2021年高考数学单元考点复习1 分期付款中的有关计算

数列在分期付款中的应用知识精析一、几个常用公式1．利息计算公式：利息= 本金×利率．2．单利计算公式：利息：an = Anr；本利和：bn= A(1 + nr)．其中A为本金，n为期数，r为每期利率，an 为第n期期末利息，bn为第n期期末本利和．3．复利计算公式：利息：an = A(1 + r)1-n· r；本利和：bn= A(1 + r)n．其中A为本金，n为期数，r为每期利率，an 为第n期期末利息，bn为第n期期末本利和．二、表解重点1．单利2．复利实际上，复利的利息数列与本利和数列都是等比数列，公比都为(1 + r)．三、典型例题解析例一职工购买一件售价为1万元的商品，采用分期付款的办法．每期付款数相同，购买后1个月付款一次，过1个月再付一次，如此下去，到第24次付款后全部付清．已知每月利率为0.8%．⑴如果每月利息按单利计算，那么每期应付款多少元(精确到1元)？ ⑵如果每月利息按复利计算，那么每期应付款多少元(精确到1元)？ 解析：⑴按单利计算，设每期应付款x 元，由于第1期付款x 元相当于购买商品时的008.01+x 元；第2期付款x 元相当于购买商品时的2008.01⨯+x元；…；第24次付款x 元相当于购买商品时的24008.01⨯+x元．所以24期付款总数相当于购买商品时的008.01+x +2008.01⨯+x + … +24008.01⨯+x元，也就是商品售价10000元．解008.01+x +2008.01⨯+x + … +24008.01⨯+x =10000，求得x ≈457 (元)．⑵ 按复利计算，设每期应付款y 元，第1期付款y 元连同到最后款全部付清时所生利息之和为 y(1 + 0.008)23元；第2期付款y 元连同到最后款全部付清时所生利息之和为y(1 + 0.008)22元；…；第24次付款y 元(第24次没有利息)．于是各期所付的款连同到最后一次付款时所生的利息之和为：A = y + y(1 + 0.008) + y(1 + 0.008)2+ … + y(1 + 0.008)22+ y(1 + 0.008)23． 另一方面，商品售价与其从购买到最后一次付款时的利息之和为10000(1 + 0.008)24，由题意，得y + y(1 + 0.008) + y(1 + 0.008)2+ … + y(1 + 0.008)22+ y(1 + 0.008)23= 10000(1 + 0.008)24，从而解得y x ≈460 (元)．采用分期付款的方法，购买售价为a 院的商品(或贷款a 元)．每期付款相同，购买后1个月(或1年)付款一次，过1个月(或1年)再付款一次，如此下去，到第n 次付款后全部付清．如果月(或年)利率为b ，那么每期应付款x 元满足下列关系：按单利计息时为：x(b x +1+b x 21++ … +nbx +1) = a ； 按复利计息时为：x[1 + (1 + b) + (1 + b)2+ (1 + b)3+ … + (1 + b)1-n ]= a(1 + b)n ，化简得x[(1 + b)n －1] = ab(1 + b)n ．利用各期所付的款连同最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和．计算利息时，按利息方式不同，有单利和复利两种．单利是指每期都按初始本金计算利息，当期利息不计入下期本金，计算基础不变．复利是指当期利息要纳入下期本金，即以当期本利和为计息基础，计算下期利息．。

