高考数学重点难点02充要条件

高考数学复习点拨充要条件的四种解释充要条件是简易逻辑中的重要概念，高考的要求是要弄清充要条件的意义，会判断两个命题间的充要关系.因此必须对充要条件深刻的理解和认识.本文将对充要条件进行多角度的解释.一、用集合解释若p为条件，q为结论，且设P所对应的集合为A={x|p}，q所对应的集合为B={x|q}，则①若A⊂__B，就是x∈A则x∈B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件.②若A≠⊂B，就是x∈A则x∈B，且A中至少有一个元素不在B中，③若A=B，就是A⊂__B且A⊃__B，则A是B的充分条件，同时A是B的必要条件，即A是B的充要条件.④若A⊄B，A/⊃B，则A是B的既不充分也不必要条件.二、用四种命题解释若p为条件，q为结论，由此构造一个命题：若p则q，则(1)如果原命题成立，逆命题不成立，则原命题的条件是充分非必要的；(2)如果原命题不成立，逆命题成立，则原命题的条件是必要非充分的；(3)如果原命题和它的逆命题都成立，则原命题的条件充要的；(4)如果原命题和它的逆命题都不成立，则原命题的条件是非充分非必要的.三、用“⇒”、“⇔”、“⇐”解释用“⇒”、“⇔”、“⇐”对充分条件、必要条件、充要条件的定义的解释主要体现在四个字上“头必尾充”，此种解释显得直观、简捷，在实际的解题中是采用得最为广泛的一种方法.(1)若p⇒q，且q⇒/p，则p是q的充分且不必要条件，q是p的必要且不充分条件；(2)若q⇒p，且p⇒/q，则p是q的必要且不充分条件，q是p的充分且不必要条件；(3)若p⇒q，且q⇒p(或⌝p⇒⌝q)，则p是q的充要条件(此时q也是p的充要条件)；(4)若p⇒/q，且q⇒/p，则p是q的非充分非不必要条件.四、用汉语言解释命题的条件为p与结论为q之间的关系可用汉语言解释为：①充分条件解释为：有之必然，无之未必然；②必要条件解释为：无之必不然，有之未必然；③充要条件解释为：有之必然，无之必不然.若再用通俗点的语言可解释为：充分条件就是“有它一定行，无它未必不行”；必要条件就是“无它一定不行，有它也未必行”；充要条件就是“有它一定行，无它一定不行”.上面的四种解释中不论哪一种对充分条件、必要条件的解释，都离不开两段式：条件⇒结论；结论⇒条件，这才是根本的描述.。

高考数学的充要知识点
高考数学充要条件知识点
一、充分条件和必要条件
当命题A为真时，那么B称为B的充分条件，B称为A的必要条件。

二、常用判断方法的充分条件和必要条件
1.定义方法：判断B是否是A的条件，其实就是判断B=A还是A=B为真。

只需根据标题中给出的条件的逻辑关系画一个箭头图，然后用定义来判断。

2.变换法：当给定命题的充要条件不容易判断时，可以将该命题等价替换，例如可以用它的逆no命题来判断。

3.永久变形测定法
当难以判断命题的条件与结论的关系时，可以从集合的角度考虑，记住条件P与Q对应。

分别设置为甲和乙，然后：
如果AB，那么p是q的充分条件。

如果AB，那么p是q的必要条件。

如果A=B，那么p是q的充要条件。

如果AB和BA，那么p对于q既不充分也不必要。

第三，知识扩展
1.这四个命题反映了命题之间的内在联系。

要注意结合实际问题理解它们关系(尤其是两个等价关系)的生成过程。

反命题、无命题和无命题也可以描述为：
(1)交换命题的条件和结论，得到的xx命题是原命题的逆命题；
(2)同时否定命题的条件和结论，得到的xx命题是原无命题；
(3)交换命题的条件和结论，同时否定它，得到的xx命题是原命题的逆命题。

