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高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。
选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。
3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。
4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。
5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。
二。
填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。
2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。
3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。
4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。
2015届高三年级期末考试 数 学 试 题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．sin(210)-的值为A ．B ．C ．D ．2．设全集U R =，(2){|ln(2)},{|21}x x A x N y x B x -=∈=-=≤，A B =A ．B ．C ．{}1D ．{}0,13．设x R ∈，则“1x =”是“复数()()211z x x i =-++”为纯虚数的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若201312014a a a -<<-，则必定有 A ．201320140,0S S ><且 B ．201320140,0S S <>且 C ． 201320140,0a a ><且 D ．201320140,0a a <>且 5．若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 A.10 B.20 C.30 D.120 6．函数sin(2)3y x π=-+在区间[0,]π上的单调递增区间为A ．511[,]1212ππ B ．5[0,]12π C ．2[,]63ππ D ．2[,]3ππ 7．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体， 其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何 体的体积是A ．143 B ．4 C ．103D ．38．A 、B 、C 三点不共线，D 为BC 的中点，对于平面ABC内任意一点O 都有11222OP OA OB OC =--，则A.AP AD =B.PA PD =C.DP DA =D.PA AD = 9．将边长为2的等边PAB 沿x 轴正方向滚动，某时刻P 与坐标原点重合(如图)，设顶点(,)P x y 的轨迹方程是()y f x =，关于函数()y f x =的有下列说法：①()f x 的值域为[]0,2； ②()f x 是周期函数； ③(4.1)()(2013)f f f π<<； ④69()2f x dx π=⎰. 其中正确的说法个数为A ．0B ．1C ．2D ．310．过双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2OP OE OF =-，则双曲线的离心率为ABCD11．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含个小正方形．则等于正视图 侧视图俯视图A ．761B ．762C ．841D ．84212．若a 、b 是方程lg 4x x +=，104xx +=的解，函数()()22,02,0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩，则关于x 的方程()f x x =的解的个数是A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．） 13．下图是某中学甲、乙两名学生2014年篮球比 赛每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两名学生得 分的中位数之和是___________．14．已知平面α截一球面得圆M ,过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为5,圆M 的面积为9π,则圆N 的面积为______________.15．已知{(,)|||1,||1}x y x y Ω=≤≤，A 是曲线2y x =与12y x =围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为________． 16．对于四面体，以下命题中，真命题的序号为 （填上所有真命题的序号） ①若AB ＝AC ，BD ＝CD ，E 为BC 中点，则平面AED ⊥平面ABC ； ②若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，则BD ⊥AC ；③若所有棱长都相等，则该四面体的外接球与内切球的半径之比为2:1； ④若以A 为端点的三条棱所在直线两两垂直，则A 在平面BCD 内的射影为△BCD 的垂心； ⑤分别作两组相对棱中点的连线，则所得的两条直线异面。
