2014年参加第十九届华罗庚杯数学邀请赛(选拔)试卷2014.3.5

2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组A卷）一、选择题（每小题10分）1．（10分）平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（）条直线互相平行．A．0 B．2 C．3 D．42．（10分）某次考试有50道试题，答对一道题得3分，答错一道题扣1分，不答题不得分．小龙得分120分，那么小龙最多答对了（）道试题．A．40 B．42 C．48 D．503．（10分）用图1的四张含有4个方格的纸板拼成了图2所示的图形．若在图2的16个方格分别填入1，3，5，7（每个方格填一个数），使得每行、每列的四个数都不重复，且每个纸板内四个格子里的数也不重复，那么A，B，C，D四个方格中数的平均数是（）．A．4 B．5 C．6 D．74．（10分）小明所在班级的人数不足40人，但比30人多，那么这个班男、女生人数的比不可能是（）A．2：3 B．3：4 C．4：5 D．3：75．（10分）某学校组织一次远足活动，计划 10 点 10 分从甲地出发，13 点10 分到达乙地，但出发晚了 5 分钟，却早到达了 4 分钟．甲乙两地之间的丙地恰好是按照计划时间到达的，那么到达丙地的时间是（）A．11 点 40 分B．11 点 50 分C．12 点D．12 点 10 分6．（10分）如图所示，AF＝7cm，DH＝4cm，BG＝5cm，AE＝1cm．若正方形 ABCD 内的四边形 EFGH 的面积为 78cm2，则正方形的边长为（）cm．A．10 B．11 C．12 D．13二、填空题（每小题10分，满分40分）7．（10分）五名选手 A，B，C，D，E 参加“好声音”比赛，五个人站成一排集体亮相．他们胸前有每人的选手编号牌，5 个编号之和等于 35．已知站在 E 右边的选手的编号和为 13；站在 D 右边的选手的编号和为31；站在 A 右边的选手的编号和为 21；站在 C 右边的选手的编号和为7．那么最左侧与最右侧的选手编号之和是．8．（10分）甲乙同时出发，他们的速度如图所示，30分钟后，乙比甲一共多行走了米9．（10分）四个黑色1×1×1的正方体和四个白色1×1×1的正方体可以组成种不同的2×2×2的正方体（经过旋转得到相同的正方体视为同一种惰况）．10．（10分）在一个圆周上有 70 个点，任选其中一个点标上 1，按顺时针方向隔一个点的点上标 2，隔两个点的点上标 3，再隔三个点的点上标 4，继续这个操作，直到 1，2，3，…，2014 都被标记在点上．每个点可能不只标有一个数，那么标记了 2014 的点上标记的最小整数是．2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组A卷）参考答案与试题解析一、选择题（每小题10分）1．（10分）平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（）条直线互相平行．A．0 B．2 C．3 D．4【分析】这道题考查的是大家对于平面直线分割的考查，因为所给的直线比较少，因此用找规律的方法来做比较简单．【解答】解：这道题问的是至多有几条直线平行，现在总过四条直线，那么最多4条线平行，而此时最多只能分成5个部分，那么我们再考虑三条直线的情况，此时只要画成“丰”字形，就可以得到八个平面，成立，故选：C．2．（10分）某次考试有50道试题，答对一道题得3分，答错一道题扣1分，不答题不得分．小龙得分120分，那么小龙最多答对了（）道试题．A．40 B．42 C．48 D．50【分析】首先分析如果正好得120分最低需要对40题，剩余的10题需要得分和扣分平衡即可．【解答】解：依题意可知：当小龙答对40题时，得分正好为40×3＝120分．那么需要剩余的10题得分和扣分相等．当小龙再答对1题时可以错3题剩余6题不答．当小龙再答对2题时可以错6题剩余2题不答．当小龙再答对3题时最多错7题，不能平衡分数．那么小龙最多答对42题．故选：B．3．（10分）用图1的四张含有4个方格的纸板拼成了图2所示的图形．若在图2的16个方格分别填入1，3，5，7（每个方格填一个数），使得每行、每列的四个数都不重复，且每个纸板内四个格子里的数也不重复，那么A，B，C，D四个方格中数的平均数是（）．A．4 B．5 C．6 D．7【分析】如图2，，根据每个纸板内四个格子里的数不重复，可得：A≠E，A≠F，B≠E，B≠F，所以A＝G，B＝H或A＝H，B＝G，所以G+H＝A+B，据此求出A，B，C，D四个方格中数的平均数是多少即可．【解答】解：如图2，，因为每个纸板内四个格子里的数不重复，所以A≠E，A≠F，B≠E，B≠F，所以A＝G，B＝H或A＝H，B＝G，所以G+H＝A+B，所以A，B，C，D四个方格中数是1，3，5，7（每个方格填一个数），所以A，B，C，D四个方格中数的平均数是：（1+3+5+7）÷4＝4．答：A，B，C，D四个方格中数的平均数是4．故选：A．4．（10分）小明所在班级的人数不足40人，但比30人多，那么这个班男、女生人数的比不可能是（）A．2：3 B．3：4 C．4：5 D．3：7【分析】先把比看成份数，求出总人数一共是几份，由于人数是整数，所以总人数必须是总份数的倍数，找出大于30小于40的数中没有总份数的倍数的选项即可求解．【解答】解：A：2+3＝5大于30小于40的数中35是5的倍数，所以这个班男、女生人数的比可能是2：3；B：3+4＝7大于30小于40的数中35是7的倍数，所以这个班男、女生人数的比可能是3：4；C：4+5＝9大于30小于40的数中36是9的倍数，所以这个班男、女生人数的比可能是4：5；D：3+7＝10大于30小于40的数中没有数是10的倍数，所以这个班男、女生人数的比不可能是3：7；故选：D．5．（10分）某学校组织一次远足活动，计划 10 点 10 分从甲地出发，13 点10 分到达乙地，但出发晚了 5 分钟，却早到达了 4 分钟．甲乙两地之间的丙地恰好是按照计划时间到达的，那么到达丙地的时间是（）A．11 点 40 分B．11 点 50 分C．12 点D．12 点 10 分【分析】首先分析计划 10 点 10 分从甲地出发，13 点 10 分到达乙地时间为3个小时．出发晚了 5 分钟，却早到达了 4 分钟时间差为9分钟．根据比例关系即可求解．【解答】解：依题意可知：计划 10 点 10 分从甲地出发，13 点 10 分到达乙地时间为3个小时．出发晚了 5 分钟，却早到达了 4 分钟时间差为9分钟．每个小时会追及3分钟，那么就是每20分钟够追回1分钟．100分钟就追及5分钟．从10点10分过100分钟就是11点50分．故选：B．6．（10分）如图所示，AF＝7cm，DH＝4cm，BG＝5cm，AE＝1cm．若正方形 ABCD 内的四边形 EFGH 的面积为 78cm2，则正方形的边长为（）cm．A．10 B．11 C．12 D．13【分析】四边形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积﹣四个小三角形面积；设正方形ABCD的边长为x，则四个小三角形的边长，都确定；列方程求出x．【解答】解：S四边形EFGH＝S□ABCD﹣S△AEF﹣S△FBG﹣S△CGH﹣S△DHE＝AB×BC﹣AE×AF ÷2﹣BG×BF÷2﹣GC×GH÷2﹣DE×DH÷2＝x2﹣7×1÷2﹣5×（x﹣7）÷2﹣（x﹣5）×（x﹣4）÷2﹣4×（x﹣1）÷2＝78．化简x2＝144；故选：C．二、填空题（每小题10分，满分40分）7．（10分）五名选手 A，B，C，D，E 参加“好声音”比赛，五个人站成一排集体亮相．他们胸前有每人的选手编号牌，5 个编号之和等于 35．已知站在 E 右边的选手的编号和为 13；站在 D 右边的选手的编号和为31；站在 A 右边的选手的编号和为 21；站在 C 右边的选手的编号和为7．那么最左侧与最右侧的选手编号之和是11 ．【分析】按题意，五位选手中，A，C，D，E的右侧都有人，故最右侧的是选手B，且B的编号为7，五人的排列顺序，可以依此推测出来，最后求和．【解答】解：根据分析，五位选手中，A，C，D，E的右侧都有人，故最右侧的是选手B，且B的编号为7；E右边的选手的编号和为13，故E右侧有C和B，且C的编号为：13﹣7＝6；A右边的选手的编号和为21，故A的边有E、C、B，且E的编号为：21﹣13＝8；D右边的选手的编号和为31，故D右边有A、E、C、B，且A的编号为：31﹣21＝10；剩下的D的编号为：25﹣31＝4，则最左侧的编号为D，最左侧与最右侧的选手编号之和＝4+7＝11．故答案是：11．8．（10分）甲乙同时出发，他们的速度如图所示，30分钟后，乙比甲一共多行走了300 米【分析】观察图可知：甲的路程分成3部分，第一部分，前10分钟，甲的速度是100米/分，第二部分，10～25分钟，甲的速度是80米/分，第三部分是25～30分，速度是60米/分钟；分别用速度乘行驶的时间，求出各段走的路程，再相加，即可求出甲走了多少米；乙的路程分成2部分，前20分钟，乙的速度是100米/分，第二部分20～30分钟，乙的速度是80米/分，同甲，求出乙的总路程，再用乙的总路程减去甲的总路程即可求解．【解答】解：甲：100×10＝1000（米）80×（25﹣10）＝80×15＝1200（米）60×（30﹣25）＝60×5＝300（米）1000+1200+300＝2500（米）乙：100×20＝2000（米）80×（30﹣20）＝80×10＝800（米）2000+800＝2800（米）2800﹣2500＝300（米）答：乙比甲一共多行走了 300米．故答案为：300．9．（10分）四个黑色1×1×1的正方体和四个白色1×1×1的正方体可以组成7 种不同的2×2×2的正方体（经过旋转得到相同的正方体视为同一种惰况）．【分析】首先分析一个颜色在同一面的情况．然后同一面的白色变成3个再变成2个分别进行枚举即可．【解答】解：依题意可知：①白色在底部5，6，7，8位置是1种（同一面）．②白色在底面5，6，7的位置第四块可以是1，2，4三个位置共3种．③白色在底面5，6位置，上面可以是1，4或者1，3共两种．④白色在底面5，7位置时，上面可以是1，3位置，共1种．1+3+2+1＝7（种）．故答案为：710．（10分）在一个圆周上有 70 个点，任选其中一个点标上 1，按顺时针方向隔一个点的点上标 2，隔两个点的点上标 3，再隔三个点的点上标 4，继续这个操作，直到 1，2，3，…，2014 都被标记在点上．每个点可能不只标有一个数，那么标记了 2014 的点上标记的最小整数是 5 ．【分析】首先根据等差数列的求和公式，求出1、2、3、…、2014的和是2029105；然后把圆周上70个点看作是等分点，因为2029105÷70＝28987…15，所以2014落在圆周上的第15个点，再根据15＝1+2+3+4+5，可得最小整数为5，所以标记了2014的点上标记的最小整数是5，据此解答即可．【解答】解：1+2+3+…+2014＝（1+2014）×2014÷2＝2015×2014÷2＝2029105因为2029105÷70＝28987…15，所以2014落在圆周上的第15个点，又因为15＝1+2+3+4+5，最小整数为5，所以标记了2014的点上标记的最小整数是5．答：标记了2014的点上标记的最小整数是5．故答案为：5．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:49:16；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800。

2014年第十九届华杯赛初试模拟卷出卷人：彭鹏老师一、选择题（每小题10分，四个选项仅有一个结论正确，请将正确答案的字母填在括号中）1. 算式：375132÷91313137151++等于（）。

（A ）23919（B ）24919（C ）25919（D ）2591102. 设a ＞2，则（）。

（A ）a a 1-＜12--a a ＜23--a a （B ）a a 1-＜23--a a ＜12--a a （C ）a a 1-＞12--a a ＞23--a a （D ）12--a a ＜a a 1-＜23--a a3. 2001本练习册平均分给若干个人，恰好分完. 若一人不参加平分，则每人可以多分2本，而且练习册还有剩余；若每人多分3本，则练习册的本数不足。

问原来每人平均分到( )本练习册。

（A ）69（B ）23 （C ）87 （D ）34. 一个自然数N 分解质因数可以写成=235a b c N ⨯⨯，如果2N 是完全平方数，3N 是完全立方数，5N 是五次方数，那么a+b+c 的最小值是（ ）（A ）31（B ）59（C ）19（D ）945. 有甲和乙两个桶，装有等量的盐水，甲桶中的水占盐水的65，乙桶中的盐水浓度是20%，如果将甲桶中21的盐水倒入乙桶中混合，再将乙桶中混合后的盐水的21倒入甲桶，与甲桶中余下的盐水混合。

此时，甲桶中水和盐水的比是（ ）。

（A ）83:150（B ）11:60（C ）3:10（D ）9:506. 平面上的四条直线将平面分割成八个部分, 则这四条直线中至多有（）条直线互相平行。

（A ）0 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题（每小题10分）1.用火柴棍摆放数字0～9的方式如下图。

现在，去掉“”的左下侧一根，就成了数字“”，我们称“”对应1；去掉“”的上下两根和左下角一根，就成了数字“”，我们称“”对应3. 规定“”本身对应0，按照这样的规则，可以对应出（）个不同的数字。

