二次函数绝对值问题

二次函数中绝对值问题的求解策略二次函数是高中函数知识中一颗璀璨的“明珠”，而它与绝对值知识的综合，往往能够演绎出一曲优美的“交响乐”，故成为高考“新宠”。

二次函数和绝对值所构成的综合题，由于知识的综合性、题型的新颖性、解题方法的灵活性、思维方式的抽象性，学习解题时往往不得要领，现从求解策略出发，对近年来各类考试中的部分相关考题，进行分类剖析，归纳出一般解题思考方法。

一、适时用分类，讨论破定势分类讨论是中学数学中的重要思想。

它往往能把问题化整为零，各个击破，使复杂问题简单化，收到化难为易，化繁为简的功效。

例1 已知f(x)=x 2+bx+c (b,c ∈R),（1）当b<－2时，求证：f(x)在（－1，1）单调递减。

（2）当b<－2时，求证：在（－1，1）至少存在一个x0，使得|f(x0)|≥21. 分析 （1）当b<－2时，f(x)的对称轴在（－1，1）的右侧，那么f(x)在（－1，1）单调递减。

（2）这是一个存在性命题，怎么理解“至少存在一个x 0”呢？其实质是能找到一个这样的x 0，问题就解决了，不妨用最特殊的值去试一试。

当x=0时，|f(0)|=|c|,|c|与21的大小关系如何呢？对|c|进行讨论： （i ）若|c|≥21,即|f(0)|≥21，命题成立。

（ii ）若|c|<21，取x 0=－21,则21432145|||2141||2141||)21(|>=->--≥+-=-c b c b f .故不论|c|≥21还是|c|<21,总存在x 0=0或x 0=－21使得|f(x 0)|≥21成立。

本题除了取x=－21外，x 还可取那些值呢？留给读者思考。

二、合理用公式，灵活换视角公式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|在处理含绝对值问题时的作用有时是不可替代的，常用于不等式放缩、求最值等，思路简洁、明快，解法自然、迅捷。

例2 已知f(x)=x 2+ax+b 的图象与x 轴两交点的横坐标为x 1，x 2若|a|+|b|<1，求证：|x 1|<1且|x 2|<1.解 由韦达定理，得⎩⎨⎧=-=+b x x a x x 2121 ⎩⎨⎧==+∴.|||||,|||2121b x x a x x 代入|a|+|b|<1，得|x 1+x 2|+|x 1x 2|<1，又|x 1|－|x 2|≤|x 1+x 2|.1||||||||||21212121<++≤+-∴x x x x x x x x即|x 1|(1+|x 2|)<1+|x 2|。

1、已知函数2||)(2+-+=a x x x f .（1）讨论函数)(x f 的奇偶性；（2）求函数)(x f 的最小值【答案】（1）0a =函数为偶函数0a ≠非奇非偶函数（2）()22117,2(),24x a f x x x a x a ≥=++-=++- ()22217,224x a f x x x a x a ⎛⎫<=-++=-++ ⎪⎝⎭ 2min 71,4211()2,2271,42a a f x a a a a ⎧-≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩2、 已知函数()()1.f x x x a x R =--+∈（Ⅰ）当1a =时，求使()f x x =成立的x 的值;（Ⅱ）当()0,3a ∈，求函数()y f x =在[]1,2x ∈上的最大值【答案】（Ⅰ）1x =…………4分（Ⅱ）当()()()2211x ax x a f x x ax x a ⎧-++≥⎪=⎨-+<⎪⎩…………6分 当()[]()()max 01,1,21a f x f x f a <≤==时在上递减，故；…………8分当()[][]()()max 12,1,,21a f x a a f x f a <<==时在上递增，上递减，故； (10)分()()()max 23,1,,22222130,25222a a a a f x a a a f x f a ⎡⎤⎡⎤≤<⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎛⎫---=->==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时在上递减，上递增，且x=是函数的对称轴，由于表明： …………14分综上：()(01)1(12)52(23)a a f x a a a <≤⎧⎪=<<⎨⎪-≤<⎩3、已知()21f x x mx =++，若()3f x ≤在(]0,1上恒成立，求实数m 的取值范围【答案】法1：利用分离变量42x m x x x ⎛⎫-+≤≤- ⎪⎝⎭ 51m ∴-≤≤ 法2：分类讨论函数图像（1）02m -≤时()13f ≤01m ∴≤≤ （2）12m -≥时()13f ≤52m ∴-≤≤- （3）012m <-<时()13,32m f f ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭20m ∴-<<4、已知二次函数2()f x x bx c =++的图象过点(1,13)，且函数对称轴方程为12x =-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数2()()13g x f x x x ⎡⎤=--⋅⎣⎦，求()g x 在区间[,2]t 上的最小值()H t 【答案】（1）∵ 2()f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，∴ 1b =． ……… 2分 又2()f x x bx c =++的图象过点（1，13），∴ 113b c ++=，∴ 11c =．∴ ()f x 的解析式为2()11f x x x =++． ………………………………………… 4分（2） 由：（1）得：22(1)1,(0),()(2)||(1)1,(0).＝x x g x x x x x ⎧--≥=-⋅⎨--+<⎩ …………… 6分 结合图象可知：当12t ≤<，2min ()2g x t t =-；当11t ≤<，min ()1g x =-；当1t <-2min ()2g x t t =-+．……………………………… 9分∴ 综上：222,()1,2,t t H t t t ⎧-⎪=-⎨⎪-+⎩(12),(11),(1t t t ≤<-<<- ……………………………………… 11分5、（15嘉兴文基础测试20）已知函数()221()f x x mx m R =-+∈（1）若2m =，[]0,3x ∈，求()()max min D f x f x =-的值（2）若[]0,2x ∈时，()8f x ≤恒成立，求m 的取值范围【答案】（1）4，（2）当0,m <()f x 在[]0,2上递增 ，()32804f m ≤∴-≤< 当02,m ≤≤()f x 在[]0,m 上递减，[],2m 上递增()()833428f m m f ⎧≥-⎪∴-≤≤⎨≤⎪⎩ 当2,m >()f x 在[]0,2上递减()132824f m ≥-∴<≤ 综上所述：31344m -≤≤。

