武汉市部分学校2013届高三12月联考文科数学试卷

2013-2014学年湖北省部分重点中学高三（上）第一次联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设U ={1, 2, 3, 4, 5}，A ={1, 5}，B ={2, 4}，则B ∩(∁U A)=( ) A {2, 3, 4} B {2} C {2, 4} D {1, 3, 4, 5}2. 若z =sinθ−35+(cosθ−45)i 是纯虚数，则tan(θ−π4)的值为（ ） A −7 B −17C 7D −7或−173. 已知函数f(x)=lnx ，则函数g(x)=f(x)−f′(x)的零点所在的区间是（ ） A (0, 1) B (1, 2) C (2, 3) D (3, 4)4. 已知函数y =f(x)的定义域为{x|−3≤x ≤8, 且x ≠5}，值域为{y|−1≤y ≤2, 且y ≠0}．下列关于函数y =f(x)的说法：①当x =−3时，y =−1；②点(5, 0)不在函数y =f(x)的图象上；③将y =f(x)的图象补上点(5, 0)，得到的图象必定是一条连续的曲线；④y =f(x)的图象与坐标轴只有一个交点．其中一定正确的说法的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 45. 三个实数成等差数列，其首项是9．若将其第二项加2、第三项加20，则这三个数依次构成等比数列{a n }，那么a 3的所有可能取值中最小的是（ ） A 1 B 4 C 36 D 496. 若函数y =log 2x 的图象上存在点(x, y)，满足约束条件{x +y −3≤02x −y +2≥0y ≥m ，则实数m 的最大值为（ ）A 12B 1C 32D 27. 设点P 在曲线y =e x 上，Q 在曲线y =lnx 上，则|PQ|的最小值为（ ） A √22 B √2−1 C √2 D 2(√2−1)8. e ，π分别是自然对数的底和圆周率，则下列不等式不成立的是（ ）A log πe +(log e π)2>2B log π√e +log e √π>1C e e −e >e π−πD (e +π)3<4(e 3+π3)9. 对于任意实数x ，[x]表示不超过x 的最大整数，如[1.1]=1，[−2.1]=−3．定义在R 上的函数f(x)=[2x]+[4x]+[8x]，若A ={y|y =f(x), 0<x <1}，则A 中元素的最大值与最小值之和为（ ）A 11B 12C 14D 1510. 在△ABC 所在的平面内，点P 0、P 满足P 0B →=14AB →，PB →=λAB →，且对于任意实数λ，恒有PB →⋅PC →≥P 0B →⋅P 0C →，则（ ）A ∠ABC =90∘B ∠BAC =90∘ C AC =BCD AB =AC二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 11. 命题“∀x ∈R ，x 2−2x +2>0”的否定是________．12. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若b =2asinB ，则角A 等于________．13. 已知a ，b 都是正实数，函数y =2ae x +b 的图象过点(0, 1)，则1a+1b 的最小值是________．14. 已知f(x)是偶函数，当x >0时，其导函数f′(x)<0，则满足f(x 4)=f(x−1x−3)的所有x 之和为________． 15. 已知f(x)=11+x，各项均为正数的数列{a n }满足a 1=1，a n+2=f(a n )，若a 12=a 14，则a 13+a 2014=________．16. 在△ABC 中，边AC =1，AB =2，角A =2π3，过A 作AP ⊥BC 于P ，且AP →=λAB →+μAC →，则λμ=________．17. 已知函数f(x)的定义域为[−1, 5]，部分对应值如下表，f(x)的导函数y =f ′(x)的图象如图所示．下列关于f(x)的命题：②函数f(x)在[0, 2]上是减函数；③如果当x ∈[−1, t]时，f(x)的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1<a <2时，函数y =f(x)−a 有4个零点． 其中正确命题的序号是________．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosC =4acosB −ccosB ． （1）求cosB 的值；（2）若BA →⋅BC →=2，且b =2√3，求a 和c 的值．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 中为菱形，∠BAD =60∘，Q 为AD 的中点．（1）若PA =PD ，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定实数t的值，使得PA // 平面MQB．20. 设等差数列{a n}的前n项和为S n．且S4=4S2，a2n=2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a n=2n−1，数列{b n}满足：b1=3，b n−b n−1=a n+1(n≥2)，求数列{1b n}的前n项和T n．21. 如图，点F1(−c, 0)、F2(c, 0)分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线，交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作PF2的垂线交直线x=a 2c于点Q．（1）如果点Q的坐标为(4, 4)，求椭圆C的方程；（2）试判断直线PQ与椭圆C的公共点个数，并证明你的结论．22. 设函数f(x)=xe x(e=2.71828…是自然对数的底数)．（1）求f(x)的单调区间及最大值；（2）∀x∈(0, +∞)，2|lnx−ln2|≥f(x)+c恒成立，试求实数c的取值范围．2013-2014学年湖北省部分重点中学高三（上）第一次联考数学试卷（文科）答案1. C2. A3. B4. B5. A6. B7. C8. C9. A10. C11. ∃x∈R，x2−2x+2≤012. 30∘13. 3+2√214. 615. 1321+√5−1216. 104917. ①② 18. 解：（1）由正弦定理可得a =2RsinA ，b =2RsinB ，c =2RsinC ， ∴ 2RsinBcosC =8RsinAcosB −2RsinCcosB ， 化为sinBcosC =4sinAcosB −sinCcosB ， 可得sinBcosC +cosBsinC =4sinAcosB ，∴ sin(B +C)=4sinAcosB ，可得sinA =4sinAcosB ， ∵ sinA ≠0，∴ cosB =14． （2）∵ BA →⋅BC →=2，∴ accosB =2，又cosB =14，∴ ac =8， 由余弦定理可得：b 2=a 2+c 2−2accosB ， ∵ b =2√3，∴ 12=a 2+c 2−4，化为a 2+c 2=16． 联立{ac =8a 2+c 2=16，解得a =c =2√2．19. 解：（1）连BD ，四边形ABCD 菱形∵ AD =AB ，∠BAD =60∘∴ △ABD 是正三角形，Q 为 AD 中点∴ AD ⊥BQ∵ PA =PD ，Q 为 AD 中点AD ⊥PQ又BQ ∩PQ =Q∴ AD ⊥平面PQB ，AD ⊂平面PAD ∴ 平面PQB ⊥平面PAD（2）当t =13时，使得PA // 平面MQB ，连AC 交BQ 于N ，交BD 于O ，则O 为BD 的中点，又∵ BQ 为△ABD 边AD 上中线， ∴ N 为正三角形ABD 的中心， 令菱形ABCD 的边长为a ，则AN =√33a ，AC =√3a ．∴ PA // 平面MQB ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC ∩平面MQB =MN∴ PA // MNPM PC=AN AC=√3a 3√3a=13即：PM =13PC ，t =13．20. 解：（1）∵ 等差数列{a n }的前n 项和为S n ．且S 4=4S 2，a 2n =2a n +1，∴ {4a1+4⋅32d=4(2a1+d)a1+(2n−1)d=2a1+2(n−1)d+1，解得a1=1，d=2，∴ a n=2n−1．（2）∵ a n=2n−1，数列{b n}满足：b1=3，b n−b n−1=a n+1(n≥2)，∴ 当n≥2时，b n=(b n−b n−1)+(b n−1−b n−2)+...+(b3−b2)+(b2−b1)+b1 =a n+1+a n+...+a4+a3+b1=n2+2n，当n=1时，也成立，∴ b n=n2+2n，∴ 1b n =1n2+2n=12(1n−1n+2)，∴ T n=12[(1−13)+(12−14)+...+(1n−1−1n+1)+(1n−1n+2)]=12(1+12−1n+1−1n+2)=34−2n+32n2+6n+4．21. 解：（1）解方程组{x=−cx2a2+y2b2=1得P点的坐标为(−c,b2a)，∴ k PF2=b2a−c−c=−b22ac，∵ PF2⊥QF2，∴ k QF2=2acb2，∴ QF2的方程为：y=2acb2(x−c)将x=a 2c代入上式解得y=2a，∴ Q点的坐标为(a2c,2a)；∵ Q点的坐标为(4, 4)，∴ a2c=4且2a=4，∴ a=2，c=1，b2=a2−c2=3，∴ 椭圆C的方程为x24+y23=1；（2）∵ Q点的坐标为(a 2c ,2a)，P点的坐标为(−c,b2a)，∴ k PQ =2a−b 2aa 2c−(−c)=c(2a 2−b 2)a(a 2+c 2)=ca ，∴ PQ 的方程为y −2a =ca(x −a 2c)，即y =ca x +a将PQ 的方程代入椭圆C 的方程得b 2x 2+a 2(ca x +a)2=a 2b 2，∴ (b 2+c 2)x 2+2a 2cx +a 4−a 2b 2=0① ∵ a 2=b 2+c 2∴ 方程①可化为a 2x 2+2a 2cx +a 2c 2=0 解得x =−c∴ 直线PQ 与椭圆C 只有一个公共点． 22. 解：（1）f′(x)=1−x e x由f ′(x)=0，解得x =1当x <1，时f ′(x)>0，f(x)单调递增； 当x >1，时f ′(x)<0，f(x)单调递减．所以，函数f(x)的单调递增区间是(−∞, 1)，单调递减区间是(1, +∞)，其最大值为f(1)=1e（2）由∀x ∈(0, +∞)，2|lnx −ln2|≥f(x)+c 恒成立 可知∀x ∈(0, +∞)，2|lnx −ln2|−f(x)≥c 恒成立 令g(x)=2|lnx −ln2|−f(x)=2|lnx −ln2|−x e x①当x >2时g(x)=2(lnx −ln2)−xe x 所以g′(x)=2x −1−x e x=2e x +x(x−1)xe x>0因此g(x)在(2, +∞)上单调递增②当0<x <2时g(x)=2(ln2−lnx)−xe x 所以g′(x)=−2x −1−x e x=−2e x +x(1−x)xe x因为0<x <2，所以2e x >2，x(1−x)=−(x −12)2+14∈(−2,14) 所以2e x +x(1−x)>0， 所以g′(x)<0，因此g(x)在(0, 2)上单调递减综上①②可知g(x)在x =2时取得最小值g(2)=−2e 2 因为∀x ∈(0, +∞)，2|lnx −ln2|−f(x)≥c 即g(x)≥c 恒成立 所以c ≤−2e 2．。

