高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3节圆的方程教学案含解析理

高考数学一轮复习第八章平面解析几何：第三节 圆的方程命题分析预测学科核心素养本节是命题的热点，主要考查圆的方程，多以选择题和填空题形式考查，难度中等．本节通过圆的方程的求法考查数学运算和直观想象核心素养．授课提示：对应学生用书第171页 知识点一 圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2（r ＞0）圆心C （a ，b ）半径为r 一般x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）充要条件： D 2＋E 2－4F ＞0圆心坐标：⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2半径r ＝ 12D 2＋E 2－4F• 温馨提醒 •二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F >0，与一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的判别式Δ＝b 2－4ac 相类似，表述的都是一次项的平方和减去二次项与常数项积的4倍，只有把条件理解了、记清楚了，才不会陷入命题人设置的这个“陷阱”．1．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是_________． 解析：将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得⎝⎛⎭⎫x ＋m 22＋（y －1）2＝m24－2． 由其表示圆可得m 24－2＞0，解得m ＜－22或m ＞22．答案：（－∞，－22）∪（22，＋∞）2．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋（a ＋2）y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是 ，半径是_________．解析：由题可得a 2＝a ＋2，解得a ＝－1或a ＝2．当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，表示圆，故圆心为（－2，－4），半径为5．当a ＝2时，方程不表示圆． 答案：（－2，－4） 53．圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A （－1，1）和B （1，3），则圆C 的方程为_________． 解析：设圆心坐标为C （a ，0），因为点A （－1，1）和B （1，3）在圆C 上， 所以|CA |＝|CB |，即（a ＋1）2＋1＝（a －1）2＋9， 解得a ＝2，所以圆心为C （2，0），半径|CA |＝（2＋1）2＋1＝10， 所以圆C 的方程为（x －2）2＋y 2＝10． 答案：（x －2）2＋y 2＝10 知识点二 点与圆的位置关系平面上的一点M （x 0，y 0）与圆C ：（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2之间存在着下列关系： （1）d ＞r ⇔M 在圆外，即（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2＞r 2⇔M 在圆外； （2）d ＝r ⇔M 在圆上，即（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2＝r 2⇔M 在圆上； （3）d ＜r ⇔M 在圆内，即（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2＜r 2⇔M 在圆内Ｗ．1．（2021·南昌二中月考）若坐标原点在圆（x －m ）2＋（y ＋m ）2＝4的内部，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（－1，1） B ．（－3，3） C ．（－2，2）D ．⎝⎛⎭⎫－22，22 解析：∵原点（0，0）在圆（x －m ）2＋（y ＋m ）2＝4的内部， ∴（0－m ）2＋（0＋m ）2＜4，解得－2＜m ＜2． 答案：C2．若点（1，1）在圆（x －a ）2＋（y ＋a ）2＝4的内部，则实数a 的取值范围是_________． 解析：因为点（1，1）在圆内，所以（1－a ）2＋（a ＋1）2＜4，即－1＜a ＜1． 答案：（－1，1）授课提示：对应学生用书第171页题型一 圆的方程求法[例] 求满足下列条件的圆的方程：（1）过点A （4，1）的圆C 与直线l ：x －y －1＝0相切于点B （2，1）；（2）已知圆C 经过P （－2，4），Q （3，－1）两点，且在x 轴上截得的弦长等于6． [解析] （1）法一：由已知k AB ＝0， 所以AB 的中垂线方程为x ＝3． ①过点B 且垂直于直线x －y －1＝0的直线方程为y －1＝－（x －2）， 即x ＋y －3＝0， ②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，所以圆心坐标为（3，0），半径r ＝（4－3）2＋（1－0）2＝2， 所以圆C 的方程为（x －3）2＋y 2＝2．法二：设圆方程为（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2（r ＞0）， 因为点A （4，1），B （2，1）都在圆上，故⎩⎪⎨⎪⎧（4－a ）2＋（1－b ）2＝r 2，（2－a ）2＋（1－b ）2＝r 2， 又因为b －1a －2＝－1，解得a ＝3，b ＝0，r ＝2，故所求圆的方程为（x －3）2＋y 2＝2．（2）设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）， 将P ，Q 两点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20， ①3D －E ＋F ＝－10. ②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0． ③ 设x 1，x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6，即（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝36， 得D 2－4F ＝36， ④由①②④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8， 或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0．故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0．求圆的方程的两种方法（1）几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．（2）待定系数法：①若已知条件与圆心（a ，b ）和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．[对点训练]已知圆C 经过直线x ＋y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝4的交点，且圆C 的圆心在直线2x －y －3＝0上，则圆C 的方程为_________．解析：设所求圆的方程为（x 2＋y 2－4）＋a （x ＋y ＋2）＝0，a ≠0，即x 2＋y 2＋ax ＋ay －4＋2a ＝0，所以圆心为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 2，因为圆心在直线2x －y －3＝0，所以－a ＋a2－3＝0，所以a ＝－6． 所以圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y －16＝0，即（x －3）2＋（y －3）2＝34． 答案：（x －3）2＋（y －3）2＝34题型二 与圆有关的轨迹问题[例] （2021·衡水中学调研）已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A （－1，0），B （3，0）．求： （1）直角顶点C 的轨迹方程； （2）直角边BC 的中点M 的轨迹方程．[解析] （1）法一：设C （x ，y ），因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0． 因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1， 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0．因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0（y ≠0）．法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D （1，0），由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2．由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D （1，0）为圆心，2为半径的圆（由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点）．所以直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（y≠0）．（2）设M（x，y），C（x0，y0），因为B（3，0），M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝x0＋32，y＝y0＋02，所以x0＝2x－3，y0＝2y．由（1）知，点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（y≠0），将x0＝2x－3，y0＝2y代入得（2x －4）2＋（2y）2＝4，即（x－2）2＋y2＝1．因此动点M的轨迹方程为（x－2）2＋y2＝1（y≠0）．求与圆有关的轨迹方程的方法[对点训练]如图，已知点A（－1，0）与点B（1，0），C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至点D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程．解析：设动点P的坐标为（x，y），由题意可知P是△ABD的重心．令动点C的坐标为（x0，y0），由A（－1，0），B（1，0），可知点D的坐标为（2x0－1，2y0），由重心坐标公式得⎩⎨⎧x ＝－1＋1＋2x 0－13，y ＝2y 03，解得⎩⎨⎧x 0＝3x ＋12，y 0＝3y2（y ≠0），代入x 20＋y 20＝1并整理得⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49（y ≠0）． 故所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49（y ≠0）． 题型三 与圆有关的最值、范围问题[例] （2021·兰州市高三诊断考试）已知圆C ：（x －1）2＋（y －4）2＝10和点M （5，t ），若圆C 上存在两点A ，B 使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[－2，6] B ．[－3，5] C ．[2，6]D ．[3，5][解析] 法一：当MA ，MB 是圆C 的切线时，∠AMB 取得最大值．若圆C 上存在两点A ，B 使得MA ⊥MB ，则MA ，MB 是圆C 的切线时，∠AMB ≥90°，∠AMC ≥45°，且∠AMC ＜90°，如图，所以|MC |＝（5－1）2＋（t －4）2≤10sin 45°＝20，所以16＋（t －4）2≤20，所以2≤t ≤6．法二：由于点M （5，t ）是直线x ＝5上的点，圆心的纵坐标为4，所以实数t 的取值范围一定关于t ＝4对称，故排除选项A ，B ．当t ＝2时，|CM |＝25，若MA ，MB 为圆C 的 切线，则sin ∠CMA ＝sin ∠CMB ＝1025＝22，所以∠CMA ＝∠CMB ＝45°，即MA ⊥MB ，所以t ＝2时符合题意，故排除选项D ． [答案] C与圆有关的最值、范围问题一是利用数形结合思想进行临界分析，二是利用条件建立目标函数转化为函数最值或值域问题．[对点训练]（2021·厦门模拟）设点P （x ，y ）是圆：x 2＋（y －3）2＝1上的动点，定点A （2，0），B （－2，0），则P A →·PB →的最大值为_________．解析：由题意，知P A →＝（2－x ，－y ），PB →＝（－2－x ，－y ），所以P A →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P （x ，y ）是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋（y －3）2＝1，故x 2＝－（y －3）2＋1，所以P A →·PB →＝－（y －3）2＋1＋y 2－4＝6y －12．由圆的方程x 2＋（y －3）2＝1，易知2≤y ≤4，所以当y ＝4时，P A →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12． 答案：12与圆有关的轨迹问题中的核心素养直观想象——从课本习题看“阿波罗尼斯”圆历史背景：阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德一起被称为亚历山大时期的数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要的研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，“阿波罗尼斯”圆是他的研究成果之一．[例] 已知点M 与两个定点O （0，0），A （3，0）的距离之比为12，求点M 的轨迹方程．[解析] 如图所示，设动点M （x ，y ），连接MO ，MA ，有：|MA |＝2|MO |，即（x －3）2＋y 2＝2x 2＋y 2，化简得：x 2＋y 2＋2x －3＝0， 即（x ＋1）2＋y 2＝4 ①，则方程①即为所求点M 的轨迹方程，它表示以C （－1，0）为圆心，2为半径的圆．若对此题进行二次开发，从系统的高度切入，可以进行从特殊到一般的推广探究，还可以分析挖掘出这道题的几何背景，题中所求出的圆，我们习惯上称这种圆为“阿波罗尼斯”圆．“阿波罗尼斯”圆不仅是具有数学文化的探究素材，而且在高考中以它为背景的考题也经常出现．[对点训练]阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，“阿波罗尼斯”圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M 的轨迹就是“阿波罗尼斯”圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O ：x 2＋y 2＝1上的动点M 和定点A ⎝⎛⎭⎫－12，0，B （1，1），则2|MA |＋|MB |的最小值为（ ） A ．6 B ．7 C ．10D ．11解析：当点M 在x 轴上时，点M 的坐标为（－1，0）或（1，0）．若点M 的坐标为（－1，0），则2|MA |＋|MB |＝2×12＋（1＋1）2＋12＝1＋5；若点M 的坐标为（1，0），则2|MA |＋|MB |＝2×32＋（1－1）2＋12＝4．当点M 不在x 轴上时，取点K （－2，0），连接OM ，MK （图略），因为|OM |＝1，|OA |＝12，|OK |＝2，所以|OM ||OA |＝|OK ||OM |＝2．因为∠MOK ＝∠AOM ，所以△MOK ∽△AOM ，则|MK ||MA |＝|OM ||OA |＝2，所以|MK |＝2|MA |，则2|MA |＋|MB |＝|MB |＋|MK |．易知|MB |＋|MK |≥|BK |，可知|MB |＋|MK |的最小值为|BK |．因为B （1，1），K （－2，0），所以（2|MA |＋|MB |）min ＝|BK |＝（－2－1）2＋（0－1）2＝10． 综上，易知2|MA |＋|MB |的最小值为10． 答案：C。