2.因为充分条件和必要条件是四个命题之间关系的深化，它们之间有着密切的联系。

因此，在判断一个命题的充要条件时，可以考虑正反两方面的原则，即当肯定判断有困难时，可以转化为该命题的否定或否定命题进行判断。

结论成立的充分条件和必要条件可以不止一个。

1。

高中数学关于充要条件的概念高二数学中学到的充要条件是证明题的一种常考类型，下面店铺的小编将为大家带来高中数学关于充要条件的概念的介绍，希望能够帮助到大家。

高中数学关于充要条件的概念介绍(1)先看“充分条件和必要条件”当命题“若p则q”为真时，可表示为p => q，则我们称p为q 的充分条件，q是p的必要条件。

这里由p => q，得出p为q的充分条件是容易理解的。

但为什么说q是p的必要条件呢?事实上，与“p => q”等价的逆否命题是“非q => 非p”。

它的意思是：若q不成立，则p一定不成立。

这就是说，q对于p是必不可少的，因而是必要的。

(2)再看“充要条件”若有p =>q，同时q => p,则p既是q的充分条件，又是必要条件。

简称为p是q的充要条件。

记作p<=>q回忆一下初中学过的“等价于”这一概念;如果从命题A成立可以推出命题B成立，反过来，从命题B成立也可以推出命题A成立，那么称A等价于B，记作A<=>B。

“充要条件”的含义，实际上与“等价于”的含义完全相同。

也就是说，如果命题A等价于命题B，那么我们说命题A成立的充要条件是命题B成立;同时有命题B成立的充要条件是命题A成立。

(3)定义与充要条件数学中，只有A是B的充要条件时，才用A去定义B，因此每个定义中都包含一个充要条件。

如“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这一定义就是说，一个四边形为平行四边形的充要条件是它的两组对边分别平行。

显然，一个定理如果有逆定理，那么定理、逆定理合在一起，可以用一个含有充要条件的语句来表示。

“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”。

“仅当”表示“必要”。

(4)一般地，定义中的条件都是充要条件，判定定理中的条件都是充分条件，性质定理中的“结论”都可作为必要条件。

高中数学数列的概念知识点1.数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.2.数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.3.数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一.如：数列1，2，3，4，…，由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.000 1，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.414 2，…就没有通项公式.(4)有的数列的通项公式，形式上不一定是唯一的，正如举例中的：(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.4.数列的图象对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：序号：1 2 3 4 5 6 7项： 4 5 6 7 8 9 10这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.5.递推数列一堆钢管，共堆放了七层，自上而下各层的钢管数构成一个数列：4，5，6，7，8，9，10.①数列①还可以用如下方法给出：自上而下第一层的钢管数是4，以下每一层的钢管数都比上层的钢管数多1，。