2012-2013学年湖北省某校等八校高三（上）第一次联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合一目要求的.1. 若复数z =i1−i ，则z 的实部为（ ） A 12 B −12 C 1 D −12. 集合A ={x|y =√−x 2+10x −16}，集合B ={y|y =log 2x, x ∈A}，则A ∩∁R B =( )A [2, 3]B (1, 2]C [3, 8]D (3, 8]3. 若命题p:∃x 0∈[−3, 3]，x 02+2x 0+1≤0，则对命题p 的否定是（ ）A ∀x 0∈[−3,3]，x 02+2x 0+1>0B ∀x 0∈(−∞,−3)∪(3,+∞)，x 02+2x 0+1>0 C ∃x 0∈(−∞,−3)∪(3,+∞)，x 02+2x 0+1≤0 D ∃x 0∈[−3,3]，x 02+2x 0+1<04. 某实心机器零件的三视图如图所示，该机器零件的体积为（ ）A 36+2πB 36+4πC 36+8πD 36+10π5. 函数f(x)＝Asin(ωx +φ)（其中A >0,|φ|<π2）的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin2x 的图象，则只需将f(x)的图象（ ）A 向右平移π6个长度单位 B 向右平移π12个长度单位 C 向左平移π6个长度单位 D 向左平移π12个长度单位6. 已知两个正数a ，b 满足a +b =ab ，则a +b 的最小值为（ ） A 1 B 2 C 4 D 2√27. 等比数列{a n }各项为正，a 3，a 5，−a 4成等差数列．S n 为{a n }的前n 项和，则S6S 3=( )A 2B 78C 98D 548. 任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a ，b ，则点P(a, b)落在区域|x|+|y|≤3中的概率为（ ）A 2536B 16C 14D 1129. 如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且AB // CD ．若双曲线以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为（ ） A √2 B √3 C 1+√2 D 1+√310. 已知函数f(x)={e x (x ≥0)lg(−x)(x <0)，则实数t ≤−2是关于x 的方程f 2(x)+f(x)+t =0有三个不同实数根的（ ）A 充分非必要条件B 必要充分条件C 充要条件D 非充分非必要条件二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.11. 已知抛物线y 2=2ax 的准线为x =−14，则其焦点坐标为________．12. 三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =√3，b =1，∠A =π3，则∠B =________．13. 已知长方体的所有棱长之和为48，表面积为94，则该长方体的外接球的半径为________．14. 某路段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不得超过70km/ℎ，否则视为违规扣分．某天，有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示，则违规扣分的汽车大约为________辆． 15. 阅读如图所示程序框图，运行相应程序，输出结果n =________．16. 已知扇形OAB 的半径为1，面积为π3，设弧AB 上有异于A ，B 的动点C ，线段OC 与线段AB 交于点M ，N 为OM 的中点，则∠AOB =________；若ON →=xOA →+yOB →(x,y ∈R)，则x +y =________．17. 已知点P(a, b)与点Q(1, 0)在直线2x −3y +1=0的两侧，则下列说法正确的序号是________①2a −3b +1>0②a ≠0时，ba 有最小值，无最大值 ③a >0且a ≠1，b >0，b a−1的取值范围为(−∞, −13)∪(23,+∞)④存在正实数M ，使√a 2+b 2>M 恒成立．三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 已知f(x)=2cos x2(sin x2+cos x2)（1）求出f(x)的单调递增区间；（2）若关于x 的方程f(x)=a 在x ∈[0, 2π]上有且仅有一个根，求a 的值．19. 如图．在四棱锥P 一ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC =2，E 是PC 的中点． （1）证明：PA // 平面EDB ；（2）证明：平面PAC ⊥平面PDB ； （3）求三梭锥D 一ECB 的体积．20. 大学生自主创业已成为当代潮流．长江学院大三学生夏某今年一月初向银行贷款两万元作开店资金，全部用作批发某种商品，银行贷款的年利率为6%，约定一年后一次还清贷款，已知夏某每月月底获得的利润是该月月初投人资金的15%，每月月底需要交纳个人所得税为该月所获利润的20%，当月房租等其他开支1500元，余款作为资金全部投入批发该商品再经营，如此继续，假定每月月底该商品能全部卖出．（1）设夏某第n 个月月底余a n 元，第n +l 个月月底余a n+1元，写出a 1的值并建立a n+1与a n 的递推关系；（2）预计年底夏某还清银行贷款后的纯收入．（参考数据：1.1211≈3.48，1.1212≈3.90，0.1211≈7.43×10−11，0.1212≈8.92×10−12）21. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 21(a >b >0)经过点M(1, 32)，F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，且|MF 1|+|MF 2|=4．O 为椭圆C 的中心． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P ，Q 是椭圆C 上不同的两点，且O 为△MPQ 的重心，试求△MPQ 的面积．22. 已知函数f(x)=xlnx，g(x)=ax2−x(a∈R)(1)求f(x)的单调区间和极值点；(2)求使f(x)≤g(x)恒成立的实数a的取值范围；(3)证明：对任意的正整数n，不等式ln(e n+1)<n+1e n恒成立．2012-2013学年湖北省某校等八校高三（上）第一次联考数学试卷（文科）答案1. B2. D3. A4. A5. A6. C7. C8. D9. D10. C11. (14,0)12. π613. 5√2214. 11015. 316. 2π3,1 217. ③④18. 解：（1）f(x)=2cos x2(sin x2+cos x2)=2cos x2sinx2+2cos2x2=sinx+cosx+1=√2sin(x+π4)+1，…令2kπ−π2≤x+π4≤2kπ+π2，k∈∈Z，得f(x)的单调增区间为[2kπ−3π4, 2kπ+π4]，k∈Z．…（2）∵ f(x)=√2sin(x+π4)+1，关于x的方程f(x)=a在x∈[0, 2π]上有且仅有一个根，∴ 由f(x)在[0, 2π]上的图象分析知当x+π4=π2，即x=π4时，a=√2+1，…或当x+π4=3π2，即x=5π4时，a=1−√2．综上a=1±√2．…19. 解：（1）证明：设AC∩BD=O，连接EO．∵ 底面ABCD是正方形，∴ 点O是AC的中点，在△PAC中，EO是中位线，∴ EO // PA．∵ PA⊄平面EDB，EO⊂平面EDB，∴ PA // 平面EDB．（2）证明：∵ 底面ABCD是正方形，∴ AC⊥BD，∵ PD⊥底面ABCD，∴ PD⊥AC．∵ PD∩BD=D，∴ AC⊥平面PBD，∵ AC⊂平面PAC，∴ 平面PAC⊥平面PDB．（3）取CD的中点F，连接EF，则EF // PD，EF=12PD=1，∵ PD⊥底面ABCD，∴ EF⊥底面ABCD．∴ V三棱锥D−ECB =V三棱锥E−BCD=13×12×22×1=23．20. 解：（1）由题意a1=20000(1+15%)−20000×15%×20%−1500=20900（元）…a n+1=a n(1+15%)−a n×15%×20%−1500=1.12a n−1500(n∈N+, 1≤n≤11)…（2）令a n+1+λ=1.12(a n+λ)，则a n+1=1.12a n+0.12λ，∵ a n+1=1.12a n−1500，∴ 对比得λ=−12500…∴ a n+1−12500=1.12(a n−12500)，∴ {a n−12500}是以20900−12500为首项，1.12为公比的等比数列∴ a n−12500=(20900−12500)×1.12n−1，即a n=8400×1.12n−1+12500∴ a12=8400×1.1211+12500≈41732（元）…又年底偿还银行本利总计20000(1+6%)=21200（元）…故该生还清银行贷款后纯收入41732−21200=20532（元）…21. 解：（1）∵ F1，F2是椭圆C的两个焦点，且|MF1|+|MF2|=4，∴ 由椭圆的定义知2a=4，∴ a=2，…∴ 椭圆C的方程为x24+y2b2=1，代入点M(1, 32)，得14+94b 2=1，∴ b 2=3 … 故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1 …（2）若O 点为△MPQ 的重心，设PQ 的中点为N ，则MO →=2ON →，∴ N(−12, −34)，… 显然直线PQ 的斜率存在，不妨设为k ，则方程为y +34=k(x +12)代入椭圆方程，消去y 得：(3+4k 2)x 2+k(4k −6)x +k 2−3k −394=0①…∵ 点N 在椭圆内，△>0恒成立， 设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则x 1+x 2=k(4k−6)3+4k 2，∴ x N =k(4k−6)2(3+4k 2)=−12∴ k =−12，…∴ ①式化简为x 2+x −2=0，∴ x =−2或x =1不妨P(−2, 0)，Q(1, −32)，由椭圆对称性知S △MPQ =2×12×3×32=92．…22. (1)解：求导函数可得f′(x)=lnx +1，令f′(x)=0，得x =1e ， 当x ∈(0,1e )时，f′(x)<0，则f(x)在(0, 1e )上单调递减， 当x ∈(1e ，+∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1e ,+∞)上单调递增，综上f(x)在(0, 1e)上单调递减，在(1e,+∞)上单调递增，f(x)的极小值点为x =1e．(2)解：问题转化为ax ≥lnx +1恒成立， 令ℎ(x)=ax −lnx −1，则ℎ′(x)=a −1x =ax−1x，当a ≤0时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在x >0时单调递减，ℎ(x)无最小值，舍去； 当a >0时，令ℎ′(x)=0，得x =1a ，且0<x <1a时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；x ≥1a，ℎ′(x)≥0，ℎ(x)单调递增，故ℎ(x)min =ℎ(1a)=lna ，只须lna ≥0，即a ≥1.(3)证明：要证明ln(e n +1)<n +1e n，令e n =t ≥e ，即证明ln(t +1)<lnt +1t ，即证明ln(t+1t)<1t ，即证lnx <x −1，(x >1).而由(2)可知a =1时，xlnx ≤x 2−x ， 当x >1时，lnx <x −1，故ln(e n +1)<n +1e n 是恒成立的，得证．。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}A =，{2,3,4}B =，则U B A =ðA ．{2}B ．{3,4}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4,5}2．已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=的A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()p ⌝∨()q ⌝B ．p ∨()q ⌝C ．()p ⌝∧()q ⌝D ．p ∨q4．四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分 别得到以下四个结论：① y 与x 负相关且 2.347 6.423y x =-； ② y 与x 负相关且 3.476 5.648y x =-+； ③ y 与x 正相关且 5.4378.493y x =+； ④ y 与x 正相关且 4.326 4.578y x =--. 其中一定不正确．．．的结论的序号是 A ．①② B ．②③C ．③④D ． ①④5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是6．将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π67．已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为ABC． D． 8．x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为 A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ． 周期函数9．某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为 A ．31200元B ．36000元C ．36800元D ．38400元10．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．i 为虚数单位，设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于原点对称，若123i z =-，则2z = . 12．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为 ； （Ⅱ）命中环数的标准差为 .13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输入m 的值为2， 则输出的结果i = .14．