(完整版)二次根式的估值与比较大小

比较二次根式大小的几种方法一、比较系数法：对于形如√a和√b的二次根式，如果a>b，那么√a>√b；如果a<b，那么√a<√b。

例如，比较√5和√7的大小。

由于5<7，所以√5<√7二、平方法：对于形如√a和√b的二次根式，如果a²>b²，那么√a>√b；如果a²<b²，那么√a<√b。

例如，比较√3和√8的大小。

由于3²=9，8²=64，所以√3<√8三、绝对值法：对于形如√a和√b的二次根式，如果，a，>，b，那么√a>√b；如果，a，<，b，那么√a<√b。

例如，比较√(-2)和√(-5)的大小。

由于，-2，=2，-5，=5，所以√(-5)<√(-2)。

四、化简法：对于形如√a的二次根式，如果a可以化简为形式p²×q（p和q为正整数），那么√a=√(p²×q)=p√q。

例如，化简√72、首先可以将72分解为2²×3²×2，然后利用根式的乘法法则和化简法则，得到√72=2×3√2=6√2五、近似法：如果无法直接通过上述方法比较二次根式的大小，可以使用近似法。

通过计算近似值，可以比较二次根式的大小。

例如，比较√3和√2的大小。

可以使用计算器或手算，得到√3≈1.732，√2≈1.414，所以√2<√3需要注意的是，以上方法比较的是二次根式的大小，而不是数值的大小。

当a和b的大小关系无法确定时，使用以上方法可以对二次根式的大小关系进行比较。

「初中数学」比较二次根式大小的十二种方法含二次根式的数或式的大小比较，是同学们学习的一个难点，若能根据二次根式的特征，灵活地、有针对性地采用不同的方法，将会得到简捷的解法，常见的比较方法有:平方法、作商法、分子有理化法、分母有理化法、作差法、倒数法、特殊值法、定义法、根号外因式内移法、传递法、参数法、放缩法等.下面分别介绍.一.平方法依据:当a>0，b>0时，若a²>b²，则a>b.二.作商法依据:当a>0，b>0时，若a/b>1，则a>b，若a/b=1，则a=b，若a/b<><>三.分子有理化法对于形如'√a+√b'或'√a一√b”的式子，若两项a一b的值相等，采用分子有理化法简捷四.分母有理化法对于分母形如'√a+√b'或'√a一√b'的式子，可先分母有理化，再比较.五.作差法依据:若a一b>0，则a>b;若a一b=0，则a=b;若a一b<><>六.倒数法依据:当ab>0时，若1/a>1/b，则a<>七.特殊值法取给定范围内的特殊值进行求值比较.八.定义法依据:二次根式的定义.九.根号外因式内移法依据:若a≥0，则a=√a²，若√a>√b，则a>b.十.传递法依据:若a>b，b>c，则a>c.十一.参数法对于复杂二次根式和简单二次根式比大小，先设辅助元化简复杂的二次根式或求出复杂二次根式的值，然后比较十二.放缩法对难以寻找特征的两个二次根式，可以采用放缩的方法转化后比较【总结】上边所说的方法，希望同学们认真体会，有的题可以用多种方法进行比较，同学们灵活掌握，寻找较简便的解法.感谢大家的关注、转发、点赞、交流！。