研究性课题：分期付款中的有关计算·例题解析【例1】小芳同学假设将每月下的零花钱5元在月末存成月利按复利计算，月利为0.2%，每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利计算，年利为6%，问三年后取出本利一共多少元(保存到个位)？解析先分析每一年存款的本利和，小芳同学一年要存款12次，每次存款5元，各次存款及其利息情况如下：第12次存款5元，这时要到期改存，因此这次的存款没有月息；第11次存款5元，过1个月即到期，因此所存款与利息之和为：5＋5×0.2%=5×(1＋0.2%)；第10次存款5元，过2个月到期，因此存款与利息和为5×(1＋0.2%)2；……第1次存款5元，11个月后到期，存款与利息之和为5×(1＋0.2%)11．于是每一年中各月的存款与利息的本利和为A，A=5＋5×(1＋0.2%)＋5×(1＋0.2%)2＋…＋5×(1＋0.2%)11=5(1＋＋2＋ (11)第一年的A元，改存后两年后到期的本利和为A(1＋6%)2；第二年的A元，改存后一年后到期的本利和为A(1＋6%)；第三年的A元，由于全部取出，这一年的存款没有利息．三年后，取出的本利和为：A(1＋6%)2＋A(1＋6%)＋A．解：设每存一年的本利和为A，那么 A=5×(1＋＋2＋ (11)三年后取出的本利为y ，那么y=A ＋A(1＋6%)＋A(1＋6%)2=A(1＋＋2)=5×(1＋＋2＋…＋11)(1＋＋2)=5(1 1.06 1.06)2×·＋＋110021100212--..≈193(元)答：三年后取出本利一共193元．说明 这是应用问题，每月(年)存款到期后的本利和组成一个等比数列．【例2】 某企业年初有资金1000万元，假如该企业经过消费经营能使每年资金平均增长率为50%，但每年年底都要扣除消费基金x 万元，余下基金投入再消费，为实现经过5年资金到达2000万元(扣除消费基金后)，那么每年应扣除消费基金多少万元(准确到万元)？解 第一年余下的基金为1000(150%)x =1000x a =1000x 1×＋－×－令×－，第二年余下的基金为3232 (1000x)(150%)x =1000a =10002×－·＋－×即×32321323213222⎛⎝ ⎫⎭⎪-+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪-+⎛⎝ ⎫⎭⎪x x依此类推，得a =1000a =100034××321323232132323232423⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥x xa =10005×321323232325234⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥x 为了经过5年使资金到达2000万元，令a 5=2000于是得关于消费基金x 的方程：1000x =20005234×32132323232⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥ 解这个方程，得3211323222433225554⎛⎝ ⎫⎭⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪32x =10002000x =1000·×－× 21116179321621117932x =1000 x =1000×∴×× x ≈424答：每年约扣除消费基金424万元励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

