平移旋转和对称的基本概念

1 平移、旋转与轴对称的秘密

平移、旋转和轴对称都是平面图形的基本变换.他们之间存在着许多有意思的秘密,这秘密究竟是什么呢?

在一次关于图形变换的考试中,记得有这样一题：

如右图,请说出甲树是怎样由乙树变换得到的____________________.

许多同学都写出了错误的答案：乙向右平移AB的距离，带绕点A顺时针旋转30°等到甲。为什么会造成这种错误呢？首先，同学们没有仔细观察这个两棵树的特征或不明白平移、旋转和轴对称的意义。

那么平移、旋转与轴对称变换有什么关系呢？就让我们一起去探究这个秘密吧！

一、平移变换转化为轴对称变换

如下图，已知△ABC，直线l∥k且距离为a，画△ABC关于直线m对称的△A′B′C′，再画△A′B′C′关于直线n对称的△A″B″C″。

A 60°90°lkC''A''B''C'A'B'BAC 2 那么△A″B″C″能否看成△ABC平移得到的呢？

事实证明这是可以的，即△ABC沿对称轴l（k）垂直方向平移2a个单位即可得到

△A″B″C″。

由此我们就可以得出一般结论：当对称轴平行时，两次轴对称相当于一次平移，且平移的方向垂直于对称轴，平移的距离是两条对称轴之间的距离的2倍。

二、旋转转化为轴对称变换

如下图，已知△ABC，直线l，k相交于点O，且夹角为a（0°＜a≤90°），画△ABC关于直线l对称的△A′B′C′。再画△A′B′C′，关于直线k对称的△A″B″C″。

观察图形，我们就可以发现△A″B″C″就是由△ABC绕点O顺时针旋转2a°得到的。

由此可猜想归纳一般结论：当两条对称轴相交于一点时，两次轴对称相当于一次旋转，且旋转中心为对称轴的交点，旋转角为对称轴夹角2a°，旋转方向与第一条对称轴旋转a的角度得到第二条对称轴的位置的方向一致。

数学中像这样的秘密还有很多，只是你还没有打开你智慧的窗口去感受它们，多去留意它们，你就会探索的路上收获丰硕的果实。 lkαOC''A''B''C'A'B'BAC

几何变换的基本概念和性质

几何变换是指平面或空间中的图形在不同的变化规则下发生的形态变化。在数学和计算机图形学中，几何变换是一个重要的概念，它被广泛应用于各种领域，包括计算机视觉、机器人学、游戏开发和工程设计等。

几何变换包括平移、旋转、缩放和镜像四种基本类型。每种变换都有其独特的性质和特点。

1. 平移（Translation）

平移是指将图形沿着平行于原来位置的方向移动一定距离。平移不改变图形的大小、形状和方向，只改变了其位置。平移的变换规则是通过坐标的加减运算来实现的。

2. 旋转（Rotation）

旋转是指将图形绕着某个点进行旋转运动。旋转可以使图形沿着一个轴线旋转一定角度。旋转不改变图形的大小和形状，但会改变其方向。旋转的变换规则是通过坐标的旋转公式来实现的。

3. 缩放（Scaling）

缩放是指将图形按照一定的比例进行放大或缩小。缩放可以改变图形的大小和形状，但不改变其方向。缩放的变换规则是通过坐标的乘除运算来实现的。

4. 镜像（Reflection）

镜像是指将图形按照某条直线或平面进行对称反转。镜像可以改变图形的方向，但不改变其大小和形状。镜像的变换规则是通过坐标的变号来实现的。

这些几何变换具有一些重要的性质。例如，平移和旋转是可逆的，即可以通过逆变换将图形恢复到原来的位置和方向；缩放和镜像也是可逆的，但镜像时需要注意选择合适的对称轴；任意两个几何变换都可以通过组合来实现更复杂的变换效果。

总之，几何变换是数学和计算机图形学中的重要概念，通过平移、旋转、缩放和镜像等变换可以实现对图形的形态变化。掌握几何变换的基本概念和性质对于理解和应用相关领域的知识具有重要意义。

参考资料：

对称、平移和旋转整理复习

[教学内容]《义务教育教科书·数学（五年级上册）》120页。

[教学目标]

