高考数学一轮复习 AB小练习 第十五章解析几何第三节圆的标准方程和一般方程

〖圆的解析几何方程〗圆的标准方程：在平面直角坐标系中,以点O（a,b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a)^2+（y-b)^2=r^2。

圆的一般方程:把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后,可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0.和标准方程对比,其实D=—2a，E=-2b,F=a^2+b^2。

圆的离心率e=0,在圆上任意一点的曲率半径都是r。

〖圆与直线的位置关系判断〗平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1。

由Ax+By+C=0,可得y=(—C—Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x)=0。

利用判别式b^2—4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac〉0，则圆与直线有2交点,即圆与直线相交.如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac〈0，则圆与直线有0交点,即圆与直线相离.2。

如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴）,将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y—b）^2=r^2。

令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C／A〈x1或x=—C／A〉x2时，直线与圆相离;当x1<x=-C／A<x2时，直线与圆相交;半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：（x—a）^2+(y-b)^2=r^2x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2）^2+（y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F=〉圆心坐标为(-D/2,-E/2）1．点与圆的位置关系设圆C∶(x—a)2+(y-b)2=r2,点M(x0，y0）到圆心的距离为d，则有：（1）d＞r 点M在圆外；(2）d=r 点M在圆上；（3)d＜r 点M在圆内．2．直线与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)=r2，直线l的方程为Ax+By+C=0,圆心(a,b)判别式为△，则有: (1)d＜r 直线与圆相交; (2）d=r 直线与圆相切；(3）d＜r 直线与圆相离，即几何特征；或（1）△＞0 直线与圆相交；(2)△=0 直线与圆相切；（3)△＜0 直线与圆相离，即代数特征,3．圆与圆的位置关系设圆C1：(x-a)2+（y-b)2=r2和圆C2：（x-m)2+（y—n）2=k2（k≥r)，且设两圆圆心距为d，则有：(1)d=k+r 两圆外切；(2）d=k-r 两圆内切；（3)d＞k+r 两圆外离；（4）d＜k+r 两圆内含；（5)k-r＜d＜k+r 两圆相交．4．其他(1）过圆上一点的切线方程：①圆x2+y2=r2,圆上一点为（x0,y0），则此点的切线方程为x0x+y0y=r2（课本命题）．②圆（x-a)2+（y—b）2=r2，圆上一点为（x0,y0)，则过此点的切线方程为(x0—a）（x—a）+(y0—b)（y-b)=r2（课本命题的推广)．（2）相交两圆的公共弦所在直线方程：设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1—E2)y+(F1-F2）=0．(3）圆系方程:①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程）．②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ（Ax+By+C）=0(λ为参数)．1.求经过M(1，2）N（3，4），并且在Y轴上截得的弦长为1的圆的方程.解：设圆的方程为:x^2+y^2 +Dx+Ey+F=0 ,∴ 圆心为(- ，— )，半径r=由题意：圆心到y轴的距离为｜- | , y轴上截得的弦长为1∴ r =( ) +（）∴ (D +E −4F)= + D∴ E −4F=1 。

