(通用版)中考数学二轮复习 专题3 规律探究问题

专题三 规律探究问题1．(2019·南岸区)如图1是一组有规律的图案，第1个图案由5个基础图形组成，第2个图案由8个基础图形组成，……，如果按照以上规律继续下去，那么通过观察，可以发现：第20个图案需要________个基本图形( )……图1A ．402B ．404C ．406D ．4082．(2019·济宁)已知有理数a ≠1，我们把11－a称为a 的差倒数，如：2的差倒数是11－2＝－1，－1的差倒数是11－(－1)＝12.如果a 1＝－2，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，……，依此类推，那么a 1＋a 2＋…＋a 100的值是( ) A ．－7.5 B ．7.5 C ．5.5D ．－5.53．(2018·淄博)将从1开始的自然数按以下规律排列．例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是________．图24．(2018·成都)已知a >0，S 1＝1a ，S 2＝－S 1－1，S 3＝1S 2，S 4＝－S 3－1，S 5＝1S 4，…(即当n 为大于1的奇数时，S n ＝1S n －1；当n 为大于1的偶数时，S n ＝－S n －1－1)，按此规律，S 2 018＝________.5．(2017·威海)某广场用同一种如图3所示的地砖拼图案，第1次拼成形如图3①所示的图案，第2次拼成形如图3②所示的图案，第3次拼成形如图3③所示的图案，第4次拼成形如图3④所示的图案，……，按照这样的规律拼下去，第n次拼成的图案共有地砖________块．图36．(2018·安顺)正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如图4所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点B n的坐标是________________(n为正整数)．图47．(2018·龙东)如图5，已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB1C1；再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB2C2；再以等边三角形AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边三角形AB3C3；…，记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3，如此下去，则S n＝________________.图58．(2018·威海)如图6，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为(1,2)，以点O为圆心，以OA1的长为半径画弧，交直线y＝12x于点B1；过点B1作B1A2∥y轴，交直线y＝2x于点A2，以O为圆心，以OA2的长为半径画弧，交直线y＝12x于点B2；过点B2作B2A3∥y轴，交直线y＝2x于点A3，以点O为圆心，以OA3的长为半径画弧，交直线y＝12x于点B3；过点B3作B3A4∥y轴，交直线y＝2x于点A4，以点O为圆心，以OA4的长为半径画弧，交直线y＝12x于点B4，……，按照如此规律进行下去，点B2 018的坐标为________________．图69．(2019·益阳改编)观察以下等式：①3－22＝(2－1)2；②5－26＝(3－2)2；③7－212＝(4－3)2；……(1)请你写出第6个等式：_____________________________________；(2)写出你猜想第n个等式：__________________________________(用含n的等式表示)，并证明．10．(2017·安徽)【阅读理解】我们知道，1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2，那么12＋22＋32＋…＋n2的结果等于多少呢？在如图7①所示的三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2＋2，即22，……，第n行n个圆圈中数的和为n＋n＋…＋nn个n，即n2.这样，该三角形数阵中共有n(n＋1)2个圆圈，所有圆圈中数的和为12＋22＋32＋…＋n2.①②图7【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图7②所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第(n－1)行的第一个圆圈中的数分别为n－1，2，n)，发现每个位置上三个圆圈中数的和均为________________．由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3(12＋22＋32＋…＋n2)＝________________.因此，12＋22＋32＋…＋n2＝________________.【解决问题】根据以上发现，计算：12＋22＋32＋…＋2 0172 1＋2＋3＋…＋2 017.11．(2018·河南)(1)问题发现：如图8①，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M.填空：①ACBD的值为________；②∠AMB的度数为________．(2)类比探究：如图8②，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M.求ACBD的值及∠AMB的度数，并说明理由．(3)拓展延伸：在(2)的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M.若OD＝1，OB＝7，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．①②图812．(2018·盘锦)如图9，E是正方形ABCD的边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，M是线段BF的中点，射线EM与BC交于点H，连接CM.(1)请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；(2)把图9①中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如图9②，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？请说明理由；(3)把图9①中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E，G恰好分别落在线段AD，CD上，如图9③，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？请说明理由．①②③图913．(2018·江西)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP 为边向右侧作等边三角形APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．①②③图10(1)如图10①，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是________，CE与AD的位置关系是________________；(2)当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．(选择图10②，图10③中的一种情况予以证明或说理)参考答案专题三规律探究问题课时作业1．B 2.A3．2 018 4.－a＋1 a5．(2n2＋2n) 6.(2n－1,2n－1)7.(3)2n－122n＋18.(22 018,22 017)9．(1)13－242＝(7－6)2(2)2n＋1－2n(n＋1)＝(n＋1－n)2，证明略10．【规律探究】2n＋1n(n＋1)(2n＋1)2n(n＋1)(2n＋1)6【解决问题】 1 34511．(1)①1②40°(2)ACBD＝3，∠AMB＝90°，理由略．(3)33或2 312．(1)CM＝EM，CM⊥EM(2)成立，理由略(3)成立，理由略13．(1)BP＝CE CE⊥AD(2)成立，证明略．。

2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题（含答案解析）类型一数式规律1．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a ，第n 个单项式是（）AB1n -CnD1n -【答案】Ca ，指数为1开始的自然数，据此即可求解．【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a ，第nn ，故选：C ．【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．2．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--，34131111n n na a a a a a +++==-- ，，，若12a =，则2023a 的值是（）A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =-，413a =，52a =……；由此可得规律求解．【详解】解：∵12a =，∴212312a +==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，…….；由此可得规律为按2、3-、12-、13四个数字一循环，∵20234505.....3÷=，∴2023312a a ==-；故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．