >× ．证 取函数 ()e tf t = ， () f t 在[1,] x 上连续，在(1,) x 内可导．由拉格朗日中值定理知，至少存在一点 (1,) x x Î ，使()(1)()(1) f x f f x x ¢ -=- ，即e e e (1) x x x -=- ．又1 x x << ，故e e x > ，因此e e e(1) x x -=- ， 即 e e x x >× ．24．设 () f x 、 () g x 在[,] a b 上连续，在(,) a b 内可导，证明在(,) a b 内有一点x ，使()() ()()f a f bg a g b =()()()()()f a f b ag a g x x ¢ - ¢ ． 证 取 ()() () ()()f a f x F xg a g x = ，由 () f x 、 () g x 在[,] a b 上连续，在(,) a b 内可导知 () F x 在[,] a b上 连续，在 (,) a b 内可导，由拉格朗日中值定理知至少存在一点 (,) a b x Î ，使 ()() F b F a -= ()() F b a x ¢ - ．而()() () ()()f a f b F bg a g b = ， ()() ()0 ()()f a f a F ag a g a == 0() () 0()f x F xg x ¢ =＋()() ()() f a f g a g x x ¢ ¢ ＝ ()()()()f a fg a g x x ¢ ¢ 故()()()()() ()()()() f a f b f a f b a g a g b g a g x x ¢ =- ¢ 25．证明：若函数 () f x 在(,) -¥+¥ 内满足关系式 ()() f x f x ¢= ，且 (0)1 f = ，则 ()e x f x = ． 证 取 () () e x f x G x = ，则由 2 ()e e ()()()()0 e e x x x xf x f x f x f x G x ¢¢ -- ¢ === ，得 () G x C = ．又(0)()1 G C f x === ，因此 ()1 G x = ．即 ()1 ex f x = ．26．设函数 () y f x = 在 0 x = 的某邻域内具有n 阶导数，且 (0) f = (0) f ¢ == L (1) (0)0 n f - = ，试 用柯西中值定理证明： () ()() 01 ! n n f x f x n xq q =<< （ ） ．证 取 () n g t t = ，则由假设 () f t 及 () g t 的表达式知， () f t 及 () g t 在由0与x 组成的区间上满足第2章 一元函数微分学29柯西中值定理的条件，因此有1 11() ()()(0) 0 n n n n f f x f x f x x n x x - ¢ - == - ，其中 1 x 在0与1之间． 又 112 1112112()()(0)()0(1) n n n n f f f f n n n n n x x x x x x ---- ¢¢¢¢¢ - == -- ，其中 2 x 在0与 1 x 之间． 依此类推，得( ) 1)(1)(1) 11 11() ()()(0) !!!0! n n n n n n n f f f f n n n n x x x x x - -- -- - == - ，其中 n x 在0与 1 n x - 之间． 因此 () ()()01 ! n nf x f x n xq q =<< （ ） ． 27．设 ()() f x g x ， 在[,] a b 上连续，在(,) a b 内可导，且对(,) a b 内的一切 x 有 ()() f x g x ¢ -()()0 f x g x ¢ ¹ ．证明：若 () f x 在(,) a b 内有两个相邻的零点，则介于这两个零点之间 () g x 至少有一 个零点．证 采用反证法．若 () g x 在 12 (,) x x 之间没有零点，其中 1212 ,() x x x x < 为 () f x 在(,) a b 内有两个 相邻的零点．显然 12 ()0()0 g x g x ¹¹ ， ，否则由 11 ()()0 g x f x == 或 22 ()()0 g x f x == ，得 1111 ()()()()0 f x g x f x g x ¢¢ -¹ 或 2222 ()()()()0 f x g x f x g x ¢¢ -¹ ，这与假设矛盾．取 ()() ()f x F xg x = ，则 () F x 在 12 [,] x x 上连续，在 12 (,) x x 内可导，又1 1 1 () ()0 () f x F x g x == ， 2 22 () ()0 () f x F x g x == ． 即 12 ()() F x F x = ，从而 () F x 在 12 [,]x x 上满足罗尔定理条件，于是存在 12 (,)(,) x x a b x ÎÌ ，使得 2 ()()()()()0 ()f g f g F g x x x x x x ¢¢ - ¢ == ．即()()()()0 f g f g x x x x ¢¢ -= ．这与假设矛盾，故结论成立．28．用洛必达法则求下则极限：（1） 1 ln 1 lim arc cot x x x®+¥ æö + ç÷èø；（2） 212lim e x x x ® ；（3） sin 0 e elim sin x xx x x® - - ；（4） e 2arctan lim e π x x x x x x®¥ + - ；（5）lim 1 xx a x ®¥ æö + ç÷ èø ；（6） sin 0lim x x x + ® ；（7） tan 0 1 lim xx x + ® æö ç÷èø．应用高等数学教程（能力提升篇）30解 （1） 2 2 2 2 211 1 1 1 ln 1 1 1 1 lim lim lim lim 1 11 arc cot 1 1 x x x x x x x x x x x x x x ®+¥®+¥®+¥®+¥ æö - ç÷ æö èø + + + ç÷ + èø ==== + -+ + ． （2） 2 222 11112 2 0000 22 1 e e lim e lim lim lim e 1 1 xx xx x x x x x x x x ®®®® æö × ç÷ èø ====+¥ ¢ æöç÷ èø． （3） sin sin sin sin sin 0000 e e e 1e 1 lim lim e lim e limsin sin sin x x x xx x x xx x x x x x x x x x -- ®®®® --- ==× --- sin sin 00 e (1cos )lim lim e 1 1cos x x x x x x x x- - ®® - === - ． （4）因为当x ®+¥时，e x®+¥， π arctan 2 x ® ．当x ®-¥时，e 0 x ® ， π arctan 2x ®- ，所以碰到当x ®¥， 被求极限函数含有e x或arctan x 时， 应分别求x ®+¥及x ®-¥时的函数极限，并以此判断当x ®¥时函数是否有极限．2 2 e 2arctan e 2arctan 1 lim lime π e πx xx x x x xx x x x x ®+¥®+¥ ++ + + = -- 22e12arctan 1 lim 1 1 πe x x x x x x - - ®+¥ ++ + == - ． 2 2 e 2arctan e 2arctan 1 lim lim 1 e π e πx x x x x x xx x x x x ®-¥®-¥ ++ + + == -- ．故 e 2arctan lim 1 e π x x x x x x®¥ + = - ． （5） 2 21 1 ln 1ln 1 limlim lim lim1 11 lim ln 1 1 lim 1ee e e ee x x x x x a aa a x x a x x a xa x ax xxx x x a x ®¥®¥®¥®¥ ®¥ æö ×- ç÷æöæö èø + ++ ç÷ç÷èøèøæö- + +ç÷ èø®¥ æö+====== ç÷ èø ．