第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定第3课时矩形的性质判定与其他知识的综合作业课件新版北师大版

第一章特殊平行四边形2．矩形的性质与判定（三）一、学生起点分析学生在八年级已经学习了平行四边形的性质和判定，本学期也学习了一种特殊的平行四边形——菱形的性质和判定；本节前两课时，学生学习了矩形的性质与判定；本课时在前面学习的基础上进行矩形知识的综合应用。

在前面相关知识的学习中，学生已经经历了大量的证明活动，特别是平行四边形的相关证明推理，学生已经逐渐体会到了证明的必要性和证明在解决实际问题时的作用，同时，在前面的相关活动中，学生已经初步了解了归纳、概括及转化等数学思想方法，大量的活动经验丰富了学生的数学思想，锻炼了学生的能力，使学生具备了在解题中合理运用方法的能力。

二、教学任务分析课本基于目前学生的知识和能力水平，对本课内容提出了具体的学习任务：进一步发展推理论证能力，运用综合法证明矩形的性质和判定定理，进一步体会证明的必要性和作用，体会归纳等数学思想方法。

对于本节课的知识，教科书提出的学习任务，重点集中在了学生的能力培养上，因为本节课的知识，对学生来说从认知角度上缺乏挑战性，大部分学生都已经能够熟练运用矩形的性质和判定方法，所以，在教学时，我们应该把目标上升一个层次，从关注学生是否能证明这些定理提高到关注学生如何找到解题思路，从关注学生是否能顺利证明提高到关注学生是否合理严密的使用数学语言严格证明，从关注学生合作解题提高到让每一个学生都能独立完成证明的过程。

能力培养不仅是本节课教学过程中的近期目标，更是为今后学生学习数学知识打下基础的远景目标，能力的培养也必然带动学生情感态度目标的达成。

同时，在教学中，还必须注意对不同层次的学生制定不同的教学任务，做到让每一个学生都能在课堂上有所收获。

为此，本节课我们要达到的具体教学目标为：知识与技能：①知识目标：能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论；提高实际动手操作能力。

②能力目标：经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；过程与方法：通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科 学，增强学生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。

九年级数学上册知识点归纳第一章特殊平行四边形1.菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

2.矩形的性质与判定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。

矩形是特殊的平行四边形。

※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。

（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。

对角线相等的平行四边形是矩形。

四个角都相等的四边形是矩形。

※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3.正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图所示)：※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。

※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

※夹在两条平行线间的平行线段相等。

※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半第二章一元二次方程1.认识一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=bxax（a、+c+b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。

※把02=bxax（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一+c+般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。

第一章特殊平行四边形1.2 《矩形的性质与判定》第3课时教学设计【设计理念】根据新课程标准要求，学生学习数学的重要方式是动手实践、自主探索与合作交流。

学生是学习活动的主体，教师是学生学习的组织者、引导者与合作者。

结合九年级学生的实际情况，本节课教学过程的教学设计分以下几点：1、充分考虑了为学生提供动手实践、研究探讨的时间与空间，让学生经历知识发生、发展的全过程，并能学以致用。

2、根据本节课的特点，适当、适量设置例题、习题，使整个课堂教学设计体现了活动性、开放性、探究性、合作性、生成性。

3、教师始终起到启发、点拨、纠偏、示范的作用。

4、学生积极参与到课堂教学中来，动手动口动脑相结合，使他们“听”有所思，“学”有所获．【教材分析】1．在教材中的地位与作用生活中随处可见矩形，矩形的应用非常广泛。

前面两节学习了矩形的性质与判定，为以后进一步研究其他图形奠定基础，与矩形相关的问题也是考查的热点。

2．对教材的处理本节课主要是应用矩形的性质定理与判定定理解决相关问题，利用这节课来培养学生自主学习、合作学习、主动获取知识的能力。

转变学生的学习方式，使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程，亲身体验数学思想方法及数学观念，培养学生能力，促进学生发展在选题时, 遵循学生的认识规律, 照顾学生的接受能力, 配置由浅入深、由易到难的练习题。

教学中，通过有效措施让学生在对解决问题过程的反思中，获得解决问题的经验，进行富有个性的学习。

3．教学目标知识与技能：通过探索与交流，已经得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的发生过程，并会运用定理解决相关问题。

