第四部分 控制测量学练习(11。条件平差)

测量平差第四章题目：在直角三角形中，测得三边之长为12.L L 及3L ，若选取直接观测值的平差值为未知数，试列出该图的误差方程式。

解答：3,2n t ==所以选取两个未知数，分别为：1122ˆˆˆˆ,L X L X == 则有平差值方程：11223ˆˆˆˆˆL X L X L ===误差方程：11122203123ˆˆˆˆv xl v xl v xxl =-=-=+-其中()()0111022233l L X l L X l L =-=-⎛= ⎝. 题目：在三角形ABC 中，测得不等精度观测值如下：12112233512011.3,=1880821.9,2 =403128.4, P P P βββ====若选取直接观测的平差值为未知参数，试按照间接平差计算各角的平差值。

解答： 2,3t n ==设：11=X β ，22=X β 则平差值方程：11223=X =X βββ又： 111222=+V =+V ββββ 01110222ˆX =X ˆX =X x x ++ ∴ 误差方程：1112221233V =x -l V =x -l V =-x -x -l 其中：0111022200312()0()0(180) 1.6l X l X l X X ββ=--==--=''=---= 即：V=BX-l100111B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 001.6l ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 100020002P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦由：V min T PV =1ˆ()T T xB PB B Pl -= 1()T T V B B PB B Pl l -=-代入数据得：0.320.640.64V -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ ∴ L L V =+ =512010.98880821.26403127.76'''⎡⎤⎢⎥'''⎢⎥⎢⎥'''⎣⎦.题目：在直角三角形ABC 中，已知AB=100.000m(无误差)，测得边长AC 和角度A ，得观测值为1115.470,l m = '''2295955l ︒=.其中误差设为15l mm σ=±，2''4l σ=±，试按间接平差法求三角形ABC 的平差值。

1. 若令 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⨯⨯1211Y X Z ，其中 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21Y Y Y ，已知权阵Z P 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=211120102Z P ，试求权阵X P ，Y P 及权1Y P ，2Y P 。

需要掌握的要点：向量的协方差阵D 、协因数阵Q 、权阵P 之间的关系和它们里面元素的含义。

解：由于1-=Z ZZ P Q ，所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=12/12/12/14/34/12/14/14/3ZZQ ，通过该式子可以看出，[]4/3=XXQ ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12/12/14/3YY Q ，则3/41==-XX Q P X ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-2/31121YY Q P Y 且3/41=Y P ，12=Y P2. 设已知点Ａ、B 之间的附合水准路线长80km ，令每公里观测高差的权等于1，试求平差后线路中点C 点高程的权。

思路：该题可以有三种解法（测量学的单附合水准路线平差、条件平差、间接平差）。

千万记住：求什么量的权就一定要把给量的函数表达式子正确地写出来。

即1ˆˆh H H A C +=，或X H Cˆˆ= 方法一：（测量学的单附合水准路线平差） (1) 线路闭合差B A h H h h H f -++=21)(21)2121()(212121)(2121ˆ2121211111B A B A B A A h A A C H H h h H H h h H h h H h H f h H v h H H ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-=++-=-++-+=-+=++=(2) 按照协因数传播定律:202/12/1400040)2121(2/12/1)2121(22122111ˆˆ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=h h h h h h h h H H Q Q Q Q Q CC(3) 则 20/1/1ˆˆˆ==C C C H H H Q P方法二：（条件平差法）思路:因为C 点高程平差值是观测值平差值的函数。

