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专题、二次函数的图象和性质及平移

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专题、二次函数的图像和性质及平移

知识点1： 二次函数y=ax² y=ax²+k、y=a(x-h)² 2()yaxhk y=ax²+bx+c 的图象和性质

y=a(x-h)2+k的图像和性质：

二次函数cbxaxy2（a≠0）的图像和性质

函数 cbxaxy2（a≠0）

a>0 a <0

开口方向

对称轴

顶点坐标

性质 当________时，y的值随x值的增大而增大

当________时，y的值随x值的增大而减小 当________时，y的值随x值的增大而增大

当________时时，y的值随x值的增大而减小

最值 当________时，函数有最_____值为______ _ 当___ ____时，函数有最_____值为______ _

练习

1.填表

解析式 对称轴 顶点坐标 性质

y=－5x2 当________时，y的值随x值的增大而增大

当________时时，y的值随x值的增大而减

2152yx 当________时，y的值随x值的增大而增大

当________时时，y的值随x值的增大而减

y=－3(x-4)2 当________时，y的值随x值的增大而增大

当________时时，y的值随x值的增大而减

y=4(x-2)2－7 当________时，y的值随x值的增大而增大

当________时时，y的值随x值的增大而减

y=3x²+5x+4 当________时，y的值随x值的增大而增大

当________时时，y的值随x值的增大而减

2.已知二次函数y=x2-3x-4，若点（5，y1），（8，y2），（-3，y3）在图象上，则y1与y2，y3的大小

为 . 表达式 a的符号 图像 对称轴 顶点坐标 性质 最值

y=a(x-h)2+k 0a

x 时，y的值随x值的增大而 ；

x 时，y的值随x值的增大而 ； 当x= 时，有最 值为

0a x 时，y的值随x值的增大而 ；

x 时，y的值随x值的增大而 ； 当x= 时，有最 值为 2

知识点2：二次函数的平移

（1）二次函数y=ax2的图像向上平移c(c>0)个单位，得到的表达式为________；

向下平移c(c>0)个单位，得到的表达式为________，可以简记为：

（2）二次函数y=ax2的图像向左平移h(h>0)个单位，得到的表达式为________；

向右平移h(h>0)个单位，得到的表达式为________，可以简记为：

二次函数的平移问题可简记为：“________，________”

练习：

1.将二次函数y=-12(x＋4)2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度所得图象的解析式为 .

2.将二次函数y=2x2+3x+2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度所得图象的解析式为 .

例1.已知函数9232xy.

（1）抛物线的开口方向是 、对称轴是 、顶点坐标是 ；

（2）当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小.

（3）当x= 时，抛物线有最 值，是 .

（4）求出该抛物线与x轴的交点坐标及两交点间距离；

(5) 当x取何值时，函数值大于0；当x取何值时，函数值小于0.

（6）求出该抛物线与y轴的交点坐标；

（7）该函数图象可由23xy的图象经过怎样的平移得到的？

例2：把二次函数y=a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数21(1)12yx的图象．

(1)试确定a，h，k的值；

(2)指出二次函数y=a(x－h)2＋k的开口方向、对称轴和顶点坐标．

3

例3.对于二次函数223yxmx，有下列说法：

①如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m≥1；

②如果它的图象与x轴的两交点的距离是4，则1m；

③如果将它的图象向左平移3个单位后的函数的最小值是-4，则m=－1；

④如果当x=1时的函数值与x=2013时的函数值相等，则当x=2014时的函数值为－3．

其中正确的说法是 ．

练 习

1．如果抛物线2)1(xmy的开口向上，那么m的取值范围是 ．

2．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线 ______ ．

3.已知二次函数y=x2+2x-4，若点（5，y1），（-8，y2），（1，y3）在图象上，则y1与y2，y3的大小

为 .

