高中数学 同步学案 分期付款问题中的有关计算

研究性课题：分期付款中的有关计算·例题解析【例1】小芳同学假设将每月下的零花钱5元在月末存成月利按复利计算，月利为0.2%，每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利计算，年利为6%，问三年后取出本利一共多少元(保存到个位)？解析先分析每一年存款的本利和，小芳同学一年要存款12次，每次存款5元，各次存款及其利息情况如下：第12次存款5元，这时要到期改存，因此这次的存款没有月息；第11次存款5元，过1个月即到期，因此所存款与利息之和为：5＋5×0.2%=5×(1＋0.2%)；第10次存款5元，过2个月到期，因此存款与利息和为5×(1＋0.2%)2；……第1次存款5元，11个月后到期，存款与利息之和为5×(1＋0.2%)11．于是每一年中各月的存款与利息的本利和为A，A=5＋5×(1＋0.2%)＋5×(1＋0.2%)2＋…＋5×(1＋0.2%)11=5(1＋＋2＋ (11)第一年的A元，改存后两年后到期的本利和为A(1＋6%)2；第二年的A元，改存后一年后到期的本利和为A(1＋6%)；第三年的A元，由于全部取出，这一年的存款没有利息．三年后，取出的本利和为：A(1＋6%)2＋A(1＋6%)＋A．解：设每存一年的本利和为A，那么 A=5×(1＋＋2＋ (11)三年后取出的本利为y ，那么y=A ＋A(1＋6%)＋A(1＋6%)2=A(1＋＋2)=5×(1＋＋2＋…＋11)(1＋＋2)=5(1 1.06 1.06)2×·＋＋110021100212--..≈193(元)答：三年后取出本利一共193元．说明 这是应用问题，每月(年)存款到期后的本利和组成一个等比数列．【例2】 某企业年初有资金1000万元，假如该企业经过消费经营能使每年资金平均增长率为50%，但每年年底都要扣除消费基金x 万元，余下基金投入再消费，为实现经过5年资金到达2000万元(扣除消费基金后)，那么每年应扣除消费基金多少万元(准确到万元)？解 第一年余下的基金为1000(150%)x =1000x a =1000x 1×＋－×－令×－，第二年余下的基金为3232 (1000x)(150%)x =1000a =10002×－·＋－×即×32321323213222⎛⎝ ⎫⎭⎪-+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪-+⎛⎝ ⎫⎭⎪x x依此类推，得a =1000a =100034××321323232132323232423⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥x xa =10005×321323232325234⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥x 为了经过5年使资金到达2000万元，令a 5=2000于是得关于消费基金x 的方程：1000x =20005234×32132323232⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥ 解这个方程，得3211323222433225554⎛⎝ ⎫⎭⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪32x =10002000x =1000·×－× 21116179321621117932x =1000 x =1000×∴×× x ≈424答：每年约扣除消费基金424万元励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

湘教版高中高二数学必修四《分期付款问题中的有关计算》说课稿一、引言大家好，今天我将为大家介绍《分期付款问题中的有关计算》这一章节的教学内容。

本章主要涉及分期付款的相关概念和计算方法。

通过本节课的学习，学生将能够理解分期付款问题的本质，并掌握相关的计算技巧。

二、知识点概述在这一章节中，我们将学习以下几个重要的知识点：1.分期付款的定义和基本概念；2.利息、贷款利率和年利率的关系；3.分期付款问题中的等额本金和等额本息还款方法。

三、教学目标通过本节课的学习，学生应能够达到以下几个方面的教学目标：1.理解分期付款的概念和基本原理；2.掌握计算分期付款利息的方法；3.理解贷款利率和年利率之间的关系；4.掌握等额本金和等额本息还款方法的计算。

