湘教版九年级数学下册课件：2.2.2圆周角

A
∵ OA ＝ OC，
∴ ∠C ＝∠BAC，
∴ ∠BOC ＝∠C ＋∠BAC ＝ 2∠BAC，
即∠BAC ＝
1 2
∠BOC．
O
C
B
如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？
对于第（2）种情况， 圆心 O 在∠BAC 的内部．
A
作直径 AD， 根据第（1）种情况的结果得
∠BAD
＝
1 2
∠BOD，
3.如图，点 A，B，C 在⊙O 上，AC∥OB．若 ∠OBA = 25°，求∠BOC 的度数.【教材P52页】
解 ∵AC∥OB， ∴∠BAC =∠OBA = 25°. ∵圆形角∠BOC与圆周角∠BAC 所对的弧为B C ， ∴∠BOC = 2∠BAC = 50°
随堂练习
选自《创优作业》
1. 下列结论中,正确的个数有（ B ） ①在同圆或等圆中,同弦所对的弧相等; ②相等的圆周角所对的弧相等; ③圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半; ④半圆所对的弦是直径． A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
A
O
C
B 点击播放
在圆上任取 BC ，画出圆心角∠BOC 和圆周角∠BAC，
圆心与圆周角有几种位置关系？
A A
A
O
C
B
圆周角的一边通过圆心
O
C
B
圆心在圆周角的内部
O
B C
圆心在圆周角的外部
如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？
对于第（1）种情况， 圆心 O 在 BAC 的一边 AB 上．
同学们，下课休息十分钟。现在是休
息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来 动一动，久坐对身体不好哦~

数学
湘教版九年级下册
课件目录
首页
末页
类型之一 圆周角的概念 下列四个图中，∠x是圆周角的是
(C )
A
B
C
D
【点悟】 圆周角满足两个条件：(1)顶点在圆上；(2)两边都
与圆相交．
数学
湘教版九年级下册
课件目录
首页
末页
类型之二 运用圆周角定理计算 填空：
(1)如图2－2－17(1)，已知∠BOC＝70°，则∠BAC＝ ___3_5_°__；
2.2.2 圆周角
第1课时 圆周角定理 知识管理
数学
湘教版九年级下册
课件目录
首页
末页
知识管理
1．圆周角的概念
定 义：顶点在圆上，并且___两__边__都__与__圆__相__交_____
的角叫作圆周角．如图 2－2－16，我们
︵
︵
把∠BAC 叫作BC所对的圆周角，BC叫作
圆周角∠BAC 所对的弧．
条弧才是解决此类问题的关键．
数学
湘教版九年级下册
课件目录
首页
末页
1．[2016·重庆]如图2－2－18，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O 上，连接AC，BC，若∠AOB＝120°，则∠ACB＝_____6_0_°.
数学
湘教版九年级下册
图2－2－18
课件目录
首页
末页
2．[2016·巴中]如图2－2－19，∠A是⊙O的圆周角，∠OBC＝55°， 则∠A＝___3_5_°__．
图2－2－19 【解析】 ∵OB＝OC，∠OBC＝55°，∴∠OCB＝55°，∴∠BOC ＝180°－55°－55°＝70°，由圆周角定理得，∠A＝12∠BOC＝35°.

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆 周角相等，都等于该弧所对的圆心角的 一半；相等的圆周角所对的弧相等.
2.2.2圆周角第1课时圆 周角定理及其推论1
九年级下
湘教版
学习目标
1.理解圆周角的概念；
重点
2.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆
周角相等.
难点
3.了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的
一半.
难点
新课引入
如图，把圆心角∠BOC 的顶点 O 拉 到圆上，得到∠BAC. ∠BAC有什么特点？它与∠BOC有 何异同？ ∠BAC顶点在圆上， 它和∠BOC所对的弧长 一样，但是比∠BOC小
归纳
由此我们可以得到：
圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 圆周角定理推论1 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧相等. 注意：“同弧或等弧”若改为“同弦或等弦”结论就不成立了.因为一 条弦所对的圆周角有两种情况：优弧上的圆周角和劣弧上的圆周角.
例3 如图，OA，OB，OC 都是⊙O 的半径，∠AOB = 50°， ∠BOC =70°. 求∠ACB和∠BAC 的度数.
BAC 1 BOC 2
问题2：在☉O上任意取一段弧，作出它所对的圆周角和圆心角，测量他 们的度数，结论还成立吗？你发现了什么规律？
成立，可以发现，同弧所对的圆周角的度数等于这条弧 所对的圆心角的度数的一半.
问题3：你能证明这个猜想吗？ ①圆心O在∠BAC的一边上
③圆心O在∠BAC的外部
②圆心O在∠BAC的内部
D C
图6
O
B
A
D
图7
O
B AC

