平移旋转和对称

初中数学知识归纳平移旋转和对称的基本概念

初中数学知识归纳：平移、旋转和对称的基本概念

数学作为一门基础学科，是培养学生逻辑思维和分析问题能力的重要工具。在初中阶段，数学的教学内容涵盖了广泛的概念和技巧，其中平移、旋转和对称是数学中的重要概念。本文将围绕这三个概念展开讨论，介绍它们的基本概念以及在数学中的应用。

1. 平移：

平移是指在平面上把一个图形沿着规定的方向进行“平行移动”，保持图形的形状和大小不变。平移可以由向量来描述，其中向量的大小和方向决定了平移的幅度和方向。平移的基本概念包括起点、终点、向量以及平移矢量。

在数学中，平移有着广泛的应用。它可以用于解决几何问题，比如寻找两个图形之间的关系以及判断两个图形是否相似。平移还可以应用于向量的运算和矩阵的变换，这些概念在高中数学和物理学中有着重要的地位。

2. 旋转：

旋转是指围绕一个中心点将图形按照一定角度进行旋转。旋转可以通过给定旋转中心和旋转角度来确定。旋转的基本概念包括旋转中心、旋转角度、顺时针旋转和逆时针旋转等。 旋转在数学中是一个重要的几何概念，在解决旋转对称性问题和图形变换中起着关键作用。旋转可以通过向量运算和矩阵变换来实现，并且在建模和计算机图形学中有着广泛的应用。

3. 对称：

对称是指一个图形在某种变换下保持不变或变成自身，这种变换被称为对称变换。常见的对称变换包括中心对称和轴对称。中心对称是指图形围绕一个中心点进行对称，而轴对称是指图形围绕一个轴线进行对称。

对称在数学中是一个重要的概念，它可以用于解决关于对称性的问题以及判断两个图形是否相等。对称也可以应用于线性代数和几何代数中，并在图像处理和密码学中有着广泛的应用。

总结：

初中数学中的平移、旋转和对称是三个基本的几何概念，它们在解决几何问题和图形变换中起着重要作用。通过了解和掌握这些基本概念，学生可以培养几何思维和观察问题的能力，并将其应用于更高级的数学学科中。

1 平移、旋转与轴对称的秘密

平移、旋转和轴对称都是平面图形的基本变换.他们之间存在着许多有意思的秘密,这秘密究竟是什么呢?

在一次关于图形变换的考试中,记得有这样一题：

如右图,请说出甲树是怎样由乙树变换得到的____________________.

许多同学都写出了错误的答案：乙向右平移AB的距离，带绕点A顺时针旋转30°等到甲。为什么会造成这种错误呢？首先，同学们没有仔细观察这个两棵树的特征或不明白平移、旋转和轴对称的意义。

那么平移、旋转与轴对称变换有什么关系呢？就让我们一起去探究这个秘密吧！

一、平移变换转化为轴对称变换

如下图，已知△ABC，直线l∥k且距离为a，画△ABC关于直线m对称的△A′B′C′，再画△A′B′C′关于直线n对称的△A″B″C″。

A 60°90°lkC''A''B''C'A'B'BAC 2 那么△A″B″C″能否看成△ABC平移得到的呢？

事实证明这是可以的，即△ABC沿对称轴l（k）垂直方向平移2a个单位即可得到

△A″B″C″。

由此我们就可以得出一般结论：当对称轴平行时，两次轴对称相当于一次平移，且平移的方向垂直于对称轴，平移的距离是两条对称轴之间的距离的2倍。

二、旋转转化为轴对称变换

如下图，已知△ABC，直线l，k相交于点O，且夹角为a（0°＜a≤90°），画△ABC关于直线l对称的△A′B′C′。再画△A′B′C′，关于直线k对称的△A″B″C″。

观察图形，我们就可以发现△A″B″C″就是由△ABC绕点O顺时针旋转2a°得到的。

由此可猜想归纳一般结论：当两条对称轴相交于一点时，两次轴对称相当于一次旋转，且旋转中心为对称轴的交点，旋转角为对称轴夹角2a°，旋转方向与第一条对称轴旋转a的角度得到第二条对称轴的位置的方向一致。

