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23两个频率相同振动方向互相垂直的光波的叠加

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《物理光学》第二章 光波的叠加和分析

《物理光学》第二章 光波的叠加和分析

注意
波的叠加不是强度的叠加，也不是振幅的简单相 加，而是振动矢量的叠加
一、 同向传播的平面波的叠加
假设有两个简谐平面波，其时间频率为ω相同，振幅分别为E10和E20，初始位
相分别为10 和 20 ，振动方向平行，传播方向沿着 z 轴，它们被表示为：
E1 E10 exp i kz t 10 E2 E20 exp i kz t 20
(5)驻波的位相因子与z无关，不存在位相的传播问题，故把 这种波称为驻波，反之称为行波。 驻波 (6)因 cos kz 20 10 2 的取值可正可负，所以在每一波 节两边的点，其振动是反相的 驻波：由于节点静止不动，所以波形没有传播。能量以 动能和势能的形式交换储存，亦传播不出去。
E10 exp i10 E20 exp i20 exp i kz t
E0 exp i kz t
其中：
（2.2.1 ）
E0 E10 exp i10 E20 exp i 20
E0 exp i0
2 2 上式中：| E0 | [ E10 E20 2E10 E20 cos(20 10 )]
1 2
E10 sin 10 E20 sin 20 0 arctan[ ] E10 cos 10 E20 cos 20
二、反向传播的平面波的叠加——驻波及其实验
E10 cos 10 E20 cos 20 i E10 sin 10 E20 sin 20
E0 exp i0
(2.2.2)
1 2
上式中：
2 2 | E0 | [ E10 E20 2E10 E20 cos( 20 10 )]

物理光学-2光波的叠加与分析201

物理光学-2光波的叠加与分析201

§2.1 两个频率相同、振动方向相同的单色光波的叠加
1. 代数加法 两光波在P点的振动可用波函数表示为： E1 = a1 cos(kr1 − ω t ) E2 = a2 cos(kr2 − ω t ) a1 , a2分别是两光波在P点的振幅。
S1 r1
y P
S2
r2
由叠加原理， P点的合振动应为两振动 的叠加： E = E1 + E 2 = a1 cos(kr1 − ω t ) + a 2 cos(kr2 − ω t ) 令α 1 = kr1，α 2 = kr2，可将上式化简为 E = a1 cos(α 1 − ω t ) + a 2 cos(α 2 − ω t )
E B
§2.2 两个频率相同、振动方向相互垂直的光波的叠加
1. 椭圆偏振光
当两波到达 Z轴上 P点时，振动方程为 E x = a1 cos (kz1 − ω t ) E y = a 2 cos (kz 2 − ω t )
x
S1 S2 z1
y
z
P
两波在P点处叠加后的合振动 E = x0 E x + y0 E y = x0 a1 cos(kz1 − ω t ) + y0 a2 cos(kz 2 − ω t )
讨论
2 A2 = a12 + a2 + 2a1a2 cos(α 2 − α1 )
1. 设两单色光波在P点的振幅相等：a1 = a2 = a，则合振动的强度为 I = A2 = a 2 + a 2 + 2aa cos(α 2 − α1 ) = 4a 2 cos 2 式中 I 0 = a 2，是单个光波的光强度；
入射波和反射波的波函数为： E1 = a cos ( kz +ω t ) E1′ = a cos ( kz −ω t+δ )

