函数的单调性和奇偶性
已知 f(x)＝x－x a(x≠a)． (1)若 a＝－2，试证明 f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若 a>0 且 f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求 a 的取值范围． 【解】 (1)证明：任设 x1<x2<－2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1x＋1 2－x2x＋2 2＝（x12＋（2x）1－（xx22）＋2）. 因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0， 所以 f(x1)<f(x2)， 所以 f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
求 a 的取值范围．
解：因为 f(x)在 R 上是单调递增的函数，所以 f(x)需满足在区
间(－∞，1]和(1，＋∞)上都是单调递增的，并且端点处(x＝1)
的函数值－12－a－5≤a1，即 a≥－3；f(x)＝－x2－ax－5 的对称
轴为直线 x＝－a2，f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以－a2≥1，
(2)任设 1<x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1x－1 a－x2x－2 a ＝（x1a－（ax）2－（xx12）－a）. 因为 a>0，x2－x1>0， 所以要使 f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0 恒成立，所以 a≤1. 综上所述，a 的取值范围是(0，1]．
即 a≤－2；f(x)＝ax在(1，＋∞)上单调递增，所以 a<0.综上所述，
a 的取值范围是[－3，－2]．
函数图象及应用
对于函数 f(x)＝x2－2|x|. (1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性； (2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值． 【解】 (1)函数的定义域为 R，关于原点对称， f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|. 则 f(－x)＝f(x)， 所以 f(x)是偶函数． 图象关于 y 轴对称．
2．若 3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，则 f(x)的解析式为________． 解析：令 t＝x－1，则 x＝t＋1，t∈R， 原式变为 3f(t)＋2f(－t)＝2(t＋1) ①. 以－t 代替 t，①式变为 3f(－t)＋2f(t)＝2(1－t) ②. 由①②消去 f(－t)得 f(t)＝2t＋25， 故 f(x)＝2x＋25. 答案：f(x)＝2x＋25
求函数解析式的题型与相应的解法 (1)已知形如 f(g(x))的解析式求 f(x)的解析式，使用换元法或配 凑法． (2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系 数法． (3)含 f(x)与 f(－x)或 f(x)与 f1x，使用解方程组法． (4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶 性转移法．
1．设函数 f(x)的定义域为[1，5]，则函数 f(2x－3)的定义域为
() A．[2，4]
B．[3，11]
C．[3，7]
D．[1，5]
解析：选 A.由题意得，1≤2x－3≤5，解得 2≤x≤4，所以函数 f(2x－3)的定义域是[2，4]．
2．设函数 f(x)＝－2x2＋4x 在区间[m，n]上的值域是[－6，2]， 则 m＋n 的取值范围是________． 解析：由题意可得：函数 f(x)＝－2x2＋4x 的对称轴为直线 x＝1， 故当 x＝1 时，函数取得最大值为 2.因为函数的值域是[－6，2]， 令－2x2＋4x＝－6，可得 x＝－1 或 x＝3.所以－1≤m≤1，1≤n ≤3，所以 0≤m＋n≤4.即 m＋n 的取值范围为[0，4]．
答案：[0，4]
函数的解析式
(1)已知 f(x＋1)＝x2－5x＋4，则 f(x)＝________． (2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝x2 －2x＋3. ①求出函数 f(x)在 R 上的解析式； ②写出函数的单调区间(写出即可，不需要证明)．
【解】 (1)令 x＋1＝t， 则 x＝t－1， 因为 f(x＋1)＝x2－5x＋4， 所以 f(t)＝(t－1)2－5(t－1)＋4＝t2－7t＋10， 所以 f(x)＝x2－7x＋10. 故填 x2－7x＋10. (2)①设 x<0，则－x>0， 所以 f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3. 又因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 所以 f(－x)＝－f(x)，所以 f(x)＝－x2－2x－3.
