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第一章 练 习 一、填空题：（1）设A 、B 为随机事件，P （A ）＝0.7，P （A －B ）＝0.3，则P （A B ）＝ 0.6 。
P （A —B ）=P （A ）—P （AB ）⇒P （AB ）=0.4P （A +B ）=1—P （AB ）=0.6（2）设A 、B 为随机事件，P （A ）＝0.92，P （B ）＝0.93，P （B/A ）＝0.85，则P （A/B ）=_ 0.829___，P （A B ）=_ 0.988____。
见课本习题—20题（3）设事件A 、B 相互独立，已知P （A ）＝0.5，P （A B ）＝0.8，则P(A B )= 0.2 , P （A B ）＝ 0.7 。
P （A+B ）=P （A ）+P （B ）—P （AB ）=0.8⇒P （B ）=0.6，P （B ）=0.4 P （AB ）=P （A ）—P （A B ）=0.5—0.2=0.3 P （A B ）=P （A ）P （B ）=0.5⨯0.4=0.2（4）袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，今两人依次随机地从中各取一球，则第二个人取得黄球的概率是 0.4 。
5020⨯4919+5030⨯4920=0.4（5）设两个独立事件A 、B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则P （A ）＝ 2/3 。
P （A B ）=9191=⇒（）（B P A P P （A B ）=P （A B ））（）（）（）（B P A P B P A P =⇒ ）（（）（）（）（）（A P B P B A P A P B A P B P =⇒-=-（6）一射手对同一目标独立地进行4次射击，若至少命中一次的概率是80/81，则该射手的命中率为 2/3 。
P ：不中的概率1—P =48180⇒P 4=811⇒P=31⇒1—P=32(7) 袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地取出4球，其中“恰好2个黑球，2个白球”的概率为： 3/7 、(8) 事件A、B、C 中至少有两个不发生，可用运算符号表示为：A C CB B A ++ ；而运算符号C B A -+)(则表示事件 A或B至少一个发生而C不发生 。
概率与数理统计期末复习题一一、填空题1．设随机变量X的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,31)(31xxexfx，则数学期=+-)(XeXE。
2．设随机变量X，Y相互独立，且服从正态分布N（-1，1），则Z=2X-Y的概率密度。
3．进行三次独立试验，在每次试验中事件A出现的概率相等，已知A至少出现一次的概率等于6437，则事件A在一次试验中出现的概率P(A)= .4.设X,Y是随机变量,D(X)=9,D(Y)=16,相关系数21=XYρ,则D(X+Y)= .5. 口袋中装有2个白球,3个红球,从中随机地一次取出3个球，则取出的3个球中至多有2个红球的概率为 .6. 已知随机变量X服从参数为λ的泊松分布,且21}0{==XP,=<}2{XP.二、已知随机变量X的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他,01,2)(xxxf.求Y= 3lnX的分布函数.三、玻璃杯成箱出售,每箱装有10只玻璃杯.假设各箱含0只,1只和2只次品的概率分别为0.9,0.06,0.04.一顾客要买一箱玻璃杯,售货员随意取出一箱,顾客开箱随机取出3只,若这3只都不是次品,则买下该箱杯子,否则退回.求(1)该顾客买下该箱玻璃杯的概率;(2)在顾客已买下的一箱中,确实没有次品的概率.四、设随机变量(X,Y)的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤≤≤=其他,0660,1,31),(xyxyxf,求 ( 1)边缘密度)(),(yfxfYX; (2)协方差cov(X,Y),并问X 与Y 是否不相关?五、已知一批产品的某一数量指标X服从正态分布)6.0,(2μN,问样本容量n为多少,才能使样本均值与总体均值的差的绝对值小于0.1的概率达到0.95. [96.1)975.0(Φ=，6456.1)95.0(Φ=，29.1)90.0(Φ=]。
