3 第三讲+复杂的行程问题(二)

第三讲 典型应用题用两步或两步以上运算解答的并且有一定解答规律的应用题叫典型应用题。

如平均数问题、行程问题、归一问题、归总问题、植树问题、周期问题、鸡兔同笼问题等。

要特别注意认识各类典型应用题的解题规律及技巧。

一、行程问题：（一）行程问题——一般行程问题、相遇问题速度×时间=路程一般行程问题 路程÷速度=时间路程÷时间=速度速度和×相遇时间=相遇距离相遇问题 相遇距离÷相遇时间=速度和相遇距离÷速度和=相遇时间（相遇时双方所用时间相同）例9：甲、乙两车分别从A 、B 两地出发，相向而行。

出发时，甲、乙的速度之比为5:4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样当甲到达B 地时，乙离A 地还有10千米，那么A 、B 两地相距多少千米？解题思路：根据题意和所问的问题可知，相遇问题，速度与路程成正比，速度比就是路程比， 相遇时路程比为5:4，路程总长可看成9份。

相遇后甲的速度为4%)201(5=-⨯，乙的速度为8.4%)201(4=+⨯，相遇后甲乙速度比为：4:4.8，问题是求A 、B 间路长，可利用比应用解，原来每份路程为50)8.45(10=-÷（千米），则全长为450950=⨯（千米）。

解：4%)201(5=-⨯ 8.4%)201(4=+⨯50)8.45(10=-÷（千米）450950=⨯（千米）答：A、B两地相距450千米。

习题巩固：1、一列火车经过某山，上山速度每小时30.5千米，下山速度每小时50.8千米。

知道上山用6小时，下山用4小时。

求这列火车上、下山平均每小时行多少千米？2、甲、乙两地的铁路长390千米，两列火车同时从两地相对开出，快车每小时行80千米，慢车每小时行50千米，两列火车开出后，几小时可以相遇？3、甲、乙两车从相距340千米的A、B两城相向而行，甲车上午8时从A城出发，乙车上午8时30分成B城出发，甲车每小时行30千米，乙车每小时行35千米。

五年级数学培优：行程问题行程问题（一）【专题导引】行程应用题是专门讲物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题。

行程问题的主要数量关系是：路程=速度×时间。

知道三个量中的两个量，就能求出第三个量。

【典型例题】【例1】甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。

两车在距中点32千米处相遇。

东、西两地相距多少千米？【试一试】1、小玲每分行100米，小平每分行80米，两人同时从学校和少年宫相向而行，并在离中点120米处相遇，学校至少年宫有多少米？2、一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，汽车每小时行40千米，摩托车每小时行65千米，当摩托车行到两地中点处时，与汽车还相距75千米，甲、乙两地相距多少千米？【例2】快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出，快车每小时行40千米，经过3小时，快车已驶过中点25千米，这时快车与慢车还相距7千米。

慢车每小时行多少千米？【试一试】1、兄、弟二人同时从学校和家中出发，相向而行。

哥哥每分钟行120米，5分钟后哥哥已超过中点50米，这时兄弟二人还相距30米。

弟弟每分钟行多少米？2、汽车从甲地开往乙地，每小时行32千米，4小时后，剩下的路比全程的一半少8千米，如果改用每小时56千米的速度行驶，再行几小时到乙地？【例3】甲、乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快6千米。