已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = .第13题图15．在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为56，则m = . 16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）17．在平面直角坐标系中，若点(,)P x y 的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L . 例如图中△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =. （Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的,,S N L 分别是 ；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c =++，其中a ，b ，c 为常数. 若某格点多边形对应的71N =，18L =， 则S = （用数值作答）.三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c . 已知cos23cos()1A B C -+=.（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若△ABC 的面积S =5b =，求sin sin B C 的值.19．（本小题满分13分）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n ，使得2013n S ≥？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =，123C C d =，且123d d d <<. 过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222ABC A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中． （Ⅰ）证明：中截面DEFG 是梯形；（Ⅱ）在△ABC 中，记BC a =，BC 边上的高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -的体积V ）时，可用近似公式V S h =⋅估中来估算. 已知1231()3V d d d S =++，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.21．（本小题满分13分）设0a >，0b >，已知函数()1ax bf x x +=+. （Ⅰ）当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当0x >时，称()f x 为a 、b 关于x 的加权平均数.（i ）判断(1)f, f ,()bf a是否成等比数列，并证明()b f f a ≤； （ii ）a 、b 的几何平均数记为G . 称2aba b+为a 、b 的调和平均数，记为H . 若()H f x G ≤≤，求x 的取值范围.第20题图如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别 为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从 大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S . （Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．第22题图2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题：1．B 2．D 3．A 4．D 5．C 6．B 7．A 8．D 9．C 10．B 二、填空题：11．23i -+ 12．（Ⅰ）7 （Ⅱ）2 13．414．4 15．3 16．3 17．（Ⅰ）3, 1, 6 （Ⅱ）79 三、解答题：18．（Ⅰ）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=,即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A = 或cos 2A =-（舍去）.因为0πA <<，所以π3A =.（Ⅱ）由11sin 22S bc A bc ===得20bc =. 又5b =，知4c =.由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a =.又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=.19． （Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，则10a ≠，0q ≠. 由题意得 2432234,18,S S S S a a a -=-⎧⎨++=-⎩ 即23211121,(1)18,a q a q a q a q q q ⎧--=⎪⎨++=-⎪⎩ 解得13,2.a q =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为13(2)n n a -=-.（Ⅱ）由（Ⅰ）有 3[1(2)]1(2)1(2)n n n S ⋅--==----.若存在n ，使得2013n S ≥，则1(2)2013n --≥，即(2)2012.n -≤- 当n 为偶数时，(2)0n ->， 上式不成立；当n 为奇数时，(2)22012n n -=-≤-，即22012n ≥，则11n ≥.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{21,,5}n n k k k =+∈≥N . 20． （Ⅰ）依题意12A A ⊥平面ABC ，12B B ⊥平面ABC ，12C C ⊥平面ABC ，所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2. 又121A A d =，122B B d =，123C C d =，且123d d d << . 因此四边形1221A A B B 、1221A A C C 均是梯形.由2AA ∥平面MEFN ，2AA ⊂平面22AA B B ，且平面22AA B B 平面MEFN ME =，可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE . 同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG .又M 、N 分别为AB 、AC 的中点，则D 、E 、F 、G 分别为11A B 、22A B 、22A C 、11A C 的中点， 即DE 、FG 分别为梯形1221A A B B 、1221A A C C 的中位线.因此 12121211()()22DE A A B B d d =+=+，12121311()()22FG A A C C d d =+=+，而123d d d <<，故DE FG <，所以中截面DEFG 是梯形. （Ⅱ）V V <估. 证明如下：由12A A ⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，可得12A A MN ⊥. 而EM ∥A 1A 2，所以EM MN ⊥，同理可得FN MN ⊥. 由MN 是△ABC 的中位线，可得1122MN BC a ==即为梯形DEFG 的高， 因此13121231()(2)22228DEFG d d d d a a S S d d d ++==+⋅=++中梯形， 即123(2)8ahV S h d d d =⋅=++估中. 又12S ah =，所以1231231()()36ahV d d d S d d d =++=++.于是1231232131()(2)[()()]6824ah ah ahV V d d d d d d d d d d -=++-++=-+-估.由123d d d <<，得210d d ->，310d d ->，故V V <估.21． （Ⅰ）()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞，22(1)()()(1)(1)a x ax b a bf x x x +-+-'==++. 当a b >时，()0f x '>，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递增； 当a b <时，()0f x '<，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递减. （Ⅱ）（i ）计算得(1)02a b f +=>，2()0b abf a a b=>+，0f =.故22(1)()[2b a b ab f f ab f a a b +=⋅==+, 即2(1)())]b f f f a =. ①所以(1),()bf f f a成等比数列.因2a b +≥(1)f f ≥.由①得()b f f a ≤. （ii ）由（i ）知()bf H a =，f G =.故由()H f x G ≤≤，得()()b f f x f a ≤≤. ②当a b =时，()()b f f x f a a ===.这时，x 的取值范围为(0,)+∞； 当a b >时，01ba<<，从而b a <，由()f x 在(0,)+∞上单调递增与②式，得b x a ≤x的取值范围为,b a ⎡⎢⎣； 当a b <时，1ba>，从而b a >()f x 在(0,)+∞上单调递减与②式，bx a ≤，即x的取值范围为b a ⎤⎥⎦. 22． 依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n +=. 其中0a m n >>>， 1.mnλ=>（Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-， 于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ.解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=. 所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--. 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ.（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d ==12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=. 由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-， ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-. ① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =B x =根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是2||||2A Bx AD BC x = ② 从而由①和②式可得1(1)λλλ+-. ③令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-.因为0k ≠，所以20k >. 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-，第22题解答图1第22题解答图2等价于2221(1)()0t t λ--<. 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>+当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=. 解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d ==12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==.因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+==-，所以11A B x x λλ+=-. 由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n +=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=， 依题意0A B x x >>，所以22AB x x >. 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-.因为20k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1ABx x λ<<.从而111λλλ+<<-，解得1λ>当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=.。

