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画法几何 直线,直线的相对位置直角投影定理直角三角性法共41页

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画法几何-投影法

画法几何-投影法

a' Ⅲ
X
Ⅱ
O
b
Ⅰ D
d
Ⅳ Ac
3(4 )a
b’
（2’） 1‘
3’
c’
d’
4’ a’
X
O
b
2
Yd
1
c 3（4） a
交叉两直线可能有一组或两组同面投影平行，但两直线的其余同面投影必定不平行； 交叉二直线也可能在3个投影面的同面投影都相交，但交点必定不符合一个点的投影 规律，其投影的交点是两直线对不同投影面的重影点
b’
k'
a’
b' k' B
C a'
d’ X
O
d' X
K
b
D d
k
O c
A
a
b
d Y
k
c a
3、两直线交叉
既不相交也不平行的两直线称为交叉两直线。如果两直线的投影既不符合
两平行直线的投影特性，又不符合两相交直线的投影特性，则可断定这两条直 线为空间交叉两直线。
V
c' Z
b'
(2’ ) 1‘
C
d' B
三、平行投影法 的基本特征
• a实形性 • b积聚性 • c平行性 • d类似性 • e定比性 • f从属性
一、投影法的基本知识
物体在阳光的照射下，就会在墙上或地面上投下影子，这 就是投影现象。投影法是将这一现象加以科学抽象和思维 而产生的。投射线通过物体向选定的面投射，并在该面上 得到图形的方法，称为投影法。
一般位置直线的投影
z
V b’
X
a’ A a”
b’
βγ
α
B O