4.通过配方，写出函数1662xxy；的对称轴和顶点坐标并画出草图：

5.求二次函数62xxy的图象与坐标轴的交点坐标，并求出这三点组成三角形的面积

6.把二次函数253212xxy的图象向右平移3个单位，再向下平移4个单位，则两次平移后的函数图象的关系式是

4

7.已知二次函数y=3x2－6x+5，把它的开口方向反向，再沿对称轴向上平移，得到一条新的抛物线，它恰好与直线y=mx－2交于点(2，－4)，则新抛物线的关系式为______．

8.二次函数322xxy0a中，若当x取x1、x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值等于 .

9.已知二次函数y=-x2-4x-5．

(1)指出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(2)把这个二次函数的图象上、下平移，使其顶点恰好落在正比例函数y=－x的图象上，求此时二次函数的解析式．

10.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－2x＋2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为____．

11.已知二次函数y=x2+bx+c的图象向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到二次函数y=x2－8x+10．

(1)求b、c的值；

(2)若第(1)小题中的函数与x轴的交点为A、B，试在x轴的下方的图象上确定一点P，使得△PAB的面积最大，你能求出△PAB的面积吗？

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初三数学二次函数专题

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1 / 20 二次函数图象与性质（1）

【学习目标】

1．理解二次函数的定义及解析式的三种形式；

2．了解二次函数图像与字母系数的关系.并巩固二次函数的性质.

3．了解二次函数的平移，能够根据条件确定二次函数的解析式.

【知识梳理】

1． 二次函数的定义：形如cbxaxy2的函数叫做二次函数。

2． 二次函数解析式的几种形式

（1）一般式：cbxaxy2，其中 a、b、c为常数，0a．

（2）顶点式：khxay2)(，其中a、h、k为常数，0a．

（3）两根式（交点式）：))((21xxxxay，其中a≠0，且x1、x2是 ．

3．二次函数的性质

函数 对称轴 顶点

坐标 开口方向 增减性

y=ax²

1．a＞0时，

二次函数开口向

____ ；函数有最

_____值

2．a＜0时，

二次函数开口向

_____；函数有最

_____值

1．a＞0时：

⑴当x＜_____时，y随x的增大而_____；

⑵当x＞_____时，y随x的增大而_____；

2．a＜0时：

⑴当x＜_____时，y随x的增大而_____；

⑵当x＞_____时，y随x的增大而_____； y=ax²+c

y=a（x-h）²

y=a（x-h）²+k

y=ax²+bx+c

4．抛物线cbxaxy2的图象与a、b、c之间的关系

a a＞0

a＜0 开口 ，

开口 .

b ab＞0

b=0

ab＜0 对称轴在 ；

对称轴为 ；

对称轴在 . 简单地说：“左同右异”

c c＞0

c=0

c＜0 与y轴_____ 半轴相交；

经过原点 ；

二次函数的图象和性质

二次函数的图象和性质

二次函数的图象和性质

教学目标

1、知道二次函数的意义；

2、会用描点法画出二次函数的图象；

3、掌握二次函数的两种表达形式：一般式和顶点式. 会用配方法将一般式转化为顶点式；

4、能利用图象或通过配方确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置和最值；

5、会根据已知条件求出二次函数的解析式.

知识讲解

1、二次函数的一般形式为y＝ax2＋bx＋c (a、b、c是常数，a≠0)其特点是：解析式是自变量的整式表达式，自变量最高次数是二次，二次项系数必须不为零。当b＝c＝0时，就是一个特殊的二次函数y＝ax2 (a≠0)，我们首先学习的就是这类最简单的二次函数，y＝ax2的图象是一条顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线.当a>0时抛物线开口向上，函数有最小值当x＝0时，最小值是0；当a<0时，抛物线的开口向下，函数有最大值当x＝0时，最大值是0。

2、二次函数的顶点式为y＝a(x－h)2＋k (a≠0)，顶点的坐标为(h， k)，对称轴为x＝h，当a>0时，抛物线开口向上，此时，当x＝h时y有最小值为k；当a<0时，抛物线开口向下，此时当x＝h时y有最大值k.。

例题讲解

例3、根据下列条件，分别求二次函数的解析式：

⑴顶点为(2，3)，图象经过点(0，1)