课后素养落实(十五) 圆的一般方程(建议用时：40分钟)一、选择题1．圆的方程为(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，则圆心坐标为( ) A ．(1，－1) B ．⎝⎛⎭⎫12，－1 C ．(－1，2)D ．⎝⎛⎭⎫－12，－1 D 〖将圆的方程化为标准方程，得⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝454，所以圆心为⎝⎛⎭⎫－12，－1．〗 2．方程x 2＋y 2－2x ＋4y ＋5＝0表示的图形是( ) A ．一个点 B ．一个圆 C ．一条直线 D ．不存在 A 〖方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝0，故方程表示点(1，－2)．〗3．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的圆过原点且圆心在直线y ＝x 上的条件是( ) A ．D ＝E ＝0，F ≠0 B ．D ＝F ＝0，E ≠0 C ．D ＝E ≠0，F ≠0D ．D ＝E ≠0，F ＝0D 〖∵圆过原点，∴F ＝0，又圆心在y ＝x 上，∴D ＝E ≠0．〗4．由方程x 2＋y 2＋x ＋(m －1)y ＋12m 2＝0所确定的圆中，最大面积是( )A ．32π B ．34πC ．3πD ．不存在B 〖所给圆的半径为r ＝1＋(m －1)2－2m 22＝12－(m ＋1)2＋3，所以当m ＝－1时，半径r 取最大值32，此时最大面积是34π．〗 5．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，则直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限D 〖圆心⎝⎛⎭⎫a ，－32b 在第三象限，则a ＜0，b ＞0．直线x ＋ay ＋b ＝0的斜率k ＝－1a ＞0，在x 轴上的截距为－b ＜0，故直线过一、二、三象限，故选D ．〗二、填空题6．若圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线Dx ＋Ey ＋2F ＋8＝0对称，则该圆的半径为________．2 〖圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2， 由题意有－D 22－E 22＋2F ＋8＝0，则D 2＋E 2－4F ＝16．∴圆的半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝12×4＝2．〗7．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________．－2 〖由题意可得圆C 的圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a2在直线 x －y ＋2＝0上，将⎝⎛⎭⎫－1，－a2代入直线方程得 －1－⎝⎛⎭⎫－a2＋2＝0，解得a ＝－2．〗 8．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________．5 〖由题意，得直线l 恒过圆心M (－2，－1)，则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5．〗三、解答题9．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径为2，求圆的一般方程．〖解〗 圆心C ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2， 因为圆心在直线x ＋y －1＝0上， 所以－D 2－E2－1＝0，即D ＋E ＝－2，①又r ＝D 2＋E 2－122＝2，所以D 2＋E 2＝20，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4，或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2.又圆心在第二象限，所以－D2<0，即D >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4，所以圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0．10．已知关于x ，y 的方程为x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0． (1)若此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值．〖解〗 (1)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0， 整理得(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ， 由题意知5－m ＞0，解得m ＜5．(2)设直线x ＋2y －4＝0与圆：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，整理得5y 2－16y ＋8＋m ＝0，则y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5，又OM ⊥ON (O 为坐标原点)，则x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1＝4－2y 1，x 2＝4－2y 2，则(4－2y 1)·(4－2y 2)＋y 1y 2＝0，解得m ＝85．故m 的值为85．1．(多选题)已知圆M 的一般方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0，则下列说法正确的是( ) A ．圆M 的圆心为(4，－3) B ．圆M 被x 轴截得的弦长为8 C ．圆M 的半径为25D ．圆M 被y 轴截得的弦长为6ABD 〖圆M 的标准方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝25．圆的圆心坐标为(4，－3)，半径为5，令x ＝0，则y 2＋6y ＝0，∴|y 1－y 2|＝6；令y ＝0，x 2－8x ＝0，|x 1－x 2|＝8．〗2．已知点A (－1，1)和圆C ：x 2＋y 2－10x －14y ＋70＝0，一束光线从点A 出发经过x 轴反射到圆周上的最短路程是( )A ．6B ．8C ．10D ．12B 〖易知点A 在圆C 外，找出点A (－1，1)关于x 轴的对称点A ′(－1，－1)，则最短路程为|CA ′|－r ．又圆的方程可化为(x －5)2＋(y －7)2＝4，则圆心C (5，7)，半径r ＝2， 则|CA ′|－r ＝(5＋1)2＋(7＋1)2－2＝10－2＝8．故所求的最短路程为8．〗3．若圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋m ＝0与y 轴交于A ，B 两点，且∠ACB ＝90°(其中C 为已知圆的圆心)，则实数m ＝________，圆的面积为________．－3 8π 〖设A (0，y 1)，B (0，y 2)，在圆方程中令x ＝0得y 2＋2y ＋m ＝0，y 1，y 2即为该方程的两根，由根与系数的关系及判别式得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4m >0，y 1＋y 2＝－2，y 1·y 2＝m ，又由∠ACB ＝90°，C (2，－1)，知k AC ·k BC ＝－1， 即y 1＋1－2·y 2＋1－2＝－1， 即y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝－4， 代入上面的结果得m －2＋1＝－4， ∴m ＝－3，符合m <1的条件． r ＝1216＋4－4×(－3)＝22，∴圆的面积为πr 2＝π×(22)2＝8π．〗4．已知点A (－2，0)，B (0，2)，若点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上的动点，则△ABC 面积的最小值为________．3－2 〖如图所示，△ABC 的面积最小时，点C 到直线AB 的距离最短，该最短距离其实就是圆心到直线AB 的距离减去圆的半径．直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，|AB |＝22，x 2＋y 2－2x ＝0可化为(x －1)2＋y 2＝1，易知该圆的圆心为(1，0)，半径为1，圆心(1，0)到直线AB 的距离d ＝32＝322，故△ABC 面积的最小值为12×22×⎝⎛⎭⎫322－1＝3－2．〗在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )的图像与两条坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．(1)求实数b 的取值范围； (2)求圆C 的方程；(3)圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．〖解〗 (1)显然b ≠0，否则二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图像与两坐标轴只有两个交点(0，0)，(－2，0)，这与题设不符．由b ≠0知，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图像与y 轴有一个非原点的交点(0，b )，故它与x 轴必有两个交点，从而方程x 2＋2x ＋b ＝0有两个非零的不相等的实数根，因此方程的判别式4－4b ＞0且b ≠0，即b ＜1且b ≠0．所以b 的取值范围是(－∞，0)∪(0，1)．(2)由方程x 2＋2x ＋b ＝0得x ＝－1±1－b ．于是二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图像与坐标轴的交点是(－1－1－b ，0)，(－1＋1－b ，0)，(0，b )．设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)．因圆C 过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C 的方程， 则⎩⎪⎨⎪⎧(－1－1－b )2＋D (－1－1－b )＋F ＝0，(－1＋1－b )2＋D (－1＋1－b )＋F ＝0，b 2＋Eb ＋F ＝0.解上述方程组，因b ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－(b ＋1)，F ＝b .所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0．(3)圆C 必过定点．证明如下：假设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0不依赖于b )，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为x 20＋y 20＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0 (*)．为使(*)式对所有满足b ＜1且b ≠0的b 都成立，必须有1－y 0＝0，结合(*)式得x 20＋y 20＋2x 0－y 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝1.经检验，知点(0，1)，(－2，1)均在圆C 上，因此圆C 过定点．。

2008高考数学一轮复习圆的标准方程、圆的一般式方程【复习目标】1.掌握圆的标准方程和一般方程；2.能判断点和圆的位置关系；会由圆的方程和直线方程讨论圆与直线的位置相关性质，会由圆的方程讨论两圆的位置关系；3.会求圆的切线方程。

【重点难点】建立数形结合的概念，(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法求一般方程，掌握直线和圆的位置关系的讨论以及圆的相关性质，掌握用代数方法研究几何问题的方法并解决相应的具体问题。

【知识结构】【基础知识】【课前预习】1.写出下列各圆的方程：（1）圆心在原点，半径是3；（2）圆心在点(3，b)；（3）经过点P(5，1)，圆心在点O(8，-3)．（4）圆心在x 轴上且过点O(-1，1)和D(1，3)的圆的方程 （5）求以O(1，3)为圆心，且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程 2. x 2+y 2-x+y+F=0表示一个圆，则实数F 的取值范围是3. 经过圆C ：x 2+y 2 =1上一点（1,2）的切线方程4.过原点与x 轴、y 轴的交点分别是（a,0）、(0，b)（ab ≠0）的圆的方程为5. “a=b ”是“直线y=x+2与圆(x-a)2+(y-b)2=2”相切的 （ ） (A) 充分不必要条件 (B)必要不充分条件 （C ）充分必要条件 (D) 既不充分又不必要条件6.设直线l 过点（-2，0），且与圆相切，则l 的斜率是 （ ）(A) ±1 (B) ±12（C (D) 【例题分析】【例1】求以C(-1，2)为圆心，且和直线l:2x-3y-5=0相切的圆的方程．【例2】当M(x 0，y 0)在(x-a)2+(y-b)2=r 2上时，求过M(x 0，y 0)，圆的切线方程。

