3.4 第3课时 体育竞技与行程问题

小升初奥数之大体行程问题咱们把研究路程、速度、时刻和这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题.在三年级的学习中，咱们已经接触过一些简单的行程应用题，行程问题主要涉及时刻（t）、速度（v）和路程（s）这三个大体量，它们之间的关系如下：（1）速度×时刻=路程可简记为：s=vt（2）路程÷速度=时刻可简记为：t=s÷v（3）路程÷时刻=速度可简记为：v=s÷t显然，明白其中的两个量就可以够求出第三个量.关于平均速度的计算，需要明白整个进程的总路程与总时刻，平均速度=总路程÷总时刻（一）直接利用行程问题大体关系解决的行程问题：【例1】龟、兔进行1000米的赛跑.小兔斜眼瞅瞅乌龟，心想：“我小兔每分钟能跑100米，而你乌龟每分钟只能跑10米，哪是我的对手.”比赛开始后，当小兔跑到全程的一半时，发觉把乌龟甩得老远，便毫不介怀地躺在隔壁睡着了.当乌龟跑到距终点还有40米时，小兔醒了，拔腿就跑.请同窗们解答两个问题：（1）它们谁胜利了？为何？（2）胜者到终点时，另一个距终点还有几米？分析：（1）乌龟胜利了．因为兔子醒来时，乌龟离终点只有40米，乌龟需要40÷10=4（分钟）就可以抵达终点，而兔子离终点还有500米，需要500÷100=5（分钟）才能抵达，所以乌龟胜利了.（2）乌龟跑到终点还要（40÷10）=4（分钟），而小兔跑到终点还要1000÷2÷100=5（分钟），慢1分钟．当胜利者乌龟跑到终点时，小兔离终点还有：100×1=100（米）．【例2】解放军某部开往边境，原计划需要行军18天，实际平均天天比原计划多行12千米，结果提前3天抵达，这次共行军多少千米？分析：“提前3天抵达”可知实际需要18-3=15天的时刻，而“实际平均天天比原计划多行12千米”，则15天内总共比原来15天多行的路程为：12×15=180千米，这180千米正好填补了原来3天的行程，因此原来天天行程为180÷3=60千米，问题就可以很容易求解.原来的速度为：（18-3）×12÷3=60（千米/天），因此总行程为：60×18=1080（千米）（二）平均速度【例3】摩托车驾驶员以每小时30千米的速度行驶了90千米抵达某地，返回时每小时行驶45千米，求摩托车驾驶员来回全程的平均速度.分析：要求来回全程的平均速度是多少，必需明白摩托车“往”与“返”的总路程和“往”与“返”的总时刻.摩托车“往”行了90千米，“返”也行了90千米，所以摩托车的总路程是：90×2=180（千米），摩托车“往”的速度是每小时30千米，所历时刻是：90÷30=3（小时），摩托车“返”的速度是每小时45千米，所历时刻是：90÷45=2（小时），来回共历时刻是：3+2=5（小时），由此可求出来回的平均速度，列式为：90×2÷（90÷30+90÷45）=180÷5=36（千米/小时）【例4】胡老师骑自行车过一座桥，上桥速度为每小时12千米，下桥速度为每小时24千米，而且上桥与下桥所通过的路程相等，中间也没有停顿，问那个人骑车过这座桥的平均速度是多少？分析：题目中没有告知咱们总的路程，给计算带来不便，仔细想一想，只要上下桥路程相等，总路程是不影响平均速度的，咱们自己设一个路程好了，不妨设为48千米，来回两段路，所以每段路程为：48÷2=24（千米），总时刻是：24÷12+24÷24=3（小时），所以平均速度是：48÷3=16（千米/小时）【例5】甲、乙两地相距6720米，某人从甲境界行去乙地，前一半时刻平均每分钟行80米，后一半时刻平均每分钟行60米.问他走后一半路程用了多少分钟？[!]分析：（方式1）由于前一半时刻与后一半时刻的平均速度是已知的，因此能够计算出这人步行的时刻．而若是了解清楚各段的路程、时刻与速度，题目结果也就自然地被计算出来了．应指出，若是前一半时刻平均速度为每分钟80米，后一半时刻平均速度为每分钟60米，则那个人从甲走到乙的平均速度就为每分钟走(80+60)÷2=70米．这是因为一分钟80米，一分钟60米，两分钟一共140米，平均每分钟70米．而每分钟走80米的时刻与每分钟走60米的时刻相同，所以平均速度始终是每分钟70米．如此，就可以够计算出那个人走完全程所需要的时刻是6720÷70=96分钟．由于前一半时刻的速度大于后一半时刻的速度，所以前一半的时刻所走路程大于6720÷2=3360米．则前一个3360米用了3360÷80=42分钟；后一半路程所需时刻为96-42=54分钟．（方式2）设走一半路程时刻是x分钟，则80x+60x=6720，解方程得：x=48分钟，因为80×48=3840（米），大于一半路程3360米，所以走前一半路程速度都是80米，时刻是3360÷80=42（分钟），后一半路程时刻是48+（48-42）=54（分钟）.【例6】有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，而且上坡、平路及下坡的路程相等.某人骑电动车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度别离为11米／秒、22米／秒和33米／秒，求他过桥的平均速度.分析：假设上坡、平路及下坡的路程均为66米，（引导学生试探设为66的原因），那么总时刻=66÷11+66÷22+66÷33=6+3+2=11（秒），过桥的平均速度=66×3÷11=18（米/秒）.。

