画法几何直线直线相对位置直角投影定理直角三角性法共39页文档

a' Ⅲ
X
Ⅱ
O
b
Ⅰ D
d
Ⅳ Ac
3(4 )a
b’
（2’） 1‘
3’
c’
d’
4’ a’
X
O
b
2
Yd
1
c 3（4） a
交叉两直线可能有一组或两组同面投影平行，但两直线的其余同面投影必定不平行； 交叉二直线也可能在3个投影面的同面投影都相交，但交点必定不符合一个点的投影 规律，其投影的交点是两直线对不同投影面的重影点
b’
k'
a’
b' k' B
C a'
d’ X
O
d' X
K
b
D d
k
O c
A
a
b
d Y
k
c a
3、两直线交叉
既不相交也不平行的两直线称为交叉两直线。如果两直线的投影既不符合
两平行直线的投影特性，又不符合两相交直线的投影特性，则可断定这两条直 线为空间交叉两直线。
V
c' Z
b'
(2’ ) 1‘
C
d' B
三、平行投影法 的基本特征
• a实形性 • b积聚性 • c平行性 • d类似性 • e定比性 • f从属性
一、投影法的基本知识
物体在阳光的照射下，就会在墙上或地面上投下影子，这 就是投影现象。投影法是将这一现象加以科学抽象和思维 而产生的。投射线通过物体向选定的面投射，并在该面上 得到图形的方法，称为投影法。
一般位置直线的投影
z
V b’
X
a’ A a”
b’
βγ
α
B O

② 若两投影面垂直面相互平行，
则它们具有积聚性的那组投影
必相互平行。
a
b c d
c d
b
b d
a c
e
d
b
ac
e
e f
f e
f h h
f
//
三峡大学
44
2 . 判 例别 判下 断列 下平 列面 两与 平平 面 面是 是否 否平 平行 行。
a )
b ) 举例
平行
不平行
三峡大学
45
二、相交问题(重点与难点)
三峡大学
22
例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面 的距离为10mm。
a
10
m
n
c
b
b
c
n m
a
唯一解！
三峡大学
23
⒉ 平面上取点
若点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上。 即：点在线上，则点在面上。
三峡大学
24
面上取点的方法：
首先面上取线
先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助 线，然后再在该直线上确定点的位置。
铅垂面(⊥H) 正垂面(⊥V) 侧垂面(⊥W)
水平面(//H) 正平面(//V) 侧平面(//W)
与三个投影面都倾斜 一般位置平面
三峡大学
9
1） 投影面垂直面的投影
铅垂面
V PB
c
a
a
W
b
A
a b
H
C PH c
a c
b 投影特性：
1. abc积聚为一条线， 与OX、 OYH的夹角反映、角； 2 .abc、 abc为ABC的类似形；
1’ b’

行求解。
在求解过程中，需要注意单位和 单位换算，以及角度的取值范围
。
在求解过程中，需要注意检查解 的合理性，避免出现不符合实际
情况的解。
05
应用实例
建筑图纸中的应用
建筑图纸中，直线是基本的构成元素，用于表示墙、柱、梁等结构的轮廓和位置。
通过直线的相对位置，可以确定建筑物的平面布局和立体结构，例如平行线表示平 行的墙面或地面，交叉线表示相交的墙角或交叉的梁等。
日常生活中的应用
在日常生活中，直线也无处不在，例 如道路、桥梁、栏杆、门窗等的设计 和布局都需要用到直线的相对位置和 投影定理。
直角三角性法在日常生活中的应用也 很多，例如测量角度、确定位置等。
THANKS
感谢观看
感。
注意事项
透视投影定理需要考虑观察者的 视点和视线方向，以及物体与投 影面的相对位置，因此在实际应
用中需要仔细考虑和计算。
04
直角三角形法
直角三角形的基本性质
直角三角形中，直角 所对的边是斜边，是 三角形中最长的边。
直角三角形中，斜边 的平方等于两直角边 的平方和，即 $c^2=a^2+b^2$ 。
直角投影定理在建筑图纸中也非常重要，它确保了图纸上的图形与实际物体保持一 致，特别是在绘制垂直面和倾斜面的交线时。
机械制图中的应用
在机械制图中，直线是用于表示机件 、零件的轮廓、尺寸线和装配关系的 图形元素。
直角投影定理在机械制图中也起着关 键作用，确保了图纸上的图形与实际 机件或零件相符。
通过直线的相对位置，可以确定机件 或零件的形状和大小，例如平行线表 示平行的表面或边缘，交叉线表示相 交的轴线或配合面等。
正投影定理
01
02