【例3】经过点A(3，2)、圆心在直线y=2x 上且和直线y=2x+5相切的圆的方程【例4】(1) 已知直线x-y+b=0与圆x 2+y 2=8相切，求b 的值．（2）求圆心在x 轴上且过点O(-1，1)和D(1，3)的圆的方程．（3） 点M 在圆(x-5)2+(y-3)2=9上，则M 点到直线3x+4y-2=0的最短距离为 ( )A ．9B ．8C ．5D ．2（4）圆0104422=---+y x y x 上的点到直x +y －14=0的距离的最大值与最小值的差是（ ）A ．36B ．18C ．62D ．52【例5】(1)圆的弦AB的中点为P（3，1），求直线AB的方程．(2) 求过点M（2，x2+y2=4相切的直线方程.（3）求过点M（-3，1）且与圆x2+y2-4x-8y+18=0相切的直线方程.【例6】求与x轴相切于电（2，0）且在y轴上截取的弦长是4的圆的方程.【例7】（1）已知定点A（0，0）和圆x2+y2=1上的动点，求线段的中点的轨迹方程.（2）已知定点A（1，1）和圆（x-2）2+（y+1）2=4上的动点，求线段的中点的轨迹方程.【例8】求满足下列条件的圆的方程：（1）求过点M（4，-1）且与已知圆C：x2+y2+2x-6y+5=0相切于点B（1，2）的圆的方程．（2）求圆C：x2+y2-2y-1=0关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程．（3）求与直线x+y-2=0和圆C：x2+y2—12x-12y-54=0都相切的半径最小的圆的方程．【例9】圆M的圆心在直线l1：x-y-1=0上，且和直线l2:4x+3y+14=0相切，又截直线l3:3x+4y+10=0所得的弦长为6，求圆M的方程.【例10】如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得.PM 试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.[分析]：本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：ＰＭ＝NPN 2,即 ＰＭ２＝２ＰＮ２，结合图形由勾股定理转化为：)1(212221-=-PO PO ,设P(x,y)由距离公式写出代数关系式,化简整理得出所求轨迹方程.[解析]:以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O 1（-2，0），O 2（2，0），由已知：ＰＭ＝PN 2,即ＰＭ２＝２ＰＮ２，因为两圆的半径都为1,所以有：)1(212221-=-PO PO ，设P （x,y ）则（x+2）2+y 2-1=2[(x-2)2+y 2-1]， 即33)6(22=+-y x综上所述，所求轨迹方程为：33)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ） [评析]:本题命题意图是考查解析几何中求轨迹方程的方法,考查建立坐标系,数形结合数学思想方法,勾股定理,两点间距离公式等相关知识点,及分析推理、计算化简技能、技巧等。

第三节 圆的标准方程和一般方程A 组1．若圆x 2＋y 2－2kx ＋2y ＋2＝0(k >0)与两坐标轴无公共点，那么实数k 的取值范围为________．解析：圆的方程为(x －k )2＋(y ＋1)2＝k 2－1，圆心坐标为(k ，－1)，半径r ＝k 2－1，若圆与两坐标无公共点，即⎩⎨⎧k 2－1<|k |k 2－1<1，解得1<k < 2.2．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________．解析：由题意，设圆心(x 0,1)，∴|4x 0－3|42＋(－3)2＝1，解得x 0＝2或x 0＝－12(舍)， ∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.3．(2010年广东汕头调研)已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥02x ＋y ≥0，所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D内的弧长为________．答案：π4．(2009年高考宁夏、海南卷改编)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为________________．解析：圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)．圆C 2的圆心设为(a ，b )，C 1与C 2关于直线x －y －1＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，圆C 2的半径为1，∴圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.5．(原创题)圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋c ＝0与y 轴交于A 、B 两点，其圆心为P ，若∠APB ＝90°，则实数c 的值是________．解析：当∠APB ＝90°时，只需保证圆心到y 轴的距离等于半径的22倍．由于圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5－c ，即2＝22×5－c ，解得c ＝－3. 6．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |.(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l ：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值，并求此时直线l 2的方程．解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )， 则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2， 化简可得(x －5)2＋y 2＝16即为所求． (2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图则直线l 2是此圆的切线，连结CQ ，则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，|CQ |＝|5＋3|2＝42，此时|QM |的最小值为32－16＝4，这样的直线l 2有两条，设满足条件的两个公共点为M 1，M 2， 易证四边形M 1CM 2Q 是正方形，∴l 2的方程是x ＝1或y ＝－4.B 组1．(2010年福州质检)圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，则圆的方程为________________．解析：所求圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，故线段AB 的垂直平分线x ＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x －3y －1＝0上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得圆心坐标为(2,1)，进一步可求得半径为2，所以圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2.2．(2010年扬州调研)若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是___．解析：∵直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，∴ab ＋ab ＝1，∴ab ＝12，又OA ＝a 2＋b 2，∴以O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积：S ＝π·OA 2＝(a 2＋b 2)π≥2ab ·π＝π，∴面积的最小值为π.3．(2009年高考上海卷改编)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________________．