通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法。

过程与方法：通过动手实践、合作探索、小组交流，培养学生的逻辑推理能力。

情感态度与价值观：在良好的师生关系下，创设轻松的学习氛围，使学生在数学活动中获得成功的体验，增强自信心，在合作学习中增强集体责任感。

4.教学重点与难点重点：理解矩形判定定理的应用.难点：矩形判定定理的应用.【教学方法与教学手段】1．教学方法探究发现、合作学习的方法.2．教学手段采用多媒体辅助教学，促进学生自主学习，提高学习效率.【教学过程】环节一：回顾交流，温故知新通过上节课对矩形的学习，谁能回答以下问题1、矩形是特殊的平行四边形，它具有哪些性质？（通过对矩形定义及性质的回顾，引出判定矩形除了定义外，还有哪些方法，导入新课。

第1课时矩形的性质课时目标1.理解矩形的定义,体会矩形与平行四边形之间的联系,并能通过推理得到矩形的性质.2.理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,并能熟练运用矩形的性质.3.经历探索矩形的有关性质的过程,在直观操作活动和简单的说理过程中发展学生的合情推理能力和主动探究习惯,逐步掌握说理的基本方法.学习重点矩形的定义及其性质的发现过程.学习难点矩形的性质在解决问题中的应用.课时活动设计情境导入如图,利用一个活动的平行四边形的教具进行演示,使平行四边形的一个内角变化,让学生注意观察,在演示过程中让学生思考.1.在运动过程中,四边形还是平行四边形吗?(是平行四边形)2.在运动过程中,四边形不变的是什么?(两组对边仍保持相等且平行)3.在运动过程中,四边形改变的是什么?(角的大小)4.在改变过程中,角的度数有特殊值吗?这时的平行四边形是什么图形?(有特殊值是90°,此时平行四边形是矩形)总结矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(如图).设计意图:从学生已掌握的知识出发,通过教具演示,让学生经历矩形概念的探究过程,自然而然地形成矩形的概念.探究一1.矩形既然是平行四边形,那么它具有平行四边形的哪些性质呢?类别性质边角对角线矩形对边平行且相等对角相等对角线互相平分2.请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考.(1)矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?(是,2条)(2)矩形是不是中心对称图形?如果是,那么对称中心是什么?(是,两条对角线的交点)3.矩形是特殊的平行四边形,它还具有哪些特殊性质?学生小组内交流、讨论,教师在学生回答的基础上,引导学生得出结论.总结矩形的性质定理1:矩形的四个角都是直角.矩形的性质定理2:矩形的对角线相等.4.怎样证明你的结论?已知:如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O.求证:(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;(2)AC=DB.证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等),AB∥DC(矩形的对边平行).∴∠ABC+∠BCD=180°.又∵∠ABC=90°,∴∠BCD=90°.∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.(2)∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC(矩形的对边相等).在△ABC和△DCB中,∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,∴△ABC≌△DCB.∴AC=DB.设计意图:在观察、测量、猜测的基础上,学生较易得出结论.但结论是否真的正确,必须经过严谨的证明.该环节旨在培养学生规范书写推理过程.巩固训练1.归纳概括矩形的性质.边角对角线对称性矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线相等且互相平分既是轴对称图形,又是中心对称图形2.矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是(C)A.对角相等B.对边相等C.对角线相等D.对角线互相平分设计意图:在前面学习了菱形的基础上学生已经知道怎么研究图形的对称性,在知道方法的条件下,学生可以通过自己的操作、观察、猜想得到矩形的对称特征,这对学生来说是有意义的活动,也会很感兴趣.探究二问题探究:如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,那么BO是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段?它与AC有什么大小关系?由此你能得到怎样的结论?学生小组交流、讨论,教师引导,共同得出结论.总结定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.教师板书定理内容,学生表述,教师引导并板书证明过程.做一做:如图,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线.(1)若BD=3cm,则AC=6cm;(2)若∠C=30°,AB=5cm,则AC=10cm,BD=5cm.设计意图:先从矩形的对角线相关性质推出直角三角形的性质,达到“学数学,用数学”的目的,再通过“做一做”,让学生掌握“在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质,达到学以致用的目的,培养了学生的应用意识.典例精讲例如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5,求这个矩形对角线的长.