吉林师范成人教育期末考试试卷《高等数学》A 卷年级 专业 姓名 分数一、填空题（每小题3分，本题共18分）1．=∞→xxx sin lim.2．函数1)(2-=x xx f 的间断点是 .3．设x x y 2sin 2=，则=dy . 4．⎰='dx x f )( .5．()⎰-=+ππxdx x xsin 246．()⎰=xdt t x y 032 ,()='x y二、判断题（正确的画“√”，错误的画“⨯”）（每小题3分，本题共15分） 1．若数列{}n x 有界，则数列{}n x 一定收敛. ( )2．若函数)(x f 在0x 处左、右极限存在,则函数)(x f 在0x 处极限存在. ( )3．若函数)(x f 在0x 处可导,则函数)(x f 在0x 处连续. ( )4．函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，则函数)(x f 在区间[]b a ,一定可积. ( )5.函数()x f y =在[]a a ,-上可积且是偶函数，则()()⎰⎰-=a aadxx f dx x f 02（ ）三、计算下列各题（每小题6分，共计60分）1．132lim 221--+→x x x x 2．xxx 3sin 5sin lim 0→3．31sin lim xxx x --→4．xe e xx x sin lim 0-→-5．设3)12(+=x y .求y '6. 求由方程022=-+xy y x 所确定的隐函数的导数y '.7. 求 ⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-+dx x x x 211cos 28. 求 ()⎰-dx x 219.求 ⎰-44sin ππxdx x10.求由曲线1=xy 及直线x y =，2=x ,0=y 围成图形的面积.四、证明不等式a b a b -≤-arctan arctan （7分）吉林师范大学云南函授站考试卷(A 卷)专业 数学与应用数学 08 －09 学年 上 学期《高等数学》参考答案一、填空题1．0； 2．1±； 3．()dx x x x x 2cos 22sin 22+； 4．c x f +)(； 5．0 ； 6．32x ；二、判断题（正确的画“√”，错误的画“╳”）（每小题3分，本题共15分） 1．╳ ；2．╳ ；3．√ 4．√5. √ 三、1．132lim 221--+→x x x x 解：原式＝())1)(1()3(1lim1-++-→x x x xx ()224)1(3lim1==++→x x x 2．xx x 3sin 5sin lim0→解：原式＝33sin 355sin 5lim0x x x →＝33sin 3lim 55sin 5lim 00xxx x →→＝35 或原式＝x xx 3cos 35cos 5lim 0→＝353cos 3lim 5cos 5lim 00=→→x x x x 3．30sin limxxx x -→ 解：原式＝203cos 1lim xx x -→＝x x x 6sin lim 0→＝616cos lim 0=→x x 4．xe e xx x sin lim 0-→-解：原式＝=--→x e e x x x sin lim02111cos lim 0=+=+-→x e e x x x 5．设3)12(+=x y .求y '解：原式＝()='++=12)12(32x x y 22)12(62)12(3+=+x x 6. 求由方程022=-+xy y x 所确定的隐函数的导数y '. 解：方程两边对x 求导： 022='--'+y x y y y x ()x y y x y 22-='- xy xy y --='227. 求 ⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-+dx x x x 211cos 2 解：原式＝C x x x +--arctan sin 28. 求 ()⎰-dx x 21解：原式＝C x x x dx x x ++-=+-⎰32231)21(9.求 ⎰-44sin ππxdx x解：原式＝2⎰40sin πxdx x ＝⎰-40cos 2πx xd ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎰4040cos cos 2ππxdx x x＝242sin 224240+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---πππx 10.求由曲线1=xy 及直线x y =，2=x ,0=y 围成图形的面积.解：211021021ln 211x x dx x xdx S +=+=⎰⎰2ln 21+ 四、证明不等式a b a b -≤-arctan arctan （7分） 证明：函数[]b a x xx f ,arctan )(∈=易见)(x f 在[]b a ,上连续，且满足拉格朗日中值定理，则在[]b a ,存在一点ξ有：a b f a f b f -'=-)(()()(ξ即 )(11arctan arctan 2a b a b -+=-ξa b a b a b -≤-+=-∴211arctan arctan ξ。
一．R，S是集合A上的两个关系。
试证明下列等式：（1）(R•S)-1= S-1•R-1（2）(R-1)-1= R答：（1）对∀∈(R。
S)^(-1)∈R。
S∈R ∧∈S∈S^(-1)∧∈R^(-1)∈S^(-1)。
R^(-1)（2）对∀∈(R^(-1))^(-1)∈R^(-1)∈R二、R，S是集合A上的两个关系。