3．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为()11122113223114233241……A ．2003B ．2004C ．2022D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故202023在第20列，即20b =；向前递推到第1列时，分数为201912023192042-=+，故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =．∴2042202022.a b -=-=故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．4．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x ，规定2()1xf x x =+，例如：224(2)213f ⨯==+，1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，233(3)312f ⨯==+，1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++= （）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果．【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+…2100200(100)1100101f ⨯==+，1212100()11001011100f ⨯==+，1(100)(2100f f +=，11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．5.（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（）A．23-B．13C．12-D．23【答案】D 【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值．【详解】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现是以：213,,32-，循环出现的规律，202136732=⨯+ ，2021223a a ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．6.（2021·湖北随州市·中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p的值为（）A．100B．121C．144D．169【答案】B 【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可．【详解】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-，∵第n 个图中的143q =，∴2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去)∴2=121p n =，故选：B ．【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．7.（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A．23B．511C．59D．12【答案】D 【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+当3n =时W 的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102=故选：D ．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．8.（2021·湖北十堰市·）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019【答案】B 【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．9.（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【分析】根据已知条件和2100＝S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．【解析】∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．10．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．【详解】解：∵21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…∴第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-，故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．11．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……按照上述规律，2n =．【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可．【详解】解：∵21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……∴()()2211n n n ++=+，∴()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律．12．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ，n 的平方差，且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，221653=-，16就是一个智慧优数，可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是．【答案】1545【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．【详解】解：依题意，当3m =，1n =，则第1个一个智慧优数为22318-=当4m =，2n =，则第2个智慧优数为224214-=当4m =，1n =，则第3个智慧优数为224115-=，当5m =，3n =，则第5个智慧优数为225316-=当5m =，2n =，则第6个智慧优数为225221-=当5m =，1n =，则第7个智慧优数为225324-=……6m =时有4个智慧优数，同理7m =时有5个，8m =时有6个，12345621+++++=第22个智慧优数，当9m =时，7n =，第22个智慧优数为2297814932-=-=，第23个智慧优数为9,6m n ==时，2296813645-=-=，故答案为：15，45．【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．13．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5；()7,10；()13,17；()21,26；()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++，第n 个数对的第二个位：()211n ++，即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…即：121⨯+，231⨯+，341⨯+，451⨯+，561⨯+，…则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…即：221+；231+；241+；251+；261+…，则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++，∴第n 个数对为：()221,22n n n n ++++，故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．14．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）点Q 的横坐标为一元一次方程37322x x +=-的解，纵坐标为a b +的值，其中a ，b 满足二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，则点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为___________．【答案】()5,4--【分析】先分别解一元一次方程37322x x +=-和二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．【详解】解：37322x x +=-，移项合并同类项得，525x =，系数化为1得，5x =，∴点Q 的横坐标为5，∵2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩①②，由2+⨯①②得，3=12b -，解得：4b =-，把4b =-代入①得，24=4a +，解得：0a =，∴=04=4a b +--，∴点Q 的纵坐标为4-，∴点Q 的坐标为()5,4-，又∴点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为()5,4--，故答案为：()5,4--．【点睛】本题考查解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q 的坐标是解题的关键．15．