例说与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题二次函数是数学中一种非常重要的函数类型，它的图像呈现出抛物线的形状。

而绝对值不等式是描述了一个变量与另一个变量之间的不等关系，其中包含了绝对值运算。

在本文中，我们将探讨二次函数与绝对值不等式的关系，并给出一个例子来说明如何证明这种含有绝对值的不等式。

首先，我们来介绍二次函数的基本形式，它可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中a、b和c是实数常数，且a不等于零。

这个函数有一个重要的性质，即它的图像总是一个抛物线，开口的方向取决于a的正负。

接下来，我们来讨论绝对值不等式的基本形式，它可以表示为：g(x)，<d其中g(x)是一个与x有关的函数，d是一个正实数。

这个不等式的含义是，g(x)的绝对值小于d时，不等式成立。

现在，我们来考虑一个含有绝对值不等式的二次函数的证明问题。

假设我们要证明以下不等式成立：ax^2 + bx + c， < k其中a、b、c和k都是已知的实数常数。

首先，我们可以将不等式拆分成两个部分，考虑g(x) = ax^2 + bx+ c的两种情况：当g(x) 大于等于 0 时，以及当g(x) 小于 0 时。

对于这两种情况，我们可以分别进行讨论和证明。

情况一：g(x)大于等于0当g(x)大于等于0时，即ax^2 + bx + c >= 0这意味着抛物线的开口朝上，并且g(x)的绝对值可以简化为g(x)，因此我们可以将不等式重写为：ax^2 + bx + c < k接下来，我们需要找到函数g(x)与k之间的最大值。

