高中物理解题方法例话：2判别式法

二次方程的判别式求解二次方程是一种常见的代数方程，具有形如ax^2 + bx + c = 0的一般表达式，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。

判别式是用来判断二次方程的根的性质和个数的一项重要工具。

本文将介绍二次方程的判别式以及如何求解。

一、二次方程的判别式设二次方程为ax^2 + bx + c = 0，其判别式D的计算公式为D = b^2 - 4ac。

判别式D的正负、零与二次方程的根之间存在以下关系：1. 若D > 0，即判别式大于零，则方程有两个不相等的实根。

实根的个数与判别式的正负相关，正数判别式表示方程有两个不相等的实根。

2. 若D = 0，即判别式等于零，则方程有两个相等的实根。

此时，方程称为完全平方。

3. 若D < 0，即判别式小于零，则方程无实根。

此时，方程的解为复数，通常表示为a+bi的形式，其中a和b都是实数，i是虚数单位。

二、求解二次方程的步骤1. 根据方程的形式ax^2 + bx + c = 0，确定a、b、c的值。

2. 计算判别式D = b^2 - 4ac。

3. 根据判别式D的值，进行分类讨论：a) 若D > 0，利用求根公式x = (-b ± √D) / (2a)计算方程的两个不相等的实根。

b) 若D = 0，利用求根公式x = (-b ± √D) / (2a)计算方程的两个相等的实根。

c) 若D < 0，根据虚数单位i，利用求根公式x = (-b ± i√(-D)) / (2a)计算方程的两个复数解。

三、实例演示以方程2x^2 - 5x + 2 = 0为例，以下演示如何求解该二次方程。

1. 确定二次方程的系数：a = 2b = -5c = 22. 计算判别式D：D = (-5)^2 - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 93. 根据判别式D的值进行分类计算：a) 若D > 0：x1 = (-(-5) + √9) / (2 * 2) = (5 + 3) / 4 = 8 / 4 = 2x2 = (-(-5) - √9) / (2 * 2) = (5 - 3) / 4 = 2 / 4 = 1/2因此，方程2x^2 - 5x + 2 = 0有两个不相等的实根，分别为2和1/2。

一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理一、根的判别式1.一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a -+=±． 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2.判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ∆=-确定．判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b acx a -±-=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时24b b ac -±-是2a 的整数倍，则方程的根为整数根．说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>;有两个相等的实数根时，0∆=;没有实数根时，0∆<．(2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况(有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根． ① 当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ② 当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．3.一元二次方程的根的判别式的应用：一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： （1）运用判别式，判定方程实数根的个数；（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； （3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．二、韦达定理如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为12x x ，，那么，就有()()212ax bx c a x x x x ++=--比较等式两边对应项的系数，得1212b x x ac x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⋅⎪⎩①，② ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．因此，给定一元二次方程20ax bx c ++=就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数1x ，2x 满足①与②，那么这两数12x x ，必是一个一元二次方程20ax bx c ++=的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．利用根与系数的关系，我们可以不求方程20ax bx c ++=的根，而知其根的正、负性． 在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论： 当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba-<，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0ba -<，则此方程的两根均为负根．⑴ 韦达定理：如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12bx x a+=-，12c x x a =．(隐含的条件：0∆≥)⑵ 若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根(其中12x x ≥)，且m 为实数，当0∆≥时，一般地： ① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > ③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数12,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：21212()0x x x x x x -++=． ⑷ 其他：① 若有理系数一元二次方程有一根a b +，则必有一根a b -(a ，b 为有理数)． ② 若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ③ 若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ④ 若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =．⑤ 若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-． ⑸ 韦达定理主要应用于以下几个方面：① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ③ 已知方程的两根，求作方程；④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑤ 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．例题一、判断方程根的情况【例1】 不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）22340x x +-=；（2）216924y y +=；（3）()25170x x +-=。