四、教学重点本节课的教学重点主要包括以下几个方面：1.分期付款的概念和基本原理；2.分期付款利息的计算方法；3.贷款利率和年利率的关系。

本节课的教学难点主要包括以下几个方面：1.等额本金和等额本息还款方法的计算；2.贷款利率和年利率之间的转换。

六、教学过程1. 分期付款的概念和基本原理首先，我们先来理解分期付款的概念和基本原理。

分期付款是指将一个大额消费分成若干期进行付款，每期付款包括本金和利息。

在分期付款过程中，利息是根据贷款利率和还款周期计算得出的。

2. 分期付款利息的计算方法接下来，我们将学习分期付款利息的计算方法。

分期付款利息的计算公式为：“利息 = 本金× 贷款利率× 还款周期”。

这个公式可以帮助我们计算出每期的利息金额。

3. 贷款利率和年利率的关系在分期付款问题中，我们常常需要将贷款利率和年利率进行转换。

贷款利率和年利率之间的关系可以使用公式：“年利率 = 贷款利率× 还款周期”来表示。

4. 等额本金和等额本息还款方法的计算最后，我们将学习等额本金和等额本息还款方法的计算。

等额本金还款方法是指每期还款金额相同，但利息逐期递减。

9.4 分期付款问题中的有关计算1.能够建立等差数列模型解决生活中有关零存整取的问题.2.在了解储蓄及利息的计算方法的基础上能够建立等比数列模型解决储蓄中的自动转存、复利及分期付款问题．1．与日常经济生活有关的基本概念 (1)增长率＝增长量增长前的量.(2)优惠率＝购买商品获得的优惠额商品标价.(3)存款利率＝利息存款额.(4)利息＝本金×存期×利率． 2．什么情况下需要建立数列模型？答 当应用问题中的变量的取值范围是正整数时，该问题通常是数列问题，这时常常建立数列模型来解决．例如存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险、资产折旧等问题都属于数列问题模型．1．单利和复利用符号P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本金与利息的和(简称本利和)．若按单利计算，到期的本利和S ＝P (1＋nr )；若按复利计算，到期的本利和S ＝P (1＋r )n . 2．零存整取模型若每月存入金额为x 元，月利率r 保持不变，存期为n 个月，规定每次存入的钱不计复利，则到期整取时所有本金为nx 元，各月利息和为n (n ＋1)r2x 元，全部取出的本利和为nx ＋n (n ＋1)r2x 元． 3．定期自动转存模型如果储户存入定期为1年的P 元存款，定期利率为r ，约定了到期定期存款自动转存的储蓄业务，则连存n 年后，储户所得本利和为P (1＋r )n . 4．分期付款问题在分期付款问题中，贷款a 元，分m 个月付清，月利率为r ，每月付x 元，货款a 元m 个月后本息和为a (1＋r )m ；从第一个月开始每次付款x 元，m 个月后本息和为从而有：x [(1＋r )m －1＋(1＋r )m －2＋(1＋r )m －3＋…＋(1＋r )＋1]＝a (1＋r )m，∴x ＝ar (1＋r )m(1＋r )m －1.要点一 等差数列模型例1 用分期付款购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止．商定年利率为10%，则第5次该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？解 购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{a n }， 则a 1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)； a 2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)； a 3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)； …；a n ＝2＋[25－5－(n －1)·2]·10%＝4－n －15(万元)(n ＝1,2，…，10)．因而数列{a n }是首项为4，公差为－15的等差数列．a 5＝4－5－15＝3.2(万元)．S 10＝10×4＋10×(10－1)×(－15)2＝31(万元)．31＋5＝36(万元)，因此第5次该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元． 规律方法 按单利分期付款的数学模型是等差数列，解决该类问题的关键是弄清楚： (1)规定多少时间内付清全部款额；(2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同；(3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内利息的计算公式．跟踪演练1 一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24 min 可注满水池．如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？解 设共有n 个水龙头，每个水龙头放水的分钟数从小到大依次为x 1，x 2，…，x n . 由已知可知x 2－x 1＝x 3－x 2＝…＝x n －x n －1， ∴数列{x n }成等差数列，每个水龙头1 min 放水124n (这里不妨设水池的容积为1)，∴124n ·(x 1＋x 2＋…＋x n )＝1，∴n (x 1＋x n )2＝24n ， ∴x 1＋x n ＝48.又∵x n ＝5x 1，∴6x 1＝48，∴x n ＝40， 故最后关闭的水龙头放水40 min. 要点二 等比数列模型例2 借贷10 000元，月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051)解 方法一 设每个月还贷a 元，第1个月后欠款为a 0元，以后第n 个月还贷a 元后，还剩下欠款a n 元(1≤n ≤6)，则a 0＝10 000，a 1＝1.01a 0－a ， a 2＝1.01a 1－a ＝1.012a 0－(1＋1.01)a ， …a 6＝1.01a 5－a ＝…＝1.016a 0－(1＋1.01＋…＋1.015)a . 由题意，可知a 6＝0，即1.016a 0－(1＋1.01＋…＋1.015)a ＝0， a ＝(1.01)6×102(1.01)6－1.因为1.016＝1.061， 所以a ＝1.061×1021.061－1≈1 739.故每月应支付1 739元．方法二 一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为 S 1＝104(1＋0.01)6＝104×1.016(元)．另一方面，设每个月还贷a 元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S 2＝a (1＋0.01)5＋a (1＋0.01)4＋…＋a ＝a [(1＋0.01)6－1]1.01－1＝a [1.016－1]×102(元)．由S 1＝S 2，得a ＝(1.01)6×102(1.01)6－1.得a ≈1 739.故每月应支付1 739元．规律方法 解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S ＝P (1＋r )n ，其中P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本利和．