六年级体育行程问题之相遇和追击
简介
本文档将讨论六年级体育行程中可能出现的相遇和追击的问题，并提供解决方案和建议。

问题描述
在六年级体育行程中，相遇和追击的问题可能会给学生和老师
带来一些困扰。

这些问题可能包括：
1. 学生在不同活动点相遇时如何协调行动？
2. 学生在活动中如何避免追击出现的混乱局面？
3. 如何确保学生在追击游戏中的安全？
解决方案
为了解决上述问题，我们可以采取以下措施：
1. 提前计划：在活动开始前，学生和老师应进行详细的行程计划，包括每个活动点的时间安排。

这样可以避免不必要的相遇和追击。

2. 沟通合作：学生在活动开始前应被告知如何相互沟通和合作。

他们可以利用手势、暗号或无声指示来传递信息，以避免在相遇和
追击中出现混乱。

3. 安全保障：在追击游戏中，学生应始终注意周围环境，避免
发生意外。

老师应提前规定安全规则，并确保学生遵守，以确保他
们的安全。

建议
为了顺利完成六年级体育行程中的相遇和追击，我们建议：
1. 学生需要遵守老师的指示，并遵守安全规则，以确保活动的
顺利进行，并保证他们自己的安全。

2. 老师应与学生密切配合，提前沟通好行程计划和安全规则，
并在活动期间保持联系。

3. 学生和老师可以在活动之前进行演练和模拟，以熟悉相遇和
追击的场景，提高应对能力。

通过以上措施和建议，我们相信六年级体育行程中的相遇和追击问题将会得到解决，让活动更加顺利和安全。

人教版2020年七年级上第三章一元一次方程3.4实际问题与一元一次方程课时3积分问题与行程问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在2019年女排世界杯比赛中，中国队以11场全胜积32分的成绩成为女排世界杯五冠王、女排世界杯比赛积分规则如表所示，若中国队以大比分3：2取胜的场次有x场，则根据以上信息所列方程正确的是（）A．3x+2x＝32B．3（11﹣x）+3（11﹣x）+2x＝32C．3（11﹣x）+2x＝32D．3x+2（11﹣x）＝322．父亲与小强下棋（设没有平局），父亲胜一盘记2分，小强胜一盘记3分，下了10盘后，两人得分相等，则小强胜的盘数是（）A．2 B．3 C．4 D．53．甲、乙两人从同一地点出发前往某地，若乙先走2小时，甲从后面追赶，当甲追上乙时（）A．甲比乙多走2小时B．甲、乙两人行走路程之和等于出发地到相遇点的距离C．乙走的路程比甲多D．甲、乙两人行走的路程相等4．从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲乙两地相距x千米，可列方程（）A ．408 3.6x x -=B ．4083.6x=- C ．3.6840x x -= D ．3.6408x x-= 5．如图所示，两人沿着边长为90 m 的正方形，按A →B →C →D →A …的方向行走，甲从A 点以65 m/min 的速度、乙从B 点以75 m/min 的速度行走，当乙第一次追上甲时，将在正方形的（ ）边上．A ．BCB ．DC C ．AD D ．AB二、填空题6．一张试卷只有25道选择题，做对一题得4分，未做或做错一题倒扣1分，某同学做了全部试题共得85分，他做对了________道题．7．已知A 、B 两地相距1000米，甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发，沿着同一条直线公路相向而行．若甲以7米/秒的速度骑自行车前进，乙以3米/秒的速度步行，则经过_____秒两人相距100米．8．如图，折线AC －CB 是一条公路的示意图，8km AC =，甲骑摩托车从A 地沿这条公路到B 地，速度为40km/h ，乙骑自行车从C 地沿这条公路到B 地，速度为10km/h ，两人同时出发，结果甲比乙早到6分钟．则这条公路的长为________．9．某客运站行车时刻表如图，若全程保持匀速行驶，则当快车出发______小时后，两车相距25km.三、解答题10．为了促进全民健身运动的开展，某市组织了一次足球比赛，下表记录了比赛过程中部分代表队的积分情况.（1）本次比赛中，胜一场积______分；（2）参加此次比赛的F代表队完成10场比赛后，只输了一场，积分是23分，请你求出F代表队胜出的场数.11．甲、乙两人骑自行车分别从相距36km的两地匀速同向而行，如果甲比乙先出发半小时，那么在乙出发后经3小时甲追上乙；如果乙比甲先出发1小时，那么在甲出发后经5小时甲才能追上乙．