探索探索与与研研究究判别式法是一种常用的解题方法，常用于解答与一元二次方程有关的问题.一般地，若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有解或者有实根，则方程的判别式△=b2-4ac≥0；若方程无解，则△=b2-4ac<0.判别式法就是根据一元二次方程是否有实根来建立关系式解答问题的方法.在解题时，我们需根据题意构造一元二次方程，抓住方程是否有实数解这一关键点，运用判别式判断方程解的情况，从而求得问题的答案.一、解答二次函数的定义域问题二次函数的定义域问题一般与二次函数、二次方程有关.在解题时，我们需首先明确要使函数式有意义，需确保分母不为0、根号下的式子恒大于或等于0、幂的底数不为0、对数的底数大于0等，建立一元二次方程，将问题转化为一元二次方程有解的问题，建立判定式与0之间的关系式，便可求得问题的答案.例1.若函数f(x)=x-4mx2+4mx+3的定义域为R，求实数m的取值范围.解：若函数f(x)定义域为R，则mx2+4m+3≠0.当m=0时，f(x)=13(x-4)，定义域R，所以m=0满足题意；当m≠0时，要使mx2+4m+3≠0，必须使曲线y=mx2+4m+3与x轴无交点，即△=16m2-12m<0，解得0<m<34，综上可得m∈[0,34).在解答ax2+bx+c=0的方程问题时，首先要考虑a是否为0，若a≠0，方程才是一元二次方程，然后再用判别式法解答问题，才能得到完整的答案.二、解答二次不等式证明问题不等式与方程有着紧密的联系.一般地，若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根为x1、x2且x1>x2，则不等式ax2+bx+c>0的解集为{}x|x>x1或x<x2,若不等式ax2+bx+c<0的解集为{}x|x2<x<x1.在解答一元二次不等式证明问题时，我们可将不等式的解集的端点值看作一元二次方程的两个根，根据方程有解来建立不等式，从而证明结论成立.例2.若a，b∈R，且a+b+c=m，a2+b2+c2=12，m2(m>0)求证：a，b，c都是不大于2m3的非负数.证明：先证0≤a≤2m3，由已知得b+c=m-a，b·c=12(b+c)2-12(b2+c2)=12(m-a)2-12(12m2-a2)=a2-ma+14m2，于是b，c是方程x2-(m-a)x+(a2-ma+14m2)=0的两根，从而可得△=(m-a)2-4(a2-ma+14m2)≥0，即3a2-2ma≤0，又m>0，解得0≤a≤2m3，同理可证0≤b≤2m3，0≤c≤2m3.我们通过变形，把两个已知等式转化为一个二次方程式，这是运用判别式法解题的重要前提，建立不等式即可得到不等式的解，证明结论成立.三、求解二次曲线的交点问题对于抛物线、双曲线、椭圆等二次曲线的交点问题，我们可以直接令两个曲线的方程相等，这样就将问题转化为二次方程问题，利用方程的判别式建立关系式，即可求得交点的坐标，从而顺利解题.例3.已知抛物线y2=2x-1，A(2,0)，若存在过A点的直线l，使抛物线上存在不同的两点关于直线l对称，求直线l的斜率k的取值范围.解：当l的斜率不存在时，抛物线上显然不存在关于l对称的两点，因此l的斜率存在，设直线l的方程为y=k(x-2)，当k=0时，抛物线存在无数多个点关于直线l对称；当k≠0时，抛物线上存在不同的两点P(x1,y1)，Q(x２,y２)关于直线l对称的充要条件是：直线PQ与l垂直且PQ的中点在l上.设PQ的方程为y=-1k x+m，将其与y2=2x-1联立，消去y得到x2-(2k2+2mk)x+k2⋅(m2+1)=0，依题意有△=(2k2+2mk)2-4k2(m2+1)=4k2(k2+2mk-1)>0，设PQ中点坐标为(x0,y0)，则x0=x1+x22=k2+mk，y0=-1k x0+m=-1k(k2+mk)+m=-k，所以点M(k2+mk,-k)在直线y=k(x-2)上，即-k=k(k2+mk-2),得mk=1-k2，则△=4k2(1-k2)>0，解得k∈(-1,0)∪(0,1)，又当k=0时满足题意，故k的取值范围是(-1,1).判别式法是解答直线与二次曲线交点问题的重要“武器”，但要注意一些特例，如直线与抛物线的对称轴平行、直线与双曲线的渐近线平行时只有一个交点，此时就不能只看△是否等于零的一种情况了.判定式法是解答与二次函数、二次不等式、二次曲线有关问题的重要方法.在解题时，我们需根据一元二次方程的根与二次函数的交点、二次不等式解集的端点、二次曲线的交点之间的联系，将问题转化为方程问题，利用判别式来建立关系式，求得问题的答案.（作者单位：甘肃省兰州新区高级中学）席建彬56Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

高中不等式技巧大总结二四、判别式法判别式法话不多说，懂的都懂，直接上题例4.1非负实数x，y满足x^{2}+4y^{2}+4xy+4x^{2}y^{2}=32，则x+2y的最小值为解：令x+2y=t，则2y=t-x，t^{2}+（x（t-x））^{2}=32\\即-x^{2}+tx=\sqrt{32-t^{2}}，\Delta=t^{2}-4\sqrt{32-t^{2}}＞0\\t^{4}-16t^{2}-512\geq0，即t=x+2y\geq4ps：判别式法以x为主元，通过x在实数内必定有一解得到参数t的范围例4.2实数x，y满足4x^{2}+4y^{2}-5xy=5,求x^{2}+y^{2}的最值解：令x^{2}+y^{2}=t由题意得(4x^{2}+4y^{2})^{2}=(5xy)^{2},即（4t-5）^{2}=25x^{2}(t-x^{2)}25x^{4}-25tx^{2}+(4t-5)^{2}=0， \Delta=25\cdot25t^{2}-25\cdot4(4t-5)^{2}\geq0解得 (13t-10)(3t-10)\leq0 ，故最大值为 \frac{10}{3} ，最小值为 \frac{10}{13}例4.3已知a，b为实数，且a^{2}+b^{2}-ab=1，求a^{2}+ab 的最值解：令a^{2}+ab=t，\frac{a^{2}+b^{2}-ab}{a^{2}+ab}=\frac{1}{t}设\frac{b}{a}=m，则原式为\frac{1+m^{2}-m}{1+m}=\frac{1}{t}，化简可得m^{2}-m（t-1）+t-1=0\Delta=（t+1）^{2}-4t（t-1）\geq0，解得1-\frac{2\sqrt{3}}{3}\leq t\leq1+\frac{2\sqrt{3}}{3}ps：观察式子为齐次，故通过相除来达到减元的目的习题4.3.1若3x^{2}+3y^{2}-xy=20，求8x^{2}+23y^{2}的最大值（答案为160，emmm似乎计算量有点大）例4.4已知a^{2}+b^{2}=1求a+2b的最大值解：令a+2b=t，则原式等于（t-2b）^{2}+b^{2}=1,化简得t^{2}-4tb+5b^{2}=1\\\Delta=16t^{2}-20t^{2}+20\geq0 ,故最大值为 \sqrt{5}ps：此题可用于均值配凑，图形结合，也可平方化为齐次！（另外，例题1.6也可用判别式法，不过要用多次且计算量大）五、三角换元法三角换元一般是基于三角函数本身有界性来解题的，然后辅助角公式很重要。

