直线和圆的方程第一轮复习详案

2019-2020年高考数学一轮复习直线与圆教学案依据直线与圆的方程，能求出它们的交点坐标，能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线和圆的位置关系，掌握圆心距和半径之间的大小关系判定圆与圆的位置关系 三、教学重点难点重点：直线与圆相离，相交，相切时，圆心到直线的距离和半径之间的大小关系，圆与圆的半径与圆心距确定的圆与圆的位置关系难点：利用直线与圆，圆和圆的方程研究圆有关的问题，提高思维能力 四、知识导学1`．设点P 到圆心的距离为d ，圆的半径为r ，点P 在圆外 ； 点P 在圆上 ； 点P 在圆内2．直线l ：Ax+By+C=0,圆C ：(x －a)2+(y-b)2=r 2，圆心C(a,b)到直线l 的距离为d ， 则l 与C 相离 ；l 与C 相切 ；l 与C 相交3．直线l ：Ax+By+C=0,圆C ：(x －a)2+(y-b)2=r 2（或x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.）先将方程联立方程组消元，得到一个一元二次方程，令其判别式为⊿;则有⊿<0 ；⊿＝0 ；⊿>04．以圆x 2+y 2= r 2上的点P （x 0，y 0）为切点的圆的切线方程是 5 .一般地，设圆C 1 和C 2 的方程分别为圆心分别为C 1（x 1,y 1）,C 2(x 2,y 2),半径分别为r 1,r 2, 两圆的圆心距为d ； 那么，当 时，两圆外离；当 时，两圆外切；当 时，两圆相交；当 时，两圆内切； 当 时，两圆内含。

五、课前自学1.若点P(m,5)与圆x 2+y 2=24的位置关系是在 外2.若直线mx-y+2=0与圆x 2+y 2=1相切，则实数m 的值是3.以（-2，0）为圆心，并与圆x 2+y 2=1相切的圆的方程是4.已知圆C 的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C 相切，则圆C 的方程为_______ ___5.若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是6.已知直线,圆，则上各点到的距离的最小值为_________7.直线l 与直线l 1：x+2y-3=0垂直，且被圆x 2+y 2=25所截的弦长为，则直线l 的方程为 ____ 8.已知直线与圆交于与两点，且，其中为坐标原点，则实数的值为____________9.过坐标原点向圆引两条切线和，那么与圆及直线、都相切的半径最小的圆的标准方程是________________________六、合作、探究、展示例1. 若圆0)5(42222=-++-+m y mx y x 与0)3(22222=-+-++m my x y x ，当为何值时：(1)两圆外离； (2)两圆外切； (3)两圆相交； (4)两圆内切； (5)两圆内含例2．已知点A（-1，1）和圆C：x2＋y2-10x-14y＋70＝0，一束光从点A出发，经过x轴反射后与圆C相切，求（1）光线从A到切点的路程；（2）入射光线和反射光线所在直线的斜率.例3.已知圆C：，直线L：。

《直线和圆的方程》复习课教案教学目标(1)通过师生共同总结本章的知识体系和基础知识，带动学生更系统全面地掌握基础知识，加深理解，强化记记忆，为今后更好地应用这些知识打好基础．(2)通过与本章知识相关的届年的高考试题的练习与研究，检验促进学生对知识的理解和掌握，开拓学生的视野，培养他们的分析，综合应用能力．教学过程设计在学生学习完第七章“直线和圆的方程”后，我们安排了两节复习总结课，引导学生系统总结记忆本章的基础知识，进一步深化和准确对这些基础知识的理解．这部分总结工作应启发学生自己完成，教师加以完善．可事先布置为家庭作业．在总结基础知识的同时，我们以历年高考题为练习题，组织学生试作，研究，教师最后进行总结讲评．一、本章知识体系：二、本章基础知识直线线性规划圆．三、典型问题练习与研究(一)选择题1．直线bx＋ay=ab(a＜0，b＜0)的倾斜角是[ ](1993年高考题)2．过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2=0上的圆的方程是[ ] A．(x－1)2＋(y－1)2=4．B．(x＋3)2＋(y－1)2=4．C．(x－3)2＋(y＋1)2=4．D．(x＋1)2＋(y＋1)2=4．(2001年高考题)共有[ ]A．1个 B．2个C．3个 D．4个(1991年高考题) 4．圆x2＋y2=1上的点到直线3x＋4y－25=0的距离的最小值是[ ] A．6B．4C．5D．1(1993年高考题)5．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1=0，则直线PB的方程是[ ] A．2y－x－4=0．B．2x－y－1=0．C．x＋y－5=0．D．2x＋y－7=0．(2001年高考题)[ ](1999年高考题)7．已知直线l1和l2夹角的平分线为y=x，如果l1的方程是ax＋by＋c=0(ab＞0)，那么l2的方程是[ ]A．bx＋ay＋c=0．B．ax－by＋c=0．C．bx＋ay－c=0．D．bx－ay＋c=0．(1992年高考题)8．过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是[ ](2000年高考题)9．已知两条直线l1：y=x，l2：ax－y=0，其中a为实数，当这两条直线的夹[ ]C．(0，1)(2000年高考题)10．设动点P在直线x=1上，O为坐标原点，以OP为直角边，点O 为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是[ ] A．圆B．两条平行直线C．抛物线D．双曲线(2001年春高考题) [分析与解答]2．设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋=r2，圆心在直线x＋y－2=0上，a＋b－2=0，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2=4，故应选(A)．4．作出草图，再作OA垂直已知直线3x＋4y－25=0于A点，∴|OA|－1=5－1=4．就是圆x2＋y2=1上的点到直线3x＋4y－25=0的距离的最小值．应选(B)．5．P在直线x=2上，|PA|=|PB|，P点在AB的垂直平分线上，由x－y＋1=0得A点坐标为(－1，0)．于是B点坐标为(5，0)．又K PA=1．K PB=－K PA=－1．由点斜式，PB的方程y－0=(－1)(x－5)，即x＋y－5=0∴应选(C)．7．直线l1与直线l2关于直线y=x对称，以(y，x)代换(x，y)，由l1得，ay＋bx＋c=0(ab＞0)，即bx＋ay＋c=0，应选(A)．8．x2＋y2＋4x＋3=0，即(x＋2)2＋y2=1，圆心(－2，0)，半径为1，过原点的直9．这题有的同学用夹角公式去求，理论上是正确的，但计算量太大了，实际上很难算出来．要认真分析，结合图形去思考．l1：y=x，斜率为1，倾斜角α1=45°．作出草图去思考，α1=45°,l1与l2的夹角不超过15°,则α2的范围为30°到45°，及45°到60°．又tanα2=a，a的范围在tan30°到tan45°，及tan45°到tan60°，10．设P点坐标(1，t)，Q点坐标(x，y)，这里有两个关系，OP⊥OQ，|OP|=|OQ|，我们通过这两个条件，建立方程．x2＋y2≠0，y2=1，∴y=±1．所求轨迹为两条平行线，应选(B)．(二)填空题．1．给定三点A(1，0)，B(－1，0)，C(1，2)，那么通过点A，并且与直线BC垂直的直线方程是________(1989年高考题)[分析与解答]直线的方程y－0=(－1)(x－1)即x＋y－1=0，有的同学首先用两点式求出直线BC的方程，你认为有必要吗？切线，找斜率的最大值．设切线为y=Kx，Kx－y=0，(三)在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1=0，∠A 的平分线所在直线的方程y=0，若点B的坐标为(1，2)，求点A和点C的坐标．(1992年高考题)[分析与解答]两条直线相交得一个交点，求A与C的坐标，需先求过两点的直线方程．[解法二] 同解法一，得顶点A(－1，0)．因x轴是∠A的平分线，所以点B(1，2)关于x轴的对称点B1(1，－2)在AC所在的直线上，由两点式得AC的方程y=－(x＋1)，以下同解法一．(四)已知两条直线l1：2x－3y＋2=0，l2：3x－2y＋3=0，有一动圆(圆心半径都在变动)与l1，l2都相交，并且l1、l2被圆所截得弦分别为26，24，求圆心M的轨迹方程．(1983年高考题)[分析与解答]两条直线同一个圆，l1，l2分别有圆半径，圆心距，弦长之间的关系，消去共同变量圆半径，则可得到M的轨迹方程．设圆心M(x，y)，圆半径R，M到l1，l2的距离为d1，d2．根据弦，弦心距，半径间的关系代入上式化简为x2＋2x＋1－y2=65∴M的轨迹方程为 (x＋1)2－y2=65．(五)已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2＋y2=1，动点M到圆C 的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M的轨迹方程．并说明它表示什么曲线．(1994年高考题)[分析与解答]如图，设MN切圆于N，|MN|=λ|MQ|，(λ＞0)因圆的半径|ON|=1|MN|2=|MO|2－|ON|2=|MO|2－1，整理得，(x2－1)(x2＋y2)－4λ2x＋(1＋4x2)=0，为所求轨迹方程．当λ≠1时，方程表示一个圆．(六)已知一个圆C：x2＋y2＋4x－12y＋39=0，和一条直线l：3x－4y ＋5=0，求圆C关于直线l对称的圆的方程．(1985年高考题)[分析与解答]圆C：(x＋2)2＋(y－6)2=1，圆心为(－2，6)，半径r=1．圆C关于l 对称的圆C'，圆C'的半径为1，而圆心(a，b)与(－2，6)关于直线l对称，这个问题实际上是求点(－2，6)关于直线l的对称点(a，b)，用求对称点的办法解决．∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y＋2)2=1．(七)自点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7=0相切，求光线l所在直线的方程．(1989年高考题)[分析与解答]根据入射光线与的反射光线的对称性，设光线所在直线的方程为y－3=K(x＋3)，即Kx－y＋3K＋3=0已知圆，x2＋y2－4x－4y＋7=0圆C为(x－2)2＋(y－2)2=1与圆C关于x轴对称圆C'的方程为C'：(x －2)2＋(y＋2)2=1，直线Kx－y＋3k＋3=0与圆C'相切．∴所求直线方程为4x＋3y＋3=0或3x＋4y－3=0．[分析与解答]sinAcosA=sinBcosB，sin2A=sin2B，A≠B，可得，a=6，b=8，设△ABC内切圆圆心为O'内切圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2=4．[解法一] 设圆上动点P的坐标为(x，y)，S=|PA|2＋|PB|2＋|PC|2=(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2＋x2＋y2 =3[(x－2)2＋(y－2)2]－4x＋76=88－4x．因P点在内切圆上，0≤x≤4，S最大值=88－0=88，S最小值=88－16=72．圆上动点P的坐标为(2＋2cosθ，2＋2sinθ)．S=|PA|2＋|PB|2＋|PC|2=(2cosθ－6)2＋(2＋2sinθ)2＋(2＋2cosθ)2＋(2sinθ－4)2＋(2＋2cosθ)2＋(2＋2sinθ)2=80－8cosθ，∵0≤θ＜2π，S最大值=80＋8=88，S最小值=80－8=72．(九)如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点A，B，试在x轴的正半轴(坐标原点除外)上求点C，使∠ACB 取得最大值．(1986年高考题)[分析与解答]设点A的坐标为(0，a)，点B的坐标为(0，b)，0＜b＜a，设C点的坐标为(x，0)，(x＞0)，(十)设圆满足①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1在满足条件①，②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程．(1997年高考题)[分析与解答]设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P截x轴所得各弧对的圆心角为90°，知圆P截x轴所得的弦长为∴2b2=a2＋1，2b2－a2=1．则 5d2=|a－2b|2=a2＋4b2－4ab≥a2＋4b2－2(a2＋b2)=2b2－a2=1．当且仅当a=b时，上式等号成立，此时5d2=1，d取得最小值．∴所求圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2=2或(x＋1)2(y＋1)2=2．。

2008高考数学第一轮复习单元讲座 直线、圆的方程一．课标要求：1．直线与方程（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；（3）根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系；2．圆与方程回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。

二．命题走向直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程。

预测2007年对本讲的考察是：（1）2道选择或填空，解答题多与其他知识联合考察，本讲对于数形结合思想的考察也会是一个出题方向；（2）热点问题是直线的倾斜角和斜率、直线的几种方程形式和求圆的方程。

