八年级数学-18.2.1_第1课时_矩形的性质

18.2.1 矩形第1课时 矩形的性质课前预习1.矩形的定义：有一个角是 的平行四边形叫做矩形，也就是长方形.2.矩形的性质：矩形的对边 ；矩形的四个角都是 ；矩形的对角线 .【数学表述】如图1，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB 平行且等于 ，AD 平行且等于 ，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC= ， AO= =21 ，BO= =21 ，AC BD.3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的 .【数学表述】如图2，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，点D 为AC 的中点，则BD= AC.注意：图1中，∵OA=OB=OC=OD，∴根据等底等高的三角形面积相等，得S △AOB =S △BOC =S △COD =S △AOD =41S 矩形ABCD .图2中，∵AD=CD，∴S △ABD =S △BCD =21S △ABC .课堂练习知识点1 矩形的定义和性质1.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOD＝120°，AB ＝2，则矩形的对角线AC 的长是___ ___.2.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A.对边相等B.对角相等C.对角线相等D.对角线互相平分3. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接AF，CE.求证：（1）△BEC≌△DFA；（2）四边形AECF是平行四边形.知识点2 直角三角形斜边上的中线4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点.若CD=5，则EF的长为___ ___.5.（2020曲靖期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，AB=4，D 为BC的中点，延长AD至点E，使DE=AD，则△ACE的面积是（）课时作业练基础1.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，图中有___ __个直角三角形，有__ _个等腰三角形.2.如图，在△ABC中，∠ABC = 90°，BD是斜边AC上的中线.（1）若BD=3 cm，则AC =___ ___cm；（2）若∠C=30°，AB = 5 cm，则AC =___ ___cm，BD =___ ___cm.3.我们把两条对角线所成两个角的大小之比是1∶2的矩形叫做“和谐矩形”，如果一个“和谐矩形”的对角线长为10 cm，则矩形的面积为_____ cm2.4.在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，那么△AOB的面积为___ _，周长为 __.5.（2020昆明期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为___ ___.6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE=BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF.若AC=8，BC=6，则BF的长为（）A.2B.2.5C.3D.47. 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M为AD的中点.若OM=3，BC=10，则OB的长为（）8.（2020西山区期末）如图，在矩形ABCD中，BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（）A.8916B.5C.245D.39.如图，在矩形ABCD中，若AB=6，AD=4，E是AB的中点，连接DE，CE.求△CDE 的周长.提能力10.（2020大理期末）如图，矩形ABCD的长为8，宽为6，现将矩形沿对角线BD 折叠，C点到达C′处，C′B 交AD于点E.（1）判断△EBD的形状，并说明理由；（2）求DE的长.。

18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形 第1课时 矩形的性质学习目标：1、记忆矩形的定义；2、能结合图形说出矩形的性质； 重难点：利用矩形的性质解决一些简单的实际问题。

学习过程一、看课本回答下列问题。

1、 叫做矩形。

矩形是 的平行四边形。

2、从矩形的定义中可以发现：两层意义1 ， 2二、探究矩形的性质1、从矩形的意义可以探究矩形具有的性质： 矩形的对角（1）矩形具有平行四边形具有的一切性质 矩形的对边 矩形的对角线互相（2） 矩形是轴对称图形，有（ ）条对称轴。

（3）矩形与平行四边形比较又有其特殊的性质（探究、归纳）：①如右图：矩形ABCD 的四个角都是几何语言 ：∵ ABCD 是矩形 ∴∠A =∠B=∠ =∠ =90②如图，矩形ABCD 的两条对角线AC 、BD 交于O 点，你能猜出AC=BD 吗？证明你的猜想。

证明：由此矩形的对角线几何语言 ： ∵ ABCD 是矩形∴对角线 A C =（4）练习：结合图形1我能说出矩形的一些性质：（1）边：AB= ，AD=（2）角：ABC ∠= = = =︒90（3）对角线：AC= ， A C B D D O CB A A CB DOA= = = =21 =21（4）在图1中有 对全等的三角形，它们分别是 ；（5）图1中有 个等腰三角形，它们分别是三、探究直角三角形的性质 如图：矩形ABCD 的一条对角线将它分成 部分， 两条对角线将它分成 部分， 有哪几种特殊的三角形？由此推断：OA 、OB 、OC 、OD 有什么大小关系？ = = = = 21 =21从矩形的性质可以得到：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 。