9.4 分期付款问题中的有关计算学案（含答案）9.4分期付款问题中的有关计算学习目标1.能够建立等差数列模型解决生活中有关零存整取的问题.2.在了解储蓄及利息的计算方法的基础上能够建立等比数列模型解决储蓄中的自动转存.复利及分期付款问题知识链接1与日常经济生活有关的基本概念1增长率.2优惠率.3存款利率.4利息本金存期利率2什么情况下需要建立数列模型答当应用问题中的变量的取值范围是正整数时，该问题通常是数列问题，这时常常建立数列模型来解决例如存款.贷款.购物房.车分期付款.保险.资产折旧等问题都属于数列问题模型预习导引1单利和复利用符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息的和简称本利和若按单利计算，到期的本利和SP1nr；若按复利计算，到期的本利和SP1rn.2零存整取模型若每月存入金额为x元，月利率r保持不变，存期为n个月，规定每次存入的钱不计复利，则到期整取时所有本金为nx元，各月利息和为x元，全部取出的本利和为nxx元3定期自动转存模型如果储户存入定期为1年的P元存款，定期利率为r，约定了到期定期存款自动转存的储蓄业务，则连存n年后，储户所得本利和为P1rn.4分期付款问题在分期付款问题中，贷款a元，分m个月付清，月利率为r，每月付x元，货款a元m个月后本息和为a1rm；从第一个月开始每次付款x元，m个月后本息和为期数123本息和x1rm1x1rm2x1rm3从而有x1rm11rm21rm31r1a1rm，x.题型一等差数列模型例1用分期付款购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止商定年利率为10，则第5次该付多少元购房款全部付清后实际共付多少元解购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列an，则a12255104万元；a222552103.8万元；a3225522103.6万元；；an2255n12104万元n1,2，，10因而数列an是首项为4，公差为的等差数列a543.2万元S1010431万元31536万元，因此第5次该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元规律方法按单利分期付款的数学模型是等差数列，解决该类问题的关键是弄清楚1规定多少时间内付清全部款额；2在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同；3规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内利息的计算公式跟踪演练1一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24min可注满水池如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间解设共有n个水龙头，每个水龙头放水的分钟数从小到大依次为x1，x2，，xn.由已知可知x2x1x3x2xnxn1，数列xn成等差数列，每个水龙头1min放水这里不妨设水池的容积为1，x1x2xn1，24n，x1xn48.又xn5x1，6x148，xn40，故最后关闭的水龙头放水40min.题型二等比数列模型例2借贷10000元，月利率为1，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元1.0161.061,1.0151.051解方法一设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元1n6，则a010000，a11.01a0a，a21.01a1a1.012a011.01a，a61.01a5a1.016a011.011.015a.由题意，可知a60，即1.016a011.011.015a0，a.因为1.0161.061，所以a1739.故每月应支付1739元方法二一方面，借款10000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S110410.0161041.016元另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2a10.015a10.014aa1.0161102元由S1S2，得a.得a1739.故每月应支付1739元规律方法解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为SP1rn，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和跟踪演练2陈老师购买工程集资房92m2，单价为1000元/m2，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担房地产开发公司对教师实行分期付款注，经过一年付款一次，共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5，每年按复利计算注，那么每年应付款多少元注注分期付款，各期所付的款以及到最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余额的现价及这个房款现价到最后一次付款时所生的利息之和每年按复利计算，即本年利息计入次年的本金生息必要时参考下列数据1.07591.917,1.075102.061，1.075112.216.解设每年应付款x元，那么到最后一次付款时即购房年后，第一年付款及所生利息之和为x1.0759元，第二年付款及所生利息之和为x1.0758元，，第九年付款及其所生利息之和为x1.075元，第年付款为x元，而所购房余款的现价及其利息之和为10009228800144001.0751*******.07510元因此有x11.0751.07521.0759488001.07510元，所以x488001.0751*******.0617.0681027109元每年需付款7109元题型三等差.等比数列在经济生活中的综合应用例3某工厂为提高产品质量，扩大再生产，需要大量资金，其中征地需40万元，新建厂房需100万元，购置新机器需60万元，旧设备改造及干部工作培训15万元，该厂现有资金125万元，但流动资金需40万元，厂内干部30人，工人180人，干部每人投资4000元，工人每人投资1000元不记利息仅在每年年底利润中分红，尚缺少的资金，准备在今年年底向银行贷款，按年利率9的复利计算，若从明年底开始分5年等额分期付款，还清贷款及全部利息，求该厂每年还贷多少万元精确到0.1万元解因为扩大生产急需的资金共有40100601540255万元；已经筹集到的资金为1250.4300.1180155万元；资金缺口为255155100万元设每次向银行还款x万元，则贷款100万元，五年一次还清本金和利息共计100195万元第一次还款到第五年的本利和为x194万元；第二次还款到第五年的本利和为x193万元；第三次还款到第五年的本利和为x192万元；第四次还款到第五年的本利和为x19万元；第五次还款无利息为x万元由题意得xx19x192x193x194100195，即1001.095，x25.7万元跟踪演练3据美国学者詹姆斯马丁的测算，在近年，人类知识总量已达到每三年翻一番，2021年甚至会达到每73天翻一番的空前速度因此，基础教育的任务已不是教会一个人一切知识，而是让一个人学会学习已知2000年底，人类知识总量为a，假如从2000年底到xx 年底是每三年翻一番，从xx年底到xx年底是每一年翻一番，2021年是每73天翻一番试回答1xx年底人类知识总量是多少2xx 年底人类知识总量是多少32021年按365天计算，2021年底人类知识总量是多少解由于翻一番是在原来的基础上乘以2，翻两番是在原来的基础上乘以22，，翻n番是在原来的基础上乘以2n.于是1从2000年底到xx年底是每三年翻一番，共翻三番，在a的基础上，xx年底人类知识总量为23a8a.2从xx年底到xx年底是每一年翻一番，共翻番，所以xx年底人类知识总量为8a2108192a.32021年是每73天翻一番，而2021年按365天计算，共翻五番，所以2021年底人类知识总量为8192a25262144a.课堂达标1一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V形架上摆放的铅笔的总数为A7260B8000C7200D6000答案A解析从下向上依次放了1,2,3，，120支铅笔，共放了铅笔1231207260支故选A.2某单位某年12月份产量是同年1月份产量的m倍，那么该单位此年产量的月平均增长率是A.B.C.1D.1答案C解析设1月份产量为a，则12月份产量为ma，设月增长率为x，则a1x11ma，x1.3据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,xx年产生的垃圾量为a吨由此预测，该区xx年的垃圾量为________吨答案a1b5解析由于xx年产生的垃圾量为a吨，由题意，得xx年的垃圾量为aaba1b，xx年产生的垃圾量为a1ba1bba1b2，由此得出该区xx年的垃圾量为a1b5.4银行一年定期储蓄存款年息为r，三年定期储蓄存款年息为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于________答案1r31解析设本金为1，按一年定期存款，到期自动转存，三年总收益为1r31；若按三年定期存款，三年的总收益为3q，为鼓励储户三年定期存款，应使3q1r31.即q1r31课堂小结数列应用问题的常见模型1等差模型一般地，如果增加或减少的量是一个固定的具体量时，该模型是等差模型，其一般形式是an1and常数例如银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和ya1xr2等比模型一般地，如果增加或减少的量是一个固定百分数时，该模型是等比模型，其一般形式是100q常数例如银行储蓄复利公式ya1rx.产值模型原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值yN1px.3混合模型在一个问题中，同时涉及等差数列和等比数列的模型4生长模型如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加，同时又以一个固定的具体量增加或减少，称该模型为生长模型，如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等。