第二章：光波的叠加与分析

第二章：光波的叠加与分析
I x0 Ex y0 E y x0 Ex y0 Ey Ex I Ix Iy
2
Ey
2
所以，对于两振动方向垂直的单色波叠加 不会发生干涉现象。
2-3 利用全内反射产生椭圆偏振光
回顾，全内反射中s和p分量之间的位相差 =s-p 由折射率n、入射角1决定。调节n和 1就得到适当的，从而使互相垂直振动的s、 p分量合成为所要求的椭圆偏振光。
线偏振光 圆偏振光 菲涅耳菱体
2-3
例题：图示的菲涅耳菱体的折射率为1.5，入 射线偏振光电矢量与图面成450，问： 1. 要使从菱体射出圆偏振光，菱体的顶角φ应 为多大？ 2. 若菱体折射率为1.49，能否产生圆偏振光？
线偏振光 φ φ 菲涅耳菱体 φ φ 圆偏振光
2-4 两个传播方向、振动方向、振 幅相同，频率不同的单色波的叠加
S2
E E1 E 2 Aexpiα ωt A 和α 的定义与代数加法中相 同
2-1
相幅矢量加法 相幅矢量的概念： E＝a1cos(α1-ωt)的表示
A 1 a1 1 x a2 S1 r1 r2 P
S2
2-1
例题:证明当两单色波的场振动方向垂直 时,两光波不会产生干涉. 例题:N个相同振动方向的波在某点P叠 加,N个波依次相差δ,振幅同为A0,试用相 幅矢量加法求P点的合强度.
驻波的形成，合成波的表达和特点
两个同频、正交光波的振幅、位相差对形 成椭圆偏振光的影响 光学拍的形成和表达，群速和相速的关系
2-2 驻波
两个频率相同、振动方向相同、 传播方向相反的单色光波的叠加
E1 acoskz t
' E1 acoskz t δ
' E E1 E1 2 acoskz δ 2 cost δ 2

物理光学第二章光波的叠加与分析

物理光学第二章光波的叠加与分析
2 变，将出现一系列的 幅振 为零的点 —波节和一系列振幅为 大最 值
的点—波腹。
2 由 cos k z 0可求得波节的位置为
2
kz n
22
n 1，3，5，
物理光学第二章光波的叠加与分析
2.2.2 驻波实验
典型的驻波实验是维纳驻波实验。
1. P57 图2.8 2. 感光 3.全反射
E1 a1e xip a1t E2 a2exip a2t
两者叠加的合振动为
EE 1E 2a1ex i p 1ta2ex i p2t a1ex ip 1a2ex ip 2ex ip t
设中括号A内 exi p 的 ，部 则分 上为 式简化为
EAexi pexpitAexi pt
合振动振幅为
A2 a12 a22 2a1a2 cos2 1
当两波到Z达 轴上P点时，振动方程为
Ex Ey
aa12ccoosskkzz12tt
两波P点 在 处 叠加后的合振动为
E xx0 0a E1xcoyk0sE1 zyty0a2coksz2 t
合振动矢量的大小和方向均随时间变化，经简单的数学运算可 得其末端的运动轨迹方程：
这个方Ea12x2程 Ea表 22y2 明 2Ea矢 1x： aE2y量 c合 o末 s振 2 端 动 1的 si轨 n2椭 迹 2 圆 是 1。 一个 物理光学第二章光波的叠加与分析
光驻波现象在多个光学过程中存在，现在见的最 多的是在激光器谐振腔中多次往复反射的光波 形成的驻波。激光输出的这种稳定的驻波称为 激光束的纵模。
物理光学第二章光波的叠加与分析
2.3 两个频率相同、振动方向相互垂直的光波的叠加
2.3.1 椭圆偏振光
参见图2.10：由光源S1、S2发出两个单色光波，频率相同，振动 方向相互垂直。设两波的振动方向分别平行于X轴和Y轴。

2光波的叠加及分析

2光波的叠加及分析
率相同、振动方向相同的 单色波的叠加 2.2 驻波 2.3两个频率相同、振动方向互相垂直 的光波的叠加 2.4 不同频率的两个单色波的叠加
波的叠加原理:几个波在相遇点产生的合振动是各个波
在该点产生振动的矢量和.
E E1 E2 En
n
原理表明:1.光波传播的独立性.
相邻波幅或 m=0,1,2… 波节的间距:
kz ＝(m 1 )
2
2
Δz=λ/2
2.2 .2 驻波实验
结论: 1.证实了光驻波的存在;
2.光波对乳胶起感光作 用的是电矢量.
乳胶上暗条纹的距离:
e＝ 2sin
实验证明,乳胶膜上第一暗纹不与镜面重合,而是在 离镜面1/4波长处,电矢量产生半波损,磁矢量不产生半 波损,起感光作用的是电矢量.
cos
tg 2
cos
2a1
tg a2
a1
E x2 a12
E 2y a22
2 Ex a1
Ey a2
cos
sin2
光的偏振态由a1、a2、δ完全
确定,易测的是长轴 b1、短轴 b2及长轴与Ex的夹角β
2a2
Ey
χ
β
Ex
O
2a1
tg2 tg2 cos sin2 sin2 cos 五个方程联立:
E＝[a1 exp(i1)＋a2 exp(i2 )]exp(it) Aexp(i )＝a1 exp(i1)＋a2 exp(i2 ) E＝Aexp(i)exp(it) Aexp[i( t)]
A2 [ Aexp(i )][ Aexp(i )]
结果：I A2＝a12 a22 2a1a2 cos(1 2) Aexp(i )＝a1 cos1＋a2 cos2 i(a1 sin1＋a2 sin2 )