中午12时甲到西村后立即返回东村，在距西村15千米处遇到乙。

求东、西两村相距多少千米？【试一试】1、甲、乙二人同时从A地到B地，甲每分钟走250米，乙每分钟走90米。

甲到达B地后立即返回A地，在离B地3.2千米处与乙相遇。

A、B两地间的距离是多少千米？2、小平和小红同时从学校出发步行去小平家，小平每分钟比小红多走20米。

30分钟后小平到家，到家后立即原路返回，在离家350米处遇到小红。

小红每分钟走多少千米？【例4】甲、乙两队学生从相距18千米的两地同时出发，相向而行。

五年级下册复杂行程问题在我们五年级下册的数学学习中，行程问题可是一个相当重要的部分。

它不仅考验着我们对数学知识的掌握，还锻炼着我们的逻辑思维和解决实际问题的能力。

今天，就让我们一起来深入探讨一下那些复杂的行程问题。

首先，我们要明确行程问题中几个关键的概念。

速度，就是单位时间内所走的路程；时间，就是行走所花费的时长；路程，则是在一定速度下经过一定时间所走过的距离。

这三者之间有着紧密的联系，速度×时间＝路程。

比如说，有一辆汽车以每小时 60 千米的速度行驶了 3 小时，那么它行驶的路程就是 60×3 ＝ 180 千米。

理解了这些基本概念，我们才能更好地解决复杂的行程问题。

接下来，让我们看一些具体的复杂行程问题类型。

相遇问题是常见的一种。

假设甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，经过一段时间后相遇。

这时候，我们要知道，他们走过的路程之和等于 A、B 两地之间的距离。

比如，甲的速度是每小时 40 千米，乙的速度是每小时 50 千米，他们同时出发，经过 2 小时相遇。

那么 A、B 两地的距离就是（40 ＋ 50）×2 ＝ 180 千米。

追及问题也很有趣。

比如甲在乙前面一定距离，乙的速度比甲快，经过一段时间乙追上了甲。

这时候，乙走过的路程减去甲走过的路程就等于他们最初的距离差。

假设甲的速度是每小时 30 千米，乙的速度是每小时 45 千米，甲先走 1 小时，然后乙出发去追甲，经过 3 小时追上。

那么最初甲先走的路程是 30×1 ＝ 30 千米，在这 3 小时里，甲走的路程是 30×3 ＝ 90 千米，乙走的路程是 45×3 ＝ 135 千米，所以最初他们的距离差就是 135 90 ＝ 45 千米，正好等于甲先走的 30 千米。

还有环形跑道问题。

如果两人在环形跑道上同时同地同向出发，跑得快的人会不断追上跑得慢的人，每次追上就多跑一圈；如果是同时同地反向出发，两人相遇时走过的路程之和就是跑道的一圈。

4升5~3第三讲：行程问题之(火车过桥、错车与超车)第三讲：行程问题之（火车过桥、错车与超车）一、导入 28分钟过桥五个人要过桥,爸爸过桥需时1分钟,妈妈过桥需时2分钟,儿子过桥需时4分钟,妹妹过桥需时8分钟,爷爷过桥需时16分钟,由于天色已黑,他们必须持灯过桥,但桥每次只能承受2人的重量,而他们又只有一盏灯.最后他们花了28分钟来过桥,他们是如何过桥的呢? 1、爸爸妈妈先过去用时2分 2、爸爸回来用时1分 3、妹妹爷爷过去用时16分 4、妈妈回来用时2分 5、爸爸儿子过去用时4分6、爸爸回来用时1分 7、爸爸妈妈过去用时2分二、专题要点过桥问题基本公式（1）火车过桥：过一座桥，1、火车通过人所走的路程就是火车的长度。

2、火车通过桥所走的路程就是火车的长度加上桥长。

过两座桥，火车以同样的速度通过两座桥时，通过比较他们的路程差与时间差，可以求出火车行驶的速度。

（2）错车的路程=相遇路程=两列火车长度之和；错车时间=错车路程÷速度和三、典型例题及变式练习火车过桥之过一座桥例1.一列火车长400米，通过路旁一位站着的工人需要20秒，求火车的速度？400÷20=20（米）答：火车的速度是20米/秒换个角度想一想火车通过铁路工人所走的路程时多少米？1、一列火车长148米，以每分钟300米的速度通过一座长752米的大桥，那么从车头上桥到车尾离桥共要多长时间？2、一列火车长172米，以每秒钟20米的速度通过一座长728米的大桥，那么从车头上桥到车尾离桥共要多长时间？挑战思维3、一列货车车头及车身共41节，每节车身及车头长都是30米，节与节间隔1米，这列货车以每分钟1千米的速度穿过山洞，恰好用了2分钟，这个山洞长多少米？过桥问题之过两座桥1、一列火车通过240米的桥需80秒,用同样的速度通过180米的隧道要76秒。

求这列火车的速度及车长？火车的速度：（240-180）÷（80-76）=15米/秒火车车长：15×80-240=960（米）答：求这列火车的速度是15米/秒，车长是960米？赛点透析车头及车身共41节，共40个间隔，“车身”长多少米？火车通过山洞的总路程减去车身的长度就是山洞长。

第三讲行程问题编写说明在四年级春季的学习中,我们已经研究了行程问题中一些最基本的相遇与追击以及火车过桥问题.在暑期的三、四讲中我们将继续研究综合行程问题和流水行船问题. 学生对行程问题大都很“晕”,常常不知从何下手,鉴于此,我们尽量按照类别进行介绍,帮助学生一步一步找到解决各个类型的一些思路.在安排行程的题目时,我们选用的题目难度并不大,希望教师能引导孩子们,克服心理恐惧,能部分独立解答相应阶段的行程问题,增加孩子的自信与兴趣！以上观点仅供交流！内容概述行程问题是一类常见的重要应用题,在历次数学竞赛中经常出现．行程问题包括：相遇问题、追及问题、流水行船问题、环形行程问题等等,思维灵活性大,辐射面广,但万变不离根本,就是距离、速度、时间三个基本量之间的关系,即：距离=速度×时间 .在这三个量中,已知两个,可求出第三个未知量．这一讲就是通过例题加深对这三个基本数量关系的理解.解决行程问题时,画图分析是一个非常有效的方法,我们一定要养成画图解决问题的好习惯！你还记得吗【复习1】如右图,A,B是圆的直径的两端,甲在A点,乙在B点同时出发反向而行,两人在C点第一次相遇,在D点第二次相遇。