2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组）一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）用□和○表示两个自然数，若□×○＝42，则（□×4）×（○÷3）．2．（10分）计算：10×9×8+7×6×5+6×5×4+3×2×1﹣9×8×7﹣8×7×6﹣5×4×3﹣4×3×2＝．3．（10分）将学生分成35组，每组3人．其中只有1个男生的有10组，不少于2个男生的有19组，有3个男生的组数是有3个女生的组数的2倍．则男生有人．4．（10分）从 1～8 这八个自然数中取三个数，其中有连续自然数的取法有种．5．（10分）如图，三个圆交出七个部分，将整数0～6分别填入七个部分中，使得每个圆内的四个数字的和都相等，那么和的最大值是．6．（10分）若干自然数的乘积为324，则这些自然数的和最小为．7．（10分）在嫦娥三号着月过程中，从距离月面2.4千米到距离月面100米这一段称为接近段．图1和图2分别是它到距月面 2.4 千米和月面100米处时，录像画面截图．则嫦娥三号在接近段内行驶的时间是秒（录像时间的表示方法：30：28/2：10：48表示整个录像时间长为 2 小时10分钟48秒，当前恰好播放到第30分钟28秒处）．8．（10分）将 1～6 这六个自然数分成甲、乙两组，则甲组数的和与乙组数的和的乘积最大是．二、简答题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）如图，将一个大三角形纸板剪成四个小三角形纸板（第一次操作），再将每个小三角形纸板剪成四个更小的三角形纸板（第二次操作）．这样继续操作下去，完成第5次操作后得到若干个小三角形纸板．甲和乙在这些小三角形纸板上涂色，每人每次可以在1至10个小三角形纸板上涂色，谁最后涂完谁赢．在甲先涂的情况下，请设置一个方案使得甲赢．10．（10分）如图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米．小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为平方厘米．11．（10分）从一块正方形土地上，划出一块宽为10米的长方形土地（如图），剩下的长方形土地面积是1575平方米．那么，划出的长方形土地的面积是多少？12．（10分）三位数中，有些数本身是该数的数字和的19倍，如190＝19×（1+9+0），请写出所有这样的三位数．2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）用□和○表示两个自然数，若□×○＝42，则（□×4）×（○÷3）56 ．【分析】第一个因数扩大4倍，所以积也扩大4倍，是42×4，然后第二个因数又缩小了3倍，所以积也缩小3倍，是42×4÷3，据此解答即可．【解答】解：根据分析可得，42×4÷3＝168÷3＝56；故答案为：56．2．（10分）计算：10×9×8+7×6×5+6×5×4+3×2×1﹣9×8×7﹣8×7×6﹣5×4×3﹣4×3×2＝132 ．【分析】先把每一项分组，再根据乘法的分配律解答．【解答】解：10×9×8+7×6×5+6×5×4+3×2×1﹣9×8×7﹣8×7×6﹣5×4×3﹣4×3×2＝（10×9×8﹣9×8×7）﹣（8×7×6﹣7×6×5）+（6×5×4﹣5×4×3）﹣（4×3×2﹣3×2×1）＝9×8×（10﹣7）﹣7×6×（8﹣5）+5×4×（6﹣3）﹣3×2×（4﹣1）＝9×8×3﹣7×6×3+5×4×3﹣3×2×3＝（9×8﹣7×6+5×4﹣3×2）×3＝（72﹣42+20﹣6）×3＝44×3＝132；故答案为：132．3．（10分）将学生分成35组，每组3人．其中只有1个男生的有10组，不少于2个男生的有19组，有3个男生的组数是有3个女生的组数的2倍．则男生有60 人．【分析】总共有四种情况，①3名女生，②2名女生1名男生，③1名女生2名男生，④3名男生．根据只有1个男生的有10组，可得②的情况有10组，不少于2个男生的19组，③和④的情况，共有19组，可得①的情况有35﹣19﹣10＝6（组），又因为有3个男生的组数是有3个女生的组数的2倍．所以④的情况有6×2＝12（组）．③的情况有19﹣12＝7（组），再把每组中男生的人数相加即可求解．【解答】解：总共有四种情况，①3名女生，②2名女生1名男生，③1名女生2名男生，④3名男生．根据只有1个男生的有10组，可得②的情况有10组，有男生10×1＝10（人）不少于2个男生的19组，③和④的情况，共有19组，可得①的情况有35﹣19﹣10＝6（组），这6组没有男生；又因为有3个男生的组数是有3个女生的组数的2倍；所以④的情况有6×2＝12（组），有男生12×3＝36（人）③的情况有19﹣12＝7（组），7×2＝14（人）男生共有10+36+14＝60（人）答：男生有60人．故答案为：60．4．（10分）从 1～8 这八个自然数中取三个数，其中有连续自然数的取法有36 种．【分析】没有连续自然数的取法分四种情况列举：（1）三个奇数，（2）三个偶数，（3）两个奇数一个偶数，（4）两个偶数一个奇数；从 1～8 这八个自然数中取三个数共有＝56种，然后用56减去没有连续自然数的取法解答即可．【解答】解：没有连续自然数的取法：（1）三个奇数：135、137、157、357，共4个；（2）三个偶数：246、248、268、468，共4个；（3）两个奇数一个偶数：136、138、158、147、358、257，共6个；（4）两个偶数一个奇数：247、258、146、148、168、368，共6个；综合上述没有连续自然数的取法共：4+4+6+6＝20（种）从 1～8 这八个自然数中取三个数的取法：＝＝56（种）所以有连续自然数的取法有56﹣20＝36（种）；答：从 1～8 这八个自然数中取三个数，其中有连续自然数的取法有 36种．故答案为：36．5．（10分）如图，三个圆交出七个部分，将整数0～6分别填入七个部分中，使得每个圆内的四个数字的和都相等，那么和的最大值是15 ．【分析】因为使得每个圆内的四个数字的和都相等，且和最大值时，6最大，就把6写在最中间，还剩的3个较大数字5、4、3，填在两圆公共的部分，最后剩下的0、1、2；0与6、4、5结合；1与6、5、3结合；2与6、3、4结合，那么每个圆内的四个数字的和都是15，据此解答即可．【解答】解：根据分析可得，所以，6+5+4+0＝6+4+3+2＝6+5+3+1＝15；所以，和的最大值是 15．故答案为：15．6．（10分）若干自然数的乘积为324，则这些自然数的和最小为16 ．【分析】因为将一个数分解出若干个2与3的乘积，而不含1，此时这些自然数的和最小，所以324＝2×2×3×3×3×3，所以这些自然数的和最小为：2+2+3+3+3+3＝16，据此解答．【解答】解：因为324＝2×2×3×3×3×3，所以这些自然数的和最小为：2+2+3+3+3+3＝16，故答案为：16．7．（10分）在嫦娥三号着月过程中，从距离月面2.4千米到距离月面100米这一段称为接近段．图1和图2分别是它到距月面 2.4 千米和月面100米处时，录像画面截图．则嫦娥三号在接近段内行驶的时间是114 秒（录像时间的表示方法：30：28/2：10：48表示整个录像时间长为 2 小时10分钟48秒，当前恰好播放到第30分钟28秒处）．【分析】根据题目给出的数据，接近段是从录像的第45分39秒到47分33秒，用47分33秒减去45分39秒，即可求出接近段这部分时间是多少．【解答】解：47分33秒﹣45分39秒＝1分54秒＝114秒答：嫦娥三号在接近段内行驶的时间是 114秒．故答案为：114．8．（10分）将 1～6 这六个自然数分成甲、乙两组，则甲组数的和与乙组数的和的乘积最大是110 ．【分析】要使甲组数的和与乙组数的和的乘积最大，则这两个和应尽可能大，且两个和的差要尽可能小；由此先分组解答即可．【解答】解：6个数的和为：1+2+3+4+5+6＝21，21分解成两个最接近的整数的和是：21＝11+10，即，把 1～6 这六个自然数分成（1+2+3+4）、（5+6）两组，所以，乘积最大为：（1+2+3+4）×（5+6）＝11×10＝110；答：甲组数的和与乙组数的和的乘积最大是 110．股单位：110．二、简答题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）如图，将一个大三角形纸板剪成四个小三角形纸板（第一次操作），再将每个小三角形纸板剪成四个更小的三角形纸板（第二次操作）．这样继续操作下去，完成第5次操作后得到若干个小三角形纸板．甲和乙在这些小三角形纸板上涂色，每人每次可以在1至10个小三角形纸板上涂色，谁最后涂完谁赢．在甲先涂的情况下，请设置一个方案使得甲赢．【分析】根据已知第一次操作后得到4个小正三角形，第二次操作后得到4×4＝16个小正三角形；第三次操作后得到4×4×4＝64个小正三角形；…继而第5次操作后得到4×4×4×4×4＝1024个小三角形．首先理解题意，谁先涂谁并且获胜，甲要先涂，利用甲所涂小三角形的个数均为10减去乙所涂三角形个数解答此题即：甲先涂1个，以后当乙涂n个时，甲涂11﹣n个，据此即可解答问题．【解答】解：4×4×4×4×4＝1024（个）1024÷（10+1）＝93 (1)甲先涂，由于余1，所以甲先涂1个张，乙再涂n（1≤n≤10）张，接着甲涂走（11﹣n）个；以后每次在乙涂后，甲所涂的个数均为11减去乙所涂数之差；最后都得给甲剩下1～10个，这样，甲就能最后涂剩下的所有小三角形．10．（10分）如图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米．小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为56 平方厘米．【分析】按题意，可以将图中剪影分割成若干部分，然后标出每部分的面积，利用剪切和拼接的性质求得每部分的面积，最后求和．【解答】解：根据分析，如图，将剪影分割，通过分割和格点面积公式可得小马剪影的总面积＝0.5+3+16+2+1+2.5+3+0.5+1.5+12+3+2+0.5+3+0.5+1+2+1.5+0.5＝56（平方厘米）故答案是：56．11．（10分）从一块正方形土地上，划出一块宽为10米的长方形土地（如图），剩下的长方形土地面积是1575平方米．那么，划出的长方形土地的面积是多少？【分析】根据题干，剩下的长方形的长与宽的差是10米，因为1575＝3×3×5×5×7＝45×35，所以原正方形的边长为45米，所以划出的长方形的长与宽分别是45米、10米，据此计算即可解答问题．【解答】解：根据题干分析可得：1575＝3×3×5×5×7＝45×35，45﹣35＝10，所以原正方形的边长为45米，则划出的面积是：45×10＝450（平方米），答：划出的长方形土地的面积是450平方米．12．（10分）三位数中，有些数本身是该数的数字和的19倍，如190＝19×（1+9+0），请写出所有这样的三位数．【分析】首先，这个数是19的倍数，这个数是三位数，三位数各位数字的和不会超过27，那么这个数不会超过19×27＝513，500多，数字和不会超过4+9+9＝22，即这个数不超过22×19＝418，找出418以内所有19的倍数，看是否符合题意即可解答．【解答】解：这个数是19的倍数，三位数各位数字的和不会超过27，那么这个数不会超过19×27＝513，500多，数字和不会超过4+9+9＝22，即这个数不超过22×19＝418，19×6＝114 （√）1+1+4＝619×7＝133 （√）1+3+3＝719×8＝152 （√）1+5+2＝819×9＝171 （√）1+7+1＝919×10＝190 （√）1+9+0＝1019×11＝209 （√）2+0+9＝1119×12＝228 （√）2+2+8＝1219×13＝247 （√）2+4+7＝1319×14＝266 （√）…19×15＝285 （√）…19×16＝304 3+0+4＝7≠1619×17＝323 …19×18＝342 …19×19＝361 …19×20＝380 …19×21＝399 （√）3+9+9＝2119×22＝418 4+1+8＝13≠22所以所有的结果是：114、133、152、171、190、209、228、247、266、285、399共11个数，答：这样的三位数有114、133、152、171、190、209、228、247、266、285、399．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:49:57；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800。