第1课时 圆周角定理及其推论1
解：不完整．补充如下：
在题图 2－2－9 中，以点 O 为圆心，3 为半径画弧与⊙O′交于点 C3，如图所 示，此时，∠AC3B＝60°，OC3＝3，所以 OC 的长度为整数的所有值是 2，3，4.
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
第1课时 圆周角定理及其推论1
例 3 [高频考题] 如图 2－2－7，点 A，B，C，D，E 都在⊙O 上，AC 平分∠BAD，且 AB∥CE，求证：AD＝CE.
图2－2－7
第1课时 圆周角定理及其推论1
证明：∵AB∥CE， ∴∠ACE＝∠BAC. 又∵AC 平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴∠ACE＝∠CAD，∴︵AE＝C︵D， ∴A︵E＋︵DE＝︵CD＋D︵E， ∴A︵ED＝C︵DE，∴AD＝CE.
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/5/25
最新中小学教学课件
16
谢谢欣赏！
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。

∠A=_4_5_°__,
A
80
B
D E
C
A
100 D
O
B
C
通过本课的学习，你又有 什么收获？
1.直径（或半圆）所对的圆周角是直角; 2. 90°的圆周角所对的弦是直径． 3.在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 4.圆内接四边形和四边形的外接圆。圆的内接四 边形的对角互补。
人生在勤，不索何获？ ——张衡
B
C
圆的内接四边形的对角互补。
如图，四边形ABCD为⊙O圆的内接四边形∠BOD=100° 求∠BAD及∠BCD的度数。
解：∵圆心角∠BOD与圆周角∠BAD所对的弧为B⌒D
∠BOD=100°
∴= 12∠BA1D0=012°∠=5B0O°D
A
O
∵∠BCD+∠BAD=180°
∴∠BCD=180°-∠BAD= 130°B
直径（或半圆）所对的圆周角是直角；反之，90°的 圆周角所对的弦是直径.
归纳： 定
理
同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这 条弧所对的圆心角的一半．
推
论
1.直径（或半圆）所对的圆周角是直
角;
2. 90°的圆周角所对的弦是直径． C1 C2 3.在同圆或等圆中，相等的圆周角所
C3
对的弧相等
A
·O
B
做一做
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/82021/11/82021/11/811/8/2021
•7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/82021/11/8November 8, 2021

例2 证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 已知：如图3-8，圆O中，弦AB与弦CD 平行. ︵ ︵ 求证： AC = BD
图3-8
证明
作直径EF垂直于弦AB， 由于AB∥CD， 因此EF⊥CD. 由于EF⊥AB， ︵ ︵ 因此 AE = BE， 由于EF⊥CD， ︵ ︵ 因此 CE = DE . ︵ ︵ ︵ ︵ 从而 AE -CE = BE - DE ︵ ︵ 即 AC = BD.
E
F 图3-8
练习
1. 如图3-9，圆O中，AB∥CD. 求证：∠AOC=∠BOD. 答 ∵ AB∥CD. ︵ ︵ ∴ AC = BD
（由例题结论得)
∴ ∠AOC=∠BOD.
图3-9
2. 如图3-9，圆O中，AB∥CD. 求证：AC=BD. 答：∵ AB∥CD. ︵ ︵ ∴ AC = BD （由例题结论得） ∴ AC=BD.
A E
●
A E B D
C
O
B D
C
顶点在圆上,并且两边 都与圆相交的角,叫做 圆周角.

类比圆心角探知圆周角


在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等.
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角有什么关系？
为了解决这个问题,我们先探究同弧所对的圆周角 和圆心角之间有的关系.

你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗?
图3-9
中考 试题
例1
过⊙O内一点P的最长弦长为10cm，最短弦长 为8cm，那么OP的长为 （ A） A.3cm B.6cm C. 41 cm D. 9cm
解析 如图，过点P 的最长弦为直径AB， 最短弦为CD，且CD⊥AB，则
1 CP= 2CD=4cm，连接OC，则

A
D
几何语言：
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+ ∠ C=180°，∠B+ ∠ D=180°．
O
B
C
探究新知
如果延长BC到E，那么∠A与∠DCE会有怎样的关系呢？
证明猜想：
∵∠DCE+∠BDC=180°，
又∠A+∠BCD=180°，
A
D
O
B
C
E
∴∠A=∠DCE．
我们把∠A叫做∠DCE的内对角．因为∠A是与∠DCE相
B. 112.5°
C. 120°
D. 135°
当堂练习
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O,且AB∥DC,AD∥BC,求证：四
边形ABCD是矩形
解 ∵ AB∥DC,AD∥BC
∴ ∠A+∠D = 180°，
∠A+∠B = 180°
∴∠B = ∠D
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠B+∠D = 180°
∴∠B = ∠D=90°
是多少呢？
因为圆周角∠C1，∠C2，∠C3 所
对弧上的圆心角是∠AOB，只要知道
∠AOB的度数，利用圆周角定理，就
可以求出∠C1，∠C2，∠C3的度数.
探究新知
AB 是⊙O 的直径， 那么∠C1，∠C2，∠C3 的度数分别
是多少呢？
因为A，O，B 在一条直线上， 所
以圆心角∠AOB 是一个平角，
即∠AOB = 180°. 故∠C1 ＝∠C2 ＝∠C3
邻的内角∠DCB的对角．
圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．
知识要点
圆内接四边形定理：
圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角