三．要点精讲1．倾斜角：一条直线L 向上的方向与X 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为[)π,0。

2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=t a n α;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。

过两点p 1(x 1,y 1),p 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式:k=t a n 1212x x y y --=α（若x 1＝x 2，则直线p 1p 2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）。

4．直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。

确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。

直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。

5．圆的方程圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为：)0()()(222>=-+-r r b y a x 。

高2021级一轮复习直线和圆的方程集体备课高2021级（高三段）一轮复习直线和圆的方程剑阁中学杜国鹏直线和圆是最简单、最基本的曲线，它不仅是学好解析几何的基础，而且对于确立用代数的方法研究几何的观点，将起着良好的导向作用。

一、主要内容它可以分为三个部分：直线的基本知识、直线的应用、直线和圆的方程形式以及它们之间的位置关系。

1.本章重点（1）倾角和坡度的概念。

(2)根据斜率判定两条直线平行与垂直。

(3)直线的点斜式方程、一般式方程。

(4)两条直线交点坐标。

（5）点到线的距离以及两条平行线之间的距离。

（6）圆的标准方程和一般方程。

(7)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系。

(8)运用数形结合的思想和代数方法解决几何问题。

2.本章难点（1）直线的斜率与其倾角之间的关系。

（2）根据坡度确定两条直线的位置关系。

（3）线性方程的应用。

(4)点到直线的距离公式的推导。

(5)圆的方程应用。

一(6)直线和圆的方程的综合应用。

二、高考研究(一)命题点（1）直线的倾角和坡度；（2）斜率公式和线性方程；（3）平行度和垂直度的条件，两条直线形成的角度，以及点到直线的距离公式；（4）对称性问题；（5）线性方程问题；（6）二元一阶不等式表示平面区域；（7）简单线性规则；（8）直接规划的应用；（9）圆方程；（10）直线和圆之间的位置关系；（11）圆圈之间的位置关系；（12）圆的参数方程和圆的综合。

(二)考查的七大热点（1）测试方程：测试线性方程和循环方程，主要测试优化法和待定系数法，测试方程思想的应用。

(2)考位置：考直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，主要考查基础知识的运用能力及综合运用知识分析问题、解决问题的能力。

（3）测试公式：测试斜率公式、到达角（夹角）公式和距离公式（点到直线的中间距离和平行直线之间的距离），主要测试公式的灵活应用。

(4)考应用：考直线与圆的应用，特别是线性规划的简单应用，主要考查应用意识和创新精神。

城东蜊市阳光实验学校第三中学2021届高考数学一轮复习直线与圆复习教案 教学重点、难点：直线与圆一、根底训练：1、直线l 过点M 〔２，１〕其倾斜角是直线40x y -+=倾斜角的2倍，那么直线l 的 方程是_________________2、三点(2,3),(3,),(4,)a b 在一条直线上，那么点(,)a b 所在的直线方程是________3、.过点(1,2)且在两坐标轴上截距相等的直线方程：________________________4、A(x1,y1),B(x2,y2)是圆222xy +=两点，假设12121x x y y +=-那么AOB ∠＝______ 5、过圆224x y +=外的一点P 〔４，２〕作圆的两条切线，切点为A,B 那么△PAB 的外接圆方程:______________6、两圆相交于两点(1,3)和(m,-1)，假设两圆圆心在直线0x y c -+=上那么m c +＝________7、曲线1y =与直线(2)4y k x =-+有两个不同的交点，那么k 的取值范围_____ 8、P(x,y)是圆22(1)1x y +-=上的任意一点，假设不等式0x y c ++≥恒成立，那么实数c 的取值范围______________二、例题讲解：例1.过点M(2,4)作两条直线垂直的直线分别交,x y 的正半轴于A,B 假设四边形OAMB 的面积被直线AB 平分，求AB 的方程。

例2.P 是直线3480x y ++=上的动点，PA,PB 是圆222210xy x y +--+=的两条切线，切点为A 、B ，Ｃ为圆心，求四边形PACB 的面积的最小值。

例3：圆22:(2)1M x y +-=，直线l 的方程20x y -=，点P 在直线l 上，过P 作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B 〔1〕假设060APB ∠=，求点P 的坐标；〔2〕过点P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，假设点P 的纵坐标为1，且CD =CD 的方程； 〔3〕求证：当点P 在直线l 上运动时，经过AB 两点的直线恒过定点例4：圆229:9,(5,0),(,0)5C x y A B +=--，直线:20l x y -= 〔1〕求与圆C 相切，且与直线l 垂直的方程；〔2〕求证：对圆C 上任意一点P ，PB PA 为一常数，并求出这一常数 数学〔理〕即时反响作业编号：017直线与圆复习1、过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，假设切点在第三象限，那么该直线的方程是____________2、圆C ：)0(4)2()(22>=-+-a y a x 及直线03=+-y x l ：，当直线l 被C 截的弦长为32时，那么a=________3、过点)3,2(P 向1)1()1(22=-+-y x 引切线，设T 为切点，那么切线长|PT|=__________4、一条光线从点)3,2(P 射出，经x 轴反射，与圆1)2()3(22=-++y x 相切，那么反射光线所在直线的方程是__________.5、设M 是圆22(5)(3)9x y -+-=上的点，那么点M 到直线3420x y +-=的最短间隔是________________ 6、圆22(2)9x y -+=和直线y kx =交于A,B 两点,O 是坐标原点,假设2OA OB O +=,那么||AB = 7、圆222(3)(5)x y r -++=上有且仅有2个不同的点到直线4320x y --=的间隔为1那么半径r 的取值范围是____________10、圆与两直线350,330x y x y +-=+-=都相切，且圆心在直线210x y ++=上，求这个圆的方程。

【高考一轮复习】五、平面解析几何——直线与圆一、考纲分析考纲（直线与部分）1.直线与方程（1）在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素；（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式；（3）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；（4）掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系；（5）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；（6）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离；2.圆与方程（1）掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程；（2）能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；（3）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；（4）初步了解用代数方法处理几何问题的思想；3.空间直角坐标系（1）了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置；（2）会推导空间两点间的距离公式。

分析：常以填空题、选择题、解答题的形式出现。

填空选择难度中等，解答题综合性较强，对计算能力要求较高，常与函数、方程、不等式、数列、三角函数、平面向量和圆锥曲线结合，难度中等，也不排除会出难题。

二、知识点汇总1.直线与方程1.1倾斜角与斜率倾斜角（α）：把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角。

（0°≤α<180°）斜率（k）：①已知两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2，则直线PQ的斜率为：（x1≠x2）；②k=tanα。

k=y2−y1x2−x11.2直线方程1.5距离公式（1）中点坐标：点P1(x1，y1)，点P2(x2，y2)，则中点M（x1+x22，y1+y22）；（2）平面点与点：点P1(x1，y1)，点P2(x2，y2)，则|P1P2|=√（x1−x2）2+（y1−y2）2；（3）空间点与点：点P1(x1，y1，z1)，点P2(x2，y2，z2)，则|P1P2|=√（x1−x2）2+（y1−y2）2+（z1−z2）2（4）平面点与线：点P(x0，y0)，直线l：Ax+By+C=0 ，则d=00√A2+B2（4）平面线于线：直线l1：Ax+By+C1=0，直线l2：Ax+By+C2=0，则d=12√A2+B22.圆与方程2.1圆的方程三、例题讲解1.直线与圆的方程问题题型分析：直线倾斜角和斜率问题：分辨直线斜率k和倾斜角α（0≤α<π）之间的区别和联系：k=tanα。

第七章直线和圆的方程知识结构高考能力要求1．掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．2．会用二元一次不等式表示平面区域．3．了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用．4．了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法．5．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念．高考热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式、中点坐标公式、直线方程的点斜式、斜截式、一般式、斜率公式及两条直线的位置关系，圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系是考查的热点.但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，近年来，在高考中经常考查，但基本上以中易题出现．考查的数学思想方法，主要是数形结合、分类讨论、方程的思想和待定系数法等．高考复习建议本章的复习首先要注重基础，由于本章的基本公式较多，直线方程和圆的方程又有多种形式，且这些知识在解题中使用频率高，在解题中要求使用很灵活，因此对基本知识、基本题型要掌握好。