解析：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则x 02＋y 02＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 02＋y 02＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.4．已知点P (1,4)在圆C ：x 2＋y 2＋2ax －4y ＋b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －3＝0的对称点也在圆C 上，则a ＝________，b ＝________.解析：点P (1,4)在圆C ：x 2＋y 2＋2ax －4y ＋b ＝0上，所以2a ＋b ＋1＝0，点P 关于直线x ＋y －3＝0的对称点也在圆C 上，所以圆心 (－a,2)在直线x ＋y －3＝0上，即－a ＋2－3＝0，解得a ＝－1，b ＝1. 5．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为___________．解析：由题意知，圆心坐标为(3,4)，半径r ＝5，故过点(3,5)的最长弦为AC ＝2r ＝10，最短弦BD ＝252－12＝46，四边形ABCD 的面积为20 6.6．过圆x 2＋y 2＝4外一点P (4,2)作圆的两条切线，切点为A 、B ，则△ABP 的外接圆的方程是____________________．解析：∵圆心为O (0,0)，又∵△ABP 的外接圆就是四边形OAPB 的外接圆．其直径d ＝OP ＝25，∴半径r ＝ 5.而圆心C 为(2,1)，∴外接圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.7．已知动点P (x ，y )满足x 2＋y 2－|x |－|y |＝0，O 为坐标原点，则PO 的取值范围是______．解析：方程x 2＋y 2－|x |－|y |＝0可化为(|x |－12)2＋(|y |－12)2＝12.所以动点P (x ，y )的轨迹如图：为原点和四段圆孤，故PO 的取值范围是{0}∪[1， 2 ]．8．(2010年安徽合肥质检)曲线f (x )＝x ln x 在点P (1,0)处的切线l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是____________．解析：曲线f (x )＝x ln x 在点P (1,0)处的切线l 方程为x －y －1＝0，与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为(12，－12)，半径为22，所以方程为(x －12)2＋(y ＋12)2＝12.答案：(x －12)2＋(y ＋12)2＝12 9．设实数x 、y 满足x 2＋(y －1)2＝1，若对满足条件的x 、y ，不等式yx －3＋c ≥0恒成立，则c 的取值范围是________．解析：由题意，知－c ≤yx －3恒成立，又y x －3＝y －0x －3表示圆上的点与定点(3,0)连线的斜率，范围为[－34，0]，所以－c ≤－34，即c 的取值范围是c ≥34.10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A (a,0)(a >0)，B (0，a )，C (－4,0)，D (0,4)，设△AOB 的外接圆圆心为E .(1)若⊙E 与直线CD 相切，求实数a 的值；(2)设点P 在圆E 上，使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，试问这样的⊙E 是否存在，若存在？求出⊙E 的标准方程；若不存在，说明理由．解：(1)直线CD 方程为y ＝x ＋4，圆心E (a 2，a 2)，半径r ＝22a .由题意得|a 2－a2＋4|2＝22a ，解得a ＝4.(2)∵|CD |＝(－4)2＋42＝42，∴当△PCD 面积为12时，点P 到直线CD 的距离为3 2.又圆心E 到直线CD 距离为22(定值)，要使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，只须圆E 半径2a2＝52，解得a ＝10， 此时，⊙E 的标准方程为(x －5)2＋(y －5)2＝50.11．在Rt△ABO 中，∠BOA ＝90°，OA ＝8，OB ＝6，点P 为它的内切圆C 上任一点，求点P 到顶点A 、B 、O 距离的平方和的最大值和最小值．解：如图所示，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，则A (8,0)，B (0,6)，内切圆C 的半径r ＝12(OA ＋OB －AB )＝8＋6－102＝2.∴内切圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.设P (x ，y )为圆C 上任一点，点P 到顶点A 、B 、O 的距离的平方和为d ，则d ＝PA 2＋PB 2＋PO 2＝(x －8)2＋y 2＋x 2＋(y －6)2＋x 2＋y 2＝3x 2＋3y 2－16x －12y ＋100 ＝3[(x －2)2＋(y －2)2]－4x ＋76.∵点P (x ，y )在圆C 上，∴(x －2)2＋(y －2)2＝4.∴d ＝3×4－4x ＋76＝88－4x . ∵点P (x ，y )是圆C 上的任意点，∴x ∈[0,4]．∴当x ＝0时，d max ＝88；当x ＝4时，d min ＝72.12．(2008年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .(1)求实数b 的取值范围；(2)求圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．解：(1)显然b ≠0.否则，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与两个坐标轴只有两个交点(0,0)，(－2,0)，这与题设不符．由b ≠0知，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与y 轴有一个非原点的交点(0，b )，故它与x 轴必有两个交点，从而方程x 2＋2x ＋b ＝0有两个不相等的实数根，因此方程的判别式4－4b >0，即b <1.所以b 的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)． (2)由方程x 2＋2x ＋b ＝0，得x ＝－1±1－b .于是，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与坐标轴的交点是(－1－1－b ，0)，(－1＋1－b ，0)，(0，b )．设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因圆C 过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C 的方程，得⎩⎨⎧(－1－1－b )2＋D (－1－1－b )＋F ＝0，(－1＋1－b )2＋D (－1＋1－b )＋F ＝0，b 2＋Eb ＋F ＝0.解上述方程组，因b ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－(b ＋1)，F ＝b .所以，圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.(3)圆C 过定点．证明如下：假设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0不依赖于b )，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为x 02＋y 02＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0.(*)为使(*)式对所有满足b <1(b ≠0)的b 都成立，必须有1－y 0＝0，结合(*)式得x 02＋y 02＋2x 0－y 0＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝1.经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆C 上，因此，圆C 过定点．。

