2020年江苏省镇江市高考数学一模试卷

2020年江苏省镇江市高考数学一模试卷

学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________

一、填空题（共14小题）

1.已知集合A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝

．

2.设复数（其中i为虚数单位），则|z|＝

．

3.如图是一个算法的伪代码，则输出的结果是 ．

4.顶点在原点且以双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 ．

5.已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1：x﹣my+m﹣2＝0，l2：mx+（m﹣2）y﹣1＝0，若直线l1∥l2，则m＝ ﹣ ．

6.从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是 ．

7.若实数x，y满足条件，则z＝3x+2y的最大值为 ．

8.将函数f（x）＝cos2x的图象向左平移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝g（x）的图象，则＝ ﹣ ．

9.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，点E是棱AD上的任意一点，点F是棱B1C1上的任意一点，则三棱锥B﹣ECF的体积为

．

10.等比数列{an}的前三项和S3＝42，若a1，a2+3，a3成等差数列，则公比q＝ ．

11.记集合A＝[a，b]，当θ∈[﹣，]时，函数f（θ）＝2θ的值域为B，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则b﹣a的最小值是 ．

12.已知函数，若对任意的x∈[m，m+1]，不等式f（1﹣x）≤f（x+m）恒成立，则实数m的取值范围是 ﹣ ﹣ ．

13.过直线l：y＝x﹣2上任意一点P作圆C：x2+y2＝1的一条切线，切点为A，若存在定点B（x0，y0），使得PA＝PB恒成立，则x0﹣y0＝ ．

14.在平面直角坐标系xOy中，已知三个点A（2，1），B（1，﹣2），C（3，﹣1），点P（x，y）满足（•）×（•）＝﹣1，则的最大值为 ．

二、解答题（共11小题）

15.在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是AP的中点，AB⊥BD，PB⊥PD，平面PBD⊥底面ABCD．

（1）求证：PC∥平面BDE；

（2）求证：PD⊥平面PAB．

16.如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，AB＝14，BD＝6，． （1）若C＞B，且cos（C﹣B）＝，求角C；

（2）若△ACD的面积为S，且，求AC的长度．

17.在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：（a＞b＞0）的长轴长为4，左准线l的方程为x＝﹣4．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线l1过椭圆E的左焦点F1，且与椭圆E交于A，B两点．①若AB＝，求直线l1的方程；②过A作左准线l的垂线，垂足为A1，点G（，0），求证：A1，B，G三点共线．

18.某游乐场过山车轨道在同一竖直钢架平面内，如图所示，矩形PQRS的长PS为130米，宽RS为120米，圆弧形轨道所在圆的圆心为O，圆O与PS，SR，QR分别相切于点A，D，C，T为PQ的中点．现欲设计过山车轨道，轨道由五段连接而成．出发点N在线段PT上（不含端点，游客从点Q处乘升降电梯至点N），轨道第一段NM与圆O相切于点M，再沿着圆弧轨道到达最高点A，然后在点A处沿垂直轨道急速下降至点O处，接着沿直线轨道OG滑行至地面点G处（设计要求M，O，G三点共线），最后通过制动装置减速沿水平轨道GR滑行到达终点R．记∠MOT为α，轨道总长度为l米．

（1）试将l表示为α的函数l（α），并写出α的取值范围；

（2）求l最小时cosα的值．

19.已知函数f（x）＝lnx+a（x2﹣x）（a∈R）．

（1）当a＝0，证明：f（x）≤x﹣1；

（2）如果函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且f（x1）+f（x2）＜k恒成立，求实数k的取值范围；

（3）当a＜0时，求函数f（x）的零点个数．

20.已知n∈N*，数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an+1﹣a1；数列{bn}的前n项和为Tn，且满足Tn+bn＝n+，b4＝4，且a1＝b2．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求数列{bn}的通项公式；

（3）设cn＝，问：数列{cn}中是否存在不同两项ci，cj（1≤i＜j，i，j∈N*），使ci+cj仍是数列{cn}中的项？若存在，请求出i，j；若不存在，请说明理由．

21.在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，1）在矩阵M＝对应的变换下得到点Q（y﹣2，y），求M﹣1．

22.已知曲线C1的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为，（α为参数），求曲线C1与曲线C2交点的直角坐标．

23.已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+2|的最小值为k，且a+b+c＝k，求a2+b2+c2的最小值．

24.22．已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线方程为y2＝2px（p＞0）．

（1）若直线y＝﹣x+1与抛物线相交于M，N两点，且MN＝2，求抛物线的方程；

（2）直线l过点Q（0，t）（t≠0）交抛物线于A，B两点，交x轴于点C，如图，设＝m，＝n，求证：m+n为定值．

25.我们常用构造等式对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如由等式（1+x）2n＝（1+x）n（1+x）n可得，等式左边xk的系数为（0≤k≤n），等式右边xk项系数为，所以我们得到组合数恒等式：＝．