求直线方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形。

曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此，必须透彻理解．既要掌握求曲线方程的常用方程和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的切线问题与弦长问题以及对称问题都是高考中的热点问题，解决它们主要以方程思想和数形结合的方法来处理；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，另外还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算．7．1 直线的方程知识要点1．倾斜角:对于一条与x轴相交的直线,把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角．当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．倾斜角的范围为_________．斜率:当直线的倾斜角α≠90°时，该直线的斜率即k＝tanα；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在．2．过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式．若x1＝x2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°．例题讲练【例1】 已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m－1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝时，直线在y 轴上的截距为－23．④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点．【例2】若直线l 过点M(a ，3)，N(1，2)， (1)求直线l 的斜率和倾斜角； (2)已知]13,133[++-∈a ，求直线l 的倾斜角α的范围．【例3】 已知△ABC 的顶点分别为A (－3，0)，B (9，5)，C (3，9)，直线l 过点C 且把三角形的面积分成1︰2的两部分，求l 的方程．【例4】 已知定点P(6, 4)与直线l 1:y ＝4x ，过点P 的直线l 与l 1交于第一象限的Q 点，与x 轴正半轴交于点M ．求使△OQM 面积最小的直线l 的方程． 小结归纳1．直线方程是表述直线上任意一点M 的坐标x 与y 之间的关系式，由斜率公式可导出直线方程的五种形式．这五种形式各有特点又相互联系，解题时具体选取哪一种形式，要根据直线的特点而定．2．待定系数法是解析几何中常用的思想方法之一，用此方法求直线方程，要注意所设方程的适用范围．如：点斜式、斜截式中首先要存在斜率，截距式中横纵截距存在且不为0，两点式的横纵坐标不能相同等（变形后除处）．3．在解析几何中,设点而不求,往往是简化计算量的一个重要方法.4．在运用待定数法设出直线的斜率时，就是一种默认斜率存在，若有不存在的情况时，就会出现解题漏洞，此时就要补救：较好的方法是看图，数形结合来找差距. 基础训练题 一、选择题1． 在同一坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是 （ ）A2． 设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a 、b 满足 （ ） A ．a ＋b ＝1 B ．a －b ＝1 C ．a ＋b ＝0 D ．a －b ＝03． 直线A x ＋B y ＋C ＝0，通过第二、三、四象限，则系数A 、B 、C 需满足的条件 （ ） A ．A 、B 、C 同号 B ．AC<0，BC<0C ．C ＝0，AB< 0D ．A ＝0，BC<04． 设2π<α<π，则直线y ＝x cos α＋m 的倾斜角的取值范围是 （ ） A ．(2π，π) B ．(2π，43π)C ．(4π，43π)D ．(43π，π)5． 已知A(－2，3)，B(3，0)，直线l 过O(0，0)且与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围是 （ ） A ．－23≤k ＜0 B ．k ≤－23或k ≥0C ．k ≤0或k ≥23D ．0≤k ≤236． 设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为 （ ） A ．x ＋y －5＝0 B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝0二、填空题7． 直线y ＝mx ＋2m ＋1恒过一定点，则此点的坐标为 ．8． 若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)，共线x则ba 11+的值等于 ． 9． C 是以A(2，3)、B(－1，－2)为端点的线段AB 外一点，且＝2，则过C 垂直于AB 的直线方程为 ．10．实数x 、y 满足3x －2y －5＝0(1≤x ≤3)，则xy 的最大值、最小值分别是 ．三、解答题11．已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半，求直线l 的斜率．12．如图，在△ABC 中，已知点B (－1，0)，C (1，0)，2=ACAB ，AB 边上的高1=CD ，求直线AC的斜率．13．直线l 过点M (2，1)，且分别交x 轴y 轴的正半轴于点A 、B ，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程； (2)当MB MA ⋅取最小值时，求直线l 的方程．提高训练题14．已知直线l ：(a ＋2)x ＋(1－2a )y ＋4－3a ＝0．(1)求证直线l 经过第三象限；(2)若直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围． 15．已知过原点O 的一条直线与函数y ＝log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 作y 轴的平行线与函数y ＝log 2x 的图象交于C 、D 两点．(1) 证明：C 、D 和原点O 在同一直线上．(2) 当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标．7．2 直线与直线的位置关系知识要点 （一）平面内两条直线的位置关系有三种________． 1．当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系2．当直线平行于坐标轴时，可结合图形判定其位置关系．（二）点到直线的距离、直线与直线的距离1．P(x0，y0)到直线A x＋B y＋C＝0 的距离为______________．2．直线l1∥l2，且其方程分别为：l1：A x＋B y＋C1＝0 l2：A x＋B y＋C2＝0，则l1与l2的距离为．（三）两条直线的交角公式若直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，则1．直线l1到l2的角θ满足．2．直线l1与l2所成的角(简称夹角)θ满足．（四）两条直线的交点：两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数．（五）五种常用的直线系方程.①过两直线l1和l2交点的直线系方程为A1x＋B1y ＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含l2).②与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m (m≠b).③过定点(x0, y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)及x＝x0.④与A x＋B y＋C＝0平行的直线系方程设为A x＋B y＋m＝0 (m≠C).⑤与A x＋B y＋C＝0垂直的直线系方程设为B x－A y＋C1＝0 (AB≠0).例题讲练【例1】已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m、n的值，使：(1) l1与l2相交于点p (m，－1)；(2) l1‖l2；(3) l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1．【例2】已知直线l经过两条直线l1：x＋2y＝0与l2：3x－4y－10＝0的交点，且与直线l3：5x－2y＋3＝0的夹角为4π，求直线l的方程．【例3】直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求点C的坐标并判断△ABC的形状．【例4】设点A(－3，5)和B(2，15)，在直线l：3x－4y＋4＝0上找一点p，使PBPA+为最小，并求出这个最小值．小结归纳1．处理两直线位置关系的有关问题时，要注意其满足的条件．如两直线垂直时，有两直线斜率都存在和斜率为O与斜率不存在的两种直线垂直．2．注意数形结合，依据条件画出图形，充分利用平面图形的性质和图形的直观性，有助于问题的解决．3．利用直线系方程可少走弯路，使一些问题得到简捷的解法．4．解决对称问题中，若是成中心点对称的，关键是运用中点公式，而对于轴对称问题，一般是转化为求对称点，其关键抓住两点：一是对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中点在对称轴上，如例4．基础训练题一、选择题1．已知点M(a、b)，若点N与M关于x轴对称，点P 与N关于y轴对称，点P与点Q关于直线x＋y＝0对称，则点Q的坐标为（）A．(a、b) B．(b、a)C．(－a、－b) D．(－b、－a)2．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y －1＝0平行，则m的值为（）A．0 B．－8C．2 D．103．设a、b、c分别是△ABC中角A、B、C所对的边长，则直线l1：与sin=++⋅cayxA yBbxl⋅-sin:2sin=+C的位置关系是（）A．平行B．垂直C．重合D．相交但不垂直4．若0≤θ≤2π，当点(1，cosθ)到直线x sinθ＋y cosθ－1＝0的距离是41时，这条直线的斜率为（）A．1 B．－1C．23D．－335． 已知直线l 1的方向向量为a ＝（1，3），直线l 2的方向向量为b ＝（－1，k ），若直线l 2经过点（0，5），且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程为 （ ） A ．x ＋3y －5＝0 B ．x ＋3y －15＝0C ．x －3y ＋5＝0D ．x －3y ＋15＝06． 已知两直线l 1：y ＝x ，l 2：ax －y ＝0，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在(0，12π)内变动时，a 的取值范围为 （ ） A ．(0，1)B ．(33，3)C ．(33，1)∪(1，3)D ．(1，3)二、填空题7． 点P （4cos θ，3sin θ）到直线x ＋y －6＝0的距离的最小值等于 ．8． 已知曲线c :y ＝x 2，则它关于x －y －2＝0对称的曲线方程是 ．9． 已知点O 为坐标原点，点A 的坐标为(4，2)，P 是线段OA 的垂直平分线上一点，若∠OP A 为锐角，则P 的横坐标的取值范围是 ． 10．两条平行直线分别过点A(6，2)和点B(－3，－1)，各自绕A 、B 旋转至这两条平行线距离取最大值时两直线的方程分别为 和 ．三、解答题11．已知P 是直线l 上的一点，将直线l 绕点P 逆时针方向旋转角α(0<α<2π)，所得直线方程为l 1：3x －y －4＝0，若继续绕P 点逆时针方向转2π－α，则得直线l 2的方程为x ＋2y ＋1＝0，求直线l 的方程．12．一光线从点A (3，2)出发经直线x －y ＋1＝0反射后经过点B (－1，－1)．试求反射光线所在的直线方程．13．已知过点A （1，1）且斜率为－m (m >0)的直线l 与x 、y 轴分别交于P 、Q 两点，过P 、Q 作直线2x ＋y ＝0的垂线，垂足分别为R 、S ，求四边形PRSQ 的面积的最小值．提高训练题14．过点P(6，8)作两互相垂直的直线PA 、PB 分别交x轴正半轴于A ，y 轴正半轴于B ． (1) 求线段AB 中点轨迹的方程．(2) 若S △AOB ＝S △APB ，求PA 与PB 所在直线的方程． 15．（05年广东），在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB 、AD 边分别在x 轴，y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图），将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，若拆痕所在直线的斜率为k ，求折痕所在的直线方程．7．3 线性规划知识要点1．二元一次不等式表示的平面区域．⑴ 一般地，二元一次不等式A x ＋B y ＋C>0在平面直角坐标系中表示直线A x ＋B y ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界线，不等式A x ＋B y ＋C ≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界线．⑵ 对于直线A x ＋B y ＋C ＝0同一侧的所有点(x 、y )使得A x ＋B y ＋C 的值符号相同．因此，如果直线A x ＋B y ＋C ＝0一侧的点使A x ＋B y ＋C>0，另一侧的点就使A x ＋B y ＋C<0，所以判定不等式A x ＋B y ＋C>0(或A x ＋B y ＋C<0)所表示的平面区域时，只要在直线A x ＋B y ＋C ＝0的一侧任意取一点(x 0，y 0)，将它的坐标代入不等式，如果该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域．⑶ 由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．线性规划⑵ 用图解法解决线性规划问题的一般步骤： ① 设出所求的未知数；② 列出约束条件(即不等式组)；③ 建立目标函数；④ 作出可行域和目标函数的等值线；⑤ 运用图解法即平行移动目标函数等值线，求出最优解．（有些实际问题应注意其整解性） 例题讲练【例1】 若△ABC 的三个顶点为A(3，－1)，B(－1，1)，C(1，3)，写出△ABC 区域（含边界）表示的二元一次不等式组．【例2】已知x 、y 满足约束条件 ⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≤--0104011702357y x y x y x 分别求：⑴ z ＝2x ＋y⑵ z ＝4x －3y⑶ z ＝x 2－y 2的最大值、最小值？【例3】 某木器厂生产圆桌子和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种72立方米，第二种有56立方米，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌需用第一种木料0.18立方米，第二种木料0.08立方米，可获利润6元，生产一个衣柜需用第一种木料0.09立方米，第二种0.28立方米，可获利10元，木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少才能使所获利润最多？【例4】 预算用2000元购买单价为50元桌子和20元的椅子，希望桌子的总数尽可能的多，但椅子的总数不能少于桌子的总数，但不多于桌子数的1.5倍，问桌椅各买多少才合适？小结归纳 1．二元一次不等式或不等式组表示的平面区域：① 直线确定边界；② 特殊点确定区域．2．线性规划实际上是“数形结合”的数学思想的体现，是一种求最值的方法．3．把实际问题抽象转化为数学问题是本节的重难点，求解关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．而在考虑约束条件时，除数学概念的条件约束外，还要深入其境、考虑实际意义的约束．4．解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图尽可能精确，图上操作尽可能规范。