直角投影定理及推广的证明

直角投影定理及推广的证明

直⾓投影定理及推⼴的证明2019-04-14直⾓投影定理在“机械制图”中的点、线、⾯的内容是⼀个很重要的定理。

之所以重要，是由于其在解决点、线、⾯在空间中的相对位置以及度量问题⽅⾯，起到了很关键的作⽤。

⽽画法⼏何中此类内容所占的分量⼜很⼤，所以熟练掌握该定理，也就抓住了画法⼏何中的关键点。

下⾯就直⾓投影定理及其推⼴定理的证明作详细介绍。

⼀、直⾓投影定理及逆定理的证明 1直⾓投影定理⼀边平⾏于某⼀投影⾯的直⾓，在该投影⾯上的投影仍是直⾓。

2定理的证明如图1所⽰：图1 已知：AB∥H⾯，∠ABC是直⾓。

求证：∠abc仍是直⾓。

证明：AB∥H⾯，BbH⾯，ABBb。

⼜ABBC，ABBb，AB投射⾯BCcb。

AB//H⾯，ab// AB。

由于ab∥AB，AB投射⾯BCcb，即得ab投射⾯BCcb。

abbc，即∠abc仍是直⾓。

证毕。

由以上定理可以得到其反⽅向的推断，称为逆定理。

3直⾓投影定理的逆定理⼀夹⾓的两边在投影⾯上的投影是直⾓，且夹⾓的其中⼀边平⾏于该投影⾯，则此夹⾓必为直⾓（如图1所⽰）。

4逆定理的证明已知：H⾯上投影abbc，且AB∥H⾯。

求证：ABBC。

证明：由正投影原理可知：投射⾯BbcCH⾯。

由已知abbc，⼜由于正投影⽽知BbH⾯，Bbab，abBbcC。

由题知AB∥ab，ABBbcC，ABBC。

证毕。

以上两条定理是表征⼀直⾓的状态，即两条相交直线的状态，把它们作推⼴，可以应⽤到两条异⾯垂直（即交叉垂直）的直线状态上，其推⼴得到的结论，称为定理推论。

⼆、定理推论及其证明1定理推论空间交叉垂直的两直线，当其中有⼀条直线平⾏于投影⾯时，则两直线在该投影⾯的投影仍相互垂直（如图2所⽰）。

2定理推论的证明如图2所⽰：图2 已知：空间交叉垂直的两直线ABCD，且AB∥H⾯。

求证：abcd。

证明：⾸先作⼀条辅助线，如图2（a）所⽰，过AB直线上任⼀点（取B点）作直线BE∥CD，则有BEAB。

由直⾓投影定理可知：beab。

画法几何直线直线的相对位置直角投影定理直角三角性法课件

画法几何直线直线的相对位置直角投影定理直角三角性法课件
行求解。
在求解过程中，需要注意单位和 单位换算，以及角度的取值范围
。
在求解过程中，需要注意检查解 的合理性，避免出现不符合实际
情况的解。
05
应用实例
建筑图纸中的应用
建筑图纸中，直线是基本的构成元素，用于表示墙、柱、梁等结构的轮廓和位置。
通过直线的相对位置，可以确定建筑物的平面布局和立体结构，例如平行线表示平 行的墙面或地面，交叉线表示相交的墙角或交叉的梁等。
日常生活中的应用
在日常生活中，直线也无处不在，例 如道路、桥梁、栏杆、门窗等的设计 和布局都需要用到直线的相对位置和 投影定理。
直角三角性法在日常生活中的应用也 很多，例如测量角度、确定位置等。
THANKS
感谢观看
感。
注意事项
透视投影定理需要考虑观察者的 视点和视线方向，以及物体与投 影面的相对位置，因此在实际应
用中需要仔细考虑和计算。
04
直角三角形法
直角三角形的基本性质
直角三角形中，直角 所对的边是斜边，是 三角形中最长的边。
直角三角形中，斜边 的平方等于两直角边 的平方和，即 $c^2=a^2+b^2$ 。
直角投影定理在建筑图纸中也非常重要，它确保了图纸上的图形与实际物体保持一 致，特别是在绘制垂直面和倾斜面的交线时。
机械制图中的应用
在机械制图中，直线是用于表示机件 、零件的轮廓、尺寸线和装配关系的 图形元素。
直角投影定理在机械制图中也起着关 键作用，确保了图纸上的图形与实际 机件或零件相符。
通过直线的相对位置，可以确定机件 或零件的形状和大小，例如平行线表 示平行的表面或边缘，交叉线表示相 交的轴线或配合面等。
正投影定理
01
02

画法几何与土木工程制图-第2章-直线

画法几何与土木工程制图-第2章-直线

第五页，共43页。
第二章 直线
5
§2—2 直线上的点
迹点投影的两个特征：
1.迹点所在投影面上的投影
就是迹点本身，即Mm、Nn′、 Ss″；
2.迹点的其他投影必在直 线的相应投影与投影轴的相交
处，即m′在OX轴上，m″在OY 轴上（因zm=0）；n在OX轴上， n″在OZ轴上（因yn=0）；s 在OY轴上，ｓ′在OZ轴上（因 xs=0）。
α有 倾角 β= 0° 迹点
γ=有
M有
N有
S无
第十九页，共43页。
第二章 直线
19 19
§2—5 两直线的相对位置
有三种情况：平行、相交、交错（交叉）
相交
平行
交错
第二十页，共43页。
20
第二章 直线
20
§2—5 两直线的相对位置
一、两直线平行
空间平行的两直线，其所有的同面投影彼此平行.
反之，若三面体系中两直线的所有同面投影都平行，则空间两直 线平行。
倾斜态，并非直线的远近、上下、左右、前 后等线性度量关系。
铅垂线
投影面垂直线 正垂线 侧垂线
水平线
投影面平行线 正平线
侧平线
一般位置直线
第十一页，共43页。
11
第二章 直线
11
§2—4 各种位置直线的投影
二、特殊位置直线的投影特征
投影面垂直线和投影平行线，统
称为特殊位置直线。
投影面垂直线的投影特征:
第九页，共43页。
第二章 直线
9
§2—3 直线的倾角和直线段的实长
例2-2 已知直线CD的正面
投影c′d′和点C的水平 投影c，且知直线CD对H面
的 倾 角 α=30° ， 求 作 线

两直线的相对位置-直角投影定理(工程制图基础)

两直线的相对位置-直角投影定理(工程制图基础)