六、使用归工艺生产的机械零件,从中抽查25个,测量其直径,计算得直径的样本方差为6.27.现改用新工艺生产, 从中抽查25个零件,测量其直径,计算得直径的样本方差为 4.40. 设两种工艺条件下生产的零件直径都服从正态分布,问新工艺生产的零件直径的方差是否比旧工艺生产的零件直径的方差显著地小(05.0=α)?七、设总体X的的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=--其它,010,11);(12xxxfθθθθ其中1>θ,是未知参数,),,,(21nxxx是总体X的样本观察值.求(1)θ的矩估计量;(2) θ的极大似然估计量Lθ,并问Lθ是θ的无偏估计吗?八、设随机向量(X,Y)的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,1,8);(yxyxyyxf求 (1)条件概率密度)|(yxfX;(2) Z=X+Y的概率密度.;概率与数理统计期末复习题二一、一、选择题1.设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为X 1 2 Y 1 21/3 2/3 1/3 2/3则下列命题正确的是。
一 、随机事件及其概率二 、事件的概率三 、条件概率与事件的独立性一、填空题1. 设5.0)(=A P ，2.0)(=B A P ，则=)(A B P __________.2. 设事件A 与B 相互独立，事件B 与C 互不相容，事件A 与C 互不相容，且2.0)(5.0)()(===C P B P A P ，，则事件A 、B 、C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为___________.3. 甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为___________.4. 设8.0)(,6.0)(5.0)(===A B P B P A P ，，则B A ,至少发生一个的概率为_________.5. 设B A ，为两个随机事件，且0)(>B P ，则由乘法公式知=)(B A P __________.6. 某柜台有4个服务员 ，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概率为 41，则4人中至多1人需用台秤的概率为_______________. 7. 从1，2，…，10共十个数字中任取一个 ，然后放回 ，先后取出5个数字 ，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于 ___________.8. 设A ，B ，C 是随机事件，81)(0)()(41)()()(======AC P BC P AB P C P B P A P ，，， 则A ，B ，C 三个事件恰好出现一个的概率为__________.9. 甲、乙二人独立地向同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲命中的概率是__________.10. 4.0)(=A P ，3.0)(=B P ，4.0)(=B A P ，则___________)(=B A P .11. 设B A ，是随机事件，()7.0=A P ，()3.0=-B A P ，则()=AB P __________.12. 设B A ，为随机事件，且8.0)(,6.0)(5.0)(===A B P B P A P ，，则=)(B A P __________.13. 某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率14. 设B A ，为随机事件，且 4.0)(=A P ，3.0)(=B P ，6.0)(=B A P ， 则=)(B A P __________.15. 设B A ，为随机事件，且 7.0)(=A P ，3.0)(=-B A P ，，则=)(B A P __________.16. 四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为，，，，61314151则密码能被译出的概率是__________.17. 设B A ，为随机事件，且 6.0)(=A P ，)()(B A P AB P =，则=)(B P _________.18. 设B A ，为随机事件，且 4.0)(=A P ，3.0)(=B P ，6.0)(=B A P ， 则=)(B A P __________.19. 设B A ，为两个随机事件，7.0)(5.0)(4.0)(===B A P B P A P ，，，则=)(B A P __________.20. 在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为6437，则每次射击击中目标的 概率为__________.21. 一袋中有2个黑球和若干个白球，现有放回地摸球4次，若至少摸到一个白球的概率是8180，则袋中白球的个数是__________. 