1.结合具体生活情景，进一步感知、理解对称、平移与旋转现象，并能准确判断图形的平移和旋转现象。

2.通过观察、分类、对比，进一步理解物体的对称、平移和旋转的变换特征；并熟练在方格纸上画出变化后的图形。

3.学生自己动手设计图案，培养学生的实践能力、创造能力和审美能力。

4.通过丰富的旋转、平移、对称的感性资料，激发学生学习数学的兴趣，感受到生活与数学的密切关系，在合作学习过程中体验成功的喜悦。

[教学重点]理解物体的对称、平移和旋转的变换特征。

[教学难点]能准确判断对称、平移和旋转现象，在方格纸上画出变化后的图形。

[教学准备]

教具：多媒体课件、三角板；学具：方格纸、三角板。

[教学过程]

一、创设情境，导入课题

师：同学们，这节课我们来回顾整理在第二单元学习的有关对称、平移和旋转的知识。板书：对称、平移、旋转的整理与复习。

二、知识回顾，形成网络

（一）交流完善

师：想一想，关于平移、对称和旋转的知识你都知道哪些？在小组内交流，互相补充，共同整理对称、平移和旋转的特征。

预设1：将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分能够完全重合，这样的图形叫轴对称图形，这条直线就是这个图形的对称轴。

预设2：图形或物体沿水平（或竖直）方向运动，这种现象就是平移。

预设3：物体或图形绕一中心点转动，这种现象就是旋转。旋转分为顺时针旋转和逆时针旋转两种。

（二）解决问题

课件出示图片。（见图1）

同学们仔细观察图画，从图中你能找出哪些对称、平移和旋转的现象？

学生认真观察图画，从中找出对称、平移和旋转的现象。

学生班内汇报：

①升降机、电动门、酒瓶是平移现象。

②汽车轮胎、电动门轮、排气扇、吊扇是旋转现象。

③车间前墙设计是对称现象。

……

师：我们根据学过的知识能准确找出生活中的对称、平移和旋转的现象，你能说一说你是怎样判断对称、平移和旋转的现象的吗？

图形的基本变换——平移、旋转和轴对称

一、教学目标：

（1）能借助图形识别平移、旋转和轴对称三种基本变换的异同；

（2）能利用平移、旋转和轴对称三种变换认识基本图形并解决图形中的问题。

二、教学重点与难点

重点：利用变换认识图形的能力训练；

难点：应用变换找规律的能力训练。

三、教学过程：

1、借助图形，识别变换

如图，长方形ABCD中，对角线AC与BD

相交于O，DE∥AC，CE∥BD，那么△ABD

可以看作是由△__________旋转得到，旋转中心是_______，△DEC可以看作是由△__________经过 变换得到；有没有与△DEC成轴对称的三角形？中心对称呢？图中还有没有其它类似的图形变换？

通过回顾图形的三种变换，归纳总结如下

图形变换 共性 个性

轴对称 （1）形状不变、大小不变；

（2）变换前后，两个图形全等，对应线段、对应角相等 对应点的连线段被对称轴垂直平分

平移 ①对应线段平行（或在同一直线上）且相等；

②对应点的连线段平行（或在同一直线上）且相等。 A

B C O D

E 旋转 ①对应点到旋转中心的距离相等.

②图形上的每个点都绕旋转中心沿相同方向转动了同样的角度.(即任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角)

（意图：通过改编教材中的一道练习题，以题引入，借助图形帮助学生回顾图形的三种变换以及识别变换的异同）

2、训练与探索

环节1：动手练习，明确变换

1. 同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的．

右图是看到的万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等

的等边三角形，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以点

A为中心【 】．

(A)顺时针旋转60°得到 (B)顺时针旋转120°得到

(C)逆时针旋转60°得到 (D)逆时针旋转120°得到

2.下列各图中，不是中心对称的是【 】．

3. 将一张正方形纸片沿一对角线对折后，得到一个等腰直角三角形，再沿底边上的高线对折，把得到的图形(如图)沿虚线剪开，打开阴影部分并铺平，此图形有 条对称轴。 4．如图（1），将边长为2cm的两个互相重合的正方形纸片沿对角线AC翻折成等腰直角三角形后，再抽出其中一个等腰直角三角形沿AC移动，若重叠部分A′C=2cm，则它移动的距离AA′等于________cm．