2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小中组）一、选择题（每小题10分，满分60分）1．（10分）两个正整数的和小于100，其中一个是另一个的两倍，则这两个正整数的和的最大值是（）A．83B．99C．96D．982．（10分）现有一个正方形和一个长方形，长方形的周长比正方形的周长多4厘米，宽比正方形的边长少2厘米，那么长比正方形的边长多（）厘米．A．2B．8C．12D．43．（10分）用8个3和1个0组成的九位数有若干个，其中除以4余1的有（）个．A．5B．6C．7D．84．（10分）甲、乙、丙、丁、戊围坐在圆形桌子边玩扑克，甲有自己的固定座位．如果乙和丁的座位不能相邻，那么共有（）种不同的围坐方法．A．10B．8C．12D．165．（10分）新生开学后去远郊步行拉练，到达A地时比原计划时间10点10分晚了6分钟，到达C地时比原计划时间13点10分早了6分钟，A，C之间恰有一点B是按照原计划时间到达的，那么到达B点的时间是（）A．11点35分B．12点5分C．11点40分D．12点20分6．（10分）如图中的正方形的边长为10，则阴影部分的面积为（）A．56B．44C．32D．78二、填空题（每小题0分，满分30分）7．（10分）爷爷的年龄的个位数字和十位数字交换后正好是爸爸的年龄，爷爷与爸爸的年龄差是小林年龄的5倍．那么小林的年龄是岁．8．（10分）五个小朋友A、B、C、D和E参加“快乐读拼音”比赛，上场时五个人站成一排．他们胸前有每人的选手编号牌，5个编号之和等于35．已知站在E、D、A、C右边的选手的编号的和分别为13、31、21和7．那么A、C、E三名选手编号之和是．9．用图1的四张含有4个方格的纸板拼成了图2所示的图形．若在图2的16个方格分别填入1，3，5，7（每个方格填一个数），使得每行、每列的四个数都不重复，且每个纸板内四个格子里的数也不重复，那么A，B，C，D四个方格中数的平均数是．10．（10分）在一个平面上，用若干个单位长度的木棍可以摆出由多个正方形相邻的图形，如图是一示例．现在用20根单位长的小木棍摆出一个图形，要求除第一行的方格外，下面几行方格构成一个长方形，那么这样的图形中最多有个单位边长的正方形．2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小中组）参考答案与试题解析一、选择题（每小题10分，满分60分）1．（10分）两个正整数的和小于100，其中一个是另一个的两倍，则这两个正整数的和的最大值是（）A．83B．99C．96D．98【分析】因为一个数是另一个数的两倍，这就说明这两个数的和是另一个数的3倍，因此只要判断100以内3的最大的倍数是多少即可．【解答】解：根据3的倍数特征，不难判断83和98都不是3的倍数，99和96都是，但99＞96，所以这两个数的最大值是99．故选：B．【点评】这题实际上是一个和倍问题，和是较小数的（1+2）倍，根据3的倍数特征求解．2．（10分）现有一个正方形和一个长方形，长方形的周长比正方形的周长多4厘米，宽比正方形的边长少2厘米，那么长比正方形的边长多（）厘米．A．2B．8C．12D．4【分析】显然长方形的周长比正方形的周长多4厘米，则长方形的长和宽比正方形的两条边长之和多2厘米，而宽比正方形的边长少2厘米，则长应该比正方形的边长多：2+2=4厘米．【解答】解：根据分析，长方形的周长=2×（长+宽），正方形的周长=2×（边长+边长），∵长方形的周长比正方形的周长多4厘米，∴长方形的长和宽之和比正方形的两条边长之和多2厘米，宽比正方形的边长少2厘米，则则长应该比正方形的边长多：2+2=4厘米．故选：D．【点评】本题考查了巧算周长，本题的突破点是：利用周长之差，得到长宽与边长之差，不难求得差值．3．（10分）用8个3和1个0组成的九位数有若干个，其中除以4余1的有（）个．A．5B．6C．7D．8【分析】4的整除特性是只看后两位是4的倍数，只要满足后两位数除以4余数是1就是满足条件的数．只需要考虑0的位置即可．【解答】解：当尾数是033时，满足条件，其余数字都是唯一确定的有一个数字．当尾数是333时，9位数字中还有6位数字，0不能在首位，0的位置有5种情况．共5个数字．当尾数是03或者30都不满足条件．故选：B．【点评】本题是考察4的整除特性，关键是要找到满足条件的后两位，再进行讨论问题解决．4．（10分）甲、乙、丙、丁、戊围坐在圆形桌子边玩扑克，甲有自己的固定座位．如果乙和丁的座位不能相邻，那么共有（）种不同的围坐方法．A．10B．8C．12D．16【分析】此题实际上就是按一定的顺序给乙、丙、丁、戊4人排位置．故可以：①将4人全排列坐法种数为：=24．②乙丁相邻时排列分两步：第一步是先把2人捆绑为1人，此坐法种数是=2；第二步是用捆绑的2人作为1人，再与丙、戊进行全排列，其排列做法种数为=6．所以乙丁相邻时坐法种数是2×6=12．③4人全排列坐法种数﹣乙丁相邻时坐法种数=乙丁不相邻时的坐法种数．至此问题就解决了．【解答】解：将乙丙丁戊进行全排列坐法种数是=4×3×2×1=24．乙丁相邻时坐法种数是×=2×1×3×2×1=12．乙丁不相邻时坐法种数是24﹣12=12故选：C．【点评】对于比较复杂的排列题，不好直接求解的，不妨换种思路，用间接的方法来求解，比如此题．5．（10分）新生开学后去远郊步行拉练，到达A地时比原计划时间10点10分晚了6分钟，到达C地时比原计划时间13点10分早了6分钟，A，C之间恰有一点B是按照原计划时间到达的，那么到达B点的时间是（）A．11点35分B．12点5分C．11点40分D．12点20分【分析】首先分析时间差为12分钟，那么要恰好准点，需要赶回第一个时间差6分钟即可．【解答】解：依题意可知：开始晚到6分，最后提前6分，那么时间差是12分．从起始点A到C共用时间是3小时．那么准点是时间就是需要时间差为6分钟的时候．6分钟和12分钟比较正好为一半的时间，即从10：10分开始过后的1.5小时正好是准时的．即时间是11：40分．故选：C．【点评】本题考查对追及问题的理解和运用，关键问题是找到需要追及的时间差和总时间差的关系．问题解决．6．（10分）如图中的正方形的边长为10，则阴影部分的面积为（）A．56B．44C．32D．78【分析】如下图进行切割，图中a、b、c、d 4个部分空白处面积和对应的阴影部分面积相等，找到这个等量关系即可解．【解答】解：如上图的方法进行切割，可知：图中a、b、c、d 4个部分空白处面积和对应的阴影部分面积相等；空白的面积=（正方形面积﹣3×4的小长方形面积）÷2=（10×10﹣3×4）÷2=44；阴影部分面积=正方形面积﹣空白的面积=10×10﹣44=56．故选：A．【点评】对图形的分割是本题的关键．二、填空题（每小题0分，满分30分）7．（10分）爷爷的年龄的个位数字和十位数字交换后正好是爸爸的年龄，爷爷与爸爸的年龄差是小林年龄的5倍．那么小林的年龄是9岁．【分析】设爷爷的年龄为=10a+b，则爸爸的年龄为=10b+a，根据“爷爷与爸爸的年龄差是小林年龄的5倍．”可得10a+b﹣（10b+a）=9（a﹣b），所以9（a﹣b）是5的倍数，再根据a﹣b的值只能小于10，可以推算出小林的年龄．【解答】解：设爷爷的年龄为=10a+b，则爸爸的年龄为=10b+a，爷爷与爸爸的年龄差是：10a+b﹣（10b+a）=9（a﹣b），因为爷爷与爸爸的年龄差是小林年龄的5倍，所以，9（a﹣b）是5的倍数，即（a﹣b）是5的倍数，又因为a﹣b＜10，所以a﹣b=5，则小林的年龄只能是9岁．答：小林的年龄是9岁．故答案为：9．【点评】本题考查了年龄问题和位置原则的综合应用，有一定的难度，关键是得出爷爷年龄的十位数字和个位数字的差是5．8．（10分）五个小朋友A、B、C、D和E参加“快乐读拼音”比赛，上场时五个人站成一排．他们胸前有每人的选手编号牌，5个编号之和等于35．已知站在E、D、A、C右边的选手的编号的和分别为13、31、21和7．那么A、C、E三名选手编号之和是24．【分析】因为“站在E、D、A、C右边的选手的编号的和分别为13、31、21和7”，即小朋友的位置越靠左，右边的人数的越多，则编号之和越大，31＞21＞13＞7，所以EDAC四位小朋友的顺序从左到右为D、A、E、C．C右边小朋友的编号和为7，说明C右边还有一位小朋友B，那么五位小朋友从做到右依次为D，A，E，C，B．D右边的和为31，所以D为35﹣31=4A右边的和为21，所以A为35﹣21﹣4=10，E右边的和为13，所以E为35﹣13﹣4﹣10=8，C右边的和为7，所以C为35﹣7﹣4﹣10﹣8=6C右边的和为7，所以B为7那么A、C、E三名选手编号之和是10+8+6=24据此解答即可．【解答】解：根据分析知：右侧数字和越大的位置越向左，由题意可知：E，D，A，C，从左到右的顺序为DAEC．C右边的选手号为7，只能是B．而最右侧的D应为：35﹣31=4所以：A+C+E=35﹣（7+4）=24故答案为：24．【点评】本题属于组合模块，重点在于分析出小朋友的左右顺序．9．用图1的四张含有4个方格的纸板拼成了图2所示的图形．若在图2的16个方格分别填入1，3，5，7（每个方格填一个数），使得每行、每列的四个数都不重复，且每个纸板内四个格子里的数也不重复，那么A，B，C，D四个方格中数的平均数是4．【分析】如图2，，根据每个纸板内四个格子里的数不重复，可得：A≠E，A≠F，B≠E，B≠F，所以A=G，B=H或A=H，B=G，所以G+H=A+B，据此求出A，B，C，D四个方格中数的平均数是多少即可．【解答】解：如图2，，因为每个纸板内四个格子里的数不重复，所以A≠E，A≠F，B≠E，B≠F，所以A=G，B=H或A=H，B=G，所以G+H=A+B，所以A，B，C，D四个方格中数是1，3，5，7（每个方格填一个数），所以A，B，C，D四个方格中数的平均数是：（1+3+5+7）÷4=4．答：A，B，C，D四个方格中数的平均数是4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了平均数问题，考查了分析推理能力的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：A=G，B=H或A=H，B=G．10．（10分）在一个平面上，用若干个单位长度的木棍可以摆出由多个正方形相邻的图形，如图是一示例．现在用20根单位长的小木棍摆出一个图形，要求除第一行的方格外，下面几行方格构成一个长方形，那么这样的图形中最多有7个单位边长的正方形．【分析】从上图可以看出，只要小正方形的边相邻，才能节省小木棍，摆成的图形越接近大正方形就越节省木棍．因此这题可以从2×2的正方形和3×3的正方形入手．从上图可以看出左边2×2的正方形需要12根木棍，右边3×3的正方形需要24根木棍，20根摆成的图形可以由3×3这个图形去掉一些木棍得到．【解答】解：将上面3×3这个图形去掉4根木棍得到下图故此题填7【点评】在这题中要使正方形的个数最多，就尽量使正方形与正方形之间共用的木棍尽量的多．。