第三节圆与方程1．圆的定义及方程定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0) 圆心：(a ，b )，半径：r一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，(D 2＋E 2－4F ＞0)圆心：⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径：12D 2＋E 2－4F 点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2. [小题体验]1．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0＜a ＜1，则原点与圆的位置关系是________．解析：将圆的一般方程化成标准方程，得(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0＜a ＜1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2＞0，即(0＋a )2＋(0＋1)2＞2a ，所以原点在圆外．答案：原点在圆外2．圆C 的直径的两个端点分别是A (－1,2)，B (1,4)，则圆C 的标准方程为________． 解析：设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝－1＋12＝0，b ＝2＋42＝3，故圆心C (0,3)．半径r ＝12AB ＝12[1－(－1)]2＋(4－2)2＝ 2.所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －3)2＝2. 答案：x 2＋(y －3)2＝23．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________．解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2＜4. 即a 2＜1，故－1＜a ＜1. 答案：(－1,1)对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一成立条件．[小题纠偏]若点(1，－1)在圆x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0外，则m 的取值范围是________．解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧(－1)2＋12－4m ＞0，1＋(－1)2－1－1＋m ＞0，解得0＜m ＜12.答案：⎝⎛⎭⎫0，12考点一 圆的方程 (基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2019·东台中学检测)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的标准方程为________．解析：设圆心坐标为(a,0)，则(a －5)2＋(－1)2＝(a －1)2＋(－3)2，解得a ＝2，∴圆心为(2,0)，半径为10，∴圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10.答案：(x －2)2＋y 2＝102．(2018·徐州模拟)若圆C 的半径为1，点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为____________．解析：因为点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C (0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1.答案：x 2＋y 2＝13．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的标准方程为____________． 解析：因为AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)，所以A (0,2)，B (2,0)，AB ＝(0－2)2＋(2－0)2＝2 2. 所以点A ，B 的中点为(1,1)，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝24．(2019·盐城中学测试) 圆经过点A (2，－3)和B (－2，－5)． (1)若圆的面积最小，求圆的方程；(2)若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程． 解：(1)要使圆的面积最小，则AB 为圆的直径， 所以圆心为(0，－4)，半径r ＝12AB ＝5，所以所求圆的方程为x 2＋(y ＋4)2＝5. (2)因为k AB ＝12，AB 的中点为(0，－4)，所以直线AB 的中垂线方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.所以圆心为(－1，－2)．根据两点间的距离公式得半径r ＝10， 因此所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.[谨记通法]1．求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．2．确定圆心位置的3种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质． 考点二 与圆有关的最值问题 (题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想． 常见的命题角度有： (1)斜率型最值问题； (2)截距型最值问题；(3)距离型最值问题．[题点全练]角度一：斜率型最值问题1．(2019·涞水月考)已知实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求yx 的最大值与最小值．解：方程(x －3)2＋(y －3)2＝6表示以(3,3)为圆心，6为半径的圆． yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值， 此时|3k －3|k 2＋1＝6，解得k ＝3±2 2. 所以yx 的最大值为3＋22，最小值为3－2 2. 角度二：截距型最值问题2．(2018·东海高级中学测试)已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，则2x －y 的最大值为________．解析：令b ＝2x －y ，当直线2x －y ＝b 与圆相切时，b 取得最值． 由|2×2＋1－b |5＝1，解得b ＝5±5，所以2x －y 的最大值为5＋ 5. 答案：5＋ 53．(2019·启东模拟)已知非负实数x ，y 满足x ≠y ，且x 2＋y 2x ＋y ≤4，则S ＝y －2x 的最小值是________．解析：由x 2＋y 2x ＋y ≤4，得x 2＋y 2≤4(x ＋y )，移项配方得(x －2)2＋(y －2)2≤8，此不等式表示以C (2,2)为圆心，以22为半径的圆及其内部在第一象限与x 轴、y 轴正半轴的部分(除去y ＝x )．将S ＝y －2x 变形为y ＝2x ＋S ，当直线l ：y ＝2x ＋S 与圆相切于第一象限时，S 取得最小值，由圆的切线性质，圆心C (2,2)到l 的距离等于半径长，即|2＋S |5＝22，解得S ＝－2－210(S ＝－2＋210舍去)．故S ＝y －2x 的最小值是－2－210.答案：－2－210 角度三：距离型最值问题4．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为 (2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.[通法在握]与圆有关的最值问题的3种常见转化法(1)形如μ＝y －bx －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．[演练冲关]1．(2019·淮安检测)已知x ，y 满足x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，则x 2＋y 2的最小值为________．解析：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0可化为(x －2)2＋(y －3)2＝1，则圆心坐标为(2,3)，圆的半径r ＝1.因为x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在圆心与原点连线与圆的两个交点处取得最值，又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(3－0)2＝13，所以x 2＋y 2的最小值为(13－1)2＝14－213.答案：14－2132．在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1,0)，B (1,0)．若动点C 满足AC ＝2BC ，则△ABC 的面积的最大值是________．解析：设C (x ，y )，则(x ＋1)2＋y 2＝2(x －1)2＋2y 2，化简得(x －3)2＋y 2＝8.其中y ≠0，从而S △ABC ＝12×2×|y |≤22，即△ABC 的面积的最大值是2 2.答案：2 2考点三 圆的方程的简单应用 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2018·扬州调研)设△ABC 顶点坐标A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，其中a ＞0，圆M 为△ABC 的外接圆．(1)求圆M 的方程；(2)当a 变化时，圆M 是否过某一定点，请说明理由．解：(1)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)． 因为圆M 过点A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，所以⎩⎨⎧a 2＋aE ＋F ＝0，3a －3aD ＋F ＝0，3a ＋3aD ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0，E ＝3－a ，F ＝－3a .所以圆M 的方程为x 2＋y 2＋(3－a )y －3a ＝0. (2)因为圆M 的方程可化为(x 2＋y 2＋3y )－(3＋y )a ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋3y ＝0，3＋y ＝0，解得x ＝0，y ＝－3.所以圆M 过定点(0，－3)． [由题悟法]圆的方程是一个二元二次方程，所以有时候我们可从函数和方程的角度对其相关问题进行分析，也可利用方程中x ，y 的取值范围来确定有关函数的值或范围．[即时应用]已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求P Q ―→·M Q ―→的取值范围．解：(1)设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2. (2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，且P Q ―→·M Q ―→＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2. 令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，所以P Q ―→·M Q ―→＝x ＋y －2＝2(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2， 所以P Q ―→·M Q ―→的取值范围为[－4,0]．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若圆的半径为3，圆心与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆的标准方程为________． 答案：x 2＋y 2＝92．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆O ：x 2＋y 2＋2x ＝0上任意一点，点Q (2a ，a＋3)(a ∈R )，则线段P Q 长度的最小值为________．解析：圆O ：x 2＋y 2＋2x ＝0，即 (x ＋1)2＋y 2 ＝1，表示以(－1，0)为圆心、半径为1的圆，则点Q (2a ，a ＋3)到圆心(－1，0)的距离d ＝(2a ＋1)2＋(a ＋3)2＝5a 2＋10a ＋10＝5(a ＋1)2＋5，所以当a ＝－1时，d 取得最小值为5，故线段P Q 长度的最小值为5－1. 答案：5－13．若圆x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0的半径为2，则点(a ，b )到原点的距离为________． 