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：2-，4，8-，16，32-，64，……①0，7，4-，21，26-，71，……②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．【答案】1024202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n -，第二行数的规律为(2)1n n -++，代入数据即可.【详解】第一行数的规律为(2)n -，∴第①行数的第10个数为10(2)1024-=；第二行数的规律为(2)1n n -++，∴第①行数的第2023个数为2023(2)-，第②行数的第2023个数为2023(2)2024-+，∴202422024-+，故答案为：1024；202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.16.（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【答案】100(21)m -【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++ 的和，即可计算1001011011992222++++ 的和．【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=- ．∵1002=m∴23991000222222=2m m +++++== ，∵22991001012222222+++++=- ，∴10123991002222222=++++++ 12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++ 224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++ 3248=2m m m m m m =+++=．……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++ ．令012992222S ++++= ①12310022222S ++++= ②②-①，得10021S-=∴10010110110199992222222m m m ++++=+++ =100(21)m -故答案为：100(21)m -．【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．17.（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，2468101214161820……则第27行的第21个数是______．【答案】744【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有(1)2n n+个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．【详解】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，•••••••第n行有n个数．∴前n行共有1+2+3+⋯+n=(1)2n n+个数．∴前26行共有351个数，∴第27行第21个数是所有数中的第372个数．∵这些数都是正偶数，∴第372个数为372×2=744．故答案为：744．【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．18.（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式：1311 212x===+⨯；2711623x ===+⨯；313111234x ===+⨯；……根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-= ______．【答案】12016-【分析】根据题意，找到第n 个等式的左边为1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120152016⨯化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可．【详解】11(1)n n =++，20201120202021x =+⨯12320202021x x x x ++++- ＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12015﹣12016﹣2021＝2020+1﹣12016﹣2021＝12016-．故答案为：12016-．【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．19.（2022·安徽）观察以下等式：第1个等式：()()()22221122122⨯+=⨯+-⨯，第2个等式：()()()22222134134⨯+=⨯+-⨯，第3个等式：()()()22223146146⨯+=⨯+-⨯，第4个等式：()()()22224158158⨯+=⨯+-⨯，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明．【答案】(1)()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯(2)()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明见解析【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯，故答案为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯；(2)解：第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明如下：等式左边：()2221441n n n +=++，等式右边：[][]22(1)21(1)2n n n n +⋅+-+⋅[][](1)21(1)2(1)21(1)2n n n n n n n n =+⋅+++⋅⋅+⋅+-+⋅[](1)411n n =+⋅+⨯2441n n =++，故等式()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．20.（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．【答案】12nn +【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+，…则第n 项是12n n +；故答案为：12nn +．【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．0.618≈这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设12a =，b =11111S a b =+++，2222211S a b =+++，…，10010010010010011S a b=+++，则12100S S S +++= _______．【答案】5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S 1=1，S 2=2，S 100=100，•••，利用规律求解即可．【详解】解： 12a =，b =11122ab =⨯=∴，1112211112a ba ba b b ba bS a a ++++=+==+++++++ ，222222222222222222221112a b a b S a b a b a b a b ++++=+=⨯=⨯=+++++++，…，10101001001001010101010010011100100111a b S a b a b a b +++=+=⨯=+++++∴12100S S S +++= 121005050++⋯⋯+=故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得1ab =，找出的规律是本题的关键．22.（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【答案】3【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．23.（2022·山东泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(),n m 表示第n 行，从左到右第m 个数，如()3,2表示6，则表示99的有序数对是_______．【答案】()10,18【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第n 行的第一个数字为211n +-（），从而求得最终的答案．【详解】第1行的第一个数字：()2111=+-1第2行的第一个数字：()22121=+-第3行的第一个数字：()25131=+-第4行的第一个数字：()210141=+-第5行的第一个数字：()217151=+-…..，设第n 行的第一个数字为x ，得()211x n =+-设第1n +行的第一个数字为z ，得21z n =+设第n 行，从左到右第m 个数为y 当99y =时221(1)991n n +-≤<+∴22(1)98n n -≤<∵n 为整数∴10n =∴21182x n =+-=（）∴9982118m =-+=故答案为：()10,18．【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．24.（2022·浙江舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，……(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】(1)1111(1)n n n n =+++(2)见解析【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++．