二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。

如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。

不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。

如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。

如25 可以写作 5 。

（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。

（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。

其中a≥0是 a 有意义的前提条件。

（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。

（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。

要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。

练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。

二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。

（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。

数学中的二次根式知识点一、定义与性质二次根式是指具有以下形式的数：√a，其中a为非负实数。

其中，√a被称为二次根式的根号形式，a被称为二次根式的被开方数。

二次根式的一些重要性质如下：1. 非负性质：对于任意非负实数a和b，如果a<b，则√a<√b。

2. 非负完全平方值：对于任意非负实数a，若存在非负实数b满足b^2=a，则称b为a的平方根，记作√a=b。

3. 非负根式相等：对于任意非负实数a和b，如果a≥0，b≥0且√a=√b，则a=b。

4. 非负根式与绝对值：对于任意实数a，有√(a^2)=|a|。

二、化简与运算1. 化简（1）合并同类项：对于形如√a±√b的二次根式，可以根据运算规则合并同类项。

（2）有理化分母：对于形如1/√a的二次根式，可以通过有理化分母的方法，将分母中的二次根式消去。

（3）去除分母内的二次根式：对于形如a/√b的二次根式，可以通过有理化分母的方法，去除分母内的二次根式。

2. 运算（1）加减运算：对于形如√a±√b的二次根式，可以根据运算规则进行加减运算。

（2）乘法运算：对于形如√a*√b的二次根式，可以根据运算规则进行乘法运算。

（3）除法运算：对于形如√a/√b的二次根式，可以根据运算规则进行除法运算。

（4）幂运算：对于形如(√a)^n的二次根式，可以根据运算规则进行幂运算。

三、应用与解题思路1. 求解二次根式的值：根据给定的被开方数，利用二次根式的定义和运算规则，可以求解二次根式的值。

2. 化简二次根式：根据给定的二次根式，利用化简的方法，将其化简为最简形式，以便于进行运算或比较大小。

3. 比较大小：根据二次根式的性质，可以通过比较被开方数的大小，来比较二次根式的大小关系。

4. 解方程与不等式：在数学中的各种问题中，经常会涉及到二次根式的方程或不等式，可以利用二次根式的性质以及运算规则，对方程或不等式进行求解。

综上所述，二次根式是数学中重要的知识点之一。

二次根式的估值与比较大小（北师版）试卷简介:本套试卷主要考查学生无理数的估值以及比较大小，其中估值涉及无理数的直接估值以及无理数的整数、小数部分等内容，比较大小涉及多种比较大小的方法，学生需要结合题目的结构选择合适的方法解决问题。

一、单选题(共6道，每道10分)1.的值( )A.在1和2之间B.在2和3之间C.在3和4之间D.在4和5之间答案：C解题思路：因为，所以故选C试题难度：三颗星知识点：估算无理数的大小2.估算的值( )A.在4和5之间B.在5和6之间C.在6和7之间D.在7和8之间答案：D解题思路：，因为，所以．故选D试题难度：三颗星知识点：估算无理数的大小3.若与的小数部分分别是a和b,则a+b=( )A.1B.C.0D.11答案：A解题思路：因为，因此，相应小数部分为；，相应小数部分为．因此，，a+b＝1故选A试题难度：三颗星知识点：无理数的整数部分、小数部分4.现有四个无理数,,,,其中在实数+1和+1之间的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：B解题思路：考虑通过平方法比较大小：，，，，，；∵，∴∴∵∴∴∴在实数+1和+1之间的有，故选B试题难度：三颗星知识点：乘方法比较大小5.下面四个结论正确的是( )A.>B.<C.<D.<答案：C解题思路：在A选项中，不等号两边都是两个根式相加的形式，因此比较与：，，故，A选项错误；在B选项中，分母有理化可得：，，且，因此B选项错误；在C选项中，作差可得：，因此C 选项正确；在D选项中，因为，，所以，，因此D选项错误．试题难度：三颗星知识点：作差法比较大小6.,,的大小关系是( )A.<<B.<<C.<<D.<<答案：B解题思路：比较与：，，因此；比较与：，因此．试题难度：三颗星知识点：乘方法比较大小二、填空题(共4道，每道10分)7.如图，在数轴上表示数的点可能是点____．答案：P解题思路：因为，所以，所以对应的点应该在3与4之间，并且离4更近．试题难度：知识点：估算无理数的大小8.若的整数部分是x，小数部分是y，则的值是____．答案：1解题思路：因为，所以x＝3，，所以．试题难度：知识点：无理数的整数部分、小数部分9.已知与的小数部分分别是a和b，则的值为____．答案：-13解题思路：因为，所以，相应小数部分为；，相应小数部分为．因此，，试题难度：知识点：无理数的整数部分、小数部分10.设，的小数部分分别为a，b，则的值为____．答案：-2解题思路：因为，因此，．试题难度：知识点：无理数的整数部分、小数部分。