这可以通过求导数的方式来实现。

我们对函数g(x)进行求导，并令导数等于0，可以得到抛物线的顶点坐标。

然后我们将这个坐标带入g(x)中，即可得到g(x)的最大值。

我们将这个最大值命名为M。

因此，我们可以将不等式进一步简化为：g(x)<M然后，我们可以使用一些常用的技巧来证明这个不等式的正确性，比如因子分解、配方法、或者其他适用的方法。

二次函数中的a的绝对值
二次函数是一种有广泛应用的函数，也叫做二次形式。

它由一个参数构成，其中参数a可以是任意数值。

一般来说，a的绝对值能够用来决定一个二次函数的特点。

本文将对a的绝对值的影响进行介绍。

首先，要理解a的绝对值，需要回顾一下标准的二次函数的形式：y=ax²+bx+c。

在这个函数中，参量a就是绝对值。

这样，a的绝对值就决定了函数的特点，也就是
决定了函数图像的一般形状。

如果a是正数，这说明变量x与y成正比，因此函数图像开口朝上，即为凸函数。

而如果a是负数，这就表明变量x与y成反比，函数图像开口就朝下，即为凹函数。

这就是a的绝对值对函数图像的影响。

另外，a的绝对值也影响函数的极限值。

如果a的绝对
值越大，就会使函数的极限值越大，反之亦然，a的绝
对值越小，函数的极限值也越小。

因此，a的绝对值能
够影响函数的极限值，也就是函数曲线的上升或下降。

最后，a的绝对值还能影响函数的极值点，也就是说，
a的绝对值能够决定函数曲线是否具有极大值和极小值。

如果a的绝对值大于0，函数就会具有极大值和极小值，反之亦然，a的绝对值小于0，就不具有极大值和极小值。

总之，a的绝对值对二次函数影响十分重要，它能够决
定函数的特点，以及函数曲线是否具有极大值和极小值。

以下是了解a的绝对值所需知道的几点：它能够决定函数曲线开口朝上还是朝下，它能够决定函数的极限值大小，以及它能够决定函数曲线是否具有极大值和极小值。

二次函数绝对值的问题练习及答案二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富的内容，它对近代数仍至现代数学影响深远，这部分内容为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，经久不衰，以它为核心内容的高考试题，形式上也年年有变化，此类试题常常有绝对值，充分运用绝对值不等式及二次函数、二次方程、二次不等式的联系，往往采用直接法，利用绝对值不等式的性质进行适当放缩，常用数形结合，分类讨论等数学思想，以下举例说明例1 设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x R ∈ （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求()f x 的最小值 解；（1）0a =时，()f x 为偶函数0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数（2）22222131,24()||1131,24x x a x a x af x x x a x x a x a x a ⎧⎛⎫+-+=++-≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=+-+=⎨⎪⎛⎫-++=-++< ⎪⎪⎝⎭⎩当()min 13,24a f x a≤-=- 当()2min 11,122a f x a -<<=+ 当()min 13,24a f x a≥=+例2 已知函数1)(2-=x x f ，|1|)(-=x a x g . (1)若关于x 的方程)(|)(|x g x f =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； (2)若当R x ∈时，不等式)()(x g x f ≥恒函数成立，求实数a 的取值范围；(3)求函数)(|)(|)(x g x f x h +=在区间[-2,2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）.解：（1）方程|()|()f x g x =，即2|1||1|x a x -=-，变形得|1|(|1|)0x x a -+-=，显然，1x =已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|1|x a +=，有且仅有一个等于1的解或无解 ，结合图形得0a <.（2）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立，即2(1)|1|x a x --≥（*）对x ∈R 恒成立， ①当1x =时，（*）显然成立，此时a ∈R ；②当1x ≠时，（*）可变形为21|1|x a x -≤-，令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩ 因为当1x >时，()2x ϕ>，当1x <时，()2x ϕ>-， 所以()2x ϕ>-，故此时2a -≤.综合①②，得所求实数a 的取值范围是2a -≤.（3）因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221,(1),1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+--⎪--++-<⎨⎪-+-<-⎩≤≥当1,22aa >>即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，经比较，此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +.当01,22a a 即0≤≤≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a -上递减， 在[1,]2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++，经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +.当10,02a a -<<即-2≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a-上递减， 在[1,]2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++，经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +.当31,222a a -<-<-即-3≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,]2a -，[1,]2a-上递减， 在[,1]2a ，[,2]2a-上递增，且(2)330h a -=+<, (2)30h a =+≥，经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +.当3,322a a <-<-即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递增，在[1,2]上递减，故此时()h x 在[2,2]-上的最大值为(1)0h =. 综上所述，当0a ≥时，()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +； 当30a -<≤时，()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +； 当3a <-时，()h x 在[2,2]-上的最大值为0.练习：1. 已知函数2||)(2+-+=a x x x f . （1）讨论函数)(x f 的奇偶性；（2）求函数)(x f 的最小值 2. 已知函数()221()f x x mx m R =-+∈（1）若2m =，[]0,3x ∈，求()()max minD f x f x =-的值（2）若[]0,2x ∈时，()8f x ≤恒成立，求m 的取值范围3. 已知函数|21|21)(2a x x x f -++=，其中a 是实数.（1）判断)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）当]1,1[-∈x 时，)(x f 的最小值为221a，求a 的值答案：1.（1）0a =函数为偶函数0a ≠非奇非偶函数（2）()22117,2(),24x a f x x x a x a ≥=++-=++-()22217,224x a f x x x a x a⎛⎫<=-++=-++ ⎪⎝⎭2min 71,4211()2,2271,42a a f x a a a a ⎧-≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩2.（1）4（2）分类讨论二次函数对称轴与区间的关系，寻找最大值的位置 当0,m <()f x 在[]0,2上递增 ，()32804f m ≤∴-≤<当02,m ≤≤()f x 在[]0,m 上递减，[],2m 上递增()()833428f m m f ⎧≥-⎪∴-≤≤⎨≤⎪⎩当2,m >()f x 在[]0,2上递减()132824f m ≥-∴<≤综上所述：31344m -≤≤3.（1）①当21=a 时，||21)(2x x x f +=，有)()(-x f x f =，所以)(x f 为偶函数；②当21≠a 时，0|21|)0(≠-=a f ，所以)(x f 不是奇函数； 又因为2)12(21)1-2(-=a a f ，而|21|2)12(21)2-(12a a a f -+-=，即)12()2-(1-≠a f a f ，所以)(x f 不是偶函数；综上，当21≠a 时，)(x f 既不是奇函数也不是偶函数.（2）2213(1)2,2122()11(1)2,2122x a x a f x x a x a ⎧--+<-⎪⎪=⎨⎪++-≥-⎪⎩①若112-≤-a ，即0≤a ， 当]1,1[-∈x 时，a x a x x x f 221)1(212121)(22-++=-++=，故)(x f 在]1,1[-上递增，所以=-=-=a f x f 221)1()(min 221a ，得52--=a .②若112≥-a ，即1≥a ， 当]1,1[-∈x 时，a x a x x x f 223)1(212121)(22+--=+--=，故)(x f 在]1,1[-上递减，所以=+-==a f x f 223)1()(min 221a ，得1=a 或3=a .③若1121<-<-a ，即10<<a ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--++-<≤-+--=)112(221)1(21)121(223)1(21)(22x a a x a x a x x f故)(x f 在]12,1[--a 上递减，在]1,1[2-a 上递增；所以22min 212122)12()(a a a a f x f =+-=-=，得31=a .综上，52--=a 或31=a 或1=a 或3=a .。

