2.2画法几何_直线全解

第2课时 直线的两点式方程必备知识·自主学习直线的两点式、截距式方程(1)什么样的直线的方程不能用两点式表示？提示：与x 轴、y 轴平行的直线，x 轴，y 轴．(2)什么样的直线的方程不能用截距式表示？提示：与x 轴、y 轴平行或重合及过原点的直线．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1表示．( ) (2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )(3)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．( )(4)一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程可以写成两点式或斜截式．( )提示：(1)×.若直线垂直于坐标轴，此时a 或b 不存在，不能用x a ＋y b ＝1表示． (2)√.方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)能表示包含点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在内的直线上所有点．(3)√.能用两点式方程表示说明直线一定有斜率，所以可用点斜式方程表示．(4)√.直线不与坐标轴平行或重合，说明直线有斜率，有截距，所以方程可以写成两点式或斜截式．2．在x 轴和y 轴上的截距分别为－2，3的直线方程是( )A ．x 3 ＋y －2 ＝1B ．x 2 ＋y －3＝1 C ．x －2 ＋y 3＝1 D ．x －3 ＋y 2＝1 【解析】x －2＋y 3 ＝1. 3．直线x a ＋y b＝1过第一、三、四象限，则( ) A ．a>0，b>0 B ．a>0，b<0C ．a<0，b>0D ．a<0，b<0【解析】选B.因为直线过第一、三、四象限，所以它在x 轴上的截距为正，在y 轴上的截距为负，所以a>0，b<0.4．(教材二次开发：例题改编)已知点A(3，2)，B(－1，4)，则经过点C(2，5)且经过线段AB 的中点的直线方程为________.【解析】AB 的中点坐标为(1，3)，由直线的两点式方程可得y －35－3 ＝x －12－1，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝0关键能力·合作学习类型一 直线的两点式方程(数学运算)1．过()1，2 ，()5，3 的直线方程是( )A ．y －25－1 ＝x －13－1B ．y －23－2 ＝x －15－1C ．y －15－1 ＝x －35－3D ．x －25－2 ＝y －32－3【解析】()1，2 ，()5，3 ， 将两点坐标带入两点式，得y －23－2 ＝x －15－1 . 2．已知三角形三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC 边上中线所在直线方程是( )A ．x －13y ＋5＝0B ．x －13y －5＝0C ．x ＋13y ＋5＝0D ．x ＋13y ＝0【解析】()3，－3 ，C ()0，2 ，所以BC 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋32，2－32 ，即⎝⎛⎭⎫32，－12 . 则BC 边上的中线应过A ()－5，0 ，⎝⎛⎭⎫32，－12 两点， 由两点式得：y －0－12－0 ＝x ＋532＋5 ， 整理得x ＋13y ＋5＝0.3．已知点A ()1，2 ，B ()－1，－2 ，则直线AB 的方程是________.由两点式求直线方程的步骤(1)设出直线所经过点的坐标．(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标．(3)由直线的两点式方程写出直线的方程．提醒：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程．【补偿训练】已知直线l 的两点式方程为y －0－3－0 ＝x －（－5）3－（－5），则l 的斜率为( ) A ．－38 B ．38 C ．－32 D ．32【解析】y －0－3－0 ＝x －（－5）3－（－5），知直线l 过点(－5，0)，(3，－3)， 所以l 的斜率为0－（－3）－5－3＝－38 . 类型二 直线的截距式方程(数学运算)【典例】已知直线l 过点()1，2 ，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为( )A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＝0或x ＋2y －2＝0D ．2x －y ＝0或2x ＋y －4＝0【思路导引】直线l 在两坐标轴上的截距成倍数关系，应考虑直线过原点和不过原点两类，分别设出方程，再由直线l 过点()1，2 求得直线方程．【解析】选D.根据题意，直线l 分2种情况讨论：①当直线过原点时，又由直线经过点()1，2 ，所以所求直线方程为y ＝2x ，整理得2x －y ＝0，②当直线不过原点时，设直线l 的方程为x a ＋y 2a＝1， 代入点()1，2 的坐标得1a ＋22a ＝1，解得a ＝2， 此时直线l 的方程为x 2 ＋y 4＝1， 整理为2x ＋y －4＝0.故直线l 的方程为2x －y ＝0或2x ＋y －4＝0.