2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组B卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）如图，边长为12米的正方形池塘周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一根木桩，且AB＝BC＝CD＝3米，现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在处的木桩上．2．（10分）在所有是20的倍数的自然数中，不超过3000并且是14的倍数的数之和是．3．（10分）从1～8这八个自然数中，任取三个数，其中没有连续自然数的取法有种．4．（10分）如图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米．小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为平方厘米．5．（10分）如果＜＜，则“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为．6．（10分）如图，三个圆交出七个部分．将整数1～7分别填到七个部分中，要求每个圆内的四个数字的和都相等．那么和的最大值是．7．（10分）学校组织482人去郊游，租用42座大巴和20座中巴两种汽车．如果要求每人一座且每座一人，则有种租车方案．8．（10分）平面上的五个点A，B，C，D，E 满足：AB＝16 厘米，BC＝8厘米，AD＝10厘米，DE＝2厘米，AC＝24厘米，AE＝12厘米．如果三角形 EAB 的面积为 96平方厘米，则点A到CD的距离等于厘米．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）把n个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上，拼成至少两层的多层长方形（含正方形）组成的图形，并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形纸片一边的中点上．如图给出了n＝6时所有的不同放置方法，那么n＝8 时有多少种不同放置方法？10．（10分）有一个杯子装满了浓度为15%的盐水，有大、中、小铁球各一个，它们的体积比为10：5：3，首先将小球沉入盐水杯中，结果盐水溢出10%，取出小球，其次把中球沉入盐水杯中，又将它取出，接着将大球沉入盐水杯中后取出，最后在杯中倒入纯水至杯满为止，此时杯中盐水的浓度是多少？11．（10分）清明节同学们乘车去烈士陵园扫墓，如果汽车行驶1个小时后将车速提高五分之一，就可以比预定时间提前10分钟赶到；如果该车先按原速行驶60千米，再将速度提高三分之一，就可以比预定时间提前20分钟赶到．那么从学校到烈士陵园有多少千米？12．（10分）如图，在三角形ABC中，AF＝2BF，CE＝3AE，CD＝2BD，连接CF交DE于P点，求的值．三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）在右边的算式中，字母a，b，c，d和“□”代表十个数字0到9中的一个，其中a，b，c，d四个字母代表□□□□不同的数字，求a，b，c，d代表的数字之和．14．（15分）从连续自然数1，2，3，…，2014中取出n个数，使这n个数满足：任意取其中两个数，不会有一个数是另一个数的7倍．试求n的最大值，并说明理由．2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组B卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）如图，边长为12米的正方形池塘周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一根木桩，且AB＝BC＝CD＝3米，现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在 B 处的木桩上．【分析】分别把A、B、C、D这四个点为圆心的扇形面积算出来，再进行比较即可选择出正确答案．【解答】解：①S A＝π×42+×π×（4﹣3）2＝8.25π（平方米）；②S B＝π×42＝12π（平方米）；③S C＝π×42+×π×（4﹣3）2＝8.25π（平方米）；④S D＝π×42＝8π（平方米），π＜8.25π＜12π，所以为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在B处的木桩上．故答案为：B．2．（10分）在所有是20的倍数的自然数中，不超过3000并且是14的倍数的数之和是32340 ．【分析】在所有20的倍数中不超过2014并且是14的倍数最小是140，最大是2940，共21个，然后根据“高斯求和”的方法解答．【解答】解：20＝2×2×514＝2×720和14的最小公倍数是：2×2×5×7＝1403000÷140≈21.4140×21＝2940所以在所有20的倍数中不超过3000并且是14的倍数最小是140，最大是2940，共21个，（140+2940）×21÷2＝3080×21÷2＝32340．答：在所有是20的倍数的自然数中，不超过3000并且是14的倍数的数之和是32340．故答案为：32340．3．（10分）从1～8这八个自然数中，任取三个数，其中没有连续自然数的取法有20 种．【分析】首先取3个所有的方法有＝56种连续的有两个连续另外一个不连续，如果这两个连续的数在两端，是12或78，则各有5种不同的方法，如：124，125，126，127，128，如果这两个两个数在中间，是23、34、45、56、67，则各有4种不同的方法，如：235，236，237，238；这样一共有5×2+5×4种方法；三个连续的有123，234，345，456，567，678，6种情况；用总种数减去有连续自然数的种数，就是符合要求的数．【解答】解：＝＝56（种）有两个连续数的可能是：5×2+5×4＝30（种）有三个连续的数的可能有6种：56﹣30﹣6＝20（种）答：没有连续自然数取法为20种．故答案为：20．4．（10分）如图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米．小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为56 平方厘米．【分析】按题意，可以将图中剪影分割成若干部分，然后标出每部分的面积，利用剪切和拼接的性质求得每部分的面积，最后求和．【解答】解：根据分析，如图，将剪影分割，通过分割和格点面积公式可得小马剪影的总面积＝0.5+3+16+2+1+2.5+3+0.5+1.5+12+3+2+0.5+3+0.5+1+2+1.5+0.5＝56（平方厘米）故答案是：56．5．（10分）如果＜＜，则“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为77 ．【分析】将与，和都通分，然后根据分数大小比较的方法以及不等式的性质确定“○”与“□”的和的最大值即可解决问题．【解答】解：＜通分为：所以，4×□＞35，则□≥9；与通分为：所以，○×□＜77，则，○×□的乘积最大为76，只要使“○”与“□”之和最大，应当使两数的差最大，76＝1×76，所以，当○＝1，□＝76时，两数之和最大，即，○+□＝1+76＝77．答：“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为 77．故答案为：77．6．（10分）如图，三个圆交出七个部分．将整数1～7分别填到七个部分中，要求每个圆内的四个数字的和都相等．那么和的最大值是19 ．【分析】因为使得每个圆内的四个数字的和都相等，且和最大值时，7最大，就把7写在最中间，还剩的3个较大数字6、5、4，填在两圆公共的部分，最后剩下的1、2、3；1与7、6、5结合；2与7、6、4结合；3与7、5、4结合，那么每个圆内的四个数字的和都是19，据此解答即可．【解答】解：根据分析可得，所以和的最大值是 19．故答案为：19．7．（10分）学校组织482人去郊游，租用42座大巴和20座中巴两种汽车．如果要求每人一座且每座一人，则有 2 种租车方案．【分析】设42座大巴x辆，20座中巴y辆，依题意有：42x+20y＝482，求方程的整数解，即得答案．【解答】设42座大巴x辆，20座中巴y辆，依题意有：42x+20y＝482，两边除以2有：21x+10y＝24110y个位数字是0，所以21x的个位数字是1，x只能取1或11，x＝1时，y＝22；x＝11时，y＝1．所以有2种租车方案．达：有2钟租车方案．8．（10分）平面上的五个点A，B，C，D，E 满足：AB＝16 厘米，BC＝8厘米，AD＝10厘米，DE＝2厘米，AC＝24厘米，AE＝12厘米．如果三角形 EAB 的面积为 96平方厘米，则点A到CD的距离等于 4.62 厘米．【分析】确定五个点的位置关系．AB+BC＝16+8＝24＝AC，所以，A、B、C 在一条直线，同样D在A、E之间；因为△EAB面积是24平方厘米，而只有角A是90度直角时，其面积才是，所以，角A是直角；则△CAD也是直角三角形，根据勾股定理可以求出CD ＝13厘米；设：点A到CD的距离为X（也就是CD边上的高），列出方程求出X即可．【解答】解：按照题意，可以得知，ABC是在一条直线上，否则形不成AC＝12厘米，同样，ADE也在一条直线上．因为：△EAB面积是24平方厘米，而只有角A是90度直角时，其面积才是：AB×（AD+DE）÷2＝8×6÷2＝24，所以，角A是直角．A是直角，则△CAD也是直角三角形，根据勾股定理CD×CD＝AD2+AC2，解得CD＝13厘米．设：点A到CD的距离为X（也就是CD边上的高）列出方程：13×X/2＝5×12÷2故：X≈4.62厘米二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）把n个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上，拼成至少两层的多层长方形（含正方形）组成的图形，并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形纸片一边的中点上．如图给出了n＝6时所有的不同放置方法，那么n＝8 时有多少种不同放置方法？【分析】可以分层讨论各种可能的情况，然后求和汇总，由于n＝8时，最多只能分3层放置，故不难求得总共的不同的放置方法．【解答】解：根据分析，分层数不同讨论：①层数为2时，7+1有6种；6+2有4种；5+3有2种；②层数为3时，5+2+1有3种；4+3+1有2种；故总共只有：6+4+2+3+2＝17种．故答案是：17．10．（10分）有一个杯子装满了浓度为15%的盐水，有大、中、小铁球各一个，它们的体积比为10：5：3，首先将小球沉入盐水杯中，结果盐水溢出10%，取出小球，其次把中球沉入盐水杯中，又将它取出，接着将大球沉入盐水杯中后取出，最后在杯中倒入纯水至杯满为止，此时杯中盐水的浓度是多少？【分析】溢出水量实际就是大球的体积，即整杯盐水的10%×＝，所以倒满水后浓度变为，据此解答即可．【解答】解：10%×＝，＝＝10%，答：此时杯中盐水的浓度是10%．11．（10分）清明节同学们乘车去烈士陵园扫墓，如果汽车行驶1个小时后将车速提高五分之一，就可以比预定时间提前10分钟赶到；如果该车先按原速行驶60千米，再将速度提高三分之一，就可以比预定时间提前20分钟赶到．那么从学校到烈士陵园有多少千米？【分析】先求出行驶1个小时后的预定时间，所用的时间就是预定时间的1÷（1+）＝，则预定时间是10÷（1﹣）＝60分钟，所以全程的预定时间就是1小时+60分钟＝120分钟；再求出所用时间，所用时间就是预定时间的1÷（1+）＝，即提前120×（1﹣）＝30分钟，最后求出60千米所对应的分率即1﹣，解答即可．【解答】解：如果行驶1个小时后，将车速提高五分之一，则行驶1个小时后所用的时间就是预定时间是1÷（1+）＝，则预定时间是10÷（1﹣）＝60分钟，所以全程的预定时间就是1小时+60分钟＝120分钟；如果该车先按原速行驶60千米，再将速度提高三分之一，则所用时间就是预定时间的1÷（1+）＝，即提前120×（1﹣）＝30分钟，但实际却提前了20分钟，说明有20÷30＝的路程提高了速度，60÷（1﹣）＝60÷＝180（千米），答：从学校到烈士陵园有180千米．12．（10分）如图，在三角形ABC中，AF＝2BF，CE＝3AE，CD＝2BD，连接CF交DE于P点，求的值．【分析】如图，连接DF，根据已知推出△BFD≌△BAC，推出∠BDF＝∠BCA，求出DF∥CA，＝，求出＝，＝，根据平行线分线段成比例定理得出即可．【解答】解：连接DF，因为AF＝2BF，CD＝2BD，所以＝＝，因为∠B＝∠B，所以△BFD≌△BAC，所以∠BDF＝∠BCA，所以DF∥CA，＝，因为CE＝3AE，所以＝，所以＝，因为DF∥CA，所以＝＝．三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）在右边的算式中，字母a，b，c，d和“□”代表十个数字0到9中的一个，其中a，b，c，d四个字母代表□□□□不同的数字，求a，b，c，d代表的数字之和．【分析】首先分析四位数减去三位数的结果是个位数，那么情况是可以枚举出来的，分情况排除即可．【解答】解：依题意可知：四位数﹣三位数＝2只能有2种可能，1000﹣998＝2或者1001﹣999＝2．那么要求5+c＝9，a+4＝9．所以a＝5，c＝4．所以b+d的结果可以为10也可为11．那么a+b+c+d的结果为19或20．综上所述答案为19或20．14．（15分）从连续自然数1，2，3，…，2014中取出n个数，使这n个数满足：任意取其中两个数，不会有一个数是另一个数的7倍．试求n的最大值，并说明理由．【分析】首先将这些数分组4个数的有5组：{1，7，49，343}，{2，14，98，686}，{3，21，147，1029}{4，28，196，1372}{5，35，245，1715}3个数的有{6，42，294}{8，56，392}{9，63，441}…{41，287，2009}注意第一个数跳过7、14、21、28、35等数，共有41﹣6+1﹣5＝31组．2个数的有{43，301}{44，308}…{286，2002}，注意跳过前面出现的数，即49、98、147、196、245、56、63、…280等34个数，因此2个数的有286﹣43+1﹣34＝210组【解答】解：由分析可知：{1，7，49，343}，{2，14，98，686}，…{286，2002}共246组数里，在前五组中每组至多能取2个，至少有10个不能取，在有3个数的组里，共至少有31个不能取，在2个数组里至少有210个不能取，故最多能取2014﹣10﹣31﹣210＝1763个数，在这1763个数中，答：任取其中2个，不会有一个数是另一个数的7倍，n的最大值为1763．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 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第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷A（小学高年级组）（时间：2013年4月20日10:00-11:30）一、填空题（每小题10分，满分80分）1．如右图，边长为12米的正方形池塘的周围是草地，池塘边A，B，C，D处各有一根木桩，且3AB BC CD===米．现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上．为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在__________处的木桩上．2．在所有是20的倍数的正整数中，不超过2014并且是14的倍数的数之和是_________．3．从1～8这八个自然数中任取三个数，其中没有连续自然数的取法有_________种．4．如右图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米．小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为_________平方厘米．5．如果74115<<成立，则“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为_________．6．如右图，三个圆交出七个部分．将整数0～6分别填到七个部分中，使得每个圆内的四个数字的和都相等，那么和的最大值是_______．7．学校组织1511人去郊游，租用42座大巴和25座中巴两种汽车．如果要求恰好每人一座且每座一人，则有_______种租车方案．8．平面上的五个点A，B，C，D，E满足:8DE=AD=厘米，1AB=厘米，4BC=厘米，5厘米，12AE=厘米．如果三角形EAB的面积为24平方厘米，则点A到CD AC=厘米，6的距离等于_______厘米．二、解答题（每题10分，共40分）9．把n个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上，拼成至少两层的多层长方形（含正方形）组成的图形，并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形纸片一边的中点上．下图给出了6n=时有多少种不同n=时所有的不同放置方法，那么9放置方法?10．有一杯子装满了浓度为16%的盐水．有大、中、小铁球各一个，它们的体积比为3:4:10．首先将小球沉入盐水杯中，结果盐水溢出10%，取出小球;其次把中球沉入盐水杯中，又将它取出;接着将大球沉入盐水杯中后取出;最后在杯中倒入纯水至杯满为止．此时杯中盐水的浓度是多少？（保留一位小数）11．清明节，同学们乘车去烈士陵园扫墓．如果汽车行驶1个小时后，将车速提高五分之一，就可以比预定时间提前20分钟赶到;如果该车先按原速行驶72千米，再将速度提高三分之一，就可以比预定时间提前30分钟赶到．那么从学校到烈士陵园有多少千米？12．如右图，在三角形ABC中，D为BC的中点，2AF BF=，3CE AE=．连接CF交DE于P点，求EPDP的值．三、解答题（每题15分，共30分）13．从连续自然数1，2，3，…，2014中取出n个数，使这n个数满足:任意取其中两个数，不会有一个数是另一个数的5倍．试求n的最大值，并说明理由．14．在右边的算式中，字母a，b，c，d和“□”代表十个数字0到9中的一个．其中a，b，c，d四个字母代表不同的数字，求a，b，c，d代表的数字之和．第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷A（小学高年级组）参考答案参考解析一、填空题（每小题10分，满分80分）1．如右图，边长为12米的正方形池塘的周围是草地，池塘边A，B，C，D处各有一根木桩，且3AB BC CD===米．现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上．为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在__________处的木桩上．【考点】几何扇形面积【难度】☆【答案】B【分析】拴在A点的范围是22111931244πππ⨯+⨯=．拴在B点的范围是234=124ππ⨯．拴在C点的范围是22111931244πππ⨯+⨯=．拴在D点的范围是21482ππ⨯=．2．在所有是20的倍数的正整数中，不超过2014并且是14的倍数的数之和是_________．【考点】等差数列【难度】☆【答案】14700【分析】[20,14]140=，20141401454÷= ，1402804205601960(1401960)1422100714700+++++=+⨯÷=⨯=．3．从1～8这八个自然数中任取三个数，其中没有连续自然数的取法有_________种．【考点】计数【难度】☆☆【答案】20【分析】解法一：枚举法（1）三奇数：135、137、157、357，4个；（2）三偶数：246、248、268、468，4个；（3）两奇一偶：136、138、158、147、358、257，6个；（4）两偶一奇：247、258、146、148、168、368，6个；共4+4+6+6=20种．解法二：排除法，1~8中任取三个数，有3887656 321C⨯⨯==⨯⨯种不同的取法．其中三个连续数有6种（123~678），两个连续数有5+4+4+4+4+4+5=30种（如124、125、126、127、128等），则满足题意的取法有56—6—30=20种．4．如右图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米．小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为_________平方厘米．【考点】格点与面积【难度】☆【答案】56.5【分析】通过分割和格点面积公式可得小马总面积为56.5个正方形，即面积为56.5平方厘米．5．如果74115<<成立，则“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为_________．【考点】计算——速算巧算【难度】☆☆【答案】77【分析】745<，通分，将分母统一为□×5，35455⨯<⨯⨯，□≥9，711<，通分能得到771111⨯<⨯⨯，77⨯<，乘积最大为76，要使和最大，应两数相差最多76176=⨯，当1=，76=时，两数之和最大，为17677+=．6．如右图，三个圆交出七个部分．将整数0～6分别填到七个部分中，使得每个圆内的四个数字的和都相等，那么和的最大值是_______．【考点】数阵图，最值【难度】☆☆【答案】15【分析】要使圆内四个数字的和最大，则中间同时属于三个圆的区域填6，同时属于两个圆的区域依次填入5、4、3，最后填入0、1、2即可，如下图．7．学校组织1511人去郊游，租用42座大巴和25座中巴两种汽车．如果要求恰好每人一座且每座一人，则有_______种租车方案．【考点】不定方程【难度】☆☆☆【答案】2【分析】设大巴a辆，中巴b辆．根据题意列不定方程42251511a b+=，151125÷余11，则4225a÷余11，42a个位为6，经试验当8a=时，47b=，当82533a=+=时，5b=，共2组整数解．8．平面上的五个点A，B，C，D，E满足：8AB=厘米，4BC=厘米，5AD=厘米，1DE=厘米，12AC =厘米，6AE =厘米．如果三角形EAB 的面积为24平方厘米，则点A 到CD 的距离等于_______厘米． 【考点】几何勾股定理 【难度】☆☆☆ 【答案】8413【分析】（1）由题意8AB =厘米，4BC =厘米，12AC =厘米，可知点A 、B 、C 在同一条直线上；（2）5AD =厘米，1DE =，6AE =厘米，可知点A 、D 、E 在同一条直线上；（3）三角形EAB 的面积为24平方厘米，1242AB AE ⨯⨯=，可知AB 与AE 垂直．画出下图（4）问题转化为求直角三角形ACD 斜边CD 上的高，即AF 的长度222A B A C C D +=，得出13CD =，1122AC AD CD AF ⨯⨯=⨯⨯，解得6013AF =．二、解答题（每题10分，共40分）9．把n 个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上，拼成至少两层的多层长方形（含正方形）组成的图形，并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形纸片一边的中点上．下图给出了6n =时所有的不同放置方法，那么9n =时有多少种不同放置方法?【考点】操作与计数 【难度】☆☆☆ 【答案】25【分析】当层数为2时：（1）8+1：7种；（2）7+2：5种；（3）6+3：3种；（4）5+4：1种；当层数为3时：（1）6+2+1：4种；（2）5+3+1：4种；（3）4+3+2：1种； 当层数为4时无法满足，因此共有7+5+3+1+4+4+1=25种不同的放置方法．10．有一杯子装满了浓度为16%的盐水．有大、中、小铁球各一个，它们的体积比为3:4:10．首先将小球沉入盐水杯中，结果盐水溢出10%，取出小球;其次把中球沉入盐水杯中，又将它取出;接着将大球沉入盐水杯中后取出;最后在杯中倒入纯水至杯满为止．此时杯中盐水的浓度是多少？（保留一位小数）【考点】浓度，比例【难度】☆☆☆【答案】10.7%【分析】大、中、小球体积比为10:4:3，盐水的10%对应小球“3份”体积，则大球“10份”体积对应盐水的110%310=3÷⨯，因此最终溢出的盐水量为杯子容积的13，此时杯中盐水的浓度为116%(1)110.7%3⨯-÷≈．11．清明节，同学们乘车去烈士陵园扫墓．如果汽车行驶1个小时后，将车速提高五分之一，就可以比预定时间提前20分钟赶到;如果该车先按原速行驶72千米，再将速度提高三分之一，就可以比预定时间提前30分钟赶到．那么从学校到烈士陵园有多少千米？【考点】行程问题【难度】☆☆☆【答案】216【分析】比例法（1）原速：后速5:6=，原时：后时6:5=，原时620120=⨯=分=2小时，总时间为213+=小时；（2）原速：后速3:4=，原时：后时4:3=，原时430120⨯=分=2小时，按原速行驶72千米所用时间为321-=小时；从学校到烈士陵园有7213216÷⨯=千米．12．如右图，在三角形ABC中，D为BC的中点，2AF BF=，3CE AE=．连接CF交DE于P点，求EPDP的值．【考点】几何【难度】☆☆☆【答案】3【分析】连接EF，DF32314342311112236ACFCEFCDFBCF S S EP DP S S ⨯=====⨯ 三、解答题（每题15分，共30分）13．从连续自然数1，2，3，…，2014中取出n 个数，使这n 个数满足:任意取其中两个数，不会有一个数是另一个数的5倍．试求n 的最大值，并说明理由． 【考点】构造最值 【难度】☆☆☆☆ 【答案】1679【分析】尽可能多取数（1）201454024÷= ，从2014取到403，有2014402=1612-个数；（2）4025802÷= ，402到81不取；（3）80516÷=，从80取到17，有801664-=个数；（4）16531÷= ，16到4不取；（5）最后取3、2、1；16126431679n =++=．14．在右边的算式中，字母a ，b ，c ，d 和“□”代表十个数字0到9中的一个．其中a ，b ，c ，d 四个字母代表不同的数字，求a ，b ，c ，d 代表的数字之和．【考点】数字谜 【难度】☆☆☆☆ 【答案】10，18，19 【分析】如下图b d+=或11a=（1）当3+进位，取10c=时，b db dc=时，b d+不+++=++=．（2）当4+++=++=或531119a b c da b c d531018进位，只能取1+++=++=．a b c d+=，011b d+=符合要求，此时541+010。