总结
• 若空间两直线相交,它们的同面投影相交, 且交点的投影符合点的投影规律.反之成立.
• (如果两平行直线都是一般位置直线,只要 根据任意两组同面投影,就能判定这两条直 线在空间是否相交.)
• (若已知两条直线中有一条是投影面的平行 线时,通常要检查两直线在三个投影面上交 点的投影是否符合点的投影规律,才能确定 这两条直线在空间是否相交.)
垂直。
V
d'
Z
D
投影图
d'
c'
e'
f'
c'
e' f'
X
E
C
(de )
M
c
O F
f
X
c Y
O d (e )
f
直角投影定理
例1 已知AB∥V，试过点E 作直线EK 与AB 垂直相交。
k’ b’
分析：
AB 为正平线，
a’
正面投影反映垂直
e’
关系。
a
kb
作图过程：
e
解题完毕
3-24-2 过点A 作直线AB 与直线CD 正交。
总结
• 交叉两直线的投影可能相交,但交点一定不 符合点的投影规律.
例5 判断两线段DE、FG 是否平行。
DE、FG共面，故平行。 DE、FG不共面，故不平行。
例6 判断直线AB 与CD 是否相交
判断下列两直线的相对位置
b’
a’
d’
c’
b(d) a(c)
a) 平行
b’(d’) a’(c’)
c d b
bY
b' O
b
直角投影定理
反之：若a’b’∥OX，∠bac 为直角，则空间∠BAC 为直角。

画法几何_直线_直线的相对位置直角投影定理直角三角性法共41页文档

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画法几何_直线_直线的相对位置直角 投影定理直角三角性法
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
Байду номын сангаас
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子

画法几何 直线,直线的相对位置直角投影定理直角三角性法41页文档

画法几何 直线,直线的相对位置直角投影定理直角三角性法41页文档
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
画法几何 直线,直线的相对位置直角投影 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。 定理直角三角性法
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！

画法几何与工程制图 第四章 直线的投影

画法几何与工程制图 第四章 直线的投影

[例2]已知侧平线CD上一点E的正面投影e′,求e。
第五节 两直线的相对位置
一、平行两直线 二、相交两直线 三、交叉两直线
[例4-5] [例4-6] [例4-7]
一、平行两直线
如果空间两直线互相平行，则此两直线的各同面投影 必互相平行。 若两直线的各同面投影互相平行，则此两直线在空间 一定互相平行。
第四章 直线的投影
第一节 直线的投影
第二节 直线与投影面的相对位置
第三节 线段的实长及其对投影面的倾角 第四节 直线上的点 第五节 两直线的相对位置直线的投影
第六节 垂直两直线的投影
第一节 直线的投影
一、直线的投影一般仍为直线 二、直线的投影可由直线上两点的同面 投 投影确定
一.直线的投影一般仍为直线

W
H
三、投影面垂直线
铅垂线 正垂线
侧垂线

垂直于W 面的线

小结：
⑴.

投影面垂直线的投影面上的投影集聚成一点；
W
⑵ .投影面垂直线在其它两个投影面上的投影分别垂直于
相应的投影轴，且反映该直线段的实长。
H
第三节
线段的实长及对投影面的倾角
一、线段的实长及其对H面的倾角α
二、线段的实长及其V面的倾角
C
D
c( d )
直线的投影一般仍为直线
特殊情况下积聚为一点
二.直线的投影可由直线上两点的同面投影确定


第二节 直线与投影面的相对位置
一、一般位置直线 二、投影面平行线 三、投影面垂直线
平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面） 正垂线（垂直于Ｖ面） 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）