高三数学第一轮复习直线和圆的方程详细教案知识结构第一节直线的倾斜角和斜率学习目标1．了解直线的方程、方程的直线的定义；2．掌握直线的倾斜角、直线的斜率的定义及其取值范围；3．掌握过两点的直线的斜率公式，会运用公式求出有关直线的斜率和倾斜角．重点难点本节重点：正确地理解斜率的概念，熟练地掌握已知直线上两点求直线斜率的公式，这是学好直线这部分内容的关键．本节难点：正确理解直线倾斜角定义中的几个条件，如直线与x轴相交与不相交，按逆时针方向旋转、最小正角等．求倾斜角时，要特别注意其取值范围是高考中，由于本节内容是解析几何成果中最基础的部分，一般是隐含在综合题中进行考查．典型例题【分析】【解】【点评】【分析】【解】【点评】【解法一】代数方法：套两点斜率公式．【解法二】【点评】“解析几何的特点之一是数形结合，数无形时少直观，形无数时难入微．”在学习数学时，应该记住华罗庚的这段话．教材上还涉及证明三点共线的练习题，怎样证明三点共线呢？请看下面例4．【分析】证明三点共线，可以用代数方法、几何方法，可以用直接证法、间接证法，你能想出至少一个方法吗？下面是同学们讨论出的几种证法供参考．【证法一】【证法二】【证法三】第二节直线的方程学习目标掌握直线方程的点斜式、两点式、参数式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程式．重点难点本节重点：直线方程的点斜式和一般式，点斜式是推导直线方程其他形式的基础，一般式是直线方程统一的表述形式．本节难点：灵活运用直线方程的各种形式解题．在高考中几乎每年都要考查这部分内容，题型以选择题、填空题居多．典型例题【分析】关键是确定直线方程中的待定系数．【解】【点评】学习直线的方程常犯的错误是忽略方程各种形式的应用条件，因此造成丢解．本例中各个小题均为两解，你做对了吗？第（4）小题的解法一要用到下节学到的公式，解法二用到课外知识，供有兴趣的同学欣赏．【解法一】【解法二】【解法三】【点评】灵活运用直线方程的各种形式，常常要和平面几何的有关知识相结合．本题还有别的解法，不再一一列举．【解法一】【解法二】【解法三】【证明】【点评】【分析】【解法一】【解法二】【解法三】【点评】第三节两条直线的位置关系学习目标1．掌握两条直线平行与垂直的条件，以及两条直线的夹角和点到直线的距离公式．2．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．重点难点本节重点：两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．本节难点：了解解析几何的基本思想，并用解析几何方法研究角．在高考中，两条直线的位置关系几乎年年必考，常常单独出现在选择题和填空题中，或作为综合题的一部分出现在解答题中．典型例题学习了本节以后，应该对两条直线平行与垂直的充要条件，怎样求直线的斜率、距离与角有哪些公式等问题进行归纳小结，以便提纲挈领地掌握有关知识，并灵活运用这些知识解决问题．1．两条直线平行、垂直的充要条件是什么？答：2．怎样求直线的斜率？答：3．距离和角有哪些公式？能灵活运用吗？答：【解】用下面的例题检验是否理解和掌握了以上这些内容．1．两条直线的位置关系【解】2．两条直线所成的角【解】【解法一】【解法二】3．有关交点的问题（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【解法一】【解】【解法二】4．点到直线的距离【错误的解】【正确的解】【解法一】【解法二】【解法三】【解法四】第四节简单的线性规划学习目标1．了解用二元一次不等式表示平面区域．2．了解线性规划的意义，并会简单的应用．重点难点典型例题学习了简单的线性规划以后，常见的题型是用二元一次不等式表示平面区域，以及用线性规划的知识来解决一些简单的问题．下面的例题可检验是否掌握了这些内容．1．二元一次不等式表示的区域【分析】【解】【点评】例2 试讨论点线距离公式中，去掉绝对值符号的规律？【分析】【解】【点评】2．线性规划初步例3钢管长11.1米，需要截下1.5米和2.5米两种不同长度的小钢管，问如何截取可使残料最少？【分析】关键是利用约束条件，列出线性目标函数．【解】【评析】例4 用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（）．（A）5种（B）6种（C）7种（D）8种【解法一】【解法二】【解法三】列表数点．故选（C）．【点评】本题为1999年全国高考试题第14题，难度系数0.47．如果有利用二元一次不等式表示平面区域的知识，此题将不再困难．【分析】甲的解法错误，错在（1）、（2）（3）、（4），反之不行，用必要不充分条件代替原条件，使解的范围扩大，[6，10]是[5，11]的子集．乙的解法正确．本题数形结合，利用本节的知识还可以有以下的解法．【解】【点评】第六节曲线和方程学习目标1．掌握曲线的方程、方程的曲线等概念．2．了解解析几何的基本思想和解析法，学习运动变化、对立统一等辩证唯物主义思想．重点难点本节重点：了解曲线的点集与方程的解集之间的一一对应关系，从而掌握曲线的方程和方程的曲线这两个重要概念，并掌握由曲线的已知条件求方程的方法和步骤，熟悉解析法．本节难点：理解曲线和方程的概念，以及求曲线的方程的方法．在高考中，曲线和方程常是重点考查的内容，出现在解答题中．典型例题学习了本节后主要要掌握求曲线的方程的步骤，以及用解析法解题的步骤，以下归纳供参考．求曲线的方程的步骤是：一建--选取适当的点和直线，建立坐标系；二设--设曲线上点，以及利用已知条件设出其他有关点的坐标等；三列式--根据动点符合的条件，列出含、的方程0；四化简--化方程0为最简形式；五证明--证曲线上点的坐标都是方程的解，以这个方程的解为坐标的点都在曲线上（这一步不要求写出）．解析法的主要步骤是：一建--建立适当的坐标系．建系原则是使已知条件好用，使表达式简明，运算简便．因此，尽量利用已知点和已知直线；二设--选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程；三算--通过运算，得到所要的结果．用以下例题检验是否理解和掌握了这些内容．1．怎样求轨迹方程【解法一】【解法二】【点评】【错误解法】【正确解法】【点评】【解法一】【解法二】【点评】2．解析法与综合法【证法一】【证法二】【证法三】【证法四】【点评】不同证法，以解析法较简便，复数将在高三年级学习，这里的证法实质和解析法一样，不过是换个说法．【分析】【解】【点评】解析法与综合法的特点，从中你体会到了吗？解析法的优点是程序固定（一建二设三算），操作简便，但一般运算量较大；综合法的优点是思路灵活，但如何添加辅助线不易掌握．【解法一】【解法二】【解法三】【解法四】【点评】“是否可以用代数中的计算过程代替几何中的证明？”“让代数和几何中一切最好的东西互相取长补短”等是笛卡儿创立解析几何的初衷．解析几何既然是用代数方法来研究几何对象的特征和性质，当然对运算能力要求较高．运算能力是一种计算化了的推理能力，是逻辑思维能力与计算知识、方法、技能和技巧的结合．在解析几何中，如果不注意运算方法上的特点和技能，就可能陷入有思路但算不出或很难算出正确结果的窘境，如本题的思路一、二．解析几何中常用的运算方法和技能是：①注意利用平面几何知识，如思路四；②不忘利用定义，尤其是圆锥曲线的定义解题；③充分利用一元二次方程根与系数的关系，并不忘对判别式的要求，如思路三；④合理利用曲线系；⑤数形结合，依形判数，就数论形；⑥灵活运用字母的可轮换性，减少同类量的重复运算．以上方法和技能，要在实际解题中逐步掌握．第七节圆的方程学习目标1．掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的参数方程．2．初步了解直线和圆中反映出的运动变化、对立统一等辩证思想和观点．重点难点本节重点：圆的标准方程、一般方程、参数方程及其相互转化．本节难点：直线和圆的综合运用．在高考中，圆的方程在选择题、填空题、解答题等各类题型中出现．本节要掌握三种类型的问题，之一是求圆的方程，之二是直线和圆的综合题，之三是应用直线和圆的知识解决一些问题．1．圆的方程有哪些形式？典型例题用下面的例题检验是否理解和掌握了圆的方程的三种形式：【解法一】【解法二】【解法三】【点评】怎样求圆的方程？这三条思路具有典型意义．【解法一】【解法二】【点评】【解法一】【解法二】【点评】【分析】关键确定圆心坐标和半径．【解】【点评】本题为1997年全国高考理科第25题，难度系数0.20．难在什么地方呢？第一文字叙述较长，有同学读不懂题；第二涉及众多知识，有同学不会运用；第三丢解，忽略了不同的位置关系．会不会用知识和怎样用知识，是一个人有没有能力和能力高低的重要标志，努力吧！2．直线和圆综合题【分析】【解】【点评】【解法一】【解法二】【分析】【点评】【解】【点评】【解法一】【解法二】【点评】分类是自然科学的基本方法，数学中的分类讨论的思想方法，就是依据数学对象的共同点和差异点，将其区分为不同种类，分类讨论并归纳结论，这一思想方法，在近代数学和现代数学中占有重要地位，是应该学习和掌握的重要思想方法．3．怎样利用直线和圆的知识解题？【分析】数形结合，将代数式或方程赋予几何意义．【解】【点评】从“数”中认识“形”，从“形”中认识“数”，数形结合相互转化，是数学思维的基本方法之一．“数学是一个有机的统一体，它的生命力的一个必要条件是所有的各个部分不可分离地结合．”（希尔伯特）数形结合的思维能力不仅是中学生的数学能力、数学素养的主要标志之一，而且也是学习高等数学和现代数学的基本能力．本题是利用直线和圆的知识求最值的典型题目．【解法一】【解法二】【解法三】【点评】。