22. 事件B A 、互斥且B A =，则)(A P =__________.23. 已知25.0)()()(===C P B P A P ，15.0)()(0)(===BC P AB P AC P ，，则C B A 、、中至少有一个发生的概率为 __________.24. 设某试验成功的概率为0.5，现独立地进行该试验3次，则至少有一次成功的概率为__________.25. 把9本书任意地放在书架上，其中指定3本书放在一起的概率为__________.26. 已知2.0)(6.0)(5.0)(===B A P B P A P ，，，则)(AB P ＝__________.27. 设B A ，为随机事件，且8.0)(6.0)(5.0)(===A B P B P A P ，，，则=)(B A P __________.28. 某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率__________. 29. 已知6.0)(=A P ，8.0)(=B P ，则)(AB P 的最大值为__________.二、选择题（3分）10题1. 设C B A ，，为三个事件，且B A ，相互独立，则以下结论中不正确的是（ ）A. 若1)(=C P ，则AC 与BC 也独立.B. 若1)(=C P ，则C A 与B 也独立.C. 若0)(=C P ，则C A 与B 也独立.D. 若B C ⊂，则A 与C 也独立.2. 设C B A ，，为三个事件，0)(>AB P 且1)(=AB C P ，则有（ ）A. 1)()()(-+≤B P A P C PB. )()(B A P C P ≤C. 1)()()(-+≥B P A P C PD. )()(B A P C P ≥3. C B A ，，是任意事件，在下列各式中，不成立的是（ ）A. B A B B A =-)(.B. B A B A =-)( .C. B A B A AB B A =-)(.D. )()()(C B C A C B A --= . 4. 打靶 3 发，事件 i A 表示“击中 i 发” ， 3210，，，=i . 那么事 件 321A A A A =表示（ ）A. 全部击中B. 至少有一发击中C. 必然击中D. 击中3发5. 设1)()(1)(01)(0=+<<<<B A P B A P B P A P ，，，则下列结论成立的是（ ） A. 事件A 和B 互不相容B. 事件A 和B 互相对立C. 事件A 和B 互不独立D. 事件A 和B 互相独立6. 当事件A 与事件B 同时发生时，事件C 必发生，则（ ）A. 1)()()(-+≤B P A P C PB. 1)()()(-+≥B P A P C PC. )()(AB P C P =D. )()()(B P A P AB P =7. 设B A 、互不相容，且0)(0)(>>B P A P ，，则必有（ ） A. 0)(>A B P B. )()(A P B A P = C. 0)(=B A P D. )()()(B P A P AB P =8. 某人花钱买了C B A 、、三种不同的奖券各一张.已知各种奖券中奖是相互独立的，中奖的概率分别为，，，02.0)(01.0)(03.0)(===C P B P A P 如果只要有一种奖券中奖此人就一定赚钱，则此人赚钱的概率约为（ ）A. 0.05B. 0.06C. 0.07D. 0.089. 一盒产品中有a 只正品，b 只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为（ ） A. 11-+-b a a B. )1)(()1(-++-b a b a a a C. b a a + D. 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a a10. 设事件A 与B 互不相容，且0)(0)(≠≠B P A P ，，则下面结论正确的是（ ） A. A 与B 互不相容 B. 0)(>A B PC. )()()(B P A P AB P =D. )()(A P B A P =三、计算题（6-10分，以6分为主）20题1. 设C B A 、、是Ω中的随机事件，将下列事件用C B A 、、表示出来（1）仅A 发生，C B 、都不发生；（2）C B A 、、中至少有两个发生；（3）C B A 、、中不多于两个发生.2. 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.3. 装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的也是一等品的概率.4. 一年有12个月，假设有365天。