第八章 高斯投影1．为什么要研究投影？我国目前采用的是何种投影？２.控制测量对投影提出什么样的基本要求？为什么要提出这种要求?３．椭球是一个不可展曲面，将此曲面上的测量要素转换到平面上去,必然会产生变形，此种变形一般可分为哪几类？我们可采取什么原则对变形加以控制和运用？4．高斯投影应满足哪些条件？60带和30 带的分带方法是什么？如何计算中央子午线的经度?５.为什么在高斯投影带上，某点的y 坐标值有规定值与自然值之分，而x 坐标值却没有这种区分?在哪些情况下应采用规定值?在哪些情况下应采用自然值?6．正形投影有哪些特征?何谓长度比？7.投影长度比公式的导出有何意义?导出该公式的基本思路是什么?8．写出正形投影的一般公式，为什么说凡是满足此式的函数,皆能满足正形投影的条件？9.学习了正形投影的充要条件和一般公式之后，你对高斯投影的实质是怎样理解的？10．设ABC 为椭球面上三等三角网的一个三角形,试问:（1)依正形投影Ａ、Ｂ、C 三点处投影至平面后的长度比是否相等?(2)如若不等,还能保持投影的等角性质和图形相似吗？如若相等，岂不是长度比和点的位置无关吗?11．写出按高斯平面坐标计算长度比m 的公式,并依公式阐述高斯投影的特点和规律。

12．已知投影公式1f x =(Ｂ、L ）,2f y =（B 、Ｌ），求椭球面上一点附近任意方向上长度比的计算公式,并写出主方向的长度比(提示:dBdl M r tg ==α）。

１3．在讨论高斯投影时提出了正形投影的充要条件(又称柯西—黎曼条件)，它对问题的研究有什么作用?这个条件是如何导出的？14．高斯投影坐标计算公式包括正算公式和反算公式两部分，各解决什么问题？15．试述建立高斯投影坐标正算公式的基本思路及主要过程。

16．高斯投影正算是已知 求 ,由于 值不大,故此公式可以认为是在 点上展开 的幂级数；反算公式中底点纬度B f 是指 ，由于 值不大，故此公式可认为是在 点上展开 的幂级数。

第一章观测误差与传播率第一节观测误差1、在下列情况下用钢尺丈量距离，使量得的结果产生误差，时判别误差的性质与符号：（1）尺长不准确；（2）尺长检定过程中，尺长与标准尺长比较产生的误差；（3）尺不水平；（4）尺反曲或垂曲；（5）尺端偏离直线方向；（6）估读小数不准确；2、在下列情况下使水准测量中水准尺的读数带有误差，试判别误差的性质与符号：（1）视准轴与水准轴不平行；（2）仪器下沉；（3）读数不准确；（4）水准尺下沉；（5）水准尺竖立不直。

第二节衡量精度的指标3、为检定某经纬仪的测角精度，对已知精确测定的水平角α=58002’00.0”（无误差）进行10次观测，其结果为：58002’03” 58002’01” 58001’58” 58001’57” 58002’04”58001’59” 58001’59” 58002’05” 58002’01” 58001’57”试求测角中误差σ。

4、设有两组观测值X i和Y i，它们的真误差分别为：△x:2,-3,+1,0,+2 △y:0,+3,+1,-2,+3试求观测量X与Y的方差σx2和σy2,哪个测量观测精度高?5、某距离在相同的观测条件下观测20次，得独立观测值（单位：m）为：437.59 437.61 437.60 437.55 437.59 437.62 437.64 437.62437.64 437.61 437.69 437.63 437.61 437.62 437.61 437.60437.56 437.68 437.65 437.58试计算该距离的算术平均值X及其方差与中误差估值。

6、有两段距离S1和S2，经多次观测得观测值及其中误差分别为300.00±2cm和600.00±2cm,试问哪段距离观测精度高?二距离各次观测值的观测真误差是否相同?7、有一段距离，其观测值及其中误差为652.48m±9mm。

（1）试估计该观测值的真误差实际可能出现的范围是多少？（2）试求该观测值的相对中误差。

平差习题注：第五小组组长：李博文组员：陈辉、严小光、张广省、贺磊、王志超第四章平差数学模型与最小二乘原理4-1 测量平差概述4.1.01 误差发现的几何条件是什么？4.1.02 几何模型的必要元素与什么有关？必要元素就是必要观测数吗？为什么?4.1.01 必要观测值的特性是什么？在进行平差前，我们首先要确定哪些量？如何确定几何模型中的必要元素？试举例说明。