（6） sin 0lim x x x + ® 0 0 21 sin ln lim lim 1 1lim sin ln lim 0 e eee e 1 x x x x x x x x x xxxx + + ® ® ++®® - - ====== ．（7） 0 02001 tan ln lim lim 11 tan 1 lim tan lnlim 0 0 1 lim eeee e 1 x x x x x xx xx x xxxx x x + + ® ® ++®® + - -× - ® æö====== ç÷èø．第2章 一元函数微分学3129．验证极限 20 1 sinlimsin x x x x® 存在，但不能用洛必达法则得出． 解 因为 2 1 11 sin 2sin cos lim lim(sin )cos x x x x x x x x x ®¥®¥ ¢ æö - ç÷èø = ¢ 不存在，所以只能说不能用洛必达法则来求极限 cos limx x xx®¥ + ，但不能说该极限不存在．事实上，此极限可用下面的方法来求：2 0000 1 sin11 lim lim sin lim lim sin 100 sin sin sin x x x x x x x x x x x x x x x ®®®® æö =×=×=×= ç÷ èø ． 30．讨论函数11 12(1) 0 () e ex x xx f x x - ì éù ï+ êú ï > = êú í ëûï ï î ≤ 在点 0 x = 处的连续性．解 因为 1 00 1 11(1)11 lim ln lim ln(1)1 e 00 (1) lim ()lim e e ex x x xx x xx x x x x xf x ++ ®® ++ éùêú + éùêú +- êú ëû ëû®® éù + êú === êú ëû 200011 ln(1)11 1limlimlim22(1) 2eeee x x x x xx xx x+++ ®®® - +-- + - + ==== ．11 2200lim ()lim ee x xf x -- -- ®® == ．所以 1 2lim ()lim ()e x x f x f x -+ - ®® == ，故函数 () f x 在点 0 x = 处连续．31．按所给条件解答下列各题：（1）求函数 ()ln f x x = 按(2) x - 的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式； （2）求函数 ()tan f x x = 的带有拉格朗日型余项的三阶麦克劳林公式；（3）验证当 1 0 2 x < ≤ 时，按公式 23e 1 26x x x x »+++ 计算e x的近似值时，所产生的误差小于0.01，并求 e 的近似值，使误差小于0.01；（4）应用三阶泰勒公式求sin18°的近似值，并估计误差．解 （1） 2131 231112! ()(ln )()(1)()(1) f x x f x f x x x x x -- ¢¢ æö ¢¢¢¢¢¢¢ ====-=- ç÷ èø， ，应用高等数学教程（能力提升篇）32(4)4143!()(1)f x x - =- ，一般地有 ()1(1)!()(1)k k kk f x x - - =- 1 2 ) k n = L （ ，， ， ． 于是 ()1 (1)! (2)(1) 2k k k k f - - =- 1 2 k n = L （ ，， ，） ． 故 () 2(2)(2) ln (2)(2)(2)(2)(2)[(2)]2!!n n n f f x f f x x x x n o ¢¢ ¢ =+-+-++-+- L 2333 1111 ln 2(2)(2)(2)(2)[(2)] 2 2322n nx x x x x n o =+---+-++-+- ×× L ． （2）因为 22 ()(tan )sec ()2sec tan f x x x f x x x ¢¢¢¢ === ， ，224(4)234 ()4sec tan 2sec ,()8sec tan 16sec tan , f x x x x f x x x x x ¢¢¢ =+=+ ， 224(4)234()4sec tan 2sec ,()8sec tan 16sec tan ,f x x x x f x x x x x =+=+ ， 所以 (0)0(0)1(0)0(0)2 f f f f ¢¢¢¢¢¢ ==== ， ， ， ， 从而(4)2 234345(0)(0)()1(sin 2)sin tan (0)(0) 2!3!4!3 3cos f f f x f f x x x x x x x x x x x¢¢¢¢¢ + ¢ =++++=++ 其中x 介于0和x 之间．（3）设 ()e x f x = ，则 ()() ()e (0)1 n x n f x f == ， ，故数 () f x 的三阶麦克劳林公式为23 4e e 1 2!3!4! xx x x x x=++++ ，其中x 介于 0 和x 之间．按 23 e 1 26 xx x x »+++ 计算e x的近似值，其误差为 3 () R x = 4 e 4!x x．当1 02 x < ≤ 时， 1 0 2 x << ， 14 23 31 ()0.00450.01 4!2 R x æö »< ç÷ èø ≤ ， 2311111 e 1 1.645 22262 æöæö»+++» ç÷ç÷ èøèø．（4）sin x 的三阶泰勒公式为 35 5 sin π 2 sin 3!5! x x x x x æö + ç÷ èø =-+ ，其中x 介于 0 和 π 10 之间．故 3554 π π 1 π 1 π sin18sin 0.3090 2.5510 10103!105!10 R - æöæö °==-=»´ ç÷ç÷ èøèø， ≤ ．32．利用泰勒公式求下列极限： （1） ( )34 3243lim32 x x xx x ®+¥+-- ；（2） [ ]222 0 cos elimln(1) x x x x x x - ® - +- ；第2章 一元函数微分学33解 （1） ()34 3243 3 4 32 lim32lim 11 x x x x x x x x x ®+¥®+¥ æö+--=+-- ç÷ç÷ èø131121 lim 11 34 x x x x x x o o ®+¥ éù æöæö=+×+-+×+ ç÷ç÷ êú èøèø ëû1 33 lim 1 22x x x o ®+¥ éùæö ç÷ êú èø êú =+= êú êú ëû． （2） [ ] 22422424 22 2 00 22 1 1()1()()()cos e 24!222 lim limln(1) () 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x o o o - ®® -++-----+ - = +- éù æö +--+ êú ç÷ èø ëû 44 0 4411 () 4!8 lim 1 () 2x x x x x o o ® æö -+ ç÷ èø = -+ 44 4 0 41() 1 1 1212 lim 1 61() 2 2 x x x x xo o ® -+ -=== - -+ ． 33．确定下列函数的单调区间：（1） 32 10496 y x x x= -+ ；（2） 3 (2)() 0 y x a a x a =--> （ ） ；（3） sin 2 y x x =+ ．解 （1）所给函数除 0 x = 外在(,) -¥+¥ 内处处可导，且2222222 1120()(1) 10(12186) 2 (496)(496) x x x x y x x x x x x--- --+ ¢ == -+-+ ． 令 0 y ¢= ，得驻点 12 112x x == ， ． 由驻点 12 112x x == ， 及 0 x = 划分区间(,) -¥+¥ 列表如下： x (,0)-¥ 1 0, 2 æöç÷ èø1 ,12 æö ç÷ èø(1,)+¥ y ¢ – – + – y]]Z]应用高等数学教程（能力提升篇）34由上表可知该函数在 1 (,0) 0, [1,) 2 æù -¥+¥ ç ú èû ， ， 内单调减少，在 1 ,1 2 éùêú ëû 上单调增加．