第七章直线与圆的方程 §7.1 直线的方程1.设直线l 与x 轴的交点是P ，且倾斜角为α,若将此直线绕点P 按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为α+45°，则（ ） A .0°≤α＜180°B .0°≤α＜135°C . 0°＜α≤135°D . 0°＜α＜135°答案 D2.（2008·全国Ⅰ文）曲线y =x 3-2x +4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ） A .30°B .45°C .60°D .120° 答案 B3.过点M （-2，m ），N （m ，4）的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A .1B .4C .1或3D .1或4 答案 A4.过点P （-1，2）且方向向量为a =（-1，2）的直线方程为（ ）A .2x +y =0B .x -2y +5=0C .x -2y =0D .x +2y -5=0答案 A5.(2009·株州模拟)一条直线经过点A （-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 . 答案 x +2y -2=0或2x +y+2=0例1 已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）.求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上.证明 方法一 ∵A （1，-1），B （3，3），C （4，5∴k AB =1313-+=2,k BC =3435--=2，∴k AB =kBC∴A 、B 、C 三点共线.方法二 ∵A （1，-1），B （3，3），C （4，5 ∴|AB |=25，|BC |=5，|AC |=35∴|AB |+|BC |=|AC |，即A 、B 、C 三点共线. 方法三 ∵A （1，-1），B （3，3），C （4，5∴AB =（2，4），BC =（1，2），∴AB =2BC. 又∵AB 与BC 有公共点B ，∴A 、B 、C 三点共线.例2已知实数x ,y 满足y =x 2-2x +2 (-1≤x ≤1). 试求：23++x y 的最大值与最小值. 解 由23++x y 的几何意义可知，它表示经过定点P （-2，-3）与曲线段AB 上任一点（x ,y )的直线的斜率k ,如图可知：k PA ≤k ≤k PB , 由已知可得：A （1，1），B （-1，5）， ∴34≤k ≤8， 基础自测故23++x y 的最大值为8，最小值为34. 例3 求适合下列条件的直线方程：（1）经过点P （3，2），且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A （-1，-3），倾斜角等于直线y =3x 的倾斜角的2倍. 解 （1）方法一 设直线l 在x ,y 轴上的截距均为a , 若a =0，即l 过点（0，0）和（3，2）， ∴l 的方程为y =32x ，即2x -3y =0. 若a ≠0，则设l 的方程为1=+bya x ， ∵l 过点（3，2），∴123=+aa ， ∴a =5，∴l 的方程为x +y -5=0,综上可知，直线l 的方程为2x -3y =0或x +y -5=0. 方法二 由题意知，所求直线的斜率k 存在且k ≠0, 设直线方程为y -2=k (x -3), 令y =0，得x =3-k2,令x =0,得y =2-3k , 由已知3-k 2=2-3k ，解得k =-1或k =32, ∴直线l 的方程为： y -2=-（x -3）或y -2=32(x -3), 即x +y -5=0或2x -3y =0.（2）由已知：设直线y =3x 的倾斜角为α， 则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α=3,∴tan2α=αα2tan 1tan 2-=-43. 又直线经过点A （-1，-3）， 因此所求直线方程为y +3=-43(x +1), 即3x +4y +15=0.例4 （12分）过点P （2，1）的直线l 交x 轴、y 轴正半轴于A 、B 两点，求使：（1）△AOB 面积最小时l 的方程； （2）|PA |·|PB |最小时l 的方程. 解 方法一 设直线的方程为1=+bya x (a ＞2,b ＞1), 由已知可得112=+ba . 2分（1）∵2ba 12∙≤b a 12+=1，∴ab ≥8.∴S △AOB =21ab ≥4.4分当且仅当a 2=b 1=21,即a =4,b =2时，S △AOB 取最小值4，此时直线l 的方程为24yx +=1,即x +2y -4=0. 6分 （2）由a 2+b1=1,得ab -a -2b =0,变形得(a -2)(b -1)=2, |PA |·|PB |=22)01()2(-+-a ·22)1()02(b -+- =]4)1[(]1)2[(22+-⋅+-b a ≥)1(4)2(2-⋅-b a .10分当且仅当a -2=1,b -1=2,即a =3,b =3时，|PA |·|PB |取最小值4. 此时直线l 的方程为x +y -3=0.12分方法二 设直线l 的方程为y -1=k (x -2) (k ＜0), 则l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,12k 、B （0，1-2k ）.（1）S △AOB =21⎪⎭⎫⎝⎛-k 12（1-2k ） =21×⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+)1()4(4k k ≥21（4+4）=4. 当且仅当-4k =-k 1,即k =-21时取最小值，此时直线l 的方程为y -1=-21(x -2),即x +2y -4=0. 6分（2）|PA |·|PB |=22441)1(k k ++=84422++k k≥4, 当且仅当24k=4k 2,即k =-1时取得最小值，此时直线l 的方程为y -1=-(x -2),即x +y -3=0.12分1.设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a +b +c =0.证明 ∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB =k AC∴ca c ab a b a --=--3333，化简得a 2+ab +b 2=a 2+ac +c 2∴b 2-c 2+ab -ac =0，（b -c ）（a +b +c ）=0，∵a 、b 、c 互不相等，∴b -c ≠0，∴a +b +c =0.2.（2009·宜昌调研）若实数x ,y 满足等式(x -2)2+y 2=3，那么xy的最大值为 （A .21B .33 C .23D .3答案D3.（1）求经过点A （-5，2）且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程； （2）过点A （8，6）引三条直线l 1,l 2,l 3，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线l 2的方程是y =43x ,求直线l 1,l 3的方程. 解 （1）①当直线l 在x 、y 轴上的截距都为零时， 设所求的直线方程为y =kx , 将（-5，2）代入y =kx 中， 得k =-52，此时，直线方程为y =-52x , 即2x +5y =0.·②当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程为ay a x+2=1， 将（-5，2）代入所设方程， 解得a =-21， 此时，直线方程为x +2y +1=0.综上所述，所求直线方程为x +2y +1=0或2x +5y =0. （2）设直线l 2的倾斜角为α,则tan α=43. 于是tan2α=ααsin cos 1-=3153541=-, tan2α=724)43(1432tan 1tan 222=-⨯=-αα, 所以所求直线l 1的方程为y -6=31(x -8), 即x -3y +10=0,l 3的方程为y -6=724(x -8), 即24x -7y -150=0.4.直线l 经过点P （3，2）且与x ，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，求直线l 的方程. 解 方法一 设直线l 的方程为1=+bya x （a ＞0,b ＞0）, ∴A (a ,0),B (0,b ), ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=.123,24b a ab 解得⎩⎨⎧==.4,6b a∴所求的直线方程为46yx +=1, 即2x +3y -12=0.方法二 设直线l 的方程为y -2=k (x -3), 令y =0,得直线l 在x 轴上的截距a =3-k2, 令x =0,得直线l 在y 轴上的截距b =2-3k . ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-k 23(2-3k )=24.解得k =-32.∴所求直线方程为y -2=-32(x -3). 即2x +3y-12=0.一、选择题1.直线x cos θ+y -1=0 (θ∈R)的倾斜角的范围是（ ） A .[)π，0B .⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ43,4C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππD .⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,0 答案D2.已知直线l 过点（a ,1)，（a +1,tan α +1),则（A .α一定是直线lB .α一定不是直线lC .α不一定是直线lD .180°-α一定是直线l答案C3.已知直线l 经过A （2，1），B （1，m 2）（m ∈R ）两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A .[)π，B .⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,24,0C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，D .⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππππ，22,4 答案 B4.过点（1，3）作直线l ，若经过点（a ，0）和（0，b ），且a ∈N *，b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ A .1B .2C .3D .4答案B5.经过点P （1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为（A .x +2y -6=0B .2x +y -6=0C .x -2y +7=0D .x -2y -7=0答案B6.若点A （2，-3）是直线a 1x +b 1y +1=0和a 2x +b 2y +1=0的公共点，则相异两点（a 1，b 1）和（a 2，b 2）所确定的直线方程是（A .2x -3y +1=0B .3x -2y +1=0C .2x -3y -1=0D .3x -2y -1=0答案A二、填空题7.（2008·浙江理，11）已知a ＞0,若平面内三点A （1，-a ），B （2，a 2），C （3，a 3）共线，则a = . 答案 1+28.已知两点A （-1，-5），B （3，-2），若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是 . 答案31三、解答题9.已知线段PQ 两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l ：x +my +m =0与线段PQ 有交点，求m 的取值范围. 解 方法一 直线x +my +m =0恒过A （0，-1）点.k AP =1011+--=-2，k AQ =2021---=23， 则-m 1≥23或-m 1≤-2， ∴-32≤m ≤21且m ≠0. 又∵m =0时直线x +my +m =0与线段PQ 有交点， ∴所求m 的取值范围是-32≤m ≤21. 方法二 过P 、Q 两点的直线方程为 y -1=1212+-(x +1),即y =31x +34, 代入x+my +m =0,整理，得x =-37+m m. 由已知-1≤-37+m m≤2, 解得-32≤m ≤21. 10.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： （1）过定点A （-3，4）；（2）斜率为61. 解 （1）设直线l 的方程是y =k (x +3)+4,它在x 轴，y 轴上的截距分别是-k4-3，3k +4， 由已知，得（3k +4）（k4+3）=±6， 解得k 1=-32或k 2=-38. 直线l 的方程为2x +3y -6=0或8x +3y +12=0.（2）设直线l 在y 轴上的截距为b ,则直线l 的方程是y =61x +b ,它在x 轴上的截距是-6b , 由已知，得|-6b ·b |=6，∴b =±1. ∴直线l 的方程为x -6y +6=0或x -6y -6=0. 11.已知两点A （-1，2），B （m ，3）. （1）求直线AB 的方程；（2）已知实数m ∈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---13,133，求直线AB 的倾斜角α的取值范围. 解 （1）当m =-1时，直线AB 的方程为x =-1, 当m ≠-1时，直线AB 的方程为y -2=11+m (x +1). （2）①当m =-1时，α=2π; ②当m ≠-1时，m +1∈(]3,00,33 ⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡-， ∴k =11+m ∈（-∞，-3］∪⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞,33， ∴α∈⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,22,6ππππ . 综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππ.12.过点P （3，0）作一直线，使它夹在两直线l 1：2x -y -2=0与l 2:x +y +3=0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程. 解 方法一 设点A （x ，y ）在l 1上，由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0232B By y x x ，∴点B （6-x ，-y ），解方程组⎩⎨⎧=+-+-=--03)()6(022y x y x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==316311y x ，∴k =833110316=--. ∴所求的直线方程为y =8(x -3), 即8x -y -24=0.方法二 设所求的直线方程为y =k (x -3),则⎩⎨⎧=---=022)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=24223k ky k k x A A , 由⎩⎨⎧=++-=03)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=16133k ky k k x B B . ∵P (3,0)是线段AB 的中点， ∴y A +y B =0，即24-k k +16+-k k =0， ∴k 2-8k =0，解得k =0或k =8. 又∵当k =0时，x A =1,x B =-3, 此时32312≠-=+B A x x ,∴k =0舍去， ∴所求的直线方程为y =8(x -3), 即8x -y -24=0.§7.2两直线的位置关系1.如果直线ax +2y +2=0与直线3x -y -2=0平行，那么实数a 等于（A .-3B .-6C .-23D .32答案B2.已知直线2x +y -2=0和mx -y +1=0的夹角为4π,那么m 的值为 （A .-31或-3 B .31C .-31或3D .31或-3答案C3.已知过点A （-2，m ）和B （m ，4）的直线与直线2x +y =1平行，则m 的值为（A.0B .-8C .2D.10答案B4.已知直线l 1：y =2x +3，直线l 2与l 1关于直线y =x 对称，直线l 3⊥l 2，则l 3的斜率为 （A .21B .-21 C.-2 D.2答案C基础自测5.（2009·岳阳模拟）若直线l 经过点（a -2，-1）和（-a -2，1）且与经过点（-2，1），斜率为-32的直线垂直，则实数a 的值为 . 答案 -32例1 已知直线l 1:ax +2y +6=0和直线l 2:x +(a -1)y +a 2-1=0, （1）试判断l 1与l 2是否平行； （2）l 1⊥l 2时，求a 的值.解 （1）方法一 当a =1时，l 1:x +2y +6=0, l 2:x =0,l 1不平行于l 2; 当a =0时，l 1:y =-3, l 2:x -y -1=0,l 1不平行于l 2;当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为 l 1:y =-x a 2-3,l 2:y =x a-11-(a +1), l 1∥l 2⇔⎪⎩⎪⎨⎧+-≠--=-)1(3112a a a ，解得a =-1,综上可知，a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行. 方法二 由A 1B 2-A 2B 1=0，得a （a -1）-1×2=0， 由A 1C 2-A 2C 1≠0，得a (a 2-1)-1×6≠0,∴l 1∥l 2⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠⨯--=⨯--061)1(021)1(2a a a a⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠-=--6)1(0222a a a a ⇒a =-1,故当a =-1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行.（2）方法一 当a =1时，l 1:x +2y +6=0,l 2:x =0, l 1与l 2不垂直，故a =1不成立. 当a ≠1时，l 1:y =-2ax -3, l 2:y =x a-11-(a +1),由⎪⎭⎫⎝⎛-2a ·a-11=-1⇒a =32.方法二 由A 1A 2+B 1B 2=0，得a +2(a -1)=0⇒a =32.例2 求过两直线l 1:x +y +1=0,l 2:5x -y -1=0的交点，且与直线3x +2y +1=0的夹角为4π的直线方程. 解 设所求直线方程为x +y +1+λ(5x -y-1)=0, 即(1+5λ)x +(1-λ)y +1-λ=0.因为所求直线与直线3x +2y +1=0的夹角为4π, 所以tan 4π=.123·115123115=⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫⎝⎛---+λλλλ解得λ=-132.∴所求直线方程为x +5y +5=0.又直线l 2:5x -y -1=0与直线3x +2y +1=0的夹角θ满足tan θ=.12351235=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-- ∴θ=4π，故直线l 2也是符合条件的一解.x +5y +5=0或5x -y-1=0.例3 （12分）已知直线l 过点P （3，1）且被两平行线l 1:x +y +1=0,l 2:x +y +6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程. 