用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．(3)当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．过点()1，2 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】选B.由题意知直线在两坐标轴上的截距互为相反数．当直线过原点时直线方程为y ＝2x ；当直线不过原点时设直线方程为x a ＋y b＝1， 又因为截距互为相反数，则b ＝－a ，将点()1，2 代入有1a ＋2－a ＝1， 解得a ＝－1，此时直线方程为：x －y ＋1＝0.综上，满足过点()1，2 且在两坐标轴上截距互为相反数的直线有2条．备选类型 直线方程的应用(数学运算)对称问题【典例】已知直线l ：x －y ＋3＝0，一束光线从点A(1，2)处射向x 轴上一点B ，又从B 点反射到l 上的一点C ，最后从C 点反射回A 点，求直线BC 的方程．【思路导引】入射光线和反射光线是关于镜面的法线对称的．【解析】作点A 关于x 轴的对称点A 2，则A 2(1，－2).设点A 关于l ：x －y ＋3＝0的对称点为A 1(x 0，y 0)， 则⎩⎨⎧x 0＋12－y 0＋22＋3＝0，y 0－2x 0－1×1＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝4，即A 1点坐标为(－1，4).由已知条件知点A 1，A 2均在直线BC 上，所以由直线的两点式方程，得y －4－2－4 ＝x ＋11＋1， 即3x ＋y －1＝0.故直线BC 的方程为3x ＋y －1＝0.最值问题【典例】如图，已知直线l 过点P(2，1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为________.【思路导引】利用直线l 过点P(2，1)得到直线在两个坐标轴上截距的关系，由均值不等式得解．【解析】设直线l 为x a ＋y b ＝1(a>0，b>0)， 因为直线l 过点P(2，1)，则有2a ＋1b＝1， 三角形OAB 的面积为S ＝12 2a ＋1b＝1， 利用均值不等式得1＝2a ＋1b ≥22a ·1b ＝22ab， 即ab≥8.于是，三角形OAB 的面积为S ＝12ab≥4. 当且仅当a ＝4，b ＝2时等号成立．答案：41．解决对称问题的方法两点关于直线对称，则两点连线必定垂直于对称轴，并且对称两点的中点一定在对称轴上，简称为“一中点二垂直”，这是解决对称问题通用的工具．2．计算最值问题的方法对于三角形、四边形等图形的面积，获得对应的表达式后，可以结合式子特征，应用均值不等式、二次函数等方法，求得最大(或最小)值，需注意变量的限制条件．1．入射光线从P(2，1)出发，经x 轴反射后，通过点Q(4，3)，则入射光线所在直线的方程为________. 【解析】利用反射定理可得，点Q(4，3)关于x 轴的对称点Q′(4，－3)在入射光线所在直线上，故入射光线所在的直线PQ′的方程为y －1－3－1 ＝x －24－2， 化简得2x ＋y －5＝0.答案：2x ＋y －5＝02．已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB 上一动点P(x ，y)，则xy 的最大值是________.【解析】直线AB 的方程为x 3 ＋y 4 ＝1，设P(x ，y)，则x ＝3－34y ， 所以xy ＝3y －34 y 2＝34 (－y 2＋4y)＝34[－(y －2)2⎝⎛⎭⎫32，2 时，xy 取得最大值3.答案：3课堂检测·素养达标1．过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为( )A ．y ＝x ＋3B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －2【解析】选A.由两点式方程可得，y －14－1 ＝x ＋21＋2，即y ＝x ＋3. 2．直线x a 2 －y b 2 ＝1在y 轴上的截距是( ) A ．|b| B ．－b 2 C ．b 2 D ．±b【解析】选B.令x ＝0，得y ＝－b 2.3．直线x 3 －y 4＝1在两坐标轴上的截距之和为( ) A ．1 B ．－1 C ．7 D ．－7【解析】x 3 －y 4＝1的横截距为3，纵截距为－4， 所以直线x 3 －y 4＝1在两坐标轴上的截距之和为－1. 4．经过两点M(4，3)，N(1，5)的直线交x 轴于点P ，则点P 的坐标是________.【解析】由直线的两点式方程，得MN 所在直线的方程为y －35－3 ＝x －41－4，即y ＝－23 x ＋173 . 令y ＝0，得x ＝172， 故P 点坐标为⎝⎛⎭⎫172，0 .答案：⎝⎛⎭⎫172，05．(教材二次开发：练习改编)直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，且过定点A(6，－2)，则直线l 的方程为________.【解析】设直线在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为a －1，由截距式可得：x a ＋y a －1＝1， 将()6，－2 代入直线方程，解得：a ＝2或3，所以代入直线方程可得，x 2 ＋y ＝1或x 3 ＋y 2 ＝1.答案：x 2 ＋y ＝1或x 3 ＋y 2 ＝1。