请问：甲、乙两人骑自行车每小时各行多少千米？12．盛盛同学到某高校游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如表）：盛盛同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙完成下列问题：（1）从表中可以看出，负一场积______分，胜一场积______分（2）某队在比完22场的前提下，胜场总积分能等于其负场总积分的2倍吗？请说明理由．13．周末，小明和爸爸在400米的环形跑道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如下对话：（1）他们的对话内容，求小明和爸爸的骑行速度，（2）一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸相距50m？14．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中点A表示-12，点B表示10，点C表示20，我们称点A和点C在数轴上相距32个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B 期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．则：（1）动点P从点A运动至点C需要时间多少秒？（2）若P，Q两点在点M处相遇，则点M在折线数轴上所表示的数是多少？（3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．参考答案1．C【分析】设中国队以大比分3：2取胜的场次有x场，则中国队以小比分3：1或3：0取胜的场次有（11﹣x）场，根据总积分＝3×小比分获胜的场次数+2×大比分获胜场次数，即可得出关于x 的一元一次方程．【详解】解：设中国队以大比分3：2取胜的场次有x场，则中国队以小比分3：1或3：0取胜的场次有（11﹣x）场，依题意，得：2x+3（11﹣x）＝32．故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键.2．C【详解】解：设小强胜了x盘，则父亲胜了（10﹣x）盘，根据题意得：3x=2（10﹣x），解得：x=4．答：小强胜了4盘．故选C．【点睛】本题考查了列一元一次方程解决实际问题，一般步骤是：①审题，找出已知量和未知量；②设未知数，并用含未知数的代数式表示其它未知量；③找等量关系，列方程；④解方程；⑤检验方程的解是否符合题意并写出答案.3．D【分析】两人从同一地点出发，甲追上乙，那么甲走的路程=乙走的路程．【详解】解：当甲追上乙时，乙比甲多走2小时，故A选项错误；甲、乙两人行走路程之和等于出发地到相遇点的距离的2倍，故B选项错误；甲、乙两人行走的路程相等，故C选项错误，D选项正确．【点睛】本题主要考查了行程问题中的数学常识：从同一地点出发的追及问题的等量关系是两人所走的路程相等，这也是建立等量关系列方程的依据． 4．C 【分析】本题中的相等关系是：步行从甲地到乙地所用时间-乘车从甲地到乙地的时间=3.6小时,据此列方程即可． 【详解】解：设甲乙两地相距x 千米，根据等量关系列方程得： 3.6840x x-= 故选：C. 【点睛】列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系． 5．C 【分析】设乙x 分钟后追上甲，根据乙追上甲时，比甲多走了270米，可得出方程，求出时间后，计算乙所走的路程，继而可判断在哪一条边上相遇． 【详解】设乙x 分钟后追上甲， 由题意得，75x−65x ＝270， 解得：x ＝27， 而75×27＝5×360＋212×90， 即乙第一次追上甲是在AD 边上． 故选C ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，完成本题要注意通过所行路程及正方形的周长正确判断追上时在正方形的那条边上． 6．22设他做对了x道题，则做错了（25-x）道题，根据“做了全部试题共得85分，”列出方程并解答．【详解】-道题依题意，得解：设他做对了x道题，则做错了(25)xx x--=．4(25)85x=．解得：22故答案为：22．