解析：由半径r ＝12D 2＋E 2－4F ＝124a 2＋4b 2＝2得，a 2＋b 2＝2. 所以点(a ，b )到原点的距离d ＝a 2＋b 2＝2. 答案：24．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．解析：根据题意得点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点(0,1)为圆心， 又半径r ＝1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1. 答案：x 2＋(y －1)2＝15．(2019·兴化月考)经过点(2,0)且圆心是直线x ＝2与直线x ＋y ＝4的交点的圆的标准方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，x ＋y ＝4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即两直线的交点坐标为(2,2)，则圆心坐标为(2,2)．又点(2,0)在圆上，所以半径r ＝2，则圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －2)2＝46．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线 x ＝－3上的动点，则P Q 的最小值为________．解析：如图所示，圆心M (3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为M Q ＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.答案：4二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·无锡调研)设两条直线x ＋y －2＝0,3x －y －2＝0的交点为M ，若点M 在圆 (x －m )2＋y 2＝5内，则实数m 的取值范围为________．解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，3x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，则M (1,1)，由交点M 在圆(x －m )2＋y 2＝5的内部，可得(1－m )2＋1＜5，解得－1＜m ＜3. 故实数m 的取值范围为(－1,3)． 答案：(－1,3)2．已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值与最小值分别为________．解析：设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点(2,1)连线的斜率．过两点连线的直线方程为kx －y ＋1－2k ＝0，当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值，由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33. 答案：33，－333．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为________________．解析：由题意知x －y ＝0 和x －y －4＝0之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝ 2.又因为x ＋y ＝0与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由x ＋y ＝0和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，由x ＋y ＝0和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝24．(2018·苏州期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知过点A (2，－1)的圆C 和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上，则圆C 的标准方程为________________．解析：根据题意，设圆C 的圆心为(m ，－2m )，半径为r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧(m －2)2＋(－2m ＋1)2＝r 2，|m －2m －1|2＝r ，解得m ＝1，r ＝2，所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2. 答案：(x －1)2＋(y ＋2)2＝25．已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m ＝________.解析：因为曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.答案：－16．在平面直角坐标系xOy 内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为________．解析：圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，故由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，|－a |＞2，|2a |＞2，解得a ＜－2，故实数a 的取值范围为(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)7．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________.解析：由题意可知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4.答案：3π48．(2018·滨海中学检测)已知点P (0,2)为圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝2a 2外一点，若圆C 上存在点Q ，使得∠CP Q ＝30°，则正数a 的取值范围是________．解析：由圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝2a 2，得圆心为C (a ，a )，半径r ＝2a ， ∴CP ＝a 2＋(a －2)2，设过P 的一条切线与圆的切点是T ， 则CT ＝2a ，当Q 为切点时，∠CP Q 最大． ∵圆C 上存在点Q 使得∠CP Q ＝30°， ∴CTCP ≥sin 30°，即2a a 2＋(a －2)2≥12，整理可得3a 2＋2a －2≥0，解得a ≥7－13或a ≤－7－13(舍去)．又点 P (0,2)为圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝2a 2外一点，∴a 2＋(2－a )2＞2a 2，解得a ＜1.故正数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫7－13，1. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫7－13，19．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且CD ＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又因为直径CD ＝410， 所以PA ＝210， 所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.所以圆心P (－3,6)或P (5，－2)．所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40. 10．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点． (1)求m ＋2n 的最大值； (2)求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解：(1)因为x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0的圆心C (2,7)，半径r ＝22，设m ＋2n ＝t ，将m ＋2n ＝t 看成直线方程，因为该直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离d ＝|2＋2×7－t |12＋22≤22，解上式得，16－210≤t ≤16＋210， 所以所求的最大值为16＋210. (2)记点Q (－2,3)，因为n －3m ＋2表示直线M Q 的斜率k ，所以直线M Q 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0.由直线M Q 与圆C 有公共点， 得|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤2 2.可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·宁海中学模拟)如果直线2ax －by ＋14＝0(a ＞0，b ＞0)和函数f (x )＝m x ＋1＋1(m ＞0，m ≠1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上，那么ba 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝m x ＋1＋1的图象恒过点(－1,2)，代入直线2ax －by ＋14＝0，可得－2a －2b ＋14＝0，即a ＋b ＝7.∵定点始终落在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上，∴a 2＋b 2≤25.设b a ＝t ，则b ＝at ，代入a ＋b ＝7，可得a ＝71＋t ，b ＝7t 1＋t，代入a 2＋b 2≤25，可得()1＋t 2×⎝⎛⎭⎫71＋t 2≤25，∴12t 2－25t ＋12≤0，∴34≤t ≤43.故b a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤34，43. 答案：⎣⎡⎦⎤34，432．(2018·启东中学检测)已知点A (0,2)为圆M ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＝0(a ＞0)外一点，圆M 上存在点T ，使得∠MAT ＝45°，则实数a 的取值范围是________．解析：圆M 的方程可化为(x －a )2＋(y －a )2＝2a 2.圆心为M (a ，a )，半径为2a .当A ，M ，T 三点共线时，∠MAT ＝0°最小，当AT 与圆M 相切时，∠MAT 最大．圆M 上存在点T ，使得∠MAT ＝45°，只需要当∠MAT 最大时，满足45°≤∠MAT ＜90°即可．MA ＝(a －0)2＋(a －2)2＝2a 2－4a ＋4，此时直线AT 与圆M 相切，所以sin ∠MAT ＝MT MA ＝2a 2a 2－4a ＋4. 因为45°≤∠MAT ＜90°，所以22≤sin ∠MAT ＜1， 所以22≤2a 2a 2－4a ＋4＜1， 解得3－1≤a ＜1.答案：[3－1,1)3．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD 为6 3 m ，行车道总宽度BC 为211 m ，侧墙EA ，FD 高为2 m ，弧顶高MN 为5 m.(1)建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m ．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．解：(1)以EF 所在直线为x 轴，MN 所在直线为y 轴，1 m 为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系．则E (－33，0)，F (33，0)，M (0,3)．由于所求圆的圆心在y 轴上，所以设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2，因为F (33，0)，M (0,3)都在圆上，所以⎩⎨⎧ (33)2＋b 2＝r 2，02＋(3－b )2＝r 2，解得b ＝－3，r 2＝36.所以圆的方程是x 2＋(y ＋3)2＝36.(2)设限高为h ，作CP ⊥AD 交圆弧于点P ，则CP ＝h ＋0.5.将点P 的横坐标x ＝11代入圆的方程，得11＋(y ＋3)2＝36，解得y ＝2或y ＝－8(舍去)． 所以h ＝CP －0.5＝(y ＋DF )－0.5＝(2＋2)－0.5＝3.5(m)．答：车辆的限制高度为3.5 m.。