（1）仿第4题得证
（2）∆AOC≌∆BOD ∴∠AOC=∠DBO=60º
∴OC//BD
1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 2.在同圆或等圆中， 如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组都分别相等。 3.圆心角的度数与它所对弧的度数相等。
练 习 巩 固： • 练习第1、2题 作 业 布 置： 习题2.2第1、2题
A
O·
∵CD平分∠ACB，∠ACD= ∠BCD
B
∴AD=BD=
√2 2
AB=5√2cm
D
3.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心
吗？你有多少种方法？与同学交流一下．
4、在⊙O中，∠CBD=30°,∠BDC=20°,求∠A.
A
∠BAC=∠BDC ∠DAC=∠DBC
∠A=∠BAC+∠DAC =∠BDC+∠DBC =20°+30°=50°
1、如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形的对
角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
∠2=∠7 ∠1=∠4 ∠3=∠6 ∠5=∠8
D A 1 87
2
2、如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，
∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD
·
3 4
6
5C
B
的长．
C
∵AB是直径，∴ ∠ACB= ∠ADB=90° 在Rt△ABC中，由勾股定理BC=8cm
2、等积式的证明方法；
3、添辅助线的方法。
A O· B
等边三角形，∠DCB=120º
5、如图，已知AB、CD是⊙O的两条直径，
BE是⊙O的一条弦，点C是AE的中点，

3．(4 分)如图，已知 A，B，C 三点都在⊙O 上， ∠AOB＝60°，∠ACB＝__30°__．
4．(4 分)如图，点 O 为优弧 ACB 所在圆的圆心， ∠AOC＝108°，点 D 在 AB 的延长线上，BD＝BC， 则∠D＝__27°__．
圆周角定理推论
5．(4 分)如图所示，⊙O 中弦 AB，CD 相交于点 E， 连接 BD，AC，则图中相等的角(小于平角)共有( B )
(1)求证：BD 平分∠ADC； (2)若 BE＝3，ED＝6，求 AB 的长． 解：(1)∵AB ＝BC，∴A︵B＝B︵C，∴∠BDC＝ ∠ADB，即 BD 平分∠ADC (2)在△ABE 和△DBA 中，∠ABE＝∠DBA，∠BAE＝∠BDA，∴△ABE∽
△DBA，∴ABDB＝ABEB，∴AB2＝BD·BE＝(3＋6)×3＝ 27，∴AB＝3 3(只取正)
二、填空题(每小题 6 分，共 18 分) 12．如图，A，B，C 是⊙O 上的三点，∠CAO＝ 25°，∠BCO＝35°，则∠AOB＝__120__度．
13．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若∠BCA ＝60°，则∠ABO＝__30__°.
14．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C，D，E 都在 ⊙O 上，若∠C＝∠D＝∠E，则∠A＋∠B＝__135°__．
九年级数学下册（湘教版）
第2章 圆
2.2 圆周角
第 1 课时 圆周角定理
1．顶点在__圆上__，并且__两边与圆相交__的角 叫做圆周角．
2．一条弧所对的圆周角，等于它所对的__圆心角 的一半__，在同一个圆(或相等的圆)中，同弧或等弧所 对的圆周角__相等__；反之，相等的圆周角所对的__ 弧相等__．
•
7．(4 分)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B＝60°， OP⊥AC 于点 P，OP＝2 3，则⊙O 的半径为( A )

2.2.2 圆周角
第2课时 圆周角定理(dìnglǐ)推论2和圆内接四边形
第一页，共13页。
动脑筋
• 在图中，AB是⊙O是直径，那么∠C1，∠C2， • ∠C3的度数分别(fēnbié)是多少呢？
第二页，共13页。
因为圆周角∠C1，∠C2，∠C3所对弧 上的圆心角是∠AOB，
只要知道∠AOB的度数(dù
第九页，共13页。
练习(liànxí)
1. 如图,AB是圆O的一条(yī tiáo)直径, ∠CAB=65°, 求∠ABC的度数.
解:
∵AB是直径(zhíjìng)，
∴∠C = 90°.
C
A
O·
B
∴△ABC为直角三角形.
∴∠ABC+ ∠CAB= 90°. ∴∠ABC+ ∠CAB= 90°－ ∠CAB = 90°－ 65°= 25°.
第十页，共13页。
3.如图，圆内接四边形ABCD的外角 (wài jiǎo)∠DCE=85°，求∠A的度数.
解 ∵∠DCE=85°， ∴∠BCD=95°. ∵四边形ABCD是圆O的内接四边形， ∴∠BCD+∠A=180°.
∴∠A=85°.
第十一页，共13页。
课堂(kètáng)小结
通过这节课的学习，我们学习到哪些知识？ 1.直径(zhíjìng)所对的圆周角是直径(zhíjìng)；
∠B连与接O∠B，DOD有， 什么关系？
∵∠A所对的弧为
B，CD∠A
所对的弧为
，又
BAD
BCD
与
所对的圆心角之和是圆周(yuánzhōu)
BAD
角， ∴∠A+∠C=
=180°.
360
由四边形内角和定2理可知∠ABC+∠ADC=180°.