第二章点和直线§2―4 直线的投影§2―5 特殊位置直线§2―6 线段的实长及倾角§2―7 直线上的点§2－8无轴投影§2―9 两直线的相对位置§2―10 直角投影VXYZaAbBa "b "b 'a 'BC=Bb –Aa AC =abb 0αCβγAbBαaC 实长直角三角形法：距离差投影α: H 投影，△Z ，实长β: V 投影，△Y ，实长γ: W 投影，△X ，实长基本作图：倾角XOa 'b 'abαb 0实长αab△Z a"b"△Xγa'b'△Y β【例1】试用直角三角形法确定直线AB 的实长及对投影面V 的倾角β。

a 'b 'abX OβAB【例2】已知线段AB ＝30毫米,其投影ab 和a '，试求出a 'b '。

b 'aa 'bXO ＝a 'b 'Yb 'aa 'bX O【例3】在已知直线上截取线段AB等于定长L。

a'b'a bX Ok'kLb0k0【例4】设直线AB的实长30mm，α=45°，β=30°，已知其左、前、下方端点A的投影a、a'，作全AB的两面投影。

a'aab【例4】设直线AB 的实长30mm ，α=45°，β=30°，已知其左、前、下方端点A 的投影a 、a '，作全AB 的两面投影。

a 'b 'aa 'b 'ba △Z△Yb△Zα=45°β=30°△YXZOY HY Wb "a "b 'a 'b aVXYZa AbBa "b "b 'a '§2－7 直线上的点若点在直线上，则点的投影在直线的各同名投影上。

第三章直线与方程直线的方程是学生在初中学习了一次函数的概念和图象及高中学习了直线的斜率后进行研究的。

直线的方程属于解析几何学的基础知识，是研究解析几何学的开始，对后续研究两条直线的位置关系、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容，无论在知识上还是方法上都是地位显要，作用非同寻常，是本章的重点内容之一。

“直线的点斜式方程”可以说是直线的方程的形式中最重要、最基本的形式，在此花多大的时间和精力都不为过。

直线作为常见的最简单的曲线，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用。

同时在这一节中利用坐标法来研究曲线的数形结合、几何直观等数学思想将贯穿于我们整个高中数学教学。

1.教学重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。

2.教学难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。

多媒体一．复习回顾【问题设置】1．若直线l 的倾斜角为)90(0≠αα，则α的定义和取值范围__________。

生：直线向上的方向和x 轴正方向所成的角 ，0°≤α<1800【设计意图】本知识点学生会出错，引导学生改成正确的，角的范围也会出错引导指正，并提问之间有什么角，尤其00，900的斜率和直线的画法，为后面研究做准备。

2．已知直线上两点))(,(),,(21222111x x y x P y x P ≠则直线21P P的斜率为_____。

【设计意图】研究两点和斜率的关系，为后面推导公式做准备3．确定一条直线的几何要素？【设计意图】①已知一点和斜率，②已知两点，可以确定一条直线。

进一步导入课题，已知一点和斜率来求直线方程。

二．导入新课探究1：设点),(000y x P 为直线上的一定点，那么直线上不同于0P 的任意一点),(y x P 与直线的斜率k 有什么关系？例如.一个点p(0，3)和斜率为k ＝2就能确定一条直线 。

【设计意图】通过具体的例子来说明直线上的点满足的直线方程从而突破难点部分三．新知探究探究1：直线的点斜式方程：已知直线l 上一点),(000y x P 与这条直线的斜率k ，设),(y x P 为直线上的任意一点，我们能否将直线上所有点的坐标P （x ， y)满足的关系表示出来？【设计意图】由具体的点过渡到一般的点，注重通性通法的教学，进一步推导出直线的点斜式方程【教学活动】教师引导学生总结公式，并指明公式中的斜率k 必须存在思维拓展：①经过点),(000y x P 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是什么？x 轴所在直线的方程是什么？【设问】若直线的斜率不存在呢？能用点斜式表示直线方程？思维拓展：②经过点),(000y x P 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是什么？y 轴所在直线的方程是什么？例1． 直线l 经过点)3,2(0-P ，且倾斜k=2，求直线l 的点斜式方程例2. 写出下列直线的斜截式方程：（1）斜率是3，在y 轴上的截距是3-；（2）倾斜角是060，在y 轴上的截距是5；（3）倾斜角是030，在y 轴上的截距是0；【设计意图】熟悉公式，并能准确理解倾斜角和斜率之间关系。