学习资料2022版高考数学一轮复习第八章解析几何第三讲圆的方程学案（含解析）新人教版班级：科目：第三讲圆的方程知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一圆的定义及方程知识点二点与圆的位置关系圆的标准方程(x－a)2＋(y－b）2＝r2,点M（x0，y0)，(1）（x0－a)2＋（y0－b)2__＝__r2⇔点在圆上；（2）（x0－a)2＋(y0－b）2__＞__r2⇔点在圆外；（3)（x0－a)2＋(y0－b)2__＜__r2⇔点在圆内．错误!错误!错误!错误!1．圆心在过切点且垂直于切线的直线上．2．圆心在任一弦的垂直平分线上．3．两圆相切时,切点与两圆心三点共线．4．以A(x1，y1），B(x2,y2)为直径的两端点的圆的方程是(x－x1）(x－x2）＋(y－y1)（y－y2）＝0（公式推导:设圆上任一点P(x，y)，则有k P A·k PB＝－1，由斜率公式代入整理即可)．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√"或“×"）(1）确定圆的几何要素是圆心与半径．（√)（2)已知点A(x1，y1），B（x2，y2），则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1）（y－y2）＝0．（√）(3)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．(×）(4）若点M（x0，y0）在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外,则x20＋y错误!＋Dx＋Ey＋F＞0．(√）（5)方程（x＋a）2＋（y＋b）2＝t2（t∈R)表示圆心为(a，b），半径为t的圆．(×）题组二走进教材2．（必修2P124A组T4）圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B（1，3),则圆C的方程为__（x－2)2＋y2＝10__．［解析]设圆心坐标为C(a，0)，∵点A(－1,1）和B（1，3)在圆C上,∴｜CA|＝|CB|,即错误!＝错误!,解得a＝2,∴圆心为C（2，0),半径｜CA|＝错误!＝错误!，∴圆C的方程为（x－2）2＋y2＝10．3．(必修2P132A组T3)以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为（C）A．（x－2）2＋（y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3C．（x－2)2＋(y＋1）2＝9 D．（x＋2)2＋（y－1)2＝9［解析]因为圆心(2,－1)到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝错误!＝3，所以圆的半径为3，即圆的方程为（x－2）2＋(y＋1）2＝9．故选C．题组三走向高考4．（2019·北京高考）设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为__（x－1)2＋y2＝4__．［解析］∵抛物线的方程为y2＝4x,∴其焦点坐标为F(1，0)，准线l的方程为x＝－1．又∵圆与直线l相切,∴圆的半径r＝2，故圆的方程为（x－1)2＋y2＝4．5．（2020·高考全国Ⅱ）若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为（B）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误![解析]设圆心为P（x0，y0)，半径为r，∵圆与x轴,y轴都相切,∴|x0|＝｜y0|＝r,又圆经过点（2，1），∴x0＝y0＝r且（2－x0）2＋(1－y0)2＝r2，∴(r－2)2＋（r－1）2＝r2,解得r＝1或r＝5．①r＝1时，圆心P(1,1），则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝错误!＝错误!；②r＝5时,圆心P（5,5)，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝错误!＝错误!．故选B．考点突破·互动探究考点一求圆的方程——自主练透例1 (1）(2021·海南海口二中模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上,则圆M的方程为（C）A．(x＋3）2＋（y－1)2＝1 B．(x－3）2＋（y＋1)2＝1C．(x＋3）2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1）2＝1（2）（2021·重庆一中、湖北鄂州期中）圆C半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为（B)A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2－4x＝0C．x2＋y2＋4x＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0(3）（2018·天津高考)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0)，(1,1)，(2，0）的圆的方程为__x2＋y2－2x＝0__．(4）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0,错误!)在圆C上，且圆心到直线2x－y ＝0的距离为错误!，则圆C的方程为__（x－2）2＋y2＝9__．[解析](1)由题意知，圆M的半径r为两平行线间距离错误!＝2的一半，∴r＝1，设圆心的坐标为（a，－a－4)，则错误!＝错误!解得a＝－3，∴圆心坐标为（－3,－1），∴圆M的方程为（x＋3)2＋（y＋1)2＝1，故选C．另解：与两平行直线距离相等的直线方程为3x－4y＋5＝0,由错误!,得圆心坐标为（－3,－1),又两平行线间距离为错误!＝2，∴圆M的半径r＝1，∴圆M的方程为（x＋3)2＋（y＋1）2＝1．故选C．(2)设圆心C(a，0)(a＞0）,由题意知错误!＝2，解得a＝2，故圆C的方程为（x－2）2＋y2＝22,即x2＋y2－4x＝0,故选B．(3）设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．分别代入（0,0)，（1，1），（2,0)三点，得错误!解得错误!故圆的方程为x2＋y2－2x＝0．（4）设圆C的圆心坐标为（a,0），a＞0，半径为r,则错误!＝错误!．∵a＞0，∴a＝2．∴r2＝(2－0)2＋（0－错误!）2＝9，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9．名师点拨求圆的方程的两种方法（1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2）待定系数法:①若已知条件与圆心(a，b）和半径r有关，则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，进而求出a，b，r的值;②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．〔变式训练1〕（1)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（A）A．（x－2）2＋（y－1）2＝1 B．（x－2)2＋（y＋1)2＝1C．（x＋2）2＋（y－1)2＝1 D．（x－3）2＋(y－1）2＝1（2)圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3),B(－2，－5)的圆的方程为__（x＋1)2＋(y＋2)2＝10__．[解析]（1)由于圆心在第一象限且与x轴相切,可设圆心为（a,1)(a＞0)，又圆与直线4x －3y＝0相切，∴错误!＝1，解得a＝2或a＝－错误!(舍去）．∴圆的标准方程为（x－2）2＋(y－1)2＝1．故选A．(2）AB的中点为H(0,－4），且k AB＝错误!＝错误!,∴AB中垂线方程为y＋4＝－2x,即2x＋y＋4＝0．由错误!得圆心C（－1，－2)，∴r2＝AC2＝10．故所求圆的方程为（x＋1）2＋(y＋2)2＝10．考点二与圆有关的最值问题-—多维探究角度1斜率型最值例2 已知点P（x,y)在圆x2＋(y－1）2＝1上运动，则错误!的最大值与最小值分别为__错误!，－错误!__．［解析］设y－1x－2＝k，则k表示点P(x,y）与点（2,1)连线的斜率，当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值．由错误!＝1,解得k＝±错误!,故填错误!，－错误!．角度2截距型最值例3(2021·海南海口模拟）已知实数x，y满足x2＋y2＝4(y≥0），则m＝3x＋y 的取值范围是(B)A．（－2错误!,4) B．［－2错误!，4]C．［－4,4］D．［－4，23][解析］x2＋y2＝4（y≥0)表示圆x2＋y2＝4的上半部分,如图所示，直线错误!x＋y－m ＝0的斜率为－错误!，在y轴上的截距为m；当直线错误!x＋y－m＝0过点(－2,0）时，m＝－23．设圆心(0,0）到直线错误!x＋y－m＝0的距离为d，则错误!即错误!解得m∈[－2错误!，4]．