本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考“二次三项式的判别式”在解物理题中的应用（重庆市铝城中学 重庆 401326）二次三项式的判别式在高中物理解题中主要体现在三个方面：⑴判断某种物理现象能否实现。

⑵“似少条件”问题的求解；⑶极值问题的求解。

例题1、如图所示某足球运动员在距球门11m 处罚球，准确地从横梁下边踢进一球。

横梁下边沿离地高h = 2 .4m ，足球质量m = 0.6kg ，空气阻力不计，取g =10m/s 2，试计算该运动员罚点球时，至少应传递给足球多少能量？解：设足球起飞时的初速度为v o , v o 与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，则足球在空中做斜抛运动。

水平方向： s = v 0 cos θt竖直方向： h = v 0 sin θt －21g t 2 消去参数θ，得到 h = s tg θ－θ2202cos 2v gs = s tg θ － )1(22202θtg v gs + g s 2tg 2θ－220v stg θ + ( g s 2 + 2 h 20v ) = 0上式为以t an θ为自变量的一元二次方程，tan θ有实数解的条件是 △ = b 2－4 a c ≥ 0 (220v s )2 － 4 g s 2 (g s 2 + 220v h ) ≥ 020v ≥ g (h + )22s h +∴ v 0的最小值 )(222min 0s h h g v ++=。

足球的最小初动能： E kmin = J s h h mg mv 41)(2121222min 0=++= 例2、(2003年北京市理综测试题第34题)：在足够大的真空空间中，存在水平向右的匀强电场，若用绝缘细线将质量为m 的带电小球悬挂在电场中，静止时细线与竖直方向夹角θ= 37°。

现将该小球从电场中的某点竖直向上抛出，抛出的初速度大小为v 0,如右图所示。

求：（1）小球在电场内运动过程中的最小速率；（2）小球从抛出至达最小速率的过程中，电场力对小球做的功。

判别式法（大全5篇）第一篇：判别式法天河数学牛老师： QQ234124222er数学解题思想方法专题培训（四）判别式法【知识梳理】定理：实系数一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的充要条件是：b2-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac<0.记∆=b2-4ac，称其为方程是否有实根的判别式。

同时也是与方程对应的函数、不等式的判别式。

上述定理利用配方法容易证明。

既然实系数一元二次方程与其对应的函数、不等式有共同的判别式，说明∆=b2-4ac是联系三者的桥梁。

它有极其丰富的内涵和外延，涉及内容广泛且重要；因此，要充分利用和开发它在解题中的价值，往往会为我们解题拓展思路，指明方向，铺平道路。

判别式的使用范围：定理中明确规定：“实系数”指a,b,c∈R；“二次”指a≠0；方程是在（－∞，－∞）内求解。

这三者缺一不可，否则上述定理不成立。

一般地，当题中含有或可构造二次型的多项式、方程、函数、不等式时均可考虑用判别式寻找思路，发现解题突破口；或围绕判别式展开一系列的联想、创新思维活动。

在使用判别式时要充分挖掘隐含条件灵活变通，有时要变更主元，调整条件结构才能使用。

一般有如下几种策略：⑴ 讨论用法：对判别式的正负性分类讨论，由此可分类求出方程的解，不等式解集，参数取值范围等。

（2）构造用法：根据条件构造判别式或构造方程、函数，由此可求函数值域，证明等式，证明不等式，求恒成立问题等。

【经典例题】一在代数恒等变形中的应用例1下列二次三项是，在实数范围内不能因式分解的是2A,6x-x-15B,3x-10x+7C,2x-5x+4Dy-22y+2 222例2k为何值时，二次三项式4x-kx+3是一个完全平方式天河数学牛老师： QQ234124222 2例3已知a,b,c均为实数，且a-b=8，ab+c2+16=0，求证a+b+c=0例4m为何值时，6x2-xy-2y2+my-6能分解成两个一次式，并进行因式分解二在方程（组）中的应用例5已知a,b是关于x的方程x-2px+p+⎧x+y=2例6求方程组⎨的实数解2xy-z=1⎩222p-1=0的两个根，求ab-p的值天河数学牛老师： QQ234124222例7若一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根，则k的最小值是A2,B1,C-1,D不存在例8若关于x的一元二次方程x2+mx+n=0有两个相等的实数根，则符合条件的一组m,n的实数值是：m=, n=,例9当b为何值时，关于x的方程x+3(a-1)x+(2a+a+b)=0的根在a取任意有理数时均为有理数。