画法几何之线基础

画法几何之线基础

Z
Z
V
PV
P
PV PW W X
PW YW
X PH
H
O PH
Y
YH
二、平面对投影面的各种相对位置
平面
一般位 置平面 对H、V、W面均倾斜
投影面 垂直面
投影面 平行面
铅垂面 ⊥H面，对V、W面均倾
正垂面
斜 ⊥V面，对H、W面均倾
侧垂面 斜⊥W面，对H、V面均倾斜
水平面 ∥H面，⊥V面，⊥W面
正平面 ∥V面，⊥H面，⊥W面
b′
直线AB实长
ΔzAB
a′
α
a
直线的H投影长
以直线的H投影长
b
为半径，作圆弧
4.5 两直线的相对位置
两直线的 相对位置
两直线平行 两直线相交 两直线交叉
两直线相交
d’
b’
k’
B
a’
c’
x
C
K D
o
Ac
b
a
k
d
两直线相交的投影特性：
k’ a’
x c’
c
k a
d’ b’
o
b
d
两直线相交，则两直线的同面投影必定相交，且投影 的交点符合点的投影规律。
V面。
水平线
Z
a′
b′
a′
b′Z b″ a″
B b″
X
YW
X
A
b
a″
βγ
a Y
水平线的投影特性：
b γβ
a
反映真长TL YH
1.水平线的H投影反映真长，真长投影与OX夹角为β； 与OY轴的夹角为γ；α= 0°。
2.水平线的V投影 a′b′∥OX；W投影 a″b″∥OY；

画法几何及机械制图课件：第章直线、平面的相对位置 (一)

画法几何及机械制图课件：第章直线、平面的相对位置 (一)

画法几何及机械制图课件：第章直线、平面
的相对位置 (一)
本文将从以下三个方面详细介绍《画法几何及机械制图课件》第一章内容，主要包括直线、平面基本概念、相互位置关系和解题技巧。

一、基本概念
直线：有无数个点组成，是长度无限的线段。

通常用一字母标记，如AB。

平面：是用无数个点组成的，长度和宽度均无限的平面。

通常用大写字母表示，如平面α。

向量：它由长度和方向两部分组成，通常用小写字母加无箭头表示，如a。

二、相互位置关系
相交：两条直线或直线与平面相交于一点。

平行：两条直线不相交，在平面外平移但方向不变。

垂直：两条直线相交，在相交点处互相垂直。

相交于无穷远处：两条平行直线或直线与平面，因长度无限，永远不相交。

但可借助扩展线找到两条直线的交点，如图1-5。

三、解题技巧
绘图法：根据问题条件用图示，找到几何实体的相对位置。

假设法：缺少某个条件时，可以先“假设”该条件成立，然后根据已知条件推出结论，并且判断假设条件是否合理。

巧用扩展线：有些相互位置关系，可能在图中表现不出来，可以利用扩展线把直线或平面延长，找到相应点的位置。

综上所述，《画法几何及机械制图课件》第一章介绍了直线、平面的基本概念和相互位置关系，以及解决几何问题的技巧。

这些基础内容是后续学习几何和机械制图必须掌握的知识点，希望同学们能够认真学习和练习，掌握相关技能，为更深入的学习打下坚实的基础。

画法几何-直线的投影ppt课件

画法几何-直线的投影ppt课件

（3）侧面投影积聚成一点。
可编辑课件PPT
15
投影面垂直线的投影特性归纳为：
（a）铅垂线
（b）正垂线
（c）侧垂线
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。
② 另外两个投影，反映线段实长；且同时平行于一
个投影轴或分别垂直于相应的投影轴。
可编辑课件PPT
16
判断下列直线是什么直线？
a’
X a
b’ 0 X
Z
a′
c′
b′
b〞 c〞
a〞
c0 10
b0
O
可编辑课件PPT
25
【例题】如图，三棱锥的棱线点K和M的正面投影， 求其余投影。
已知
s’
s”
s’
s”
k’ m’
b’
(m”)
k” b”
k’ m’
b’
m
s
s
k
k
b
b
方法一，利用从属性
方法二，利用定比性
可编辑课件PPT
b”
26
【例题】已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。
可编辑课件PPT
b
38
【例题】已知直线AB的V投影，且β=30° 求AB的H投影。
△YAB
a′
β
b′
a
量取△YAB
b
可编辑课件PPT
39
【例题】已知直线AB的V投影，且α=30°， 求AB的H投影。
b′
直线AB真长
60°
ΔzAB
a′
α
a
直线的H投影长
以直线的H投影长
b
为半径，作圆弧
可编辑课件PPT
b a
水平线