几何语言: ∵BO 是斜边AC 上的中线 ∴ B O=四、课后作业1、下列命题是假命题的是（ ）A 、 矩形的四个角是直角B 、矩形的对边平行且相等C 、矩形的对角线互相平分且相等D 、平行四边形的对角线互相平分且相等五、课堂小结六、课后反思C2、如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB =60°，AB =4cm, （1） 求矩形对角线的长？（2） 求矩形的周长？ 解：。

18．2特殊的平行四边形18．2.1矩形第1课时矩形的性质1．理解并掌握矩形的性质定理及推论；(重点)2．会用矩形的性质定理及推论进行推导证明；(重点) 3．会综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明与计算．(难点)一、情境导入如图，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点D，你会发现什么？可以发现，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状．我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形，如图所示．二、合作探究探究点一：矩形的性质【类型一】运用矩形的性质求线段或角在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24cm，则AB长为()A．1cm B．2cmC．2.5cm D．4cm解析：在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°.根据矩形的性质得到△ABO≌△OCD，则OA＝OD，∠DAO＝45°，所以∠BOA＝∠BAO＝45°，即BC＝2AB.由矩形ABCD的周长为24cm，得2AB＋4AB＝24cm，解得AB＝4cm.故选D.方法总结：解题时矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．【类型二】运用矩形的性质解决有关面积问题如图，矩形ABCD的对角线的交点为O，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F，则图中阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的()A.15 B.14 C.13 D.310解析：∵在矩形ABCD中，AB∥CD，OB＝OD，∴∠ABO＝∠CDO.在△BOE和△DOF中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABO＝∠CDO，OB＝OD，∠BOE＝∠DOF，∴△BOE ≌△DOF (ASA)，∴S △BOE ＝S △DOF ，∴S阴影＝S △AOB ＝14S 矩形ABCD .故选B.方法总结：运用矩形的性质，通过证明全等三角形进行转化，将求不规则图形的面积转化为求简单图形面积是解题的关键．【类型三】 运用矩形的性质证明线段相等如图，在矩形ABCD中，以顶点B 为圆心、边BC 长为半径作弧，交AD 边于点E ，连接BE ，过C 点作CF ⊥BE 于F .求证：BF ＝AE .解析：利用矩形的性质得出AD ∥BC ，∠A ＝90°，再利用全等三角形的判定得出△BFC ≌△EAB ，进而得出答案．证明：在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，∴∠AEB＝∠FBC .∵CF ⊥BE ，∴∠BFC ＝∠A ＝90°.由作图可知，BC ＝BE .在△BFC 和△EAB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠CFB ，∠AEB ＝∠FBC ，EB ＝BC ，∴△BFC ≌△EAB (AAS)，∴BF ＝AE .方法总结：涉及与矩形性质有关的线段的证明，可运用题设条件结合三角形全等进行证明，一般是将两条线段转化到一对全等三角形中进行证明．【类型四】 运用矩形的性质证明角相等如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.求证：AE平分∠BAD.解析：要证AE平分∠BAD，可转化为△ABE为等腰直角三角形，得AB＝BE.又AB＝CD，再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边，根据全等三角形的判定和矩形的性质，即可求证．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，∴∠BEF＋∠BFE＝90°.∵EF⊥ED，∴∠BEF＋∠CED＝90°.∴∠BFE＝∠CED，∴∠BEF＝∠EDC.在△EBF与△DCE中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFE＝∠CED，EF＝ED，∠BEF＝∠EDC，∴△EBF≌△DCE(ASA)．∴BE＝CD.∴BE＝AB，∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∴∠EAD＝45°，∴∠BAE＝∠EAD，∴AE平分∠BAD.方法总结：矩形的问题可以转化到直角三角形或等腰三角形中去解决．探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；(2)求证：EF垂直平分AD.解析：(1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得DE＝AE＝1 2AB，DF＝AF＝12AC，再根据四边形的周长的公式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明即可．(1)解：∵AD是△ABC 的高，E、F分别是AB、AC的中点，∴DE＝AE＝12AB＝12×10＝5，DF＝AF＝12AC＝12×8＝4，∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；(2)证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E、F在线段AD 的垂直平分线上，∴EF垂直平分AD.方法总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．三、板书设计1．矩形的性质矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．2．直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．通过多媒体演示知识的探究过程，让学生在体验、实践的过程中有更直观地认识，扩大认知结构，发展能力，更好地理解平行四边形与矩形之间的从属关系和内在联系，使课堂教学真正落实到学生的发展上．。