2020年江西省景德镇市高考数学一模试卷(文科)

试卷第1页，总19页 2020年江西省景德镇市高考数学一模试卷（文科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合𝐴＝{𝑥|0

A.(−∞, 4) B.(1, 4) C.(1, 2) D.(1, 2]

2. 已知𝑖为虚数单位，若21+𝑖=𝑎+𝑏𝑖(𝑎,𝑏∈𝑅)，则𝑎2019+𝑏2020＝（ ）

A.0 B.1 C.2 D.3

3. 某工厂周到周六轮流由甲、乙、丙3人值班，每人值两天，3人通过抽签决定每个人在哪两天值班，若乙恰好本周六需要出差，则乙需要与他人换班的概率为（ ）

A.16 B.13 C.12 D.23

4. 已知cos𝛼=513，𝛼∈(𝜋, 2𝜋)，则cos(𝛼+𝜋6)=( )

A.5+12√326 B.5−12√326 C.12+5√326 D.5√3−1226

5. 设𝑚，𝑛表示不同直线，𝛼，𝛽，𝛾表示不同平面，下列叙述正确的是（ ）

A.若𝑚 // 𝛼，𝑚 // 𝑛，则𝑛 // 𝛼

B.若𝑚 // 𝑛，𝑚⊂𝛼，𝑛⊂𝛽，则𝛼 // 𝛽

C.若𝛼⊥𝛾，𝛽⊥𝛾，则𝛼 // 𝛽

D.若𝑚⊥𝛼，𝑛⊥𝛼，则𝑚 // 𝑛

6. 若变量𝑥，𝑦满足约束条件{2𝑥−𝑦≤0𝑥+𝑦−3≤0𝑥≥0 ，则(𝑥−1)2+𝑦2的最小值为（ ）

A.1 B.45 C.2√55 D.√55

7. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（ ）

（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）

A.2 B.3 C.4 D.5

8. 已知𝑎，𝑏∈(0, +∞)，且不等式𝑎+𝑏≤𝑚2−2𝑚+6对任意𝑚∈[2, 3]恒成立，则√𝑎+1+√𝑏+1的最大值为（ ）

A.2 B.2√2 C.4 D.4√2

9. 圆𝐶:𝑥2+𝑦2−5𝑦−114=0上有且仅有三点到双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线渐近线方程为（ ）

A.4𝑥±3𝑦＝0 B.3𝑥±4𝑦＝0

C.9𝑥±16𝑦＝0 D.16𝑥±9𝑦＝0

试卷第2页，总19页 10. 若某正三棱柱各棱长均为2，则该棱柱的外接球表面积为（ ）

A.8𝜋 B.16𝜋 C.16𝜋3 D.28𝜋3

11. 已知𝐹1，𝐹2分别为椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左右焦点，𝑃为椭圆上的点，𝑂为坐标原点，且𝑃𝐹1→⋅𝑃𝐹2→=0，|𝑃𝐹1→|=3|𝑃𝐹2→|，则该椭圆的离心率为（ ）

A.√105 B.√104 C.√103 D.√102

12. 设函数𝑓(𝑥)=𝑎2−𝑎sin𝑥+1𝑎2−𝑎cos𝑥+1(𝑎≠0)的最大值为𝑀(𝑎)，最小值为𝑚(𝑎)，则（ ）

A.存在实数𝑎，使𝑀(𝑎)+𝑚(𝑎)＝2.5

B.存在实数𝑎，使𝑀(𝑎)+𝑚(𝑎)＝−2.5

C.对任意实数𝑎，有𝑀(𝑎)+𝑚(𝑎)≥3

D.对任意实数𝑎，有𝑀(𝑎)+𝑚(𝑎)＝2

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

已知函数𝑓(𝑥)＝𝑥3−𝑝𝑥2−𝑞𝑥的图象与𝑥轴切于(1, 0)点，则𝑓(𝑥)的极大值为________427 ．

△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，且𝐴，𝐵，𝐶成等差数列，若𝑏=√3，𝑐＝1，则△𝐴𝐵𝐶的面积为________．

如图所示，在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=√5，𝐴𝐶=2𝐵𝐷，点𝐸为𝐶𝐷的中点，则𝐴𝐶→⋅𝐴𝐸→=________.