解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角),AC=BD(矩形的对角线相等),OA=OC12AC,OB=OD=12BD(矩形的对角线互相平分).∴OA=OD.∵∠AOD=120°,∴∠ODA=∠OAD12×(180°-120°)=30°.∴BD=2AB=2×2.5=5.设计意图:这个例题主要是运用矩形的角和对角线的性质来解决问题.如何熟练、灵活地运用矩形的性质解决实际问题是关键.课堂小结本节课你学到了什么?①矩形的定义.②矩形的性质.③直角三角形的性质.④矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形;矩形的两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形.因此,有关矩形的问题往往可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决.设计意图:通过小结,让学生梳理学习内容,明确本节课的重点知识以及应该掌握的解题方法和技巧,使教师能够及时地了解学生对本节课的重点知识以及解题方法和技巧的掌握情况.课堂8分钟.1.教材第13页习题1.4第1,2,3题.2.七彩作业.第1课时矩形的性质1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形.2.矩形的性质:四个角都是直角;对角线相等.3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.教学反思第2课时矩形的判定课时目标1.熟练运用矩形的定义和判定定理判定四边形是矩形,体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法.2.经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展推理论证的能力.3.通过学生独立完成证明的过程,让学生体会数学是严谨的科学,培养学生对待科学的严谨治学态度,从而养成良好的习惯.学习重点能够用综合法证明矩形的判定定理.学习难点灵活运用矩形的性质和判定定理及其相关结论解决问题.课时活动设计情境导入课前准备小木板和橡皮筋,制作一个如图所示的平行四边形的活动框架.在一个平行四边形活动框架上,用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上,拉动一对不相邻的顶点时,平行四边形的形状会发生什么变化?设计意图:这个活动以比较有趣的形式激发学生对本节知识的学习兴趣.同时,使学生清楚地认识到平行四边形与特殊平行四边形之间的关系,为后面研究特殊的平行四边形提供有力的支持.探索新知问题:(1)上述情境中,随着∠α的变化,两条对角线的长度将发生怎样的变化?(2)上述情境中,当两条对角线相等时,平行四边形有什么特征?由此你能得到一个怎样的猜想?学生以小组为单位展开实践活动,根据实践的结果回答上面的问题.然后对比前面所学的平行四边形及菱形的判定定理的证明过程,小组合作完成矩形的判定定理的证明,并进行交流.总结定理1:对角线相等的平行四边形是矩形.学生小组内交流、讨论,教师引导并板书定理1的证明过程.已知:如图,在▱ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC=DB.求证:▱ABCD是矩形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AB∥DC.又∵BC=CB,AC=DB,∴△ABC≌△DCB.∴∠ABC=∠DCB.∵AB∥DC,∴∠ABC+∠DCB=180°.∴∠ABC=∠DCB12×180°=90°.∴▱ABCD是矩形(矩形的定义).想一想:我们知道,矩形的四个角都是直角.反过来,一个四边形至少有几个角是直角时,这个四边形就是矩形呢?学生先猜想,再小组讨论,将讨论的结果进行证明.总结定理2:有三个角是直角的四边形是矩形.已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求证:四边形ABCD是矩形.证明:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.∴AD∥BC,AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.∴四边形ABCD是矩形.设计意图:对于矩形的性质,学生已经非常熟悉,也容易得到矩形的判定定理.通过教师引导及学生自主思考,培养学生独立解决问题的良好习惯;通过思路分析,提高学生推理论证的能力.议一议你有什么方法检查你家(或教室)刚安装的门框是不是矩形?如果仅有一根较长的绳子,你怎样检查?请说明检查方法的合理性,并与同伴交流.检查的方法:先用绳子测量门框的两组对边是否分别相等,若相等,则可判定其为平行四边形;再用绳子测量门框的对角线是否相等,若相等,则可肯定门框是矩形.理由是对角线相等的平行四边形是矩形.设计意图:通过“议一议”,让学生深入理解矩形的判定,且能够灵活运用判定去解决生活中的问题,提高学生分析问题和解决问题的能力.巩固训练1.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,△ABO是等边三角形,AB=4,求▱ABCD的面积.解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.又∵△ABO是等边三角形,∴OA=OB=AB=4.∴OA=OB=OC=OD=4.∴AC=BD=2OA=2×4=8.∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).∴∠ABC=90°(矩形的四个角都是直角).