（2）所给函数在 , , 22 a a a æöæö -¥ ç÷ç÷ èøèø ， ， (,) a +¥ 内可导，当 12 2 a x x a == ， 时，函数不可导，2 3 2 6 3 3(2)()a x yx a a x æö -- ç÷èø ¢= -- ．令 0 y ¢= ，得驻点 3 2 3ax =． 由点 12 2 a x x a == ， ， 3 2 3ax = 划分区间(,) -¥+¥ 列表如下：x , 2 a æö -¥ ç÷ èø 2,23 a a æöç÷ èø2 ,3 a a æö ç÷ èø(,)a +¥ y ¢ + + – + yZZ]Z由上表可知该函数在 2, [,) 3 a a æö -¥+¥ ç÷ èø ， 内单调增加，在 2 , 3 a a éùêú ëû上单调减少．（3）所给函数的定义域为(,) -¥+¥ ，且π sin 2 π π 2 0 1 2 π sin 2 π (1)π2x x n x n y n x x n x n ì++ ï ï ==±± í ï -+<+ ï î L ≤ ≤ （ ， ， ， ）≤ π 12cos 2 π π 2 0 1 2 π 12cos 2 π (1)π2x n x n y n x n x n ì+<<+ ï ï ¢ ==±± í ï -+<<+ ï î L （ ， ， ， ）令 0 y ¢= ，得驻点 π π 3 x n =+ 及 5ππ 6x n =+ 0 1 2 n =±± L （ ， ， ， ），按照这些驻点划分区间(,) -¥+¥ 为π π π π 5π 5π π, π π , π π , π π ,(1)π 332266 n n n n n n n n æöæöæöæö+++++++ ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø， ， ， 其中 0 1 2 n =±± L ， ， ， ． 当 π π 5π π π π π 326 n x n n x n <<++<<+ ， 时， 0 y ¢> ，因此函数在 π π π , 223 k kéù + êú ëû上单调增加0 1 2 k =±± L （ ， ， ， ） ；当 π π 5π π π π (1)π 326 n x n n x n +<<++<<+ ， 时， 0 y ¢< ，因此函数在 π π π π , 2322 k kéù ++ êú ëû上单调减 少 0 1 2 k =±± L （ ， ， ， ） ．第2章 一元函数微分学3534．证明下列不等式：（1）当 π0 2 x << 时，sin tan 2 x x x +> ；（2）当 π 0 2 x << 时， 3 1tan 3x x x >+ ；（3）当 4 x > 时， 22 x x > ；（4）当01 x << 时， 22 (1)ln (1) x x x ++< ；（5）当 π 0 2 x << 时， 2sin πx x x << ．证 （1）当 π0 2x << 时，令 () f x = sin tan 2 x x x +- ，则2 22111()cos sec 2cos 22cos 2220 cos cos cos f x x x x x x x x¢ =+-=+-×-=-> ≥ ． 因此当 π 0 2 x << 时 ， () f x 单调增加 ， 从而 ()(0)0 f x f >= ， 即当 π0 2x << 时 ，sin tan 2 x x x +- 0 > ，也就是sin tan 2 x x x +> ．（2）当 π 0 2 x << 时，令 () f x = 3 1tan 3x x x -- ，则2222 ()sec 1tan f x x x x x ¢ =--=- ． 取 ()tan g x x x =- ．当 π0 2 x << 时，由 22 ()sec 1tan 0 g x x x ¢ =-=> 知 () g x 单调增加，因此()tan 0 g x x x =-> ，即当 π 0 2 x << 时，tan x x > ，从而 22tan x x > ．于是 ()0 f x ¢ > ，故当 π 0 2x <<时， () f x 单调增加，从而 ()(0)0 f x f >= ，即当 π 0 2 x << 时， 3 1tan 0 3x x x --> ，也就是31 tan 3x x x >+ ．（3）当 4 x > 时，令 () f x = 22 x x - ，则()2ln 22 x f x x ¢ =- ， 222 ()2ln 222(ln 4)2 x x f x - ¢¢ =-=- ．当 4 x > 时， ()0 f x ¢¢ > ， () f x ¢ 单调增加， 从而 3 ()(4)2ln 480 f x f ¢¢ >=-> ， 故当 4 x > 时， ()f x 单调增加，从而 ()(4)0 f x f >= ．即当 4 x > 时，即 22 x x > ．（4）当01 x << 时，令 () f x = 22 (1)ln(1) x x x ++- ，则 (0)0 f = ．2 ()ln (1)2ln(1)2(0)0 f x x x x f ¢¢ =+++-= ， ， 1()[ln(1)]0 ln(1)f x x x x ¢¢ =+-< + ．所以当01 x << 时， () f x ¢ 单调减少，从而 ()(0)0 f x f ¢¢ <= ，故当01 x << 时， () f x 单调减少， 从而 ()(0)0 f x f <= ．即当01 x << 时，即 22 (1)ln (1) x x x ++< ．应用高等数学教程（能力提升篇）36（5）先证当 π0 2x << 时，sin x x < ．令 () f x = sin x x - ，则当 π 0 2 x << 时，有 ()1cos 0 f x x ¢ =-> ．因此当 π0 2x << 时， () f x 单调增加，从而 ()(0)0 f x f >= ，即当 π0 2x << 时，sin x x > 0 > ．再证当 π 0 2 x << 时， 2 sin π x x < ，即证 sin 2π x x > ．令 sin 2 () π x g x x =- ，则当 π0 2x << 时，有22 cos sin cos ()(tan )0 x x x xg x x x x x- ¢ ==-< ．因此当 π 0 2 x << 时， () g x 单调减少，从而 π ()0 2 g x g æö<= ç÷ èø，即当 π 0 2 x << 时， sin 2 π x x > ，亦2sin πx x < ． 35．讨论方程ln x ax = （ 0 a > ）有几个实根．解 取 ()ln (0,) f x x ax x =-Î+¥ ， ，则 1 () f x a x ¢ =- ．令 ()0 f x ¢ = ，得驻点 1x a= ．当 1 0 x a << 时， ()0 f x ¢ > ，因此函数 () f x 在 1 0, a æöç÷ èø 内单调增加，当 1 x a <<+¥时， ()0 f x ¢ < ，因此函数 () f x 在 1 ,a æö +¥ ç÷ èø 内单调减少．从而 1 f a æöç÷ èø为最大值，由 0 lim () lim () x x f x f x + ®+¥ ® =-¥=-¥ ， ，知①在 11 ln 10 f a a æö=-= ç÷ èø即 1 e a = 时，曲线 ()ln f x x ax =- 与 x 轴仅有一个交点，这时方程ln x ax = 有唯一实根． ②在 11 ln 10 f a a æö=-> ç÷ èø 即 1 0 e a << 时，曲线 ()ln f x x ax =- 与 x 轴有两个交点，这时方程ln x ax = 有两个实根． ③在 11 ln 10 f a a æö=-< ç÷ èø即 1 e a > 时， 曲线 ()ln f x x ax =- 与x 轴没有交点， 这时方程ln x ax = 没有实根．36．求下列函数图形的拐点及凹或凸区间．（1） 2 ln(1) y x =+ ； （2） arctan e x y = ． 解 由 22222(1)(1)1(1)x x x y y x x -+ ¢¢¢ == ++ ， ，令 0 y ¢¢= 得 12 11 x x =-= ， ． 当 1 x -¥<<- 时， 0 y ¢¢< ，因此曲线在(,1] -¥-内是凸的；。