湖北省武汉市部分学校2013届高三12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选出正确选项填在答题卡相应位置）1．（5分）设集合M={﹣1，0，1}，N={a，a2}则使M∩N=N成立的a的值是（）A．1B．0C．﹣1 D．1或﹣1考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：由M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，M∩N=N，知，由此能求出a的值．解答：解：∵M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，M∩N=N，∴，解得a=﹣1．故选C．点评：本题考查交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．2．（5分）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数（m+ni）2为纯虚数的概率为（）A．B．C．D．考点：复数的基本概念；古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：按多项式乘法运算法则展开，将（m+ni）2化简为a+bi（a，b∈R）的形式，要求实部为0，虚部不为0，求出m、n的关系，求出满足关系的基本事件的个数，求出概率即可．解答：解：因为（m+ni）2=m2﹣n2+2mni，根据复数的基本概念，有实部为0，且虚部显然不为0，所以n2=m2故m=n则可以取1、2、3、4、5、6，共6种可能，所以P==，故选C．点评：本题考查复数的基本概念，古典概型及其概率计算公式，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．3．（5分）（2008•西城区一模）设a∈R，函数f（x）=x3+ax2+（a﹣3）x的导函数是f′（x），若f′（x）是偶函数，则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为（）A．y=﹣3x B．y=﹣2x C．y=3x D．y=2x考点：导数的运算．专题：计算题．分析：先由求导公式求出f′（x），根据偶函数的性质，可得f′（﹣x）=f′（x），从而求出a的值，然后利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而写出切线方程．解答：解：f′（x）=3x2+2ax+（a﹣3），∵f′（x）是偶函数，∴3（﹣x）2+2a（﹣x）+（a﹣3）=3x2+2ax+（a﹣3），解得a=0，∴k=f′（0）=﹣3，∴切线方程为y=﹣3x．故选A．点评：本题主要考查求导公式，偶函数的性质以及导数的几何意义，难度中等．4．（5分）（2011•浙江模拟）阅读下面的程序框图，则输出的S=（）A．14 B．20 C．30 D．55考点：程序框图．专题：计算题．分析：经分析为直到型循环结构，按照循环结构进行执行，当满足跳出的条件时即可输出s 的值．解答：解：∵S1=0，i1=1；S2=1，i2=2；S3=5，i3=3；S4=14，i4=4；S5=30，i=5＞4退出循环，故答案为C．点评：本题考查程序框图的运算，通过对框图的分析，得出运算过程，按照运算结果进行判断结果，属于基础题．5．（5分）（2012•广安二模）在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（）A．24种B．48种C．96种D．144种考点：计数原理的应用．专题：计算题．分析：本题是一个分步计数问题，A只能出现在第一步或最后一步，从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，程序B和C实施时必须相邻，把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列．解答：解：本题是一个分步计数问题，∵由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有A21=2种结果∵程序B和C实施时必须相邻，∴把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有A44A22=48种结果根据分步计数原理知共有2×48=96种结果，故选C．点评：本题考查分步计数原理，考查两个元素相邻的问题，是一个基础题，注意排列过程中的相邻问题，利用捆绑法来解，不要忽略被捆绑的元素之间还有一个排列．6．（5分）（2010•济南一模）设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题中不正确的是（）A．B．C．D．考点：直线与平面垂直的判定．专题：阅读型．分析：由面面平行及线面垂直的几何特征，可判断A的真假；根据三垂线定理，我们可判断B的真假；根据面面平行的判定理，可判断C的真假，根据线面平行，线面垂直的几何特征可判断D的真假；进而得到答案．解答：解：由a∥α，b⊥a可得的位置关系有：b∥α，b⊂α，b与α相交不一定垂直，所以答案D不正确．故选D点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判断、直线与平面平行的判断，其中掌握空间直线与平面位置关系的判定、性质、几何特征是解答本题的关键．7．（5分）（2013•铁岭模拟）已知两点A（1，0），B（1，），O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC=120°，设，（λ∈R），则λ等于（）A．﹣1 B．1C．﹣2 D．2考点：平面向量的坐标运算．专题：计算题；压轴题．分析：先设点C的坐标，根据题意和向量的坐标运算，分别用λ表示x和y，再由向量的数量积的坐标表示出∠AOC的余弦值，再求出λ的值．解答：解：设点C的坐标是（x，y），则由得，（x，y）=﹣2（1，0）+λ（1，）=（﹣2+λ，），∴x=﹣2+λ，y=，又∵∠AOC=120°，∴cos120°=，即﹣=，解得，λ=1．故选B．点评：本题考查向量的数量积和向量的坐标运算的应用，即通过条件列出关系式，利用向量相等的坐标等价条件进行求值．8．（5分）过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x=﹣2的距离之和等于5，则这样的直线（）A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；压轴题．分析：先求出A，B到准线的距离之和的最小值，进而可得A，B到直线x=﹣2的距离之和的最小值，利用条件可得结论．解答：解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1，设A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2），则A，B到直线x=﹣1的距离之和x1+x2+2设直线方程为x=my+1，代入抛物线y2=4x，则y2=4（my+1），即y2﹣4my﹣4=0，∴x1+x2=m（y1+y2）+2=4m2+2∴x1+x2+2=4m2+4≥4∴A，B到直线x=﹣2的距离之和x1+x2+2+2≥6＞5∴过焦点使得到直线x=﹣2的距离之和等于5的直线不存在故选D．点评：本题考查抛物线的定义，考查过焦点弦长的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．9．（5分）（2012•黄山模拟）某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表：考试次数x 1 2 3 4所减分数y 4.5 4 3 2.5显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为（）A．y=0.7x+5.25 B．y=﹣0.6x+5.25 C．y=﹣0.7x+6.25 D．y=﹣0.7x+5.25考点：回归分析的初步应用．专题：计算题．分析：先求样本中心点，利用线性回归方程一定过样本中心点，代入验证，可得结论．解答：解：先求样本中心点，，由于线性回归方程一定过样本中心点，代入验证可知y=﹣0.7x+5.25，满足题意故选D．点评：本题考查线性回归方程，解题的关键是利用线性回归方程一定过样本中心点，属于基础题．10．（5分）已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f（﹣x）=f（x），f（﹣2）=﹣3，数列{a n}满足a1=﹣1，且=2×+1，（其中S n为{a n}的前n项和）．则f（a5）+f（a6）=（）A．﹣3 B．﹣2 C．3D．2考点：数列与函数的综合；函数的周期性．专题：综合题；压轴题；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：先由函数f（x）是奇函数，f（﹣x）=f（x），推知f（3+x）=f（x），得到f（x）是以3为周期的周期函数．再由a1=﹣1，且S n=2a n+n，推知a5=﹣31，a6=﹣63计算即可．解答：解：∵函数f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）∵f（﹣x）=f（x），∴f（﹣x）=﹣f（﹣x）∴f（3+x）=f（x）∴f（x）是以3为周期的周期函数．∵数列{a n}满足a1=﹣1，且=2×+1，∴a1=﹣1，且S n=2a n+n，∴a5=﹣31，a6=﹣63∴f（a5）+f（a6）=f（﹣31）+f（﹣63）=f（2）+f（0）=f（2）=﹣f（﹣2）=3故选C．点评：本题主要考查函数性质的转化与应用以及数列的通项及求和公式，在函数性质综合应用中相互结合转化中奇偶性，对称性和周期性之间是一个重点．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知把向量﹦（1，1）向右平移两个单位，再向下平移一个单位得到向量，则的坐标为（1，1）．考点：平面向量的坐标运算．专题：阅读型．分析：题目给出了一个平面向量，向量的坐标，指的是以原点为起点的向量终点的坐标，把向量平移后，其起点和终点都随着进行了移动，平移后向量的坐标仍然等于平移后终点的坐标减去起点的坐标．也可直接根据向量相等的概念，向量平移后其长度和方向均未改变，平移后的向量和原向量是相等的向量，坐标不变．解答：解：法一、如图，设，因为，所以O（0，0），A（1，1），向量向右平移两个单位，再向下平移一个单位后，得到起点O′（2，﹣1），终点A′（3，0），即=（1，1）．故答案为（1，1）．法二、根据向量相等的概念，向量在平面内无论如何平移，只要平移过程中模不变，且方向不发生变化，得到的向量与原向量都是相等的向量，相等的向量坐标相等，所以，向量向右平移两个单位，再向下平移一个单位后，得到的向量．故答案为（1，1）．点评：本题考查了平面向量的坐标运算，考查了向量相等的概念，向量的坐标，指的是以原点为起点的向量的终点坐标，此题是基础题．12．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是6+（+2）πcm2．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知：原几何体是一个圆锥的一半，高为3，底面半径为2，如图所示．据此即可计算出表面积．解答：解：由三视图可知：原几何体是一个圆锥的一半，高为3，底面半径为2，如图所示．∴S表面积==．故答案为．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．13．（5分）已知点P（x，y）满足，过点P的直线l与圆C：x2+y2=14相交于A、B两点，则AB的最小值为 4 ．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：通过约束条件画出可行域，确定P的位置使得到圆心的距离最大，然后求出弦长的最小值．解答：解：点P（x，y）满足，P表示的可行域如图阴影部分：原点到直线x+y=4的距离为OD，所以当P在可行域的Q点时，Q到圆心O的距离最大，当AB⊥OQ时，AB最小．Q的坐标由确定，Q（1，3），OQ==，所以AB=2=4．故答案为：4．点评：本题考查简单的线性规划，正确画出可行域判断P的位置，是解题的关键．14．（5分）设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最大值为．考点：基本不等式；二次函数的性质．专题：计算题；压轴题．分析：由于二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），所以a＞0，且△=0，从而得到a，c的关系等式，再利用a，c的关系等式解出a，把转化为只含一个变量的代数式利用均值不等式进而求解．