含有绝对值的二次函数最值求解问题作者：夏良娟来源：《新课程学习·中》2013年第05期2009年江苏省高考题最后一题考了含参带有绝对值的二次函数，本质是含有绝对值的二次函数最值求解问题，重点考查了分类讨论、数形结合的思想。

此类题目有一定的综合性与灵活性，学生解决此类问题往往感到有一定的困难。

在教学过程中，我对这类题目进行了小结，总结了两种方法。

二次函数是最简单的非线性函数之一，它有着丰富的内容，对近代数学乃至现代数学影响深远，与二次函数有关的含有绝对值不等式的证明问题有一定的综合性与灵活性，学生解决此类问题往往感到有一定的困难。

本文通过几个例子，归纳解决这类问题的一些常见题型与基本方法。

例：已知f（x）=2x2+（x-a）x-a，求f（x）的最小值。

解：f（x）=2x2+（x-a）x-a=x2+2ax-a2，x≤a3x2-2ax+a2，x≥a注意函数在x=a处相接，分段时两侧都取闭区间，以防止有一侧无最值。

法一：分段求各部分的最小值，再比较。

当x≥a时，如图1所示。

若a≥，即a≥0，f（x）的最小值在x=a处取得，f（x）min=f （a）=2a2；若ax=处取得，f（x）min=f（）=a2；当x≤a时，如图2所示。

若a≥-a，即a≥0，f（x）的最小值在x=-a处取得，f（x）min=f（-a）=-2a2；若a这种方法是大部分学生所喜欢采用的方法，可是做到这里之后就结束了，不知道或不会综合，难以写出最终答案。

由于f（x）分段，故需比较各段上的最小值，可以通过画数轴的方法得出最后的结论。

当a当a≥0时，2a2>-2a2，f（x）min=f（-a）=-2a2.综上，f（x）min=a2，a-2a2，a≥0法二：讨论a的位置，画出完整的对接图形，由图直接得出最小值。

由于对称轴是，-a，它们与a的分界点为a=0。

若不能直接得到，则令=a，-a=a，找到分界点a=0。

一般有两个，此题较特殊，只有一个。

【二轮复习】 再谈含绝对值的二次函数高考题中的函数解答题目前对同学们来说仍是个难点，尤其当出现含绝对值的“二次”函数时，很多同学感觉无从下手，画不出图、找不出分类讨论的依据，本专题就结合大家所研究过的典型例题，进行归类、对比、体验、感悟，期望大家能总结规律，看透本质，攻克此类题。

绝对值的函数的本质是分段函数，常见的是两段（或三段）均为二次函数或一次、二次组合，就从涉及到的抛物线的对称轴条数，对此类题进行归类。

类型一、同轴型（单轴型）例1、求函数2()|3|f x x ax =--（（a 为常数）在[]0,3x ∈上的最大值变式1、已知函数2()|2|f x x x a =-+在[]0,5上的最大值是8，求a 的值变式2、求()||f x x x a =-在[]2,4x ∈时的最大值类型二、异轴型（双轴型）例2、设a R ∈，求函数2()||1f x x x a =+-+的最小值例3、已知函数()|2|2f x x a x x =-+，a R ∈(1) 若f (x )在R 上是增函数，求a 的范围； (2)试求函数f (x )的单调区间； (3)若存在[]2,2a ∈-使方程f (x )－m =0有三个不同的根，求m 的范围(4)若方程有三个不同的根，记为x 1,x 2,x 3，求x 1+x 2+x 3的取值范围例4、已知函数2()|2|f x x x ax a =-++，求()f x 的最小值类型三、异次混合型例5、定义在R 上的函数2()||(1)f x x x a x =---，1a >-若f (x )在[0,1]上的最大值与最小值分别记为M(a )，N(a )，求g(a )= M(a )—N(a )。