估算知识点一：方根的估算估算是现实生活在中一种常用的解决问题的方法，很多情况下需要估算无理数的近似值，估算的一般步骤 （1）估算被开方数在哪两个平方数（立方数）之间 （2）确定无理数的整数（3）按要求估算，一般地，开平方估算到一位小数，开立方估算到整数 例1：估算下列数的大小）（精确到0.132733453（精确到1）知识点二：比较无理数的大小1.估算法：用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，在比较大小时，一般先采用分析的方法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较 例2：比较的大小与4143-10 2.求差法b a b a >>-则若,0；b a b a <<-则若,0；b a b a ==-则若,03.平方法：当比较两个带根号的无理数的大小时，可用如下结论：若b a b a b a 33,0>>≥>则，若题型一：估算是现实生活中一种常用 的解决问题的方法，如有一片长方形小树林，长是宽的3倍，而对角线的长为210米，若每棵树的占地面为1平方米，则这片小树林共有多少棵树？这片长方形小树林的长大约是多少米？（精确到1米） 知识清单全练 知识点一：方根的估算对方根进行估算，平方根一般精确到____________，立方根一般精确到______________ 基础闯关全练 知识点一：方根的估算1. 0.00057的算术平方根在 （ ）A.0.05与0.06之间B.0.02与0.03之间C.0.03与0.04之间D.0.2与0.3之间 2.估算结果的误差最小的是 （ ）A.5.312≈B.10300≈C.1012343≈ D.01.06.0≈3.一个正方体的体积为28360立方厘米，则这个正方体的棱长估计为 （ ）A.22厘米B.27厘米C.30.5厘米D.40厘米 4.大于17-3且小于103的整数有____________个知识点二：比较无理数的大小 5.将757575，，三数按从小到大的顺序排列为_____________________ 6.比较大小51171+）（ 与109（2） 5.124与 三年模拟全练 一：选择题1.将2，，，525这三个数用“>”连接正确的是（ ） A.5252>>B.5225>>C.2525>>D.2255>> 2.一个正方形的面积是12，估计它的边长大小在（ ）A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间 D,5与6之间 3.估计6+1的值在（ ）A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间 D,5与6之间 二：填空题4.若m 是13的整数部分，其小数部分为n ,则n 的值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿5.比较大小：４＿＿＿＿23 五年中考全练１.ａ，ｂ是两个连续整数，若b a <<7,则a,b 的分别是_____________２.下列无理数中，在-2与-1之间是（ ）A.5-B.3-C.3 D,5 3.大于的整数是且小于52___________4.把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为_______________ 二次根式知识点一：二次根式，最简二次根式的概念1.二次根式的定义：一般地，形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式，a 叫做被开方数2.最简二次根式：同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式（1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式例1.在个中，最简二次根式有，，，_____21862 知识点二：二次根式的性质 1.性质：（1）{002≥≤-==a a a a a a（2）)0,0(≥≥∙=b a b a ab 积的算术平方根等于各因数算术平方根的积（3）)0,0(>≥=b a ba b a 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 2.化二次根式为最简二次根式的一般步骤：（1）把被开方数中的带分数或绝对值大于1的小数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数（2）被开方数是整数或是整式，先将它分解因式或因式，然后把开得尽方的因数或因式化到根号外面（3）化去分母中的根号或根号内的分母（4）约分 例2：化简3283知识点三：二次根式的运算1.在实数范围内，可以进行加，减，乘，除，乘方和开方的运算，并且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立2.二次根式的乘除运算公式3.二次根式加减运算步骤： （1）把二次根式化成最简二次根式（2）找出同类二次根式（被开方数相同），并合并 例3：计算下列各式练习：）（18-212 ）（）（5-62322+ 632-5520⨯+ 题型二：利用二次根式计算几何问题例2：如图，每个小正方形的边长为1，求∆ABC 的面积和周长实数知识清单全练：知识点一：二次根式，最简二次根式的概念1.一般地，形如________（a 》0）的式子叫做二次根式，a 叫做_________2.最简二次根式必须同时满足两个条件： （1）被开方数不能含__________的因数或因式（2）被开方数的因数是___________，因式是_____________ 知识点二：二次根式的性质 3.二次根式的性质知识点三：二次根式的运算4.二次根式的加减运算：先化成_____________二次根式，再合并___________二次根式5.二次根式的乘法运算：)0,0(__________≥≥=∙b a b a ；)0,0________(>≥=b a ba基础闯关全练知识点一：二次根式，最简二次根式的概念C B A1.下列式子中二次根式的个数有（ ）2.下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A.23a B.31C.152D.143 3.使式子2-m 的意义的m 的最小整数值是______________ 知识点二：二次根式的性质4.若______20的最小值是是整数，则正整数n n5.化简：知识点三：二次根式的运算6.如果bab a b a ab =<+>）那么下面各式：（1,0,0（2）b b a ab a b b a -=÷=∙)3(1其中正确的是______7.下列二次根式中，不能与合并的是（）2 A.21B.8C.12D.18 8.按如图所示的程序计算，若开始输入的n 值为2，则最后输出的结果是________________9.化简）（222-8+=__________10.计算1052-40⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 361-24÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 2-31227+ 11.。