试证明下列等式：（1）(R∪S)-1= R-1∪S-1（2）(R∩S)-1= R-1∩S-1（1）证相互包含:任意<x,y>∈（R∪S）^(-1),<y,x>∈（R∪S）,<y,x>∈R或者),<y,x>∈S<x,y>∈R^(-1),或者<x,y>∈S^(-1),<x,y>∈R^(-1)∪S^(-1),（R∪S）^(-1)包含于R^(-1)∪S^(-1),任意<x,y>∈R^(-1)∪S^(-1),<x,y>∈R^(-1),或者<x,y>∈S^(-1),<y,x>∈R或者,<y,x>∈S<y,x>∈（R∪S）,<x,y>∈（R∪S）^(-1),R^(-1)∪S^(-1)包含于（R∪S）^(-1),所以（R∪S）^(-1)=R^(-1)∪S^(-1),（2）任意<x,y>∈（R∩S）^(-1),<y,x>∈（R∩S）,<y,x>∈R并且,<y,x>∈S<x,y>∈R^(-1),并且<x,y>∈S^(-1),<x,y>∈（R^(-1)∩S^(-1),（R∩S）^(-1)包含于R^(-1)∩S^(-1),任意<x,y>∈R^(-1)∩S^(-1),<x,y>∈R^(-1),并且<x,y>∈S^(-1),<y,x>∈R并且,<y,x>∈S<y,x>∈（R∩S）,<x,y>∈（R∩S）^(-1),R^(-1)∩S^(-1)包含于（R∩S）^(-1),所以（R∩S）^(-1)=R^(-1)∩S^(-1),三、设R是非空集合A上的关系，如果1）对任意a∈A，都有a R a ；2）若aRb，aRc，则bRc ；对称性：已知aRa,对任意b,如果aRb,那么根据条件2有bRa.传递性：对任意a,b,c,如果aRb且bRc,那么根据对称性有bRa,再根据条件2就有aRc.四、若集合A上的关系R，S具有对称性，证明：R•S具有对称性的充要条件为R•S= S•R。
高等数学作业AⅢ吉林大学公共数学教学与研究中心2013年9月第一次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．设L 是圆周222x y a +=，则22()d n L x y s +=⎰( ) ． （A ）2n a π；（B ）12n a π+；（C ）22n a π；（D ）212n a π+．2．设L 是由(0, 0), (2, 0), (1, 1)三点连成的三角形边界曲线，则d L y s =⎰( )．（A（B ）2+（C ）（D ）2+3．设∑是锥面222x y z +=在01z ≤≤的部分，则22()d x y S ∑+=⎰⎰( )． （A ）1300d d r r πθ⎰⎰； （B ）21300d d r r πθ⎰⎰；（C 1300d d r r πθ⎰；（D 21300d d r r πθ⎰．4．设∑为2222(0)x y z a z ++=≥，1∑是∑在第一卦限中的部分，则有( )． （A ）1d 4d x S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（B ）1d 4d y S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（C ）1d 4d z S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（D ）1d 4d xyz S xyz S ∑∑=⎰⎰⎰⎰．二、填空题1．设曲线L 为下半圆y =22()d L x y s +=⎰ ． 2．设L 为曲线||y x =-上从1x =-到1x =的一段，则d L y s =⎰ ．3．设Γ表示曲线弧,,,(02)2t x t y t z t π==≤≤，则222()d xy z s Γ++=⎰ ．4．设∑是柱面222(0)x y a a +=>在0z h ≤≤之间的部分，则2d x S ∑=⎰⎰ ．5．设∑是上半椭球面2221(0)94x y z z ++=≥，已知∑的面积为A ，则222(4936)d x y z xyz S ∑+++=⎰⎰ ．三、计算题1．计算22ed x y L s +⎰，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．2．2d z s Γ⎰，其中2222,:0.x y z a x y z ⎧++=Γ⎨++=⎩．3．计算曲面积分()d xy yz zx S ∑++⎰⎰,其中曲面:z ∑=被柱面222x y x +=所截得部分。
系班级姓
名学号装订
线内不要答题XXXX 大学2014/2015学年第一学期《高等数学》期末考试试卷(A 卷)绝密⋆启用前(XXXX 年级)题号一二三总分复核人得分得分评卷人复核人一、选择题(共20小题，每小题3分，共60分)(类型说明：每一道试题下面有A 、B 、C 、D 四个选项，请从中选择一个最佳答案，并在答题卡上将相应题号的字母涂黑，以示正确答案.)1.已知得分评卷人复核人二、填空题(共10小题，每小题3分，共30分)(类型说明：请把答案写在题中横线上，不必写出中间过程.)2.已知得分评卷人复核人三、解答题(共2小题,每小题5分,共10分)(类型说明：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请在指定区域作答.)3.已知
《高等数学》试卷共2页第1页
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《高等数学AI 》期末复习题一参考答案一、选择题：1. C ；2. C ；3. D ；4. B ；5. D ；二、填空题：1、[ 2，4 ]；2、1；3、x = 1；4、y = x + 1；5、5272x ；6、单调增加；7、( - 1，6 )；8、3；9、y = 1；10、C ln x a a+；1112、π2；13、3。
三、计算下列极限：1、解：原式 = 201cos lim x xx→- 2、解：原式 = 1lim (1)1xx x →∞++ = 22012lim x x x → =1111lim (1)(1)11x x x x +-→∞+⋅+++ =12。
= e 。
四、计算下列导数：1、解：y ′ = 22(1)(2)x x x +-++2、解：y ′ = cos 1sin xx+。
=21(2)x + d y = 21(2)x + d x 。