（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++，用分式的加法计算式子右边即可证明．(1)解：∵第一个式子()1111123621221=+=+++，第二个式子()11111341231331=+=+++，第三个式子()11111452041441=+=+++，……∴第（n+1）个式子1111(1)n n n n =+++；(2)解：∵右边=111111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n ++=+==+++++=左边，∴1111(1)n n n n =+++．【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．类型二图形规律25．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B 【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424+⨯=根木棍，……，+⨯=根，第⑧个图案用的木棍根数是45844故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．25．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.=⨯-；【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311=⨯-；第②个图案中有5个圆圈，5321=⨯-；第③个图案中有8个圆圈，8331=⨯-；第④个图案中有11个圆圈，11341…，⨯-=；所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120故选：B.【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31n -是解题的关键.27．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1234100+++++ 时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到100(1100)12341002⨯++++++= ．人们借助于这样的方法，得到(1)12342n n n ++++++= （n 是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n = ，且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+，如1(0,0)A ，即120,(1,0)a A =，即231,(1,1)a A =-，即30,a = ，以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B 【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n ---，再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点，即1(0,0)A ，这时10a =；第2圈有8个点，即2A 到()91,1A ；第3圈有16个点，即10A 到()252,2A ，；依次类推，第n 圈，()211,1n A n n ---；由规律可知：2023A 是在第23圈上，且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+=，故A 选项不正确；2024A 是在第23圈上，且()202421,22A ，即2024212243a =+=，故B 选项正确；第n 圈，()211,1n A n n ---，所以2122n a n -=-，故C 、D 选项不正确；故选B ．【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．28.（2022·江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B 【分析】列举每个图形中H 的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H 的个数为4，第2个图中H 的个数为4+2，第3个图中H 的个数为4+2×2，第4个图中H 的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．29.（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【答案】C 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．30.（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（）A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答31.（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2n n -．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有120191902⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有1(1)2n n -．32．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为．【答案】1226C H 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．【详解】解：甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，十二烷的化学式为1226C H ，故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．33．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n 个图案中有个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，∴第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片．故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．34．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++ 的值时，发现：1100101+=，299101+= ，从而得到123100++++= 101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作11a =；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作25a =；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作39a =；按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=-，进而即可求解．【详解】解：依题意，()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-，，∴123n a a a a ++++= ()21432122n n n n n n +-==-=-，故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．35.（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n 的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是2(21)32⨯+=，n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：12n n ==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．36.（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．【答案】127【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．37.（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n+2n ×(n-1)，得出结论即可．【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯…由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+ 故答案为：2n 2+2n．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．38.（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．类型三与函数有关规律39．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ⋯，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A ---，()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）。