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初二组）（时间: 2014年4月12日）一、填空题 (每小题10分, 共80分)1. 计算:23322332623323333--⋅+-=________.【答案】45【解答】原式=()24513262436394-=-⋅⋅-4516=-. 2. 已知正整数a , b , c 满足三个等式：cba =3,9432=⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b a , 6822=+b a , 那么2c 等于________.【答案】144. 【解答】由cba cb a ++==33, 知 9439322222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++==c b a c b a c b a , 所以,153)(499222=+=+b a c . 得1442=c .3. 如图, E , F 分别是菱形ABCD 的边AB , AD 上的点,︒=∠60DCB , ︒=∠105DFE , 1=DF , 32-=BE , 那么这个菱形的边长等于________. 【答案】3【解答】设菱形ABCD 的边长为a , 如右图, 过F 作AB 的垂线, 垂足为H .在直角三角形AHF 中, 由已知条件可知:︒=∠60FAE , ︒=∠30AFH , 1-=a AF .进而得到:21-=a AH （直角三角形中, 30度角所对边长是斜边长的一半）, 32122-=-=a AH AF FH （勾股定理）. 由已知条件︒=∠105DFE 和︒=∠30AFH , 立即得到︒=︒-︒=∠453075EFH ,从而△EFH 是等腰直角三角形, FH HE =. 所以3232121-=----=-=a a a AE AB BE , 3=a . 4. 将一个四位数的四个数字之和的两倍与这个四位数相加得2379, 则满足条件的四位数有________个. 【答案】2【解答】设这个四位数为xyzw . 首先, 2=x . 因为 ,9,,0≤≤w z y 若1=x , 则有20552541999,54)(20=++≤++≤w z y ,与条件不符. 另一方面x 不能大于2. 于是, yzw xyzw 2=, 即有23792224101002000=+++++++w z y w z y .得到375312102=++w z y .容易验证, .2,1≠y 因此, .3=y 于是69312=+w z , 12369wz -=. 整数解： 4,7;5,3====z w z w .所求四位数为：2353, 2347. 经验证, 都符合要求.5. 已知a a x 14501450-++=, 其中a 是正整数, 那么所有使得x 为整数的a 的取值之和为________. 【答案】158 【解答】首先,a x 14250021002-+=,则a 142500-为完全平方数, 令2142500y a =-, 0≥y ,则a y y 14)50)(50(=-+, )50(|14y + 或 )50(|14y -, 500≤≤y .因此, y 的可能取值为6, 8, 20, 22, 34, 36, 48, 50, 使得2x 为完全平方数的是22, 48, 对应的a 为144和14.6. 已知a , b , c 为互不相等的非零实数, 且存在实数x , y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333y cx c y bx b y ax a ,那么c b a ++的值是________. 【答案】0【解答】令⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++)3(.0)2(,0)1(,0333y cx c y bx b y ax a 由方程 (1), (2), 可得0)()(33=-+-x b a b a .因为0≠-b a , 所以022=+++x b ab a ,解得)(22b ab a x ++-=.代入方程 (1), 解得22ab b a y +=.将方程 (1), (2), (3) 相加, 得03)(333=++++++y x c b a c b a ,将y 代入, 得0)(3)(22333=+++++++y ab b a x c b a c b a .整理得0)2)(()()(22233=+--+++++=+++++x ca bc ab c b a c b a x c b a c b a .将x 代入整理得0))()(())((2=--++=--+++b c a c c b a ca bc ab c c b a .因为a , b , c 互不相等且均不等于0, 所以 0=++c b a .7. 如右图所示, 五边形ABCDE 中, AE AB =, CD BC =,2=AC 厘米, ︒=∠60BAE , E D BCD B ∠=∠=∠=∠, 则五边形ABCDE 的面积是________平方厘米. 【答案】3【解答】因为五边形的内角和为︒540, 且︒=∠60BAE , E D BCD B ∠=∠=∠=∠所以︒=∠=∠=∠=∠120E D BCD B .见右图, 以A 为旋转中心, 逆时针旋转△ABC 到△AEF 的位置, 则AB AE =, BC EF =, AC AF =, ︒=∠=∠=∠120AED ABC AEF .所以CDE DEF ∠=︒=∠120.连接CF 交DE 于P , 则△CDP ≌△FEP . 相当于将△CDP 绕P 旋转︒180补到△FEP 的位置. 可见五边形ABCDE 的面积 = △ACF 的面积.又, △ACF 是边长为2厘米的正三角形, 所以其面积为32432=⨯（平方厘米）. 因此五边形ABCDE 的面积为3 平方厘米.8. 方程023=+++C Bx Ax x 的系数C B A ,,为整数, 10||,10||,10||<<<C B A ,且1是方程的根, 那么这种方程总共有________个. 【答案】270. 【解答】由已知,b x a b x a x b ax x x C Bx Ax x --+-+=++-=+++)()1())(1(23223,其中, a , b 为实数, 于是有b C a b B a A -=-=-=,,1,并且得到a , b 为整数. 由题目条件得10||,10||,10|1|<<-<-b a b a ,因此1010,1010,119<<-+<<-<<-b b a b a .当0=b 时, 由1010,119<<-<<-a a , 得109<<-a , 即a 能够取18个整数值; 当1=b 时, 由119<<-a , 知a 能够取19个整数值; 当2=b 时, 由128,119<<-<<-a a , 得118<<-a , 即a 能够取18个整数值; ……; 当9=b 时, 由191,119<<-<<-a a , 得111<<-a , 即a 能够取11个整数值. 同样地, 当1-=b 时, 由911,119<<-<<-a a , 得99<<-a , 即a 能 能够取17个整数值; ……; 当9-=b 时, 由119,119<<-<<-a a , 得19<<-a , 即a 能取9个整数值.这样, ),(b a 的取法, 亦即),,(C B A 的取法有270210272930)91617()111819(18=⨯+⨯=++++++++ （种）. 所以, 这种方程共有270个.二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）9. 关于x 的方程 ()02|4|21=--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x a x 的3个解恰好是某个直角三角形三条边的边长, 那么这个直角三角形面积的最大值是多少?【答案】4323+ 【解答】由已知, 原方程共有三个解:)2(41),2(41,12321-=+=-=a x a x a x . 当2>a , 它们才可能是某个直角三角形的三条边长. 下面分两种情况讨论. （1）26>>a . 在这种情形下, 312x x x >>, 2x 是斜边长. 因此,222)2(16112)2(161-+⎪⎭⎫⎝⎛-=+a a a , (*)解(*), 得到: 53±=a . 因为253<-, 仅有53+=a . 此时, 直角三角形面积为()853253161)2(161212231+=-+=-=a x x . （2）6≥a . 在这种情形下, 321x x x >>, 1x 是斜边长. 因此,222)2(161)2(16112-++=⎪⎭⎫⎝⎛-a a a , (**)解(**), 得到: ()322±=a . 因为()6322<-, 仅有()322+=a . 此时, 直角三角形面积为()43234324321)4(321212232+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-=a x x . 综上, 直角三角形面积的最大值是4323+. 10. 若干个选手参加象棋比赛, 每两个选手下一盘. 每盘棋的记分方法为：胜者得1分, 和棋各得0.5分, 负者得0分. 如果有两名选手共积11分, 其他选手的平均积分为整数, 那么一共下了多少盘棋? 【答案】21或231【解答】不论比赛状况如何, 下棋的盘数等于得分总数. 假设共有2+x 个人参加比赛, 那么共下)2)(1(21++x x 盘. 设n 为除两人外其余人的平均积分, 那么 nx x x =-++11)2)(1(21. 整理可得:020)32(2=--+x n x .由于人数为整数, 32-n 也为整数, 所以x 必为20的正约数. 又因为其中两名选手共得11分, 所以5≥x . 因此x 的取值只可能是5, 10或 20.当5=x , 7人比赛, 共计比赛21场, 总分21分, 其余人共得10分, 平均2分, 符合题意.当10=x 时, 12人比赛, 共计比赛66场, 总分66分, 其余人共得55分, 平均5.5分, 不合题意.当20=x 时, 22人比赛, 共计比赛231场, 总分231分, 其余人共得220分, 平均11分, 符合题意.因此, 参加比赛的选手人数可能为7人或者22人, 共举行的场数可能为21场或者231场.11. 在梯形ABCD 中, CD AB //, 8=AB , 6=CD .M , N 分别为AD , BC 的中点, MN 与梯形ABCD 的对角线AC , BD 分别相交于P , Q . 如图所示的四边形ABQP 的面积为18, 求梯形ABCD 的面积. 【答案】56【解答】见右图, 连接CQ . 因为M , N 分别为AD , BC 的中点, 所以P 为AC 的中点. 令x S QBN =∆, 则x S CQN =∆.因为P , N 分别为AC , BC 的中点, 所以421==AB PN . 同理可知321==CD QN .所以31=-==∆∆QN QN PN QN PQ S S CQNCPQ . 得x S CPQ 31=∆. 在CAB ∆中, x x x S S CPN ABNP 43133=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∆.所以x S S S BNP ABNP ABQP 3=-=∆.得6=x . 所以321837=+=∆x S ABC 又43==∆∆AB CD S S ABC ACD , 得2443==∆∆ABC ACD S S . 最终,563224=+=ABCD S .12. 已知十个互不相同的正数满足:1) 它们的和为385;2) 它们中任意两个数的和或者差的绝对值是这十个数中的某个数. 请写出这十个数.【答案】7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70【解答】设这十个数为1021,,,a a a , 且1021a a a <<< . 由于1010a a a i >+, 91≤≤i ,所以它们都不是这十个数中的成员, 因此i a a -10都是这十个数中的成员, 都小于10a , 且有10110710810910a a a a a a a a a <-<<-<-<- ,故有i i a a a -=-1010, 特别地1910a a a =-. 又因为10199a a a a a i =+>+, 81≤≤i ,也都不是这十个数中的成员, 所以i a a -9都是这十个数中的成员, 都小于9a , 且有9197989a a a a a a a <-<<-<- ,故有i i a a a -=-99, 特别地189a a a =-. 完全相同的道理, 可得11a a a i i =-+, 91≤≤i .所以385)1021(11021=+++=+++ a a a a .解得71=a . 所以这十个数是7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70.三、解答下列各题（每题15分, 共30分, 要求写出详细过程）13. 右图中, ︒=∠=∠=∠45DAB BCD ABC , 2=BD 厘米,求四边形ABCD 的面积.【答案】2平方厘米【解答】见左图, 连接AC , 延长AD 交BC 于H . 则︒=∠90AHB , ︒=∠45CDH . 所以, BH AH =, HC DH =. 又在BHD ∆与AHC∆中,︒=∠=∠90AHC BHD , 所以AHC BHD ∆∆≌（边、角、边）. 得2==AC BD （厘米）.延长BD 交AC 于K , 由于︒=∠+∠90CAH ACH , 而KBH CAH ∠=∠ 所以︒=∠+∠90CAH KBH . 因此︒=∠90BKC , 得 AC BK ⊥, 即AC BD ⊥. 最终,四边形ABCD 的面积= ABC ∆的面积ADC ∆-的面积=)(212121DK BK AC DK AC BK AC -⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯ = 2222121=⨯⨯=⨯⨯BD AC （平方厘米）. 14. 有n 个人在网上购物, 2>n . 已知, 任意三个人中有两人买有同一种类的商品, 没有三个人买有同一种类的商品. 若他们中的甲和乙两人各买了四种商品, 但没有买同一种类的商品, 则n 的最大值是多少? 当n 最大时, n 个人一共最少买了多少种商品？【答案】10, 20【解答】分别用A 1, A 2表示甲、乙两人, 他们没买同一种商品. 由任意3人中有2人买了相同的商品, 余下的(2-n )个人可分成两组: A 1组, 与A 1买有同种商品的人; A 2组, 与A 2买有同种商品的人. 注意, 同一个人可以即在A 1组也在A 2组. 两个组每组最多5人. 否则, 设有一个组有6个或6个以上的人, 不妨设是A 1. 但是A 1只买了4种商品, 由抽屉原则, 另外5个或5个以上的人中必有2人与A 1都买有同一种类商品. 这与题设“没有三个人买有同一种类的商品”矛盾. 若10>n , 由抽屉原则有一组有6个或6个以上的人, 与“两个组每组最多5人”矛盾. 所以, 10≤n .考虑10=n 的情况. 记第i 个人为A i , 用B1, B2, …, B20表示20种不同种类的商品. 购物情况可以如下:A 1买B1, B2, B3, B4; A 2买B11, B12, B13, B14;A 3买B1, B5, B6, B7; A 7买B11, B15, B16, B17;A 4买B2, B5, B8, B9; A 8买B12, B15, B18, B19;A 5买B3, B6, B8, B10; A 9买B13, B16, B18, B20;A 6买B4, B7, B9, B10; A 10买B14, B17, B19, B20.满足题目的要求, 且两组各有5人.当10=n 时, 两个组只能各有5人且无人同属两组. 同一组中, 三人有二人购有同种商品, 而无其他同组人买这种商品. 这二人可以是同组中任意二人, 所以, 一个组就至少买了1025=C 种商品. 两个组至少买了20种商品.。