[考纲传真] 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．圆的定义及方程点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2. [常用结论]1．圆心为坐标原点，半径为r 的圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.2．以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径． ( ) (2)方程x 2＋y 2＝a 2表示半径为a 的圆． ( ) (3)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆．( )(4)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0. [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D [由题意得圆的半径为2，故该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，故选D ．] 3．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14＜m ＜1 B ．m ＜14或m ＞1C ．m ＜14D ．m ＞1B [由16m 2－20m ＋4＞0得m ＜14或m ＞1.故选B ．]4．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．a ＝±1A [由题意可得(1－a )2＋(1＋a )2＜4，即－1＜a ＜1.故选A.]5．(教材改编)圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为________． (x －2)2＋y 2＝10 [设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上， ∴|CA |＝|CB |，即a ＋2＋1＝a －2＋9，解得a ＝2，所以圆心为C (2,0)， 半径|CA |＝＋2＋1＝10，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.]圆的方程【例1】 (1)圆E 经过三点A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)，则圆E 的标准方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342＋y 2＝2516C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝254(2)过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4(1)C (2)C [(1)设圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧E ＋F ＋1＝0，4＋2D ＋F ＝0，1－E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－32，E ＝0，F ＝－1.∴x 2＋y 2－32x －1＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋y 2＝2516.故选C.(2)∵圆心在直线x ＋y －2＝0上，∴设圆心坐标为(a,2－a )． ∴圆的半径r ＝a －2＋－a ＋2＝a ＋2＋－a －2，解得a ＝1，r ＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.故选C.](1)(2018·合肥二模)已知圆C ：(x －6)＋(y －8)＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( )A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100 B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100 C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25(2)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．(1)C (2)(x －2)2＋(y －1)2＝4 [(1)由题意可知圆心C 为(6,8)，则以OC 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.故选C.(2)设圆C 的圆心为(a ，b )(b ＞0)，由题意得a ＝2b ＞0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1. 所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.] 与圆有关的最值问题【例2】 已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)． (1)求|MQ |的最大值和最小值； (2)求y －3x ＋2的最大值和最小值． [解] (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝＋2＋－2＝42，∴|MQ |m ax ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2. (2)可知y －3x ＋2表示直线MQ 的斜率k . 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0. 由直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3， ∴y －3x ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. [母题探究] (1)(变化结论)在本例的条件下，求y －x 的最大值和最小值．(2)(变换条件)若本例中条件“点Q (－2,3)”改为“点Q 是直线3x ＋4y ＋1＝0上的动点”，其它条件不变，试求|MQ |的最小值．[解] (1)设y －x ＝b ，则x －y ＋b ＝0.当直线y ＝x ＋b 与圆C 相切时，截距b 取到最值， ∴|2－7＋b |12＋－2＝22，∴b ＝9或b ＝1.因此y －x 的最大值为9，最小值为1.(2)∵圆心C (2,7)到直线3x ＋4y ＋1＝0上动点Q 的最小值为点C 到直线3x ＋4y ＋1＝0的距离， ∴|QC |min ＝d ＝|2×3＋7×4＋1|32＋42＝7. 又圆C 的半径r ＝22， ∴|MQ |的最小值为7－2 2.(1)x －＋y －的最大值为( )A.26＋2 B ．26 C ．5D ．6(2)一束光线从点A (－1,1)出发，经x 轴反射到圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上的最短路径的长是( ) A ．4 B ．5 C ．32－1 D ．2 6(1)A (2)A [(1)x －2＋y －2的几何意义为点P (x ，y )与点A (1,1)之间的距离．易知点A (1,1)在圆x 2＋(y ＋4)2＝4的外部，由数形结合可知x －2＋y －2的最大值为－2＋＋2＋2＝26＋2.故选A.(2)由题意可得圆心C (2,3)，半径r ＝1，点A 关于x 轴的对称点A ′(－1，－1)，求得|A ′C |＝＋2＋＋2＝5，故最短路径为|A ′C |－r ＝5－1＝4，故选A.]与圆有关的轨迹问题【例3】 (2019·衡水调研)已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．[解] (1)法一：设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1， 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3， 所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．动点在圆＋＝1上移动时，它与定点(3,0)连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝4C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝12C [设中点M (x ，y )，则动点A (2x －3,2y )．∵点A 在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1，即(2x －3)2＋4y 2＝1.故选C.]1．(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]A [圆心(2,0)到直线的距离d ＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P 到直线的距离d 1∈[2，32]．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为A (－2,0)，B (0，－2)，所以|AB |＝22，所以△ABP 的面积S ＝12|AB |d 1＝2d 1.因为d 1∈[2，32]，所以S ∈[2,6]，即△ABP 面积的取值范围是[2,6]．]2．(2015·全国卷Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6D ．10C [设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，∴M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，∴|MN |＝46，故选C.]3．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 [由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，－m 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.]。

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8．3 圆的方程［知识梳理]1．圆的方程标准方程：(x－a)2＋(y－b）2＝r2（r＞0)一般方程:x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0）2．点与圆的位置关系平面上的一点M（x0,y0）与圆C：（x－a）2＋（y－b)2＝r2之间存在着下列关系：设d为点M(x0，y0）与圆心（a，b）的距离(1)d〉r⇔M在圆外，即（x0－a）2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外;（2)d＝r⇔M在圆上，即（x0－a)2＋(y0－b）2＝r2⇔M在圆上;(3）d<r⇔M在圆内，即(x0－a）2＋（y0－b)2<r2⇔M在圆内．[诊断自测］1．概念思辨(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2）方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为错误!，半径为错误!错误!的圆．( ）(3）已知点A(x1，y1），B(x2,y2)，则以AB为直径的圆的方程是（x－x1）（x－x2)＋(y－y1)（y－y2）＝0。

( )(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0,B ＝0,D2＋E2－4AF＞0。

（)答案(1)√(2）×(3)√（4)√2．教材衍化(1）(必修A2P120例3)过点C(－1，1)和D(1，3),圆心在x轴上的圆的方程是（）A．x2＋(y－2）2＝10 B．x2＋(y＋2)2＝10C．(x＋2）2＋y2＝10 D．（x－2)2＋y2＝10答案D解析依据题意知圆心为CD的垂直平分线与x轴的交点．由已知可得CD的垂直平分线的方程为x＋y－2＝0，即圆心为(2,0），所以半径为错误!＝错误!，故所求圆的方程为（x－2)2＋y2＝10。