一元函数微分学第2章一元函数微分学教学耍求1・知道极限概念数列极限、函数极限、左右极限知道极限存在的充分必耍条件2•了解无穷小量概念了解无穷小量与无穷大量的关系知道无穷小量的性质如有界变量乘无穷小量仍为无穷小量3•掌握极限的四则运算法则掌握两个重要极限掌握求极限的一般方法4•了解函数在一点连续的概念知道左连续和右连续的概念知道函数在一点间断的概念会求函数的间断点5•理解导数定义会求曲线的切线知道可导与连续的关系6•熟练掌握导数基木公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则掌握求简单隐函数的导数7 •了解微分概念会求函数的微分&知道高阶导数概念会求函数的二阶导数本章重点极限的计算导数的概念导数、微分的计算木章难点极限的概念复合函数导数的计算内容结构课堂教学-经济数学基础教学设计一、极限的概念 附课件演示极限一教师主页—电大在线3、函数极限二 xfxx 01im=A 1 当x Ox 吋有Axf )(记作xf )(记作xfxx Olim=A3 当xOx吋有Axf )(记作xfxxOlim 二A注意 1 当xOx时极限存在的充要条件是左、右极限相等即xfxxOlim 二 A xfxx 01im= xfxx Olim二A这充要条件常用于讨论分段函数在分段点处的极限是否存在例题3 另见导学17页跟我练习2 极限存在的两个前提条件①确定自变量的变化过程②在这一变化过程中函数值f(x)无限地逼近于一确定的常数A4、常用的一些基本极限详见导学16页附0二、无穷小量详见导学17页1、定义极限为零的量必须注明自变量的变化过程跟我练习2、性质①有限个无穷小量的代数和、乘积仍是无穷小量②无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量3、无穷小量的倒数——无穷大量内容讲解*无穷小量三、函数的连续与间断1、定义内容讲解*函数的连续性设函数xf在点Ox的邻域内有定义若满足001 imxfxfxx则称函数xf在点Ox处连续.点Ox是xf的连续点.函数f (x)在Ox处连续等价于f (x)在Ox处左、右都连续2、初等函数在其定义域内都连续其极限值等于函数值即OOlimxfxfxx跟我练习3、分段函数的连续性的判断根据分段点处是否左右都连续例题1例题2跟我练习四、求极限的方法1、极限的四则运算内容讲解*极限的四则运算法则例题12、利用连续性求极限)(limOxfx = f(Ox)例题 33、0型或型极限的计算详见导学19页10型极限的计算方法用分解因式或分式有理化等方法消去极限为零的因子再取极限例题2例题4型极限的计算方法分子、分母同吋除以分母的最高次项不包括系数例题3 导学练习4、利用两个重要的极限求极限详见导学20页⑴XxxsinlimO二 1 （00型）可推广成中心sinlimO0二1 “即三个括号填的代数式必须一致”例题12xlim 1+x1 x二 e 或Olim1二e 都是1型可推广成e中心11 lim 或 elllim 屮心例题235、课后练习连接网页五、导数与微分的概念1、导数的定义 内容讲解*引例2内容讲解*引例3解*引例1内容讲解*导数定义函数y 二f (x)在点Ox 处的导数 是函数在点Ox 处的变化率 数的改变量 y与自变量改变量 x 的比值的极限x 0 跟我练习例题内容讲①用定义计算函数导数的步骤是第一步自变量改变量Ox+ x -Ox时计算函数的改变量y二"0x+ x)-f (Ox)它是x的函数第二步计算比值Xy第三步求极限OlimXXy当极限存在时其极限就是导数值0 /Xf 当极限②左、右导数左导数00值不存在吋函数f(x)在点Ox处不可导。