解 方法一 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =3,此时与l 1,l 2的交点分别是 A （3，-4），B （3，-9），截得的线段长|AB |=|-4+9|=5,符合题意.4分若直线l 的斜率存在时， 则设直线l 的方程为y =k (x -3)+1, 分别与直线l 1,l 2的方程联立，由⎩⎨⎧=+++-=011)3(y x x k y ,解得A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-141,123k k k k .8分由⎩⎨⎧=+++-=061)3(y x x k y ,解得B ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-191173k k ，k k ,由两点间的距离公式，得2173123⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-k k k k +2191141⎪⎭⎫⎝⎛+--+-k k k k =25， 解得k =0,即所求直线方程为y =1.10分 综上可知，直线l 的方程为x =3或y =1.12分方法二 设直线l 与l 1,l 2分别相交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+y 1+1=0,x 2+y 2+6=0, 两式相减，得(x 1-x 2)+(y 1-y 2)=5 ①6分又(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=25② 联立①②可得⎩⎨⎧=-=-052121y y x x 或⎩⎨⎧=-=-502121y y x x ,10分由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°， 故所求的直线方程为x =3或y =1.12分例4 求直线l 1:y =2x +3关于直线l :y =x +1对称的直线l 2的方程.解 方法一 由⎩⎨⎧+=+=132x y x y知直线l 1与l 的交点坐标为（-2，-1）， ∴设直线l 2的方程为y +1=k (x +2), 即kx -y +2k -1=0.在直线l 上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线l 1、l 2的距离相等， 由点到直线的距离公式得 221122kk k +-+-=22)1(2322-++-，解得k =21(k =2舍去)， ∴直线l 2的方程为x -2y =0.方法二 设所求直线上一点P （x ,y ）,则在直线l 1上必存在一点P 1（x 0,y 0）与点P 关于直线l 对称. 由题设：直线PP 1与直线l 垂直，且线段PP 1的中点P 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,200y y x x 在直线l 上. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=∙--122110000x x y y x x yy ，变形得⎩⎨⎧+=-=1100x y y x ,代入直线l 1:y =2x +3，得x +1=2×(y -1)+3, 整理得x -2y =0.所以所求直线方程为x -2y=0.1.已知两条直线l 1:(3+m )x +4y =5-3m ,l 2:2x +(5+m )y =8.当m 分别为何值时，l 1与l 2: （1）相交？（2）平行？（3）垂直？ 解 当m=-5时，显然，l 1与l 2相交； 当m ≠-5时，易得两直线l 1和l 2的斜率分别为 k 1=-43m +，k 2=-m+52，它们在y 轴上的截距分别为b 1=435m -，b 2=m+58. （1）由k 1≠k 2,得-43m +≠-m+52，m ≠-7且m ≠-1.∴当m ≠-7且m ≠-1时，l 1与l 2相交.（2）由⎩⎨⎧≠=,,2121b b k k ,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≠-+-=+-m m m m 584355243，m =-7. ∴当m =-7时，l 1与l 2平行. （3）由k 1k 2=-1, 得-43m +·⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m 52=-1，m =-313. ∴当m =-313时，l 1与l 2垂直. 2.某人在一山坡P 处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高BC =80（米），塔所在的山高OB =220（米），OA =200（米），图中所示的山坡可视为直线l ，且点P 在直线l 上，l 与水平地面的夹角为α,tan α=21.试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大解则A （200，0），B （0，220），C （0，300）.直线l 的方程为y =(x -200)tan α,则y =2200-x.设点P 的坐标为（x ,y ），则P （x ,2200-x ）(x ＞200).k PC =xx x x 28003002200-=--,k PB =x x x x 26402202200-=--. 由直线PC 到直线PBtan ∠BPC =xx x x x k k k k PCPB PC PB 2640·280012160·1--+=+- =2886401606464016028864-⨯+=⨯+-2xx x x x (x ＞200).要使tan ∠BPC 达到最大，只需x +x640160⨯-288x +x640160⨯-288≥2640160⨯-288, 当且仅当x =x640160⨯时上式取得等号.故当x =320时，tan ∠BPC 最大.这时，点P 的纵坐标y 为y =2200320-=60.由此实际问题知0＜∠BPC ＜2π,所以tan ∠BPC 最大时，∠BPC 最大.故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC 最大. 3.已知三条直线l 1：2x -y +a =0（a ＞0）,直线l 2:4x -2y -1=0和直线l 3:x +y -1=0,且l 1与l 2的距离是5107. (1)求a 的值；(2)能否找到一点P ,使得P 点同时满足下列三个条件: ①P 是第一象限的点;②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的21;③P 点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是2∶5.若能,求P 点坐标;若不能,说明理由. 解 (1)l 2即为2x -y -21=0, ∴l 1与l 2的距离d =1057)1(2)21(22=-+--a ,∴521+a =1057,∴21+a =27, ∵a ＞0,∴a =3.(2)假设存在这样的P 点.设点P (x 0,y 0),若P 点满足条件②,则P 点在与l 1、l 2平行的直线l ′：2x -y +C =0上，且53-C =52121+C ，即C =213或C =611，∴2x 0-y 0+213=0或2x 0-y 0+611=0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式53200+-y x =52×2100-+y x ，即|2x 0-y 0+3|=|x 0+y 0-1|， ∴x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0；由于P 点在第一象限，∴3x 0+2=0不满足题意. 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-042021320000y x y x ， 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=,21,300y x (舍去).由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-,042,061120000y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==18379100y x ∴假设成立，点P ⎪⎭⎫⎝⎛1837,91即为同时满足三个条件的点.4.光线沿直线l 1:x -2y +5=0射入，遇直线l :3x -2y +7=0后反射，求反射光线所在的直线方程.解 方法一 由⎩⎨⎧=+-=+-.0723,052y x y x得⎩⎨⎧=-=.2,1y x∴反射点M 的坐标为（-1,2）.又取直线x -2y +5=0上一点P （-5，0），设P 关于直线l 的对称点）,（00y x P '，由P P '⊥l 可知, k PP ′=-32=500+x y . 而PP ′的中点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-2,2500y x ,Q 点在l 上，∴3·250-x -2·20y+7=0. 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+---=+.07)5(23,3250000y x x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.1332,131700y x根据直线的两点式方程可得l 的方程为 29x -2y +33=0.方法二 设直线x -2y +5=0上任意一点P （x 0,y 0）关于直线l 的对称点为P ′(x ,y ), 则3200-=--x x y y,又PP ′的中点Q ⎪⎭⎫⎝⎛++2,200y y x x 在l 上，∴3×20x x +-2×2y y ++7=0, 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-+⨯-=--07)(23320000y y x x x x yy可得P 点的坐标为 x 0=1342125-+-y x ，y 0=1328512++y x ，代入方程x -2y +5=0中， 化简得29x -2y +33=0,即为所求反射光线所在的直线方程.一、 选择题1.（2008·全国Ⅱ文）原点到直线x +2y -5=0的距离为（ ）A .1B .3C .2D .5答案 D2.A 、B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA |=|PB |，若直线PA 的方程为x -y +1=0，则直线PB 的方程为（ ）A .2x -y -1=0B .x +y -5=0C .2x +y -7=0D .2y -x -4=0答案 B3.已知直线l 1的方向向量a =(1,3),直线l 2的方向向量b =(-1,k ),若直线l 2经过点（0，5），且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程为（ ）A .x +3y -5=0B .x +3y -15=0C .x -3y +5=0D .x -3y +15=0答案 B4.已知三条直线l 1:y =3x -1,l 2:y =1,l 3:x +y +1=0,l 1与l 2的夹角为α,l 2与l 3的夹角为β，则α+β的值为（ A.75B .105°C .165°D.195答案B5.曲线f （x ，y ）=0关于直线x -y -2=0对称的曲线方程是（A .f (y +2,x )=0B .f (x -2,y)=0 C .f (y +2,x -2)=0D .f (y -2,x+2)=0答案C6.设△ABC 的一个顶点是A （3，-1），∠B ，∠C 的平分线方程分别为x =0，y =x ，则直线BC 的方程是（ ）A .y =2x +5B .y =2x +3C .y =3x+5D .y =-21x +25答案A二、填空题7.设直线l 经过点A （-1，1），则当点B （2，-1）与直线l 的距离最远时，直线l 的方程为.答案 3x -2y +5=08.直线2x +3y -6=0关于点M （1，-1）对称的直线方程是 . 答案 2x +3y+8=0三、解答题9.已知直线l 1:x +my +6=0,l 2:(m -2)x +3y +2m =0,求m（1）l 1与l 2相交；（2）l 1⊥l 2;(3)l 1∥l 2;(4)l 1,l 2重合.解（1）由已知1×3≠m (m -2), 即m 2-2m -3≠0, 解得m ≠-1且m ≠3.故当m ≠-1且m ≠3时，l 1与l 2相交.（2）当1·（m -2）+m ·3=0， 即m =21时，l 1⊥l 2.（3）当21-m =3m ≠m26, 即m =-1时，l 1∥l 2.（4）当21-m =3m =m26即m =3时，l 1与l 2重合.10.已知A （0，3）、B （-1，0）、C （3，0），求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形（A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列）. 解 设所求点D 的坐标为（x ，y ），如图所示，由于k AB =3，k BC =0， ∴k AB ·k BC =0≠-1，即AB 与BC 不垂直，故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边. （1）若CD 是直角梯形的直角边，则BC ⊥CD ，AD ⊥CD ， ∵k BC =0，∴CD 的斜率不存在，从而有x =3. 又k AD =k BC ，∴xy 3-=0，即y =3. 此时AB 与CD 不平行.故所求点D 的坐标为（3，3）. （2）若AD 是直角梯形的直角边， 则AD ⊥AB ，AD ⊥CD ， k AD =x y 3-，k CD =3-x y. 由于AD ⊥AB ，∴xy 3-·3=-1. 又AB ∥CD ，∴3-x y=3. 解上述两式可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,59,518y x此时AD 与BC 不平行.故所求点D 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛59,518,综上可知，使ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为（3，3）或⎪⎭⎫⎝⎛59,518.11.一条光线经过P （2，3）点，射在直线l :x +y +1=0上，反射后穿过Q （1，1）. （1）求光线的入射方程； （2）求这条光线从P 到Q 的长度.k l =-1，∴k QQ ′=1.解 （1）设点),(y x Q '''为Q 关于直线l 的对称点且Q Q '交l 于M 点，∵∴Q Q '所在直线方程为y -1=1·（x -1） 即x -y=0.由⎩⎨⎧=-=++,0,01y x y x解得l 与QQ ′的交点M 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,21.又∵M 为QQ ′的中点， 由此得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+21212121''y x .解之得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.2,2''y x ∴Q '（-2，-2）.设入射线与l 交点N ，且P ，N ，Q '共线. 则P （2，3），Q '（-2，-2），得入射线方程为 222232++=++x y ，即5x -4y +2=0. (2)∵l 是QQ ′的垂直平分线，因而|NQ |=||'NQ . ∴|PN |+|NQ |=|PN |+|NQ ′|=||'PQ =22)22()23(+++=41, 即这条光线从P 到Q 的长度是41.12.已知直线l 经过两条直线l 1:x +2y =0与l 2:3x -4y -10=0的交点，且与直线l 3:5x -2y +3=0的夹角为4π,求直线l 的方程. 解 由,0104302⎩⎨⎧=--=+y x y x解得l 1和l 2的交点坐标为（2，-1）.设所求直线l 的方程为y +1=k (x-2). 又253=l k ,由l 与l 3的夹角为4π 得tan4π=,·133ll k k k k +-, 即1=371255225125-=⇒±=+-⇒+-k k k k k 或k =73.故所求的直线ly +1=-37(x -2)或y +1=73(x-2),即7x +3y -11=0或3x -7y -13=0.§7.3 简单的线性规划基础自测1.已知点A （1，-1），B （5，-3），C （4，-5），则表示△ABC 的边界及其内部的约束条件是.答案 ⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤++01340132012y x y x yx2.（2008·天津理，2）设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-，y x ，y x ，y x 1210则目标函数z =5x +y 的最大值为（A .2B.3C.4D.5答案D3.若点（1，3）和（-4，-2）在直线2x +y +m =0的两侧，则m 的取值范围是 （A .m <-5或m ＞10B .m =-5或m=10 C .-5＜m ＜10D .-5≤m ≤10答案C4.（2008·北京理，5）若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,0,0,01x y x y x 则z =3x +2y的最小值是（A.0B.1C .3D.9答案B5.（2008·福建理，8）若实数x 、y 满足,001⎩⎨⎧>≤+-x y x 则x y的取值范围是（A .（0，1）B .（0，1］C .（1，+∞）D .［1，+答案C例1 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域,并回答下列问题:(1)指出x ,y 的取值范围;(2)平面区域内有多少个整点?解 (1)不等式x -y +5≥0表示直线x -y +5=0上及右下方的点的集合.x +y ≥0表示直线x +y =0上及右上方的点的集合, x ≤3表示直线x =3上及左方的点的集合.所以,不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x .表示的平面区域如图所示.结合图中可行域得 x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈325，,y ∈［-3,8］.(2)由图形及不等式组知⎩⎨⎧∈≤≤-+≤≤-Z ,325x x x y x 且 当x =3时,-3≤y ≤8,有12个整点; 当x =2时,-2≤y ≤7,有10个整点;当x =1时,-1≤y ≤6,有8个整点; 当x =0时，0≤y ≤5，有6 当x =-1时,1≤y ≤4,有4个整点; 当x =-2时,2≤y ≤3,有2个整点;∴平面区域内的 2+4+6+8+10+12=42(个).例2 （2008·湖南理，3）已知变量x 、y 满足条件,09201⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥y x y x x 则x +y 的最大值是（A.2 B .5 C .6 D.8答案C例3 （12分）某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个.问每天生产甲、乙两种产品各多少解 设每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，利润总额为z 万元，1则线性约束条件为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+1515,3001032005430049y x y x y x y x4目标函数为z =7x +12y ,6 作出可行域如图，8作出一组平行直线7x +12y =t ,当直线经过直线4x +5y =200和直线3x +10y =300的交点A （20，24）时，利润最大.10即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，z max =7×20+12×24=428（万元）. 