第三节圆的方程1．圆的定义、方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心：(a，b)半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0条件：D2＋E2－4F>0圆心：⎝⎛⎭⎫－D2，－E2半径：r＝12_D2＋E2－4F2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(2)点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(3)点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.1．方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件：A＝C≠0，B＝0，且D2＋E2－4AF＞0.2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.1．(基础知识：圆的一般方程与标准方程的互化)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是() A．(2，3) B．(－2，3)C．(－2，－3) D．(2，－3)答案：D2．(基本方法：求圆的方程)过点A (1，－1)，B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 答案：C3．(基本方法：求圆的方程)△AOB 中，A (4，0)，B (0，3)，O (0，0)，则△AOB 外接圆的方程为________________．答案：x 2＋y 2－4x －3y ＝04．(基础知识：二元二次方程表示圆的条件)x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值X 围是________．答案：⎝⎛⎭⎫－2，23 5．(基本能力：数形结合)半径为3，圆心的横、纵坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为________________．答案：(x －3)2＋(y －3)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝9题型一 求圆的方程[典例剖析][典例] (1)圆心在y 轴上，半径长为1，且过点A (1，2)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝4解析：根据题意可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1，因为圆过点A (1，2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，所以所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.答案：A(2)在平面直角坐标系xOy 中，以点A (1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，求半径最大的圆的标准方程．解析：因为直线与圆相切，所以半径等于圆心到直线的距离，r ＝|m －0－2m －1|1＋m 2＝|m ＋1|1＋m 2＝（1＋m ）21＋m2＝1＋2m 1＋m 2，因为1＋m 2≥2m ，所以2m 1＋m2≤1，所以r ≤1＋1＝2，所以半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.方法总结求圆的方程的方法方法解读适合题型几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程，常用的几何性质如下：(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线 题设条件中有明显的几何特征待定系数法(1)根据条件设出圆的方程，一般地，若题目中有与圆心和半径有关的信息，选择标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，若已知圆上三点坐标(或三点坐标易求)，选择一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0；(2)由题目给出的条件，列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组；(3)解出a ，b ，r 或D ，E ，F ，代入标准方程或一般方程题设条件中有明显的代数特征[对点训练]1．(母题变式)将本例(1)改为圆心在y 轴上，且过点(3，1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋10y ＝0B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，可设圆的方程为x 2＋(y －r )2＝r 2，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.答案：B2．(母题变式)本例(2)改为：在平面直角坐标系xOy 中，过点A (1，0)作直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )的垂线，垂足为B ，以A ，B 的连线段为直径的所有圆中，半径最大的圆的一般方程为________________．解析：因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )过定点 C (2，－1)，所以直径AB 的最大值为|AC |＝2， 所以所求半径最大的圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝12， 化为一般方程为x 2＋y 2－3x ＋y ＋2＝0. 答案：x 2＋y 2－3x ＋y ＋2＝03．圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为________________．解析：法一(几何法)：设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a ).又该圆经过A ，B 两点，所以|CA |＝|CB |， 即（2a ＋3－2）2＋（a ＋3）2＝（2a ＋3＋2）2＋（a ＋5）2，解得a ＝－2，所以圆心C 的坐标为(－1，－2)，半径r ＝10， 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法二(待定系数法)：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（－3－b ）2＝r 2，（－2－a ）2＋（－5－b ）2＝r 2，a －2b －3＝0，解得a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10， 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法三(待定系数法)：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－D2－2×⎝⎛⎭⎫－E 2－3＝0，4＋9＋2D －3E ＋F ＝0，4＋25－2D －5E ＋F ＝0，解得D ＝2，E ＝4，F ＝－5.故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0. 答案：(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10题型二 与圆有关的轨迹问题[典例剖析]类型 1 直接法求与圆有关的轨迹方程[例1] 已知点M 与两个定点O (0，0)，A (3，0)的距离的比为12，则点M 的轨迹方程为________________．解析：设点M (x ，y )，由题意得x 2＋y 2（x －3）2＋y 2＝12， 整理得x 2＋y 2＋2x －3＝0. 答案：x 2＋y 2＋2x －3＝0类型 2 相关点(代入法)求轨迹方程[例2] 设定点M (－3，4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程．解析：如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2， 线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42. 因为平行四边形的对角线互相平分， 所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，又点N (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3，4)为圆心，2为半径的圆，直线OM 与轨迹相交于两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285，不符合题意，舍去，所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285. 方法总结与圆有关的轨迹问题的四种求法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解的方法； (2)定义法：根据圆的定义列方程求解的方法； (3)几何法：利用圆的几何性质，得出方程的方法；(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式的方法．[题组突破]1．(2020·某某模拟)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程． 解析：(1)由x 2＋y 2－6x ＋5＝0得(x －3)2＋y 2＝4， 所以圆C 1的圆心坐标为(3，0). (2)设M (x ，y )，因为点M 为线段AB 的中点，所以C 1M ⊥AB ， 所以kC 1M ·k AB ＝－1，当x ≠3时可得y x －3·y x ＝－1，整理得⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94， 又当直线l 与x 轴重合时，M 点坐标为(3，0)，代入上式成立．设直线l 的方程为y ＝kx ，与x 2＋y 2－6x ＋5＝0联立，消去y 得，(1＋k 2)x 2－6x ＋5＝0. 令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k 2)×5＝0，得k 2＝45，此时方程为95x 2－6x ＋5＝0，解上式得x ＝53，因此53＜x ≤AB 的中点M 的轨迹的方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94⎝⎛⎭⎫53＜x ≤3. 2．已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1，0)，B (3，0).求： (1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解析：(1)法一：设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在， 所以k AC ·k BC ＝－1， 又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0).法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1，0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |，动点C 的轨迹是以D (1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点).所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0).(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3，0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)， 将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0).题型三 与圆有关的最值[典例剖析][典例] 已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求yx 的最大值与最小值；(2)求y －x 的最大值、最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值、最小值． 解析：(1)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆． yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx .如图所示，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. (3)如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心(2，0)到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 方法总结与圆有关的最值问题的几何转化法(1)形如μ＝y －bx －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．[对点训练]已知A (0，2)，点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则|P A |＋|PQ |的最小值是________．解析：因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0， 故圆C 是以C (2，1)为圆心，半径r ＝5的圆．设点A (0，2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )，故⎩⎨⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0，n －2m －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2，故A ′(－4，－2).连接A ′C 交圆C 于Q (图略)，由对称性可知 |P A |＋|PQ |＝|A ′P |＋|PQ |≥|A ′Q |＝|A ′C |－r ＝2 5. 答案：2 5再研高考挖掘圆的几何性质1．(2020·高考全国卷Ⅱ)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( )A ．55B ．255C ．355D ．455解析：由题意可知圆心在第一象限，设为(a ，b ).∵圆与两坐标轴均相切，∴a ＝b ，且半径r ＝a ，∴圆的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2.