d
b
d
1(2)
b
1(2)
a
B
a c
2
D
X
c
O
X A
a
O 1
2
b
C
c1
d
2
a
1
c
b d
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。
例：判断两直线的相对位置
c
Z
c
b
b
d
a d
a
X
o
a
YW
d
b c
YH
例：判断两直线的关系
例：求直线MN，使得它与AB平行，又与CD
V
N n
b
B
a
X m
A
n
b a
Mm
a O X m
ma H
m
b
O n
b
直线与投影面的交点称为迹点。它是属于直线上的 特殊点，既是直线上的点又是投影面上的点。
3.4两直线的相对位置
1.平行两直线
d b
c
D
B
a
a
X
A
CO X
b
b
a
c
d bc
O d cb
a （1）两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。 反之，若两直 线在同一投影面上的投影相互平行，则该两直线平行。
3 直线
3 .1直线的投影 3.2 直线对投影面的相对位置 3.3直线上的的点
3.4两直线的相对位置
.1
3.1 直线的投影
Z
Z
b
a
b
B b
a
b
a

X
O
Y
X

直线的投影特性比较
a
X
a
实长
Z 实长
b
a (b )
O
b
YH
YW 投影面垂直线
1、两个投影垂直于 投影轴,反映线段的 实长及倾角； 2、一个投影积聚为 一点。
例：判断下列直线的位置，可能时标出实长和倾角
实长
实长
αγ
一般位置线
正平线
侧垂线
例：判断下列直线的位置，可能时标出实长和倾角
实长
铅垂线
侧平线
水平线（∥H） 正平线（∥V） 侧平线（∥W）（p14表2.1）
投影面平行线 水平线
Z
V
a A
X a
b
a
W
a
B O
b
X
H
实长
b
a
Y
AB
Z
b a O
b YH
b YW
投影面平行线 正平线
V 实长
Z b
B
a
X
A
O
a
b
H
b
W
a
AB
a X
Y a
Z b
O b
b
a YW
YH
投影面平行线 侧平线
Z
V
Z
b
O b AB
YH
a(b) YW
直线的投影特性比较
Z
b
b
a
X
a
a
O
b
YH
YW 一般位置直线
1、三个投影均为 倾斜线 2、均不反映线段 的实长和倾角。
直线的投影特性比较
Z
a
b
a
b
X
O
aβ
γ

E5与4D 相交垂直 4D与67 交叉
1’ 4’(3’) 2’
b′
a′ X
d′ 0
a′ a
3
d′
a
d
d
c c
b
1(2)
4
b
判断两直线的位置关系
c’ f’ e’ X c e a’
b’ d’
g’ b’
a’ c’
0 X a 0
d’
a（ f） g
d
c b b d
AB与CD 交错
AB与AE 相交 AB与FG 交错
CD与AE 交错
AB与CD 平行
量取 △ZAB
b″
量取 △YAB
AB真长
β
b′ △ZAB
α
γ a″ b △YAB
a′
b α
a
AB真长
在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长， 另一条直角边为直线的坐标差，则斜边即为该直线的 真长；真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的 倾角。
真长（TL)
坐标差 △Z、△Y、△X
α 、β 、γ
H、V、W投影长
c′
b′
(4)
a′
d′
d′
c′
b d
b
c
a
d
d b
c a
a
相交
(5) a′ b′ d′ (6)
a
交错
d
b
交错
(7)
c
a′
平行
(8)
c′
b′
d′
d′
c′ b′
d′
c′
d a c b
a′
a′
c′ c a
b′
c
a b d a

直线与平面的角度
直线与平面夹角的定义
直线与平面之间的最小角度。
夹角的计算方法
通过向量的点乘和叉乘计算直线和平面的法向量夹角，取其补角为直线与平面的 夹角。
直线与平面的平行与垂直
平行直线的判定
两直线的方向向量平行或两直线重合 。
垂直直线的判定
两直线的方向向量垂直或两直线重合 。
05
CATALOGUE
画法几何直线的投 影课件
目录
• 直线的基本性质 • 直线的投影 • 直线的投影作图 • 直线与平面的关系 • 直线在工程中的应用
01
CATALOGUE
直线的基本性质
直线的基本定义
直线由无数个点组成，且在同一 直线上的点有无数个。
直线是两点之间所有点的集合， 也是通过两点有且仅有的路径。
在平面几何中，直线通常表示为 通过两个点或在一个平面上的一 个固定点和一条通过该点的射线
当直线与投影面平行时， 其投影长度等于原直线的 长度，且方向与原直线相 同。
垂直直线与投影面
当直线与投影面垂直时， 其投影为一点，即直线上 的所有点在投影面上都重 合为一个点。
倾斜直线与投影面
当直线与投影面倾斜时， 其投影长度小于原直线的 长度，且方向与原直线不 同。
直线投影的性质
真实性
当直线与投影面平行时， 其投影是真实的，即长度 、角度、平行性等保持不 变。
。
直线的方向
直线的方向由其上的 一个非端点决定，该 点称为直线上的一个 定向点。
在投影面中，直线的 投影方向决定了该直 线与投影面的相对位 置。
通过改变定向点的位 置，可以改变直线的 方向。
直线的位置
直线的位置由其上的三个非共 线点决定。