两个频率相同、振动方向互相垂直的光波的叠加

两个频率相同、振动方向互相垂直的光波的叠加

A2
a12
a22
2a1a2
cos( 2
1)
4a2
cos2
(2
1
2
)
4a2
cos2
2
E(z,
t)
2E10
exp[
i(10
2
20
)
]
cos(20
2
10
)
exp[i(kz
t
)]
E0 exp(i0 ) exp[i(kz t)]
0
10
20
2
强度：
I
4I0
cos2 (2
1
2
)
4I0
cos2
2
两个频率相同、振动方向互相垂直的光
0
n
0为真空中的波长，n为介质折射率 .
两个频率相同、振动方向互相垂直的光 波的叠加
§2-1 两个频率相同、振动方向相同的 单色光波的迭加
这 式样中n(r1–r22)0是n(光r2 程r1)差,以后用符号△表示。
光程:光波在某一介质中所通过的几何路程和
这介质的折射率的乘积。
从上式中看出:光程差与相位差相对应。
n(r2 r1) m0
(m=0、1、2… )
P点光强最大。
n(r2
r1)
(m
1 2
)0
(m=0、1、2… )
P点光强最小。 两个频率相同、振动方向互相垂直的光
波的叠加
§2-2驻波
一、驻波的波函数：
E(
z,
t
)
2E10
cos(kz202源自10)exp[
i(10
2
20
)
]
exp[
it

光波的叠加


式中：
1 2 ， 2
m

1
2 2
k k1 k2 2
km

k1
k2 2
五、两个不同频率的单色光波叠加——光学拍，P.330
合成波的强度变化
合成的光波： E＝E1＋E2＝2a cos(km z mt)cos(kz t)
令
A 2a cos(kmz mt)
a) 两个单 色波
b) 合成波 c) 合成波
的振幅 变化
d) 合成波 的强度 变化
五、两个不同频率的单色光波叠加—拍频的应用
I 2a2[1 cos 2(km z mt)]
拍频为2m 1 2
拍频的应用：利用已知的一个光频率1，测量另 一个未知的光频率2。
五、两个不同频率的单色光波叠加——光学拍，P.330
波形在传播过程中会不断地变化，相速度和群速度便不同了。
本课内容回顾
1、波的叠加原理 2、两个频率相同、振动方向相同的单色光波叠加 3、驻波（频率同、振动方向同、传播方向相反） 4、两个频率相同、振动方向垂直的单色光波叠加 5、光学拍（小频率差、振动方向同、传播方向同、 振幅同） 6. 相速度和群速度 参考“习题指导册”， P.98 表7-5
得到的合振动：E＝Aexp[i( t)] Aei(t) 式中：A2＝a12 a22 2a1a2 cos(1 2 ) tg a1 sin1 a2 sin2 a1 cos1 a2 cos2
说明！结论一样！
总结：p.325
三、驻波(Standing Wave)
五、两个不同频率的单色光波叠加——光学拍，P.330
由两个频率接近、振幅相同、振动方向相同且在 同一方向传播的光形成的光学拍。

2光波的叠加与分析


y
干涉图样在x、y方向的空间频率分别为:
fx sin 1 sin 2 , f y 0,

相应的空间周期为:
dx

sin 1 sin 2
,d y ,
xy平面的干涉条纹是一族与y轴平行间距为 d的等宽直线;若两束光从法线同侧入射,只需 把fx、dx中的”+”号换成”-”号,即两平行光束 的夹角越小,则形成的干涉条纹的间距越大. 讨论:
A 2 [ A exp( i )] [ A exp( i )]
结果： I A 2＝ a 2 a 2 2 a 1 a 2 cos( 1 2 ) 1 2
A exp( i )＝ a 1 cos 1＋ a 2 cos 2 i ( a 1 sin 1＋ a 2 sin 2 )
k x sin 2
x