4-2 函数模型4.2.04 四种基本平差方法的函数模型是按什么来区分的？ 4.2.05 平差的函数模型中的未知量是什么?已知量是什么？4.2.06 在那平差的函数模型中，n、y、r、u、s、c等字母各代表什么量？它们之间有何关系？4.2.07 试确定图4-1所示的图形中条件方程的个数。

（a）已知点：A、B （b）已知点：A、B、C观测值：h1~h8 观测值：h1~h12（c）已知值：XA、YA观测值：L1~L19XB、YB （d）已知值：XA、YA XB、YB、?AB、?BD观测值：?1~?6、S1~S54.2.08 试按条件平差法列出图4-2所示图形的函数模型。

（a）已知点：A、B （b）已知点：A、B观测值：h1~h4 观测值：?1~?3，S1~S24.2.09试按条件平差法列出图4-3所示图形的函数模型。

（a）已知点：A、B （b）已知点：A、B观测值：L1~L6 观测值：L1~L8（方向）4.2.10试按间接平差法列出图4-4所示图形的函数模型。

（a）观测值：L1~L6 （a）已知点：A、B~参数：AB间距离X 观测值：h1~h5~~H 参数：C、D两点间距离H、CD4.2.11试按间接平差法列出图4-5所示图形的函数模型。

4-3函数模型的线性化4.3.12 通常用什么公式将非线性方程函数模型转化成线性函数模型？并说明应具备什么条件。

4.3.13 在下列线性方程中，A、B为已知值，为观测值，其线性化的公式。

（1）（2）（3）~~L1?L2?A?0；Li~Li?Li??i，写出~2~2L1?L2?A2?0； ~~sinL1sinL3~~?1?0； sinL2sinL4（4）~~~sinL3sinL3?L5A??B?0。

第一章观测误差与传播率第一节观测误差1、在下列情况下用钢尺丈量距离，使量得的结果产生误差，时判别误差的性质与符号：（1）尺长不准确；（2）尺长检定过程中，尺长与标准尺长比较产生的误差；（3）尺不水平；（4）尺反曲或垂曲；（5）尺端偏离直线方向；（6）估读小数不准确；2、在下列情况下使水准测量中水准尺的读数带有误差，试判别误差的性质与符号：（1）视准轴与水准轴不平行；（2）仪器下沉；（3）读数不准确；（4）水准尺下沉；（5）水准尺竖立不直。

第二节衡量精度的指标3、为检定某经纬仪的测角精度，对已知精确测定的水平角α=58002’00.0”（无误差）进行10次观测，其结果为：58002’03” 58002’01” 58001’58” 58001’57” 58002’04”58001’59” 58001’59” 58002’05” 58002’01” 58001’57”试求测角中误差σ。

4、设有两组观测值X i和Y i，它们的真误差分别为：△x:2,-3,+1,0,+2 △y:0,+3,+1,-2,+3试求观测量X与Y的方差σx2和σy2,哪个测量观测精度高?5、某距离在相同的观测条件下观测20次，得独立观测值（单位：m）为：437.59 437.61 437.60 437.55 437.59 437.62 437.64 437.62437.64 437.61 437.69 437.63 437.61 437.62 437.61 437.60437.56 437.68 437.65 437.58试计算该距离的算术平均值X及其方差与中误差估值。

6、有两段距离S1和S2，经多次观测得观测值及其中误差分别为300.00±2cm和600.00±2cm,试问哪段距离观测精度高?二距离各次观测值的观测真误差是否相同?7、有一段距离，其观测值及其中误差为652.48m±9mm。

（1）试估计该观测值的真误差实际可能出现的范围是多少？（2）试求该观测值的相对中误差。