3、解：方程两边对x 求导：3 y 2 y ′ - 3 y ′ - 6 x 5 = 0，y ′ = 5221x y -。
五、计算下列积分：1、解：dx x x ⎰++2212=dx x x ⎰+++11122=dx x ⎰++)111(2=arctan C x x ++。
2、解：dx x x ⎰+2sin 1cos =)(sin sin 112x d x⎰+=arctan(sin )C x +。
3、解：原式 = ( x 3 – x 2 + x )|10 = 1。
4、解：原式 =111000||11x x x xe e d x e e e e -=-=-+=⎰。
5、解：令t=x = t 2 ，d x = 2 t d t ，原式 = 102cos t t dt ⎰ =11002(sin |sin )t t t dt -⎰102(sin1cos |)2(sin1cos11)t =+=+-。
六解：(1) 函数的定义域为：( - ∞，- 3 ) ∪ ( - 3，+ ∞)。
吉林大学---高数-A3作业高等数学作业AⅢ吉林大学公共数学教学与研究中心2013年9月1第一次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．设L 是圆周222x y a +=，则22()d n L x y s +=⎰( ) ．（A ）2n a π； （B ）12n a π+； （C ）22n a π；（D ）212n a π+．2．设L 是由(0, 0), (2, 0), (1, 1)三点连成的三角形边界曲线，则d L y s =⎰( )．（A（B）2 （C） （D）2+3．设∑是锥面222x y z +=在01z ≤≤的部分，则22()d x y S ∑+=⎰⎰( )． （A ）1300d d r rπθ⎰⎰； （B ）21300d d r r πθ⎰⎰； （C1300d d r r πθ⎰； （D21300d d r r πθ⎰． 4．设∑为2222(0)x y z a z ++=≥，1∑是∑在第一卦限中的部分，则有( )．（A ）1d 4d x S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰； （B ）1d 4d y S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（C ）1d 4d z S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰； （D ）1d 4d xyz S xyz S ∑∑=⎰⎰⎰⎰．3．计算曲面积分()d xy yz zx S ∑++⎰⎰,其中曲面:z ∑=222x y x +=所截得部分。
14．求222d Sx y z ∑++⎰⎰，其中∑是介于0z =与4z =之间的柱面224x y +=．2四、应用题1．求底圆半径相等的两个直交圆柱面222x y R +=及222x z R +=所围立体的表面积．2．求面密度1ρ=的均匀半球壳2222(0)++=≥x y z a z 关于z轴的转动惯量．34第二次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．设L 是圆周222(0)xy a a +=>负向一周，则曲线积分3223()d ()d L x x y x xy y y -+-=⎰ ( ) ．（A ）0； （B ）42a π-； （C ）4a π-； （D ）4a π．2．设L 是椭圆2248xy x +=沿逆时针方向，则曲线积分 2e d d y L x x y +=⎰ ( )．（A ）2π； （B ）π； （C ）1；（D ）0．3. 设曲线积分2d ()d L xy x y x y ϕ+⎰与路径无关，其中()x ϕ具有连续的导数，且(0)0ϕ=，则(1,1)2(0,0)d ()d xy x y x y ϕ+⎰等于（ ）（A ）38 （B ）12 （C ）34 （D ）14．已知2()d d ()x ay y y xx y +-+为某函数的全微分，则a = ( )正确．（A ）1-； （B ）0； （C ）2 （D ）1．二、填空题1．设L 为22(1)4x y +-=正向一周，则22d d (1)Lx y y xx y -=+-⎰ ． 2．设L 为封闭折线||||1x x y ++=正向一周，则22d cos()d Lx y x x y y -+=⎰ ．3．设L 为0tan d xy t t =⎰从x=0到4x π=一段弧，将(,)d (,)d L P x y x Q x y y+⎰化为第一型曲线积分为 ．4．设L 为封闭折线||||1x y +=沿顺时针方向，则22dd Lxy x x yx y+=+⎰ ． 三、计算题1．计算2d d Ly x x y -⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点(1,1)A 到(1,1)B -，再沿直线到(0,2)C 的曲线．2．计算2()d (sin )d Lxy x x y y--+⎰，其中L 是圆周y 上从(2,0)A 到(0,0)O 的一段弧．3．设()f x 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，其起点为(,)a b ，终点为(,)c d ．证明2221[1()]d [()1]d L xI y f xy x y f xy yy y=++-⎰（1）证明曲线积分I 与路径L 无关 （2）当ab cd =时，求I 的值4．设力2y x y -+=i j F ，证明力F 在上半平面内所作的功与路径无关，并求从点(1,2)A 到点(2,1)B 力F 所作的功．5．计算[][]()cos d ()sin d AMBI y x y x y x y ϕπϕπ'=-+-⎰，其中AMB 在连结点(,2)A π与(3,4)B π的线段之下方的任意路线，且该路线与AB 所围成的面积为2，()y ϕ具有连续的导数。