跟踪演练2 陈老师购买工程集资房92 m 2，单价为1 000元/m 2，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，余款由个人负担．房地产开发公司对教师实行分期付款(注①)，经过一年付款一次，……共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%，每年按复利计算(注②)，那么每年应付款多少元？(注③)注 ①分期付款，各期所付的款以及到最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余额的现价及这个房款现价到最后一次付款时所生的利息之和． ②每年按复利计算，即本年利息计入次年的本金生息．③必要时参考下列数据：1.0759≈1.917,1.07510≈2.061，1.07511≈2.216.解 设每年应付款x 元，那么到最后一次付款时(即购房十年后)，第一年付款及所生利息之和为x ×1.0759元，第二年付款及所生利息之和为x ×1.0758元，…，第九年付款及其所生利息之和为x ×1.075元，第十年付款为x 元，而所购房余款的现价及其利息之和为[1 000×92－(28 800＋14 400)]×1.07510＝48 800×1.07510(元)．因此有x (1＋1.075＋1.0752＋…＋1.0759)＝48 800×1.07510(元)，所以x ＝48 800×1.07510×1.075－11.07510－1≈48 800×2.061×7.068×10－2≈7 109(元)．∴每年需付款7 109元．要点三 等差、等比数列在经济生活中的综合应用例3 某工厂为提高产品质量，扩大再生产，需要大量资金，其中征地需40万元，新建厂房需100万元，购置新机器需60万元，旧设备改造及干部工作培训15万元，该厂现有资金125万元，但流动资金需40万元，厂内干部30人，工人180人，干部每人投资4 000元，工人每人投资1 000元(不记利息仅在每年年底利润中分红)，尚缺少的资金，准备在今年年底向银行贷款，按年利率9 %的复利计算，若从明年底开始分5年等额分期付款，还清贷款及全部利息，求该厂每年还贷多少万元？(精确到0.1万元) 解 因为扩大生产急需的资金共有 40＋100＋60＋15＋40＝255(万元)； 已经筹集到的资金为125＋0.4×30＋0.1×180＝155(万元)； 资金缺口为：255－155＝100(万元)．设每次向银行还款x 万元，则贷款100万元，五年一次还清本金和利息共计100(1＋9%)5万元．第一次还款到第五年的本利和为x (1＋9%)4万元； 第二次还款到第五年的本利和为x (1＋9%)3万元； 第三次还款到第五年的本利和为x (1＋9%)2万元； 第四次还款到第五年的本利和为x (1＋9%)万元； 第五次还款(无利息)为x 万元． 由题意得x ＋x (1＋9%)＋x (1＋9%)2＋x (1＋9%)3＋x (1＋9%)4＝100(1＋9%)5， 即x (1.095－1)1.09－1＝100×1.095，∴x ≈25.7(万元)．跟踪演练3 据美国学者詹姆斯·马丁的测算，在近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，2020年甚至会达到每73天翻一番的空前速度．因此，基础教育的任务已不是教会一个人一切知识，而是让一个人学会学习．已知2000年底，人类知识总量为a ，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年是每73天翻一番．试回答：(1)2009年底人类知识总量是多少？ (2)2019年底人类知识总量是多少？(3)2020年按365天计算，2020年底人类知识总量是多少？解 由于翻一番是在原来的基础上乘以2，翻两番是在原来的基础上乘以22，…，翻n 番是在原来的基础上乘以2n .于是(1)从2000年底到2009年底是每三年翻一番，共翻三番，在a的基础上，2009年底人类知识总量为23a＝8a.(2)从2009年底到2019年底是每一年翻一番，共翻十番，所以2019年底人类知识总量为8a×210＝8 192a.(3)2020年是每73天翻一番，而2020年按365天计算，共翻五番，所以2020年底人类知识总量为8 192a×25＝262 144a.1．一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V形架上摆放的铅笔的总数为()A．7 260B．8 000C．7 200D．6 000答案 A解析从下向上依次放了1,2,3，…，120支铅笔，∴共放了铅笔1＋2＋3＋…＋120＝7 260(支)．故选A.2．某单位某年12月份产量是同年1月份产量的m倍，那么该单位此年产量的月平均增长率是()A.m11 B.m12C.11m－1 D.12m－1答案 C解析设1月份产量为a，则12月份产量为ma，设月增长率为x，则a(1＋x)11＝ma，∴x＝11m－1.3．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2014年产生的垃圾量为a吨．由此预测，该区2019年的垃圾量为________吨．答案a(1＋b)5解析 由于2014年产生的垃圾量为a 吨，由题意，得2015年的垃圾量为a ＋a ·b ＝a (1＋b )，2016年产生的垃圾量为a (1＋b )＋a (1＋b )·b ＝a (1＋b )2，由此得出该区2019年的垃圾量为a (1＋b )5.4．银行一年定期储蓄存款年息为r ，三年定期储蓄存款年息为q ，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q 的值应略大于________． 答案 13[(1＋r )3－1]解析 设本金为1，按一年定期存款，到期自动转存，三年总收益为(1＋r )3－1；若按三年定期存款，三年的总收益为3q ，为鼓励储户三年定期存款，应使3q >(1＋r )3－1.即q >13[(1＋r )3－1]．数列应用问题的常见模型(1)等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，该模型是等差模型，其一般形式是：a n ＋1－a n ＝d (常数)．例如：银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和y ＝a (1＋xr )．(2)等比模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定百分数时，该模型是等比模型，其一般形式是：a n ＋1－a n a n ×100%＝q (常数)．例如：银行储蓄复利公式y ＝a (1＋r )x .产值模型：原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，对于时间x 的总产值y ＝N (1＋p )x . (3)混合模型：在一个问题中，同时涉及等差数列和等比数列的模型．(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加，同时又以一个固定的具体量增加或减少，称该模型为生长模型，如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等．。

