2021-2022学年北师大版九年级数学上册《相似三角形》期末综合复习训练(附答案)

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《相似三角形》期末综合复习训练（附答案）

1．如图，在正方形ABCD中，点G是对角线上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接AG．

（1）求证：AG＝CG；

（2）求证：△AEG∽△FAG；

（3）若GE•GF＝9，求CG的长．

2．如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，点G为边BC上一点，过点G作GE⊥AG，且GE＝2AG，GE交DC于点F，连接AE．

（1）求证：△ABG∽△GCF；

（2）连接CE，求证：∠DCE＝∠AEG；

（3）当点E正好在BD的延长线上时，求BG的长．

3．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，求CD的长．

4．已知在△ABC中，D是边AC上的一点，∠CBD的角平分线交AC于点E，且AE＝AB，求证：AE2＝AD•AC．

5．过平行四边形ABCD的顶点A作任一直线与BD、BC和DC分别交于点E、F、G．求证：AE2＝EF•EG．

6．如图，在△ABC中．AB＝AC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EG＝AE，过点G作GD∥BA分别交BC，AC于点F，D．

（1）求证：AB＝GF；

（2）若GD＝10，AD＝3，求DC的长度；

（3）在（2）的条件下，S△DCF＝7，求△ABC的面积．

7．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC延长线上一点，连接AP，分别交BD，CD于点E，F，过点B作BG⊥AP于G，交线段AC于H．

（1）若∠P＝25°，求∠AHG的大小；

（2）求证：AE2＝EF•EP．

8．如图，AC是▱ABCD的对角线，在AD边上取一点F，连接BF交AC于点E，并延长BF交CD的延长线于点G．

（1）求证：BE2＝EF•EG；

（2）若2DG＝DC，BE＝6，求EF的长．

9．如图，AC是▱ABCD的对角线，在AD边上取一点F，连接BF交AC于点E，并延长BF交CD的延长线于点G．

（1）若∠ABF＝∠ACF，求证：CE2＝EF•EG；

（2）若DG＝DC，BE＝6，求EF的长．

10．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON＝1．

（1）求证：△DMN∽△BCN；

（2）求BD的长；

（3）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．

11．已知：在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，连接AE分别交DC、DB于F、G．求证：

（1）∠DAG＝∠DCG；

（2）AG2＝GE•GF；

（3）已知，，求该正方形的边长．

12．在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．

（1）如图1，AC：AB＝1：2，EF⊥CB，求证：EF＝CD．

（2）如图2，AC：AB＝1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．

13．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝8cm，点E在边AD上，AE：ED＝1：3，AC、BE交于点F．

（1）求证：AC⊥BE；

（2）求四边形EFCD的面积．

14．已知：如图，▱ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于点H，BF、AD的延长线相交于点G．

求证：（1）AB＝BH；（2）△ABG∽△HEB；（3）AB2＝GA•HE．

15．如图，AD、BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD交BE于M，FD、AC的延长线交于点N．

（1）求证：△BFM∽△NFA；

（2）求证：DF2＝FM•FN；

（3）若AC＝BC，DN＝12，ME：EN＝1：2，求线段AC的长．

16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．

（1）求证：△AEB∽△CFB；

（2）求证：；

（3）若CE＝5，EF＝2，BD＝6．求AD的长．

17．如图，点P是正方形ABCD中BC延长线上一点，对角线AC，BD相交于点O，连接AP，分别交BD，CD于点E，F，过点B作AP的垂线，垂足为点G，交线段AC于H．