2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组C卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：+=．2．（10分）在右边的算式中，每个汉字代表0至9这十个数字中的一个，相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字．则“数学竞赛”所代表的四位数是．3．（10分）如图，在直角三角形ABC中，点F在AB上且AF=2FB，四边形EBCD 是平行四边形，那么FD：EF为．4．（10分）如图是由若干块长12厘米、宽4厘米、高2厘米的积木搭成的立体的正视图，上面标出了若干个点．一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面．如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒2厘米，向下爬行的速度为每秒3厘米．水平爬行速为每秒4厘米．则蚂蚁至少爬行了秒．5．（10分）设a，b，c，d，e 均是自然数，并且a＜b＜c＜d＜e，a+2b+3c+4d+5e=300，则a+b 的最大值为．6．（10分）现有甲、乙、丙三个容量相同的水池．一台A型水泵单独向甲水池注水，一台B型水泵单独向乙水池注水，一台A型和一台B型水泵一起向丙水池注水．已知注满乙水池比注满丙水池所需时间多4个小时，注满甲水池比注满乙水池所需时间多5个小时，则注满丙水池的三分之二需要个小时．7．（10分）用八块棱长为1cm的小正方块堆成一立体，其俯视图如右图所示，问共有种不同的堆法（经旋转能重合的算一种堆法）．8．（10分）如图，在三角形ABC中，AF=2BF，CE=3AE，CD=4BD．连接CF交DE于P点，求的值．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）有三个农场在一条公路边，分别在如图所示的A，B和C处．A处农场年产小麦50吨，B处农场年产小麦10吨，C处农场年产小麦60吨．要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦．假设运费从A到C方向是每吨每千米1.5 元，C到A方向是每吨每千米1元．问仓库应该建在何处才能使运费最低？10．（10分）把，，…，，中的每个分数都化成最简分数，最后得到的以2014为分母的所有分数的和是多少？11．（10分）上面有一颗星、两颗星和三颗星的积木分别见图的（a），（b）和（c）．现有 5 块一颗星，2块两颗星和1块三颗星的积木，如果用若干个这些积木组成一个五颗星的长条，那么一共有多少种不同的摆放方式？（如图（d）是其中一种摆放方式）．12．（10分）某自然数减去39是一个完全平方数，减去144也是一个完全平方数，求此自然数．三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）如图，圆周上均匀地标出十个点．将1～10这十个自然数分别放到这十个点上．用过圆心的一条直线绕圆心旋转，当线上没有标出的点时，就把1～10分成两组．对每种摆放方式，随着直线的转动有五种分组方式．对于每种分组都有一个两组数和的乘积，记五个积中最小的值为K．问所有的摆放中，K最大为多少？14．（15分）将每个最简分数（其中m，n 互质的非零自然数）染成红色或蓝色，染色规则如下：（1）将1染成红色；（2）相差为1的两个数颜色不同，（3）不为1的数与其倒数颜色不同．问：和分别染成什么颜色？2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组C卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）计算：+=1．【分析】把繁分数的分子分母中的算式分别化简，然后根据分数的基本性质解答即可．【解答】解：+=+=+=1；故答案为：1．【点评】本题考查了繁分数的化简，关键是掌握小数的四则运算的计算法则．2．（10分）在右边的算式中，每个汉字代表0至9这十个数字中的一个，相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字．则“数学竞赛”所代表的四位数是1962．【分析】（1）如果百位不退位，四位数减四位数，差的千位、百位为0，所以“数学”=20，再看后两位，竞赛+竞赛=24，所以“竞赛”=24÷2=12，据此即可写出“数学竞赛”所代表的四位数；如何判断是否符合题意．（2）如果百位退位，则易得“数学”=19，再看后两位，则竞赛+竞赛=2024﹣1900=124，所以“竞赛”=124÷2=62，据此即可写出“数学竞赛”所代表的四位数．【解答】解：（1）如果百位不退位，因为四位数减四位数，差的千位、百位为0，所以“数学”=20；再看后两位，竞赛+竞赛=24，所以“竞赛”=24÷2=12；所以，“数学竞赛”所代表的四位数是：2012，因为有重复的数字“2”，所以不符合题意，要舍去．（2）如果百位退位，则“数学”=19，再看后两位，则竞赛+竞赛=2024﹣1900=124，所以“竞赛”=124÷2=62，所以，“数学竞赛”所代表的四位数是：1962．答：“数学竞赛”所代表的四位数1962．故答案为：1962．【点评】此题考查了凑数谜．此类型的题往往要结合数位知识和数字的特征解答，本题要从进位和不进位两方面考虑．3．（10分）如图，在直角三角形ABC中，点F在AB上且AF=2FB，四边形EBCD 是平行四边形，那么FD：EF为2：1．【分析】因为AF=2FB，所以AF：FB=2：1，因为四边形EBCD是平行四边形，所以BE∥AC，所以△ADF∽△BEF，所以FD：EF=AF：FB=2：1，据此解答即可．【解答】解：因为AF=2FB，所以AF：FB=2：1，因为四边形EBCD是平行四边形，所以BE∥AC，则∠ADF=∠BEF，∠EFB=∠DFA，所以△ADF∽△BEF，所以FD：EF=AF：FB=2：1，故答案为：2：1．【点评】本题考查了相似三角形的性质，关键是根据BE∥AC，得出△ADF∽△BEF．4．（10分）如图是由若干块长12厘米、宽4厘米、高2厘米的积木搭成的立体的正视图，上面标出了若干个点．一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面．如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒2厘米，向下爬行的速度为每秒3厘米．水平爬行速为每秒4厘米．则蚂蚁至少爬行了36秒．【分析】由图可知：先让蚂蚁向上爬一个长，然后再水平爬5个宽，再向下爬一个长，再水平爬2个长，向上爬1个长，再水平爬5个宽，最后再乡下爬1个长即可．【解答】解：所爬路线如图：（5×4×2+2×12）÷4=64÷4=16（秒）12×2÷2=12（秒）12×2÷3=8（秒）16+12+8=36（秒）答：蚂蚁至少爬行了36秒．故答案为：36．【点评】本题先找出蚂蚁所走的路线是解决问题的关键．5．（10分）设a，b，c，d，e 均是自然数，并且a＜b＜c＜d＜e，a+2b+3c+4d+5e=300，则a+b 的最大值为35．【分析】a，b，c，d，e 均是连续的自然数也符合题意，假设分别是：1、2、3、4、5，则，a+2b+3c+4d+5e=55，每个数增加1，则a+2b+3c+4d+5e的和增加15；然后看（300﹣55）看有几个15；再结合余数即可确定a、b的值．【解答】解：如果a，b，c，d，e 均是连续的自然数也符合题意，假设分别是：1、2、3、4、5，则，a+2b+3c+4d+5e=1+2×2+3×3+4×4+5×5=55如果它们都再加上1，则总和将会增加：1+2+3+4+5=15（300﹣55）÷15=16 (5)余数是5，只能加在e上，所以，a=1+16=17，b=2+16=18，所以，a+b 的最大值为：17+18=35．答：a+b 的最大值为35．故答案为：35．【点评】本题属于构造性问题，关键明确要使a+b 的和最大，就要使这五个数中最小的两个数a和b尽量大，则根据相邻两个自然数差最小是1构建五个数．6．（10分）现有甲、乙、丙三个容量相同的水池．一台A型水泵单独向甲水池注水，一台B型水泵单独向乙水池注水，一台A型和一台B型水泵一起向丙水池注水．已知注满乙水池比注满丙水池所需时间多4个小时，注满甲水池比注满乙水池所需时间多5个小时，则注满丙水池的三分之二需要4个小时．【分析】首先根据题意，设注满乙水池所需时间为x小时，则注满甲水池所需时间为x+5小时，注满丙水池所需时间为x﹣4小时，再根据工作效率=工作量÷工作时间，分别用1除以x+5、x，求出一台A型水泵和一台B型水泵每小时各注水几分之几；然后根据：一台A型水泵的工作效率+一台B型水泵的工作效率=1÷注满丙水池所需时间，列出方程，求出x的值，再用x减去4，求出注满丙水池所需时间是多少，再用它乘以，求出注满丙水池的三分之二需要多少小时即可．【解答】解：设注满乙水池所需时间为x小时，则注满甲水池所需时间为x+5小时，注满丙水池所需时间为x﹣4小时，+=（+）x（x﹣4）（x+5）=•x（x﹣4）（x+5）x（x﹣4）+（x﹣4）（x+5）=x（x+5）2x2﹣3x﹣20=x2+5xx2﹣8x﹣20=0解得x=10或x=﹣2（舍去）（10﹣4）×=6×=4（小时）答：注满丙水池的三分之二需要4个小时．故答案为：4．【点评】（1）此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量=工作效率×工作时间，工作效率=工作量÷工作时间，工作时间=工作量÷工作效率．（2）此题还考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．7．（10分）用八块棱长为1cm的小正方块堆成一立体，其俯视图如右图所示，问共有10种不同的堆法（经旋转能重合的算一种堆法）．【分析】俯视图相同，均为四个方格的正方形，共有8个小正方形，最下面一层必为四个小方格，可以分层讨论，得出总的不同堆法，求得总数．【解答】解：根据分析，若分为两层堆放，为4+4堆放，有1种堆法；分为3层堆放，1+3+4时，有4种堆法，2+2+4时，有2种堆法；分为4层堆放，4+2+1+1堆放，有2种堆法；分为5层堆放，4+1+1+1+1堆放，有1种堆法，综上，共有10种堆法．故答案是：10【点评】本题考查了图形的变换和对称性，突破点是：利用图形对称性，不难求得总的不同堆法．8．（10分）如图，在三角形ABC中，AF=2BF，CE=3AE，CD=4BD．连接CF交DE于P点，求的值．【分析】连接EF，DF，则根据风筝模型，有：S△EFC ：S△FDC=EP：PD，只要求出S△EFC 和S△FDC的比即可求出EP：PD，从已知的线段之间的比例关系，可以算出面积之比，可以求得△EFC和△FDC分别与△ABC的面积比，从而最后求得EP：PD的值．【解答】解：根据分析，如图，连接EF，DF，则根据风筝模型，有：S△EFC ：S△FDC=EP：PD又∵AF=2BF ∴S △AFC ：S △BFC =AF ：BF=2：1⇒，；同理：CE=3AE ⇒S△EFC：S △AEF =EC ：AE=3：1⇒=；CD=4BD ⇒S△CDF：S △BDF =CD ：BD=4：1⇒=故：EP ：PD=S △EFC ：S △FDC=．故答案是：．【点评】本题考查了相似三角形和风筝模型，突破点是：利用风筝模型列出线段比和面积比的关系式，再求解．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）有三个农场在一条公路边，分别在如图所示的A ，B 和C 处．A 处农场年产小麦50吨，B 处农场年产小麦10吨，C 处农场年产小麦60吨．要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦．假设运费从A 到C 方向是每吨每千米1.5 元，C 到A 方向是每吨每千米1元．问仓库应该建在何处才能使运费最低？【分析】分两种情况讨论，即：（1）假设在AB 之间建立仓库；（2）假设在BC 之间建立仓库；分别列出方程解答即可．【解答】解：（1）假设在AB 之间建立仓库，设到A 的距离为x 千米．那么总费用为：50x×1.5+10×（500﹣x）×1+60×（1700﹣x）×1整理得到：5x+107000为了使这个总费用最小，由于107000一定了，所以要让5x尽量小，所以x=0，即设在A点总费用最低．（2）假设在BC之间建立仓库，设距离B点y千米处．那么总费用为：50（500+y）×1.5+1.5×10y+60（1200﹣y）×1整理得到：109500+30y，同理，y=0，最小费用为109500，此时设在B点．107000＜109000．综上所以设在A点运费最低，最低费用为107000元．答：仓库应该建在A处才能使运费最低．【点评】在运货策略中，要结合运费、质量和路程进行列方程解答，注意解题过程中要分类讨论．10．（10分）把，，…，，中的每个分数都化成最简分数，最后得到的以2014为分母的所有分数的和是多少？【分析】因为2014=2×1007=2×19×53，分别求出2、19、53、2×19、2×53、19×53、2×19×53的倍数有多少个，进而求出分母不是2014的个数，进而得解．【解答】解：2014=2×1007=2×19×53，2的倍数：1007个，19的倍数：106个，53的倍数：38个，2×19的倍数：53个，2×53的倍数：19个，19×53的倍数：2个，2×19×53的倍数：1个，分母不是2014的共有：1007+106+38﹣53﹣19﹣2+1=1078（个），不包括，那么共：1078﹣1=1077（个）．每2个和为1，分母是2014的最简分数共：2013﹣1077=936（个）和为：936÷2=468．【点评】此题咋一看，无从下手，要积极寻求灵活的方法：把2014分解质因数，分别求出这些因数的倍数有多少个，进而得出分母是2014的最简分数的个数，解决问题．11．（10分）上面有一颗星、两颗星和三颗星的积木分别见图的（a），（b）和（c）．现有 5 块一颗星，2块两颗星和1块三颗星的积木，如果用若干个这些积木组成一个五颗星的长条，那么一共有多少种不同的摆放方式？（如图（d）是其中一种摆放方式）．【分析】通过分析可知：分下列几种情况①5=1+2+2，此类为3个选一个，②5=1+1+1+1+1，此类只有1种；③5=2+3，此类为2个选一个，④5=3+1+1，此类为3个选一个；⑤5=2+1+1+1，此类为，4个选一个；把这几种情况相加，据此解答即可．【解答】解：①5=1+2+2，此类为3个选一个，有C31=3种；②5=1+1+1+1+1，此类只有1种；③5=2+3，此类为2个选一个，有C21=2种④5=3+1+1，此类为3个选一个，有C31=3种；⑤5=2+1+1+1，此类为4个选一个，有C41=4种；一共：3+1+2+3+4=13种答：一共有13种不同的摆放方式．【点评】解答此题的关键是通过题意，进行分析，然后根据分析得到的数据进行解答．12．（10分）某自然数减去39是一个完全平方数，减去144也是一个完全平方数，求此自然数．【分析】设这个自然数减去39得到a2，减去144得到b2，由题意可得a2+39=b2+144，化简可得：a2﹣b2=105，（a+b）（a﹣b）=105，把105分解质因数，105=3×5×7，然后把因数3、5、7组合，可得：（a+b）、（a﹣b）有四种对应取值，然后进一步解方程组即可．【解答】解：设这个自然数减去39得到a2，减去144得到b2，由题意可得：a2+39=b2+144，即，a2﹣b2=105，（a+b）（a﹣b）=105，105=3×5×7，所以，（a+b）、（a﹣b）有四种对应取值：，，，，相对应求得四组符合题意的解是：，，，，所以这个自然数可以是：112+39=160，132+39=208，192+39=400，532+39=2848，答：此自然数可以是160、208、400、2848．【点评】本题考查了比较复杂数字问题和平方差公式的灵活应用，关键是通过分解质因数得出四种对应取值．三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）如图，圆周上均匀地标出十个点．将1～10这十个自然数分别放到这十个点上．用过圆心的一条直线绕圆心旋转，当线上没有标出的点时，就把1～10分成两组．对每种摆放方式，随着直线的转动有五种分组方式．对于每种分组都有一个两组数和的乘积，记五个积中最小的值为K．问所有的摆放中，K最大为多少？【分析】这10个数无论怎样摆放，它们的和是不变的，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，分成两组，分成的两组数的和越接近，所要求的积就越大．【解答】解：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=5555=27+28所以只要将10个数分成和是27和28的两部分，此时的积是27×28=756答：所有的摆放中，K最大是756．【点评】这是求最值问题，在和一定的情况下，分成的两数差越大，积就越小，两数差越小，积就越大．14．（15分）将每个最简分数（其中m，n 互质的非零自然数）染成红色或蓝色，染色规则如下：（1）将1染成红色；（2）相差为1的两个数颜色不同，（3）不为1的数与其倒数颜色不同．问：和分别染成什么颜色？【分析】首先分析1是红色，那么2是蓝色，可得奇数是红色，偶数是蓝色，再根据不为1的数与其倒数颜色不同倒过来即可．【解答】解：依题意可知：数字2和1的颜色不同，那么数字2是蓝色．根据染色规律可知奇数是红色，偶数是蓝色．7涂的是红色，又知与7的颜色不同，所以是蓝色的．2014是偶数，就涂的是红色．就是红色的．综上所述．是红色的，是蓝色的．【点评】本题是对染色问题的理解和运用，关键问题是理解题中的染色规律，问题解决．。