第二章一元函数微分学§2.1导数与微分（甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量(x f y =∆0x x dxdy=，)(x x dxx df =)x 在点0x 右导数：左导数：则有(x f 2)(x f 在点（(,0f x 切线方程：000()()()y f x f x x x '-=- 法线方程：00001()()(()0)()y f x x x f x f x '-=--≠' 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =，如果0()f t '存在，则0()f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。

3．函数的可导性与连续性之间的关系如果函数)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f 在点0x 处一定连续，反之不然，即函数)(x f y =在点0x 处连续，却不一定在点0x 处可导。

例如，||)(x x f y ==，在00=x 处连续，却不可导。

4．微分的定义设函数)(x f y =在点0x 处有增量x ∆时，如果函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆有下面的表达式0()()y A x x o x ∆=∆+∆（0→∆x ）其中)(0x A 为为无关，()o x ∆是时比高阶的无穷小，则称在x 处可微，并把y ∆中5y =∆x ∆点,(00f x M 6)(x f 且所以导数 7处仍是可导的，则把()y f x ''=在点)(x f y =，或022x x dxyd =等，也称f 0x 处二阶可导。

如果)(x f y =的1-n 阶导数的导数存在，称为)(x f y =的n 阶导数，记以)(n y ，)()(x yn ，n n dxyd 等，这时也称)(x f y =是n 阶可导。

第二部分一元函数微分学[ 选择题 ]1. 若f x点 x x0处可导，则下列各式中结果等于f x0的是 [].f x0 f x0x（ B）lim f x0x f x0（ A）limx0x x0xf x0 2 x f x0（ D）lim f x0 2 x f x0x（ C）limx xx0x02.下列结论错误的是 [ ]（ A）如果函数f x 在点 x x0处连续，则f x 在点 x x0处可导（ B）如果函数f x 在点 x x0处不连续，则 f x 在点 x x0处不可导（ C）如果函数f x 在点 x x0处可导，则f x 在点 x x0处连续（ D）如果函数f x 在点 x x0处不可导，则 f x 在点 x x0处也可能连续x 2x 0x 在点x0 处[ ]3. 设f x1，则 fx3x＞0（A）左导数不存在，右导数存在（B）右导数不存在，左导数存在（C）左、右导数都存在（D）左、右导数都不存在4.若曲线 y x2ax b 和 y x3x 在点（1，2）处相切（其中a, b是常数），则a, b之值为 [ ].（ A）a2, b1（ B）a 1, b3（ C）a0, b2（ D）a3, b 15.设 f x cosx,则 lim f a f ax[]x0x（ A）sin a（B）sin a（ C）cosa（ D）cosa6. 设f x二阶可导，y f 1nx , 则y[]（ A ） f ' ' 1nx（ B ） f '' 1nx 1x 2（ C ）1f ' ' nxf ' nx1f ''1nx f'1nxx 211（D ）x 27. 若 f u可导 , 且 yf (e x ) 有 dy []（ A ） f 'e xdx（B ） f ' e x de x （ C ） f e xde x（ D ） f e x ' e x dx8．设函数 yf (x)在点 x 0 处可导， y f ( x 0 h) f ( x 0 ) ，则当 h 0 时，必有 [ ].(A) dy 是 h 的同价无穷小量 . (B)y - dy 是 h 的同阶无穷小量。

第二章一元函数微分学（30学时）微积分学包括微分学与积分学两大组成部分。

微分学中最重要的两个概念就是导数与微分。

导数，从本质上看，它是一类特殊形式的极限，它是函数变化率的度量，它是刻画函数对于自变量变化的快慢程度的数学抽象。

微分，它是函数增量的线性主部，它是函数增量的近似表示。

微分与导数密切相关，这两个函数之间存在着等价关系。

导数与微分都有实际背景，都可以给出几何解释，因而它们都会有广泛的实际应用。

它们在解决几何问题，寻求函数的极值与最值，以及寻求方程的近似根等问题中有重要作用。

本章分两部分，第一部分在深入研究导数概念的基础上，讨论函数求导的基本公式，以及函数求导的运算法则。

相应地，将推出函数微分的基本公式与运算法则，同时，还将介绍可导与连续的关系，高阶导数、隐函数、由参数方程决定的函数的导数的概念及计算方法。

第二部分首先建立导数应用的理论基础――微分中值定理，然后相继讨论导数的一些重要应用：函数的多项式逼近（泰勒公式）、求未定式的极限的一种方法（洛必达法则）、函数单调性和凹凸性的研究、函数图形的描绘、函数的极值和最值的求法、某些函数恒等式或不等式的证明以及曲率的计算等等。