2021~2021学年第一学期?高等数学B Ⅰ?试卷2009年1月12日一、填空题〔共7道小题，每题3分，总分值21分〕1．2lim 1nn n n →∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭．2．设2log y =d y = ．3．假设00()()f x x f x +∆-与sin2x ∆为0x ∆→时的等价无穷小，那么0()f x '= ．4．设函数)(x y y =由方程331,x t y t t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩所确定，那么1d d t y x == ．5．曲线2610y x x =-+在点(3,1)处的曲率为 ．6．设()d cos f x x x C =+⎰，那么()()d n f x x ⎰= ．7．31211d 1x x x -+=+⎰ ．二、单项选择题〔共7道小题，每题3分，总分值21分〕1．以下表达正确的选项是〔A 〕有界数列一定有极限． 〔B 〕无界数列一定是无穷大量． 〔C 〕无穷大量数列必为无界数列． 〔D 〕无界数列未必发散． [ ]2．设数列(){}0,1,2,n n a a n >=满足1lim 0n n n a a +→∞=，那么 〔A 〕lim 0n n a →∞=．〔B 〕lim 0n n a C →∞=>．〔C 〕lim n n a →∞不存在．〔D 〕{}n a 的收敛性不能确定．[ ]3．设()f x ，()g x 在区间[,]a b 上可导，且()()f x g x ''>，那么在[,]a b 上有 〔A 〕()()0f x g x ->．〔B 〕()()0f x g x -≥．〔C 〕()()()()f x g x f b g b ->-．〔D 〕()()()()f x g x f a g a ->-． [ ]4．设()f x 有三阶连续导数，且满足000()()0,()0f x f x f x ''''''==<,那么以下结论正确的选项是〔A 〕()f x '的极小值为0． 〔B 〕0()f x 是()f x 的极大值．〔C 〕0()f x 是()f x 的极小值． 〔D 〕点00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点．[ ]5．||e d 1k x x +∞-∞=⎰，那么k =〔A 〕0．〔B 〕－2．〔C 〕－１．〔D 〕－0.5． [ ]6．摆线(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩的一拱与x 轴所围的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积x V =〔A 〕2220(1cos )d[(sin )]aa t a t t ππ--⎰． 〔B 〕2220(1cos )d a t t ππ-⎰． 〔C 〕2220(1cos )d aa t t ππ-⎰．〔D 〕2220(1cos )d[(sin )]a t a t t ππ--⎰． [ ]7．设向量,a b 满足||||-=+a b a b ，那么必有〔A 〕-=a b 0． 〔B 〕+=a b 0． 〔C 〕0⋅=a b ． 〔D 〕⨯=a b 0． [ ]三、计算题〔共5道小题，每题8分，总分值40分〕1．设21cos ,0,()0,0,x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 求()f x '．2．求极限 0lim →x 222010cos d x x t tx-⎰．3．设()f x 的一个原函数为sin x ，求 2()d x f x x ''⎰．4．计算 12x ⎰．5．假设点M 与(2,5,0)N 关于直线4120:2230x y z l x y z --+=⎧⎨+-+=⎩对称，求点M 的坐标．四、应用题〔总分值8分〕设曲线2=->．过点(2,0)(4)(0)y a x a-及(2,0)作曲线的两条法线，求a的值，使得曲线与这两条法线所围成的平面图形面积最小．五、证明题〔共2道小题，每题5分，总分值10分〕1．设()f x 在[0,1]上连续，在()0,1内可导，且(1)0f =．证明在()0,1内至少存在一点ξ，使得 ()()f f ξξξ'=-．2. 设130d 1sin n n tx t t=+⎰，12n n u x x x =+++，证明数列{}n u 收敛．2021~2021学年第一学期?高等数学B Ⅰ?试卷 答案 2009年1月12日一、填空题〔共7道小题，每题3分，总分值21分〕1．2lim 1nn n n →∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭3e - ．． 2．设2log y =，那么dy =223(1)ln 2xdx x -- ．． 3．假设00()()f x x f x +∆-与sin2x ∆为0x ∆→时的等价无穷小，那么0()f x '= 2 ．4．设函数)(x y y =由方程331,x t y t t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩所确定，那么1t dy dx == 23 ．5．曲线2610y x x =-+在点(3,1)处的曲率为 2 ．6．设()d cos f x x x c =+⎰，那么()()d n f x x ⎰=cos 2n C x π⎛⎫++⎪⎝⎭．7．31211d 1x x x -+=+⎰ 2． 二、单项选择题〔共7道小题，每题3分，总分值21分〕1．以下表达正确的选项是 〔A 〕有界数列一定有极限； 〔B 〕无界数列一定是无穷大量； 〔C 〕无穷大量数列必为无界数列；〔D 〕无界数列未必发散。