1．已知函数 y＝ax2＋bx＋c，如果 a>b>c 且 a＋b＋c＝0，则它 的图象可能是( )
解析：选 D.因为 a>b>c 且 a＋b＋c＝0，所以 a>0，c<0，f(1)＝0， 则可知开口向上，排除 A、C，然后根据 f(0)＝c<0，可知函数 图象与 y 轴的交点在 x 轴下方．
2．已知 f(x)为定义在 R 上的奇函数，且 f(x)＝f(2－x)，当 x∈[0， 1]时，f(x)＝x.求 x∈[－3，5]时，f(x)＝12的所有解的和． 解：当 x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]， 所以 f(－x)＝－x. 又因为 f(x)为奇函数， 所以 x∈[－1，0]时，f(x)＝－f(－x)＝x，即 x∈[－1，1]时，f(x) ＝x. 又由 f(x)＝f(2－x)可得 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称．由此可 得 f(x)在[－3，5]上的图象如图：
解：(1)因为 A＝{x|－3<x≤6}， M＝{x|－4≤x<5}， 所以 A∩M＝{x|－3<x<5}． (2)因为 M＝{x|－4≤x<5}， 所以∁UM＝{x|x<－4 或 x≥5}， 又 B＝{x|b－3<x<b＋7}，B∪(∁UM)＝R， 所以bb－＋37<≥－5，4，解得－2≤b<－1. 所以实数 b 的取值范围是{b|－2≤b<－1}．
【解】 (1)选 C.由 A∩B＝{1}得 1∈B， 所以 m＝3，B＝{1，3}． (2)选 A.A∩B＝{x|－2<x<－1}． (3)①A∩B＝{x|3≤x<6}． 因为∁RB＝{x|x≤2 或 x≥9}， 所以(∁RB)∪A＝{x|x≤2 或 3≤x<6 或 x≥9}．
②因为 C⊆B，如图所示．
函数单调性与奇偶性应用的常见题型 (1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性． (2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间． (3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式． (4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围．
1．(2019·张家界高一检测)已知函数 y＝f(x)是 R 上的偶函数， 且在(－∞，0]上是增函数，若 f(a)≤f(2)，则实数 a 的取值范围 是( ) A．a≤2 B．a≥－2 C．－2≤a≤2 D．a≤－2 或 a≥2
所以aa≥ ＋21， ≤9， 解得 2≤a≤8， 所以所求集合为{a|2≤a≤8}．
(1)集合基本运算的方法 ①定义法或 Venn 图法：集合是用列举法给出的，运算时可直 接借助定义求解，或把元素在 Venn 图中表示出来，借助 Venn 图观察求解； ②数轴法：集合是用不等式(组)给出的，运算时可先将不等式 在数轴中表示出来，然后借助数轴求解．
解析：选 D.因为 y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数， 所以 y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，由 f(a)≤f(2)，得 f(|a|)≤f(2)， 所以|a|≥2，得 a≤－2 或 a≥2，故选 D.
－x2－ax－5（x≤1），
2．已知函数 f(x)＝ax（x>1）
是 R 上的增函数，
(2)集合与不等式结合的运算包含的类型及解决办法 ①不含字母参数：直接将集合中的不等式解出，在数轴上求解； ②含有字母参数：若字母的取值影响到不等式的解，要先对字 母分类讨论，再求解不等式，然后在数轴上求解．
已知集合 A＝{x|－3<x≤6}，B＝{x|b－3<x<b ＋7}，M＝{x|－4≤x<5}，全集 U＝R. (1)求 A∩M； (2)若 B∪(∁UM)＝R，求实数 b 的取值范围．
(2)f(x)＝x2－2|x|＝xx22－＋22xx＝＝（（xx－＋11））22－－11，，xx≥<00. ， 画出图象如图所示，
根据图象知，函数 f(x)的最小值是－1.单调增区间是[－1，0]， [1，＋∞)；单调减区间是(－∞，－1]，[0，1]．
作函数图象的方法 (1)描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线． (2)变换法——熟知函数的图象的平移、对称、翻转． ①平移：y＝f(x)―左加―右→减y＝f(x±h)； y＝f(x)―上加―下→减y＝f(x)±k.(其中 h>0，k>0) ②对称：y＝f(x)―关―于―y轴―对称→y＝f(－x)； y＝f(x)――关于―x轴―对―称→y＝－f(x)； y＝f(x)―关―于原―点―对→称 y＝－f(－x)．
第一章 自然灾害概述
章末复习提升课
集合的运算
(1)设集合 A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若 A∩B
＝{1}，则 B＝( )
A．{1，－3}
B．{1，0}
C．{1，3}
D．{1，5}
(2)若集合 A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1 或 x>3}，则 A∩B＝ () A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3} C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3} (3)设全集为 R，集合 A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2<x<9}． ①分别求 A∩B，(∁RB)∪A； ②已知 C＝{x|a<x<a＋1}，若 C⊆B，求实数 a 的取值构成的集 合）， 所以 f(x)＝0（x＝0），
－x2－2x－3（x<0）.
x2－2x＋3（x>0），
②画出函数 f(x)＝0（x＝0），