充要条件相关知识梳理一、重、难点透视正确理解和判断充分条件、必要条件、充要条件和非充分非必要以及原命题、逆命题否命题、逆否命题的概念是本节的重点；掌握逻辑推理能力和语言互译能力，对充要条件概念本质的把握是本节的难点.二、知识网络构建三、知识要点梳理1．对概念的理解：充分条件：对于命题“若p 则q”为真时，即如果p 成立，那么q 一定成立，记作“p q ⇒”，称p 为q 的充分条件.意义是说条件p 充分保证了结论q 的成立，换句话说要使结论q 成立，具备条件p 就够了当然q 成立还有其他充分条件.如:6;:2p x q x ≥>，p 是q 成立的充分条件，而:3r x >也是q 成立的充分条件.必要条件：如果q 成立，那么p 成立，即“q p ⇒”，或者如果p 不成立，那么q 一定不成立，也就是“若非p 则非q”，记作 “p q ⌝⇒⌝”，这是就说条件p 是q 的必要条件，意思是说条件p 是q 成立的必须具备的条件.充要条件：如果既有“p q ⇒”，又有“q p ⇒”，则称条件p 是q 成立的充要条件，或称条件q 是p 成立的充要条件，记作“p q ⇔”.2．从集合角度看概念：如果条件p 和结论q 的结果分别可用集合P 、Q 表示，那么①“p q ⇒”，相当于“P Q ⊆”，即 P Q 或 P 、Q即：要使x ∈Q 成立，只要x ∈P 就足够了——有它就行.②“q p ⇒”，相当于“Q P ⊆”，即 Q P 或 P 、Q即：为使x ∈Q 成立，必须要使x ∈P ——缺它不行.③“p q ⇔”，相当于“P Q =”，即 P 、Q即：互为充要的两个条件刻画的是同一事物.3. 当命题“若p 则q”为真时，可表示为p q ⇒，则我们称p 为q 的充分条件，q 是p 的必要条件.这里由p q ⇒，得出p 为q 的充分条件是容易理解的.但为什么说q 是p 的必要条件呢？事实上，与“p q ⇒”等价的逆否命题是“q p ⌝⇒⌝”.它的意义是：若q 不成立，则p 一定不成立.这就是说，q 对于p 是必不可少的，所以说q 是p 的必要条件.4．“充要条件”的含义，实际上与初中所学的“等价于”的含义完全相同.也就是说，如果命题p 等价于命题q ，那么我们说命题p 成立的充要条件是命题q 成立；同时有命题q 成立的充要条件是命题p 成立.5. 对于多个条件的关系判定，可先译出各个条件的相互转化关系的结构图，再作判定.如，“q 是r 的必要条件，p 是q 的必要条件，p 是r 的什么条件？”就可用结构图示法表示为“,p r p q ⇐⇐”即“r p q ⇒⇒”.四、方法点拨1.借助于集合知识加以判断，若P Q ⊆，则P 是Q 的充分条件，Q 是的P 的必要条件；若P Q =，则P 与Q 互为充要条件.2.等价法：“p q ⇒”⇔“q p ⌝⇒⌝”，即原命题和逆否命题是等价的；原命题的逆命题和原命题的否命题是等价的.3.对于充要条件的证明，一般有两种方法：其一，是用分类思想从充分性、必要性两种情况分别加以证明；其二，是逐步找出其成立的充要条件用“⇔”联结.五、特别提醒1.要注意充分条件和充分非必要条件的区别与联系，只要满足p q ⇒，就可以断定p 是q 的充分条件；若有p q ⇒，同时 ,才能说p 是q 的充分条件非必要条件.也就是说，充分非必要条件是充分条件的一种特殊情形.同样地，必要条件和必要条件非充分条件亦有类似的关系.2. “充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”.如“一元二次方程20ax bx c ++=有实数解的充要条件是240b ac -≥”也可说为“一元二次方程20ax bx c ++=有实数解，当且仅当240b ac -≥”.3.要灵活应用原命题与原命题的逆否命题是等价的，即“p q ⇒”⇔“q p ⌝⇒⌝”，来判断和证明问题，当直接直接判断或证明一个命题（特别是否定形式的命题）较为复杂时，我们应退一步考虑其逆否命题，常常可以收到意想不到的效果，如判断“12x y ≠≠或是3x y +≠的什么条件？”，就应考虑其逆否命题“3x y +=是12x y ==且的什么条件？”,显然是必要不充分条件.六、高考透视充要条件主要是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系，它是中学数学最重要的数学概念之一，它是今后的高中乃至大学数学推理学习的基础.在每年的高考中，都会考查此类问题.。

专题02 充要条件问题【热点聚焦与扩展】高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查主要是以小题的形式来考查，由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要有三个：一是以函数、方程、三角函数、数列、不等式、立体几何线面关系、平面解析几何等为背景的充分条件和必要条件的判定与探求；二是考查等价转化与化归思想；三是由充分条件和必要条件探求参数的取值范围． 1、定义：（1）对于两个条件,p q ，如果命题“若p 则q ”是真命题，则称条件p 能够推出条件q ，记为p q ⇒，（2）充分条件与必要条件：如果条件,p q 满足p q ⇒，则称条件p 是条件q 的充分条件；称条件q 是条件p 的必要条件2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面.所以在判断时既要判断“若p 则q ”的真假，也要判断“若q 则p ”真假3、两个条件之间可能的充分必要关系：（1）p 能推出q ，但q 推不出p ，则称p 是q 的充分不必要条件 （2）p 推不出q ，但q 能推出p ，则称p 是q 的必要不充分条件（3）p 能推出q ，且q 能推出p ，记为p q ⇔，则称p 是q 的充要条件，也称,p q 等价 （4）p 推不出q ，且q 推不出p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件 4、如何判断两个条件的充分必要关系(1)定义法：若 错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