∵点(2，1)在圆上，∴(2－a )2＋(1－a )2＝a 2，∴a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5.当a ＝1时，圆心坐标为(1，1)，此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离d ＝|2×1－1－3|22＋（－1）2＝255； 当a ＝5时，圆心坐标为(5，5)，此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离d ＝|2×5－5－3|22＋（－1）2＝255. 综上，圆心到直线2x －y －3＝0的距离为255. 答案：B 2．(2020·高考全国卷Ⅰ)已知⊙M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，P 为l 上的动点．过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |·|AB |最小时，直线AB 的方程为( )A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝0解析：⊙M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，则圆心M (1，1)，⊙M 的半径为2.如图所示，由题意可知PM ⊥AB ，∴S 四边形P AMB ＝12|PM |·|AB |＝|P A |·|AM |＝2|P A |， ∴|PM |·|AB |＝4|P A |＝4|PM |2－4.当|PM |·|AB |最小时，|PM |最小，此时PM ⊥l . 故直线PM 的方程为y －1＝12(x －1)，即x －2y ＋1＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，∴P (－1，0). 又∵P A 与⊙M 相切，∴直线P A 的方程为x ＝－1(∵在⊙M 中，－1≤x ≤1)，∴P A ⊥x 轴，P A ⊥MA ，∴A (－1，1).又直线AB 与l 平行，设直线AB 的方程为2x ＋y ＋m ＝0，将A (－1，1)的坐标代入2x ＋y ＋m ＝0，得m ＝1.∴直线AB 的方程为2x ＋y ＋1＝0.答案：D素养升华数形结合求X 围若x ，y ∈R ，且x ＝1－y 2，则y ＋2x ＋1的取值X 围是________． 解析：x ＝1－y 2⇔x 2＋y 2＝1(x ≥0)，此方程表示圆的一半，如图，设P (x ，y )是此曲线上的点，则y ＋2x ＋1表示过点P (x ，y )，Q (－1，－2)两点直线的斜率．设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1).从而由|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.又k BQ ＝3，∴所求X 围是⎣⎡⎦⎤34，3.答案：⎣⎡⎦⎤34，3。

第三节 圆的方程1．圆的定义及方程点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2. [小题体验]1．(2019·金华五校联考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(0,1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( )A ．x 2＋(y －1)2＝4 B ．x 2＋(y －1)2＝2 C ．x 2＋(y －1)2＝8D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 法一：由题意可得圆心(0,1)到直线x －by ＋2b ＋1＝0的距离d ＝|1＋b |1＋b2＝＋b21＋b2＝1＋2b 1＋b 2≤1＋2|b |1＋b2≤2，当且仅当b ＝1时取等号，所以半径最大的圆的半径r ＝2，此时圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝2.故选B.法二：易知直线x －by ＋2b ＋1＝0过定点P (－1,2)，如图，当圆M 与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切于点P 时，圆的半径最大，为2，此时圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝2，故选B.2．(2018·浙江五校联考)若点(2a ，a ＋1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，15 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1解析：选A 因为点在圆内，所以(2a )2＋(a ＋1－1)2＜5，解得－1＜a ＜1.故实数a 的取值范围是(－1,1)．3．(2018·湖州调研)若圆C 与圆x 2＋y 2＋2x ＝0关于直线x ＋y －1＝0对称，则圆心C 的坐标为________；圆C 的一般方程是________．解析：已知圆x 2＋y 2＋2x ＝0的圆心坐标是(－1,0)、半径是1，设圆C 的圆心(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b a ＋1＝1，a －12＋b2－1＝0，由此解得a ＝1，b ＝2，即圆心C 的坐标为(1,2)，因此圆C的方程是(x －1)2＋(y －2)2＝1，即x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0.答案：(1,2) x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一成立条件． [小题纠偏](2016·浙江高考)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a 2＝a ＋2，解得a ＝2或－1.当a ＝2时，方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54＜0，不表示圆；当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，配方得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.答案：(－2，－4) 5考点一 圆的方程基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2018·西安二模)已知⊙C ：x 2＋y 2－4x －6y －3＝0，点M (－2,0)是⊙C 外一点，则过点M 的圆的切线的方程是( )A ．x ＋2＝0或7x －24y ＋14＝0B ．y ＋2＝0或7x ＋24y ＋14＝0C ．x ＋2＝0或7x ＋24y ＋14＝0D ．y ＋2＝0或7x －24y ＋14＝0解析：选C ⊙C ：x 2＋y 2－4x －6y －3＝0，即(x －2)2＋(y －3)2＝16，故圆心是(2,3)，半径是4，点M (－2,0)是⊙C 外一点，显然直线x ＋2＝0是过点M 的圆的一条切线，设另一条切线和圆相切于P (a ，b )，则直线MP 的斜率是ba ＋2，直线MP 的方程是bx －(a ＋2)y ＋2b＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧3－b 2－a ·ba ＋2＝－1，|2b －a ＋＋2b |b 2＋a ＋2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2225，b ＝－2125.故切线方程是7x ＋24y ＋14＝0，故选C.2．(2018·永康模拟)设a ∈R ，则“a ＞1”是“方程x 2＋2ax ＋y 2＋1＝0的曲线是圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为方程是圆，所以可转化为(x ＋a )2＋y 2＝a 2－1，即a 2－1＞0，解得a ＞1或a ＜－1.所以当“a ＞1”时，有a 2－1＞0，得曲线方程是圆的方程；当曲线方程是圆的方程时，有a ＞1或a ＜－1，不一定得到a ＞1.所以是充分不必要条件．3．(2018·大连模拟)已知AB 为圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的直径，点P 为直线y ＝x －1上任意一点，则|PA |2＋|PB |2的最小值为________．解析：圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0，转化为x 2＋(y －1)2＝1，则圆心(0,1)到直线y ＝x －1的距离d ＝|－1－1|2＝2，由于AB 为圆的直径，则点A 到直线的最小距离为2－1，此时点B到直线的距离为2＋1，|PA |2＋|PB |2＝(2－1)2＋(2＋1)2＝6，即|PA |2＋|PB |2的最小值为6.答案：64．(2018·湖北八校联考)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成两段弧，弧长之比为1：2，则圆C 的标准方程为________．解析：∵圆C 关于y 轴对称，∴可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋－b2＝r 2，|b |＝12r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝43，b ＝±33，∴圆C 的标准方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43. 答案：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43[谨记通法]1．求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．2．确定圆心位置的3种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[提醒] 解答圆的有关问题时，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质． 考点二 与圆有关的最值问题题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想． 常见的命题角度有： (1)斜率型最值问题； (2)截距型最值问题；(3)距离型最值问题．[题点全练]角度一：斜率型最值问题1．已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求y x的最大值和最小值．解：y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233.∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.角度二：截距型最值问题2．已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值． 解：设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 的在y 轴上的截距， ∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋－－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 角度三：距离型最值问题3．已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值．解：x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝x ＋2＋y －2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1.[通法在握]与圆有关的最值问题的3种常见转化方法 (1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．[演练冲关]1．(2018·义乌诊断)圆心在曲线y ＝2x(x ＞0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5 C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5解析：选D 设圆心坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a (a ＞0)，则半径r ＝2a ＋2a ＋15≥22a ×2a＋15＝5，当且仅当2a ＝2a，即a ＝1时取等号．所以当a ＝1时圆的半径最小，此时r ＝5，C (1,2)，所以面积最小的圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.2．(2019·镇海中学摸底)过动点P 作圆：(x －3)2＋(y －4)2＝1的切线P Q ，其中Q 为切点，若|P Q|＝|PO |(O 为坐标原点)，则|P Q|的最小值是________．解析：根据题意，设P 的坐标为(m ，n )，圆(x －3)2＋(y －4)2＝1的圆心为N ，则N (3,4)．P Q 为圆(x －3)2＋(y －4)2＝1的切线，则有|PN |2＝|P Q|2＋|N Q|2＝|P Q|2＋1，又|P Q|＝|PO |，则有|PN |2＝|PO |2＋1，即(m －3)2＋(n －4)2＝m 2＋n 2＋1，变形可得3m ＋4n ＝12，即P 在直线3x ＋4y ＝12上，则|P Q|的最小值即为点O 到直线3x ＋4y ＝12的距离d ＝|3×0＋4×0－12|32＋42＝125，即|P Q|的最小值是125. 答案：125考点三 与圆有关的轨迹问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知A (2,0)为圆x 2＋y 2＝4上一定点，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PB Q ＝90°，求线段P Q 中点的轨迹方程． 解：(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设P Q 的中点为N (x ，y )， 在Rt △PB Q 中，|PN |＝|BN |， 设O 为坐标原点，连接ON ， 则ON ⊥P Q ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段P Q 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.