已知函数𝑓(𝑥)=𝑥−23+0.5𝑥4+𝑥2，则不等式𝑓(log3𝑥)≥52−𝑓(log13𝑥)的解集为________．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题，共60分

数列{𝑎𝑛}满足：𝑎1+𝑎2+𝑎3+⋯+𝑎𝑛=12(3𝑛−1)．

（1）求{𝑎𝑛}的通项公式；

（2）若数列{𝑏𝑛}满足𝑎𝑛=3𝑎𝑛𝑏𝑛，求{𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛．

试卷第3页，总19页 如图所示，在四棱锥𝐴−𝐵𝐶𝐷𝐸中，△𝐴𝐵𝐸是正三角形，四边形𝐵𝐶𝐷𝐸为直角梯形，点𝑀为𝐶𝐷中点，且𝐵𝐶 // 𝐷𝐸，𝐵𝐶⊥𝐵𝐸，𝐴𝐵＝𝐵𝐶＝2，𝐷𝐸＝4，𝐴𝑀=2√3．

（1）求证：平面𝐴𝐵𝐸⊥平面𝐵𝐶𝐷𝐸；

（2）求点𝑀到平面𝐴𝐷𝐸的距离．

2019年1月1日，“学习强国”学习平台在全国上线，“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，某企业为响应国家号召，组织员工参与学习、答题，答题环节包括“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”和“挑战答题”．

（1）现统计有200名员工参与了今日的“每日答题”获得积分情况，如表所示：

获得积分 1 2 3 4 5 6

员工人数 6 36 8 20 87 43

求这200名员工的平均积分；

（2）为鼓励大家踊跃参与答题，企业高层决定对每日获得积分超过20分以上者进行现金奖励．对比这一决策实行前后员工得分情况，能否有95%的把握认为决策起到了促进员工积极学习的作用．

获得积分

决策实行情况 20

以下 20

以上（含20

）

实行决策前 100 100

实行决策后 80 120

参考数据：𝐾2=𝑛⋅(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)(𝑐+𝑑)；

𝑃(𝐾2≥𝑘0) 0.10 0.05 0.01 0.005 𝑘0 2.706 3.841 6.635 7.879

抛物线𝑥2＝2𝑝𝑦(𝑝>0)的焦点为𝐹，𝐶，𝐷是抛物线上关于𝑦轴对称的两点，点𝐸是抛物线准线𝑙与𝑦轴的交点，△𝐸𝐶𝐷是面积为4的直角三角形．

（1）求抛物线的方程；

（2）若𝐴为抛物线上第一象限的一动点，过𝐹作𝐴𝐹的垂线交准线𝑙于点𝐵，求证：直线𝐴𝐵与抛物线相切．

试卷第4页，总19页

已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+1𝑥ln𝑎𝑥+1𝑎(𝑥>0)．

（1）判断当𝑎＝1时，𝑓(𝑥)的单调性并给出证明；

（2）对任意正数𝑥，不等式𝑓(𝑥)≤2𝑒(𝑥+1𝑎)恒成立，求正数𝑎的取值范围．

（二）选考题：共10分，请考生在第22.23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系中，曲线𝐶1:𝑥2+𝑦2−2𝑦＝0，𝐶2:𝑥2+𝑦2−2√3𝑥＝0，以原点𝑂为极点，以𝑥正半轴为极轴建立极坐标系，直线𝑙:𝜃＝𝛼(𝜌≠0, 0≤𝛼≤𝜋)．

（1）写出曲线𝐶1和𝐶2的极坐标方程；

（2）若直线𝑙与曲线𝐶1和𝐶2分别相交于𝐴，𝐵，求|𝐴𝐵|的最大值．

[选修4-5：不等式选讲]

已知函数𝑓(𝑥)=|𝑥−𝑎2+1𝑎|+|𝑥−1|(𝑎>0)，𝑔(𝑥)＝4−|𝑥−1|．

（1）当𝑎＝1时，求不等式𝑓(𝑥)≥3的解集；

（2）若关于𝑥的不等式𝑓(𝑥)≤𝑔(𝑥)的解集包含[0, 1]，求𝑎的取值集合．

试卷第5页，总19页 参考答案与试题解析

2020年江西省景德镇市高考数学一模试卷（文科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.

【答案】

A

【考点】

并集及其运算

【解析】

根据对数函数和指数函数的单调性可求出集合𝐴，𝐵，然后进行并集的运算即可．

【解答】

𝐴＝{𝑥|1<𝑥<4}，𝐵＝{𝑥|𝑥≤2}，

∴ 𝐴∪𝐵＝(−∞, 4)．

2.

【答案】

C

【考点】

复数的运算

【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得𝑎，𝑏的值，则答案可求．

【解答】

由21+𝑖=2(1−𝑖)(1+𝑖)(1−𝑖)=1−𝑖=𝑎+𝑏𝑖，

得𝑎＝1，𝑏＝−1，

∴ 𝑎2019+𝑏2020＝12019+(−1)2020＝2．

3.

【答案】

B

【考点】

相互独立事件的概率乘法公式

相互独立事件

【解析】

根据排列组合的知识求出所有的种数和周六由乙值班的种数，根据概率公式计算即可．

【解答】

某工厂周到周六轮流由甲、乙、丙3人值班，每人值两天，3人通过抽签决定每个人在哪两天值班，

若乙恰好本周六需要出差，则乙需要与他人换班的概率，即周六由乙值班的概率．

周一到周六轮到有甲乙丙3人值班，每人值两天，共有𝐶62𝐶42𝐶22＝90种，

其中，周六由乙值班的种数为𝐶51𝐶42𝐶22＝30种，

故周六由乙值班的概率是3090=13，

4.

【答案】

C