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学中年级组）（时间:2014年3月15日10:00～11:00）一、选择题(每小题10分,满分60分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.1.两个正整数的和小于100,其中一个是另一个的两倍,则这两个正整数的和的最大值是（）.（A ）83（B ）99（C ）96（D ）98【考点】应用题，和倍问题【分析】两数之和为3倍量，100以内满足条件的最大值是992.现有一个正方形和一个长方形,长方形的周长比正方形的周长多4厘米,宽比正方形的边长少2厘米,那么长比正方形的边长多（）厘米.（A ）2（B ）8（C ）12（D ）4【考点】几何，周长计算【分析】设正方形边长为a ，则周长为a 4，长方形周长为44+a ，长方形两长为则长为82)2(244+=--+a a a ，则长为4+a ，可见长比正方形的边长多4厘米.3.用8个3和1个0组成的九位数有若干个,其中除以4余1的有（）个.（A ）5（B ）6（C ）7（D ）8【考点】数论，整除问题【分析】能被4整除的数末两位必能被4整除，则除以4余1的数末两位必为33，这样的九位数前七位由6个3和1个0组成，共有6种不同组合方式.4.甲、乙、丙、丁、戊围坐在圆形桌子边玩扑克,甲有自己的固定座位.如果乙和丁的座位不能相邻,那么共有（）种不同的围坐方法.（A ）10（B ）8（C ）12（D ）16【考点】计数，排列组合5.新生开学后去远郊步行拉练,到达A 地时比原计划时间10点10分晚了6分钟,到达C 地时比原计划时间13点10分早了6分钟,A,C 之间恰有一点B 是按照原计划时间到达的,那么到达B 点的时间是（ ）.（A ）11点35分 （B ）12点5分 （C ）11点40分（D ）12点20分【考点】行程问题【分析】由于全程是匀速运动，所以从晚6分追到早6分，前半程和后半程所需时间是一样的，所以经过中点的时间应该是不变的，就是10点10分和13点10分的中点11点40分.6.右图中的正方形的边长为10,则阴影部分的面积为（）.（A）56 （B）44 （C）32 （D）【考点】几何，面积计算二、填空题(每小题10分,满分40分)7.爷爷的年龄的个位数字和十位数字交换后正好是爸爸的年龄,爷爷与爸爸的年龄差是小林年龄的 5倍.那么小林的年龄是（）岁.【考点】应用题，年龄问题8.五个小朋友A,B,C,D和E参加“快乐读拼音”比赛,上场时五个人站成一排．他们胸前有每人的选手编号牌,5个编号之和等于35.已知站在E,D,A,C右边的选手的编号的和分别为13,31,21和7.那么A,C,E三名选手编号之和是（）.【考点】杂题，推理【分析】显然右侧数字和越大的人位置越偏左，根据题意可知，E、D、A、C从左往右的顺序为：DAEC; C右边的选手为7，只能是未出镜的B为7，而最右侧的D应为4-；则243135=+ECA=+-7()4+35=9.用左下图的四张含有4个方格的纸板拼成了右下图所示的图形.若在右下图的16个方格分别填入1,3,5,7（每个方格填一个数）,使得每行、每列的四个数都不重复,且每个纸板内四个格子里的数也不重复,那么A,B,C,D四个方格中数的平均数是()．【考点】计算，数独10.在一个平面上,用若干个单位长度的木棍可以摆出由多个正方形相邻的图形,下图是一示例.现在用20根单位长的小木棍摆出一个图形,要求除第一行的方格外,下面几行方格构成一个长方形,那么这样的图形中最多有()个单位边长的正方形.【考点】组合，构造第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级B组）（时间:2014年3月15日8:00～9:00）一、选择题（每小题10分，满分60分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在答题卡相应题处．）1. 平面上的四条直线将平面分割成八个部分, 则这四条直线中至多有（）条直线互相平行．（A）0 （B）2 （C）3 （D）4考点：几何计数，平面分割2. 在下列四个算式中2÷CDAB,0==+JI JG,4A~代表=⨯FE,1-H=0～9中的不同数字，那么两位数AB不可能是（）．（A）54 （B）58 （C）92 （D）96考点：计算，数字迷，排除法3. 淘气用一张正方形纸剪下了一个最大的圆（如图甲），笑笑用一张圆形纸剪下了七个相等的最大圆（如图乙），在这两种剪法中，哪种剪法的利用率最高（利用率指的是剪下的圆形面积和占原来图形面积的百分率）下面几种说法中正确的是（）．（A）淘气的剪法利用率高（B）笑笑的剪法利用率高（C）两种剪法利用率一样（D）无法判断考点：几何，圆，平面几何中的比例问题4. 小华下午2点要到少年宫参加活动，但他的手表每个小时快了4分钟，他特意在上午10点时对好了表．当小华按照自己的表于下午2点到少年宫时，实际早到了（）分钟．（A）14 （B）15 （C）16 （D）17考点：行程，时钟，比例问题5. 甲乙丙丁四个人今年的年龄之和是72岁．几年前（至少一年）甲是22岁时，乙是16岁．又知道，当甲是19岁的时候，丙的年龄是丁的3倍（此时丁至少1岁）．如果甲乙丙丁四个人的年龄互不相同，那么今年甲的年龄可以有（）种情况．（A）4 （B）6 （C）8 （D）10考点：应用题，年龄问题6.有七张卡片，每张卡片上写有一个数字，这七张卡片摆成一排，就组成了七位数2014315．将这七张卡片全部分给甲、乙、丙、丁四人，每人至多分2张．他们各说了一句话：甲：“如果交换我卡片上的2个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是8的倍数”乙：“如果交换我卡片上的2个数字在七位数中的位置，那么新的七位数仍不是的倍数”丙：“如果交换我卡片上的2个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是10的倍数”丁： “如果交换我卡片上的2个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是11的倍数”已知四人中恰有一个人说了谎，那么说谎的人是（ ）．（A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）丁考点：数论，整除问题，推理二、填空题（每小题10分，满分40分．）7. 算式19225)54321(314123434311007÷-⨯+++++÷+÷⨯的计算结果是________． 考点：计算，繁分数计算8. 海滩上有一堆栗子，这是四只猴子的财产，它们想要平均分配．第一只猴子来了，它左等右等别的猴子都不来，便把栗子分成四堆，每堆一样多，还剩下一个，它把剩下的一个顺手扔到海里，自己拿走了四堆中的一堆．第二只猴子来了，它也没有等别的猴子，于是它把剩下的栗子等分成四堆，还剩下一个，它又扔掉一个，自己拿走一堆．第三只猴子也是如此，等分成四堆后，把剩下的一个扔掉，自己拿走一堆；而最后一只猴子来，也将剩下的栗子等分成了四堆后，扔掉多余的一个，取走一堆．那么这堆栗子原来至少有________个．考点：应用题，倒推还原9. 甲、乙二人同时从A 地出发匀速走向B 地，与此同时丙从B 地出发匀速走向A 地．出发后20分钟甲与丙相遇，相遇后甲立即调头；甲调头后10分钟与乙相遇，然后甲再次调头走向B 地．结果当甲走到B 地时，乙恰走过A 、B 两地中点105米，而丙离A 地还有315米．甲的速度是乙的速度的________倍，A 、B 两地间的路程是________米．考点：行程，比例行程10. 从1,2,3,…,2014中取出315个不同的数（不计顺序）组成等差数列，其中组成的等差数列中包含1的有________种取法；总共有________种取法．考点：计数：等差数列。