第 8 讲 判别式法(高中版)（第课时）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧最值）求某些函数的值域（或轴的交点的个数判断抛物线与围确定方程系数的取值范判断方程的根的情况别式的用途一元二次方程的根的判轴的交点的横坐标物线与一元二次方程的根是抛别式一元二次方程的根的判基础知识x x 重点：1．；2．；3．。

难点：1．；2．；3．；。

一元二次方程的标准形式为 ax 2+bx+c=0（a ≠0），其所对应的根判别式为 Δ=b 2—4ac 。

当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；Δ<0时，方程无实数根．反之：当方程有两个不相等的实数根时，Δ>0；当方程有两个相等的实数根时，Δ=0；当方程无实数根时，Δ＜0 。

反之亦然。

对于抛物线 c bx ax y ++=2 ，当Δ>0时，抛物线与x 轴有两个公共点；当Δ=0时，抛物线与x 轴有一个公共点；当Δ<0时，抛物线与x 轴没有公共点。

反之亦然。

一元二次方程根的判别式的用途：⑴不解方程可以判断方程的根的情况；⑵已知方程的根的情况确定方程中系数的取值范围；⑶利用一元二次方程的根的判别式来确定二次函数的图像与X 轴的交点的个数；⑷利用一元二次方程的根的判别式还可以求某些函数的值域和最值。

一元二次方程根的判别式不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在恒等变形，探求变量关系，方程，不等式，函数性质以及圆锥曲线与直线的关系等方面，都有着广泛的应用。

韦达定理的用途：已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数；求根的对称函数，讨论二次方程根的符号，解对称方程组，解一些有关二次曲线的问题。

1．判别式在恒等变形方面的应用⑴ 判别二次三项式是否为完全平方式二次三项式 c bx ax ++2经配方后为 ab ac a b x a 44)2(22-++ 。

当二次三项式 c bx ax ++2为完全平方式时，必有 0>a ，且 042=-=∆ac b ；反之，如 0>a ，0=∆，则 22)]2([ab x ac bx ax +=++ 为完全平方式。

物理解题中常用的数学知识物理解题运用的数学方法通常包括方程(组)法、比例法、数列法、函数法、几何(图形辅助)法、图象法、微元法等．<1>．方程法物理习题中，方程组是由描述物理情景中的物理概念，物理基本规律，各种物理量间数值关系，时间关系，空间关系的各种数学关系方程组成的．列方程组解题的步骤①弄清研究对象，理清物理过程和状态，建立物理模型．②按照物理情境中物理现象发生的先后顺序，建立物理概念方程，形成方程组骨架． ③据具体题目的要求以及各种条件，分析各物理概念方程之间、物理量之间的关系，建立条件方程，使方程组成完整的整体．④对方程求解，并据物理意义对结果作出表述或检验． <2>．比例法比例计算法可以避开与解题无关的量，直接列出已知和未知的比例式进行计算，使解题过程大为简化．应用比例法解物理题，要讨论物理公式中变量之间的比例关系，清楚公式的物理意义，每个量在公式中的作用，所要讨论的比例关系是否成立．同时要注意以下几点：①比例条件是否满足：物理过程中的变量往往有多个．讨论某两个量比例关系时要注意只有其他量为常量时才能成比例．②比例是否符合物理意义：不能仅从数学关系来看物理公式中各量的比例关系，要注意每个物理量的意义(例：不能据R ＝IU认定为电阻与电压成正比)． ③比例是否存在：讨论某公式中两个量的比例关系时，要注意其他量是否能认为是不变量，如果该条件不成立，比例也不能成立．(例在串联电路中，不能认为Ｐ＝RU 2中，P 与R 成反比，因为R 变化的同时，U 随之变化而并非常量)<3>．数列法凡涉及数列求解的物理问题具有多过程、重复性的共同特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复，是一种变化了的重复，随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着“前后有联系的变化”．该类问题求解的基本思路为：①逐个分析开始的几个物理过程。

②利用归纳法从中找出物理量的变化通项公式(是解题的关键)，最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律解决物理问题。

图125m 25m 25m25m摩托车 v 0vvvv数学方法求解物理极值问题赏析（高一、高三） 朱海英（浙江省丽水中学 浙江丽水 323000）高中物理问题中常有求极值问题，常用的求极值的数学方法有：方程根的判别式法，数学式子无意义、二次三项式法、三角函数法、运用基本不等式法、几何法等等。

一、运用根的判别式法例1：一列汽车车队以v=10m/s 的速度匀速行驶，相邻车间距为25m ，后面有一辆摩托车以20m/s 的速度同向行驶，当它离车队最后一辆车相距25m 时刹车，以加速度0.5m/s 2做匀减速运动，摩托车在车队旁边行驶而过，设车队辆数n 足够多。