（1）化简：（）2+（）2+（）2+…+（）2+）2；

（2）若袋中装有n（n∈N*）个红球和n个白球，从中一次性取出n个球．规定取出k（0≤k≤n）个红球得k2分，设X为一次性取球的得分，求X的数学期望．

2020年江苏省镇江市高考数学一模试卷

参考答案

一、填空题（共14小题）

1.【分析】 可以求出集合A，然后进行交集的运算即可． 【解答】 解：∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{﹣1，1，2}，

∴A∩B＝{1，2}．

故答案为：{1，2}．

【知识点】交集及其运算

2.【分析】 根据复数的基本运算法则进行化简，再利用复数的模长公式即可求出结果． 【解答】 解：＝1﹣2i，

∴|z|＝＝，

故答案为：．

【知识点】复数求模

3.【分析】 模拟执行伪代码，可得伪代码的功能是计算并输出S＝0+1+3+5+7+9的值，从而得解． 【解答】 解：模拟执行伪代码，可得：S＝0+1+3+5+7+9＝25．

故答案为：25．

【知识点】伪代码

4.【分析】 求得双曲线的右焦点，可设抛物线的方程为y2＝mx，m＞0，由抛物线的焦点坐标，可得m，即可得到所求方程． 【解答】 解：双曲线的右焦点为（4，0），

抛物线的方程设为y2＝mx，m＞0，

由题意可得＝4，即m＝16，

可得抛物线方程为y2＝16x．

故答案为：y2＝16x．

【知识点】抛物线的标准方程、双曲线的简单性质

5.【分析】 根据题意，由直线平行的条件可得（m﹣2）+m2＝0，解可得m的值，验证直线是否重合即可得答案． 【解答】 解：根据题意，直线l1：x﹣my+m﹣2＝0，l2：mx+（m﹣2）y﹣1＝0， 若直线l1∥l2，必有（m﹣2）+m2＝0，

解可得：m＝1或﹣2，

当m＝1时，直线l1：x﹣y﹣1＝0，l2：x﹣y﹣1＝0，两直线重合，不符合题意；

当m＝﹣2时，直线l1：x+2y﹣4＝0，l2：﹣2x﹣4y﹣1＝0，两直线平行，符合题意；

故m＝﹣2；

故答案为：﹣2

【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系

6.【分析】 基本事件总数n＝＝10，利用列举法求出剩余三个数能构成等差数列包含的基本事件有4个，由此能求出剩余三个数能构成等差数列的概率． 【解答】 解：从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，

基本事件总数n＝＝10，

剩余三个数能构成等差数列包含的基本事件有：

（1，2，3），（1，3，5），（2，3，4），（3，4，5），共4个，

∴剩余三个数能构成等差数列的概率是p＝．

故答案为：．

【知识点】古典概型及其概率计算公式

7.【分析】 画出约束条件对应的可行域，再求出对应的角点的坐标，分别代入目标函数，比较目标函数值即可得到其最优解． 【解答】 解：实数x，y满足条件，对应的可行域如下图所示：

由，解得x＝3，y＝2时，目标函数经过A（3，2）时，目标函数取得最大值：z＝3x+2y＝13，

故z＝3x+2y的最大值为：13；

故答案为：13．

【知识点】简单线性规划

8.【分析】 由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再根据g（x）的解析式，求得g（）的值． 【解答】 解：将函数f（x）＝cos2x的图象向左平移个单位长度后，可得y＝cos（2x+）的图象，

再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝g（x）＝2cos（2x+）的图象，

则＝﹣，

故答案为：﹣．

【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

9.【分析】 由题意画出图形，再由等积法求三棱锥B﹣ECF的体积． 【解答】 解：如图，

∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，点E是棱AD上的任意一点，点F是棱B1C1上的任意一点，

∴＝．

故答案为：．

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积

10.【分析】 由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得所求公比． 【解答】 解：等比数列{an}的前三项和S3＝42，若a1，a2+3，a3成等差数列，

可得a1+a2+a3＝a1+a1q+a1q2＝42，a1+a3＝2（a2+3）即2（a1q+3）＝a1+a1q2，

解得q＝2或，

故答案为：2或．

【知识点】等差数列与等比数列的综合、等比数列的通项公式

11.【分析】 利用倍角公式、和差公式化简f（x），利用三角函数的单调性可得B，根据x∈A”是“x∈B”的必要条件，可得B⊆A．即可得出结论． 【解答】 解：函数f（θ）＝2θ＝sin2θ+cos2θ+1＝2sin（2θ+）+1．

当θ∈[﹣，]时，（2θ+）∈[﹣，]，∴sin（2θ+）∈[﹣，1]．