2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小中组）一、选择题（每小题10分，满分60分）1．（10分）两个正整数的和小于100，其中一个是另一个的两倍，则这两个正整数的和的最大值是（）A．83 B．99 C．96 D．982．（10分）现有一个正方形和一个长方形，长方形的周长比正方形的周长多4厘米，宽比正方形的边长少2厘米，那么长比正方形的边长多（）厘米．A．2 B．8 C．12 D．43．（10分）用8个3和1个0组成的九位数有若干个，其中除以4余1的有（）个．A．5 B．6 C．7 D．84．（10分）甲、乙、丙、丁、戊围坐在圆形桌子边玩扑克，甲有自己的固定座位．如果乙和丁的座位不能相邻，那么共有（）种不同的围坐方法．A．10 B．8 C．12 D．165．（10分）新生开学后去远郊步行拉练，到达A地时比原计划时间10点10分晚了6分钟，到达C地时比原计划时间13点10分早了6分钟，A，C 之间恰有一点B是按照原计划时间到达的，那么到达B点的时间是（）A．11点35分B．12点5分C．11点40分D．12点20分6．（10分）如图中的正方形的边长为10，则阴影部分的面积为（）A．56 B．44 C．32 D．78二、填空题（每小题0分，满分30分）7．（10分）爷爷的年龄的个位数字和十位数字交换后正好是爸爸的年龄，爷爷与爸爸的年龄差是小林年龄的5倍．那么小林的年龄是岁．8．（10分）五个小朋友A、B、C、D和E参加“快乐读拼音”比赛，上场时五个人站成一排．他们胸前有每人的选手编号牌，5个编号之和等于35．已知站在E、D、A、C右边的选手的编号的和分别为13、31、21和7．那么A、C、E三名选手编号之和是．9．用图1的四张含有4个方格的纸板拼成了图2所示的图形．若在图2的16个方格分别填入1，3，5，7（每个方格填一个数），使得每行、每列的四个数都不重复，且每个纸板内四个格子里的数也不重复，那么A，B，C，D四个方格中数的平均数是．10．（10分）在一个平面上，用若干个单位长度的木棍可以摆出由多个正方形相邻的图形，如图是一示例．现在用20根单位长的小木棍摆出一个图形，要求除第一行的方格外，下面几行方格构成一个长方形，那么这样的图形中最多有个单位边长的正方形．2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小中组）参考答案与试题解析一、选择题（每小题10分，满分60分）1．（10分）两个正整数的和小于100，其中一个是另一个的两倍，则这两个正整数的和的最大值是（）A．83 B．99 C．96 D．98【分析】因为一个数是另一个数的两倍，这就说明这两个数的和是另一个数的3倍，因此只要判断100以内3的最大的倍数是多少即可．【解答】解：根据3的倍数特征，不难判断83和98都不是3的倍数，99和96都是，但99＞96，所以这两个数的最大值是99．故选：B．2．（10分）现有一个正方形和一个长方形，长方形的周长比正方形的周长多4厘米，宽比正方形的边长少2厘米，那么长比正方形的边长多（）厘米．A．2 B．8 C．12 D．4【分析】显然长方形的周长比正方形的周长多4厘米，则长方形的长和宽比正方形的两条边长之和多2厘米，而宽比正方形的边长少2厘米，则长应该比正方形的边长多：2+2＝4厘米．【解答】解：根据分析，长方形的周长＝2×（长+宽），正方形的周长＝2×（边长+边长），∵长方形的周长比正方形的周长多4厘米，∴长方形的长和宽之和比正方形的两条边长之和多2厘米，宽比正方形的边长少2厘米，则则长应该比正方形的边长多：2+2＝4厘米．故选：D．3．（10分）用8个3和1个0组成的九位数有若干个，其中除以4余1的有（）个．A．5 B．6 C．7 D．8【分析】4的整除特性是只看后两位是4的倍数，只要满足后两位数除以4余数是1就是满足条件的数．只需要考虑0的位置即可．【解答】解：当尾数是033时，满足条件，其余数字都是唯一确定的有一个数字．当尾数是333时，9位数字中还有6位数字，0不能在首位，0的位置有5种情况．共5个数字．当尾数是03或者30都不满足条件．故选：B．4．（10分）甲、乙、丙、丁、戊围坐在圆形桌子边玩扑克，甲有自己的固定座位．如果乙和丁的座位不能相邻，那么共有（）种不同的围坐方法．A．10 B．8 C．12 D．16【分析】此题实际上就是按一定的顺序给乙、丙、丁、戊4人排位置．故可以：①将4人全排列坐法种数为：＝24．②乙丁相邻时排列分两步：第一步是先把2人捆绑为1人，此坐法种数是＝2；第二步是用捆绑的2人作为1人，再与丙、戊进行全排列，其排列做法种数为＝6．所以乙丁相邻时坐法种数是2×6＝12．③4人全排列坐法种数﹣乙丁相邻时坐法种数＝乙丁不相邻时的坐法种数．至此问题就解决了．【解答】解：将乙丙丁戊进行全排列坐法种数是＝4×3×2×1＝24．乙丁相邻时坐法种数是×＝2×1×3×2×1＝12．乙丁不相邻时坐法种数是24﹣12＝12故选：C．5．（10分）新生开学后去远郊步行拉练，到达A地时比原计划时间10点10分晚了6分钟，到达C地时比原计划时间13点10分早了6分钟，A，C 之间恰有一点B是按照原计划时间到达的，那么到达B点的时间是（）A．11点35分B．12点5分C．11点40分D．12点20分【分析】首先分析时间差为12分钟，那么要恰好准点，需要赶回第一个时间差6分钟即可．【解答】解：依题意可知：开始晚到6分，最后提前6分，那么时间差是12分．从起始点A到C共用时间是3小时．那么准点是时间就是需要时间差为6分钟的时候．6分钟和12分钟比较正好为一半的时间，即从10：10分开始过后的1.5小时正好是准时的．即时间是11：40分．故选：C．6．（10分）如图中的正方形的边长为10，则阴影部分的面积为（）A．56 B．44 C．32 D．78【分析】如下图进行切割，图中a、b、c、d 4个部分空白处面积和对应的阴影部分面积相等，找到这个等量关系即可解．【解答】解：如上图的方法进行切割，可知：图中a、b、c、d 4个部分空白处面积和对应的阴影部分面积相等；空白的面积＝（正方形面积﹣3×4的小长方形面积）÷2＝（10×10﹣3×4）÷2＝44；阴影部分面积＝正方形面积﹣空白的面积＝10×10﹣44＝56．故选：A．二、填空题（每小题0分，满分30分）7．（10分）爷爷的年龄的个位数字和十位数字交换后正好是爸爸的年龄，爷爷与爸爸的年龄差是小林年龄的5倍．那么小林的年龄是9 岁．【分析】设爷爷的年龄为＝10a+b，则爸爸的年龄为＝10b+a，根据“爷爷与爸爸的年龄差是小林年龄的5倍．”可得10a+b﹣（10b+a）＝9（a﹣b），所以9（a﹣b）是5的倍数，再根据a﹣b的值只能小于10，可以推算出小林的年龄．【解答】解：设爷爷的年龄为＝10a+b，则爸爸的年龄为＝10b+a，爷爷与爸爸的年龄差是：10a+b﹣（10b+a）＝9（a﹣b），因为爷爷与爸爸的年龄差是小林年龄的5倍，所以，9（a﹣b）是5的倍数，即（a﹣b）是5的倍数，又因为a﹣b＜10，所以a﹣b＝5，则小林的年龄只能是9岁．答：小林的年龄是 9岁．故答案为：9．8．（10分）五个小朋友A、B、C、D和E参加“快乐读拼音”比赛，上场时五个人站成一排．他们胸前有每人的选手编号牌，5个编号之和等于35．已知站在E、D、A、C右边的选手的编号的和分别为13、31、21和7．那么A、C、E三名选手编号之和是24 ．【分析】因为“站在E、D、A、C右边的选手的编号的和分别为13、31、21和7”，即小朋友的位置越靠左，右边的人数的越多，则编号之和越大，31＞21＞13＞7，所以EDAC四位小朋友的顺序从左到右为D、A、E、C．C 右边小朋友的编号和为7，说明C右边还有一位小朋友B，那么五位小朋友从做到右依次为D，A，E，C，B．D右边的和为31，所以D为35﹣31＝4A右边的和为21，所以A为35﹣21﹣4＝10，E右边的和为13，所以E为35﹣13﹣4﹣10＝8，C右边的和为7，所以C为35﹣7﹣4﹣10﹣8＝6C右边的和为7，所以B为7那么A、C、E三名选手编号之和是10+8+6＝24据此解答即可．【解答】解：根据分析知：右侧数字和越大的位置越向左，由题意可知：E，D，A，C，从左到右的顺序为DAEC．C右边的选手号为7，只能是B．而最右侧的D应为：35﹣31＝4所以：A+C+E＝35﹣（7+4）＝24故答案为：24．9．用图1的四张含有4个方格的纸板拼成了图2所示的图形．若在图2的16个方格分别填入1，3，5，7（每个方格填一个数），使得每行、每列的四个数都不重复，且每个纸板内四个格子里的数也不重复，那么A，B，C，D四个方格中数的平均数是 4 ．【分析】如图2，，根据每个纸板内四个格子里的数不重复，可得：A≠E，A≠F，B≠E，B≠F，所以A＝G，B＝H或A＝H，B＝G，所以G+H＝A+B，据此求出A，B，C，D四个方格中数的平均数是多少即可．【解答】解：如图2，，因为每个纸板内四个格子里的数不重复，所以A≠E，A≠F，B≠E，B≠F，所以A＝G，B＝H或A＝H，B＝G，所以G+H＝A+B，所以A，B，C，D四个方格中数是1，3，5，7（每个方格填一个数），所以A，B，C，D四个方格中数的平均数是：（1+3+5+7）÷4＝4．答：A，B，C，D四个方格中数的平均数是4．故答案为：4．10．（10分）在一个平面上，用若干个单位长度的木棍可以摆出由多个正方形相邻的图形，如图是一示例．现在用20根单位长的小木棍摆出一个图形，要求除第一行的方格外，下面几行方格构成一个长方形，那么这样的图形中最多有7 个单位边长的正方形．【分析】从上图可以看出，只要小正方形的边相邻，才能节省小木棍，摆成的图形越接近大正方形就越节省木棍．因此这题可以从2×2的正方形和3×3的正方形入手．从上图可以看出左边2×2的正方形需要12根木棍，右边3×3的正方形需要24根木棍，20根摆成的图形可以由3×3这个图形去掉一些木棍得到．【解答】解：将上面3×3这个图形去掉4根木棍得到下图故此题填7声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:46:58；用户：小学奥数；邮箱：****************；学号：20913800第11页（共11页）。