一.专题内容：等比数列综合，数列在分期付款中的应用。

二. 重点与难点：教材中分期付款问题的具体要求：（1）在分期付款中，每月的利息均按复利计算；（2）分期付款中规定每期所付款额相同；（3）分期付款时，商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随着时间推移而不断增值；（4）各期所付款额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和。

例题选讲：例1. 家用电器一件，现价2000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月付款一次，以后每月付款一次，共付12次，即购买一年后付清，如果按月利率8‰，每月复利一次计算，那么每期应付款多少？解法一：设每期应付款x元，则：第一次付款与到最后一次付款所生利息之和为x(1+0.008)11元。

第二次付款与到最后一次付款所生利息之和为x(1+0.008)10元。

……第十一次付款与到最后一次付款所生利息之和为x(1+0.008)元。

第十二次付款已没有利息问题，即为x元。

所以各期付款连同利息之和为又所购电器的现价及其利息之和为即每期应付款175.46元。

解法二：设每期付款x元，第k月后欠商店货款为a k元(k=1，2， (12)……即每期应付款约为175.46元。

小结：两种解法从不同角度解决了分期付款问题，相比较而言解法一（即教材所提供的解法）简便易行，通过两种方法的比较，也可进一步加深对分期付款问题的理解。

例2. 某商店为了促进商品销售，特定优惠方式，即购买某种家用电器有两种付款方式可供顾客选择，家用电器价格2150元。

第一种付款方式：购买当天先付150元，以后每月这一天都交付200元，并加付欠款利息。

每月利息按复利计算，月利率1%。

第二种付款方式：购买当天先付150元，以后每个月付款一次，10个月付清，每月付款金额相同，每月利息按复利计算，月利率1%。

试比较两种付款方式，计算每月所付金额及购买这件家电总共所付金额。

解：第一种付款方式：购买时付出150元，则欠款2000元，按要求知10次付清，则以后：第一次应付a1=200+2000×0.01=220（元）第二次应付a2=200+(2000-200)×0.01=200+1800×0.01=218（元）第三次应付a3=200+(2000-2×200)×0.01=200+1600×0.01=216（元）…每次所付的款额顺次构成数列{a n}，{a n}是以220为首项，-2为公差的等差数列。

9．4分期付款问题中的有关计算[读教材·填要点]1．单利单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为利息＝本金×利率×存期．若以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和，则有S＝P(1＋nr)．2．复利把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，若以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和，则有复利的计算公式为S ＝P(1＋r)n.[小问题·大思维]1．单利和复利分别对应什么函数类型？[提示]单利对应一次函数模型，复利对应指数函数模型．2．单利和复利分别与等差数列和等比数列中的哪一种数列对应？[提示]单利和复利分别以等差数列和等比数列为模型，即单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列．用分期付款购买价格为25万元的住房一套，按单利计算如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止．商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？[解]购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{a n}，则a1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；a2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)；a3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)；…；a n ＝2＋[25－5－(n －1)·2]·10%＝⎝⎛⎭⎫4－n －15(万元)(n ＝1,2，…，10)．因而数列{a n }是首项为4，公差为－15的等差数列．a 5＝4－5－15＝3.2(万元)．S 10＝10×4＋10×(10－1)×⎝⎛⎭⎫－152＝31(万元)．31＋5＝36(万元)，因此第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元．按单利分期付款的数学模型是等差数列，解决该类问题的关键是弄清楚： (1)规定多少时间内付清全部款额；(2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同；(3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内利息的计算公式．1．某人从1月起，每月第一天存入100元，到第12个月最后一天取出全部本金及利息，按照单利计息，若月利率为1.65‰，求到年底的本利和．解：第1月存入的100元到12月底的利息为a 1＝100×0.001 65×12， 第2月存入的100元到12月底的利息为a 2＝100×0.001 65×11，… 第12月存入的100元到12月底的利息为a 12＝100×0.001 65，全部利息和为S 12＝a 1＋a 2＋…＋a 12＝100×0.001 65×(1＋2＋…＋12)＝0.165×78＝12.87(元)，按单利计息，到年底所取出的本利和为1 212.87元.某人购买价值为10 000元的彩电，采用分期付款的方法，每期付款数相同，购买后1个月付款一次，过1个月再付一次，如此下去，到第24次付款后全部付清，已知月利率为0.8%，如果每月利息按复利计算。