规律探究问题【题型特征】规律探究性问题的特点是问题的结论不是直接给出,而是通过对问题的观察、分析、归纳、概括、演算、判断等一系列的探究活动,才能得到问题的结论.这类问题,因其独特的规律性和探究性,对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求.在近几年全国各地的中考试题中,不仅频频出现规律探究题,而且“花样百出”.常见的类型有:(1)数式规律型;(2)图形变化规律型;(3)坐标变化规律型;(4)数形结合规律型等.【解题策略】解决规律探究性问题常常利用特殊值(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)进行归纳、概括,从特殊到一般,从而得出规律(符合一定的经验与事实的数学结论),然后验证或应用这一规律解题即可.解答时对分析问题、解决问题能力具有很高的要求.(1)数式规律型:数式规律涉及数的变化规律和式的变化规律,式变化规律往往包含数的变化规律.数的变化规律问题是按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题,主要是通过观察、分析、归纳、验证,然后得出一般性的结论,以列代数式为主要内容;式的变化规律通常给定一些代数式,等式或者不等式,猜想其中蕴含的规律,一般解法是先写出代数式的基本结构,然后通过横比(比较同一等式中的不同数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系),找出各部分的特征,写出符合条件的格式.(2)图形变化规律型:图形变化型问题涉及图形排列规律和变化蕴含的规律.主要是观察图形变化过程中的特点,分析其联系和区别,用相应的算式由特殊到一般描述其中的规律.这需要有敏锐的观察能力和计算能力.(3)坐标变化规律型:此类题型主要考查了点的坐标规律,培养学生观察和归纳能力,从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本类问题的关键.(4)数形结合规律型:这类问题主要考查学生综合运用代数知识和几何知识的能力,解决这类问题要求学生不仅要有很好的“数感”,还要有很强的“图形”意识.类型一数式规律型【技法梳理】对于数式规律型问题,关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律,然后再利用这个变化规律回到问题中去解决问题.举一反三1. (2015·山东菏泽)下面是一个某种规律排列的数阵:1√2第1行√32√5√6第2行√72√23√10√112√3第3行√13√14√154√173√2√192√5第4行……根据数阵的规律,第n(n是整数,且n≥3)行从左到右数第n-2个数是(用含n的代数式表示).2. (2015·山东临沂)请你计算:(1-x)(1+x),(1-x)(1+x+x2),…,猜想(1-x)(1+x+x2+…+x n)的结果是().A. 1-x n+1B. 1+x n+1C. 1-x nD. 1+x n【小结】此类问题考查的知识点是单项式的知识.找代数式的变化规律,一般是由特殊到一般,得出一般规律.比如典例观察单项式的规律,把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积,分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键.类型二图形变化规律型典例2(2015·四川内江)如图,将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列,那么第2015个图形是.【解析】根据图象规律得出每6个数为一周期,用2015先减2再除以6,根据余数来决定第2015个图形.因为(2015-2)÷6=335……2,故第2015个图形与第2个图象相同,故答案是正方形.【全解】正方形【技法梳理】本题是一道找图形循环排列规律的题目.这类题首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,解题时对观察能力和归纳总结能力有一定要求.举一反三3. (2015·湖北天门)将相同的矩形卡片,按如图方式摆放在一个直角上,每个矩形卡片长为2,宽为1,依此类推,摆放2015个时,实线部分长为.(1)(2)(3)(第3题)4. (2015·珠海)如图,在等腰Rt△OAA1中,∠OAA1=90°,OA=1,以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2,以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3,…,则OA4的长度为.(第4题)5. (2015·湖北十堰)根据如图中箭头的指向规律,从2013到2015再到2015,箭头的方向是以下图示中的().(第5题)【小结】 (1)图形循环类问题,只要找到所求值在第几个循环,便可找出答案,一般难度不大;(2)图形的变化规律计算问题,关键是根据题目中给出的图形,通过观察思考,归纳总结出规律,再利用规律解决问题,难度一般偏大,属于难题.类型三坐标变化规律型典例3(2015·广东梅州)如图,弹性小球从点P(0,3)出发,沿所示方向运动,每当小球碰到矩形OABC的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1,第2次碰到矩形的边时的点为P2,…,第n次碰到矩形的边时的点为P n,则点P3的坐标是;点P2 014的坐标是.【解析】如图,经过6次反弹后动点回到出发点(0,3),当点P第3次碰到矩形的边时,点P的坐标为(8,3),∵2015÷6=335……4,∴当点P第2015次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹.点P的坐标为(5,0).故答案为(8,3),(5,0).【全解】 (8,3)(5,0)【技法梳理】根据反射角与入射角的定义作出图形,可知每6次反弹为一个循环组依次循环,用2015除以6,根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可.举一反三6. (2015·湖北荆门)如图,在第1个△A1BC中,∠B=30°,A1B=CB;在边A1B上任取一点D,延长CA1到A2,使A1A2=A1D,得到第2个△A1A2D;在边A2D上任取一点E,延长A1A2到A3,使A2A3=A2E,得到第3个△A2A3E,…按此做法继续下去,则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是().(第6题)7. (2015·山东潍坊)如图,已知正方形ABCD,顶点A(1,3),B(1,1),C(3,1).规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如此这样,连续经过2015次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为().(第7题)A. (-2012,2)B. (-2012,-2)C. (-2013,-2)D. (-2013,2)【小结】此类题型主要考查点的坐标变化规律,解决此类问题的关键是从点的变化中发现横坐标、纵坐标的变化规律.类型四数形结合规律型典例4(2015·山东泰安)如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置,点B,O分别落在点B1,C1处,点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去…….若点,B(0,4),则点B2015的横坐标为.故答案为10070.【全解】10070【技法梳理】首先利用勾股定理得出AB的长,进而得出三角形的周长,进而求出B2,B4的横坐标,进而得出变化规律,即可得出答案.举一反三8. (2015·四川内江)如图,已知A1,A2,A3,…,A n,A n+1是x轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3=…=A n A n+1=1,分别过点A1,A2,A3,…,A n,A n+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1,B2,B3,…,B n,B n+1,连接A1B2,B1A2,B2A3,…,A n B n+1,B n A n+1,依次相交于点P1,P2,P3,…,P n.△A1B1P1,△A2B2P2,△A nB n P n的面积依次记为S1,S2,S3,…,S n,则S n为().(第8题)9. (2015·山东威海)如图,在平面直角坐标系xOy中,Rt△OA1C1,Rt△OA2C2,Rt△OA3C3,Rt△OA4C4…的斜边都在坐标轴上,∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°.若点A1的坐标为(3,0),OA1=OC2,OA2=OC3,OA3=OC4…,则依此规律,点A2015的纵坐标为().(第9题)【小结】此类题主要考查坐标的变化规律.解决此类问题的关键是利用数形结合的思想发现运动的规律.综合其用勾股定理等知识点解出相应的问题.类型一1. (2015·山东烟台)将一组数√3,√6,3,2√3,√15,…,3√10,按下面的方式进行排列:√3,√6,3,2√3,√15;3√2,√21,2√6,3√3,√30;……若2√3的位置记为(1,4),2√6的位置记为(2,3),则这组数中最大的有理数的位置记为().A. (5,2)B. (5,3)C. (6,2)D. (6,5)2. (2015·湖北咸宁)观察分析下列数据:0,-√3,√6,-3,2√3,-√15,3√2,…,根据数据排列的规律得到第16个数据应是.(结果需化简)3. (2015·贵州铜仁)一列数:0,-1,3,-6,10,-15,21,…,按此规律第n个数为.4. (2015·甘肃白银)观察下列各式:13=12,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,……猜想13+23+33+…+103=.