具体的要求如下：1．理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。

2．会用导数描述一些物理量。

3．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。

了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。

4．了解高阶导数的概念。

5．掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。

6．会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。

会求反函数的导数。

7．理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日（Lagrange）定理。

8．了解柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）定理。

9．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。

10. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描述函数的图形（包括水平和铅直渐近线）。

第二章 一元函数微分学 一、一元函数的导数与微分 （一）导数的定义与几何意义 1．导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域有定义，若极限x x f x x f x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limylim000x 0x 存在，即在0x 可导0x x -)()(lim)('0x x x f x f x f -=→导数存在，左右导数存在相同； 2.几何意义 导数为切线斜率（二）单侧可导与双侧可到的关系)(x f 在点0x 处可导⇔)(x f 在点0x 左右导数均存在且相等（三）微分的定义、几何意义以及可微、可导与连续之间的关系 1．微分的定义 )()(y 0x x x A ∆+∆=∆ο)(x ∆ο是0→∆x 是比x ∆高阶的无穷小，可微函数y=)(x f 在点0x 处的微分是该函数在点0x 处函数增量的线性主要部分 2.微分的几何意义y ∆是曲线y=)(x f 在点0x 处相应于自变增量x ∆的纵坐标的增量微分dyx x =是曲线y=)(x f 在点0x 处切线相应于自变增量x ∆的纵坐标的增量3.可微、可导及连续之间的关系)(x f 在点0x 处可导⇔)(x f 在点0x 处可微⇒ )(x f 在点0x 处连续但连续不一定可导、可微y=)(x f 在点0x 处可微时dy=dx x f x x f )(')('00=∆（四）函数的区间上的可导性，导函数及高阶导数 1.函数在区间上的可导性若)(x f 在开区间每一点都可到，则在开区间可导，又在端点可导，则在闭区间可导2.若)(x f 在区间可导，对于任意x 在区间内，都有对应)(x f 的一个确定的导数值)('x f ，构成一个新的函数，称为导函数，记作dxx df dx dy x f )(;;y )(''； 3.二阶导数及高阶导数二阶导数⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx d dx y d x f ;;y )(''22''； n 阶导数n nn)(n)(;y )(dxy d x f ； N 阶导数定义xx f x x f x f∆-∆+=→∆)()(lim )(01-n 01-n 0x 0n)(）（）（若)(x f 在0x 处n 阶可导，则)(x f 在0x 的某领域比具有一切比低于n 阶的导数 （五）奇偶函数与周期函数的导数性质)(x f 为奇函数⇒)('x f 为偶函数；)(x f 为偶函数⇒)('x f 为奇函数；不能反推 )(x f 以T 为周期⇒)('x f 也以T 为周期二、按定义求导数及其适用的情形 （一）按定义求导数x x f x x f x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limylim000x 0x（二）按定义求导数适用的情形情形1，除了常数及某些初等函数的导数公式外，均可按定义导出 情形2，求导法则不能用的情形，不知道是否可导 情形3，求某类分段函数在分界点处的导数（三）利用导数定义求极限xx f x x f ∆-∆+→∆)()(lim000x n n x x f x x f )()(lim 0n -++∞→ 其中0lim n =+∞→n x三、基本初等函数导数表，导数的四则运算法则与复合函数微分法则 （一）基本初等函数导数表与求导法则 1．基本初等函数导数表a x x aa a xx x xx x x x x x t a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )an (22='='⋅-='⋅='-='=' 222211)ot (11)an (11)(arccos 11)(arcsin x x arcc x x arct x x x x +-='+='--='-=' x xx x x xx e e x x 22'''''sec cos 1)(tan cos )(sin 1)(ln )(0c ======）（)()()())()(sin )(cos ''''x f x f x f x f xx x x x ==-= xx 1)(ln '=2.求导法则复合函数求导法则幂指数函数求导 反函数求导 隐函数求导 变限积分求导 分段函数的求导（二）导数与微分的四则运算法则[])(')(')()('x g x f x g x f ±=±[])(')()()(')()('x g x f x g x f x g x f +=)()(')(-)()(')()(2'x g x g x f x g x f x g x f =⎥⎦⎤⎢⎣⎡（三）复合函数的微分法则dxdudu dy dx y •=d（四）初等函数求导法 利用上述三种方法综合运用四、复合函数求导法的应用—由复合函数求导法则导出的微分法则 （一）幂指数函数)()(x g x f 的求导法 1.将)()(x g x f 表成)(ln )(ex f x g 后求导2.对数求导法，对)()(x g x f y =两边取对数得)(ln )(ln x f x g y =，两边对x 求导用对数求导法求乘积的导数或微分很方便)()()(21x f x f x f y n •⋅⋅⋅••= 先取绝对值，再取对数幂指数函数导数公式也可用二元复合函数求导法推出的复合函数与是)(),()()(x g v x f u u y x f y v x g ====dxdv u v dx du u u dx y v v •∂∂+•∂∂=）（）（d（二）反函数求导法'1d y dy x = 3'''22-d y y dy x =（三）变限积分的求导法设)(x f 在闭区间连续，)(),(x x ψϕ在闭区间可导⎰=)()(;)(x x dt t f y ϕψ[][])()()()()()('')()(x x f x x f dt t f dx d dt t f dx d dx dy x ax a ψψϕϕψϕ-=-=⎰⎰（四）隐函数微分法设有二元方程F （x ，y ）=0，若存在函数y=y （x ）使得F （x ，y （x ））=0，对区间上任何x 成立，则称y=y （x ）为方程F （x ，y ）=0在区间上确定的隐函数运用复合函数求导法则五、分段函数求导法1.按求导法则分别求分界点处的左右导数2.按定义求分界点的导数或左右导数3.