数学中像这样的秘密还有很多，只是你还没有打开你智慧的窗口去感受它们，多去留意它们，你就会探索的路上收获丰硕的果实。 lkαOC''A''B''C'A'B'BAC

轴对称图形

1、将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。折痕所在的直线叫做对称轴。

注意：对称轴是直线，既不是线段，也不是射线，画时不用实线，用虚线

（虚线、尺子、露头）

2、轴对称图形性质：对称点到对称轴的距离相等。

3、对称点：轴对称图形沿对称轴对折后，互相重合的点叫做对称点。

4、在方格纸上补全轴对称图形关键：

找出所给图形的关键点的对称点，要按照顺序将对称点连接起来。

5、不同的轴对称图形，对称轴的数量也不同，轴对称图形至少有一条对称轴。

图形 正方形 长方形 等腰

三角形 等边

三角形 等腰

梯形 菱形 圆形

对称轴 4条 2条 1条 3条 1条 2条 无数条

平移

1、物体在同一平面上沿直线运动，这种现象叫做平移。

注意：平移只是沿水平方向左右移动（×）

平移不仅仅局限于左右运动。

2、平移二要素：（1）平移方向；（2）平移距离。

将一个图形平移时，要先确定方向，再确定平移的距离，缺一不可。

3、平移的特征：物体或图形平移后，他们的形状、大小、方向都不改变，只是位置发生改变。

4、在方格纸上平移图形的方法：

（1）找出图形的关键点；

（2）以关键点为参照点，按指定方向数出平移的格数，描出平移后的点；

（3）把各点按原图顺序连接，就得到平移后的图形。

注意：用箭头标明平移方向（→）

旋转

1、旋转：物体绕某一点或轴的转动。

2、旋转方向：与时针运动方向相同的是顺时针方向；

与时针运动方向相反的是逆时针方向；

3、旋转三要素：旋转点（旋转中心）、旋转方向、旋转角度。

4、图形旋转的特征：图形旋转后，形状、大小都没发生变化，只是位置和方向变了。

5、图形旋转的性质：图形绕某一点旋转一定的角度，图形中的对应点、对应线段都旋转相同的角度，对应点到旋转点的距离相等。

6、旋转的叙述方法：物体是绕哪个点向什么方向旋转了多少度。

对称、平移和旋转整理复习

[教学内容]《义务教育教科书·数学（五年级上册）》120页。

[教学目标]

1.结合具体生活情景，进一步感知、理解对称、平移与旋转现象，并能准确判断图形的平移和旋转现象。

2.通过观察、分类、对比，进一步理解物体的对称、平移和旋转的变换特征；并熟练在方格纸上画出变化后的图形。

3.学生自己动手设计图案，培养学生的实践能力、创造能力和审美能力。

4.通过丰富的旋转、平移、对称的感性资料，激发学生学习数学的兴趣，感受到生活与数学的密切关系，在合作学习过程中体验成功的喜悦。

[教学重点]理解物体的对称、平移和旋转的变换特征。

[教学难点]能准确判断对称、平移和旋转现象，在方格纸上画出变化后的图形。

[教学准备]

教具：多媒体课件、三角板；学具：方格纸、三角板。

[教学过程]

一、创设情境，导入课题

师：同学们，这节课我们来回顾整理在第二单元学习的有关对称、平移和旋转的知识。板书：对称、平移、旋转的整理与复习。

二、知识回顾，形成网络

（一）交流完善

师：想一想，关于平移、对称和旋转的知识你都知道哪些？在小组内交流，互相补充，共同整理对称、平移和旋转的特征。

预设1：将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分能够完全重合，这样的图形叫轴对称图形，这条直线就是这个图形的对称轴。

预设2：图形或物体沿水平（或竖直）方向运动，这种现象就是平移。

预设3：物体或图形绕一中心点转动，这种现象就是旋转。旋转分为顺时针旋转和逆时针旋转两种。

（二）解决问题

课件出示图片。（见图1）

同学们仔细观察图画，从图中你能找出哪些对称、平移和旋转的现象？

学生认真观察图画，从中找出对称、平移和旋转的现象。

学生班内汇报：

①升降机、电动门、酒瓶是平移现象。

②汽车轮胎、电动门轮、排气扇、吊扇是旋转现象。

③车间前墙设计是对称现象。

……

师：我们根据学过的知识能准确找出生活中的对称、平移和旋转的现象，你能说一说你是怎样判断对称、平移和旋转的现象的吗？