Q
a
O
k1
θ2 k2
z
解: 1)后焦面F’上为两束平行光干涉，条纹间距为：
x
sin 1 sin 2
F(x,y)
Q
F’(x’,y’)
k1 θ2 k2

f a
a
O
z
条纹形状为平行于y ’轴与O，Q 点连线正交的 一组平行条纹
当接收屏幕移动时，由于平行光束的倾角不变，所以 条纹形状，间隔，取向均不变；但条纹总体上发生平 移.当点源Q在x轴上方，且屏幕移远时，条纹向下方 移动.在屏幕远离透镜过程中，两光束的 交叠区也随 之减小，将使条纹数目降低.
k1
E2 2A
E 3 A exp( ikx sin )
θ θ
k3
k2
z
在z=0的平面,其光强分布:

《物理光学》光波的叠加综述

2 x 2 1 2 y
E与x轴的夹角满足： E2 E20 cos(kz −ωt +ϕ20 ) tgα = = E1 E10 cos(kz −ωt +ϕ10 ) 此式表明：E的方向一般是不固定的，将随着z 此式表明：E的方向一般是不固定的，将随着z 和t变化。即合成波一般不是线偏振波。
§2-3 两个频率、传播方向相同、 两个频率 传播方向相同 频率、 相同、 振动方向互相垂直的 振动方向互相垂直的光波的叠加 椭圆形状由两叠加光波的位相差 δ=α2-α1或光程差∆和振幅比a2/a1 决定。 或光程差∆和振幅比a 旋向由δ 旋向由δ=α2-α1或光程差∆决定， 或光程差∆ sinδ sinδ>0 左旋情况 sinδ sinδ<0 右旋情况 强度： I = I x + I y 表示椭圆偏振光的强度恒等于合成它的两个 振动方向互相垂直的单色光波的强度之和， 它与两个叠加波的位相无关。
20 10
i(ϕ10 +ϕ20 ) ) exp[ ]exp[−iωt)] 2
§2-3 两个频率、传播方向相同、 两个频率 传播方向相同 频率、 相同、 振动方向互相垂直的 振动方向互相垂直的光波的叠加 叠加的结果为椭圆偏振光，和矢量终点的轨迹 满足如下方程：
E Ex Ey E + 2 −2 cosδ = sin 2 δ a1a2 a a2
k 3k 5k 7k
§2-5光波的分析
傅里叶级数也可以表示为复数形式: 傅里叶级数也可以表示为复数形式: f (z) = ∑C exp(inkz) (4)
∞ n=−∞ n
其中系数
λ
Cn =
1
λ−
∫ f (z) exp(−inkz)dz λ
2
2

两个频率相同、振动方向互相垂直的光波的叠加


振动方向垂直是指两个波的振动方向 相互垂直，即一个波的振动方向与另 一个波的振动方向始终保持垂直。
VS
在物理中，振动方向通常用正交坐标 系来表示，其中x轴表示水平方向，y 轴表示垂直方向，z轴表示深度方向。 当两个波的振动方向互相垂直时，一 个波的振动方向可能是x轴方向，另 一个波的振动方向可能是y轴方向， 或者一个波的振动方向可能是z轴方 向，另一个波的振动方向可能是与该 轴垂直的平面内的任意方向。
合成波的偏振状态
偏振叠加
两个垂直偏振的光波叠加时，合成波的偏振状态将发生变化。
偏振调制
当两个波的偏振状态不同时，合成波的偏振状态将发生调制。
偏振旋转
当两个波的偏振状态相互旋转时，合成波的偏振状态将发生旋转。
05
实验验证
实验设计
准备实验器材
调整光波相位
包括激光器、分束器、反射镜、光电 探测器等。
线性叠加
当两个频率相同、振动方向互相垂直的光波在相遇区域内相遇时，它们的振动可以 线性叠加。
线性叠加意味着两个波的振幅和相位可以简单地相加或相减，形成一个新的合成波。
合成波的振幅和相位与原始的两个波的振幅和相位有关，具体取决于它们在相遇区 域内的相对位置和时间。
02
振动方向互相垂直的波的叠
加
振动方向垂直的定义
通过调整反射镜的位置，确保两束光 波在叠加区域相遇时具有相同的相位。
设计实验装置
将激光器发出的光束通过分束器分成 两束，经过反射镜后形成两个频率相 同、振动方向互相垂直的光波。
数据采集与分析
1 2
采集数据
通过光电探测器记录光波叠加区域的光 Nhomakorabea变化数 据。
数据处理
对采集到的数据进行处理，提取出光强的峰值和 谷值，计算光强的相对变化量。
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一、椭圆偏振光
Ex
为讨论方便,将两原光波分别写为:
(z,t)