⑵当x＝4时，函数有最小值－3，且图象经过点(1，0)

⑶对称轴为x＝2，图象经过(1，4)，(5，0)

⑷形状与y＝3x2相同，当x＝－1时，y有最大值2

巩固练习：

1．二次函数y=2x2－4x+3通过配方化为顶点式为y=______．

2．将函数y=－2x2+8x－7，写成y=a（x－h）2+k的形式为_______，其顶点坐标是______，对称轴是_______．

3．已知抛物线y=x2－6x+5的部分图象如图1，则抛物线的对称轴为直线x=_______．•满足y<0的x的取值范围是________，将抛物线y=x2－6x+5向________平移______•个单位，可得到抛物线y=x2－6x+9．

二次函数图象的平移和对称变换

二次函数图象的平移和对称变换

二次函数图象的几何变换

中考要求

内容 基本要求 略高要求 较高要求

二次函数 1.能根据实际情境了解二次函数的意义；

2.会利用描点法画出二次函数的图像； 1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；

2.能从函数图像上认识函数的性质；

3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；

4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解； 1.能用二次函数解决简单的实际问题；

2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；

一、二次函数图象的平移变换

（1）具体步骤：

先利用配方法把二次函数化成2()yaxhk的形式，确定其顶点(,)hk，然后做出二次函数2yax的图像，将抛物线2yax平移，使其顶点平移到(,)hk.具体平移方法如图所示：

（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.

二、二次函数图象的对称变换

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1. 关于x轴对称

2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；

2yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；

2. 关于y轴对称

2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；

2yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；

3. 关于原点对称

2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc； 2yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是2yaxhk；

4. 关于顶点对称

2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；

2yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是2yaxhk．

5. 关于点mn，对称

2yaxhk关于点mn，对称后，得到的解析式是222yaxhmnk

二次函数及其图象和性质

二次函数及其图象和性质

二次函数及其图象和性质（二）

一、内容提要

（一）二次函数的解析式：

1．一般式：y=ax2+bx+c；其中 a≠0, a, b, c 为常数

2．顶点式：y=a(x-h)2+k；其中a≠0, a, h, k 为常数，（h,k）为顶点坐标。

3．交点式：y=a(x-x1)(x-x2)；其中a≠0, a, x1,x2 为常数，x1,x2是抛物线与横轴两交点的横坐标。

注：这种形式可以作为了解内容，重点是前两种。

（二）二次函数的图象：抛物线

（三）性质：

1．对称轴，顶点坐标：

2．开口方向：a>0, 抛物线开口向上，并向上无限延伸。 a<0, 抛物线开口向下，并向下无限延伸。

3．增减性：

（Ⅰ）a>0时，当x时，y随x增大而减少 当x>时，y随x增大而增大

（Ⅱ）a<0时，当x时，y随x增大而增大 当x>时，y随x增大而减小

4．最值：（Ⅰ）a>0时，当x=时， （Ⅱ）a<0时，当x=

时， 5.抛物线与y轴交点坐标：（0，C） 特别地当C=0时，抛物线过原点，反之也成立。

6．抛物线与x轴的位置关系：

（Ⅰ）Δ=b2-4ac<0,抛物线与x轴无交点。

（Ⅱ）Δ=b2-4ac=0,抛物线与x轴只有一个交点，交点坐标为（，0）

（Ⅲ）Δ=b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点，交点坐标为（，0）

二、典型例题：

例1．已知+3x+6是二次函数，求m的值，并判断此抛物线开口方向，写出顶点坐标及对称轴。

解：由题意得 解得 m=-1

∴y=-3x2+3x+6=,开口向下，顶点坐标（ ），对称轴x=。

说明：在y=a(x-h)2+k中,（h,k）是抛物线的顶点坐标，所以一般求抛物线的顶点坐标时，常常利用配方法把解析式转化为上述表达形式，直接写出顶点坐标，对称轴方程，也可以用顶点坐标公式（）求得，解题时可根据系数的情况选择适当的方法。