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系．难点是设出相应的未知数．7．90或110【分析】先设时间为x,利用:速度×时间=路程,列出方程,解出即可.【详解】解：设经过x秒两人相距100米，当两人未相遇前，7x+3x+100＝1000，解得：x＝90；当两人相遇后，7x+3x﹣100＝1000，解得：x＝110．故答案为：90或110．【点睛】本题考查一元一次方程的应用,关键在于对方程的熟悉,注意分类讨论.8．12km【分析】首先设这条公路的长为xkm，由题意得等量关系：乙骑自行车行驶（x-8）千米的时间-6分钟=甲骑摩托车从A地沿这条公路到B地的时间，根据等量关系列出方程即可．【详解】解：设这条公路的长为xkm．由题意，得86401060x x -=-． 解得：12x =． 故答案为：12km ． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．9．0.5小时或2.5小时. 【分析】先分别计算普通车和快车的速度，设快车出发x 小时后，两车相距25km ，根据普通车行驶路程-快车行驶路程=25和快车行驶路程-普通车行驶路程=25两种情况分别列出方程，解方程即可得出答案. 【详解】解：根据题意普通车的速度为：300÷4=75km/h 快车的速度为：300÷3=100km/h. 设快车出发x 小时后，两车相距25km ，此时慢车出发x+0.5小时 ①若快车追上慢车之前，则根据题意75(0.5)10025x x +-=解得0.5x =.此时时间为8:00符合题意； ②若快车追上慢车之后，则根据题意10075(0.5)25x x -+=解得 2.5x =.此时时间为10:30符合题意.故出发0.5小时或2.5小时之后，两车相距25km. 【点睛】本题考查应用一元一次方程解决追击问题. 解答这类问题，要弄清题意，按照题意画出线段图，分析各数量之间的关系，选择解答方法.在本题中还应该注意因为时间不能超过10:30，所以应该对计算结果进行检验.10．(1)3；(2)7 【分析】(1)根据B 代表队的积分情况可直接得出胜一场的积分情况(2)先根据A,B,C,D 代表队的积分情况分别算出胜一场，平一场，负一场各自的积分情况，再列一元一次方程求解即可. 【详解】解：(1)根据B 代表队的积分情况可得胜一场的积分情况：1863÷=（分）(2)由A 代表队的积分情况得出平一场的积分情况：163511-⨯÷=（）（分） 由C 代表队的积分情况得出负一场的积分情况：()11332110-⨯-⨯÷=（分） 设F 代表队胜出的场数为x ，则平场为（9-x ）场，列方程得：3x+1⨯(9-x)=23解方程得：x=7答：F 代表队胜出的场数为7场. 【点睛】本题是典型的比赛积分问题，清楚积分的组成部分及胜负积分的规则是解本题的关键.11．甲骑自行车每小时行18千米，乙骑自行车每小时行9千米 【分析】设甲骑自行车每小时行x 千米，先根据“甲比乙先出发半小时，那么在乙出发后经3小时甲追上乙”用含x 的代数式表示出乙的速度，然后根据甲5小时骑行的路程－乙6小时骑行的路程=36千米即可列出方程，解方程即可求出结果． 【详解】解：设甲骑自行车每小时行x 千米，则乙骑自行车每小时行133623x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭千米，即7126x ⎛⎫- ⎪⎝⎭千米． 依题意，得()755112366x x ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭，解得18x =． 712211296x -=-=．答：甲骑自行车每小时行18千米，乙骑自行车每小时行9千米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．12．(1) 1 ， 2；(2)胜场数为11场时，胜场的积分等于负场的2倍. 【解析】 试题分析：（1）由表中最后一行的信息可知，22场全负积分为22，由此可得负一场积1分；结合表中第一行的信息即可求得胜一场积2分；（2）设该队胜了x 场，则该队负了(22)x -场，胜的场次共积2x 分，负的场次共积(22)x -分，由题意可得方程：22(22)x x =-，解方程即可得到答案. 