高一数学分期付款问题中的有关计算试题1.（2014•辽宁二模）设a＞1，定义，如果对任意的n∈N*且n≥2，不等式12f（n）+7loga b＞7loga+1b+7（a＞0且a≠1）恒成立，则实数b的取值范围是（）A．B．（0，1）C．（0，4）D．（1，+∞）【答案】D【解析】由不等式12f（n）+7loga b＞7loga+1b+7恒成立这条件转化化为“f（n）＞t”这个形式，要求t，先求f（n）的最小值，最后就是利用a与b的关系求出b的范围．解：由知，，∴=，∴f（n）是递增数列．∴当n≥2时，f（n）的最小值是f（2）=，要使对任意的n∈N*且n≥2，不等式12f（n）+7loga b＞7loga+1b+7恒成立，则满足12•+7loga b＞7loga+1b+7，即loga b＞loga+1b，即，∴∵a＞1，∴lgb＞0，即b＞1．故选D．点评：此题考查数列的增减性，及不等式恒成立问题的常规解法，一般都是转化为求函数的最值来解决．2.（2013•杨浦区一模）已知数列{an}是各项均为正数且公比不等于1的等比数列．对于函数y=f（x），若数列{lnf（an）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的如下函数：①，②f（x）=x2，③f（x）=e x，④，则为“保比差数列函数”的所有序号为（）A．①②B．③④C．①②④D．②③④【答案】C【解析】设数列{an }的公比为q（q≠1），利用保比差数列函数的定义，验证数列{lnf（an）}为等差数列，即可得到结论．解：设数列{an}的公比为q（q≠1）①由题意，lnf（an ）=ln，∴lnf（an+1）﹣lnf（an）=ln﹣ln=ln=﹣lnq是常数，∴数列{lnf（an ）}为等差数列，满足题意；②由题意，lnf（an ）=ln，∴lnf（an+1）﹣lnf（an）=ln﹣ln=lnq2=2lnq是常数，∴数列{lnf（an ）}为等差数列，满足题意；③由题意，lnf（an ）=ln，∴lnf（an+1）﹣lnf（an）=ln﹣ln=an+1﹣an不是常数，∴数列{lnf（an）}不为等差数列，不满足题意；④由题意，lnf（an ）=ln，∴lnf（an+1）﹣lnf（an）=ln﹣ln=lnq是常数，∴数列{lnf（an）}为等差数列，满足题意；综上，为“保比差数列函数”的所有序号为①②④故选C．点评：本题考查新定义，考查对数的运算性质，考查等差数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3.（2013•东城区模拟）在圆x2+y2﹣5y=0内，过点作n条弦（n∈N+），它们的长构成等差数列{an }，若a1为过该点最短的弦，an为过该点最长的弦，且公差，则n的值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】根据题设条件求出a1和an，然后由公差，可以推导出n的值．解：由题意知a1对应的方程是，an对应的方程的方程为，把代入圆x2+y2﹣5y=0得到交点坐标为和，∴a1=4，an=5，∴4+（n﹣1）d=5，∴．∵公差，∴，解得4＜n＜6．故选B．点评：本题考查圆的方程和数列的知识，解题时要注意公式的灵活运用．4.（2013•湖北模拟）定义：在数列{an }中，若满足﹣=d（n∈N+，d 为常数），称{an}为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{an }中，a1=a2=1，a3=3，则=（）A．4×20122﹣1B．4×20132﹣1C．4×20142﹣1D．4×20132【答案】A【解析】利用定义，可得{}是以1为首项，2为公差的等差数列，从而=2n﹣1，利用=，可得结论．解：∵a1=a2=1，a3=3，∴=2，∴{}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴=2n﹣1，∴==（2•2014﹣1）（2•2013﹣1）=4×20122﹣1．故选：A．点评：本题考查数列的应用，考查新定义，求出=2n﹣1是关键．5.（2013•郑州一模）把70个面包分5份给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小的1份为．（）A．2B．8C．14D．20【答案】A【解析】设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（d＞0），由五个人的面包和为100，得a的值，由较大的三份之和的是较小的两份之和，得d的值，从而得最小的1份的值．解：设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（其中d＞0），则（a﹣2d）+（a﹣d）+a+（a+d）+（a+2d）=5a=70，∴a=14，∵使较大的三份之和的是较小的两份之和，∴（a+a+d+a+2d）=a﹣2d+a﹣d，得3a+3d=6（2a﹣3d），∴21d=9a，∴d=6∴a﹣2d=14﹣12=2故选A．点评：本题考查了等差数列模型的实际应用，考查学生的计算能力，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果．6.