分界点为连续点时，求导函数在分界点处的极限值（一）按求导法则分别求分段函数在分界点处的左右导数A x f A x h x g x h x g ====+)(,)()(),()(0'0'0'-00则且若（二）按定义求分界点的导数或左右导数无定义在、000)()(x x h x gx x x h x x f x x f x f x x ∆-∆+=∆-∆+=+→∆+→∆+A)(lim)()(lim)('000000xx x g x x f x x f x f x x ∆-∆+=∆-∆+=→∆→∆A)(lim)()(lim)('0-000-00- 上述极限存在且相当，则存在)(0'x f（三）分界点为连续点时，求导函数在分界点处的极限值 可导且连续，A x f x x =→)(lim '六、高阶导数及n 阶导数的求法（一）归纳法 逐一求出前几阶导数，观察规律性写出)(n y 的公式（二）利用简单得初等函数的n 阶导数公式（1）b ax n n b ax e a e ++=)(）（ x n x e e =)(）（（2）[])2sin()sin()(πn b ax a b ax n n ++=+ [])2sin(sin )(πn x x n += （3）[])2(cos )(cos )(πn b ax a b ax n n ++=+ ())2cos(cos )(πn x x n +=（4）[]n n n b ax n a b ax -++-⋅⋅⋅-=+βββββ))(1()1()()([]n n x n x -+-⋅⋅⋅-=βββββ)1()1()( （5）1)()(!)1(1++-=⎪⎭⎫⎝⎛+n n n n b ax n a b ax (6) []n n n n b ax n a b ax )(!1-)1()ln(1-)(+-=+）（ []nn n xn x !1-)1(ln 1-)(）（-= (三)分解法1.有理函数与无理函数的分解)1)(1(1,21+-⋅⋅⋅+-+=+--x x x x x n x n n n n 为奇数时，当 )1-)(1(1-,21x x x x x n x n n n n +⋅⋅⋅+-+=--为偶数时，当2.三角函数的分解（利用三角函数恒等式及有关公式）（四）由f （x ）在x=0x 处的泰勒公式的系数或幂级数展开式的系数求)(0)(x f n七、微分中值定理(一)极值的定义 极小值、极大值 与左右两边的比较，还没涉及导数（二）微分中值定理及其几何意义 1.费马定理及其几何意义)(x f 在x=0x 处可导且取得极值，则导数为0，0x 为驻点，驻点切线与x 轴平行2.罗尔定理及其几何意义[]0)('),(),()(),(,)(=∈=ξξf b a b f a f b a b a x f 使得则存在上可导，又上连续，在在设)(x f 在点ξ切线平行于x 轴3.拉格朗日中值定理及其几何意义（微分中值定理）[])(')()(),(,),(,)(ξξf ab a f b f b a b a b a x f =--∈使得则存在上可导，上连续，在在设)(x f 在点ξ切线平行于割线)10(,)(')()( θθx x x f y x f x x f ∆•∆+=∆=-∆+4.柯西中值定理[])(')(')()()()(),(,0)('),(,)(),(ξξξg f a g b g a f b f b a x g b a b a x g x f =--∈≠使得则存在上可导，且上连续，在在设 （三）几个微分中值定理之间的关系拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，,)(x x g =罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况八、利用导数研究函数的性态（一）函数为常数的条件与函数恒等式的证明 1．函数为常数的条件 导数恒为02.两个函数差为常数的条件 导数相等3.两个函数恒等的条件，导数导数，存在一点使得两值相等（二）函数单调性充要判别法1.函数单调性的定义 单调增加、单调减少、单调不增、单调不减2.函数单调性判别定理及其几何意义单调不减 导数大于等于0；单调增加，导数大于等于0，区间内，不存在导数等于0的情况 3.几何意义单调增加与x 轴锐角；单调减少与x 轴钝角（三）极值点充分判别法1.极值第一充分判别定理及其几何意义 左导数小于0，右导数大于0，极小值主要考察函数的不可导点，因为不可导点有可能是函数的极值点2．极值第二充分判别定理及其几个意义，具体再讨论极小值，极大值，当当二阶可导，且在点设0)('',0)('',0)('',0)(')(00000==x f x f x f x f x x f几何意义结合第一充分判别定理分析 二阶导数小于0，一阶导数由大于0到小于0，极大值（四）凹凸性的定义与充要判别法 1.凹凸的定义[]凹上可导，若恒有上连续，在在设),())((')(),(,)(000x f x x x f x f b a b a x f -+[]凸上可导，若恒有上连续，在在设),())((')(),(,)(000x f x x x f x f b a b a x f -+2.凹凸性充要判别定理及其几何意义[][]()是单调增函数在是凹的充要条件是在上可导，则上连续，在在设b a x f b a x f b a b a x f ,)(',)(),(,)([][]()是单调减函数在是凸的充要条件是在上可导，则上连续，在在设b a x f b a x f b a b a x f ,)(',)(),(,)([][]0)(''),(,0)('',)(),(,)(恒不等于的任意子区间内是凹的充要条件是在则内二阶可导，上连续，在在设x f b a x x f b a x f b a b a x f ∈∀≥[][]0)(''),(,0)('',)(),(,)(恒不等于的任意子区间内是凸的充要条件是在则内二阶可导，上连续，在在设x f b a x x f b a x f b a b a x f ∈∀≤（五）观点的定义与充分判别法1.拐点的定义，)(x f 在0x 的左右侧凹凸性相反，在为拐点2.拐点的充分判别定理)(x f 连续，二阶可导，且二阶导数在0x 反号 或二阶导数等于0，三阶导数不等于0（六）利用导数做函数的图形1、定义域，奇偶性、周期性、剪短点2、一阶导数、二阶导数等于3、渐近线 b kx y y x +=∞→∞→;；[]b kx x f k xx f b kx y x x =-≠=⇔+=+∞→+∞→)(lim ,0)(lim且九、微分学的几何应用与经济应用 （一）平面曲线的切线1.用显式方程表示的平面曲线))(('00o x x x f y y -+=2.用隐式方程表示的平面曲线0)(),()(),(),(,0),(000000=-∂∂+-∂∂=y y yy x f x x x y x f y x f y x f 切线方程有连续的一阶偏导数，其中（二）边际与弹性1.边际及其先关概念 边际成本 边际收益 边际利润2.弹性及其相关概念xdx y dydxdyy x Ex y Ex y x y ==E ,E 的弹性记为对 需求函数)(P Q Q =dpdQQ p Ep Q =E收益对价格的弹性dpdRR p Ep R =E 因为pQ R =+=+==1)(1)(1E dp dQp Q Q dp pQ d Q Ep R EpQ E 注意弹性的绝对值问题，区别正负性十、一元函数的最大值与最小值问题（一）闭区间[]的求法和最小值的最大值上连续函数的m M )(,x f b a 1.求出驻点，即一阶导数为0 2.算出驻点的函数值3.有不可导点，算出不可导点的函数值4.求出端点的函数值5.比较(二) )(x f 在区间可导且仅有唯一驻点的最大值和最小值的求法 1．通过一阶导数左右两端符号判断 2.通过二阶导数的正负性判定十一、一元函数的泰勒公式（一）带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式，皮亚诺余项）（即））（（其中阶导数，则处有在点设0)(lim ),()(),()(!)