试问：（1）摩托车最多与几辆汽车相遇？最多与车队中汽车相遇几次？（2）摩托车从赶上车队到离开车队，共经历多少时间？解析：(1)设摩托车最多与n 辆汽车相遇，所用时间为t ，如图1所示，刚开始摩托车与第n 辆汽车相距s n =25nm ，当追上时，摩托车发生的位移为：20at 21t v s -=摩，汽车发生的位移为：vt s =汽即：n s s s +=汽摩，已知：v 0=20m/s ，a=-0.5m/s 2，v=10m/s ，可得：20t-25.021t ⨯=10t+25n化简得：t 2-40t+100n=0 ①由只有当∆=402-400n ≥0时，方程才有实数解，则n ≤4，即摩托车最多与四辆汽车相遇。

且当n=4时，∆=0，即与第四辆汽车仅相遇一次，而与第1、2、3辆汽车相遇两次，共与汽车相遇7次。

(2)摩托车赶上车队时的第一辆汽车，离开时也是第1辆（即尾辆车），故经历的时间为与第一辆汽车相遇两次的时间差。

可取n=1代入方程①得：t 2-40t+100=0解得：s t )31020(1+=，s t )31020(2-=其中t 1为赶上车队时刻，t 2为离开车队时刻，且离开车队时，摩托车的速度为： s /m )3510(s )]31020(5.020[at v v 0-=+⨯-=-=摩>0即此时摩托车还未停下，所以摩托车从赶上车队到离开车队所需时间为： ∆t=)31020(s )31020(--+=s 320=34s赏评：用根的判别式求极值，常可以避免许多较复杂的数学运算，而且物理意义清晰，不失为一个方便、有效的好方法。

综合理论课程教育研究286 学法教法研究最值问题是我们所熟悉的问题，如今，经历了中学乃至大学的知识学习，我们接触到了各种各类的最值问题，同时我们也相应学习了求解各类最值问题的方法，而这些方法也有助于我们解决生活中各式各样的最值问题，下面我就为大家归纳下求解最值问题的几种方法.一、配方法对于可以转换成“一元二次函数型”的函数，我们都可以利用配方法对其最值进行求解.例1 求在区间内的最值.分析 本题看上去较为复杂，包括不同类型指数的运算，但稍加观察的话，你就会发现，此中的函数是可以转化为“一元二次型的函数”又，有取得最大值为；当时，.二、判别式法对于一元二次方程，我们可以利用来判断其是否存在实根，那么对于一个一元二次函数，若其值域不为空集的话，那么我们就可以认为方程的判别式，由此求得原一元二次函数的值域，进而就可以求得该一元二次函数在某定义域内的最值情况.例2 求函数的最值.分析 本题可以利用配方法进行求解，但过程较为繁琐.观察原题，可以发现函数的值域不会为空集，因此可以考虑到利用判别式法进行求解.解法如下：原等式可化为：（）可以得到若，则有若，则有于是，则；若，则.会成立，还需要进行一项后续工作，将等号的值代入原方程，观察原方程是否有实数解，即是否有相应的值与对应.若存在，我们就可以直接确定最值了.三、换元法对于一些特殊的函数，我们可以利用换元法对其进行最值求解，基本思想是将某一部分当做一个整体或者用一个新的变量来代替某一整体，达到化繁为简，化陌生为熟悉，从而帮助我们更加便利的解决问题.换元法通常有三角代换和三角代换两种.例3 求函数.分析 对于这类含根号的函数，为了化繁为简，换元法是比较大众的方法.求解如下：，则所隐含的定义域为，于是，我则即时，取得最小值为不等式法求解最值问题主要是利用以下几个重要的不等式及其变形来处理最值问题的.不等式（），其中注意：当且仅当时等号成立.在用不等式求函数的最值时，经常需要配合某些变形技巧，结合已知条件进而进行求解.例4 设，，记中最大数为，则的最小值为多少？分析 本题的计算涉及到对数，准确应用对数的运算性质，认真观察，发现其中的技巧.由已知条件可得所求为中最大的数，不妨设中最大的数为A，则.由于，所以，当且仅当时等号成立，此时为最小，那么A 能否取到最小值2呢？容易知道，当时，，即A 可以取得最小值2，从而的最小值为.五、单调性法求解函数在指定区间的最值的时候，我们应该考查该函数在该指定区间内的单调性情况.如果函数在该区间内是单调的，则该函数的最值在区间的端点上取得.若函数在该区间上并不是单调的，则我们就可以考虑把该区间分割成若干个小的区间，目的是使得该函数在分割的每一个小区间上是单调的，再求出各个小区间上的最值情况，通过比较，得到整个区间上的最值.例5 设函数是奇函数，对于任意均有关系，若时，且.求在上的最大值和最小值.解“最值问题”的几种方法陈 龙（福建省晋江市内坑中学 福建 晋江 362200）【中图分类号】G634.6【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2018） 11-0286-02综合理论课程教育研究学法教法研究 287分析 本题若能确定在上的单调性，其最值也就可以相继求得.下面来考察在上的单调性：设任意且，则.由题设可知，为奇函数，且，，则，则在上单调递减,即在两端点处取得最值.因为，则，进而.又故在上的最大值为，最小值为六、导数法对于基本初等函数以及某些复合函数，我们可以利用导数这一工具有效的对其进行最值求解.设在上是连续，在上是可导，则在上的最大值和最小值就是在内的每个极值与中的最大值与最小值.利用导数的方法进行最值的求解适用性广，在解题例.分析 令由于方差恒大于或者等于0的特征，我们也可以利用方差解决某些的最值问题.例7 确定最大的实数Z，使得实数满足： ，.分析 按照常规的思路，本题不容易攻克，可以巧妙的，构造的方差得，Z .八、三角函数最值的常见求法1.巧用定义域求解三角函数的最值问题，在大多数的题目中，我们必.例8，求值和最小值.分析 此类三角函数可以视作为或的形式，求解其最值值为.2.大多数的数学题型中，题干中所给出的条件都有其特殊的作用和功能，所以，在解题的过程中，我们不能忽视任意一个条件.例求的最小值.分析 个，我们要做的是如何正确的去用好这个已知条件.当然，我们也不能盲目地瞎猜，根据题目要我们求的东西去巧妙地利用好这个已知条件.现最小值.又，即对于一些较为复杂的三角函数，为了求解的方便，我们可以去寻找题干的特点，化繁为简，换元法一般是首选.例10 已知,求的最大值和最小值.分析 对于三角函数，我们应该清楚，其存在着这么一种转化关系：此中就启发我们可以运用换元法快捷简便地解决相应三角函数的最值问题.4.巧引辅助角三角函数是一个特殊的函数，自然也有其独门的“法宝”——辅助角公式，能否巧妙地运用辅助角公式也是能否成功解题的关键.例11 求函数的最值.分析 直观地来看，这是一个分式代数式，分子、分母中均含有三角函数，这无疑给解题增添不少难度，但如果我们对其做一个稍微的变形，情况可能就不一样了：原函数可变为：，观察这个等式的。