类型二5. (2015·湖北武汉)观察下列一组图形中点的个数,其中第1个图中共有4个点,第2个图中共有10个点,第3个图中共有19个点…按此规律第5个图中共有点的个数是().(第5题)A. 31B. 46C. 51D. 666. (2015·湖南娄底)如图是一组有规律的图案,第1个图案由4个▲组成,第2个图案由7个▲组成,第3个图案由10个▲组成,第4个图案由13个▲组成,…,则第n(n为正整数)个图案由个▲组成.(第6题)7. (2015·广东深圳)如图,下列图形是将正三角形按一定规律排列,则第5个图形中所有正三角形的个数有.…(第7题)类型三8. (2015·湖南邵阳)如图,A点的初始位置位于数轴上的原点,现对A点做如下移动:第1次从原点向右移动1个单位长度至B点,第2次从B点向左移动3个单位长度至C点,第3次从C点向右移动6个单位长度至D点,第4次从D点向左移动9个单位长度至E 点,…,依此类推,这样至少移动次后该点到原点的距离不小于41.(第8题)9. (2015·甘肃天水)如图,一段抛物线y=-x(x-1)(0≤x≤1)记为m1,它与x轴交点为O,A1,顶点为P1;将m1绕点A1旋转180°得m2,交x轴于点A2,顶点为P2;将m2绕点A2旋转180°得m3,交x轴于点A3,顶点为P3,…,如此进行下去,直至得m10,顶点为P10,则P10的坐标为().(第9题)类型四10. (2015·四川遂宁)已知:如图,在△ABC中,点A1,B1,C1分别是BC,AC,AB的中点,A2,B2,C2分别是B1C1,A1C1,A1B1的中点,依此类推….若△ABC的周长为1,则△A n B n C n的周长为.(1)(2)(3)(第10题)11. (2015·江苏淮安)如图,顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点,得到四边形A1B1C1D1,然后顺次连接四边形A1B1C1D1的中点,得到四边形A2B2C2D2,再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点,得到四边形A3B3C3D3,…,按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为.(第11题)12. (2015·广东佛山)(1)证明三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半;[要求根据图(1)写出已知、求证、证明;在证明过程中,至少有两处写出推理依据(“已知”除外)](2)如图(2),在▱ABCD中,对角线焦点为O,A1,B1,C1,D1分别是OA,OB,OC,OD的中点,A2,B2,C2,D2分别是OA1,OB1,OC1,OD1的中点,…,以此类推.若▱ABCD的周长为1,直接用算式表示各四边形的周长之和l;(3)借助图形(3)反映的规律,猜猜l可能是多少?(1)(2)(3) (第12题)参考答案【真题精讲】2. A解析:(1-x)(1+x)=1-x2,(1-x)(1+x+x2)=1+x+x2-x-x2-x3=1-x3,…,依此类推(1-x)(1+x+x2+…+x n)=1-x n+1.3.方法一:由图形可得出:摆放一个矩形实线长为3,摆放2个矩形实线长为5,摆放3个矩形实线长为8,摆放4个矩形实线长为10,摆放5个矩形实线长为13,即第偶数个矩形实线部分在前一个的基础上加2,第奇数个矩形实线部分在前一个的基础上加3,∵摆放2015个时,相等于在第1个的基础上加1007个2,1006个3,∴摆放2015个时,实线部分长为3+10072+10063=5035.故答案为5035.方法二:第①个图实线部分长 3,第②个图实线部分长 3+2,第③个图实线部分长 3+2+3,第④个图实线部分长 3+2+3+2,第⑤个图实线部分长 3+2+3+2+3,第⑥个图实线部分长 3+2+3+2+3+2,……从上述规律可以看到,对于第n个图形,当n为奇数时,第n个图形实线部分长度为4. 8解析:∵△OAA1为等腰直角三角形,OA=1,∴AA1=OA=1,OA1=√2OA=√2.∵△OA1A2为等腰直角三角形,∴A1A2=OA1=√2,OA2=√2OA1=2.∵△OA2A3为等腰直角三角形,∴A2A3=OA2=2,OA3=√2OA2=2√2.∵△OA3A4为等腰直角三角形,∴A3A4=OA3=2√2,OA4=√2OA3=4.故答案为4.5. D解析:由图可知,每4个数为一个循环组依次循环, 2013÷4=503……1,∴2013是第504个循环组的第2个数.∴从2013到2015再到2015,箭头的方向是.故选D.7. A解析:∵正方形ABCD,点A(1,3),B(1,1),C(3,1),∴M的坐标变为(2,2).∴根据题意得,第1次变换后的点M的对应点的坐标为(2-1,-2),即(1,-2),第2次变换后的点M的对应点的坐标为(2-2,2),即(0,2),第3次变换后的点M的对应点的坐标为(2-3,-2),即(-1,-2),第2015次变换后的点M的对应点的坐标为(2-2015,2),即(-2012,2).故答案为A.8. D解析:本题根据一次函数函数图象上点的坐标性质得出B点坐标变化规律进而得出图形面积变化规律是解题关键.根据图象上点的坐标性质得出点B1,B2,B3,…,B n,B n+1各点坐标,进而利用相似三角形的判定与性质得出S1,S2,S3,…,S n,进而得出答案9. D解析:∵∠A2OC2=30°,OA1=OC2=3,【课后精练】1. C2.-3√54. 552解析:本题的规律为:从1开始,连续n个数的立方和=(1+2+3+…+n)2.5. B6. 3n+17. 485解析:本题考查图形的变化规律.由图可以看出:第一个图形中5个正三角形,第二个图形中53+2=17个正三角形,第三个图形中173+2=53个正三角形,由此得出第四个图形中533+2=161个正三角形,第五个图形中1613+2=485个正三角形.8. 289. (9.5,-0.25)12. (1)已知:在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点, 证明:如图,延长DE至F,使EF=DE,(第12题)∵E是AC的中点,∴AE=CE.在△ADE和△CFE中,∴△ADE≌△CFE(SAS).∴AD=CF(全等三角形对应边相等),∠A=∠ECF(全等三角形对应角相等).∴AD∥CF.∵点D是AB的中点,∴AD=BD.∴BD=CF且BD∥CF.∴四边形BCFD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).∴DF∥BC且DF=BC(平行四边形的对边平行且相等).。

题型一规律探索题类型一探索图形累加规律针对演练1. (xx荆州改编)下列图形是将黑白两种颜色的菱形纸片按一定的规律排列组成，第1个图形有4张白色纸片，第2个图形有7张白色纸片，第3个图形有10张白色纸片，…，依此规律，则第12个图形中白色纸片的个数为 ( )第1题图A. 34B. 37C. 42D. 462. (xx重庆八中初三(下)第三次月考)下列是由一些火柴搭成的图案：图①用了5根火柴，图②用了9根火柴，图③用了13根火柴，按照这种方式摆下去，摆第⑧个图案用火柴棒的根数为 ( )第2题图A. 33B.32C. 31D. 303. (xx重庆B卷)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，依此规律，图⑩中黑色正方形的个数是( )第3题图A.32B. 29C. 28D. 264. (xx重庆B卷)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是 ( )第4题图A. 22B. 24C. 26D. 285. 如图，下列图形是由边长为2的等边三角形按照一定规律排列而成，第①个图形的周长为6，第②个图形的周长为8，第③个图形的周长为10，第④个图形的周长为12，按照这样的规律来摆放，则第⑧个图形的周长为 ( )第5题图A. 18B. 19C. 20D. 216. (xx天水改编)将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，其中图①中“○”的个数为5个，图②中“○”的个数为7个，图③中“○”的个数为11个，图④中“○”的个数为17个，…，若图○,n)中有245个“○”，则n＝( )第6题图A. 10B. 12C. 14D. 167. (xx重庆外国语学校二诊)下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成，拼搭第(1)个图案需4根小木棒，拼搭第(2)个图案需10根小木棒，…，依此规律，拼搭第(6)个图案需小木棒的根数是 ( )第7题图A. 53B. 54C. 55D. 568. (xx重庆江津中学初三下半期考试)用同样大小的黑色五角星按如图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第⑬个图案需要的黑色五角星的个数是（）第8题图A. 18B. 19C. 21D. 229. (xx重庆十一中一诊)下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第④个图形中所有正三角形的个数有 ( )第9题图A. 160B. 161C. 162D. 16310. (xx重庆巴蜀一诊)如图，每个图形都由同样大小的矩形按照一定的规律组成，其中第①个图形的面积为6 cm2，第②个图形的面积为18 cm2，第③个图形的面积为36 cm2，…，那么第⑥个图形的面积为 ( )第10题图A. 84 cm2B. 90 cm2C. 126 cm2D. 168 cm211. (xx重庆西大附中第九次月考)下列图形都是用同样大小的♥按一定规律组成的，则第(8)个图形中♥共有 ( )第11题图A. 80个B. 73个C. 64个D. 72个12. (xx重庆一中三模)如图所示，图①中含“〇”的矩形有1个，图②“〇”的矩形有7个，图③中含“〇”的矩形有17个，按此规律，图⑥中含“〇”的矩形个数为( )A. 70B. 71C. 