已知C离A有80米,D离B有60米,求这个圆的周长。

分析：从A点出发到第一次相遇,两人共走了0.5圈；从A点出发到第二次相遇,两人共走了1.5圈。

因为1.5÷0.5＝3,所以第二相遇时甲走的路程是第一次相遇时的3倍,即弧ACD=AC×3=240（米）,则弧AB=240—BD=180（米）,圆周长为180×2=360（米）【复习2】两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑. 甲每分钟跑250米,乙每分钟跑200米,两人同时同地同向出发,经过45分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发,经过多少分钟两人相遇？分析：环形道一周的长度：（250-200）×45=2250（米）.反向出发的相遇时间：2250÷（250+200）=5（分钟）.平均速度【例1】一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周. 在三条边上它每分钟分别爬行50cm,20cm,40cm（如右图）.它爬行一周平均每分钟爬行多少厘米？分析：假设每条边长为200厘米,则总时间=200÷50+200÷20+200÷40=4+10+5=19（分钟）,爬行一周的平均速度=200×3÷19=113119（厘米/分钟）.【前铺】汽车上山以30千米／时的速度,到达山顶后立即以60千米／时的速度下山.求该车的平均速度.分析：注意平均速度=总路程÷总时间,我们可以把上山的路程看作“1”,那么就有：（1+1）÷（113060）=40（千米／时）,在这里我们使用的是特殊值代入法,当然可以选择其他方便计算的数值,比如上山路程可以看作60千米,总时间=（60÷30）+（60÷60）=3,总路程=60×2=120,平均速度=120÷3=40（千米/时）.【前铺】汽车往返于A,B两地,去时速度为40千米／时,要想来回的平均速度为48千米／时,回来时的速度应为多少？分析：假设AB两地之间的距离为480÷2=240千米,那么总时间=480÷48=10（小时）,回来时的速度=240÷（10-240÷40）=60（千米/时）.【巩固】有一座桥,过桥需要先上坡,再走一段平路,最后下坡,并且上坡、平路及下坡的路程相等.某人骑自行车过桥时,上坡、走平路和下坡的速度分别为4米／秒、6米／秒和8米／秒,求他过桥的平均速度.分析：假设上坡、平路及下坡的路程均为24米,那么总时间=24÷4+24÷6+24÷8=6+4+3=13（秒）,过桥的平均速度=24×3÷13=7513（米/秒）.【例2】老王开汽车从A到B为平地（见右图）,车速是30千米／时；从B 到C为上山路,车速是22.5千米／时；从C到D为下山路,车速是36千米／时. 已知下山路是上山路的2倍,从A到D全程为72千米,老王开车从A到D共需要多少时间？分析：设上山路为x千米,下山路为2x千米,则上下山的平均速度是：（x+2x）÷（x÷22.5+2x ÷36）=30（千米/时）,正好是平地的速度,所以行AD总路程的平均速度就是30千米/时,与平地路程的长短无关.因此共需要72÷30＝2.4（时）.【例3】甲、乙两地相距6千米,某人从甲地步行去乙地,前一半时间平均每分钟行80米,后一半时间平均每分钟行70米.问他走后一半路程用了多少分钟？分析：（法１）全程的平均速度是每分钟（80+70）÷2=75米,走完全程的时间是6000/75=80分钟,走前一半路程速度一定是80米,时间是3000÷80=37.5分钟,后一半路程时间是80-37.5=42.5分钟（法2）设走一半路程时间是x分钟,则80x+70x=6×1000,解方程得：x=40分钟,因为80×40=3200米,大于一半路程3000米,所以走前一半路程速度都是80米,时间是3000÷80=37.5分钟,后一半路程时间是40+（40-37.5）=42.5分钟【例4】小明从家到学校有两条一样长的路,一条是平路,另一条是一半上坡路、一半下坡路. 小明上学走两条路所用的时间一样多. 已知下坡的速度是平路的1.5倍,那么上坡的速度是平路的多少倍？分析：（法1）设路程为180,则上坡和下坡均是90. 设走平路的速度是2,则下坡速度是3,走下坡用时间90÷3=30,走平路一共用时间180÷2=90,所以走上坡时间是90-30=60 走与上坡同样距离的平路时用时间90÷2=45 因为速度与时间成反比,所以上坡速度是下坡速度的45÷60=0.75倍.（法2）因为距离和时间都相同,所以平均速度也相同,又因为上坡和下坡路各一半也相同,设距离是1份,时间是1份,则下坡时间=0.5÷1.5=1/3,上坡时间=1-1/3=2/3,上坡速度=（1/2）÷（2/3）=3/4=0.75（法3）因为距离和时间都相同,所以：1/2×路程/上坡速度+1/2×路程/1.5=路程/1,得：上坡速度=0.75.沿途数车【例5】小明放学后,沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家,该路公共汽车也以不变速度不停地运行. 每隔9分钟就有辆公共汽车从后面超过他,每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车. 问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车?公共汽车的速度是小明步行速度的几倍?分析：假设小明在路上向前行走了63（7、9的最小公倍数）分钟后,立即回头再走63分钟,回到原地.这时在前63分钟他迎面遇到63÷7=9（辆）车,后63分钟有63÷9=7（辆）车追上他,那么在两个63分钟里他共遇到朝同一方向开来的16辆车,所以发车的时间间隔为：63×2÷（9+7）=778（分）.公共汽车的发车时间以及速度都是不变的,所以车与车之间的间隔也是固定不变的. 根据每隔9分钟就有辆公共汽车从后面超过他,我们可以得到：间隔=9×（车速-步速）；每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车,我们可以得到：间隔=7×（车速+步速）,所以9×（车速-步速）=7×（车速+步速）,化简可得：车速=8倍的步速.【巩固】小红放学后沿着公共汽车的线路以4千米／时的速度往家走,一边走一边数来往的公共汽车. 到家时迎面来的公共汽车数了11辆,后面追过的公共汽车数了9辆. 如果公共汽车按相等的时间间隔发车,那么公共汽车的平均速度是多少?分析：我们可以假设小红放学走到家共用99分钟,那么条件就可以转化为：“每隔9分钟就有辆公共汽车迎面开来,每隔11分钟就有辆公共汽车从后面超过他”.根据汽车间隔一定,可得：间隔=11×（车速-步速）=9×（车速+步速）,化简可得：车速=10倍的步速.所以车速为40千米/时.【巩固】小宇以均匀速度走路上学,他观察来往的同一路电车,发现每隔12分钟有一辆电车从后面超过他,每隔4分钟有一辆电车迎面而来．如果电车也是匀速行驶的,那么起点站和终点站隔多少分钟发一辆电车？分析：（法1）：[12,4]=12,12×2÷（1+3）=6（分钟）.（法2）：把电车的间隔距离看作1,那么有：车速+人速=14,车速-人速=112,所以车速=111()24126+÷=,发车间隔时间=1÷16=6（分钟）.【例6】在一条马路上,小明骑车与小光同向而行,小明骑车速度是小光速度的3倍,每隔10分有一辆公共汽车超过小光,每隔20分有一辆公共汽车超过小明. 已知公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车,问：相邻两车间隔几分？分析：设车速为a,小光的速度为b,则小明骑车的速度为3b。

