北师大九年级数学上思维特训(九)含答案：相似三角形的基本模型

专题训练(七) 相似三角形的基本模型

下面仅以X字型、A字型、双垂型、M字型4种模型设置练习，帮助同学们认识基本模型，并能从复杂的几何图形中分辨出相似三角形，进而解决问题．

模型1 X字型及其变形

(1)如图1，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO；

(2)如图2，对顶角的对边不平行，则△ABO∽△CDO.

1．(恩施中考)如图，在ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC等于( )

A．1∶4 B．1∶3

C．2∶3 D．1∶2

2．(黔东南中考)将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BEEC的值是________．

3．已知：如图，∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2，求DF的长．

模型2 A字型及其变形

(1)如图1，公共角所对应的边平行，则△ADE∽△ABC；

(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，两个三角形有一条公共边，则△ACD∽△ABC.

4．如图，已知菱形ABCD的边长为3，延长AB到E，使BE＝2AB，连接EC并延长交AD的延长线于点F，求AF的长．

5．(泰安中考改编)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB.求证：ABAE＝ACAD.

6.如图，AD与BC相交于E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：1AB＋1CD＝1EF.

模型3 双垂型

直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.

7．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝35，则斜边AB的长为( )

A．36 B．15

C．95 D．3＋35

8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4, 那么CD＝________，AC＝________.

模型4 M字型

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鑫达捷 初中数学试卷

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模型构建专题：相似三角形的基本模型的构建

——熟知需要用相似来解决的图形

◆模型一 “A”字型

1．(2016·贵阳中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，ADAB＝13，BC＝12，则DE的长是（

）

A．3 B．4 C．5 D．6

第1题图 第2题图

2．如图，正方形CDEF内接于Rt△ABC，点D，E，F分别在边AC，AB和BC上，当AD＝2，BF＝3时，正方形CDEF的面积是______.

◆模型二 “X”字型

3．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（ ）

A．3∶2 B．3∶1 C．1∶1 D．1∶2

第3题图 第4题图

4．如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（ ）

A.EDBC＝EFFB B.DEAD＝DFAB

C.BCDE＝CFDF D.BFBE＝BCAE

◆模型三 旋转型

5．(2017·滦县模拟)如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）

A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE

C.ABAD＝ACAE D.ABAD＝BCDE

◆模型四 “子母”型(大三角形中包含小三角形)

6．(2016·安徽中考)如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（ ）

A．4 B．42 C．6 D．43

第6题图 第7题图

7．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED＝∠B，那么下列各式中一定正确的是（ ）

A．AE·AC＝AD·AB

B．CE·CA＝BD·AB

1 / 3 7 相似三角形的性质

●拓展提高

1、如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=5m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是（ ）

A.56m B.67m C.65m D.103m

2、如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度（ ）

A．增大1.5米 B. 减小1.5米 C. 增大3.5米 D. 减小3.5米

3、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，其中BC=12 cm，高AD=8 cm，现在要把它裁剪成一个正方形材料备用，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问这个正方形材料的边长是多少？

4、 马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱AB的高度为1.2米．

（1）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？

（2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？

2 / 3

5、如图，一电线杆AB的影子分别在地上和墙上．某一时刻，小明竖起1 m高的直杆，量得其影长为0．5 m，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3 m．若已知电线杆高为8 m，求电线杆的影子落在墙上的影长．

●体验中考

1、（娄底）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上，如图4所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA=0.2米，OB=40米，AA′=0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为（ ）

A．3米 B．0.3米 C．0.03米 D．0.2米

第1页/共11页 思维特训(十一) 相似三角形中的辅助线作法归类

在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段，或得出等角、等边，从而为证明三角形相似或进行有关的计算找到等量关系．

作辅助线的方法主要有以下几种：

(1)作平行线构造“A”型或“X”型相似；(2)作平行线转换线段比；(3)作垂直证明相似．

图11－S－1

类型一 作平行线构造“A”型或“X”型相似

1．如图11－S－2，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB延长线上一点，OE交BC于点F，若AB＝a，BC＝b，BE＝c，求BF的长．

图11－S－2

2．如图11－S－3，在△ABC中，AD为BC边上的中线，CF为任一直线，CF交AD于点E，交AB于点F.

求证：AEDE＝2AFBF.

图11－S－3

3．在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：如图11－S－4，在△ABC中，D是BA延长线上一动点，点F在BC上，且CFBF＝12，连接DF交AC于点E.

(1)如图△，当E恰为DF的中点时，请求出ADAB的值；

(2)如图△，当DEEF＝a(a＞0)时，请求出ADAB的值(用含a的代数式表示)．

思考片刻后，同学们纷纷表达自己的想法：

甲：过点F作FG△AB交AC于点G，构造相似三角形解决问题；

乙：过点F作FG△AC交AB于点G，构造相似三角形解决问题；

丙：过点D作DG△BC交CA的延长线于点G，构造相似三角形解决问题．

老师说：“这三位同学的想法都可以”． 第2页/共11页 请参考上面某一种想法，完成第(1)问的求解过程，并直接写出第(2)问中ADAB的值．

图11－S－4

类型二 作平行线转换线段的比

4．如图11－S－5，B为AC的中点，E为BD的中点，求AFAE的值．

图11－S－5

5．如图11－S－6，已知等边三角形ABC，D为AC边上的一动点，CD＝nDA，连接BD，M为线段BD上一点，∠AMD＝60°，连接AM并延长交BC于点E.