解答：解：因为二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），所以⇒ac=4⇒c=，所以===1+由于a+≥12（当且仅当a=6时取等号）所以1+≤1+=．故答案为：点评：本题主要考查了基本不等式的应用，以及二次函数的性质，同时考查了计算能力，属于中档题．15．（5分）（2012•天门模拟）（1）如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过点C 作圆的切线l，过点A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为 4 ．（2）在平面直角坐标系下，曲线C1：（t为参数），曲线C2：（θ为参数），若曲线C1、C2有公共点，则实数a的取值范围为[，] ．考点：圆的参数方程；弦切角；与圆有关的比例线段；直线的参数方程．专题：计算题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）连接AC，则AC⊥BC．由条件得，∠DCA=60°，所以，DA=6．由切割线定理，求得，可得AE=AD﹣DE 的值．（2）把两曲线的参数方程化为普通方程，可得两曲线分别为直线和园，由题意可得圆心到直线的距离小于或等于半径，即，由此求得实数a的取值范围．解答：解：（1）连接AC，则AC⊥BC．由条件得，∠DCA=60°，所以，DA=6．由切割线定理，得DC2=DE•DA，所以，因此AE=6﹣2=4．故答案为 4．（2）化为普通方程，得C1：x+2y﹣2a=0，．由题意得，圆心到直线的距离小于或等于半径，即，即，解得，故答案为[，]．点评：本题主要考查直线和圆的参数方程、与圆有关的比例线段，绝对值不灯似的解法，属于中档题．三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）（2012•洛阳模拟）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，=（2a，1），=（2b﹣c，cosC）且∥．求：（I）求sinA的值；（II）求三角函数式的取值范围．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：（I）根据向量平行的充要条件列式：2b﹣c=2acosC，结合正弦定理与两角和的正弦公式，化简可得2cosAsinC=sinC，最后用正弦的诱导公式化简整理，可得cosA=，从而得到sinA的值；（II）将三角函数式用二倍角的余弦公式结合“切化弦”，化简整理得sin（2C﹣），再根据A=算出C的范围，得到sin（2C﹣）的取值范围，最终得到原三角函数式的取值范围．解答：解：（I）∵∥，∴2acosC=1×（2b﹣c），根据正弦定理，得2sinAcosC=2sinB﹣sinC，又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴2cosAsinC﹣sinC=0，即sinC（2cosA﹣1）=0∵C是三角形内角，sinC≠0∴2cosA﹣1=0，可得cosA=∵A是三角形内角，∴A=，得sinA=…（5分）（II）==2cosC（sinC﹣cosC）+1=sin2C﹣cos2C，∴=sin（2C﹣），∵A=，得C∈（0，），∴2C﹣∈（﹣，），可得﹣＜sin（2C﹣）≤1，∴﹣1＜sin（2C﹣），即三角函数式的取值范围是（﹣1，]．…（11分）点评：本题给出向量平行，通过列式化简求A的大小，并求关于B的三角式的取值范围．着重考查了平面向量平行、三角恒等化简、正弦定理和诱导公式等知识，属于中档题．17．（12分）（2012•钟祥市模拟）在数列{a n}中，．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）若存在n∈N*，使得a n≤（n+1）λ成立，求实数λ的最小值．数列与不等式的综合；数列递推式．考点：专计算题．题：分析：（1）把已知等式中的n换成n﹣1，再得到一个式子，两式想减可得=，求得 a2=1，累乘化简可得数列{a n}的通项a n ．（2），由（1）可知当n≥2时，，，可证{}是递增数列，又及，可得λ≥，由此求得实数λ的最小值．解解：（1）当n≥2时，由a1=1 及①答：可得②．两式想减可得 na n =﹣，化简可得=，∴a2=1．∴••…==×××…×==．综上可得，．…（6分）（2），由（1）可知当n≥2时，，设，…（8分）则，∴，故当n≥2时，{}是递增数列．又及，可得λ≥，所以所求实数λ的最小值为．…（12分）点评： 本题主要考查利用数列的递推关系求数列的通项公式，数列与不等式综合，数列的函数特性的应用，属于难题． 18．（12分）如图，在四棱锥ABCD ﹣PGFE 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱垂直于底面，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA=1． （Ⅰ）求PD 与BC 所成角的大小； （Ⅱ）求证：BC⊥平面PAC ；（Ⅲ）求二面角A ﹣PC ﹣D 的大小．考点： 异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法． 专题： 空间位置关系与距离；空间角． 分析：（1）取的AB 中点H ，易证∠PDH 为PD 与BC 所成角，解三角形可得； （2）由已知结合线面垂直的判定可得：（3）坐标法求得平面的法向量，由向量的夹角可得二面角的大小． 解答：（Ⅰ）取的AB 中点H ，连接DH ，易证BH∥CD，且BD=CD …（1分） 所以四边形BHDC 为平行四边形，所以BC∥DH 所以∠PDH 为PD 与BC 所成角…（2分）因为四边形，ABCD 为直角梯形，且∠ABC=45°，所以⊥DA⊥AB又因为AB=2DC=2，所以AD=1，因为Rt△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH 都为等腰直角三角形，所以PD=DH=PH=，故∠PDH=60°…（4分）（Ⅰ）连接CH ，则四边形ADCH 为矩形，∴AH=DC 又AB=2，∴BH=1在Rt△BHC中，∠ABC=45°，∴CH=BH=1，CB=∴AD=CH=1，AC=∴AC2+BC2=AB2∴BC⊥AC…（6分）又PA平面ABCD∴PA⊥BC …（7分）∵PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC …（8分）（Ⅲ）如图，分别以AD、AB、AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由题设可知：A（0，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），D（1，0，0），∴=（0，0，1），=（1，1，﹣1）…（9分）设m=（a，b，c）为平面PAC的一个法向量，则，即设a=1，则b=﹣1，∴m=（1，﹣1，0）…（10分）同理设n=（x，y，z）为平面PCD的一个法向量，求得n=（1，1，1）…（11分）∴所以二面角A﹣PC﹣D为60°…（12分）点评：本题考查立体几何的综合问题，涉及线面角，线面垂直和二面角，属中档题．19．（12分）（2012•天门模拟）某小学三年级的英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词；每周星期五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同）；（I）英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3个是后天两天学习过的单词的概率；（II）某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为；若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的单词数ξ的分布列和期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列．专题：应用题．分析：（I）由题意设英语老师随机抽了4个单词中，至少含有3个后两天学过的事件为A，利用古典事件的概率公式及组合数即可求得；（II）由于学生能默写对的单词数ξ，利用随机变量的定义及题意则随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，在利用独立事件同时发生的概率公式即可求得每一个随见变量取值下的概率，并利用随机变量的定义求出分布列，比北方应用分布列借助期望定义求出期望．解答：解：（I）由题意设英语老师随机抽了4个单词中，至少含有3个后两天学过的事件为A，则由题可得：P（A）=；（II）由题意随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，则有：P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，所以随机变量的分布列为：故随机变量的期望Eξ==．点评：此题重点在与考查学生的理解题意的能力，还考查了古典型随机事件的概率公式及组合数，另外还考查了随机变量的定义及其分布列，此外还考查了随机变量的期望．20．（13分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求的取值范围；（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．考点：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分（1）由题意知，，利用点到直线的距离公式可求b，结合a2=b2+c2可求a，即可求析：解（2）由题意设直线l的方程为y=k（x﹣4），联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B （x2，y2），根据方程的根与系数关系求出x1+x2，x1x2，由△＞0可求k的范围，然后代入=x1x2+y1y2==中即可得关于k的方程，结合k的范围可求的范围（3）由B，E关于x轴对称可得E（x2，﹣y2），写出AE的方程，令y=0，结合（2）可求解（1）解：由题意知，，即b=答：又a2=b2+c2∴a=2，b=故椭圆的方程为（2分）（2）解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣4）由可得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0（4分）设A（x1，y1），B （x2，y2），则△=322k4﹣4（3+4k2）（64k2﹣12）＞0∴（6分）∴x1+x2=，x1x2=①∴=x1x2+y1y2====∵∴∴∴）（3）证明：∵B，E关于x轴对称∴可设E （x 2，﹣y 2） ∴直线AE 的方程为令y=0可得x=∵y 1=k （x 1﹣4），y 2=k （x 2﹣4）∴==1∴直线AE 与x 轴交于定点（1，0）点评： 本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆方程及直线与椭圆相交关系的应用，方程思想的应用及向量的数量积的坐标表示等知识的综合应用．21．（14分）（2012•黄州区模拟）（理）（1）证明不等式：ln （1+x ）＜（x ＞0）．（2）已知函数f （x ）=ln （1+x ）﹣在（0，+∞）上单调递增，求实数a 的取值范围．（3）若关于x 的不等式≥1在[0，+∞）上恒成立，求实数b 的最大值．考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用． 专题： 综合题． 分析：（1）令h （x ）=ln （1+x ）﹣，证明h （x ）在（0，+∞）上单调递减，即h （x ）＜h （0），从而可得结论；（2）求导函数，令f′（x ）=0，可得x=0或x=a 2﹣2a ，根据函数f （x ）=ln （1+x ）﹣在（0，+∞）上单调递增，可得f′（x ）≥0在（0，+∞）上恒成立，从而可求实数a 的取值范围； （3）关于x 的不等式≥1在[0，+∞）上恒成立，等价于在[0，+∞）上恒成立，当x ＞0时，b≤1+﹣，构造函数g （x ）=1+﹣，利用ln （1+x ）＜（x ＞0），可得g （x ）在（0，+∞）上单调增，从而可求实数b 的最大值．解答：（1）证明：（1）令h（x）=ln（1+x）﹣，则h′（x）=∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，即h（x）＜h（0）=0∴ln（1+x）﹣＜0∴ln（1+x）＜（x＞0）．（2）解：求导函数，可得f′（x）=，令f′（x）=0，可得x=0或x=a2﹣2a，∵函数f（x）=ln（1+x）﹣在（0，+∞）上单调递增∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立∴a2﹣2a≤0∵f（x）在（0，+∞）上有意义∴a≥0∴0≤a≤2；（3）解：关于x的不等式≥1在[0，+∞）上恒成立，等价于在[0，+∞）上恒成立，∵0，∴b≥0当x＞0时，b≤1+﹣构造函数g（x）=1+﹣，则由（1）知，ln（1+x）＜（x＞0）．以e x代1+x，可得，∵x＞0，∴﹣＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调增当x＞0且x→0时，g（x）→1∴b≤1∴实数b的最大值为1点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查函数的构造，属于中档题．。