画法几何_直线_直线的相对位置直角 投影定理直角三角性法
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
Байду номын сангаас
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子

1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
画法几何 直线,直线的相对位置直角投影 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。 定理直角三角性法
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！

[例2]已知侧平线CD上一点E的正面投影e′,求e。
第五节 两直线的相对位置
一、平行两直线 二、相交两直线 三、交叉两直线
[例4-5] [例4-6] [例4-7]
一、平行两直线
如果空间两直线互相平行，则此两直线的各同面投影 必互相平行。 若两直线的各同面投影互相平行，则此两直线在空间 一定互相平行。
第四章 直线的投影
第一节 直线的投影
第二节 直线与投影面的相对位置
第三节 线段的实长及其对投影面的倾角 第四节 直线上的点 第五节 两直线的相对位置直线的投影
第六节 垂直两直线的投影
第一节 直线的投影
一、直线的投影一般仍为直线 二、直线的投影可由直线上两点的同面 投 投影确定
一.直线的投影一般仍为直线

W
H
三、投影面垂直线
铅垂线 正垂线
侧垂线

垂直于W 面的线

小结：
⑴.

投影面垂直线的投影面上的投影集聚成一点；
W
⑵ .投影面垂直线在其它两个投影面上的投影分别垂直于
相应的投影轴，且反映该直线段的实长。
H
第三节
线段的实长及对投影面的倾角
一、线段的实长及其对H面的倾角α
二、线段的实长及其V面的倾角
C
D
c( d )
直线的投影一般仍为直线
特殊情况下积聚为一点
二.直线的投影可由直线上两点的同面投影确定


第二节 直线与投影面的相对位置
一、一般位置直线 二、投影面平行线 三、投影面垂直线
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面） 正垂线（垂直于Ｖ面） 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）

1、水平投影ab反映实长， 并反映倾角β 、γ
a


b
2、正面投影a´b´//OX轴， 侧面投影a˝b˝//OYw轴
正平线的投影
c´d´反映CD实长
d′ c′ C


D
d˝ c˝
c˝d˝//OZ轴


c
d
cd //OX轴
d´
d˝ c˝
c´


正平线的投影特 性
1、正面投影c´d´反映实 长，并反映倾角α ,γ
二、 投影面平行线
( 一 ) 含义：仅平行于某一个投影面 的直线，称为投影面平行线。
平行于H面的直线称为水平线 平行于V面的直线称为正平线 平行于W面的直线称为侧平线
水平线的投影
a´b´ //OX轴
a´ A
β
b´ a˝
γ
a˝b˝//OY轴
B
b˝
a
β
γ
b
ab 反映AB的实长
a´
b´
a˝
b˝
(二) 投影面平行线 的投影特性： 水平线
e
f
投影面垂直线的投影特性
1 、 直 线 在 所 垂 直 的 投 影 面 上 积 聚为 一 点 （即有积聚性）
2 、其它两个投影垂直于相应的投影轴，并
且反映实长（即有显实性）。
例3－2：判断AB、CD、DE直线的空间位置，并找出其第三投影
d’ e’
a’ b’ c’
e”
d”
a” c”
b”
正垂线
e
a´
α
b´
B
b´ a´
m
C
b
X
A
O b
α α
a

L
AZF
E
e
b'
A
B
a'
E
X a
d' d
o
DL
丄 因为AB CD,且AB
丄 //H 所以ab cd；
co fo\ AZF
E
于是CD成为过E点且已
e
知方向的直线；
在CD线上取点C和D,使
b EC=ED=L，求投影c、
d
画法几何及航就制紺
§2-2直线的投影
六、直角投影定理
空间两直线互相垂直，若其中有一条直线平行于某投 影面，则两直线在该投影面上的投影仍互相垂直。
若两直线的某面投影互相垂直，且其中一条平行于该
画法几何及航就制紺
§2-2直线的投影
例2求直线AB和CD间的最短距离EFO
画法几何及航就制紺
§2-2直线的投影
§2-2直线的投影
例3已知菱形ABCD的对角线AB的两投影，另一对角线 CD长为2L,且知其正面投影的方向，亲作菱形的两投影。
画法几何及航就制紺
§2-2直线的投影
例3已知菱形ABCD的对角线AB的两投影，另一对角线 CD长为2L,且知其正面投影的方向，求作菱形的两投影。
f c'
“—炊 分析： 纺口
例2求直线AB和CD间的最短距离EFO
a
e
b
Байду номын сангаас
c
， c X—
—
df
分析：EF1AB, EF1CD
A
丄 因为AB 丄 H, D EF AB,
F E
所以 EF//H;
o BC
c
丄 又因为
EF
e
丄 CD,EF//H 所