（2013•烟台一模）已知数列{an}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{1nf（an）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=e x③f（x）=，则为“保比差数列函数”的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【答案】C【解析】设数列{an }的公比为q（q≠1），利用保比差数列函数的定义，验证数列{lnf（an）}为等差数列，即可得到结论．解：设数列{an}的公比为q（q≠1）①由题意，lnf（an ）=ln，∴lnf（an+1）﹣lnf（an）=ln﹣ln=ln=﹣lnq是常数，∴数列{lnf（an ）}为等差数列，满足题意；②由题意，lnf（an ）=ln，∴lnf（an+1）﹣lnf（an）=ln﹣ln=an+1﹣an不是常数，∴数列{lnf（an）}不为等差数列，不满足题意；③由题意，lnf（an ）=ln，∴lnf（an+1）﹣lnf（an）=ln﹣ln=lnq是常数，∴数列{lnf（an）}为等差数列，满足题意；综上，为“保比差数列函数”的所有序号为①③故选C．点评：本题考查新定义，考查等差数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7.（2013•广州二模）某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即使用多少年的年平均费用最少）是（）A．8 年B．1O 年C．12 年D．15 年【答案】B【解析】设这辆汽车报废的最佳年限n年，第n年的费用为an，依题意，可求得前n年的总费用Sn及年平均费用，利用基本不等式即可求得这辆汽车报废的最佳年限．解：设这辆汽车报废的最佳年限n年，第n年的费用为an，则an=1.5+0.3n，前n年的总费用为：Sn=15+1.5n++=0.15n2+1.65n+15．年平均费用：=0.15n++1.65≥2+1.65=2+1.65=4.65当且仅当0.15n=即n=10时，年平均费取得最小值．所以则这辆汽车报废的最佳年限10年．故选B．点评：本题考查数列的应用，求得前n年的总费用Sn及年平均费用是关键，考查分析运算能力，属于中档题．8.（2011•武昌区模拟）已知数列{an }的前n项和为Sn=a n﹣1（a为不为零的实数），则此数列（）A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．或是等差数列或是等比数列D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列【答案】C【解析】由题意可知，当a=1时，an ﹣an﹣1=0；当a≠1时，，所以数列{a n}或是等差数列或是等比数列．解：当a=1时，a1=a﹣1=0，a n =Sn﹣Sn﹣1=（a n﹣1）﹣（a n﹣1﹣1）=0，a n ﹣1=S n﹣1﹣S n﹣2=（a n﹣1﹣1）﹣（a n﹣2﹣1）=0，∴an ﹣an﹣1=0，∴数列{an}是等差数列．当a≠1时，a1=a﹣1，a n =Sn﹣Sn﹣1=（a n﹣1）﹣（a n﹣1﹣1）=a n﹣a n﹣1，an﹣1=S n﹣1﹣S n﹣2=（a n﹣1﹣1）﹣（a n﹣2﹣1）=a n﹣1﹣a n﹣2，，∴数列{an}是等比数列．综上所述，数列{an}或是等差数列或是等比数列．故选C．点评：本题考查数列的概念，解题时要注意a=0的情况，避免丢解．9.（2012•浙江模拟）已知数列{an }，an=﹣2n2+λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，3]B．（﹣∞，4]C．（﹣∞，5）D．（﹣∞，6）【答案】D【解析】若数列{an }为单调递减数列，则an+1﹣an＜0对于任意n∈N*都成立，得出﹣4n﹣2+λ＜0，采用分离参数法求实数λ的取值范围即可．解：∵对于任意的n∈N*，an =﹣2n2+λn恒成立，∴an+1﹣an=﹣2（n+1）2+λ（n+1）+2n2﹣λn=﹣4n﹣2+λ，∵{an }是递减数列，∴an+1﹣an＜0，∴﹣4n﹣2+λ＜0∴λ＜4n+2∵n=1时，4n+2取得最小值为6，∴λ＜6．故选D．点评：本题考查数列的函数性质，考查了转化、计算能力，分离参数法的应用．10.（2012•西城区二模）对数列{an }，如果∃k∈N*及λ1，λ2，…，λk∈R，使an+k=λ1an+k﹣1+λ2a n+k﹣2+…+λk a n成立，其中n∈N*，则称{a n}为k阶递归数列．给出下列三个结论：①若{an }是等比数列，则{an}为1阶递归数列；②若{an }是等差数列，则{an}为2阶递归数列；③若数列{an }的通项公式为，则{an}为3阶递归数列．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】利用等差数列、等比数列和数列{an}的通项公式为的性质，根据k阶递归数列的定义，逐个进行判断，能够求出结果．解：①∵{an }是等比数列，∴an =，an+1=qan，∴∃k=1，λ=q，使an+k =qan+k﹣1成立，∴{an }为1阶递归数列，故①成立；②∵{an }是等差数列，∴an =a1+（n﹣1）d，∴∃k=2，λ1=2，λ2=﹣1，使an+2=λ1an+k﹣1+λ2a n+k﹣2成立，∴{an }为2阶递归数列，故②成立；③∵若数列{an}的通项公式为，∴∃k=3，λ1=3，λ2=﹣3，λ3=1，使an+3=λ1an+k﹣1+λ2a n+k﹣2+λ3a n+k﹣3成立，∴{an}为3阶递归数列，故③成立．故选D．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意正确理解k阶递归数列的定义．。