画法几何之线基础

画法几何之线基础

X
o
PW
β
YW
PH a
H
PH a γ
Y
YH
1
投影面垂直面——正垂面
V
b ′z
QV
a ′A
W
c′ X
oB
b′
c′
a′ α
xc
z
c″
b″
a″
o
YW
C
a
H
Y
正垂面的投影特性：
b YH
1、平面的正面投影a′b′c′积聚为一条线 ；积聚线与OX、 OZ夹角反映了平面与H、W的α、 角，其=90゜ 。
2、abc、 a″b″c″ 为 ABC的类似形 ; 1
正垂面的迹线表示法
V
Z
Z QW
QV
QW
QV γ
X
Q O
W X
α
YW O
QH H
1
Y
QH
YH
投影面垂直面——侧垂面
V
z
SB
SH
b″
W
X
A
OC
c″ a″
H
Y
侧垂面的投影特性：
b′ Z b″
c′ β c″
a′
X
b
α
o
a″ YW
c
a
YH
1、平面的侧面投影a″b″c″积聚为一条线 ；积聚线与OY、 OZ的夹角反映平面的α、β角，其 = 90゜；
AC
Ba c
b
E DF
d e ( f )H
直线对投影面的位置不同，直线可分为三类：
一般位置直线 —— 直线与三个投影面均倾斜。 投影面平行线 —— 直线平行于其中的一个投影面，
倾斜于另外两个投影面。 投影面垂直线 —— 直线垂直于某一投影面。

2-03章直线、直角三角形法

2-03章直线、直角三角形法

B
AB b′
o b
| YA-B | a′
x a′ b′
AB a
AB
| YA-B |
a′b′ 姚春东 2011
o b | YA-B |
14
3．求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
b b
a
W
2021/6/30
姚春东 2011
H
15
例1 已知线段AB的实长及正面投影求其水平投影。
| ZA-B |
AB
9
（2）正垂线—— 垂直于正立投影面的直线
Ｖ
ab
ab
z a
b
A
a
Ｗ
B
b
X
O
YW
a a
Ｈb
b
投
影
1． ab 积聚 成一点
特
2． ab OX ; ab OZ
性： 2021/6/30
3． ab = ab =AB 姚春东 2011
YH
10
（3）侧垂线—— 垂直于侧立投影面的直线
Ｖ
a
b Z
ab
a
b
abＷ
A
b
X
O
YW
a
Ｈ
b
a
b
YH
投 影 特
1． ab OX ; a b OZ 2． a b=AB
性： 2021/6/30 3． 反映、姚春角东 的2011真实大小
7
（3）侧平线——只平行于侧立投影面的直线
Ｖ
a
Z
a
a
A
a
Ｗ
b
b
b
X
O
YW
a
a
b
B
Ｈb

最全最详的画法几何及工程制图之直线的投影5

最全最详的画法几何及工程制图之直线的投影5
第四章 直线的投影
两直线的相对位置
一、平行两直线
如果空间两直线互相平行，则此两直线的各同面投影必互 相平行。 若两直线的各同面投影互相平行，则此两直线在空间一定 互相平行。
二、相交两直线
特殊情况:
如果空间两直线相交，则此两直线的各组同面投影也一定相交， 且交点的投影符合点的投影规律。 反之，若两直线的各同面投影均相交，且各投影的交点符合点 的投影叉两直线
Ⅲ Ⅱ Ⅳ Ⅰ
[例1]直线AB和CD都是侧平线，试判别两直线的相对 位置。
AB、CD为平行两直线
AB、CD为交叉两直线
[例2] 试判别AB和CD是否相交？
AB与CD为交叉两直线
[例3]作直线EF与直线AB相交，与直线CD平行，并使 与AB的相交点距H面10mm。
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画法几何 直线,直线的相对位置直角投影 定理直角三角性法
31、园日涉以成ห้องสมุดไป่ตู้，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克