[由题悟法]与圆有关的轨迹问题的4种求法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．[即时应用]已知Rt △ABC 中，A (0,0)，B (6,0)，求直角顶点C 的轨迹方程．解：法一：依题意，顶点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，且去掉端点A ，B ，则圆心坐标为(3,0)，半径为3，故直角顶点C 的轨迹方程为(x －3)2＋y 2＝9(y ≠0)． 法二：设顶点C 的坐标为(x ，y )，由于AC ⊥BC ，故k AC ·k BC ＝－1， ∴y x ·y x －6＝－1，∴x 2＋y 2－6x ＝0，即直角顶点C 的轨迹方程为(x －3)2＋y 2＝9(y ≠0)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·温州模拟)已知点A 是直角三角形ABC 的直角顶点，且A (2a,2)，B (－4，a )，C (2a ＋2,2)，则△ABC 的外接圆的方程是( )A ．x 2＋(y －3)2＝5 B ．x 2＋(y ＋3)2＝5 C ．(x －3)2＋y 2＝5D ．(x ＋3)2＋y 2＝5解析：选D 由题意知AB ⊥AC ，∴AB ·AC ＝0，即－4－2a ＝0，∴a ＝－2.而BC 的中点坐标为(－3,0)，即三角形外接圆圆心为(－3,0)，半径r ＝|BC |2＝1222＋42＝5，∴△ABC 外接圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝5.2．(2019·金华九校联考)若直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)始终平分圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长，则ab 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，14 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 解析：选D ∵直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)始终平分圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长，∴圆心(－1,2)在直线2ax －by ＋2＝0上，即－2a －2b ＋2＝0，解得b ＝1－a ，∴ab ＝a (1－a )＝－⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14，当且仅当a ＝12时等号成立，因此ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14.3．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A 设圆上任一点为Q(x 0，y 0)， P Q 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4， 化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.4．(2018·珠海四校4月联考)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，且圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2解析：选B 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|a －b |2＝r ， ①|a －b －4|2＝r ， ②a ＋b ＝0， ③由①②得a －b －2＝0，④由③④得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，将a ＝1，b ＝－1代入①得r ＝2， 所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.5．已知圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1,1)，B (1,3)，则该圆的方程为________；若M (m ，6)在圆C 内，则m 的取值范围为________．解析：设圆心为C (a,0)，由|CA |＝|CB |， 得(a ＋1)2＋12＝(a －1)2＋32，解得a ＝2. 半径r ＝|CA |＝＋2＋12＝10.故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.由题意知(m －2)2＋(6)2＜10，解得0＜m ＜4. 答案：(x －2)2＋y 2＝10 (0,4) 二保高考，全练题型做到高考达标 1．方程y ＝1－x 2表示的曲线是( ) A ．上半圆 B ．下半圆 C ．圆D ．抛物线解析：选A 由方程可得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，即此曲线为圆x 2＋y 2＝1的上半圆． 2．(2018·嘉兴七校联考)圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1解析：选A 已知圆的圆心C (1,2)关于直线y ＝x 对称的点为C ′(2,1)，∴圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.3．(2018·杭州一模)已知两条直线l 1：x －3y ＋2＝0与l 2：x －3y －6＝0被圆C 截得的线段长均为2，则圆C 的面积为( )A ．5πB ．4πC ．3πD ．2π解析：选A ∵直线l 1：x －3y ＋2＝0与l 2：x －3y －6＝0平行，且截圆C 所得的弦长均为2，∴圆心到两直线的距离相等，又知两平行直线间的距离d ＝|2－－12＋－32＝4，即圆心到直线l 1的距离为2，则圆的半径r ＝22＋12＝5，∴圆C 的面积S ＝πr 2＝5π.4．(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]解析：选A 设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ，则圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|2＋2|2＝22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2. 由已知条件可得|AB |＝22，所以△ABP 面积的最大值为12|AB |·d max ＝6，△ABP 面积的最小值为12|AB |·d min ＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]．5．(2018·浙江名校联盟调研)已知直角三角形ABC 的斜边AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，则直角边BC 的中点的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＋4x ＋3＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＋3＝0(y ≠0) C ．x 2＋y 2－4x ＋3＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＋3＝0(y ≠0)解析：选D 设直角边BC 的中点为P (x ，y )，因为B (3,0)，所以C (2x －3,2y )．因为AC ⊥BC ，所以AC ―→·BC ―→＝(2x －2)·(2x －6)＋4y 2＝0，化简得x 2＋y 2－4x ＋3＝0.因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0.即x 2＋y 2－4x ＋3＝0(y ≠0)．6．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为__________．解析：设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝－2＋－3－2＝5 2.而|PM |＝|PC 1|－1，|PN |＝|PC 2|－3， ∴|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4. 故|PM |＋|PN |的最小值为52－4. 答案：52－47．(2018·丽水调研)已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________；最长弦所在直线的方程为________．解析：过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)， ∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0.由于直线过圆心C (2,1)时弦最长，此弦与最短弦垂直，故其斜率为1，此弦所在的直线方程为y －0＝x －1，即为x －y －1＝0.答案：x ＋y －1＝0 x －y －1＝08．(2018·深圳3月联考)如图，直角三角形ABC 的顶点坐标A (－2,0)，直角顶点B (0，－22)，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点．(1)求BC 边所在直线的方程；(2)M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；(3)若动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆心N 的轨迹方程． 解：(1)∵k AB ＝－2，AB ⊥BC ，∴k CB ＝22， ∴BC 边所在直线的方程为y ＝22x －22， 即x －2y －4＝0.(2)在BC 边所在直线方程中，令y ＝0，得C (4,0)， ∴圆心M (1,0)， 又∵AM ＝3，∴圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝9. (3)∵M (1,0)，圆N 过点P (－1,0)， ∴PN 是该圆的半径， 又∵动圆N 与圆M 内切， ∴MN ＝3－PN ，即MN ＋PN ＝3.∴点N 的轨迹是以M ，P 为焦点，长轴长为3的椭圆．∴a ＝32，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝54， ∴所求轨迹方程为x 294＋y 254＝1. 9．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点．(1)求m ＋2n 的最大值；(2)求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解：(1)因为x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0的圆心C (2,7)，半径r ＝22，设m ＋2n ＝t ，将m ＋2n ＝t 看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d ＝|2＋2×7－t |12＋22≤22， 解上式得，16－210≤t ≤16＋210，所以所求的最大值为16＋210.(2)记点Q(－2,3)，因为n －3m ＋2表示直线M Q 的斜率k ， 所以直线M Q 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0.由直线M Q 与圆C 有公共点， 得|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤2 2. 可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 10．(2019·恩施重点中学联考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴，且y 轴和直线x －3y ＋2＝0均与圆C 相切．(1)求圆C 的标准方程；(2)设点P (0,1)，若直线y ＝x ＋m 与圆C 相交于M ，N 两点，且∠MPN 为锐角，求实数m 的取值范围．解：(1)设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，b ＝0，|a |＝r ，|a －3b ＋2|2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝0，r ＝2， 则圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4. (2)将y ＝x ＋m 代入圆C 的方程， 消去y 并整理得2x 2＋2(m －2)x ＋m 2＝0. 令Δ＝4(m －2)2－8m 2＞0，得－2－22＜m ＜－2＋22， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2－m ，x 1x 2＝m 22. 易知PM ＝(x 1，y 1－1)，PN ＝(x 2，y 2－1)， 依题意，得PM ·PN ＞0， 即x 1x 2＋(x 1＋m －1)(x 2＋m －1)＞0⇒m 2＋m －1＞0，解得m ＜－1－52或m ＞－1＋52. 故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－22，－1－52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52，－2＋22. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6，若对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l上的点Q 使得AP ―→＋A Q ―→＝0，则m 的取值范围为________．解析：曲线C ：x ＝－4－y 2是以原点为圆心，2为半径的半圆，并且x P ∈[－2,0]，对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP ―→＋A Q ―→＝0，则A 是P Q 的中点，Q 的横坐标x ＝6，∴m ＝6＋x P 2∈[2,3]． 答案：[2,3]2．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |.(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|Q M |的最小值． 解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，则x ＋2＋y 2＝2x －2＋y 2，化简可得(x －5)2＋y 2＝16即为所求．(2)由(1)知曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆． 由题意知直线l 2是此圆的切线，连接C Q ，则|Q M |＝ |C Q|2－|CM |2＝|C Q|2－16，当C Q ⊥l 1时，|C Q|取最小值，此时|C Q|＝|5＋3|2＝42， 故|Q M |的最小值为32－16＝4.。