是错误!未找到引用源。

的充分而不必要条件；若错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

是错误!未找到引用源。

的必要而不充分条件；若错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

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的充要条件； 若错误!未找到引用源。

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的既不充分也不必要条件.(2)等价法：即利用p q ⇒与q p ⌝⌝⇒；q p ⇒与p q ⌝⌝⇒；p q ⇔与q p ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3) 充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p 的集合为M ，满足命题q 的集合为N ，则M 是N 的真子集等价于p 是q 的充分不必要条件，N 是M 的真子集等价于p 是q 的必要不充分条件，M ＝N 等价于p 和q 互为充要条件，M ，N 不存在相互包含关系等价于p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件.4、充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．5、对于充要条件的证明问题，可用直接证法，即分别证明充分性与必要性.此时应注意分清楚哪是条件，哪是结论，充分性即由条件证明结论；而必要性则是由结论成立来证明条件也成立，千万不要张冠李戴；也可用等价法，即进行等价转化，此时应注意的是所得出的必须是前后能互相推出，而不仅仅是“推出”一方面（即由前者可推出后者，但后者不能推出前者）.【经典例题】例1【2020年高考浙江卷】已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由已知,,m n l 不过同一点，当,,m n l 两两相交时，,,m n l 在同一平面内；但当m //n ，l 与它们相交时，,,m n l 也在同一平面内，故选B ．例2【2020年高考上海卷】【答案】A【解析】1:q 当0a >，()0f a >，因为函数()f x 单调递减，所以()()()()f x a f x f x f a +<<+，即()()()f x a f x f a +<+，存在0a >，当满足命题1q 时，使命题p 成立，2:q 当00a x =<时，()0f a = ，因为函数()f x 单调递增，所以()()()()f x a f x f x f a +<=+，即()()()f x a f x f a +<+，存在0a <，当满足命题2q 时，命题p 成立，综上可知命题1q 、2q 都是命题p 的充分条件，故选A ．例3．（2020·黑龙江萨尔图大庆实验中学高三三模）已知命题:11p x ->，命题:1ln q x ≥，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由–11x >可得，0x <或2x >﹔由ln 1x ≥可得，x e ≥.所以p 是q 成立的必要不充分条件.故选：B.例4．（2020·北京市第五中学高三三模）已知定义域为R 的偶函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数，且f （12）＝0，则“不等式f （log 4x ）＞0的解集”是“{x |0＜x ＜12}”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充分且必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为定义域为R 的偶函数()f x 在[0，)+∞上是增函数，且1()02f =，4(log )0f x ∴>，即41(log )()2f x f >，即41(|log |)()2f x f >，即41|log |2x >，即41log 2x >，或41log 2x <-， 解之得2x >或102x <<，{|2x x ∴>或10}2x <<是1{|0}2x x <<的必要不充分条件，故选：C ．例5．（2020·山东潍坊高三三模）设i 为虚数单位，a R ∈，“复数22020i 21ia z =--是纯虚数“是“1a =”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】复数()()22020222i 11i 11i 21i 21i 21i 1i 222a a a a z +=-=-=-=-----+是纯虚数， 则21a =，1a =±，1a =±是1a =的必要不充分条件，故选：B.