小升初重点专题练习----较复杂的行程问题一、行程问题三要素：路程、速度、时间路程=速度×时间速度=路程÷时间时间=路程÷速度二、相遇问题甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程，如果两人同时出发，那么：相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间＝（甲的速度+乙的速度）×相遇时间＝速度和×相遇时间相遇问题：路程和=速度和×相遇时间速度和=路程和÷相遇时间相遇时间=路程和÷速度和三、追及问题有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上慢者，这就是“追及问题”。

要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）。

在相同的时间（追及时间）内（设甲走得快，乙走得慢）：追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间＝（甲的速度-乙的速度）×追及时间＝速度差×追及时间.追及问题：追及时间=路程差÷速度差路程差=速度差×追及时间速度差=路程差÷追及时间四、火车过桥问题（一）火车完全通过大桥火车完全过桥问题，首先要弄清列车通过一座桥是指从车头上桥到车尾离桥，列车过桥的总路程是桥长加车长。

基本数量关系：过桥的路程 = 桥长 + 车长完全通过桥的时间 =（桥长 + 车长）÷车速（二）火车完全在大桥上运行火车完全在大桥上运行，前提条件是桥长大于火车长，首先要弄清列车完全在大桥上运行是指从车尾上桥到车头离桥，总路程是桥长减车长。