第三节圆的方程考试要求：掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．一、教材概念·结论·性质重现1．圆的定义及方程定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b )2＝r2(r>0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D 2＋E2－4F>0)圆心：，半径：(1)确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质．①圆心在过切点且与切线垂直的直线上．②圆心在任一弦的中垂线上．③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心共线．(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为，半径r＝的圆；当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点；当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．2．点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2．(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2．(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √)(2)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．( ×)(3)圆x2＋2x＋y2＋y＝0的圆心是. ( ×)(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0内，则＋Dx0＋Ey0＋F＞0.( ×) 2．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是( )A．(－1，1) B．(－)C．(－) D．C 解析：因为原点(0，0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，所以(0－m)2＋(0＋m)2＜4，解得－＜m＜.故选C．3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )A．(2，3)，3 B．(－2，3)，C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，D 解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝.故选D．4．经过点(1，0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为( )A．(x－1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋(y－1)2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y－1)2＝2B 解析：由得即所求圆的圆心坐标为(1，1)．又由该圆过点(1，0)，得其半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.故选B．5．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．(－2，－4) 5 解析：由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．考点1 圆的方程——基础性1．圆心在y轴上，且过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0B 解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则圆的方程为x2＋(y－r)2＝r2.又圆过(3，1)，故32＋(1－r)2＝r2，解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0.故选B．2．已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆，则实数m的取值范围为( )A．B．C．D．∪[1，＋∞)A 解析：根据题意，方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0，变形得[x－(m＋3)]2＋[y＋(1－4m2)]2＝－7m2＋6m＋1.当且仅当－7m2＋6m＋1＞0，即7m2－6m－1＜0时方程表示圆，解得－＜m＜1，即m的取值范围为.故选A．3．圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为________．x2＋y2＋2x＋4y－5＝0 解析：方法一：几何法设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，即＝，解得a＝－2，所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.方法二：待定系数法设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得解得a＝－1，b＝－2，r2＝10，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.方法三：待定系数法设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为.由题意得解得D＝2，E＝4，F＝－5.故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.1．(1)若已知圆的切线，则圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)若已知圆上两点，则圆心在两点构成的弦的垂直平分线上．2．用代数法求圆的方程，特别是已知圆上三个点时，可以设出圆的一般方程，用待定系数法求圆的方程．考点2 与圆有关的轨迹问题——综合性已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．解：(1)设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以k AC·k BC＝－1.又k AC＝，k BC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．(2)设M(x，y)，C(x0，y0)．因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．将本例的条件变为：点M与两个定点O(0，0)，P(3，0)的距离的比为，试求点M的轨迹方程．解：设点M(x，y)，由题意得＝，整理得x2＋y2＋2x－3＝0.求与圆有关的轨迹方程的方法1．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是( )A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1A 解析：设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则即代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.故选A．2．设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程．解：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.因为平行四边形的对角线互相平分，所以＝＝，整理得又点N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.所以点P的轨迹是以(－3，4)为圆心，2为半径的圆，直线OM与点P的轨迹相交于两点和，不符合题意，舍去，所以点P的轨迹为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点和.考点3 与圆有关的最值问题——应用性考向1 斜率型、截距型、距离型最值问题已知点M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．(1)求m＋2n的最大值；(2)求的最大值和最小值．解：(1)依题意，圆心C(2，7)，半径r＝2.设m＋2n＝t，则点M(m，n)为直线x＋2y＝t与圆C的公共点，所以圆心C到该直线的距离d＝≤2，解得16－2≤t≤16＋2.所以m＋2n的最大值为16＋2.(2)设点Q(－2，3)．则直线MQ的斜率k＝.设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.由直线MQ与圆C有公共点，得≤2，解得2－≤k≤2＋，即2－≤2＋.所以的最大值为2＋，最小值为2－.本例的条件不变，试求的最大值．解：易知(0，0)在圆外，所以＝，所以所求的最大值为圆上的点到原点距离的最大值．因为圆心C(2，7)，半径r＝2，所以圆上的点到原点距离的最大值d＝＋2＝＋2.与圆有关的最值问题的3种几何转化法(1)形如m＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题．考向2 利用对称性求最值已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A．5－4 B．－1C．6－2D．A 解析：P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2C1(2，3)关于x轴的对称点C′1(2，－3)．所以|PC1|＋|PC2|＝|PC′1|＋|PC2|≥|C′1C2|＝5，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.故选A．求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离．(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决. 1．若x，y∈R，且x＝，则的取值范围是________．解析：x＝⇔x2＋y2＝1(x≥0)，此方程表示圆的一半，如图．设P(x，y)是此曲线上的点，则表示过点P(x，y)，Q(－1，－2)两点直线的斜率．设切线QA的斜率为k，则它的方程为y＋2＝k(x＋1)．从而由＝1，解得k＝.又k BQ＝3，所以所求范围是.2．设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则·的最大值为__________.12 解析：由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4.因为点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的点，所以x2＋(y－3)2＝1，2≤y≤4，所以x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.因为2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.课时质量评价(四十五)A组全考点巩固练1．(2023·烟台模拟)圆心在x轴上，半径为1，且过点(2，1)的圆的方程是( ) A．(x－2)2＋y2＝1B．(x＋2)2＋y2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－2)2＝1A 解析：设圆的圆心为(a，0)，则＝1，解得a＝2，所以圆的标准方程是(x－2)2＋y2＝1.故选A．2．已知点P为圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4上一点，A(0，－6)，B(4，0)，则||的最大值为( )A．＋2 B．＋4C．2＋4 D．2＋2C 解析：取AB的中点D(2，－3)，则＝2，||＝|2|，||的最大值为圆心C(1，2)与D(2，－3)的距离d再加半径r.又d＝＝，所以d＋r＝＋2.所以||的最大值为2＋4.3．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A．30 B．18C．6D．5C 解析：由圆x2＋y2－4x－4y－10＝0知圆心坐标为(2，2)，半径为3，则圆上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离为＋3＝8，最小距离为－3＝2，故最大距离与最小距离的差为6.4．(2023·菏泽模拟)在平面直角坐标系xOy中，以点(0，1)为圆心且与直线x－y－1＝0相切的圆的标准方程为( )A．x2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝D．(x－1)2＋y2＝4A 解析：由题意可得圆心为点(0，1)，半径为r＝＝，所以要求的圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2，故选A．5．已知圆x2＋y2＝4，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上动点．若∠PBQ＝90°，则线段PQ中点的轨迹方程为________________．