解二次方程的判别式法解二次方程的判别式法是一种常用的求解二次方程的方法。

通过对二次方程的判别式进行计算，可以判断二次方程的根的情况，进而求得方程的解。

本文将介绍解二次方程的判别式法的原理及应用。

二次方程的一般形式为：$ax^2+bx+c=0$，其中$a$、$b$、$c$为已知系数，$x$为未知数。

判别式表示为：$\Delta=b^2-4ac$，其中$\Delta$为判别式。

根据判别式的值可以判断二次方程的根的情况：1. 当$\Delta>0$时，方程有两个不相等的实根。

2. 当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实根。

3. 当$\Delta<0$时，方程没有实根，但有两个共轭复根。

下面我们将通过一个例子来说明判别式法的具体应用。

例：解方程$x^2-5x+6=0$步骤一：计算判别式$\Delta=b^2-4ac$代入已知系数：$a=1$，$b=-5$，$c=6$计算：$\Delta=(-5)^2-4\times1\times6=25-24=1$步骤二：判断根的情况由于$\Delta=1>0$，因此方程有两个不相等的实根。

步骤三：求解方程根据判别式的值，利用求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，其中$\pm$表示取正负两个根。

代入已知系数：$a=1$，$b=-5$，$c=6$，$\Delta=1$计算：$x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{1}}{2\times1}=\frac{5\pm1}{2}$，化简得$x_1=\frac{5+1}{2}=3$$x_2=\frac{5-1}{2}=2$所以，方程$x^2-5x+6=0$的解为$x_1=3$，$x_2=2$。

通过解二次方程的判别式法，我们可以准确地求解给定的二次方程，并得到方程的解。

这种方法在代数学、物理学等领域有着广泛的应用。

需要注意的是，判别式为$\Delta=b^2-4ac$的值对于二次方程来说具有重要的意义，它决定了方程的根的性质。

物理解题中求极值的常用方法运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一，其中极值的计算在教学中频繁出 现。

因为极值问题范围广、习题多，会考、高考又经常考查，应该得到足够重视。

另外很多学生数、理结 合能力差，这里正是加强数理结合的“切人点”。

学生求极值，方法较少，教师应该在高考专题复习中提 供多种求极值的方法。

求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手，也可以从数学方法角度思考，下面 重点对数学方法求解物理极值问题作些说明。

1、利用顶点坐标法求极值对于典型的一元二次函数 y=ax 2+bx+c, b 4ac 一 b 2若 a>0,则当 x=-时,y 有极小值，为 y min =；b 4ac 一 b 2若 a<0,则当 x=-时,y 有极大值，为 y max =；2、利用一元二次函数判别式求极值 对于二次函数 y=ax 2+bx+c ，用判别式法利用Δ＝b 2-4ac ≥0 。

(式中含 y) 若 y ≥A ，则 y min ＝A 。

若 y ≤A ，则 y max ＝A 。

3、利用配方法求极值对于二次函数 y=ax 2+bx+c ， 函数解析式经配方可变为 y=(x-A)2+常数： (1) 当 x ＝A 时， 常数为极小值； 或者函数解析式经配方可变为 y = －( x －A)2+常数 。