号外的因数移入根号内，转化为比较被开方数的大小。

五、分母有理化法。

此法是先将各自的分母有理化，再比较大小。

六、分子有理化法。

八、特殊值法。

如果要比较的二次根式中含有字母，且呈规律性变化，为快速比较，解答时可以在许可的条件下设定特殊值来快速进行比较。

九、两头放缩法。

放缩法就是将题中的某些量放大或缩小，使各量之间的关系十分清晰的显露出来，它不受公式、法
十、中介法。

在两个相比较的根式之间找一个正整数作为中介数是解此题的关键。

教有法而无定法，解题亦如是。

在具体运用中，视题而定，用合适的方法作答，提高解题效率。

二次根式比较大小基础题哎呀，今天咱们聊聊这个二次根式的比较，听起来可能有点枯燥，但其实它的乐趣无穷，就像挖掘宝藏一样。

你知道的，生活中总有些数字让人琢磨不透，特别是那些带根号的家伙。

比如说，根号2和根号3，你觉得哪个大？一开始看着这俩，真让人抓耳挠腮。

根号2，嘿，那可是个常见的角色，通常在各种计算里都能见到。

而根号3，哇，那可是个稍微不那么常见的选手，听着名字就有点神秘。

好吧，咱们先来聊聊根号2。

它就像个不拘小节的朋友，随便走到哪儿都能引起关注。

大约1.414的样子，差不多就是个1.4的水准，基本上在我们生活中经常能见到，像是很多建筑的比例啊，或者设计的灵感，简直就是一个神奇的数字。

而根号3呢，唉，稍微有点腼腆，但它的身世背景也不简单，约等于1.732，哎，这数字听起来就比较高深。

你看，这俩数字就像两个性格截然不同的朋友，走在一起总能擦出一些火花。

说实话，比较它们的时候，感觉就像在做一次友谊测试，谁能赢得这个“比较”的桂冠呢？咱们可以把它们的平方拿出来比一比，哦，听起来像是打牌，谁的牌更大。

不过，咱们可不是在赌博，只是在寻找真相。

根号2的平方是2，而根号3的平方是3，嘿，这下就清楚了，根号3确实更大。

真是让人意外吧？根号2虽然在生活中比根号3常见，但在这场比较中，它还是得甘拜下风，唉，谁让人家背景深厚呢。

再说说根号4，喔，这可是个老朋友，大家都知道，它就是2，乍一看好像没什么特别之处，但它的到来总能让人眼前一亮。

根号4在这个家族里可算是个小明星，真的是能把根号2和根号3都比下去。

你想想，在学校里，老师说根号4等于2，结果同学们都在心里嘀咕：这不是小儿科吗？但就是这个简单的数字，让复杂的事情变得明朗。

话说回来，有时候比较根号也是一种乐趣，就像在群聊里讨论谁的长相更好看，大家各抒己见，热闹非凡。

而在数学这条路上，根号的比较就像是一场无声的争吵，大家争先恐后，谁都不甘示弱。

说到这，不禁让我想起小时候做题的情景，唉，满桌的习题，有时候就像玩拼图，拼来拼去就是拼不出个头绪，但慢慢来，思路一开，哦，原来是这么简单。

二次根式比大小的八种方法。

方法一：平方法
平方法是对要比较大小的两个数先平方，根据平方后数据的大小来确定原数的大小。

方法二：作商法
作商法是把要比较大小的两个数相除，根据除得的商来判断原来数值的大小，除得的商分大于1，等于1，或小于1。

方法三：分子有理化法
分子有理化法是专门针对二次根式比较大小来说的，通过对分子有理化来判断出大小，再确定原数值的大小。

方法四：分母有理化法
分母有理化是通过对二次根式乘以有理化因式后，将原来的二次根式化简成最简二次根式再比较大小。

方法五：作差法（最常用）
作差法就是将比较大小的两个数相减，根据所得的差来看两数的大小，也是平时比较大小最常用的方法。

方法六：倒数法
倒数法就是先求出原数倒数的大小，再根据倒数的大小来确定原来数值的大小。

方法七：特殊值法
特殊值法就是通过对比较大小的代数式子赋特殊值的方法来确定大小的方法。

方法八：定义法。

二次根式定义性质和概念如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。

a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。

二次根式即：若，则x叫做a的平方根，记作x=。

其中a叫被开方数。

其中正的平方根被称为算术平方根。