角度3与距离有关的最值例4（2021·陕西西安一中质检）P是圆M：x2＋（y－3)2＝4上的动点，则P到直线l：错误!x－y－3＝0的最短距离为(D)A．5 B．3C．2 D．1［解析］如图，过M作MA⊥l于A,当P在线段MA上时,|P A|为最短距离,|MA|＝错误!＝3，｜P A|＝|MA｜－2＝1．［引申]本例中若P（x，y),则（1）（x＋3)2＋（y＋1)2的最大值为__49__，最小值为__9__．（2）|x－2y－2｜的取值范围为__［8－2错误!，8＋2错误!]__．［解析］（1）（x＋3）2＋(y＋1)2表示圆上的点到点N(－3，－1）距离的平方，由｜MN｜＝错误!＝5知圆上的点到N的距离的最大值为7,最小值为3,故(x＋3）2＋(y＋1)2的最大值为49,最小值为9．（2)｜x－2y－2|表示圆上的点到直线l1：x－2y－2＝0距离的错误!倍，又圆心M（0，3)到直线l1的距离为错误!＝错误!，∴圆M上的点到直线l2距离的取值范围为错误!．故｜x－2y－2｜的取值范围为［8－2错误!,8＋2错误!]．名师点拨与圆有关的最值问题的常见解法(1）形如μ＝错误!形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如（x－a）2＋(y－b）2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．(4)圆上的点到定点（定直线）距离的最大值与最小值为圆心到定点（定直线)距离与半径的和与差．〔变式训练2〕已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．求：（1)（角度1）错误!的最大值和最小值；（2）(角度2）y－x的最大值和最小值；（3）（角度3）x2＋y2的最大值和最小值．[解析]（1）如图,方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点C(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设错误!＝k,即y＝kx，则圆心（2，0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切,斜率取得最大、最小值．由错误!＝错误!，解得k2＝3，所以k max＝错误!，k min＝－错误!．（2)解法一：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值,此时错误!＝错误!,解得b＝－2±错误!．所以y－x的最大值为－2＋错误!，最小值为－2－错误!．解法二：设圆的参数方程为错误!(0≤θ＜2π），则y－x＝错误!sin θ－错误!cos θ－2＝错误!sin错误!－2，当θ＝错误!π时，取最大值错误!－2,当θ＝错误!π时,取最小值－错误!－2．（3）解法一：x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是（2＋错误!)2＝7＋4错误!．x2＋y2的最小值是(2－3）2＝7－4错误!．解法二：由（2）中的参数方程可得：x2＋y2＝（2＋错误!cos θ)2＋（错误!sin θ)2＝7＋4错误!cosθ从而得x2＋y2的最大值为7＋4错误!，最小值为7－4错误!．考点三，与圆有关的轨迹问题——师生共研例5 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0），B（1,1)为圆内一点，P、Q为圆上的动点．（1)求线段AP中点的轨迹方程；(2）若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．［解析］(1）设AP的中点为M（x，y)，由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x－2，2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2）2＋（2y）2＝4．故线段AP中点的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝1．（2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，｜PN｜＝|BN｜，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以｜OP|2＝|ON｜2＋｜PN|2＝|ON｜2＋｜BN｜2，所以x2＋y2＋（x－1）2＋(y－1)2＝4．故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0．名师点拨求与圆有关的轨迹方程的方法错误!-错误!｜错误!—错误!|几何法—错误!｜错误!错误!〔变式训练3〕（2021·河北衡水中学调研）已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（－1,0)，B(3,0）．求: (1）直角顶点C的轨迹方程；（2)直角边BC的中点M的轨迹方程．[解析］（1）解法一：设C（x,y)，因为A，B，C三点不共线,所以y≠0．因为AC⊥BC,所以k AC·k BC＝－1，又k AC＝yx＋1,k BC＝错误!,所以错误!·错误!＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0．因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0）．解法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0),由直角三角形的性质知|CD｜＝错误!｜AB|＝2．由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0）为圆心，2为半径的圆（由于A，B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点）．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4（y≠0）．(2）设M（x，y），C(x0,y0），因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝错误!，y＝错误!，所以x0＝2x－3，y0＝2y．由（1）知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0），将x0＝2x－3,y0＝2y代入得（2x－4)2＋(2y)2＝4，即（x－2）2＋y2＝1．因此动点M的轨迹方程为（x－2)2＋y2＝1(y≠0）．名师讲坛·素养提升对称思想在圆中的应用例6 （1)一条光线从点（－2,－3）射出，经y 轴反射后与圆（x ＋3）2＋(y －2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为（ D ）A ．－53或－错误! B ．－错误!或－错误! C ．－错误!或－错误! D ．－错误!或－错误!（2）已知A （0，2),点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则｜P A |＋｜PQ ｜的最小值是__2错误!__．[解析] (1）圆（x ＋3)2＋（y －2)2＝1的圆心为C (－3，2）,半径r ＝1．如图，作出点A (－2，－3)关于y 轴的对称点B (2，－3）．由题意可知,反射光线的反向延长线一定经过点B ．设反射光线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y －(－3)＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0．由反射光线与圆相切可得错误!＝1，即|5k ＋5｜＝错误!,整理得12k 2＋25k ＋12＝0，即(3k ＋4）(4k ＋3)＝0,解得k ＝－错误!或k ＝－错误!，故选D ．（2)圆C 的方程可化为(x －2）2＋（y －1）2＝5，其圆心C (2，1）关于直线l :x ＋y ＋2＝0的对称点为C ′（－3，－4)，|P A ｜＋｜PQ ｜的最小值为｜AC ′｜－错误!＝错误!－错误!＝2错误!．[引申］本例（1）中入射光线所在直线的方程为__4x －3y －1＝0或3x －4y －6＝0__．名师点拨]1．光的反射问题一般化为轴对称解决．2．求解形如|PM|＋｜PN｜(其中M，N均为动点）且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路:(1）“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．3．定点到圆上动点距离的最大（小）值为定点到圆心的距离加(减）半径；圆上的点到定直线距离的最大（小）值为圆心到直线的距离加（减)半径．〔变式训练4〕已知圆C1:(x－2)2＋（y－3)2＝1,圆C2：（x－3)2＋(y－4）2＝9,M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则｜PM|＋|PN｜的最小值为(A)A．5错误!－4 B．错误!－1C．6－2错误!D．错误!［解析］C1（2，3)关于x轴的对称点为C3（2，－3），又｜C2C3｜＝(2－3)2＋(－3－4)2＝52，∴|PM｜＋|PN｜的最小值为5错误!－3－1＝5错误!－4．故选A．。