(2) 当 x ＝A 时，常数为极大值。

4、利用均值定理法求极值a +b 均值定理可表述为> ab ，式中 a 、b 可以是单个变量，也可以是多项式。

2当 a ＝b 时， (a+b)min ＝2 ab 。

当 a ＝b 时， (a+b) max ＝。

5、利用三角函数求极值如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。

若所求物理量表达式可化为 “y=Asin a cos a ”的形式，则 y= 1 Asin 2α，在a =45º时， y 有极值 A。

2 2对于复杂的三角函数， 例如y=asin θ+bcos θ，要求极值时先需要把不同名的三角函数 sin θ和 cos θ， 变成同名的三角函数，比如 sin ( θ+ф) 。

高中物理解题方法和步骤高中物理解题方法和步骤高中物理解题篇一：高一物理解题方法技巧一、解答物理问题的常用方法方法一隔离法和整体法1.所谓隔离法，就是将物理问题的某些研究对象或某些过程、状态从系统或全过程中隔离出来进行研究的方法．隔离法的两种类型：(1)对象隔离：即为寻求与某物体有关的所求量与已知量之间的关系，将某物体从系统中隔离出来．(2)过程隔离：物体往往参与几个运动过程，为求解涉及某个过程中的物理量，就必须将这个过程从全过程中隔离出来．2．所谓整体法，是指对物理问题的整个系统或过程进行研究的方法，也包括两种情况：(1)整体研究物体体系：当所求的物理量不涉及系统中某个物体的力和运动时常用．(2)整体研究运动全过程：当所求的物理量只涉及运动的全过程时常用．例：如下图所示，两个完全相同的球，重力大小均为G，两球与水平地面间的动摩擦因数均为μ，一根轻绳两端固定在两个球上，在绳的中点施加一个竖直向上的拉力，当绳被拉直后，两绳间的夹角为α.问当F至少为多大时，两球会发生滑动？【解析】设绳子的拉力为FT，水平面对球的支持力为FN，选其中某一个球为研究对象，发生滑动的临界条件是FTsin＝μFN① 又FT cos②2μG再取整体为研究对象，由平衡条件得F＋2FN＝2G③ 联立①②③式得F＝. αtanμ2方法二等效法等效法是物理学中一个基本的思维方法，其实质是在效果相同的条件下，将复杂的情景或过程变换为简单的情景或过程．1．力的等效：合力与分力具有等效性，将物体所受的多个恒力等效为一个力，就把复杂的物理模型转化为相对简单的物理模型，大大降低解题难度．2.运动的等效：由于合运动和分运动具有等效性，所以平抛运动可看作是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动。

“小船过河”中小船的运动可以看作是沿水流的方向的匀速直线运动和垂直于河岸方向的匀速直线运动的合运动。

在计算大小不变方向变化的阻力做功时，如空气阻力做功的时候，可以应用公式Ｗ＝ｆＳ，只是式中的Ｓ是路程而不是位移，不管物体的运动方向如何变，均可等效为恒力ｆ作用下的单向直线运动。

2判别式法.对于一元二次方程02=++c bx ax ，方程有解时，042≥-=∆ac b ；方程无解时，042<-=∆ac b[例题1]在一平直较窄的公路上，一辆汽车以22m/s 的速度匀速行驶，正前方有一辆自行车以4m/s 的速度向匀速行驶，汽车刹车的最大加速度为2/6s m ，若两车不相撞，则两车的间距至少为多少？解析：要使两车不相撞，设它们间距为S ，则地者在任一时间内位移关系应满足 S S S +≠自汽即S vt at t v +≠-2021代入数值得 01832≠+-S t t 所以关于t 的一元二次方程无实数解，所以当042<-=∆ac b 时上式成立，即03418422<⨯-=-=∆S ac b ，解得m S 27>，所以最小间距为27m是车不与自行车相撞的条件[例题2]如图所示，侧面开有小孔s 的量简中注满水，高为h 的量简放图在高为H 的平台上，问小孔s 应开在何处，从孔中喷出的水为最远？解析：设小孔s 的位置离地面的高度为y ，水的水平射程为x ，并设某一时刻质量为m 的水由小孔喷出，做初速度为0V 的平抛运动，经时间l 落地，由运动学公式可得t v x 0= ①221gt y = ② 喷出的水的动能可相当于它从水面处下落)(y H h -+的高度量力所做的功。

根据机械能守值定律有2021)(mv y H h mg =-+ ③ 联立①②③式得 022)(44=++-x y H h y 这是一个关于y 的一元二次方程，由于y 必须是正实数，所以△≥0,即044)](4[22≥⨯-+-x H h ,又因x>0,所以x ≤h+H ，故最大水平射程H h x +=max ,此时方程的解为)(2142)](4[H h H h y +=⨯+--=即当小孔s 开在高为)(21H h +处时，喷出的水射程最远。

[例题3]如图所示，一反坦克手站在离公路50m远的地方，公路上有一敌方坦克驶来，速度为v1=10m/s ，若坦克和人相距a=200m 而此人奔跑速度最大不能超3m/s ，问化至少应以什么速度沿哪一方向跑才能与坦克相遇。