9．4分期付款问题中的有关计算[读教材·填要点]1．单利单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为利息＝本金×利率×存期．若以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和，则有S＝P(1＋nr)．2．复利把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，若以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和，则有复利的计算公式为S ＝P(1＋r)n.[小问题·大思维]1．单利和复利分别对应什么函数类型？[提示]单利对应一次函数模型，复利对应指数函数模型．2．单利和复利分别与等差数列和等比数列中的哪一种数列对应？[提示]单利和复利分别以等差数列和等比数列为模型，即单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列．用分期付款购买价格为25万元的住房一套，按单利计算如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止．商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？[解]购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{a n}，则a1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；a2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)；a3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)；…；a n ＝2＋[25－5－(n －1)·2]·10%＝⎝⎛⎭⎫4－n －15(万元)(n ＝1,2，…，10)．因而数列{a n }是首项为4，公差为－15的等差数列．a 5＝4－5－15＝3.2(万元)．S 10＝10×4＋10×(10－1)×⎝⎛⎭⎫－152＝31(万元)．31＋5＝36(万元)，因此第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元．按单利分期付款的数学模型是等差数列，解决该类问题的关键是弄清楚： (1)规定多少时间内付清全部款额；(2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同；(3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内利息的计算公式．1．某人从1月起，每月第一天存入100元，到第12个月最后一天取出全部本金及利息，按照单利计息，若月利率为1.65‰，求到年底的本利和．解：第1月存入的100元到12月底的利息为a 1＝100×0.001 65×12， 第2月存入的100元到12月底的利息为a 2＝100×0.001 65×11，… 第12月存入的100元到12月底的利息为a 12＝100×0.001 65，全部利息和为S 12＝a 1＋a 2＋…＋a 12＝100×0.001 65×(1＋2＋…＋12)＝0.165×78＝12.87(元)，按单利计息，到年底所取出的本利和为1 212.87元.某人购买价值为10 000元的彩电，采用分期付款的方法，每期付款数相同，购买后1个月付款一次，过1个月再付一次，如此下去，到第24次付款后全部付清，已知月利率为0.8%，如果每月利息按复利计算。

最新整理高一数学教案分期付款中的有关计算（二）分期付款中的有关计算（二）教学目的：通过“分期付款中的有关计算“的教学，使学生学会从数学角度对某些日常生活中的问题进行研究教学重点：分期付款问题进行独立探究的基本步骤教学难点：将实际问题转化为数学问题一、复习引入：1．研究性课题的基本过程：生活实际中的问题存在的可行方案启迪思维留有余地搜集整理信息独立探究个案提出解答并给答辩创建数学模型验证并使用模型结论分析2．分期付款使用模型：分期付款购买售价为a的商品,分n次经过m个年（月）还清贷款,每年（月）还款x,年（月）利率为p,则每次应付款：二、例题讲解例1购买一件售价为a元的商品。

采用分期付款时要求在m个月内将款全部付清，月利率为p，分n(n是m的约数)次付款，那么每次付款数的计算公式为推导过程：设每次付款x则：第1期付款x元（即购货后个月时），到付清款时还差个月，因此这期所付款连同利息之和为：……第n期付款（即最后一次付款）x元时，款已付清，所付款没有利息.各期所付的款连同到最后一次付款时所生的利息之和为：货款到m个月后已增值为根据规定可得：即：解之得：例2某人，公元2000年参加工作，考虑买房数额较大。

需做好长远的储蓄买房计划，打算在的年底花50万元购一套商品房，从初开始存款买房，请你帮我解决下列问题：方案1：从开始每年年初到建设银行存入3万元，银行的年利率为1.98%，且保持不变，按复利计算（即上年利息要计入下年的本金生息），在年底，可以从银行里取到多少钱？若想在年底能够存足50万，每年年初至少要存多少呢？方案2：若在初向建行贷款50万先购房，银行贷款的年利率为4.425%，按复利计算，要求从贷款开始到要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢？方案3：若在初贷款50万元先购房，要求从贷款开始到要分5期还清，头两年第1期付款，再过两年付第二期…，到年底能够还清，这一方案比方案2好吗？启迪思维，留有余地：问题1：按各种方案付款每次需付款额分别是多分别是多少？每次付款额是50万元的平均数吗？（显然不是，而会偏高）那么分期付款总额就高于买房价，什么引起的呢？（利息）问题2：按各种方案付款最终付款总额分别是多分别是多少？（事实上，它等于各次付款额之和，于是可以归结为上一问题）。