武汉武昌2013届高三期末调研考试数学（文） 试题本试题卷共4页，共22题。

满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试题卷上无效。

3．非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卡上的每题所对应的答题区域内。

答在试题卷上或答题卡指定区域外无效。

4．考试结束，监考人员将答题卡收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U=R ，集合A={x|lg （x+1）≤0}，B={x| 3x ≤1}，则ðu （A lB ）=（ ）A ．（-∞,0）（0,+∞）B ．（0,+∞）C ．（-∞，-1]（0，+∞）D ．（-1,+∞）2．复数312⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭（i 为虚数单位）的值是（ ）A ．1B ．-1C ．-iD ．i3．命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是 （ ） A ．所有奇数的立方都不是奇数 B ．不存在一个奇数，它的立方是偶数 C ．存在一个奇数，它的立方是偶数 D ．不存在一个奇数，它的立方是奇数4．某天清晨，小明同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了．下面大致能反映出小明这一天（0时~ 24时）体温的变化情况的图是 （ ）5．在△ABC 中，A=6π，a=l ，，则B=（ ）A ．4πB ．34πC ．4π若34πD ．6π若54π6．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β； ④l ⊥m ⇒α∥β． 其中正确的命题是 （ ） A ．①与② B ．③与④ C ．②与④ D ．①与③ 7．若从区间（0，2）内随机取两个数，则这两个数的比不小于．．．4的概率为 （ ）A ．18B ．78C ．14D ．348．在平面直角坐标系中，函数y= cosx 和函数y=tanx 的定义域都是,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，它们的交点为P ，则点P 的纵坐标为（ ）A B C D 9．已知双曲线2222x y a b-（a>0，b>0）的离心率e=2，过双曲线上一点M 作直线MA,MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2．若直线AB 过原点，则k 1·k 2的值为 （ ）A ．2B ．3CD10．若不等式2x ≥log a x 对任意的x>0都成立，则正实数a 的取值范围是 （ ） A ．),ee ⎡+∞⎣B ．12,e e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．)2,ee ⎡+∞⎣ D ．1,ee ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可垧不得分．11．已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形，俯视图是两个同心圆，如图所示，则该几何体的全面积为 ．12．阅读如图所示的程序框图，输出的S 的值为 ．13．已知|a|=1，|b|=2，a 与b 的夹角为60 o，则a+b 在a 方向上的投影为 ．14．已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按l ～40编号，并按编号顺序平均分成5组，按系统抽样方法在各组内抽取一个号码． （I ）若第1组抽出的号码为2，则听有被抽出职工的号码为 ； （Ⅱ）分别统计这5名职工的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图 如图所示，则该样本的方差为 ．15．已知圆x 2 +y 2 =4上恰好有3个点到直线/：y =x +b 的距离都等于l ，则b= 。

2013年高三联考数学文科试卷（湖北七市带答案）试卷类型：B秘密★启用前2013年湖北七市（州）高三年级联合考试数学（文史类）本试题共4页。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

本科目考试时间：2013年4月18日下午15:00—17：00 ★祝考试顺利★注意事项：1.答卷前，考生务必将自己姓名、准考证号填写在试题卷和答卡。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型B后的方框涂黑。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑C如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3.非选择题的作答：用签字笔氪接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={1，2，3},BA={3},BA={1，2，3，4，5}，则集合B的子集的个数为A.6B.7C.8D.92.命题“”的否定是ABCD3.已知a，β表示两个不同的平面，l为a内的一条直线，则“a//β是“l//β”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数f(x)=2x-sinx的零点个数为A.1B.2C.3D.45.不等式对任意a，b∈(0，+∞)恒成立，则实数x的取值范围是A.(-2,0)B.(-∞,-2)U(0，+∞)C.(-4，2)D.(-∞，-4)U(2，+∞)6.如右图所示，程序框图输出的所有实数对(x，y)所对应的点都在函数A.y=x+1的图象上B.y=2x的图象上C.y=2x的图象上D.y=2x-1的图象上7在区间[0,]上随机取一个数x,则事件“sinxcosx”发生的概率为AB.CD,18.定义：函数f(x)的定义域为D,如果对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得(其中c为常数）成立，则称函数f(x)在D上的几何均值为c则下列函数在其定义域上的“几何均值”可以为2的是A.y=x2+1B.y=sinx+3C.y=ex(e为自然对数的底）D.y=|lnx|9.已知拋物线x2=4py(p0)与双曲线有相同的焦点F，点A 是两曲线的一个交点，且AF丄y轴，则双曲线的离心率为A,B.C.D.10.设x,y满足约束条件，若目标函数z=ax+by(a0,b0)的最大值为8，点P为曲线上动点，则点P到点（a，b)的最小距离为A.B.OC.D.1二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置$书写不清，模棱两可均不得分.11.若，θ为第二象限角，则tan2θ=______12.设复数其中a为实数，若z的实部为2，则z的虚部为_____.13.已知正方形ABCD的边长为1,则｜｜=_______.14.某行业从2013年开始实施绩效工资改革，为了解该行业职工工资收入情况，调查了lOOO名该行业的职工，并由所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，由图可知中位数为:_____现要从这1000人中再用分层抽样的方法抽出1OO人作进一步调查，则月收入在[3500，4000)(元）内应抽出______人.15.某三棱锥P-ABC的正视图为如图所示边长为2的正三角形，俯视图为等腰直角三角形，则三棱锥的表面积是______.16挪威数学家阿贝尔，曾经根据阶梯形图形的两种不同分割(如下图)，利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式一阿贝尔公式：a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=a1(b1-b2)+L2(b2-b3)+L3(b3-b4)+…+Ln-1(bn-1-bn)+Lnbn则其中：(I)L3=；(Ⅱ)Ln=．17.若直线x=my-1与圆C:x2+y2+mx+ny+p=O交于A,B两点，且A，B两点关于直线y=x对称，则实数P的取值范围为_______.三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18(本小题满分12分)已知向量=(sin2x+2，cosx)，=(1，2cosx)，设函数f(x)=．(I)求f(x)的最小正周期与单调递增区间；(Ⅱ)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A=，b=f(),ΔABC的面积为，求a的值19.(本小题满分12分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C丄平面ABCD，且AB=BC＝CA=，AD=CD=1(I)求证：BD丄AA1;(II)若四边形ACC1A1是菱形，且=600，求四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积.20.(本小题满分13分）数列是公比为的等比数列，且1-a2是a1与1+a3的等比中项，前n项和为Sn；数列是等差数列，b1=8，其前n项和Tn满足Tn=nbn+1(为常数，且≠1)．(I)求数列的通项公式及的值；(Ⅱ)比较+++…+与了Sn的大小．21.(本小题满分14分）在矩形ABCD中，|AB|=2，|AD|=2，E、F、G、H分别为矩形四条边的中点，以HF、GE所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系(如图所示)．若R、R′分别在线段0F、CF上，且==.(Ⅰ)求证：直线ER与GR′的交点P在椭圆：+=1上；(Ⅱ)若M、N为椭圆上的两点，且直线GM与直线GN的斜率之积为，求证：直线MN过定点22.(本小题满分14分）已知函数f(x）=ax3+x2-ax(且a).(I)若函数f(x)在{-∞，-1)和（，+∞)上是增函数&yen;在（)上是减函数，求A的值；(II)讨论函数的单调递减区间；(III)如果存在，使函数h(x)=f(x)+,x(b-1)，在x=-1处取得最小值，试求b的最大值.2013年七市联考数学试题(文史类)（B卷）参考答案一、选择题：CDAACDCCBA二、填空题：11.；12.；13.14.3400，25；15.；16.（Ⅰ）；（Ⅱ）17.（注：填空题中有两个空的，第一个空2分，第二个空3分）18.解：（Ⅰ）………………………3分∴的最小正周期……………………4分由得∴的单调递增区间为……………………6分（Ⅱ）……8分…………………10分在中，由余弦定理得……………………12分19.解：（Ⅰ）在四边形中，因为，，所以………2分又平面平面，且平面平面平面，所以平面………………4分又因为平面，所以．……………………6分（Ⅱ）过点作于点，∵平面平面∴平面，即为四棱柱的一条高……8分又∵四边形是菱形,且，∴四棱柱的高为…………9分又∵四棱柱的底面面积,…………………10分∴四棱柱的体积为…………………12分20、解：（Ⅰ）由题意，即解得，∴…………………2分又，即…………………4分解得或（舍）∴…………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知…………………7分∴①…………………9分又，…………………11分∴②…12分由①②可知…………………13分21、解：（Ⅰ）∵，∴，…………1分又则直线的方程为①…………2分又则直线的方程为②…………3分由①②得…………4分……5分∴直线与的交点在椭圆上……6分（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，设则∴,不合题意…………8分②当直线的斜率存在时，设联立方程得则，……10分又即将代入上式得…………13分∴直线过定点…………14分22.解：（Ⅰ）…………………1分函数在和上是增函数，在上是减函数，∴为的两个极值点，∴即…………………3分解得：…………………4分（Ⅱ），的定义域为，…………………5分当时，由解得，的单调减区间为…………7分当时，由解得，的单调减区间为……9分（Ⅲ），据题意知在区间上恒成立，即①…………………10分当时，不等式①成立；当时，不等式①可化为②………………11分令，由于二次函数的图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间上的最小值必在端点处取得，又，所以不等式②恒成立的充要条件是，即…………………12分即，因为这个关于的不等式在区间上有解，所以…………………13分又，故，…………………14分注：解答题中，若有不同解法，只要思路清晰，解法正确，请酌情给分。