在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB2+BC2=AC2,∴BC=B2-B2=82-42=43∴S▱=AB·BC=4×43=163.ABCD2.已知:如图,在▱ABCD中,M是AD边的中点,且MB=MC.求证:四边形ABCD是矩形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC.∵M为AD的中点,∴AM=DM.在△ABM和△DCM中,AM=DM,MB=MC,AB=DC.∴△ABM≌△DCM.∴∠A=∠D.∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°.∴∠A=90°.∴四边形ABCD是矩形.设计意图:通过练习题进一步巩固矩形的判定定理,提高学生的逻辑推理能力.课堂小结学生互相交流矩形的判定定理;如何选择判定定理;矩形与平行四边形的关系;遇到矩形实际题目时如何分析思路,以及遇到困难时如何克服等.设计意图:鼓励学生结合前面的准备活动畅所欲言自己的感受和收获,让学生在不知不觉中提高自己的推理论证能力.课堂8分钟.1.教材第16页习题1.5第1,2,3题.2.七彩作业.第2课时矩形的判定1.矩形的判定定理:对角线相等的平行四边形是矩形.有三个角是直角的四边形是矩形.2.例题.教学反思第3课时矩形的性质与判定的综合应用课时目标1.掌握矩形的性质及判定,理解证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法.2.综合运用矩形的性质定理和判定定理,进一步提升学生的应用能力与证明能力.3.在探究的过程中培养学生独立思考的习惯,在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法,在解决问题的过程中让学生深刻感受到数学的实用性.学习重点矩形的性质及判定的运用.学习难点综合运用矩形的性质及判定定理.课时教学活动复习导入1.已知:如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5cm,2.则∠DAO=30°,AC=5cm,S矩形ABCD第1题图第2题图2.如图,四边形ABCD是平行四边形,添加一个条件AC=BD(答案不唯一),可使它成为矩形.设计意图:通过两道题目来复习矩形的性质和判定,为本节课知识的学习做好铺垫.典例精讲例1如图,在矩形ABCD中,AD=6,对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为E,ED=3BE.求AE的长.解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°(矩形的四个角都是直角),AC=BD(矩形的对角线相等).∴AO=CO12AC,BO=DO=12BD(矩形的对角线互相平分).∴AO=BO=DO12BD.∵ED=3BE,∴BE=OE.又∵AE⊥BD,∴AB=AO.∴AB=AO=BO,即△ABO是等边三角形.∴∠ABO=60°.∴∠ADB=90°-∠ABO=90°-60°=30°.∴AE12AD=12×6=3.例2如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的一条角平分线,AN为△ABC的外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为E.求证:四边形ADCE是矩形.证明:∵AD平分∠BAC,AN平分∠CAM,∴∠CAD12∠BAC,∠CAN=12∠CAM.∴∠DAE=∠CAD+∠CAN12(∠BAC+∠CAM)=12×180°=90°.在△ABC中,∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°.又∵CE⊥AN,∴∠CEA=90°.∴四边形ADCE为矩形(有三个角是直角的四边形是矩形).设计意图:例题可以让学生对矩形的性质和判定有更深刻地认知,并通过教师引导和学生独立思考,逐步培养学生的推理论证能力,运用已有的知识解决问题和分析问题的能力.巩固训练1.在例2中,连接DE,交AC于点F(如图).(1)试判断四边形ABDE的形状,并证明你的结论.(2)线段DF与AB有怎样的关系?请证明你的结论.分析:该题的综合性比较强,对于不同层次的学生,解题方法也会有区别,教师都应该鼓励学生大胆尝试,用自己的方法去解决.解:(1)四边形ABDE是平行四边形.证明:由例2,知四边形ABDE为矩形,∴AE=CD,AC=DE.又∵AB=AC,BD=CD,∴AB=DE,AE=BD.∴四边形ABDE是平行四边形.(2)DF∥AB,且DF=12AB.证明:∵四边形ADCE为矩形,∴AF=CF.∵BD=CD,∴DF是△ABC的中位线.∴DF∥AB,且DF=12AB.2.已知:如图,四边形ABCD是由两个全等的等边三角形ABD和等边三角形CBD组成,M,N分别是BC和AD的中点.求证:四边形BMDN是矩形.证明:∵△ABD和△BCD是两个全等的等边三角形,∴AD=BD=AB=BC,∠ADB=∠DBC=60°.∴ND∥BM.∵M,N分别是BC和AD的中点,∴ND12AD,BM=12BC.∴ND=BM.∴四边形BMDN是平行四边形.∵△BCD是等边三角形,M是BC的中点,∴DM⊥BC.∴∠DMB=90°.∴四边形BMDN是矩形.注意事项:在证明过程中,对于重点步骤,应该要求学生写明理由,同时,还要关注学生的证明过程是否严谨清晰.设计意图:通过练习题进一步巩固矩形的判定定理和性质定理的综合应用,提高学生的逻辑推理能力.课堂小结1.矩形有哪些性质和判定定理?.2.如何选用矩形的性质,判定定理解决问题?设计意图:鼓励学生对于本节课的学习感受和收获畅所欲言,让学生在不知不觉中提高自己的推理论证能力.课堂8分钟.1.教材第18~19页习题1.6第1,2,3,4题.2.七彩作业.第3课时矩形的性质与判定的综合应用1.矩形的性质与判定.2.例题.教学反思。