答 每天生产甲产品20吨、乙产品24吨，才能使利润总额达到最大.121.（2008·浙江理，17）若a ≥0，b ≥0，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,00y x y x 时，恒有ax +by ≤1，则以a ，b 为坐标的点P （a ，b ）所形成的平面区域的面积等于. 答案12.（2008·全国Ⅰ理，13）若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30,030x y x y x 则z =2x -y 的最大值为.答案 93.某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300个工作时.又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20解 依题意设每星期生产x 把椅子，y那么利润p =15x +20y.其中x ,y 满足限制条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥∈≥≤+≤+**N ,0N ,030012000884y y x x y x y x . x ,y ）的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x +8y =8 000 (即AB )，2x +y =1 300(即BC )，x =0(即OA )和y =0(即OC ）.对于某一个确定的p =0p 满足0p =15x +20y ,且点（x ,y )属于 解x ,y 就是一个能获得0p 元利润的生产方案.对于不同的p ,p =15x +20y 表示一组斜率为-43的平行线，且p 越大，相应的直线位置越高；p 越小，相应的直线位置越低.按题意，要求p 的最大值，需把直线p =15x ＋20y 尽量地往上平移，又考虑到x ，y当直线通过B 点时，处在这组平行线的最高位置，此时p 取最大值.由⎩⎨⎧=+=+30012000884y x y x ,得B （200，900当x =200,y =900时，p即p max =15×200+20×900=21 000,即生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21 000元.一、选择题1.（2008·全国Ⅱ理，5）设变量x ,y 满足约束条件:,222⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥x y x x y 则z =x -3y 的最小值为（A .-2B.-4C .-6D.-8答案D2.若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-,,0,22,0a y x y y x y x 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A .a ≥34 B .0＜a ≤1C .1≤a ≤34 D .0＜a ≤1或a ≥34答案D3.已知平面区域D 由以A （1，3）、B （5，2）、C （3，1）为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D 上有无穷多个点（x ，y ）可使目标函数z =x +my 取得最小值，则m 等于（A.-2 B.-1C .1D.4答案C4.（2008·山东理，12）设二元一次不等式组,0142080192⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+y x y x y x 所表示的平面区域为M ,使函数y =a x（a ＞0,a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是（A .［1,3B .［2,10］C .［2,9D .［10,9答案C5.（2009·武汉模拟）如果实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-1,02553034x y x y x 目标函数z =kx +y 的最大值为12，最小值为3，那么实数k 的值为（A.2B.-2C .51D.答案A6.（2007·江苏，10）在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ={(x ,y )|x +y ≤1,且x ≥0,y ≥0},则平面区域B ={(x +y ,x -y )|(x ,y )∈A }的面积为（A .2B .1C .21D .41答案B二、填空题7.（2008·安徽理，15）若A 为不等式组,200⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤x y y x ，表示的平面区域，则当a 从-2连续变化到1时，动直线x +y =a 扫过A 中的那部分区域的面积为. 答案47 8.设集合A ={(x ,y )|y ≥|x -2|,x ≥0},B ={(x ,y )|y ≤-x +b },A ∩B ≠∅. (1)b 的取值范围是（2）若(x ,y )∈A ∩B ,且x +2y 的最大值为9,则b 的值是.答案 （1）［2,+∞) （2）29三、解答题9.已知实数x 、y 满足,033042022⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+y x y x y x ，试求z =11++x y 的最大值和最小值.解 由于z =11++x y =)1()1(----xy所以z 的几何意义是点（x ,y ）与点M （-1，-1）连线的斜率，因此11++x y 的最值就是点（x ，y ）与点 M （-1，-1结合图可知：直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即z max =k MB =3，此时x =0，y=2z min =k MC =21，此时x =1，y =0.10.已知变量x ,y 满足的约束条件为⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-+01.033032y y x y x 若目标函数z =ax +y (其中a ＞0)仅在点（3，0）处取得最大值，求a 的取值范围.解 依据约束条件，画出可行域.∵直线x +2y -3=0的斜率k 1=-21,目标函数z =ax +y (a ＞0)对应直线的斜率k 2=-a ,若符合题意，则须k 1＞k 2,即-21＞-a ,得a ＞21.11.两种大小不同的钢板可按下表截成A ,B ,C 三种规格成品:某建筑工地需A ，B ，C 三种规格的成品分别为15，18，27块，问怎样截这两种钢板，可得所需三种规格成品，且所用钢板张数最小.解 设需要第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，钢板总数为z 张，z =x +y ,约束条件为：.Z,0Z ,027*******⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥∈≥≥+≥+≥+y y x x y x y x y x令z =0，作出基准直线l :y =-x ,平行移动直线l 发现在可行域内，经过直线x +3y =27和直线2x +y =15的交点A ⎪⎭⎫⎝⎛539518，可使z 取最小，由于539518，都不是整数，而最优解（x ,y ）中，x ,y 必须都是整数，可行域内点A ⎪⎭⎫ ⎝⎛539518，通过在可行域内画网格发现，经过可行域内的整点且与A ⎪⎭⎫⎝⎛539518，点距离最近的直线是x +y =12,经过的整点是B (3,9)和C （4，8），它们都是最优解.答第一种截法是截第一种钢板3张，第二种钢板9 第二种截法是截第一种钢板4张，第二种钢板8两种方法都最少要截两种钢板共12张. 12.在R 上可导的函数f (x )=31x 3+21ax 2+2bx +c ,当x ∈(0,1)时取得极大值,当x ∈(1,2)时取得极小值,求点(a ,b )对应的区域的面积以及12--a b 的取值范围. 解 函数f (x )的导数为f ′(x )=x 2+ax +2b ,当x ∈(0,1)时,f (x )取得极大值,当x ∈(1,2)时,f (x )取得极小值,则方程x 2+ax +2b =0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,由二次函数f ′(x )=x 2+ax +2b 的图象与方程x 2+ax +2b =0根的分布之间的关系可以得到⎪⎩⎪⎨⎧>++<++>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>'<'>'02,01200)2(0)1(0)0(b a b a b f f f 在aOb 平面内作出满足约束条件的点(a ,b )对应的区域为△ABD (不包括边界), 如图阴影部分,其中点A (-3,1),B (-1,0),D (-2,0), △ABDS △ABD =21|BD |×h =21(h 为点A 到a 轴的距离).点C (1,2)与点(a ,b )连线的斜率为12--a b ,显然12--a b ∈(k CA ,k CB ),即12--a b .1,41⎪⎭⎫⎝⎛∈ §7.4 曲线与方程基础自测1.已知坐标满足方程F (x ，y )=0的点都在曲线C 上，那么（A .曲线C 上的点的坐标都适合方程F （x ，y ）=0B .凡坐标不适合F （x ，y ）=0的点都不在CC .不在C 上的点的坐标有些适合F （x ，y ）=0，有些不适合F （x ，y ）=0D .不在C 上的点的坐标必不适合F （x ，y ）=0答案D2.到两定点A （0，0），B （3，4）距离之和为5的点的轨迹是（A .椭圆B .ABC .线段ABD .答案C3.动点P 到两坐标轴的距离之和等于2，则点P 的轨迹所围成的图形面积是（A .2B .4C .8D .答案C4.（2008·北京理，4）若点P 到直线x =-1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P 的轨迹为（ A .圆B .椭圆C .双曲线D .答案D5.已知直线l 的方程是f （x ，y ）=0，点M （x 0，y 0）不在l 上，则方程f （x ，y ）-f （x 0，y 0）=0表示的曲线是（A .直线lB .与lC .与l 平行的一条直线D .与l答案C例1 如图所示，过点P （2，4）作互相垂直的直线l 1、l 2.若l 1交x 轴于A ，l 2交y 轴于B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程. 解 设点M 的坐标为（x ,y ）, ∵M 是线段AB∴A 点的坐标为（2x ,0），B 点的坐标为（0，2y ）.∴=（2x -2，-4），PB =（-2，2y -4）.由已知·PB =0，∴-2（2x -2）-4（2y -4）=0即x +2y -5=0.∴线段AB 中点M 的轨迹方程为x +2y -5=0.例2（5分）在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2a ,C ⎪⎭⎫⎝⎛0,2a 且满足条件sin C -sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程是（A .2222151616a y a x -=1 (y ≠0)B .222231616a x a y -=1 (x ≠0)C .2222151616a y a x -=1（y ≠0D .222231616a y a x -=1（y ≠0)答案D例3 如图所示，已知P （4，0）是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点， 且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.解 设AB 的中点为R ，坐标为（x1，y 1），Q 点坐标为（x ，y则在Rt △ABP 中， |AR |=|PR |又因为R 是弦ABRt △OAR 中，|AR |2=|AO |2-|OR |2=36-（2121y x +）.又|AR |=|PR |=2121)4(y x +-所以有（x1-4）2+21y =36-（2121y x +）.即2121y x +-4x 1-10=0. 因为R 为PQ所以x1=24+x ，y 1=20+y .代入方程2121y x +-4x 1-10=0422422-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x ·24+x -10=0. 整理得x 2+y 2=56.这就是Q 点的轨迹方程.1.已知两点M （-2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|||MP |+ ·NP =0，求动点P （x ，y ）的轨迹方程.解 由题意：=（4，0），MP =（x +2,y ）,NP =（x -2,y ）,∵|||MP |+·NP =0∴2204+·22)2(y x +++（x -2）·4+y ·0=0两边平方，化简得y 2=-8x .2.已知圆C1：(x +3)2+y 2=1和圆C 2：（x -3）2+y 2=9,动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.解 如图所示，设动圆M 与圆C1及圆C 2分别外切于点A 和点B|MC 1|-|AC 1|=|MA ||MC2|-|BC 2|=|MB |.因为|MA |=|MB |所以|MC2|-|MC 1|=|BC 2|-|AC 1|=3-1=2.这表明动点M 到两定点C 2，C 1的距离之差是常数2.根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支（点M 到C 2的距离大，到C 1的距离小），这里a =1,c =3,则b 2=8,设点M 的坐标为（x ,y ）,其轨迹方程为x 2-82y =1 (x ≤-1). 3.（2009·宜昌模拟）设F （1，0），M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且=2MP ，PM ⊥PF ，当点P在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程.解 设M （x0，0），P （0，y 0），N （x ，y 由=2MP 得（x -x0，y ）=2（-x 0，y 0∴,22000⎩⎨⎧=-=-y y x x x 即.2100⎪⎩⎪⎨⎧=-=yy xx∵PM ⊥PF ,PM =(x0,-y 0), PF =(1,-y 0),∴(x0,-y 0)·（1，-y 0）=0,∴x 0+20y =0.∴-x +42y =0,即y 2=4x .故所求的点N 的轨迹方程是y 2=4x .一、选择题1.方程x 2+y 2=1 (xy ＜0)的曲线形状是（答案C2.已知两定点A （-2，0），B （1，0），如果动点P 满足|PA |=2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（A .πB .4πC .8πD .9π答案B3.长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，=2CB ，则点C 的轨迹是（A .线段B .C .椭圆D .答案C4.平面直角坐标系中，已知两点A （3，1），B （-1，3），若点C 满足OC =λ1OA +λ2OB （O 为原点），其中λ1，λ2∈R ，且λ1+λ2=1，则点C 的轨迹是（A .直线B .C .D .答案A5.（2008·成都质检）F 1、F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任一点，从任一焦点向△F 1MF 2顶点M 的外角平分线引垂线，垂足为P ，则P 点的轨迹为（A .圆B .C .双曲线D .答案A6.（2008·潍坊模拟）一圆形纸片的圆心为O ，点Q 是圆内异于O 的一个定点，点A 是圆周上一动点，把 纸片折叠使点A 与点Q 重合，然后抹平纸片，折痕CD 与OA 交于点P ，当点A 运动时，点P 的轨 迹为 （A .B .双曲线C .抛物线D .答案A二、填空题7.已知△ABC 的顶点B （0，0），C （5，0），AB 边上的中线长|CD |=3，则顶点A 的轨迹方程为 .答案 (x -10)2+y 2=36 (y ≠0) 8.平面上有三点A （-2，y ），B （0，2y），C （x ，y ），若AB ⊥，则动点C 的轨迹方程为 . 答案 y 2=8x三、解答题9.如图所示，已知点C 的坐标是（2，2），过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的 直线CB 与y 轴交于点B .设点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程.解 方法一（参数法）：设M 的坐标为（x ,y ）.若直线CA 与x 轴垂直，则可得到M 的坐标为（1，1）.若直线CA 不与x 轴垂直，设直线CA 的斜率为k ，则直线CB 的斜率为-k1，故直线CA 方程为：y =k (x -2)+2, 令y =0得x =2-k 2,则A 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,22k .CB 的方程为：y =-k 1(x -2)+2,令x =0,得y =2+k2则B 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+k 22,0，由中点坐标公式得M 点的坐标为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=++=-=+-=k k y kk x 112022112022 ① 消去参数k 得到x +y -2=0 (x ≠1), 点M （1，1）在直线x +y-2=0综上所述，所求轨迹方程为x +y-2=0.方法二 （直接法）设M （x ，y ），依题意A 点坐标为（2x ,0）,B 点坐标为（0，2y ）.∵|MA |=|MC |，∴,)2()2(）2（2222-+-=+-y x y x x 化简得x +y-2=0.方法三 （定义法）依题意|MA |=|MC |=|MO|,即:|MC |=|MO |,所以动点M 是线段OC 的中垂线，故由点斜式方程得到：x +y -2=0.10.如图所示，线段AB 与CD 互相垂直平分于点O ，|AB |=2a （a ＞0）,|CD |=2b (b ＞0)，动点P 满足|PA |·|PB |=|PC |·|PD |.求动点P 的轨迹方程.解 以O 为坐标原点，直线AB 、CD 分别为x 轴、y则A （-a ，0），B （a ，0），C （0，-b ），D （0，b ）, 设P （x ，y ），由题意知|PA |·|PB |=|PC |·|PD|∴22）（y a x ++·22）（y a x +- =22）（b y x ++·22）（b y x -+,化简得x 2-y 2=222b a -.故动点P 的轨迹方程为x 2-y 2=222b a -.11.已知两条直线l 1:2x -3y +2=0和l 2:3x -2y +3=0，有一动圆（圆心和半径都动）与l 1、l 2都相交，且l 1、l 2被圆截得的弦长分别是定值26和24,求圆心的轨迹方程.解 设动圆的圆心为M (x ,y ),半径为r ,点M 到直线l 1,l 2的距离分别为d 1和d 2.⎪⎩⎪⎨⎧=-=-,242,262222212d r d r 即⎩⎨⎧=-=-,144,169222212d r dr消去r 得动点M 满足的几何关系为2122d d -=25, 即13)232(13)323(22+--+-y x y x=25.化简得（x +1）2-y 2=65.此即为所求的动圆圆心M 的轨迹方程.12.已知椭圆9222y x +=1上任意一点P ，由P 向x 轴作垂线段PQ ，垂足为Q ，点M 在线段PQ 上，且=2MQ ，点M 的轨迹为曲线E.（1）求曲线E（2）若过定点F （0，2）的直线l 交曲线E 于不同的两点G ，H （点G 在点F ，H 之间），且满足=2，求直线l 的方程.解 （1）设M （x ,y ）,P (x 0,y 0),∵=2，∴,300⎩⎨⎧==yy xx。