2013年七市联考数学试题(文史类)（B 卷）参考答案一、选择题：CDAAC DCCBA 二、填空题：11.724-； 12.1-； 13.10 14. 3400 ， 25； 15.36+； 16.（Ⅰ） 123a a a ++ ；（Ⅱ）123n a a a a ++++ 17.23-<p （注：填空题中有两个空的，第一个空2分，第二个空3分）18. 解：（Ⅰ）2()3sin 222cos 3sin 2cos 23f x m n x x x x →→=⋅=++=++ 2sin(2)36x π=++………………………3分∴()f x 的最小正周期22T ππ==…………………… 4分 由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈∴()f x 的单调递增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦……………………6分 （Ⅱ）511()2sin 32sin 232sin 326666b f πππππ⎛⎫==+=-+=-+= ⎪⎝⎭ ……8分 13sin 122ABC S bc A c ∆==⇒= …………………10分在ABC ∆中，由余弦定理得22212cos 1421232a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯= 3a ∴= …………………… 12分19.解：（Ⅰ）在四边形ABCD 中，因为BA BC =，DA DC =，所以BD AC ⊥ ………2分又平面11AA C C ⊥平面ABCD ，且平面11AA C C平面ABCD AC =BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面11AA C C ………………4分 又因为1AA ⊂平面11AA C C ，所以1BD AA ⊥． ……………………6分 （Ⅱ）过点1A 作AC E A ⊥1于点E ，∵平面⊥C C AA 11平面ABCD ∴⊥E A 1平面ABCD ，即E A 1为四棱柱的一条高 ……8分 又∵四边形11A ACC 是菱形,且601=∠AC A ， ∴ 四棱柱1111D C B A ABCD -的高为133sin 602h A E ==︒= …………9分 又∵ 四棱柱1111D C B A ABCD -的底面面积11133()32222ABCD S AC BD ==⨯+=, …………………10分 ∴ 四棱柱1111D C B A ABCD -的体积为333322V =⨯=…………………12分 20、解：（Ⅰ）由题意)1()1(3122+=-a a a ，即)141()211(1121+=-a a a 解得211=a ，∴n n a )21(= …………………2分 又⎩⎨⎧==32212b T b T λλ，即⎩⎨⎧+=++=)28(216)8(8d d d λλ …………………4分解得⎪⎩⎪⎨⎧==821d λ 或⎩⎨⎧==01d λ（舍）∴21=λ …………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知n n S )21(1-=…………………7分∴41)21(21211≥-=+n n S ① …………………9分 又n n T n 442+=，)111(41)1(411+-=+=n n n n T n…………………11分∴41)111(41)1113121211(4111121<+-=+-++-+-=+++n n n T T T n ②…12分 由①②可知n n S T T T 2111121<+++ …………………13分 21、解：（Ⅰ）∵1OR CR OFCFn '==，∴3(,0)R n ，1(3,)n R n-' …………1分 1ACD BA1D1B1C第19题图E又(0,1)G 则直线GR '的方程为113y x n=-+ ① …………2分 又(0,1)E - 则直线ER 的方程为13ny x =- ② …………3分 由①②得 222231(,)11n n P n n -++ …………4分222222222223()14(1)1()131(1)n n n n n n n -+-++==++ ……5分 ∴直线ER 与GR '的交点P 在椭圆22:13x y Ω+=上……6分（Ⅱ）① 当直线MN 的斜率不存在时，设:(33)MN x t t =-<<则22(,1),(,1)33t t M t N t --- ∴31=⋅GN GM k k ,不合题意 …………8分② 当直线MN 的斜率存在时，设:MN y kx b =+ 1122(,),(,)M x y N x y联立方程2213y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 222(13)6330k x kbx b +++-=则2212(31)0k b ∆=-+> ，22212213133316k b x x k kb x x +-=⋅+-=+，……10分 又()()()321111212212122211=-++-+=-⋅-=⋅x x b x x b k x x k x y x y k k GNGM即221212(32)3(1)()3(1)0k x x k b x x b -+-++-=将22212213133316kb x x k kb x x +-=⋅+-=+，代入上式得3b =- …………13分 ∴直线过定点(0,3)T - …………14分22.解：（Ⅰ）2'()32f x ax x a =+- …………………1分 函数()f x 在()1,-∞-和⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,31上是增函数，在⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,1上是减函数，∴11,3-为()f x 的两个极值点，∴'(1)01'()03f f -=⎧⎪⎨=⎪⎩即3202033a a a a --=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ …………………3分 解得：1a = …………………4分（Ⅱ）23()ln g x ax x a x a=+--，()g x 的定义域为()0,+∞， 222132()()3232'()21a x x a x ax a a g x ax ax ax ax-++-=+-== …………………5分 当0a >时，由'()0g x <解得1(0,)x a ∈，()g x 的单调减区间为1(0,)a…………7分当0a <时，由'()0g x <解得3(,)2x a ∈-+∞，()g x 的单调减区间为3(,)2a-+∞……9分 （Ⅲ）32()(31)(2)h x ax a x a x a =+++--，据题意知()(1)h x h ≥-在区间[]1,b -上恒成立，即2(1)(21)(13)0x ax a x a ⎡⎤++++-≥⎣⎦① …………………10分当1x =-时，不等式①成立；当1x b -<≤时，不等式①可化为2(21)(13)0ax a x a +++-≥② ………………11分令2()(21)(13)x ax a x a ϕ=+++-，由于二次函数()x ϕ的图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间上的最小值必在端点处取得，又(1)40a ϕ-=->，所以不等式②恒成立的充要条件是()0b ϕ≥，即2(21)(13)0ab a b a +++-≥ …………………12分即22311b b b a+-≤-+，因为这个关于a 的不等式在区间(],1-∞-上有解，所以 2max 231117117()1122b b b b a +----+≤-=⇒≤≤+ …………………13分 又1b >-，故11712b -+-<≤，max 1172b -+∴= …………………14分注：解答题中，若有不同解法，只要思路清晰，解法正确，请酌情给分。

湖北省武汉市部分学校2013届高三12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）i2013的值为（）A．1B．i C．﹣1 D．﹣i考点：虚数单位i及其性质．专题：计算题．分析：把i2013写成i2012•i，然后由i2=﹣1化简i2012，最后可得i2013的值．解答：解：i2013=i2012•i=（i2）1006•i=（﹣1）1006i=i．所以i2013的值为i．故选B．点评：本题考查了虚数单位i及其性质，解答的关键是运用i2=﹣1，此题是基础题．2．（5分）全称命题：∀x∈R，x2＞0的否定是（）A．∀x∈R，x2≤0 B．∃x∈R，x2＞0 C．∃x∈R，x2＜0 D．∃x∈R，x2≤0考点：命题的否定．专题：阅读型．分析：欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．解答：解：命题：∀x∈R，x2＞0的否定是：∃x∈R，x2≤0．故选D．点评：这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．3．（5分）（2011•天津）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3B．4C．5D．6考点：程序框图．专题：图表型．分析：通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值．解答：解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i=1，a=2；经第二次循环得到i=2，a=5；经第三次循环得到i=3，a=16；经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4故选B点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环结果，找规律．4．（5分）已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，则这个几何体的体积是（）A．8πB．7πC．2πD．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知：该几何体为一空心圆柱，其中内层圆柱的底面直径为3，外层底面的直径为4；圆柱的高为1．据此可计算出体积．解答：解：由三视图可知：该几何体为一空心圆柱，其中内层圆柱的底面直径为3，外层底面的直径为4；圆柱的高为1．故其体积．故选D．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．5．（5分）已知幂函数f（x）=x2+m是定义在区间[﹣1，m]上的奇函数，则f（m+1）=（）A．8B．4C．2D．1考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由幂函数f（x）=x2+m是定义在区间[﹣1，m]上的奇函数，知m=1，即f（x）=x3，由此能求出f（m+1）的值．解答：解：∵幂函数f（x）=x2+m是定义在区间[﹣1，m]上的奇函数，∴，∴m=1，即f（x）=x3，∴f（m+1）=f（2）=23=8，故选A．点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．6．（5分）已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线2x﹣y=0和x+ay=0上，且AB线段的中点为P，则线段AB的长为（）A．8B．9C．10 D．11考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；中点坐标公式．专题：直线与圆．分析：由两直线互相垂直的充要条件可得a的值，再由直角三角形斜边的中长O的长为斜边长的一半，求|PO|可得答案．解答：解析：由已知两直线互相垂直可得：2×1+（﹣1）×a=0，解得a=2，∴线段AB中点为P（0，5），且AB为直角三角形AOB的斜边，因为直角三角形斜边的中线PO的长为斜边AB的一半，且|PO|=5故|AB|=2|PO|=10，故选C．点评：本题为线段长度的求解，涉及两直线互相垂直的充要条件和直角三角形的知识，属基础题．7．（5分）（2013•牡丹江一模）已知数列{a n}满足log3a n+1=log3a n+1（n∈N*），且a2+a4+a6=9，则的值是（）A．﹣5 B．C．5D．考点：等比数列的性质．专题：计算题；压轴题；方程思想．分析：先由“log3a n+1=log3a n+1”探讨数列，得到数列是以3为公比的等比数列，再由a2+a4+a6=a2。