x2＋y2－x－y－1＝0 解析：设PQ的中点为N(x′，y′)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x′2＋y′2＋(x′－1)2＋(y′－1)2PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.6．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为____________．(x－2)2＋(y＋2)2＝4 解析：设圆C2的圆心为C2(a，b)，圆C1∶(x＋1)2＋(y－1)2＝4的圆心为C1C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，所以点C1与点C2关于直线x－y－1＝0对称，且圆C2的半径为2，则有解得则圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4.7．已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．解：(1)设点P的坐标为(x，y)，则＝2.化简可得(x－5)2＋y2＝16，此式即为所求．(2)曲线C是以点(5，0)为圆心，半径为4的圆，如图所示．由直线l2是此圆的切线，连接CQ，CM，则|QM|＝＝.易知当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，又|CQ|min＝＝4，所以此时|QM|的最小值为＝4.B组新高考培优练8．(多选题)(2023·辽宁模拟)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为( )A．x2＋(y－4)2＝20B．(x－4)2＋y2＝20C．x2＋(y－2)2＝20D．(x－2)2＋y2＝20AD 解析：令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2. 所以设直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A(0，4)，B(2，0)．＝＝2，以A为圆心，过B点的圆的方程为x2＋(y－4)2＝20. 以B为圆心，过A点的圆的方程为(x－2)2＋y2＝20. 故选AD．9．在平面直角坐标系xOy中，已知＝5，x2－2y2＋4＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为( )A．B．C．D．B 解析：由已知得点(x1，y1)在圆(x－2)2＋y2＝5上，点(x2，y2)在直线x－2y＋4＝0上，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示圆(x－2)2＋y2＝5上的点和直线x－2y＋4＝0上点的距离平方，而距离的最小值为＝，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为.10．已知实数x，y满足x2＋y2＝4(y≥0)，则m＝x＋y的取值范围是( )A．(－2，4) B．[－2，4]C．[－4，4] D．[－4，2]B 解析：x2＋y2＝4(y≥0)表示圆x2＋y2＝4的上半部分，如图所示，直线x＋y－m＝0的斜率为－，在y轴上的截距为m.当直线x＋y－m＝0过点(－2，0)时，m＝－2.设圆心(0，0)到直线x＋y－m＝0的距离为d，则即解得m∈[－2，4].11．阿波罗尼斯(约公元前262－190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足|PA|＝|PB|，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是( ) A．2B．C．D．A 解析：设A(1，0)，B(－1，0)，P(x，y)，则＝，化简得(x＋3)2＋y2＝8，当点P到AB(x轴)距离最大时，△PAB的面积有最大值，所以△PAB面积的最大值是×2×2＝2.故选A．12．(2022·厦门模拟)在△ABC中，AB＝4，AC＝2，∠CAB＝，动点P在以点A为圆心，半径为1的圆上，则·的最小值为________．5－2解析：如图，以点A为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系．则A(0，0)，B(4，0)，C(1，)，设P(x，y)，则＝(4－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·＝(4－x)(1－x)－y(－y)＝x2－5x＋y2－y＋4＝＋－3，其中＋表示圆A上的点P与点M之间距离|PM|的平方．由几何图形可得|PM|min＝|AM|－1＝－1＝－1，所以(·)min＝(－1)2－3＝5－2.13．已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，P是直线l：x－2y＝0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A．(1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标．(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当点P运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由．解：(1)由题可知，圆M的圆心为M(0，4)，半径r＝2.设P(2b，b)，因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°.在Rt△MAP中，|MP|2＝|AM|2＋|AP|2，故|MP|＝＝4.又|MP|＝＝，所以＝4，解得b＝0或b＝.所以点P的坐标为(0，0)或.(2)设点P的坐标为(2b，b)．因为∠MAP＝90°，所以△PAM的外接圆是以MP为直径，以MP的中点坐标为圆心的圆，所以圆N的方程为(x－b)2＋＝，即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0.由解得或所以圆N过定点(0，4)和.。

【2019最新】精选高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3讲圆的方程学案板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 圆的定义、方程1.在平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．2.确定一个圆的基本要素是：圆心和半径．3.圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．4.圆的一般方程(1)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；(2)方程表示圆的充要条件为：D2＋E2－4F>0；(3)圆心坐标，半径r＝.考点2 点与圆的位置关系1.理论依据点与圆心的距离与半径的大小关系．2.三个结论圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，d为圆心到点M的距离．(1)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上⇔d＝r；(2)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外⇔d>r；(3)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内⇔d<r.[必会结论]1.圆心在任一弦的中垂线上．2.两个圆系方程具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程．(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中a，b为定值，r是参数；(2)半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中r 为定值，a，b是参数．3.圆的直径端点是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.[考点自测]1.判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．( )(3)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．( )(4)方程x2＋Bxy＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是B＝0，D2＋E2－4F>0.( )(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.( )答案(1)√(2)×(3)×(4)√(5)√2.[教材习题改编]圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )A.(2,3) B．(－2,3)C.(－2，－3) D．(2，－3)答案D解析由(x－2)2＋(y＋3)2＝13，知圆心坐标为(2，－3).3.圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )A.x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0C.x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0答案B解析设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，∴圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2.∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5.∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.4.[2016·北京高考]圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3 的距离为( )A.1 B．2 C. D．2 2答案C解析由题知圆心坐标为(－1,0)，将直线y＝x＋3化成一般形式为x－y＋3＝0，故圆心到直线的距离d＝＝.故选C.5.[课本改编]方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是( )A.<m<1 B．m<或m>1C.m< D．m>1答案B解析由(4m)2＋4－4×5m>0，得m<或m>1.6.已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．答案(x－2)2＋y2＝10解析依题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，把所给两点坐标代入方程，得错误!解得所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.板块二典例探究·考向突破考向确定圆的方程例1 (1)[2018·承德模拟]圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为________．答案(x＋1)2＋(y＋2)2＝10解析设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，即错误!＝，解得a＝－2，所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝.所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.(2)[2016·天津高考]已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．答案(x－2)2＋y2＝9解析设圆C的方程为(x－a)2＋y2＝r2(a>0)，由题意可得解得所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.触类旁通1.用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选用圆的方程两种形式中的一种(若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程)；(2)根据所给条件，列出关于D，E，F或a，b，r的方程组；(3)解方程组，求出D，E，F或a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程．2.用几何法求圆的方程利用圆的几何性质求方程，可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用.【变式训练1】[2015·全国卷Ⅱ]过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN|＝( )A.2 B ．8 C ．4 D ．10答案 C解析 设圆的方程为x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将点A ，B ，C 代入，得解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.则圆的方程为x2＋y2－2x ＋4y －20＝0.令x ＝0，得y2＋4y －20＝0，设M(0，y1)，N(0，y2)，则y1，y2是方程y2＋4y －20＝0的两根，由根与系数的关系，得y1＋y2＝－4，y1y2＝－20，故|MN|＝|y1－y2|＝＝＝4.考向 与圆有关的对称问题命题角度1 两圆相互对称例2 圆(x ＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为________．答案 (x －2)2＋y2＝5解析 因为所求圆的圆心与圆(x ＋2)2＋y2＝5的圆心(－2,0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为，故所求圆的方程为(x －2)2＋y2＝5.命题角度2 圆自身对称例3 若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上的相异两点P ，Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则k 的值为________．答案 2解析 圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．