第二部分课后习题第1章概率论的基本概念1．写出下列随机试验的样本空间S：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果；（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标．解：（1）以n表示该班的学生数，总成绩的可能取值为0，1，2，3，…，100n，试验的样本空间为（2）设在生产第10件正品前共生产了k件不合格品，样本空间为或写成（3）采用0表示检查到一件次品，以1表示检查到一件正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为（4）取一直角坐标系，则有，若取极坐标系，则有2．设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：（1）A发生，B与C不发生；（2）A与B都发生，而C不发生；（3）A，B，C中至少有一个发生；（4）A，B，C都发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C中不多于一个发生；（7）A，B，C中不多于两个发生；（8）A，B，C中至少有两个发生．解：以下分别用表示（1），（2），…，（8）中所给出的事件．一个事件不发生即为它的对立事件发生，例如事件A不发生即为发生．（1）A发生，B与C不发生，表示A，，同时发生，故或写成；（2）A与B都发生而C不发生，表示A，B，同时发生，故或写成；（3）①方法1由和事件的含义知，事件即表示A，B，C中至少有一个发生，故；②方法2事件“A，B，C至少有一个发生”是事件“A，B，C都不发生”的对立事件，因此，；③方法3事件“A，B，C中至少有一个发生”表示三个事件中恰有一个发生或恰有两个发生或三个事件都发生，因此，又可写成（4）；（5）；（6）“A，B，C中不多于一个发生”表示A，B，C都不发生或A，B，C中恰有一个发生，因此，；又“A，B，C中不多于一个发生”表示“A，B，C中至少有两个不发生”，亦即，，中至少有一个发生，因此又有；又“A，B，C中不多于一个发生”是事件G＝“A，B，C中至少有两个发生”的对立事件．而事件G可写成，因此又可将写成（7）“A，B，C中不多于两个发生”表示A，B，C都不发生或A，B，C中恰有一个发生或A，B，C中恰有两个发生．因此又“A，B，C中不多于两个发生”表示A，B，C中至少有一个不发生，亦即中至少有一个发生，即有；又“A，B，C中不多于两个发生”是事件“A，B，C三个都发生”的对立事件，因此又有；（8），也可写成．3．（1）设A，B，C是三个事件，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝，P（AB）＝P（BC）＝0，P（AC）＝，求A，B，C至少有一个发生的概率．（2）已知P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，P（AB）＝，P（AC）＝，P（BC）＝，P（ABC）＝，求，，，，，的概率．（3）已知P（A）＝，（i）若A，B互不相容，求；（ii）若P（AB）＝，求．解：（1）由，已知，故，得，所求概率为．（2）记，由加法公式（3）（i）；（ii）．4．设A、B是两个事件（1）已知，验证A＝B；（2）验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为P（A）＋P（B）－2P（AB）．解：（1）假设，故有，则,即AS＝SB，故有A＝B．（2）A，B恰好有一个发生的事件为，其概率为5．10片药片中有5片是安慰剂（1）从中任意抽取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率；（2）从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率．解：（1）p＝1－P（取到的5片药片均不是安慰剂）－P（取到的5片药片中只有1片是安慰剂），即p（2）．6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码．（1）求最小号码为5的概率；（2）求最大号码为5的概率．解：在房间里任选3人，记录其佩戴的纪念章的号码，10人中任选3人共有＝种选法，此即为样本点的总数．以A记事件“最小的号码为5”，以B记事件“最大的号码为5”．（1）因选到的最小号码为5，则其中一个号码为5且其余两个号码都大于5，它们可从6～10这5个数中选取，故，从而；（2）同理，，故．7．某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客．问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？解：以S表示：在17桶油漆中任取9桶给顾客．以A表示事件“顾客取到4桶白漆、。
