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E (X )=∑∑x i p i jijxxn+∞ n n−λλkP (X = k ) = e ， (k = 0,1,...)k !(a ≤ x ≤ b )1b − af (x ) =概率论与数理统计公式总结F (x ) = P (X ≤ x ) = ∑P (X = k )k ≤x分布函数 对离散型随机变量F ' (x ) = f (x )第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当 A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B)对连续型随机变量F (x ) = P (X ≤ x ) =∫−∞f (t )dt条件概率公式分布函数与密度函数的重要关系：P (A | B ) =P (AB )P (B )F (x ) = P (X ≤ x ) =∫−∞f (t )dt概率的乘法公式P (AB ) = P (B )P (A | B )= P (A )P (B | A )二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法全概率公式：从原因计算结果P (A ) = ∑ P (B k )P (A | B k )k =1联合密度函数联合分布函数f (x , y ) ≥ 0f (x , y ) F (x , y )+∞ +∞Bayes 公式：从结果找原因∫−∞ ∫−∞f (x , y )dx dy = 1 0 ≤ F (x , y ) ≤ 1P (B k| A ) = P (B i )P (A | B i ) ∑P (B )P (A | B )F (x , y ) = P {X ≤ x ,Y ≤ y }f (x ) = ∫ f (x , y )d y 联合密度与边缘密度第二章kkk =1Xf Y (y ) = −∞+∞−∞f (x , y )dx二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)P (X =k )=C k p k (1−p)n −k，(k =0,1,...n , ) 泊松分布——X~P(λ)概率密度函数离散型随机变量的独立性P {X = i ,Y = j } = P {X = i }P {Y = j }连续型随机变量的独立性f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) 第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义怎样计算概率P (a ≤ X ≤ b )b连续型随机变量，数学期望定义� E(a)=a ，其中 a 为常数P (a ≤ X ≤ b ) = ∫af (x )d x均匀分布 X~U(a,b)指数分布 X~Exp (θ)• E(a+bX)=a+bE(X)，其中 a 、b 为常数 � E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量随机变量 g(X)的数学期望常用公式+∞∫−∞ f (x )dx = 1+∞E (X ) = ∑x k ⋅P kk =−∞+∞E (X ) = ∫−∞x ⋅ f (x )dxE (g (X )) = ∑ g (x k ) p kk∫Y / nD (X +Y ) = D (X ) + D (Y ) + 2E {(X − E (X ))(Y − E (Y ))} X ~ N (µ,σ2 )i σ 12 σ E (X Y ) = ∑∑x i y j p i jij2σ22−(x −µ) e 12πσf (x ) =不相关不一定独立第四章 正态分布E (X ) = µ,D (X ) = σ2方 差 定义式常用计算式常用公式当 X 、Y 相互独立时：标准正态分布的概率计算 标准正态分布的概率计算公式P (Z ≤ a ) = P (Z < a ) = Φ(a )P (Z ≥ a ) = P (Z > a ) = 1− Φ(a )P (a ≤ Z ≤ b ) = Φ(b ) − Φ(a )P (−a ≤ Z ≤ a ) = Φ(a ) − Φ(−a ) = 2Φ(a ) −1一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式 P (X ≤ a ) = P (X < a ) = Φ(a − µσ ) a − µ方差的性质P (X ≥ a ) = P (X > a ) = 1− Φ( σ)D(a)=0，其中 a 为常数P (a ≤ X ≤ b ) = Φ(b − µ− Φ(a − µD(a+bX)=b2D(X)，其中 a 、b 为常数当 X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数E {[X − E (X )][Y − E (Y )]}= E (XY ) − E (X )E (Y )第 五 章卡方分布σ ) σ)n若X ~ N (0,1)，则∑ X 2 ~ χ2(n )i =121n2 2协方差的性质若Y ~ N (µ,σ ),t 分布则 2 ∑(Y i− µ) i =1 ~ χ (n )若X ~ N (0,1), Y ~ χ2(n ),则X ~ t (n )独立与相关独立必定不相关 Cov (aX ,bY ) = abCov (X ,Y )若U ~ χ2 (n ), F 分布正态总体条件下 样本均值的分布：V ~ χ2(n ),则U / n 1 V / n 2~ F (n 1,n 2 )相关必定不独立2X ~ N (µ,)nX − µ~ N (0,1)σ/ n 2− E (X )) ⋅ f (x )dx x +∞−∞∫ D (X ) =( E (XY ) = ∫ ∫ xyf (x , y )dxdy σX ~ N (µ,σ2 ) ⇔ Z = X − µ~ N (0,1)D (X )D (Y )XY ρ =C ov (X ,Y )Cov (X +Y , Z ) = Cov (X , Z ) + Cov (Y , Z )C ov (X , X ) = E (X 2 ) − (E (X ))2 =D (X )Cov (X ,Y ) = E (XY ) − E (X )E (Y )D (X +Y ) = D (X ) + D (Y )D (X ) =E (X 2 ) − [E (X )]2当X 与Y 独立时,E (XY ) = E (X )E (Y )Φ(a ) = 1− Φ(−a ) E (X +Y ) = E (X ) + E (Y )E (X ) = ∫ ∫ xf (x , y )dxdyn ⎠ n ⎠ n ⎠σ2 1 + 2 n 1 n 2 σ2 σ / n(x 1 − x 2 )± z α/ 2 2 2 ⎜ χ χ ⎛ ⎜ ⎟12x ± z样本方差的分布：正态总体方差的区间估计 两个正态总体均值差的置信区间(n −1)S 2 ~ χ2 (n −1) X − µ~ t (n −1) 大样本或正态小样本且方差已知σ2两个正态总体的方差之比⎛⎜ ⎜ ⎝S 2 / S 2两个正态总体方差比的置信区间1 2~ F (n 1 −1,σ2 /σ2n 2 −1)2 / S 2 , 2 / S 2⎞ ⎝ F α/ 2 (n 1 −1,n 2 −1) F α/ 2 (n 1 −1,n 2 −1) ⎠第六章点估计：参数的估计值为一个常数矩估计 最大似然估计n似然函数第七章假设检验的步骤1 根据具体问题提出原假设 H0 和备择假设 H12 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值3 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则L = Π i =1f (x i ;θ)L = Π i =1p (x i ;θ)拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。
概率论与数理统计公式1.概率公式：
1.1概率加法公式：
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
1.2条件概率公式：
P(A，B)=P(A∩B)/P(B)
P(B，A)=P(A∩B)/P(A)
1.3乘法公式：
P(A∩B)=P(A)*P(B，A)
P(A∩B)=P(B)*P(A，B)
1.4全概率公式：
P(A)=ΣP(A，B_i)*P(B_i)
1.5贝叶斯公式：
P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)
2.数理统计中的基本概念和公式：
2.1样本均值：
样本均值 = (x1 + x2 + ... + xn) / n
2.2总体均值：
总体均值=(样本均值*n-x)/(n-1)
2.3样本方差：
样本方差 = Σ(xi - x̄)² / (n-1)
2.4总体方差：
总体方差= Σ(xi - µ)² / N
2.5样本标准差：
样本标准差=√(样本方差)
2.6总体标准差：
总体标准差=√(总体方差)
2.7样本中位数：
样本中位数=(x[n/2]+x[(n+1)/2])/2（当n为偶数时）
2.8样本四分位数：
样本四分位数Q1=x[(n+3)/4]
样本四分位数Q3=x[(3n+1)/4]
2.9标准正态分布的累积分布函数的逆函数：
Zα=Φ^(-1)(α)，其中Φ(z)表示标准正态分布的累积分布函数。
2.10卡方分布的累积分布函数的逆函数：
x^2α=χ^2^(-1)(α)，其中χ^2(x)表示卡方分布的累积分布函数。
第1章随机事件及其概率
我们作了n 次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果，A 发生或A 不发生； n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样；
每次试验是独立的，即每次试验A 发生与否与其他次试验A 发生与
否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为n
重伯努利试验。
用p 表示每次试验A 发生的概率，则A 发生的概率为q p =-1，用)(k P n 表示n 重伯努利试验中A 出现)0(n k k ≤≤次的概率，
k
n k k
n n q p k P C -=)(，n k ,,2,1,0 =。
第二章 随机变量及其分布
第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
第五章大数定律和中心极限定理
第六章样本及抽样分布
第七章参数估计
第八章假设检验
单正态总体均值和方差的假设检验。
概率论与数理统计
第一章随机事件及其概率 (2)
第二章随机变量及其分布 (5)
第三章二维随机变量及其分布 (9)
第四章随机变量的数字特征 (15)
第五章大数定律和中心极限定理 (19)
第六章样本及抽样分布 (21)
第七章参数估计 (23)
第八章假设检验 (27)
第一章随机事件及其概率
第二章随机变量及其分布
第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
第五章大数定律和中心极限定理
第六章样本及抽样分布
第七章参数估计
第八章假设检验
单正态总体均值和方差的假设检验。