（1）若∠P＝20°，求∠GBE的大小．

（2）求证：AE2＝EF•EP．

（3）若正方形ABCD的边长为1，CP＝1，求HG的长．

18．如图，O为正方形ABCD对角线的交点，E为AB边上一点，F为BC边上一点，△EBF的周长等于BC的长．

（1）若AB＝24，BE＝6，求EF的长．

（2）猜想∠EOF的度数，并说明理由．

（3）若OE＝OF，求的值．

19．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE＝∠DAF．

（1）如图，若AD＝AF，延长AE、DC交于点G，求证：AF2＝DG•DF．

（2）在第（1）小题的条件下，连接BD，交AG于点H，若HE＝4，EG＝12，求AH的长．

20．如图，在Rt△ABC中，AC＝4，∠BAC＝90°，∠B＝30°，D是BC上一点，AE⊥AD，∠ADE＝30°，连接CE．

（1）求证：△ADE∽△ABC；

（2）求证：△ACE∽△ABD；

（3）设CE＝x，当CD＝2CE时，求x的值．

参考答案

1．（1）证明：∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴∠ADB＝∠CDB＝45°，

又AD＝CD，

在△ADG和△CDG中，

，

∴△ADG≌△CDG（SAS），

∴AG＝CG；

（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥CB，

∴∠FCB＝∠F，

由（1）可知△ADG≌△CDG，

∴∠DAG＝∠DCG，

∴∠DAB﹣∠DAG＝∠DCB﹣∠DCG，即∠BCF＝∠BAG，

∴∠EAG＝∠F，

又∠EGA＝∠AGF，

∴△AEG∽△FAG；

（3）解：由（2）得△AEG∽△FAG， ∴，即GA2＝GE•GF＝9，

∴GA＝3或GA＝﹣3（舍去），

根据（1）中的结论得AG＝CG，

∴CG＝3．

2．解：（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B＝∠D＝90°，

∵GE⊥AG，

∴∠AGB+∠CGF＝90°，

∴∠BAG+∠AGB＝90°，

∴∠BAG＝∠CGF，

∴△ABG∽△GCF；

（2）如图所示，连接AC，交GE于M点，

∵GE＝2AG，BC＝2AB， ∴＝，

又∵∠AGE＝∠B＝90°，

∴△AGE∽△ABC，

∴∠AEG＝∠ACB，

∵∠AME＝∠GMC，

∴△AME∽△GMC， ∴＝，

又∵∠AMG＝∠EMC，

∴△AMG∽△EMC，

∴∠AGM＝∠ECM＝90°，

即：∠BCD＝∠ECM＝90°，

∴∠ACB＝∠DCE，

∴∠AEG＝∠DCE；

（3）如图，作EH⊥BC的延长线于H点，设BG＝x，

∵△ABG∽△GHE，GE＝2AG，

∴EH＝2BG＝2x，GH＝2AB＝4，

则BH＝BG+GH＝4+x，

∵△DCB∽△EHB， ∴＝＝， ∴＝，

解得：x＝，

经检验，x＝是原分式方程的解，

∴BG的长为．

3．解：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，

∴△BAD∽△BCA， ∴．

∵AB＝6，BD＝4， ∴＝，

∴BC＝9，

∴CD＝BC﹣BD＝9﹣4＝5．

4．证明：∵BE平分∠CBD，

∴∠DBE＝∠CBE，

∵AE＝AB，

∴∠ABE＝∠AEB，

∵∠ABE＝∠ABD+∠DBE，∠AEB＝∠C+∠CBE，

∴∠ABD＝∠C，

∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，

∴△ABD∽△ACB，

∴AB：AD＝AC：AB，即：AB•AB＝AD•AC，

∵AE＝AB，

∴AE•AE＝AD•AC． 5．证明：四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴△ADE∽△FBE，△ABE∽△GDE， ∴＝，＝， ∴＝，

∴AE2＝EF•EG．

6．（1）证明：∵GD∥BA，

∴∠BAE＝∠G，

在△ABE和△GFE中， ∵，

∴△ABE≌△GFE（ASA），

∴AB＝GF；

（2）解：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵GD∥BA，

∴∠B＝∠DFC，

∴∠C＝∠DFC，

∴DF＝DC，

设DC＝x，则AB＝AC＝3+x，

∵DG＝10，

∴FG+DF＝AB+DC＝10，即3+x+x＝10，

∴x＝，

∴DC＝；

（3）解：连接AF，

∵S△ADF：S△CDF＝AD：DC，

∵S△DCF＝7，AD＝3，CD＝，

∴S△ADF：7＝3：，

∴S△ADF＝6，

同理得：S△ADF：S△AFG＝DF：FG，

即6：S△AFG＝：，

∴S△AFG＝，

由（1）知：△ABE≌△GFE，

∴S△ABF＝S△AFG＝，

∴S△ABC＝+6+7＝．

7．（1）解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB＝45°，

∵∠ACB＝∠P+∠CAP，

∴∠CAP＝20°，

∵BG⊥AP，

∴∠AGH＝90°，

∴AHG＝90°﹣20°＝70°．

（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴A，C关于BD对称，∠ACB＝∠ACD＝45°，

∴EA＝EC，

∴∠EAC＝∠ECA，

∵∠ACB＝∠P+∠CAE＝45°，∠ECF+∠ECA＝45°，