例6．（2020·广州大学附属中学高三三模）已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】22x y +≥ 且224x y+≤ ，422x y ∴≤≤⇒+≤ ，等号成立的条件是x y =，又x y +≥，0,0x y >>21xy ∴≤⇒≤ ，等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件.故选:C例7．（2020·宝鸡中学高三三模）已知条件:p k =q ：直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则q 是p 的（ ）A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则圆心(0,0)到直线20kx y -+=的距离1d ==，即214k +=，23k ∴=，即k =∴q 推不出p ，而p 而以推出q ，q ∴是p 的必要不充分条件．故选：B ．例8．（2020·河北新华石家庄二中高三三模）使不等式2x ≤成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．13x +≤ B ．12x +≤C ．2log (1)1x +≤D ．11||2x ≥ 【答案】A【解析】因为||2x ≤22x ⇔-≤≤，|1|342x x +≤⇔-≤≤， |1|231x x +≤⇔-≤≤，2log (1)111x x +≤⇔-<≤，11||2||2x x ≥⇔≤且0x ≠20x ⇔-≤<或02x <≤， 因为{|22}x x -≤≤ 2{|}4x x -≤≤，所以使不等式||2x ≤成立的一个必要不充分条件是42x -≤≤，故选：A ．例9．（2020·四川绵阳高三三模）已知数列{}n a 的前n 项和21nn S p =⨯+，则{}n a 为等比数列的充要条件是（ ） A ．01p << B ．1p =-C ．2p =-D ．1p >【答案】B 【解析】21n n S p =⨯+,当1n =时，112+1a S p ==，当2n 时，()11121212nn n n n n a S S p p p ---=-=⨯+-⨯+=⨯，{}n a 为等比数列，21p p ∴+=1p ∴=-当1p =-时，21nn S =-+， 可得12n n a -=-，由12(2)nn a n a -=≥知{}n a 为等比数列， 故{}n a 为等比数列的充要条件是1p =-，故选：B例10．（2020·天津南开高三三模）已知命题2:230p x x +->，命题:q x a >，且q 的一个必要不充分条件是p ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．(],1-∞C ．[)1,-+∞D ．(],3-∞-【答案】A【解析】命题2:230p x x +->，解之得：3x <-或1x >， 命题:q x a >，且q 的一个必要不充分条件是p ， 则：1a ≥，即a 的取值范围是[)1,+∞.故选：A ．【精选精练】1．（2020·浙江省兰溪市第三中学高三三模）设0a >，0b >，则“lg()0ab >”是“lg()0a b +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】因为lg()0ab >，所以1ab >，0a >，0b >，显然,a b 中至少有一个大于1，如果都小于等于1，根据不等式的性质可知：乘积也小于等于1，与乘积大于1不符. 由lg()0a b +>，可得1a b +>，,a b 与1的关系不确定，显然由“lg()0ab >”可以推出lg()0a b +>，但是由lg()0a b +>推不出lg()0ab >，当然可以举特例：如23a b ==，符合1a b +>，但是不符合1ab >，因此“lg()0ab >”是“lg()0a b +>”的充分不必要条件，故本题选A.2．（2020·山东高三三模）“直线l 与平面α内的无数条直线垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既非充分条件又非必要条件【答案】B【解析】因为直线l 在平面α内，也可以与平面α内的无数条直线垂直，所以，“直线l 与平面α内的无数条直线垂直”不是“直线l 与平面α垂直”的充分条件；若直线l 与平面α垂直，则直线l 与平面α内的所有直线都垂直。