x0 a1
cos(kz1

t)
1


Ey (z,t) y0a2 cos(kz2

t)
2

由叠加原理：E( z, t )

x0 Ex

y0 E y

x0a1
cos(kz1

t)

y0a2
cos(kz2
2)
(3) ×sinα2 ,(4) ×sinα2
Ex a1
sin 2

cos1 sin 2
cos t
sin 1 sin 2 sin t
Ey a2
sin
1

cos 2
sin 1
cos t
sin
2
sin 1 sin
t
5 6
7
8 9
E Acos cost Asin sin t Acos( t)
或：



E(z,
t)

[E10
exp(i10
)

E20
exp( i 20
)]
exp[i(kz

t)]
式中： E0 exp[i(kz t)]
A2 a12 a22 2a1a2 cos(2 1)
一、椭圆偏振光：
设两束线偏振波的波函数为：
E1 ( z, t )

x0
E10
cos(kz

t

10
)
E2
(z,t)

y0 E20
cos(kz
t
20 )
i,j为坐标系 oxyz中，x，y方向的单位矢量。
则，由叠加原理： E E1 E2
显然，E仍垂直于传播方向，但一般不再与x、y 轴同向。
1)

4a2
cos2 (2
1 )
2

4a2
cos2

2
E(
z,
t)

2E10
exp[
i(10
2
20
)
]
cos(20
2
10
)
exp[i(kz

t)]
E0 exp(i0 ) exp[i(kz t)]
0

10
20
2

强度：
I

4I0
cos2 (2
1 )
cos(20
10)
sin 2 (20
10 )
一、椭圆偏振光
E
2 x
a12

E
2 y
a22
2
Ex Ey a1a2
cos(20
10 )

sin
2 (20
10 )
式中a1, a2分别为E10 ,E20。
此式是一个椭圆方程式，表示合矢量末端的轨迹
是一个椭圆。该椭圆内截于一个长方形，长方形
这介质的折射率的乘积。
从上式中看出:光程差与相位差相对应。
n(r2 r1) m0



n(r2

r1
)

(m

1 2
)0

(m=0、1、2… ) P点光强最大。 (m=0、1、2… ) P点光强最小。
§2-2驻波
一、驻波的波函数：
E(
z,
t
)

2
E10
cos(k
各边与坐标轴平行，边长为2a1和2 椭圆的长轴与轴的夹角：
a2
。如图示。 Ey
tg2 2a1a2 cos
式中
a12 a22
2a2


20
10

2
(z2

z1)
ψ
0
Ex
2a1
一、椭圆偏振光
令 tg a1 a2
则
tg2 tg2 cos
由于两叠加光波的角频率为ω，故P点合矢 量沿椭圆旋转的角频率为ω 。我们把光矢
t)
令kz1=α1,kz2=α2
由Ex, Ey表达式消去参数t,
可得到合矢量末端轨迹方程
Ex a1
cos1 cost sin 1 sin t
3
Ey a2
cos 2 cost sin 2 sin t
4
一、椭圆偏振光
(3) ×cosα2 ,(4) ×cosα2
干扰,亦即每列波如何传播，就像另一列 波完全不存在一样各自独立进行.此即波 的独立传播定律。 必须注意的是：此定律并不是普遍成立 的，例，光通过变色玻璃时是不服从独 立传播定律的。
第二章：光波的叠加与分析
二、波的叠加原理：
当两列(或多列)波在同一空间传播时， 空间各点都参与每列波在该点引起的振 动。若波的独立传播定律成立，则当两 列(或多列)波同时存在时，在它们的交迭 区域内每点的振动是各列波单独在该点 产生振动的合成.此即波的迭加原理。