高一数学新编教材（试验修订本）编入了“研究性课题：分期付款中的计算”.它的出现，不仅是为了解决数列的应用问题，更重要的是我们转变传统的教学观念，改进原有的教学方法和方式.为此，对这一课题的教学，我们进行了大胆的尝试.这一课题具有探究性和应用性的特点，我们紧紧把握教材的这一特点，将教学过程分成四个部分实施.1.课堂探究［师］在日常生活中，商家为了促销，便于顾客购买一些售价较高的商品，常采用分期付款的方式出售.例如，顾客购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款，商家要求，在一年内将款全部付清，同时，又提供了下表中的几种付款方案，供顾客选择.注：规定月利率为0.8%，每月利息按复利计算.（此表可制作成投影片）下面我们对每期的付款额和付款总额进行探究，表中要求，每月利息按复利计算，复利计算是指什么？［生］是指上月的利息，要计入下月本金.［师］请以本金为a元，月利率为0.8%，说明复利计算的含义.［生］本金a元过一个月，就增值为a（1+0.008）=1.008a（元），再过一个月，本金由1.008a元，增值为1.0082a（元）等等.［师］若顾客选择付款方案2，每期应付款多少元？这是一个列方程解应用题的问题，每期应付款可设为x 元，那么到底以什么建立等量关系，布列方程呢？［生］由顾客的分期付款总额与商家的收款额相等列方程. ［师］顾客的分期付款总额怎么计算呢？ ［生］求每期付款额的和. ［师］是6x 吗？为什么？［生］不是，因为每期付款的x 元到款付清时，应增值.［师］为了好理解，我们可按第6期、第5期，…，第1期的顺序，去找每期付款x 元到款付清时的表达式.第6期付款（最后一次付款）为x 元，这时款全部付清，这x 元增值吗？为什么？［生］不增值，因为这x 元相当于银行即存即取.［师］第5期付款的x 元到款全部付清时，是否增值？表达式是什么？第4期，…，第1期呢？［生］第5期付款的x 元要增值，增值为x （1+0.008）2,第4期，…，第1期付款的x 元都要增值，分别增值为x （1+0.008）4,…,x （1+0.008）10.［师］到此，所需方程能列出吗？方程是什么？［生］能列出，方程是x +1.0082x +1.0084x +…+1.00810x =5000.［师］所列方程正确吗？商品当时的售价为5000元，一年后这5000元是否还是5000元呢？正确方程是什么？［生］方程不正确，这5000元同样也应增值，增值为5000×1.00812（元）.正确方程是：x +1.0082x +1.0084x +…+1.00810x =5000×1.00812.［师］观察上述方程，等号左边有何特点，方程怎么解？x 等于多少？［生］等号左边是一个首项为x ，公比为1.0082的等比数列前6项的和，由等比数列求和公式得；[]262008.11)008.1(1--x =5000×1.00812,解得x =1008.1)1008.1(008.1500012212--⨯⨯≈880.8（元）［师］经过上面的探究可知，顾客每次付款应为880.8元，6次所付款共为880.8×6≈5285元，它比一次性付款多付285元（将结果填入前面的表中）［师］表中还有两种付款方案，请第一、二两组同学采用方案1，第三、四两组同学采用方案3继续探究，每期付款额，付款总额及付款总额与一次性付款额的差各是多少元？［学生］（不一会儿得到结果）： 方案1：每期付款额x =1008.1)1008.1(008.1500012412--⨯⨯≈1775.8（元）付款总额为1775.8×3≈5327（元），比一次性付款多付327（元） 方案3：每期付款额x =1008.1008.0008.150001212-⨯⨯≈438.6（元）付款总额为：438.6×12≈5263（元），比一次性付款多付263（元）.［师］下面我们再对一般性问题进行探究.购买一件售价为a 元的商品，采用上述分期付款时，要求在m 个月内将款全部付清，月利率为p ，分n （n 是m 的约数）次付款，那么每次付款的计算公式是多少？由同学们推导得出每次付款额x 的计算公式x =1)1(1)1()1(-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++mn mmp p p a［师］上面我们对复利计算分期付款的多种方案进行了探究，从中应该明确哪些问题？［生］（1）每月的利息均按复利计算；（2）每期的付款额相同；（3）计算时，商品售价和每期付款额到款全部付清时都应增值；（4）增值后的付款总额与售价增值相等，是列方程的依据.2.社会调查课堂上，我们对教材中提出的分期付款进行了一般性的探究，明白了分期付款是怎么一回事，弄清了复利计算的含义，理解了售价及每期付款的增值规律，掌握了利用等比数列解决分期付款中求每期付款额的计算方法，等等.分期付款这种运作方式在今天的商业活动中，应用日益广泛，哪些实际问题采用分期付款比较划算？在分期付款的多种方案中，哪种方案最佳？商家采用的分期付款和课本中介绍的分期付款到底有多大的距离？实际问题中的分期付款是否只有复利计算等等.要求同学们带着这些问题，根据自己的兴趣和研究对象组成了若干小组，走出课堂调查.有的小组来到了电脑专卖店，有的小组来到了商品房售房处，有的小组来到了银行，有的小组来到了保险公司，…，通过走访询问，现场考察，索取商家资料等.同学们获得了大量分期付款的信息资料.如“调查购房”小组获得了购房的各种办法，付款的多种方式，比较方案优劣的鉴别方法等资料；又如“调查购电脑”小组，先后走访了一些电脑城，获得了各商家的销售办法，分期付款的方式及付款的计算公式等.再如综合调查小组进行综合调查，获得了带有共性的销售办法，付款方式及计算公式等资料.通过社会调查，同学们学到了课本上学不到的知识，得到了从老师那里得不到的办法.3.信息处理各调查小组的信息自我处理详细情况（略）.4.成果展示各调查小组将信息材料提炼、探究、处理后的成果，写出调查报告，输入软盘，借用多媒体，以小组为单位，选定1～2人在全班边讲解边演示，生动地介绍了调查的基本情况、实用性分析、数学模型的建立、分期付款的操作、数学知识的应用、探究的结论及成果，有待进一步探究的问题，在展示中允许学生提问，并由调查组的同学回答所提出的问题.最后教师总结，充分肯定学生的亲身体验和探究得到的成果，并指出今后努力的方向.摘自《中学数学》。