高一数学分期付款问题中的有关计算试题1. （2015•资阳模拟）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小1份为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设五个人所分得的面包为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a+d ，a+2d ，（d ＞0）；则由五个人的面包和为100，得a 的值；由较大的三份之和的是较小的两份之和，得d 的值；从而得最小的1分a ﹣2d 的值．解：设五个人所分得的面包为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a+d ，a+2d ，（其中d ＞0）； 则，（a ﹣2d ）+（a ﹣d ）+a+（a+d ）+（a+2d ）=5a=100，∴a=20；由（a+a+d+a+2d ）=a ﹣2d+a ﹣d ，得3a+3d=7（2a ﹣3d ）；∴24d=11a ，∴d=55/6； 所以，最小的1分为a ﹣2d=20﹣=．故选A ．点评：本题考查了等差数列模型的实际应用，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果．2. （2014•鹰潭二模）对于各项均为整数的数列{a n }，如果a i +i （i=1，2，3，…）为完全平方数，则称数列{a n }具有“P 性质”，如果数列{a n }不具有“P 性质”，只要存在与{a n }不是同一数列的{b n }，且{b n }同时满足下面两个条件：①b 1，b 2，b 3，…b n 是a 1，a 2，a 3，…，a n 的一个排列；②数列{b n }具有“P 性质”，则称数列{a n }具有“变换P 性质”，下面三个数列：①数列1，2，3，4，5；②数列1，2，3，…，11，12；③数列{a n }的前n 项和为S n =（n 2﹣1）．其中具有“P 性质”或“变换P 性质”的有（ ） A ．③B ．①③C ．①②D ．①②③【答案】D【解析】对于①，数列1，2，3，4，5，具有“变换P 性质”，数列{b n }为3，2，1，5，4，具有“P 性质”；对于②，因为11，4都只有与5的和才能构成完全平方数，所以1，2，3，…，11，不具有“变换P 性质”；对于③，求出数列{a n }的通项，验证a i +i=i 2（i=1，2，3，…）为完全平方数，可得结论解：对于①，数列1，2，3，4，5，具有“变换P 性质”，数列{b n }为3，2，1，5，4，具有“P 性质”，∴数列{a n }具有“变换P 性质”；对于②，∵11，4都只有与5的和才能构成完全平方数， ∴1，2，3，…，11，不具有“变换P 性质”． 对于③，当n≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2﹣n ∵a 1=0，∴a n =n 2﹣n ．∴a i +i=i 2（i=1，2，3，…）为完全平方数 ∴数列{a n }具有“P 性质”； 故选：D ．点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键．3. （2013•东城区模拟）在圆x 2+y 2﹣5y=0内，过点作n 条弦（n ∈N +），它们的长构成等差数列{an }，若a1为过该点最短的弦，an为过该点最长的弦，且公差，则n的值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】根据题设条件求出a1和an，然后由公差，可以推导出n的值．解：由题意知a1对应的方程是，an对应的方程的方程为，把代入圆x2+y2﹣5y=0得到交点坐标为和，∴a1=4，an=5，∴4+（n﹣1）d=5，∴．∵公差，∴，解得4＜n＜6．故选B．点评：本题考查圆的方程和数列的知识，解题时要注意公式的灵活运用．4.（2013•湖北模拟）定义：在数列{an }中，若满足﹣=d（n∈N+，d 为常数），称{an}为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{an }中，a1=a2=1，a3=3，则=（）A．4×20122﹣1B．4×20132﹣1C．4×20142﹣1D．4×20132【答案】A【解析】利用定义，可得{}是以1为首项，2为公差的等差数列，从而=2n﹣1，利用=，可得结论．解：∵a1=a2=1，a3=3，∴=2，∴{}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴=2n﹣1，∴==（2•2014﹣1）（2•2013﹣1）=4×20122﹣1．故选：A．点评：本题考查数列的应用，考查新定义，求出=2n﹣1是关键．5.（2013•郑州一模）把70个面包分5份给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小的1份为．（）A．2B．8C．14D．20【答案】A【解析】设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（d＞0），由五个人的面包和为100，得a的值，由较大的三份之和的是较小的两份之和，得d的值，从而得最小的1份的值．