72D. 7313. (xx大渡口区诊断性检测)如图是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要棋子的枚数为 ( )第13题图A. 115B. 122C. 127D. 13914. (xx重庆一中二模)下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有1个空心小圆圈，第②个图形中一共有6个空心小圆圈，第③个图形中一共有13个空心小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中空心小圆圈的个数为( )第14题图A. 61B. 63C. 76D. 7815. (xx重庆巴蜀中学保送生考试)如图，各图都由同样大小的图形①按一定规律组成，其中第①个图形中共有一个完整菱形，第②个图形中共有5个完整菱形，第③个图形中共有13个完整菱形，…，则第⑥个图形中完整菱形的个数为 ( )第15题图A. 60B. 61C. 62D. 6316. (xx重庆一中第一次定时作业)已知四边形ABCD对角线相交于点O，若在线段BD上任意取一点(不与点B、O、D重合)，并与A、C连接，如图①，则三角形个数为15个；若在线段BD上任意取两点(不与点B、O、D重合)，如图②，则三角形个数为24个；若在线段BD 上任意取三点(不与点B、O、D重合)，如图③，则三角形个数为35个；…；以此规律，则图⑤中三角形的个数为( )第16题图A. 48B. 56C. 61D. 6317. (xx徐州)如图，每个图案都由大小相同的正方形组成．按照此规律，第n个图案中这样的正方形的总个数可用含n的代数式表示为________．第17题图18. (xx安顺改编)观察下列砌钢管的横截面图：第18题图则第5个图形中钢管数为________个．19. 如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图案中花盆的个数为6个，第2个图案中花盆的个数为12个，第3个图案中花盆的个数为20个，…，则第8个图案中花盆的个数为________．第19题图20. (xx龙岩改编)用棱长为1的小正方体按照如图所示的摆放规律，逐个排成若干个无缝隙的几何体，图①几何体表面积为6，图②几何体表面积为18，则图④中所示几何体的表面积为________．第20题图答案类型一探索图形累加规律1.B 【解析】每个图形中白色纸片的个数依次是4，7，10，13，….那么，第n个图形中白色纸片的个数为3n＋1，∴第12个图形中白色纸片的个数为3×12＋1＝37.2.A 【解析】∵图①用了5根火柴，即5＝5＋4×0；图②用了9根火柴，即9＝5＋4×1；图③用了13根火柴，即13＝5＋4×2；…；以此规律，第○n个图形中，火柴的根数为5＋4(n－1)，故第⑧个图案用火柴棒的根数为5＋4×(8－1)＝33.3. B 【解析】图①有2＋3×0＝2个黑色正方形；图②有2＋3×1＝5个黑色正方形；图③有2＋3×2＝8个黑色正方形；图④有2＋3×3＝11个黑色正方形，…，按照这个规律，图○n 有2＋3(n －1)个黑色正方形，故图⑩一共有2＋3×9＝29个黑色正方形．4. C 【解析】第一个图形中有2个三角形：6×1－4＝2；第二个图形中有8个三角形：6×2－4＝8；第三个图形中有14个三角形：6×3－4＝14；…；第n 个图形中三角形的个数为：6n －4，故第五个图形中三角形的个数为：6×5－4＝26.5. C 【解析】第①个图形的周长为6＋0×2＝6，第②个图形的周长为6＋1×2＝8，第③个图形的周长为6＋2×2＝10，第④个图形的周长为6＋3×2＝12，…，依此规律，可知第○n 个图形的周长为6＋(n －1)×2，所以第⑧个图形的周长为6＋7×2＝20.6. D 【解析】图①中有1×(1－1)＋5＝5个“○”，图②中有2×(2－1)＋5＝7个“○”，图③中有3×(3－1)＋5＝11个“○”，图④中有4×(4－1)＋5＝17个“○”，…，据此得出：图○n 中有n (n －1)＋5个“○”，则可得方程n (n －1)＋5＝245，解得n 1＝16，n 2＝－15(不合题意，舍去)．7. B 【解析】观察图形可知，每个图案都是由横排小木棒和纵排小木棒搭建而成，且横排和纵排数相同，其中第(1)个图案有2横排，每排有1个小木棒；第(2)个图案有3横排，每排的小木棒个数分别为2，2，1；第(3)个图案有4横排，每排的小木棒个数分别为3，3，2，1；第(4)个图案有5横排，每排的小木棒个数分别为4，4，3，2，1，…；由此可推测第(n )个图案共有n ＋1横排，每排木棒个数分别为n ，n ，n －1，n －2，…，2，1，故第(6)个图案共有7横排，每排的小木棒个数分别为6，6，5，4，3，2，1，共有27根，则对应的纵排也有27根小木棒，则搭建第(6)个图案共需要小木棒54根．8. C 【解析】观察图形可以发现图①中黑色五角星的个数为1＋2＝3，图②中黑色五角星个数为1＋2＋1＝4，图③中黑色五角星个数为1＋2＋1＋2＝6，图④中黑色五角星个数为1＋2＋1＋2＋1＝7，图⑤中黑色五角星个数为1＋2＋1＋2＋1＋2＝9，…，则图○n 中，当n 为奇数时，黑色五角星个数为2)1(3+n ，当n 为偶数时，黑色五角星个数为123+n ，∴第⑬个图案需要的黑色五角星的个数为3×（13＋1）2＝21个． 9. B 【解析】第①个图形中正三角形的个数为：1＋4，第②个图形中正三角形的个数为：1＋4＋3×4，第③个图形中正三角形的个数为：1＋4＋3×4＋9×4，…，第○n 个图形中正三角形的个数为：1＋4＋3×4＋9×4＋…＋3n －1×4，∴第④个图形中正三角形的个数为1＋4＋3×4＋9×4＋34－1×4＝1＋4＋12＋36＋108＝161.10. C 【解析】∵所有的小矩形都是大小相同的，第①个图形是由2个小矩形组成，面积为6，∴每个小矩形的面积是3，∵第①个图形中有2个小矩形，第②个图形中有6个小矩形，第③个图形中有12个小矩形，12＝2＋4＋6＝2×(1＋2＋3)，第④个图形中有20个小矩形，20＝2＋4＋6＋8＝2×(1＋2＋3＋4)，则第○n 个图形中有2×(1＋2＋…＋n )个小矩形，故第⑥个图形中小矩形的个数为2×(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝42个，则其面积为42×3＝126 cm 2.11. A 【解析】第(1)个图形中♥的个数为3＝22－1；第(2)个图形中♥的个数为8＝32－1；第(3)个图形中♥的个数为15＝42－1；第(4)个图形中♥的个数为24＝52－1；…，于是，第(n)个图形中♥的个数为(n＋1)2－1，所以第(8)个图形中♥的个数为92－1＝80(个)，故选A.12.B 【解析】图①中含“○”的矩形有1＝2×12－1个，图②中含“○”的矩形有7＝2×22－1个，图③中含“○”的矩形有17＝2×32－1个，…，按此规律，则图○n中含“○”的矩形个数为2n2－1，所以图⑥中含“○”的矩形有2×62－1＝71个，故选B.13.C 【解析】由题意可知，摆第1个图案需要7＝1＋6枚棋子，摆第2个图案需要19＝1＋6＋6×2枚棋子，摆第3个图案需要37＝1＋6＋6×2＋6×3枚棋子，…，则摆第n个图案需要1＋6＋6×2＋6×3＋…＋6n＝3n(n＋1)＋1枚棋子，所以摆第6个图案需要：3×6×(6＋1)＋1＝127枚棋子，故选C.14.A 【解析】∵第①个图形中空心小圆圈个数为：4×1－3＋1×0＝1个；第②个图形中空心小圆圈个数为：4×2－4＋2×1＝6个；第③个图形中空心小圆圈个数为：4×3－5＋3×2＝13个；…，依此规律，第○n个图形中空心小圆圈个数为：4n－(n＋2)＋n(n－1)，∴第⑦个图形中空心小圆圈个数为：4×7－9＋7×6＝61个．15.B 【解析】∵第①个图形中菱形个数为02＋12＝1个；第②个图形中菱形个数为12＋22＝5个；第③个图形中菱形个数为22＋32＝13个；第④个图形中菱形个数为32＋42＝25个，…，依此规律第○n个图形中菱形个数为(n－1)2＋n2个，∴第⑥个图形中菱形个数为52＋62＝61个．16. D 【解析】在图①中，线段BD上共有4个点，所得三角形的个数共15个，15＝16－1＝42－1；图②中，线段BD上共5个点，所得三角形的个数共24个，24＝25－1＝52－1；图③中，线段BD上共6个点，所得三角形的个数共35个，35＝36－1＝62－1，…，由此可猜想，图○n中，线段BD上共有n＋3个点，所得三角形的个数为(n＋3)2－1，∴图⑤中三角形的个数为(5＋3)2－1＝63.17. n(n＋1) 【解析】由题图知，第1、2、3个图案对应的小正方形的个数分别为2＝1×2、6＝2×3、12＝3×4，…，∴第n个图案所对应的小正方形的个数为n(n＋1)．序号 1 2 3 4钢管数 3 9 18 30找规律3×13×3＝3×(1＋2) 3×6＝3×(1＋2＋3)3×10＝3×(1＋2＋3＋4)综上可知，第5个图形中钢管数为3×(1＋2＋3＋4＋5)＝3×15＝45个．19.90 【解析】观察可得，第1个图案：正三角形每条边上有3个花盆，共计32－3个花盆；第2个图案：正四边形每条边上有4个花盆，共计42－4个花盆；第3个图案：正五边形每条边上有5个花盆，共计52－5个花盆；…；由此可知第n个图案：正（n＋2）边形每条边上有（n＋2）个花盆，共计(n＋2)2－(n＋2)个花盆，则第8个图案中花盆的个数为(8＋2)2－(8＋2)＝90.20. 60 【解析】图①几何体的表面积为：6＝6×1；图②几何体的表面积为：18＝6×(1＋2)；图③几何体的表面积为：6×(1＋2＋3)＝36.由此规律得，图④几何体的表面积为：6×(1＋2＋3＋4)＝60.类型二探索图形循环规律针对演练1. 如图所示，两个全等的等边三角形的边长为1 m，一个微型机器人由A点开始按A→B→C →D→B→E→A的顺序沿等边三角形的边循环运动，行走2017 m停下，则这个微型机器人停在 ( )第1题图A. A点B. B点C. C点D. E点2.(xx重庆八中强化训练一)将正六边形ABCDEF的各边按如图所示延长，从射线FA开始，分别在各射线上标记点O1，O2，O3，…，按此规律，则点O xx所在射线是( )第2题图A. ABB. DEC. BCD. EF3. 