分期付款中的有关计算课题：分期付款中的有关计算（一）教学目的：1、知识目标:使学生掌握等比数列前n项和公式在购物付款方式中的应用;2、能力目标:培养学生搜集、选择、处理信息的能力，发展学生独立探究和解决问题的能力，提高学生的应用意识和创新能力;3、德育目标:使学生抓住社会现象的本质，用科学的、辨证的眼光观察事物,建立科学的世界观;4、情感目标:通过学生之间、师生之间的交流与配合培养学生的合作意识和团队精神;通过独立运用数学知识解决实际问题培养学生勇于克服困难的坚强意志,也使学生体会学习数学知识的重要性,增强他们对数学学习的自信心和对数学的情感.教学重点：引导学生对例题中的分期付款问题进行独立探究教学难点：独立解决方案授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节课是等比数列的前n项和公式在购物方式上的一个应用.此前学生已掌握等比数列的通项公式及其前n项和公式,并学习了教材中的阅读材料:有关储蓄的计算(单利计息问题)，也就其次，《全日制普通高中数学教学大纲（试验修订版）》将研究性课题列为必修内容，是为迎,是所学知识的实际应用,因此对培养学生的应用意识也具有很高的价值.又由于它在本小节中首次出现,学生对如何学习研究性课题比较模糊,所以能否将研究性课题中以实际问题为载体，以学生独立探究为主体的特点突现出来，也影响着今后研究性课题的教学效果.问题是数学的心脏.而爱因斯坦有句名言:提出问题比解决问题更重要.而培养学生提问题的能力就很有必要在研究课题之前让学生了解课题的产生背景.所以我利用现代网络技术等多媒体教学手段将学生带入问题情境，既自然地创建了轻松愉快的气氛和生动活泼的环境,更重要的是引起学生的认知冲突.教学过程：一、引入：1．.幽默故事:一位中国老太太与一位美国老太太在黄泉路上相遇.美国老太太说,她住了一辈子的宽敞房子,也辛苦了一辈子,昨天刚还清了银行的住房贷款.而中国老太太却叹息地说,她三代同堂一辈子,昨天刚把买房的钱攒足.指出：我国现代都市人的消费观念正在变迁——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生；贷款购物,分期付款已深入我们生活.但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什2．基本公式：1.等差数列的前n项和公式：n(a1+an)n(n-1)dSn=， Sn=na1+ 222．等比数列的前n项和公式：a1(1-qn)a-anq 当q≠1时，Sn= ① 或Sn=1 ② 1-q1-q当q=1时，Sn=na1特殊数列求和－－常用数列的前n项和：1+2+3+ +n=n(n+1) 21+3+5+ +(2n-1)=n2n(n+1)(2n+1) 6n(n+1)213+23+33+ +n3=[] 23．求和的常用方法：特殊数列求和公式法、拆项法、裂项法、错位法 12+22+32+ +n2=二、问题：某学生的父母欲为其买一台电脑售价为1万元，除一次性付款方式外，商家还提供在1年内将款全部还清的前提下三种分期付款方案(月利率为1%)：⑴购买后2个月第1次付款,再过2个月第2次付款…购买后12个月第6次付款；⑵购买后1个月第1次付款, 过1个月第2次付款…购买后12个月第12次付款；⑶购买后4个月第1次付款,再过4个月第2次付款,再过4个月第3你能帮他们参谋选择一下吗？”三解决问题的过程：1．启迪思维，留有余地：问题1：按各种方案付款每次需付款额分别是多少？每次付款额是10000的平均数吗？（显然不是，而会偏高）那么分期付款总额就高于电脑售价，什么引起的呢？（利息）问题2：按各种方案付款最终付款总额分别是多少？（事实上，它等于各次付款额之和，于是，本课题的关键在于按各种方案付款每次需付款额分别是多少？——设为2．搜集、整理信息：(1)分期付款中规定每期所付款额相同;(2)每月利息按复利计算,即上月利息要计入下月本金.例如,由于月利率为1%,款额a元过一个月就增值为a(1+1%)=1.01a(元);再过一个月又增值为1.01a(1+1%)=1.01a(元)3．独立探究方案1可将问题进一步分解为：1. 商品售价增值到多少？ 22. 各期所付款额的增值状况如何？3．当贷款全部付清时，电脑售价与各期付款额有什么关系？4．提出解答,并给答辩：由商品价格=付款额，得10000×(1+1%)=x+(1+1%)x+(1+1%)x+(1+1%)x+(1+1%)x+(1+1%)x， 1224681010000⨯1.0112⨯(1.012-1)解得x=＝1785.86 1.0112-15．创建数学模型：比较方案1结果，经过猜想得：分期付款购买售价为a元的商品,分n次经过m个月还清贷款,m⎡⎤a(1+p)⎢(1+p)n-1⎥⎣⎦每月还款x元,月利率为p,则x= (1+p)m-1m6．验证并使用模型：10000⨯1.0112⨯(1.01-1)方案2中，x=＝888.49 121.01-112410000⨯1.01⨯(1.01-1)＝3607.62 方案3中，x=1.0112-17．结论分析：方案1中，x=1785.86元，付款总额6x=10721.16元；方案2中，x=888.49元，付款总额12x=10661.85元；《考试说明》明确指出：“能阅读、理解、对问题进行陈述的材料,能综合运用所学的数学知复习了等比数列的应用，体现了数学的实际应用价值，尤其是从实际出发来表述问题，课堂气氛异常热烈，更四、小结1.分期付款中的计算涉及的数学知识:等比数列前n项和公式；数学思想：列方程解未知2.“方案2、3→模型→方案3”是由特殊到一般,再由一般到特殊的研究方法; 研究性课题的基本过程：生活实际中的问题→存在的可行方案→启迪思维留有余地→搜集整理信息→独立探究个案→提出解答并给答辩→创建数学模型→验证并使用模型→结论分析3.问题来源于现实,问题处处存在，要善于发现问题并抓住问题本质;而探究问题时往往不会一帆风顺,要勇于战胜困难,磨砺自己意志.4.促进学生知识迁移——五、课后作业：提出一个熟悉的日常生活中的分期付款问题，并探究解决六、板书设计（略）七、课后记：。