习题一1．写出下列随机试验的样本空间S . ⑴一枚硬币掷两次,观察朝上一面的图案. ⑵向蓝筐投球直到投中为止,记录投篮的总次数.. ⑶公交车五分钟一辆,随机到车站候车,记录候车时间..解⑴{}1S =正正，正反，反正，反反;⑵样本空间为{}21,2,3,...S =； ⑶样本空间为{}305S t t =≤≤.2.设,,A B C 表示三个事件,试用,,A B C 表示下列事件. ⑴A 与B 都发生,而C 不发生; ⑵,,A B C 至少有一个发生; ⑶,,A B C 都发生; ⑷,,A B C 都不发生; ⑸,,A B C 不都发生; ⑹,,A B C 至少有两个发生; ⑺,,A B C 中最多有一个发生.解⑴ABC ;⑵A B C ⋃⋃;⑶ABC ;⑷ABC ;⑸ABC ;⑹AB BC CA ⋃⋃; ⑺AB BC CA ⋃⋃或AB BC CA ⋃⋃.3.设,,A B C 是三个事件,计算下列各题. ⑴若()0.4,()0.25,()0.25,P A P B P A B ==-=求B 发生,但A 不发生的概率.⑵若()0.2,()0.6,P A B P B -==,求,A B 都不发生的概率.⑶若()0.7,()0.3,P A B P B ⋃==,求A 发生,但B 不发生的概率. ⑷若()()()0.25,()()0,()0.125P A P B P C P AB P BC P AC ======,求,,A B C至少有一个发生的概率;,,A B C都不发生的概率;C 发生,,A B 都不发生的概率.⑸若111(),(|),(|),432P A P B A P A B ===求,A B 至少发生一个的概率. ⑹若()0.2,(|)0.5,(|)0.6,P AB P B A P B A ===分别求事件,A B 的概率. 解⑴()()()()0.15,P A B P A P AB P AB -=-⇒=B 发生,但A 不发生的概率：()()()0.1P BA P B P AB =-=;⑵()1()()0.2P AB P B P A B =-+-=; ⑶()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-，A 发生,但B 不发生的概率：()0.4P A B -=；⑷()0()0P AB P ABC =⇒=，,,A B C 至少有一个发生的概率：()()()()()()()()0.625P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ⋃⋃=++---+=；,,A B C 都不发生的概率：()1()0.375P ABC P A B C =-⋃⋃=；C 发生,,A B 都不发生的概率：()()()()()()()0.125P CAB P C P AC BC P C P AC P BC P ABC =-⋃=--+=;⑸()1(|)(),()12P AB P B A P AB P A =⇒= ,A B 至少发生一个的概率：1()()()()3P A B P A P B P AB ⋃=+-=; ⑹()()(|)()0.4,()P A P AB P B A P A P A -=⇒=,4.从0,1,2,…,9这十个数字中任意选出三个不同的数字,试求下列事件的概率.⑴三个数字中不含0和5; ⑵三个数字中不含0或5; ⑶三个数字中含0但不含5.解设事件,A B 分别表示三个数字中不含0和5，则⑴三个数字中不含0和5的概率：383107()15C P AB C ==；⑵三个数字中不含0或的概率：33399831014()()()()15C C C P A B P A P B P AB C +-⋃=+-==;⑶三个数字中含0但不含5的概率：33983107()()()30C C P AB P B P AB C -=-==. 5.把3个球随机地放入4个杯子中,求有球最多的杯子中球数是1,2,3的概率各是多少.解设事件,,A B C 分别表示有球最多的杯子中球数是1,2,3，则有球最多的杯子中球数是1的概率是：3433()48A P A ==；有球最多的杯子中球数是3的概率是：341()416P C ==；有球最多的杯子中球数是2的概率是：9()1()()16P B P A P C =--=.6.12个球中有4个是白色,8个是红色.现从这12个球中随机地取出两个,求下列事件的概率.⑴取到两个白球; ⑵取到两个红球;⑶取到一个白球,一个红球.解⑴取到两个白球的概率：242121()11C P A C ==；⑵取到两个红球的概率：2821214()33C P B C ==；⑶取到一个白球,一个红球的概率：114821216()33C CP C C ==。