充分条件、必要条件、充要条件1．充分条件、必要条件、充要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若则”为真时，可表示为，称为的充分条件，是的必要条件．事实上，p q p q p q q p与“”等价的逆否命题是“”．它的意义是：若不成立，则一定不成立．这就是说，p q ￢q ￢p q p q 对于是必不可少的，所以说是的必要条件．例如：．显然，则．等价于p q p p：x＞2；q：x＞0 x p x qx q x p，则一定成立．2、充要条件：如果既有“”，又有“”，则称条件是成立的充要条件，或称条件是成立p q q p p q q p的充要条件，记作“”．与互为充要条件．p q p q【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若为真命题且为假命题，则命题是命题的充分不必要条件；p q q p p q②若为假命题且为真命题，则命题是命题的必要不充分条件；p q q p p q③若为真命题且为真命题，则命题是命题的充要条件；p q q p p q④若为假命题且为假命题，则命题是命题的即不充分也不必要条件．p q q p p q⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．1/ 1。

专题02 四种条件问题【高考真题】1．(2022·北京)设{a n }是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n }为递增数列”是“存在N 0，当n ＞N 0时，a n ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件1．答案 C 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则d ≠0，记[x ]为不超过x 的最大整数．若{a n }为单调递增数列，则d ＞0，若a 1≥0，则当n ≥2时，a n ＞a 1≥0；若a 1＜0，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，由a n ＝a 1＋(n －1)d ＞0，可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当n ＞N 0时，a n ＞0，所以，“{a n }是递增数列”⇒“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＞0”；若存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＞0，取k *∈N 且k ＞N 0，0k a >，假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d>-，且k a k k d ->，当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，a n ＜0，与题设矛盾，假设不成立，则d ＞0，即数列{a n }是递增数列．所以，“{a n }是递增数列”⇐“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＞0”．所以，“{a n }是递增数列”是“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＞0”的充分必要条件．故选C ． 2．(2022·浙江)设x ∈R ，则“sin x ＝1”是“cos x ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．答案 A 解析 因为sin 2x ＋cos 2x ＝1可得，当sin x ＝1时，cos x ＝0，充分性成立；当cos x ＝0时，sin x＝±1，必要性不成立；所以当x ∈R ，sin x ＝1是cos x ＝0的充分不必要条件．故选A ．【知识总结】1．四种条件的定义充分不条必要件：p ⇒q 且q ⇏p ，p 叫做q 的充分不必要条件；必要不充分条件：p ⇏q 且q ⇒p ，p 叫做q 的必要不充分条件；充要条件：p ⇔q ，p 叫做q 的充要条件；既不充分也不必要条件：p ⇏q 且q ⇏p ，p 叫做q 的既不充分也不必要条件．2．充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p ⇒q ，且q ⇏p ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若A ⊂≠B ，则p 是q 的充分不必要条件；若A ⊃≠B ，则p 是q 的必要不充分条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；若A ⊈B 且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．(3)等价法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．【同类问题】1．“a >b ”是“ac 2>bc 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件1．答案 B 解析 当a >b 时，若c 2＝0，则ac 2＝bc 2，所以a >b ⇏ac 2>bc 2，当ac 2>bc 2时，c 2≠0，则a >b ，所以ac 2>bc 2⇒a >b ，即“a >b ”是“ac 2>bc 2”的必要不充分条件．2．使－2<x <2成立的一个充分条件是( )A ．x <2B ．0<x <2C ．－2≤x ≤2D ．x >02．答案 B3．设x ＞0，y ∈R ，则“x ＞y ”是“x ＞|y |”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．答案 C 解析 由x ＞y 推不出x ＞|y |，由x ＞|y |能推出x ＞y ，所以“x ＞y ”是“x ＞|y |”的必要不充分条件．4．“a >2，b >2”是“a ＋b >4，ab >4”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．答案 A 解析 若a >2，b >2，则a ＋b >4，ab >4．当a ＝1，b ＝5时，满足a ＋b >4，ab >4，但不满足a >2，b >2，所以a ＋b >4，ab >4⇏a >2，b >2，故“a >2，b >2”是“a ＋b >4，ab >4”的充分不必要条件．5．使得“2x >4x ”成立的一个充分条件是________．5．答案 x <－1(答案不唯一) 解析 由于4x ＝22x ，故2x >22x 等价于x >2x ，解得x <0，使得“2x >4x ”成立的一个充分条件只需为集合{x |x <0}的子集即可．6．已知p ：⎝⎛⎭⎫12x <1，q ：log 2x <0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．