2019-2020年高一数学分期付款中的有关计算第十一课时第三章●课题§3.6.1 分期付款中的有关计算（一）●教学目标（一）教学知识点1.等比数列的通项公式.2.等比数列的前n项求和公式.（二）能力训练要求将等比数列的通项公式和前n项求和公式应用到分期付款中的有关计算中去.（三）德育渗透目标1.增强学生的应用意识.2.提高学生的实际应用能力.●教学重点等比数列通项公式和前n项和公式的应用.●教学难点利用等比数列有关知识解决一些实际问题.●教学方法启发诱导式教学法●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］近几天来，我们学习了有关等比数列的哪些知识？［生］定义式：=q (n≥2,q≠0)通项公式：a n=a1q n－1(a1,q≠0)前n项和公式：S n=(q≠1)，Ⅱ.讲授新课［师］这节课我们共同来探究一下它在实际生活中的应用.如今，在社会主义市场经济的调节之下，促销方式越来越灵活，一些商店为了促进商品的销售，便于顾客购买一些售价较高的商品，在付款方式上也很灵活，可以一次性付款，也可以分期付款.首先我们来了解一下何为分期付款?也就是说，购买商品可以不一次性将款付清，而可以分期将款逐步还清，具体分期付款时，有如下规定：1.分期付款中规定每期所付款额相同.2.每月利息按复利计算，是指上月利息要计入下月本金.例如：若月利率为0.8%，款额a元，过1个月增值为a(1+0.8%)=1.008a(元)，再过1个月则又要增值为1.008a(1+0.008)=1.0082a(元)3.各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和.［师］另外，多长时间将款付清，分几次还清，也很灵活，它有多种方案可供选择，下面我们以一种方案为例来了解一下这一种付款方式.例如，顾客购买一件售价为5000元的商品时，如果采取分期付款，总共分六次，在一年内将款全部付清，每月应付款多少元?首先，我们来看一看，在商品购买后1年,即货款全部付清时，其商品售价增值为多少？［生］若按月利率为0.8%计算，在商品购买后1个月时，该商品售价增值为：5000(1+0.008)=5000×1.008(元)，由于利息按复利计算，在商品购买后2个月，商品售价增值为：5000×1.008×(1+0.008)=5000×1.0082(元)，……在商品购买12个月(即货款全部付清时)，其售价增值为：5000×1.00811×(1+0.008)=5000×1.00812(元)［师］下面，我们来看，在货款全部付清时，各期所付款额的增值情况如何.假定每期付款x元.第1期付款(即购买商品后2个月)付款x元，过10个月即到货款全部付清时，则付款连同利息之和为：1.00810x(元)，第2期付款(即购买商品后4个月)付款x元，过8个月即到款全部付清时，所付款连同利息之和为：1.0088x(元)［师］依此类推，可得第3，4，5，6期所付的款额到货款全部付清时连同利息的和.［生］可推得第3，4，5，6期所付的款额到货款全部付清时，连同利息的和依次为：1.0086x(元)，1.0084x(元)，1.0082x(元)，x(元)［师］如何根据上述结果来求每期所付的款额呢?根据规定3，可得如下关系式：x+1.0082x+1.0084x+…+1.00810x=5000×1.00812即：x(1+1.0082+1.0084+…+1.00810)=5000×1.00812［生］观其特点，可发现上述等式是一个关于x的一次方程，且等号左边括弧是一个首项为1，公比为1.0082的等比数列的前6项的和.由此可得x·=5000×1.00812，即x=1008.1)1008.1(008.1500012212--⨯⨯解之得x≈880.8(元)，即每次所付款额为880.8元，6次所付款额共为880.8×6=5285(元)，它比一次性付款多付285元.Ⅲ.课堂练习［生］分组对另外两种方案进行练习.第一组：方案A：分12次付清，即购买后1个月第一次付款，再过1个月第二次付款…购买后12个月第12次付款.解：设每次付款为x元，则第一次付款到款付清时连同利息为x(1+0.008)11第二次所付款到款付清时连同利息总和为x(1+0.008)10……第三次至第十二次付款到款付清时连同利息分别为：x(1+0.008)9,x(1+0.008)8,x(1+0.008)7,x(1+0.008)6,……,x(1+0.008),x(元)由此可得x(1+0.008)11+x(1+0.008)10+…+x(1+0.008)+x=5000×(1+0.008)12即x(1.00811+1.00810+…+1.008+1)=5000(1+0.008)12,x=解之得：x≈438.6(元)，付款总额为438.6×12=5263(元)第二组：方案B：分3次付清，即购买后4个月第1次付款，再过4个月第2次付款，再过4个月第3次付清款.解：设每次付款为x元则第1、2、3次付款到款付清时连同利息之和为：x(1+0.008)8,x(1+0.008)4,x(元)由此可得：x(1+0.008)4+x(1+0.008)4+x=5000×(1+0.008)12即x(1.0088+1.0084+1)=5000×1.00812x=1008.1)1008.1(008.1500012412--⨯≈1775.8(元)付款总额为1775.8×3=5327(元)Ⅳ.课时小结［师］解决实际应用问题时，应先根据题意将实际问题转化为数学问题，即数学建模，然后根据所学有关数学知识求得数学模型的解，最后根据实际情况求得实际问题的解.Ⅴ.课后作业（一）熟练解决分期付款问题的基本方法和步骤.（二）1.预习内容：预习课本P1322.预习提纲：（1）采取不同方案实现分期付款中的x的表达式是否有共同特点?（2）可否概括出一个一般的公式?●板书设计。