E10 sin 10 E10 cos10
E20 sin 20 E20 cos 20
§2-1 两个频率、振动方向、传播方向 相同的单色光波的迭加
若两个单色光波在相遇区的任意一点P振幅相 等。即：
a1=a2,E10=E20则，P点的合振幅：
A2

a12

a22

2a1a2
cos( 2
当两种特殊情况下,合成光波仍是线偏振光.

1椭 此. 圆式方表 程示20为：：合10矢E0y量或的aa±1末2 E2端xπ的的整运数动倍沿时着，一条经过坐
标原点而斜率为 a2/a1的直线进行。
二、几种特殊情况：

2.

2
1
(m 1) 2
2
m 0,1,2
E1 E10 cos(kz t 10 )
此式表明：E的方向一般是不固定的，将随着z
和t变化。即合成波一般不是线偏振波。
若将E1和E2表示成Ex、Ey，且考虑两原光波到 相遇点的位置的不同，则：
合振动矢量末端运动的轨迹方程式为：
Ex2 a12

E
2 y
a22
2
Ex Ey a1a2

a2
表示一个圆偏振光。
三、左旋和右旋：
通常规定:
对着光传播方向看去，合矢量是顺时针方向 旋转时，偏振光是右旋的。反之，是左旋的。
分析过程只需将不同时刻的两原光波的值比较后 即可看出；
sinδ>0 sinδ<0
左旋情况 右旋情况
在左旋椭圆偏振光情况下，各点场矢量的末端构 成的螺旋线的旋向与光传播方向成右手螺旋系统； 而右旋椭圆偏振光的情形、螺旋线的旋向与关传 播方向成左手螺旋系统。
量周期性地旋转，其末端轨迹描成一个椭 圆的这种光称为椭圆偏振光。
二、几种特殊情况：
由椭圆方程
Ex2 a12

E
2 y
a22
2
ExEy a1a2
cos(20
10 )

sin
2 (20
10 )
知：椭圆形状由两叠加光波的位相差 20 10
和振幅比a2/a1 决定.
cos( 2
1 )
sin 2 ( 2
1 )
令α2-α1=δ，则：
E
2 x

E
2 y
2 ExEy
cos
sin
2
12
a12 a22
a1a2圆偏振光

E与x轴的夹角满足：
tg
E2

E20 cos(kz t 20 )
r2

或 式：中为 光2 源(r2在 r1介) 质中的波长，

0
0为真空中的波长，n为介质折射率 . n
§2-1 两个频率相同、振动方向相同的 单色光波的迭加

这 式样中n(r1–r22)0是n(光r2 程r1)差,以后用符号△表示。
光程:光波在某一介质中所通过的几何路程和
tg a1 sin 1 a2 sin 2 a1 cos1 a2 cos 2



E0 [E10 exp(i10 ) E20 exp(i20 )] E0 exp i0
E120 E220 2E10E20 cos(20 10 ) E0 2
tg 0
四、椭圆偏振光的强度
这一结论不仅适用于椭圆偏振光，也适用 于圆偏振光和自然光。
即N列波的强度满足线性迭加关系。
第二章：光波的叠加与分析
对于相干光波 ：
~
N ~
E(P) Ei (P)
i 1
即N列波的振幅满足线性迭加关系。
波在其中不服从迭加原理的媒质称为“非 线性媒质”。
§2-1 两个频率、振动方向、传播方向 相同的单色光波的迭加
两个频率、振动方向、传播方向相同的单色 光波的迭加的结果表示为：
I
E 2

对于椭圆偏振光：它是由振动方向互相垂直地两
线偏振光叠加构成：则


I (x0 Ex y0 Ey ) (x0 Ex y0 Ey )
即
E 2 x E 2 y
I Ix Iy
此式表示椭圆偏振光的强度恒等于合成它的两个 振动方向互相垂直的单色光波的强度之和，它与 两个叠加波的位相无关。