小专题(五) 二次函数的图象和性质

1 二次函数

专题一：二次函数的图象与性质

1. 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，．

当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y有最小值244acba．

2. 当0a时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，．当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y有最大值244acba．

考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标

二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2ba，顶点坐标是（-2ba，244acba）.

例1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5yx与二次函数22yxxc的图像交于点(1)Am，．

（1）求m、c的值；

（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.

例2．已知二次函数y=－x2+2x+c2的对称轴和x轴相交于点（m，0），则m的值为______．

3．（2006，大连）右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，

•观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______．

考点2.抛物线与a、b、c的关系

、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．

2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．

⑴ 在0a的前提下，

当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧；

2 当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；

当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧．

⑵ 在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即

当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧；

二次函数的图象和性质

教学目标

1、知道二次函数的意义；

2、会用描点法画出二次函数的图象；

3、掌握二次函数的两种表达形式：一般式和顶点式. 会用配方法将一般式转化为顶点式；

4、能利用图象或通过配方确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置和最值；

5、会根据已知条件求出二次函数的解析式.

知识讲解

1、二次函数的一般形式为y＝ax2＋bx＋c (a、b、c是常数，a≠0)其特点是：解析式是自变量的整式表达式，自变量最高次数是二次，二次项系数必须不为零。当b＝c＝0时，就是一个特殊的二次函数y＝ax2 (a≠0)，我们首先学习的就是这类最简单的二次函数，y＝ax2的图象是一条顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线.当a>0时抛物线开口向上，函数有最小值当x＝0时，最小值是0；当a<0时，抛物线的开口向下，函数有最大值当x＝0时，最大值是0。

2、二次函数的顶点式为y＝a(x－h)2＋k (a≠0)，顶点的坐标为(h， k)，对称轴为x＝h，当a>0时，抛物线开口向上，此时，当x＝h时y有最小值为k；当a<0时，抛物线开口向下，此时当x＝h时y有最大值k.。

例题讲解

例3、根据下列条件，分别求二次函数的解析式：

⑴顶点为(2，3)，图象经过点(0，1)

⑵当x＝4时，函数有最小值－3，且图象经过点(1，0)

⑶对称轴为x＝2，图象经过(1，4)，(5，0)

⑷形状与y＝3x2相同，当x＝－1时，y有最大值2

巩固练习：

1．二次函数y=2x2－4x+3通过配方化为顶点式为y=______．

2．将函数y=－2x2+8x－7，写成y=a（x－h）2+k的形式为_______，其顶点坐标是______，对称轴是_______．

3．已知抛物线y=x2－6x+5的部分图象如图1，则抛物线的对称轴为直线x=_______．•满足y<0的x的取值范围是________，将抛物线y=x2－6x+5向________平移______•个单位，可得到抛物线y=x2－6x+9．

二次函数及其图象和性质（二）

一、内容提要

（一）二次函数的解析式：

1．一般式：y=ax2+bx+c；其中 a≠0, a, b, c 为常数

2．顶点式：y=a(x-h)2+k；其中a≠0, a, h, k 为常数，（h,k）为顶点坐标。

3．交点式：y=a(x-x1)(x-x2)；其中a≠0, a, x1,x2 为常数，x1,x2是抛物线与横轴两交点的横坐标。

注：这种形式可以作为了解内容，重点是前两种。

（二）二次函数的图象：抛物线

（三）性质：

1．对称轴，顶点坐标：

2．开口方向：a>0, 抛物线开口向上，并向上无限延伸。 a<0, 抛物线开口向下，并向下无限延伸。

3．增减性：

（Ⅰ）a>0时，当x时，y随x增大而减少 当x>时，y随x增大而增大

（Ⅱ）a<0时，当x时，y随x增大而增大 当x>时，y随x增大而减小

4．最值：（Ⅰ）a>0时，当x=时， （Ⅱ）a<0时，当x=

时， 5.抛物线与y轴交点坐标：（0，C） 特别地当C=0时，抛物线过原点，反之也成立。

6．抛物线与x轴的位置关系：

（Ⅰ）Δ=b2-4ac<0,抛物线与x轴无交点。

（Ⅱ）Δ=b2-4ac=0,抛物线与x轴只有一个交点，交点坐标为（，0）

（Ⅲ）Δ=b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点，交点坐标为（，0）

二、典型例题：

例1．已知+3x+6是二次函数，求m的值，并判断此抛物线开口方向，写出顶点坐标及对称轴。

解：由题意得 解得 m=-1

∴y=-3x2+3x+6=,开口向下，顶点坐标（ ），对称轴x=。

说明：在y=a(x-h)2+k中,（h,k）是抛物线的顶点坐标，所以一般求抛物线的顶点坐标时，常常利用配方法把解析式转化为上述表达形式，直接写出顶点坐标，对称轴方程，也可以用顶点坐标公式（）求得，解题时可根据系数的情况选择适当的方法。

专题五 二次函数

【要点回顾】

1． 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质

问题[1] 函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？

问题[2] 函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：

由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋bxa)＋c＝a(x2＋bxa＋224ba)＋c－24ba224()24bbacaxaa， 所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：

[1]当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口方向 ；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当 时，y随着x的增大而 ；当 时，y随着x的增大而 ；当 时，函数取最小值 ．

[2]当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口方向 ；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当 时，y随着x的增大而 ；当 时，y随着x的增大而 ；当 时，函数取最大值 ．

x y

O x＝－2ba

A24(,)24bacbaa x y

O

x＝－2ba A24(,)24bacbaa

上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．

2．二次函数的三种表示方式

[1]二次函数的三种表示方式：

（1）．一般式： ；

（2）．顶点式： ；