高中数学：数列在分期付款中的应用教案北师大版必修一、教学目标1. 让学生理解数列的概念，掌握数列的基本性质。

2. 让学生掌握等差数列和等比数列的通项公式和求和公式。

3. 培养学生运用数列知识解决实际问题的能力，如分期付款问题。

二、教学内容1. 数列的概念和基本性质。

2. 等差数列和等比数列的通项公式和求和公式。

3. 分期付款问题的数列模型。

三、教学重点与难点1. 教学重点：数列的概念，等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，分期付款问题的数列模型。

2. 教学难点：分期付款问题的数列模型的建立和应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现数列的规律。

2. 运用多媒体辅助教学，直观展示数列的图像和性质。

3. 通过例题和练习，让学生巩固数列知识，提高解决问题的能力。

五、教学过程1. 引入：讲解数列的概念，通过生活中的分期付款实例引入数列模型。

2. 讲解数列的基本性质，如递增、递减等。

3. 讲解等差数列和等比数列的通项公式和求和公式。

4. 讲解分期付款问题的数列模型，引导学生从实际问题中建立数列模型。

5. 运用例题和练习，让学生巩固数列知识，提高解决问题的能力。

6. 总结本节课的主要内容和知识点，布置课后作业。

六、教学策略1. 案例分析：分析实际生活中的分期付款案例，让学生了解数列在分期付款中的应用。

2. 数列图表示：利用数列图表示分期付款的每一期还款额，帮助学生直观理解。

3. 分组讨论：让学生分组讨论分期付款问题的数列模型，促进学生之间的交流与合作。

七、教学步骤1. 数列概念讲解：详细讲解数列的概念，让学生理解数列的定义和特点。

2. 分期付款案例分析：分析具体分期付款案例，引导学生发现数列模型的规律。

3. 等差数列通项公式讲解：讲解等差数列的通项公式，让学生掌握等差数列的计算方法。

4. 等比数列通项公式讲解：讲解等比数列的通项公式，让学生掌握等比数列的计算方法。

5. 分期付款数列模型建立：引导学生根据分期付款案例建立数列模型，培养学生解决实际问题的能力。