武汉市部分学校2013届高三12月联考数学（理工科）本试题卷共8页，六大题21小题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3．非选择题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选出正确选项填在答题卡相应位置）1．设集合}1,0,1{-=M ，},{2a a N =则使M ∩N ＝N 成立的a 的值是A ．1B ．0C ．－1D ．1或－12．投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m 和n ，则复数2)(ni m +为纯虚数的概率为（ ）A ．13B ．14C ．16D ．1123．设a 为实数，函数32()(3)f x x ax a x =++-的导函数为()f x '，且()f x '是偶函数，则曲线()y f x =在原点处的切线方程为（ ） A ．31y x =+B ．3y x =-C ．31y x =-+D ．33y x =-4．阅读右面的程序框图，则输出的S =A ．14B ．30C ．20D ．55 5．在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中 程序A 只能出现在第一或最后一步， 程序B 和C 在实施时必 须相邻，则实验顺序的编排方法共有（ ）A ． 34种B ．48种C ．96种D ．144种 6．设a b c 、、表示三条直线，αβ、表示两个平面，则下列命题中不正确的是（ ）A ． ββαα⊥⇒⎭⎬⎫⊥c c // B ． a b b c b c a ⊥⊂⎫⎬⎪⎭⎪⇒⊥ββ是在内的射影C ． ////b c b c c ααα⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭D ． αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a //7．已知两点(1,0),A B O 为坐标原点，点C 在第二象限，且 120=∠AOC ，设2,(),OC OA OB λλλ=-+∈R 则等于A ．1-B ．２C ．1D ．2-8．过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于B A ,两点,它们到直线2-=x 的距 离之和等于5,则这样的直线A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在9A ．25.57.0+=x yB ．25.56.0+-=x yC ．25.67.0+-=x yD ．25.57.0+-=x y10．已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()23(x f x f =-，3)2(-=-f ，数列{}n a 满足11-=a ，且21n n S an n=⨯+，（其中n S 为{}n a 的前n 项和）。

2012-2013学年湖北省部分重点中学高三第一次联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分．共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑1. 已知全集U ={0, 1, 2, 3}，A ={1, 2}，B ={3, 4}，则(C U A)∩B =( )A {0}B {1}C {2}D {3}2. 命题“存在实数x ，使x <l”的否定是（ ）A 对任意实数x ，都有x <1B 对任意实数x ，都有x ≥1C 不存在实数X ，使x ≥lD 存在实数x ，使x ≥l3. 函数y =11n(x+1)+√9−x 2的定义域为（ ）A [−3, 3]B (−1, 3)C (0, 3)D (−1, 0)∪(0, 3]4. 已知a =(12)−1.1，b =20.6，c =21og 52，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A c <b <a B c <a <b C b <a <c D b <c <a5. 已知l 是直线，α、β是两个不同的平面，命题p:l // α，l ⊥β，则α⊥β；命题q:α⊥β，l ⊥β则l // α；命题r:α⊥β，l // α，则l ⊥β，则下列命题中，真命题是（ ）A p ∧qB q ∨rC p ∨qD ¬p6. 等腰△ABC 中，底边BC =4，则AB →⋅BC →=( )A 6B −6C 8D −87. 设函数f(x)是定义在R 上周期为2的偶函数，当x ∈[0, 1]时，f(x)=−x +1，则f(1.5)=( )A −12B 12C 32D 528. 某日，我渔政船在东海某海域巡航，已知该船正以30(√3−1)海里/时的速度向正北方向航行，该船在A 点处发现北偏东30∘方向的海面上有一个小岛，继续航行20分钟到达B 点，发现该小岛在北偏东45∘方向上，若该船向北继续航行，船与小岛的最小距离可以达到（ ）海里．A 6B 8C 10D 129. 等比数列{a n }为递增数列的一个充要条件是（ ）A 前三项递增B 所有奇数项递增C 前n 项和S n 为递增数列D 首项为正数，且公比大于1 10. 用若干个棱长为l 的单位正方体堆放在一起，拼成一个几何体，若这个几何体的正视图和左视图都是如图所示的图形，则这个几何体的体积的最大值与最小值的差为（ ）A 4B 5C 6D 7二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分11. 已知对任意x ∈R ，都有x 2−ax +2a >0恒成立；则a 的取值范围为________．12. 向量a →=(m,−2)，b →=(m +1,1)，若a →⊥b →，则|a →+b →|=________．13. 函数y ＝x +lnx 在点(1, 1)处的切线方程为________．14. 函数f(x)=x 3+ax 2+x +1存在极值点，则a 的取值范围是________．15. 已知，f(x)=log 2x ，a >0，b >0，且f(a)+f(b)=1，则f(a +b)的最小值为________．16. 数列{a n }的通项公式a n =n 2sinnπ2，其前n 项和为S n ，则S 100=________． 17. 已知函数f(x)=(x+1)2+sinxx 2+1，其导函数记为f′(x)，则f(2012)+f′(2012)+f(−2012)−f′(−2012)=________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．共65分18. 值知函数f(x)=x 2−2ax +1，若使得f(x)没有零点的a 的取值范围为集合A ，使得f(x)在区间(m, m +3)上不是单调函数的a 的取值范围为集合B（1）求A 、B ；（2）若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求m 的取值范围．19. 已知ω>0,a →=(cosωx −sinωx,1)，b →=(cosωx,−12)，f(x)=a →⋅b →． （1）求函数f(x)的值域；（2）若函数f(x)的相邻两条对称轴之间的距离为π2，求f(x)在[0, π]上的单调区间．20. 数列{a n }的前n 项和为S n =2n +q ，b n =lga n ，已知{b n }为等差数列．（1）求q ；（2）求数列{a n b n }的前n 项和T n ． 21.如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠ABC =90∘,AC =BC =12AA 1，D 为A 1A 上一点，且三棱锥D −ABC 的体积为三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积的16． （1）证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；（2）在直线C 1B 上是否存在一点E ，使A 1E 平行于平面BCD ，若存在，求C 1E 与EB 的比值；若不存在，试说明理由．22. 已知函数f(x)=e x −ax −2．（1）求f(x)的单调区间；（2）若a =1，m 为整数，且x >0时，不等式(m +1−x)f(x)+m −2−2x <0恒成立，求m 的最大值．（可能用到的参数考数据：e =2.718，e 2=7.389，e 3=20.086）2012-2013学年湖北省部分重点中学高三第一次联考数学试卷（文科）答案1. D2. B3. D4. A5. C6. D7. B8. C9. A10. C11. (0, 8)12. √1013. 2x −y −1＝014. (−∞, −√3)∪(√3, +∞)15. 32 16. −500017. 218. 解：（1）f(x)没有零点，则△=4a 2−4<0，∴ −1<a <1即A ={a|−1<a <1}，f(x)在区间(m, m +3)上不单调，则m <a <m +3，即B ={a|m <a <m +3}；（2）因为x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A ⊊B ，∴ {m ≤−1m +3≥1，∴ −2≤m ≤−1； 19. 解：（1）由题意可得，f(x)=a →⋅b →=cos 2ωx −sinωxcosωx −12 =12cos2ωx −12sin2ωx =√22cos(2ωx +π4) ∴ f(x)的值域为[−√22,√22] （2）由题意可得，T =2π2ω=π∴ ω=1∴ f(x)=√22cos(2x +π4)∵ 0≤x≤π∴ π4≤2x+π4≤π+2π当π4≤2x+π4≤π即0≤x≤3π8时，f(x)单调递减当π≤2x+π4≤2π即3π8≤x≤7π8时，f(x)单调递增当2π≤2x+π4≤2π+π4即7π8≤x≤π时，f(x)单调递减∴ f(x)的单调递增区间[3π8,7π8]，递减区间为[0, 3π8]，[7π8，π]20. 解：（1）∵ 数列{a n}的前n项和为S n=2n+q，b n=lga n，{b n}为等差数列，∴ n=1时，a1=S1=2+q，n≥2时，a n=S n−S n−1=2n−1，∴ n=1时，b1=lga1=lg(2+q)，n≥2时，b n=lga n=(n−1)lg2，要使{b n}为等差数列，则b1=lga1=lg(2+q)=0，∴ q=1．（2）∵ a n=2n−1，∴ b n=lga n=(n−1)lg2，∴ T n=1×0+2×lg2+⋯+2n−1×(n−1)lg2，①∴ 2T n=22⋅lg2+23⋅2lg2+⋯+2n⋅(n−1)lg2，②①-②，得−T n=2lg2+22lg2+23lg2+...+2n−1lg2−2n⋅(n−1)lg2=lg2×[2(1−2n−1)1−2−2n(n−1)]=−lg2(n⋅2n−2n−1+2)，∴ T n=(n⋅2n−2n+1+2)⋅lg2．21. （1）证明：∵ 三棱锥D−ABC的体积为三棱柱ABC−A1B1C1的体积的16，∴ AD=12AA1，即D为AA1的中点∴ AC=AD=A1D=A1C1∴ ∠CDA=∠C1DA1=45∘∴ C1D⊥CD∵ BC⊥平面A1ACC1，∴ C1D⊥BC∵ CD∩BC=C∴ C1D⊥平面BCD∵ C1D⊂平面BDC1，∴ 平面BDC1⊥平面BDC；（2）解：存在C1B的中点E，使A1E平行于平面BCD，证明如下：取B1B的中点F，连接A1F，EF，A1E则A 1F // BD∵ EF // B 1C 1 // BC ，∴ 平面A 1EF // 平面BDC ，∵ A 1E ⊂平面A 1EF∴ A 1E // 平面BCD此时，C 1E 与EB 的比值为1．22. 解：（1）函数f(x)=e x −ax −2，f′(x)=e x −a ，若a ≤0，则f′(x)>0，f(x)在(−∞, +∞)上单调递增，若a >0，则x ∈(−∞, lna)时，f′(x)>0；当x ∈(lna, +∞)上单调递减，在(−∞, lna)上单调递增，（2）a =1，m 为整数，且x >0时，不等式(m +1−x)f(x)+m −2−2x <0恒成立， 可得(m +1−x)(e x −1)+m −2−2x <0，分离变量得，m <x −1+x+3e x 令g(x)=x −1+x+3e x ，x ∈(0, +∞)， g′(x)=e x −x−2e x ，令g(x)=x −1+x+3e x ，x ∈(0, +∞)，g′(x)=e x −x−2e x ，令ℎ(x)=e x −x −2，x ∈(0, +∞)，由（1）可知ℎ(x)在(0, +∞)上单调递减，又ℎ(1)=e −3<0，ℎ(32)=e 2−72>0，∴ 必存在x 0∈(1, 32)，使ℎ(x 0)=0， 当x ∈(0, x 0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x ∈(x 0, +∞)时，g′(x)>0，g(x)为单调递减，∴ g(x)min =g(x 0)=x 0−1+x 0+3e x 0，∵ x 0是方程e x −x −2=0的根，∴ e x =x 0+2，∴ g(x)min =x 0−1+x 0+3e x 0=x 0−1+x 0+3x 0+2=x 02+4x 0+3(x 0+2)2，令m(x 0)=x 02+2x 0+1x 0+2，x 0∈(1, 32)，m′(x 0)=x 02+4x 0+3(x 0+2)2>0 ∴ m(x 0)在(1, 32)上单调递减，∴ m(x 0)∈(43, 2514)，即g(x)max ∈(43, 2514)，∴ m的最大值为1．。