()(!2)())((')()()(00000)(20000000=-→-=+-++-''+-+=→n n x x nn n n n x x x R x x x x x R x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n x x f ο （二）带拉格朗日余项的n 阶泰勒公式[][]10),()()!1()(),()(!)()(!2)())((')()(,,1),()(0010)1(00)(2000000 θθξξξ且之间，也可表示为与在而，拉格朗日余项其中有阶连续导数，对于任何上有阶导数，在区间内有的区间在包含点设x x x x x x x n f R x R x x n x f x x x f x x x f x f x f b a x n b a n b a x x f n n n n n n -+=-+=+-++-''+-+=∈+++n n x n f x f x f f x f x !)0(!2)0()0()0()(0)(20++''+'+== 时即为麦克劳林公式：十二、带皮亚诺余项的泰勒公式的求法 （一）泰勒公式的唯一性!)(,),('),(,)()()()()(0)(01000020201000n x f A x f A x f A x x x x A x x A x x A A x f x x n x x f n n nn n =⋅⋅⋅==-+-++-+-+=→则））（（时，有阶导数，则处有在点设ο这个定理称为泰勒公式的唯一性定理（二）泰勒公式的求法 1.直接求法))(1,0(,)!1(1)(),()()(!)(!1!211102+∞<<-∞∈+==+=++⋅⋅⋅+++=+=∑x x e n x R x x R x R k x x R x n x x e n x n n n n nk kn n xθοθ其中)()1,0()!12(cos )1()(),()()()!12()1()()!12()1(!5!3sin 1222221121212153+∞<<-∞∈+-==+--=+--+-+-=+=----∑x x k x x R x x R x R k x x R n x x x x x n n n n n n nk k k n n n ，，其中　θθο)()1,0()!22(cos )1()(),()()()!2()1()()!2()1(!4!21cos 221121212120212242+∞<<-∞∈+-==+-=+-+-+-=++++++=+∑x x k x x R x x R x R k x x R n x x x x n n n n n n nk k k n n n ，，其中　θθο)1,0(),1,1()1()!1()()1()(),()()(!)1()1(1)(!)1()1(!2)1(1)1(1112∈-∈++--==++--+=++--++-++=++--=∑θθαααοαααααααααααx x x n n x R x x R x R x k k x R x n n x x x n n n n n n nk kn n ，其中(])1,0(,1,1)1()1(1)1()(),()()()1()(1)1(3121)1ln(111111132∈-∈+++-==+-=+-+-+-=++--++=--∑θθθοαx x x x x n x R x x R x R k x x R x n x x x x n n n n nn n n n nk k k n nn ，）（其中2.间接求法 ①四则运算()()()))(()()(m n a x a x a x n m n ≤-=-+-οοο()()())()()(m n m n a x a x a x +-=-•-οοο()()())()(m n m n a x a x a x +-=-•-οο()()有界在其中δοο a x x f a x a x x f mm--=-•0)(),()()(②复合运算 替代变量法③逐项求导或逐项积分））（（））（（））（（时，有阶导数，则处有在点设10102010010100210020201000)(1)(2)()()()(2)(')()()()()(0++---+-+++-+-=-+-++-+=-+-++-+-+=→⎰n n n xx n n n nn n x x x x n A x x A x x A dt t f x x x x nA x x A A x f x x x x A x x A x x A A x f x x n x x f οοο十三、一元函数泰勒公式的应用 （一）利用泰勒公式求未定式的极限)();(0);()()(lim )()(lim 0,0,)()()()()(),(m n m n n m BA a x a xB a x a x A x g x f B A a x a x B x g a x a x A x f a x x g x f m m nn a x a x m m nn ∞==-+--+-=≠≠-+-=-+-==→→））（（））（（））（（））（（时，有在点设οοοο（二）用泰勒公式确定无穷小的阶阶数数是导数不为零的最小阶无穷小，无穷小的阶的是因此，））（（，则，若））（（时，有阶导数，则处有在点设n a x x f x x x x n x f x f x f x f x f x f x x x x n x f x x x f x f x f x x n x x f nn n n n n n n )()()(!)()(0)(0)()(')(,)(!)())((')()()(000)(0)(0)1-(00000)(00000--+-=≠====-+-++-+=→οο（三）利用泰勒公式证明不等式方法1，通过估计泰勒公式余项的大小来证明不等式方法2，通过函数与二阶导数的界估计一阶导数的界来证明不等式（四）由泰勒公式的系数求)(0)(x f nn n n n n n n A n x f A x f A x f n x f A x f A x f A x x x x A x x A x x A A x f x x n x x f !)()(')(!)(,),('),(,)()()()()(0)(10000)(01000020201000====⋅⋅⋅==-+-++-+-+=→，，因此则））（（时，有阶导数，则处有在点设ο（五）用泰勒公式证明函数或高阶导数存在满足某种要求的特征点当要求证明存在某点使得函数或高阶导数在该点取值满足某等式或不等式或具有某种其他要求的特征时，常常需要用泰勒公式，所求的点还常常是公式余项中出现的中间值十四、常考题型及其解题方法与技巧题型一、有关一元函数的导数与微分概念的命题题型二、用导数定义求函数的极限题型三、求各类一元函数的导数与微分题型四、求变限积分的导数1. 求仅积分限含参变量x 的变限积分的导数2. 求被积函数也含有参变量x 的变限积分的导数题型五、求一元函数的n 阶导数题型六、用微分学的方法证明不等式方法1，利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式方法2，利用函数的单调性证明不等式方法3，利用函数的最大值或最小值证明不等式方法4，利用函数图形的凹凸性证明不等式题型七、利用导数研究函数的性态1. 函数等于常数的证明2. 单调性与凹凸性的证明3. 讨论函数的极值与拐点4. 求函数的单调区间与极值点及其图形的凹凸区间与拐点5. 用微分学知识作函数的图形6. 利用函数的性态研究函数零点的个数题型八、导数与微分在经济学中的简单应用题型九、微分中值定理命题及相关问题1. 费马定理型的中值命题2. 罗尔定理型的中值问题3. 与区间端点函数值有关的微分中值命题题型十、一元函数的最值问题1. 函数型的最值问题2. 应用型的最值问题题型十一、求泰勒公式1. 求带皮亚诺余项的泰勒公式2. 求带拉格朗日余项的n 阶泰勒公式题型十二、用泰勒公式求极限或确定无穷小的阶1. 用泰勒公式求极限2. 用泰勒公式确定无穷小的阶题型十三、用泰勒公式证明不等式或高阶导数存在某种特征点。