关于二次根式概念，应注意：被开方数可以是数，也可以是代数式。

被开方数为正或0的，其平方根为实数；被开方数为负的，其平方根为虚数。

性质：二次根式1.任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。

如正数a的算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣；最简形势中被开方数不能有分母存在。

二次根式2.零的平方根是零，即；3.有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式,也称互为有理化因式。

二次根式4.无理数可用有理数形式表示, 如:。

几何意义二次根式1°(a≥0)[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式；利用此性质在实数范围内因式分解];二次根式2°，都是非负数；当a≥0时，；而中a取值范围是a≥0，中取值范围是全体实数。

二次根式3°c=表示直角三角形内，斜边等于两直角边的平方和的根号，即勾股定理推论;4° 逆用可将根号外的非负因式移到括号内，如二次根式二次根式﹙a>0﹚，﹙a<0﹚二次根式﹙a≥0﹚，﹙a<0﹚二次根式7° 注意:，即具有双重非负性。

算术平方根正数a的正的平方根和零的平方根统称为算术平方根，用(a≥0)来表示。

0的算术平方根为0.开平方运算化简化简二次根式是初中阶段考试必考的内容，初中竞赛的题目中也常常会考察这一内容。

最简二次根式二次根式化简一般步骤：①把带分数或小数化成假分数；②把开方数分解成质因数或分解因式；③把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外；④化去根号内的分母，或化去分母中的根号；⑤约分。

运算法则乘除法1.积的算数平方根的性质二次根式（a≥0，b≥0）2. 乘法法则二次根式（a≥0，b≥0）二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

二次根式知识点总结及习题带答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN【基础知识巩固】一、二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

二、取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

三、二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

四、二次根式（）的性质：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

（）注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.五、二次根式的性质：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

六、与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。

但与都是非负数，即，。

因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.七、二次根式的运算1、最简二次根式必须满足以下两个条件（1）被开方数不含分母，即被开方的因式必须是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数中每一个因数或因式的指数都是1.2ab a·b（a≥0，b≥0）；积的算术平方根的性质即乘法法则的逆用.3、除法法则：b ba a（b≥0，a>0）；商的算术平方根的性质即除法法则的逆用.4、合并同类项的法则：系数相加减，字母的指数不变.5、二次根式的加减（1）二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并。