习 题 一1．写出下列随机试验的样本空间S . ⑴一枚硬币掷两次,观察朝上一面的图案. ⑵向蓝筐投球直到投中为止,记录投篮的总次数.. ⑶公交车五分钟一辆,随机到车站候车,记录候车时间..解 ⑴{}1S =正正，正反，反正，反反;⑵样本空间为{}21,2,3,...S = ； ⑶样本空间为{}305S t t =≤≤.2. 设,,A B C 表示三个事件,试用,,A B C 表示下列事件. ⑴A 与B 都发生,而C 不发生; ⑵,,A B C 至少有一个发生; ⑶,,A B C 都发生; ⑷,,A B C 都不发生; ⑸,,A B C 不都发生; ⑹,,A B C 至少有两个发生; ⑺,,A B C 中最多有一个发生.解 ⑴ABC ;⑵A B C ⋃⋃;⑶ABC ;⑷ABC ;⑸ABC ;⑹AB BC CA ⋃⋃; ⑺AB BC CA ⋃⋃或AB BC CA ⋃⋃.3.设,,A B C 是三个事件,计算下列各题.⑴若()0.4,()0.25,()0.25,P A P B P A B ==-=求B 发生,但A 不发生的概率. ⑵若()0.2,()0.6,P A B P B -==,求,A B 都不发生的概率. ⑶若()0.7,()0.3,P A B P B ⋃==,求A 发生,但B 不发生的概率.⑷若()()()0.25,()()0,()0.125P A P B P C P AB P BC P AC ======,求,,A B C 至少有一个发生的概率;,,A B C 都不发生的概率; C 发生, ,A B 都不发生的概率.⑸若111(),(|),(|),432P A P B A P A B ===求,A B 至少发生一个的概率. ⑹若()0.2,(|)0.5,(|)0.6,P AB P B A P B A ===分别求事件,A B 的概率. 解 ⑴ ()()()()0.15,P A B P A P AB P AB -=-⇒=B 发生,但A 不发生的概率：()()()0.1P BA P B P AB =-=;⑵()1()()0.2P AB P B P A B =-+-=;⑶()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-，A 发生,但B 不发生的概率：()0.4P A B -=； ⑷()0()0P AB P ABC =⇒=，,,A B C 至少有一个发生的概率：()()()()()()()()0.625P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ⋃⋃=++---+=； ,,A B C 都不发生的概率：()1()0.375P ABC P A B C =-⋃⋃=； C 发生, ,A B 都不发生的概率：()()()()()()()0.125P CAB P C P AC BC P C P AC P BC P ABC =-⋃=--+=;⑸()1(|)(),()12P AB P B A P AB P A =⇒= ()1(|)(),()6P AB P A B P B P B =⇒= ,A B 至少发生一个的概率：1()()()()3P A B P A P B P AB ⋃=+-=; ⑹()()(|)()0.4,()P A P AB P B A P A P A -=⇒=,()()(|)()0.56.1()P B P AB P B A P B P A -=⇒=-4.从0,1,2,…,9这十个数字中任意选出三个不同的数字,试求下列事件的概率. ⑴三个数字中不含0和5; ⑵三个数字中不含0或5; ⑶三个数字中含0但不含5.解 设事件,A B 分别表示三个数字中不含0和5，则⑴三个数字中不含0和5的概率：383107()15C P AB C ==；⑵三个数字中不含0或的概率：33399831014()()()()15C C C P A B P A P B P AB C +-⋃=+-==; ⑶三个数字中含0但不含5的概率：33983107()()()30C C P AB P B P AB C -=-==. 5.把3个球随机地放入4个杯子中,求有球最多的杯子中球数是1,2,3的概率各是多少. 解 设事件,,A B C 分别表示有球最多的杯子中球数是1,2,3，则有球最多的杯子中球数是1的概率是：3433()48A P A ==；有球最多的杯子中球数是3的概率是：341()416P C ==；有球最多的杯子中球数是2的概率是：9()1()()16P B P A P C =--=. 6.12个球中有4个是白色,8个是红色.现从这12个球中随机地取出两个,求下列事件的概率.⑴取到两个白球; ⑵取到两个红球;⑶取到一个白球, 一个红球.解 ⑴取到两个白球的概率：242121()11C P A C ==；⑵取到两个红球的概率：2821214()33C P B C ==；⑶取到一个白球, 一个红球的概率：114821216()33C C P C C ==。