已知圆的圆心为(－1,3)，由题设知，直线kx ＋2y －4＝0过圆心，则k×(－1)＋2×3－4＝0，解得k ＝2.触类旁通对称圆的半径不变，圆的对称问题实际上是点的对称问题，求解过程中最重要的就是确定圆心．掌握对称圆的几何特性对于解决圆的对称问题非常重要，此类问题往往与直线的位置关系综合命题.考向 与圆有关的最值命题角度1 距离型最值例4 [2018·沈阳模拟]已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为( ) A. B. C. D.105 答案 A解析 (x －1)2＋(y －1)2表示点P(x ，y)到点Q(1,1)的距离的平方．由已知可得点P 在直线l ：x ＋2y －5＝0上，所以|PQ|的最小值为点Q 到直线l 的距离，即d ＝＝，所以(x －1)2＋(y －1)2的最小值为d2＝.故选A.命题角度2 建立目标函数求最值问题例5 已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB＝90°，则m 的最大值为( )A.7 B ．6 C ．5 D ．4答案 B解析 解法一：由(x －3)2＋(y －4)2＝1，知圆上点P(x0，y0)可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x0＝3＋cos θ，y0＝4＋sin θ.∵∠APB ＝90°，即·＝0，∴(x0＋m)(x0－m)＋y ＝0，∴m2＝x ＋y ＝26＋6cos θ＋8sin θ＝26＋10sin(θ＋φ)≤36，∴0<m ≤6，即m 的最大值为6.故选B.解法二：∵在Rt△APB中，原点O为斜边中点，|AB|＝2m(m>0)，∴m＝|OP|≤|OC|＋r，C(3,4)，r＝1，∴|OP|≤6，即m≤6.故选B.触类旁通与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值①形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的.考向与圆有关的轨迹问题例6 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.触类旁通与圆有关的轨迹问题的求法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程；(3)代入法(相关点法)：找到要求点与已知点的关系代入已知点满足的关系式．注：本章第8讲有详细讲解.【变式训练2】[全国卷Ⅰ]已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y ＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．解(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，故l的方程为y＝－x＋.又|OM|＝|OP|＝2，O 到l 的距离为，|PM|＝，所以△POM 的面积为.核心规律1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．满分策略1.求圆的方程需要三个独立条件，因此不论选用哪种形式的圆的方程都要列出三个独立的关系式．2.解答与圆有关的最值问题一般要结合代数式的几何意义进行，注意数形结合，充分运用圆的性质．3.解决与圆有关的轨迹问题，一定要看清要求，是求轨迹方程还是求轨迹．板块三 启智培优·破译高考创新交汇系列 6——圆与线性规划的交汇问题如果点P 在平面区域上，点Q 在圆x2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值为________．解题视点 此类题目是线性规划与圆结合的问题，关键是画好区域理解问题的几何意义，运用数形结合思想．解析 由点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0上，画出点P 所在的平面区域，如图中阴影部分所示；由点Q在圆x2＋(y＋2)2＝1上，再画出点Q所在的圆，如图所示．由题意得|PQ|的最小值为圆心(0，－2)到平面区域的最小距离减去半径长．又圆心(0，－2)到直线x－2y＋1＝0的距离为＝，此时垂足(－1,0)在满足条件的平面区域内，故|PQ|的最小值为－1.答案－1答题启示本题考查线性规划及圆、点到直线的距离等知识，并考查考生综合应用知识解决问题的能力.本题的突出特点就是将圆与线性规划问题有机地结合起来，为我们展现了数学知识相互交汇的新天地，求解时既要注意使用线性规划的基本思想，又要利用圆上各点的特殊性.实际上是对数形结合思想的提升，即利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图来解决最值问题.跟踪训练[2016·四川高考]设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的( )A.必要不充分条件B．充分不必要条件C.充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析如图作出p，q表示的区域，其中⊙M及其内部为p表示的区域，△ABC及其内部(阴影部分)为q表示的区域，故p是q的必要不充分条件.板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1.[2018·潍坊模拟]若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为( )A.(x－2)2＋(y±2)2＝3 B．(x－2)2＋(y±)2＝3C.(x－2)2＋(y±2)2＝4 D．(x－2)2＋(y±)2＝4答案D解析因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x＝2上，又圆与y轴相切，所以半径r＝2，设圆心坐标为(2，b)，则(1－2)2＋b2＝4，b2＝3，b＝±，选D.2.[2018·东莞调研]已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为( )A.8 B．－4 C．6 D．无法确定答案C解析圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心，即－＋3＝0，∴m＝6.3.圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的和是( )A.30 B．18 C．10 D．5 2答案C解析由圆x2＋y2－4x－4y－10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为3，则圆上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离为＋3＝8，最小距离为－3＝2，故最大距离与最小距离的和为10.4.如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为( )A.(－1,1) B．(1，－1)C.(－1,0) D．(0，－1)答案D解析r＝＝，当k＝0时，r最大，此时圆的方程为x2＋(y＋1)2＝1，所以圆心坐标为(0，－1)，选D.5.[2018·临汾模拟]若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )A.(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1答案A解析由于圆心在第一象限且与x轴相切，故设圆心为(a,1)(a>0)，又由圆与直线4x－3y＝0相切可得＝1，解得a＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.6.方程|y|－1＝表示的曲线是( )A.一个椭圆B．一个圆C.两个圆D．两个半圆答案D解析由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1,1)为圆心、1为半径、直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y＝－1下方的半圆．所以方程|y|－1＝表示的曲线是两个半圆，选D.7.[2018·济南模拟]已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )A.(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C.(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1答案B解析设圆C1的圆心坐标C1(－1,1)关于直线x－y－1＝0的对称点为(a，b)，依题意得解得所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.8.[2016·浙江高考]已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y ＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．答案(－2，－4) 5解析由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1 时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程不表示圆.9.直线x－2y－2k＝0与2x－3y－k＝0的交点在圆x2＋y2＝9的外部，则k 的取值范围是________．答案 ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋∞ 解析 由得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4k ，y ＝－3k.∴(－4k)2＋(－3k)2>9，即25k2>9，解得k>或k<－.10.[2018·泰安模拟]已知x ，y 满足x2＋y2＝1，则的最小值为________．答案 34解析 表示圆上的点P(x ，y)与点Q(1,2)连线的斜率，∴的最小值是直线PQ 与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k(x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，由＝1，得k ＝，结合图形可知≥，∴所求最小值为.[B 级 知能提升]1.若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A.(4,6) B ．[4,6] C ．[4,6) D ．(4,6]答案 A解析 易求圆心(3，－5)到直线4x －3y ＝2的距离为5.令r ＝4，可知圆上只有一点到已知直线的距离为1；令r ＝6，可知圆上有三点到已知直线的距离为1，所以半径r 取值范围在(4,6)之间符合题意.2.经过点A(1,0)，B(5,4)的圆中，圆的面积最小的方程是____． 答案 (x －3)2＋(y －2)2＝8解析 由题意可知，A 、B 是所求圆的直径的两端点，圆心M 为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋52＝3，y ＝0＋42＝2，半径r ＝|AB|＝2，∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝8.附：由必会结论可得：所求圆的方程为(x －1)(x －5)＋(y －0)(y －4)＝0，即(x －3)2＋(y －2)2＝8.3.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为2，在y 轴上截得线段长为2.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为，求圆P 的方程．解 (1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r.由题知y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而y2＋2＝x2＋3.故点P 的轨迹方程为y2－x2＝1.(2)设P(x0，y0)．由已知得＝.又P 点在双曲线y2－x2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧ |x0－y0|＝1，y20－x20＝1.由得此时，圆P 的半径r ＝，由得此时，圆P 的半径r ＝，故圆P 的方程为x2＋(y ＋1)2＝3或x2＋(y －1)2＝3.4.已知圆C 过点P(1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r2(r>0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求·的最小值．解 (1)设圆心C(a ，b)，由已知得M(－2，－2)，则解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x2＋y2＝r2，将点P 的坐标代入得r2＝2，故圆C 的方程为x2＋y2＝2.(2)设Q(x ，y)，得x2＋y2＝2，PQ →·＝(x －1，y －1)·(x＋2，y ＋2)＝x2＋y2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.令x ＝cos θ，y ＝sin θ，∴·＝x ＋y －2＝(sin θ＋cos θ)－2＝2sin －2，所以·的最小值为－4.5.[2018·洛阳统考]已知圆S 经过点A(7,8)和点B(8,7)，圆心S 在直线2x －y －4＝0上．(1)求圆S 的方程；(2)若直线x ＋y －m ＝0与圆S 相交于C ，D 两点，若∠COD 为钝角(O 为坐标原点)，求实数m 的取值范围．解 (1)线段AB 的中垂线方程为y ＝x ，由得所以圆S 的圆心为S(4,4)，圆S 的半径为|SA|＝5，故圆S 的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝25.(2)由x ＋y －m ＝0变形得y ＝－x ＋m ，代入圆S 的方程，消去y 并整理得2x2－2mx ＋m2－8m ＋7＝0.令Δ＝(－2m)2－8(m2－8m ＋7)>0，得8－5<m<8＋5.设C ，D 的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝m ，x1x2＝.依题意，得·<0，即x1x2＋(－x1＋m)(－x2＋m)<0，即m2－8m ＋7<0，解得1<m<7.故实数m 的取值范围是{m|8－5<m<8＋5}∩{m|1<m<7}＝{m|1<m<7}.。