下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前xx个梅花图案中，共有________个“”图案．第3题图4. 有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第xx次后，骰子朝下一面的点数是________．第4题图5.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1, 1），B（-1, 1），C（-1, -2），D（1, -2），把一根长为xx个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在矩形ABCD的边上，则细线的另一端落在________线段上第5题图答案类型二探索图形循环规律1. B 【解析】∵两个全等的等边三角形的边长为 1 m，∴机器人由A点开始按A→B→C→D→B→E→A的顺序沿等边三角形的边循环运动一圈，即为 6 m，∵xx÷6＝336……1，即正好行走了336圈多1米，到第二个点，∴行走2017 m停下，则这个微型机器人停在B点．2. C 【解析】观察图形可知12个点依次排列在射线FA、CD、AB、DE、BC、EF、CD、FA、DE、AB、EF、BC上，依此规律循环，又因xx÷12＝168，则点O xx在第12条射线BC上，故选C.3. 505 【解析】观察题图可知，“”图案方向依次向上、向右、向下、向左，每四个图案为一个循环周期．∵xx÷4＝504……1，∴前xx个梅花图案中，共有505个“”图案．4. 3 【解析】观察可知，点数3与点数4相对，点数2与点数5相对，且循环周期为4. ∵xx÷4＝503……2，∴滚动xx次后与第二次相同，∴骰子朝下一面的点数为3.5.CD【解析】∵矩形四个顶点的坐标分别为：A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－2)，D(1，－2)，∴AB＝CD＝2，BC＝AD＝3，∴矩形的周长为2＋3＋2＋3＝10，则循环一周所需的单位长度是10，∵xx÷10＝201……6，∴细线的另一端落在绕矩形第202圈的第6个单位长度的位置，即是点C与点D的中间位置，即在线段CD上．拓展类型 数式规律针对演练1. (xx 张家界)观察下列等式：71＝7，72＝42＋92＝97，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，…，那么：71＋72＋73＋…＋7xx 的末位数字是( )A. 9B. 7C. 6D. 02. (xx 丹东)观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是________．3. (xx 贵港)已知a 1＝t t －1，a 2＝11－a 1，a 3＝11－a 2，…，a n ＋1＝11－a n(n 为正整数，且t ≠0，1)，则a xx ＝________(用含有t 的代数式表示)．4. (xx 泉州)指出下列各图形中数的规律，依此，a 的值为________．第4题图5. (xx 南宁)观察下列等式：第1层 1＋2＝3第2层 4＋5＋6＝7＋8第3层 9＋10＋11＋12＝13＋14＋15 第4层 16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24…在上述数字宝塔中，从上往下数，xx 在第________层．答案拓展类型 数式规律 1. D 【解析】根据题意，7的幂的最终结果的末位数字是以7，9，3，1为循环，其和结果的末位数字是0，因为xx÷4＝504，所以71＋72＋73＋…＋7xx 的末位数字是0.2. －12211 【解析】∵－2＝－12＋11，52＝22＋12，－103＝－32＋13，174＝42＋14，－265＝－52＋15，…，∴第11个数据是：－112＋111＝－12211. 3. t 1【解析】∵a 1＝1-t t ，a 2＝111--t t ＝1－t ，a 3＝t +-111＝t 1，a 4＝t111-＝1-t t ，…，11 / 11文档可自由编辑打印 ∴每3个一次循环，∵xx ÷3＝672，∴a xx 的值为t1.4. 226 【解析】观察可得：2＝1×0＋2，10＝2×3＋4，26＝4×5＋6，50＝6×7＋8，…，可以得到规律：右下角三角形中的数字等于左下角三角形中的数字与正上方三角形中数字的积加上中间三角形中的数字，故a ＝14×15＋16＝226.5. 44 【解析】根据题中给出的式子，观察得出规律，第一层第一个数为12，第2层第一个数为22，第3层第一个数为32，…，∵442＝1936，452＝2025，且442＜xx ＜452，∴xx 位于第44层．。

题型二规律探索（复习讲义）【考点总结|典例分析】探索实数中的规律关于数式规律性问题的一般解题思路：(1)先对给出的特殊数式进行观察、比较；(2)根据观察猜想、归纳出一般规律；(3)用得到的规律去解决其他问题。

对数式进行观察的角度及方法：(1)横向观察：看等号左右两边什么不变，什么在变，以及变化的数字或式子间的关系；(2)纵向观察：将连续的几个式子上下对齐，观察上下对应位置的式子什么不变，什么在变，以及变化的数字或式子间的关系。

给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。

这类问题成为探索规律性问题。

主要采用归纳法解决。

1.数字猜想型:数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题。

2.数式规律型:数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容.3.图形规律型:多形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合.4.数形结合猜想型:数形结合猜想型问题首先要观察冬形，从中发现冬形的变化方式，再将冬形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题.1.根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q ，则p 的值为（）A．100B．121C．144D．1692．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为123,0,2,1,1,0P A A ， 32,1A ，则顶点100A 的坐标为（）A ． 31.34B ． 31,34C ． 32,35D ．32,03.将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．20194.将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．125.如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．148B．152C．174D．2026.已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a ，3211a a ，4311a a ，5411a a ，……，111n n a a ．按上述方法计算：当13a 时，2021a 的值等于（）A．23 B．13C．12 D．237．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为6.人们把12 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设12a ，12b ，则1ab ，记11111S a b ，2221111S a b ，…，1010101111S a b ．则1210S S S ____．9.观察下列等式：1311212x；2711623x ；313111234x ；……根据以上规律，计算12320202021x x x x ______．10.观察以下等式：第1个等式： 22221122122 ，第2个等式： 22222134134 ，第3个等式： 22223146146 ，第4个等式： 22224158158 ，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明．11.正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，2468101214161820……则第27行的第21个数是______．13．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，13:3l y x 上，顶点B 在x 轴上，2BC l ；过点A 作直线2l 的垂线，A A C 14.观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n 的值为____________．16.“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．17.人们把10.6182这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a b 11111S a b ，2222211S a b ，…，10010010010010011S a b ，则12100S S S _______．19．（2023·湖南怀化·统考中考真题）在平面直角坐标系中，坐标为 1,0．把AOB 按如图所示的方式放置，并将绕着原点O 顺时针旋转60 ，同时边长扩大为将11AOB △绕着原点O 顺时针旋转22A OB △，…．依次类推，得到2033A 坐标为．20.观察下面的等式：111236 ，1113412 ，1114520，……(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．。