二次方程判别式在物理解题中的妙用摘要：本文列举几个中学物理解题中可以使用二次方程判别式进行简化运算的例子，加强对判别式“在物理解题中的运用能力，使教学双方更好的体会物理和数学之间的关系。

关键字：物理中的数学方法、二次方程判别式、最值及边界问题物理和数学是关系非常紧密的两门学科，在物理解题中适当运用数学技巧, 能让学牛更深入了解题目的物理意义，2017年高考物理考纲明确要求“加强数学思维在物理解题中的应用”，由此可见在物理教学过程中普及数学思维的应用和数学技巧的应用达到了刻不容缓的地步。

目前中学物理中常见很多最值及边界问题，要求学生掌握一定的数学计算能力和物理思考能力及建模能力方能解决。

在此类问题中利用二次方程判别式“△”处理物理问题，就是一-种很好的解题方法，同时也是很好的教学方法。

如何使用二次方程判别式“△”解题？关键就是要找到一个变量或者说是设置一个变量，然后运用物理关系结合数学关系得到一个关于此变量的二次方程, 从而通过结合“对根的个数与物理实际过程的讨论达到解决问题的效果。

例1一半径为&的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上。

整个空间存在匀强磁场，磁感应强度方向竖直向下。

一电荷量为Q (<7>0) >质量为/〃的小球/丿在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为"。

球心。

到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为0(0<9<^)o为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度大小的最小值及小球P相应的速率。

重力加速度为4分析:这是2008年四川的高考题，结合了运动学与电磁学的综合性大题，在物理方面具有较高的难度，然而木题的最大特色却是求数学的极值，而且是两个量状态下共同确定的极值。

解答木题的过程中，笔者的学牛中物理思维较强的绝大部分同学都是能够较快的列出物理方程，但是却卡在两个量之间的关系上无法迅速地转化到数学情景中而失去了解决全题的机会。

而如果观察到其中正好是满足变量B与v之间正好是满足构成v的二次函数时，联想到u如果存在则方程必有实数解，一切便一目了然了。

选择题满分技法②——二级结论法、筛选排除法、图象思维法(一)二级结论法二级结论是由基本规律和基本公式导出的推论。

熟记并巧用一些二级结论可以使思维过程简化，节约解题时间。

非常实用的二级结论有：(1)平抛运动速度方向的反向延长线过水平位移的中点；(2)不同质量和电荷量的同性带电粒子由静止经过相同的加速电场和偏转电场，轨迹重合；(3)直流电路中动态分析的“串反并同”结论；(4)带电平行板电容器与电源断开，改变极板间距离不影响极板间匀强电场的场强。

【典例1】 如图14所示的电路中，电源电动势为E ，内阻为r ，C 为电容器，电流表A 和电压表V 均可视为理想电表。

闭合开关S 后，在将滑动变阻器的滑片P 向右移动的过程中( )图14A.电流表A 的示数变小，电压表V 的示数变大B.小灯泡L 变暗C.通过定值电阻R 1的电流方向自右向左D.电源的总功率变大，效率变小解析 当滑动变阻器的滑片P 向右移动时，滑动变阻器接入电路的有效电阻减小，由“串反并同”知，电流表的示数将增大，电压表示数将减小，小灯泡L 变亮，电源总功率增大，电源内电压增大，选项A 、B 错误；电容器两端电压即电压表示数，由Q ＝CU 知电容器所带电荷量减小，即电容器将放电，通过定值电阻R 1的电流方向自左向右，选项C 错误；因电源内电压增大，所以路端电压减小，由η＝UE ×100%知电源效率变小，选项D 正确。

答案 D方法感悟 有些二级结论只在一定的条件下成立，在使用这些二级结论时，必须清楚结论是否适合题目给出的物理情境。

(二)筛选排除法筛选排除法就是通过对物理知识的理解，对物理过程的分析或计算，将明显错误或不合理的选项一一排除的方法。

筛选排除法主要适用于选项中有相互矛盾、相互排斥或有完全肯定、完全否定的说法的选择题。

【典例2】 如图15所示，以MN 、PQ 为边界的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁场宽为2L ，高为L 的正三角形闭合金属框由粗细均匀的电阻丝围成，在外力作用下由图示位置被水平向右匀速拉过磁场区域，ab 边平行MN 且垂直金属框运动方向，取逆时针方向为电流的正方向，则金属框中的感应电动势E 、感应电流I ，所施加的外力F 及外力的功率P 随位移x 的变化关系图正确的是( )图15解析 金属框进入磁场的过程中，穿过金属框的磁通量增加，由楞次定律可知此过程中感应电流为逆时针方向，而此过程金属框切割磁感线的有效长度l ＝2x·tan 30°且均匀增加，完全进入磁场后，穿过金属框的磁通量不变，回路中无感应电流和感应电动势，排除A 选项；0～L 位移内，因金属框做匀速直线运动，所以F 外＝F 安＝BIl ＝B 2l 2v R ＝4B 2x 2v R tan 230°，即外力随位移的增大而非线性增大，排除C 选项；0～L位移内，外力的功率P ＝F 外v ＝4B 2x 2v 2R tan 230°，即外力的功率随位移的增大而非线性增大，排除D 选项；所以B 选项正确。