解：设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（其中d＞0），则（a﹣2d）+（a﹣d）+a+（a+d）+（a+2d）=5a=70，∴a=14，∵使较大的三份之和的是较小的两份之和，∴（a+a+d+a+2d）=a﹣2d+a﹣d，得3a+3d=6（2a﹣3d），∴21d=9a，∴d=6∴a﹣2d=14﹣12=2故选A．点评：本题考查了等差数列模型的实际应用，考查学生的计算能力，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果．6.（2012•包头一模）已知{an }为等差数列，若a1+a5+a9=π，则cos（a2+a8）的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先利用等差数列的性质求出a5=，进而有a2+a8=，再代入所求即可．解：因为{an }为等差数列，且a1+a5+a9=π，由等差数列的性质；所以有a5=，所以a2+a8=，故cos（a2+a8）=﹣故选 A．点评：本题是对等差数列性质以及三角函数值的考查．这一类型题，考查的都是基本功，是基础题．7.（2011•南昌三模）设a1，a2，…，a50是从﹣1，0，1这三个整数中取值的数列，若a 1+a2+…+a50=9，且（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a50+1）2=107，则a1，a2，…，a50中有0的个数为（）A．10B．11C．12D．13【答案】B【解析】将已知的等式展开整理得a12+a22+a32+…+a502=39，故此50个数中有11个数为0．解：∵a1+a2+…+a50=9，且（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a50+1）2=107，∴a12+2a1+1+a22+2a2+1+a32+…+a502+2a50+1=107，∴a12+a22+a32+…+a502=39．∴50个数中有11个数为0，故选B．点评：本题考查数列的性质及其应用，解题时要注意审题，认真解答．8.（2012•浙江模拟）已知数列{an }，an=﹣2n2+λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，3]B．（﹣∞，4]C．（﹣∞，5）D．（﹣∞，6）【答案】D【解析】若数列{an }为单调递减数列，则an+1﹣an＜0对于任意n∈N*都成立，得出﹣4n﹣2+λ＜0，采用分离参数法求实数λ的取值范围即可．解：∵对于任意的n∈N*，an =﹣2n2+λn恒成立，∴an+1﹣an=﹣2（n+1）2+λ（n+1）+2n2﹣λn=﹣4n﹣2+λ，∵{an }是递减数列，∴an+1﹣an＜0，∴﹣4n﹣2+λ＜0∴λ＜4n+2∵n=1时，4n+2取得最小值为6，∴λ＜6．故选D．点评：本题考查数列的函数性质，考查了转化、计算能力，分离参数法的应用．9.（2012•包头三模）已知有穷数列A：a1，a2，…，an（n≥2，n∈N）．定义如下操作过程T：从A中任取两项ai ，aj，将的值添在A的最后，然后删除ai，aj，这样得到一系列n﹣1项的新数列A1（约定：一个数也视作数列）；对A1的所有可能结果重复操作过程T又得到一系列n﹣2项的新数列A2，如此经过k次操作后得到的新数列记作Ak．设A：，则A3的可能结果是（）A．0B．C．D．【答案】B【解析】因为是单选题，可用排除法，逐一试验．解：因4数中，最简单，可先试这两个数，=，则数列A1为﹣，，．又由于﹣和之和为0，故计算=0，则A2为，0．计算=，有此选项．故选B点评：本题考查数列的概念，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误．10.（2012•奉贤区二模）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是Pn =P（1+k）n（k＞﹣1），其中Pn 为预测期人口数，P为初期人口数，k为预测期内年增长率，n为预测期间隔年数．如果在某一时期有﹣1＜k＜0，那么在这期间人口数（）A．呈上升趋势B．呈下降趋势C．摆动变化D．不变【答案】B【解析】由题设知Pn+1﹣Pn=P（1+k）n+1﹣P（1+k）n=P（1+k）n（1+k﹣1）=P（1+k）n•k，由﹣1＜k＜0，知0＜1+k＜1．所以（1+k）n＞0．由此能求出Pn+1＜Pn．解：Pn+1﹣Pn=P（1+k）n+1﹣P（1+k）n=P（1+k）n（1+k﹣1）=P（1+k）n•k，∵﹣1＜k＜0，∴0＜1+k＜1．∴（1+k）n＞0．又∵P0＞0，k＜0，∴P（1+k）n•k＜0．即Pn+1﹣Pn＜0，∴Pn+1＜Pn．故选B．解法二：由题意，k为预测期内年增长率，如果在某一时期有﹣1＜k＜0，即年增长率为负，故这期间人口数呈下降趋势，故选B点评：本题考查数列的应用，是中档题．解题时要认真审题，注意题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．。