试题解析：（1）由表中最后一行的信息可知，某队22场全负共积了22分， ∴负一场的积分为：22÷22=1（分）；设胜一场积a 分，则由表中第一行信息可得：121034a +=，解得：2a =， ∴胜一场积2分；（2）设该队胜了x 场，根据题意可得：22(22)x x =-，解得：11x =，∴若某队赛完全部22场，胜了11场，则该队的胜场积分是负场积分的2倍. 答：若该队在22场比赛中胜了11场，则其胜场积分是负场积分的2倍.13．（1）小明骑行速度为200m/分钟，爸爸骑行速度为400m/分钟；（2）爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过14分或74钟，小明和爸爸相距50m. 【解析】 【分析】（1）设小明的骑行速度为x 米/分钟，则爸爸的骑行速度为2x 米/分钟，根据距离=速度差×时间即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过y 分钟，小明和爸爸跑道上相距50m ．分第一次相遇后爸爸比小明多骑50米和350米两种情况考虑，根据距离=速度差×时间即可得出关于y 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）设小明的骑行速度为x 米/分钟，则爸爸的骑行速度为2x 米/分钟，根据题意得：2（2x-x ）=400，解得：x=200，∴2x=400．答：小明的骑行速度为200米/分钟，爸爸的骑行速度为400米/分钟．（2）设爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过y 分钟，小明和爸爸跑道上相距50m ，①爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，爸爸又比小明多骑了50米，根据题意得：400y-200y=50，解得：y=14； ②爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，爸爸又比小明多骑了350米，根据题意得：400y-200y=350，解得：y=74． 答：第二次相遇前，再经过14或74分钟，小明和爸爸跑道上相距50m ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据距离=速度差×时间列出关于x 的一元一次方程；（2）分第一次相遇后爸爸比小明多骑50米和350米两种情况考虑． 14．（1）21；（2）6；（3）当2,8,14,17t =时，OP BQ =．【分析】（1）根据路程除以速度等于时间，可得答案；（2）根据相遇时P ，Q 两点在线段BO 上，根据BO =10，可得方程，根据解方程，可得答案；（3）根据PO 与BQ 的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案．【详解】解：（1）点P 运动至点C 时，所需时间t ＝12÷2＋10÷1＋10÷2＝21（秒），答：动点P 从点A 运动至C 点需要21s ；（2）由题意可得10t s >，P ，Q 两点在线段BO 上相遇∴()()621010t t -+-=，∴12t =，∴M 所对的数字为12-6=6;（3）当点P 在AO 上，点Q 在CB 上时，122OP t =-，10BQ t =-，∵OP BQ =，∴12210t t -=-，∴2t =；当点P 在OB 上，点Q 在CB 上时，6OP t =-，10BQ t =-，∵OP BQ =，∴610t t -=-，∴8t =；当点P 在OB 上，点Q 在OB 上时，6OP t =-，()210BQ t =-，∵OP BQ =，∴()6210t t -=-，∴14t =，当点P 在OB 上，点Q 在OA 上时，61510t t -=-+，无解当点P 在BC 上，点Q 在OA 上时，()10216OP t =+-，()1015BQ t =+-， ∵OP BQ =，∴()()102161015t t +-=+-，∴17t =∴当2,8,14,17t =时，OP BQ =．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，利用PO 与BQ 的时间相等得出方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．。