:23+x yA且过点(1,'的__________例9. 已知二直线lmx8:+y答案例1.A 例2.B 例3.C 例4. 1()2-、0,3 例5. 02=--y x例6.B 例7.C 例8. 2x ＋3y ＋10＝0例9. 0,8, 例10. 135290x y +-=例11. 解:⑴∵ k BC =5,∴ BC 边上的高AD 所在直线斜率k=51- ∴ AD 所在直线方程y +1=51-(x -2) 即x +5y +3=0⑵∵ AB 中点为（3，1），k AB =2,∴ AB 中垂线方程为x +2y -5=0⑶设∠A 平分线为AE ，斜率为k ，则直线AC 到AE 的角等于AE 到AB 的角。

∵ k AC =-1，k AB =2,∴ 12112k kk k +-=-+, ∴ k 2+6k -1=0,∴ k =-3-10（舍），k =-3+10 ∴ AE 所在直线方程为(10-3)x -y -210+5=0评注：在求角A 平分线时，必须结合图形对斜率k 进行取舍。

一般地涉及到角平分线这类问题时，都要对两解进行取舍。

也可用轨迹思想求AE 所在直线方程，设P(x ，y )为直线AE 上任一点，则P 到AB 、AC 距离相等，得=AB 与AC 关于AE 对称。

例12. 解题思路分析：直线l 是过点P 的旋转直线，因此是选其斜率k 作为参数，还是选择点Q （还是M ）作为参数是本题关键。

通过比较可以发现，选k 作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。

解:设Q （x 0，4x 0），M （m ，0） ∵ Q ，P ，M 共线∴P PM k k =Q ∴0044466x x m-=--解之得：0051x m x =- ∵ x 0>0，m >0∴ x 0-1>0 ∴ 20000101||4221OMQx S OM x mx x ∆===- 令x 0-1=t ，则t >0,210(1)110(2)t S t t t+==++≥40 当且仅当t =1，x 0=11时，等号成立,此时Q （11，44），直线l ：x +y -10=0 评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数O M S △Q 的函数关系式，再由基本不等式再此目标函数的最值。

2019-2020学年高考数学一轮复习 直线与圆教学案依据直线与圆的方程，能求出它们的交点坐标，能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线和圆的位置关系，掌握圆心距和半径之间的大小关系判定圆与圆的位置关系 三、教学重点难点重点：直线与圆相离，相交，相切时，圆心到直线的距离和半径之间的大小关系，圆与圆的半径与圆心距确定的圆与圆的位置关系难点：利用直线与圆，圆和圆的方程研究圆有关的问题，提高思维能力 四、知识导学1`．设点P 到圆心的距离为d ，圆的半径为r ，点P 在圆外 ⇔ ； 点P 在圆上 ⇔ ； 点P 在圆内 ⇔2．直线l ：Ax+By+C=0,圆C ：(x －a)2+(y-b)2=r 2，圆心C(a,b)到直线l 的距离为d ，则l 与C 相离 ⇔ ；l 与C 相切 ⇔ ；l 与C 相交 ⇔3．直线l ：Ax+By+C=0,圆C ：(x －a)2+(y-b)2=r 2（或x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.）先将方程联立方程组消元，得到一个一元二次方程，令其判别式为⊿;则有⊿<0 ⇔ ；⊿＝0 ⇔ ；⊿>0 ⇔4．以圆x 2+y 2= r 2上的点P （x 0，y 0）为切点的圆的切线方程是 5 .一般地，设圆C 1 和C 2 的方程分别为()()222111 ,x x y y r -+-=()()222222 ,x x y y r -+-= 圆心分别为C 1（x 1,y 1）,C 2(x 2,y 2),半径分别为r 1,r 2, 两圆的圆心距为d ； 那么，当 时，两圆外离；当 时，两圆外切；当 时，两圆相交；当 时，两圆内切； 当 时，两圆内含。

五、课前自学1.若点P(m,5)与圆x 2+y 2=24的位置关系是在 外2.若直线mx-y+2=0与圆x 2+y 2=1相切，则实数m 的值是3.以（-2，0）为圆心，并与圆x 2+y 2=1相切的圆的方程是4.已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为_______ ___5.若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是6.已知直线:40l x y -+=,圆()()22:112C x y -+-=，则C 上各点到l 的距离的最小值为_________7.直线l 与直线l 1：x+2y-3=0垂直，且被圆x 2+y 2=25所截的弦长为45，则直线l 的方程为 ____8.已知直线x y a +=与圆224x y +=交于A 与B 两点，且OA OB OA OB +=-，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为____________9.过坐标原点O 向圆22:8120C x y x +-+=引两条切线1l 和2l ，那么与圆C 及直线1l 、2l 都相切的半径最小的圆的标准方程是________________________六、合作、探究、展示例1. 若圆0)5(42222=-++-+m y mx y x 与0)3(22222=-+-++m my x y x ，当m 为何值时：(1)两圆外离； (2)两圆外切； (3)两圆相交； (4)两圆内切； (5)两圆内含例2．已知点A （-1，1）和圆C ：x 2＋y 2-10x-14y ＋70＝0，一束光从点A 出发，经过x 轴反射后与圆C 相切，求（1）光线从A 到切点的路程； （2）入射光线和反射光线所在直线的斜率.例3. 已知圆C ：22(1)5x y +-=，直线L ：10mx y m -+-=。

直线与圆的方程1.直线的方程【复习要求】【知识点梳理】1.直线的方向向量和法向量（1）方向向量：与直线l平行的非零向量叫做直线l的方向向量，通常用d表示;（2）法向量：与直线l平行的非零向量叫做直线l的方向向量，通常用n表示。

2.直线的倾斜角和斜率（1）倾斜角:设直线l与x轴相较于点M，将x轴绕点M逆时针方向旋转至与直线l重合时所成的最小正角α叫做直线l的倾斜角.注：错误!当直线l与x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0;错误!直线l的倾斜角的范围为[)0,π。

（2）斜率：把倾斜角不为90°的直线l的倾斜角α的正切值叫做直线l的斜率,用k表示，即tan=kα注：错误!当2πα=时，斜率k 不存在；○，2当0k ≥时,arctan k α=;当0k <时,arctan k απ=+。

错误!当直线l 经过点()111,P x y 、()222,P x y ()21x x ≠时，1212y y k x x -=-. 3. 直线方程的各种形式(,d u v =(),n a b =垂直)2y ()00,x y【基本例题】例1 求直线210x y ++=的倾斜角.解:斜率2k =-，所以倾斜角arctan2απ=-.例2 已知直线:1l y kx =+与两点()1,5A -、()4,2B -，若直线l 与线段AB 相交,求k 的取值范围. 解:直线l 恒过定点()0,1C ,4AC k =-,34BC k =-，数形结合知(]3,4,4k ⎡⎫∈-∞--+∞⎪⎢⎣⎭。

例3 已知()4,6A 、()3,1B --、()4,5C -三点， （1） 求经过点A 且与BC 平行的直线l 1的方程； （2） 求过点A 、B 的直线方程l 2； （3） 求BC 边上的高所在直线的方程l 3。

解：（1）直线l 1的一个方向向量()7,4BC -＝，所以直线l 1的点方向式方程为4674x y --=-，化为一般式方程为47580x y +-=.（2）直线l 2的一个方向向量()7,7AB =--，所以直线l 2的点方向式方程为4677x y --=--，化为一般式方程为20x y -+=.（3）直线l 3的一个法向量()7,4BC =-，所以直线l 3的点法向式方程为()()74460x y ---=,化为一般式方程为7440x y --=。

教案一 直线的方程【授课对象】高三一轮复习【高考比重】“直线的方程”属于必修2第三章内容，是解析几何的基础；在兰州平时的模拟考试中对于直线方程性质的题型尤为常见，高考中主要结合圆、圆锥曲线为每一年的必考题型。

【授课过程】1、直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角○1定义：当直线l 与x 轴相交时，表示x 轴正方向与直线l 向上方向的夹角α，当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0； ○2倾斜角的范围为[)π，0； (2)直线的斜率：表示直线的倾斜程度○1斜率常用小写字母k 表示，倾斜角不等于2π的直线斜率k ＝tan α，倾斜角是2π的直线斜率不存在；○2过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1；○3根据两直线位置关系求解斜率； ○4根据导数求解斜率。

例1、坐标平面内的任何一条直线均有斜率。

( × ) 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角。

( √ )例2、（2010，北京）若直线L ：y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线L 倾斜角的取值范围是 .解析：利用数形结合思想，结合图像我们画出定直线2x+3y-6=0,过A(3，0),B(0，2) 由直线L 过定点C （0，）及交点在第一象限知L 移动到AC 时；移动到BC 时k=，即倾斜角为.故 26παπ<<.2、直线方程的五种形式：名称 方程适用范围点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线两点式 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 不含直线x ＝x 1 (x 1≠x 2)和直线y ＝y 1 (y 1≠y 2)截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用注意：在使用时切记其适用范围；常用直线的点斜式和一般式；在截距式中的截距不是距离，因此可正可负可为零。

高三数学一轮 8.2 直线与圆精品复习学案【高考目标导航】一、圆的方程（一）考纲点击1、掌握确定圆的几何要素，掌握确定圆的标准方程与一般方程；2、初步了解用代数方法处理几何问题的思想。

（二）热点提示1、圆的标准方程和一般方程以及圆的几何性质是高考考查的重点；2、多以选择、填空的形式出现，属中低档题目。

二、直线、圆的位置关系（一）考纲点击1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3、初步了解用代数方法处理几何问题的思想。

（二）热点提示1、直线与圆，圆与圆的位置关系特别是直线与圆相切一直是高考考查的重点和热点，主要考查：（1）方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判断；（2）利用相切或相交的条件确定参数的值或取值范围；（3）利用相切或相交求圆的切线或弦长。

2、本部分在高考试题中多为选择、填空题，有时在解答题中考查直线与圆位置关系的综合问题。

【考纲知识梳理】一、圆的方程1．圆的定义（1）在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

（2）确定一个圆的要素是圆心和半径。

注：方程220x y Dx Ey F++++=表示圆的充要条件是2240D E F+->3．点与圆的位置关系已知圆的方程为222()()x a y b r-+-=，点00(,)M x y。

则：（1）点在圆上：222 00()()x a y b r-+-=；（2）点在圆外：222 00()()x a y b r-+->；（3）点在圆内：222 00()()x a y b r-+-<。

4．确定圆的方程方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；（2）根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组；（3）解出a,b,r或D、E、F代入标准方程或一般方程。

注：用待定系数法求圆的方程时，如何根据已知条件选择圆的方程？（当条件中给出的是圆上几点坐标，较适合用一般方程，通过解三元方程组求相应系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某条直线上、圆的切线方程、圆弦长等条件，适合用标准方程。