基本数量关系：过桥的路程 = 桥长 - 车长完全在桥上的时间 =（桥长 -车长）÷车速典例精析：例1：（单人行程问题）淘气是一个自行车爱好者，正常骑自行车每小时行15千米。

欢达教育个性化辅导授课教师：李林繁学生：时间：__2013_年_ _月日内容（课题）复杂行程问题教学目的（以新课标的二维目标三个层次写）掌握知识要点：行程问题的三个基本量是：路程、速度、时间，他们之间关系是：路程=时间×速度速度=路程÷时间时间=路程÷速度常见的行程问题可分为两类：相遇问题和追击问题。

相遇问题的公式是：相遇时间=路程÷速度和追及问题的公式是：追及时间=路程÷速度差行程问题还包括流水问题，其关系式为：顺水速度=船速＋水逆水速度=船速－水速教学过程（上次作业答疑—本次考点分析、方法点拨—典例—精练—小结）例1、甲、乙两辆汽车同时从A、B两城出发，相向而行，在离A城75千米处相遇，两车各自到达对方城市后，都立即以原路返回，又在离A城33千米处相遇。

A、B两城间的距离是多少千米？练习：甲、乙两人同时从自己的家里出发，相向而行，甲步行每分钟行75米，乙骑车每分钟行180米，两人在距中点210米处相遇，甲和乙两家相距多少米？例2、甲、乙两辆汽车分别从相距95千米的A、B两地同时相对开出，在甲车离开A地45千米处两车相遇。

相遇后两车继续前进，分别到达A、B两地后又立即返回，途中离B地多少千米处相遇？练习：甲、乙两车同时从A、B 两地相向而行，在距A地52千米处相遇，他们各自到达对方车站后立即返回原地，途中又在距B地36千米处相遇。

求A、B两地相距多少千米？例3、甲、乙、丙三人同时从A向B跑，当甲跑到B时，乙离B还有20米，丙离B还有40米，当乙跑到B时，丙离B还有24米，问：（1）A、B相距多少米？（2）如果丙从A跑到B用24秒，那么甲的速度是多少？练习：甲、乙两人都从A地经B地到C地。

甲8点出发，乙8点45分出发。

乙9点45分到达B 地时，甲已经离开B地20分，两人刚好同时到达C地，那么到达C地时是什么时间？例4、在周长是200米的圆形跑道两端，甲、乙两人分别以每秒6米和每秒5米的骑车速度同时出发，沿着圆周行驶，那么16分钟内甲追上乙多少次？解析：这是一道追及问题，甲、乙两人分别同时从A、B出发，同向而行，乙在前甲在后，两人相距200÷2=100（米），是追及路程，每经过1秒，甲、乙的距离就缩短了6－5=1（米）根据追及路程÷速度差=追及时间，可求出第一次追上的时间，接下去每次的追及路程为200米。

第三章实践与应用（行程问题）………………………………第一讲行程问题（一）………………………………第二讲行程问题（二）………………………………第三讲行程问题（三）………………………………第四讲行程问题（四）………………………………第一讲行程问题（一）【专题导引】行程应用题是专门讲物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题。

行程问题的主要数量关系是：路程=速度×时间。

知道三个量中的两个量，就能求出第三个量。

【典型例题】【例1】甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。

两车在距中点32千米处相遇。

东、西两地相距多少千米？解：甲乙相遇时甲比乙多行驶：32*2=64千米甲每小时比乙多行驶：56-48=8千米那么甲乙相遇是他们总共行驶了：64/8=8小时所以两地的距离为：（56+48）*8=832千米【试一试】1、小玲每分行100米，小平每分行80米，两人同时从学校和少年宫相向而行，并在离中点120米处相遇，学校至少年宫有多少米？2、一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，汽车每小时行40千米，摩托车每小时行65千米，当摩托车行到两地中点处时，与汽车还相距75千米，甲、乙两地相距多少千米？【例2】快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出，快车每小时行40千米，经过3小时，快车已驶过中点25千米，这时快车与慢车还相距7千米。

慢车每小时行多少千米？解：快车3个小时总共行驶的路程为：40*3=120千米由于快车行驶过中点25千米且两车还相距7千米那么慢车行驶的路程为：120-25-25-7=63千米慢车的速度为：63/3=21千米/小时【试一试】1、兄、弟二人同时从学校和家中出发，相向而行。

哥哥每分钟行120米，5分钟后哥哥已超过中点50米，这时兄弟二人还相距30米。

弟弟每分钟行多少米？【例3】甲、乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快6千米。

中午12时甲到西村后立即返回东村，在距西村15千米处遇到乙。