答案 B 解析 由⎝⎛⎭⎫12x <1知x >0，所以p 对应的x 的范围为(0，＋∞)，由log 2x <0知0<x <1，所以q对应的x 的范围为(0，1)，显然(0，1)(0，＋∞)，所以p 是q 的必要不充分条件．7．a ＞b ＋1是2a ＞2b 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．答案 A 解析 当a ＞b ＋1时，得a ＞b ，则a ＞b ＋1是2a ＞2b 的充分条件；取a ＝2，b ＝1，满足2a＞2b ，不能推出a ＞b ＋1，故a ＞b ＋1是2a ＞2b 的充分不必要条件．故选A ．8．设a ，b ∈R ，p ：log 2(a －1)＋log 2(b －1)>0，q ：1a ＋1b<1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．答案 A 解析 由题意得，p ：log 2(a －1)＋log 2(b －1)＝log 2(a －1)(b －1)>0＝log 21，所以(a －1)(b －1)>1， 即a ＋b <ab ，因为⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，b －1>0，所以a >1，b >1，则ab >0，所以1a ＋1b <1，所以p 是q 的充分条件；因为1a ＋1b <1，所以a ＋b ab<1，若ab >0，则a ＋b <ab ，若ab <0，则a ＋b >ab ，所以p 是q 的非必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件．9．(多选)下列四个条件中，能成为x >y 的充分不必要条件的是( )A ．xc 2>yc 2B ．1x <1y<0 C ．|x |>|y | D ．ln x >ln y 9．答案 ABD 解析 对于A 选项，若xc 2>yc 2 ，则c 2≠0，则x >y ，反之x >y ，当c ＝0时得不出xc 2>yc 2， 所以“xc 2>yc 2”是“x >y ”的充分不必要条件，故A 正确；对于B 选项，由1x <1y<0可得y <x <0，即能推出x >y ；但x >y 不能推出1x <1y <0(因为x ，y 的正负不确定)，所以“1x <1y<0”是“x >y ”的充分不必要条件，故B 正确；对于C 选项，由|x |>|y |可得x 2>y 2，则(x ＋y )(x －y )>0，不能推出x >y ；由x >y 也不能推出|x |>|y |(如x ＝1，y ＝－2)，所以“|x |>|y |”是“x >y ”的既不充分也不必要条件，故C 错误；对于D 选项，若ln x >ln y ，则x >y ，反之x >y 得不出ln x >ln y ，所以“ln x >ln y ”是“x >y ”的充分不必要条件，故D 正确．10．(多选)(2022·南京调研)下列说法正确的是( )A ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分不必要条件B ．“1a ＞1b ”是“a ＜b ”的既不充分也不必要条件C ．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则A ⊆BD ．“a ＞b ＞0”是“a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)”的充要条件10．答案 BC 解析 A 项，ac ＝bc 不能推出a ＝b ，比如a ＝1，b ＝2，c ＝0．而a ＝b 可以推出ac ＝bc ，所以“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要不充分条件，故错误；B 项，1a ＞1b 不能推出a ＜b ，比如12＞－13，但是2＞－3；a ＜b 不能推出1a ＞1b ，比如－2＜3，－12＜13，所以“1a ＞1b”是“a ＜b ”的既不充分也不必要条件，故正确；C 项，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以x ∈A 可以推出x ∈B ，即A ⊆B ，故正确；D 项，a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)不能推出a ＞b ＞0，比如a ＝1，b ＝0，1n ＞0n (n ∈N ，n ≥2)满足，但是a ＞b ＞0不满足，所以必要性不满足，故错误．11．已知p ：∀x ∈R ，mx 2－2mx ＋1＞0，q ：指数函数f (x )＝m x (m ＞0，且m ≠1)为减函数，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．答案 B 解析 当m ＝0时，1＞0成立；当m ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＝4m 2－4m ＜0，解得0＜m ＜1．由p 得出P ＝{m |0≤m ＜1}，由q 得出Q ＝{m |0＜m ＜1}，Q P ，故p 是q 的必要不充分条件．12．已知集合M ＝[－1，1]，那么“a ≥－23”是“∃x ∈M ，4x －2x ＋1－a ≤0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件12．答案 A 解析 ∵∃x ∈M ，4x －2x ＋1－a ≤0，∴a ≥(4x －2x ＋1)min ，x ∈[－1，1]，设t ＝2x ，则f (t )＝t 2－2t ＝(t －1)2－1，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，∴f (t )min ＝f (1)＝－1，∴a ≥－1，∵⎣⎡⎭⎫－23，＋∞[－1，＋∞)，∴“a ≥－23”是“∃x ∈M ，4x －2x ＋1－a ≤0”的充分不必要条件． 13．(2021·北京)设函数f (x )的定义域为[0，1]，则“函数f (x )在[0，1]上单调递增”是“函数f (x )在[0，1]上的最大值为f (1)”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．答案 A 解析 前推后，一定成立；后推前，不一定成立．如函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －142在[0，1]上的最大值为f (1)，但f (x )在⎣⎡⎦⎤0，14上单调递减，在⎣⎡⎦⎤14，1上单调递增，故选A ． 14．(多选)已知a ∈R ，则使命题“∀x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，x 2－sin x －a ≥0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a <1B ．a ≤2C ．a <π2－44D ．a ≤π2－4414．答案 AC 解析 x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，令f (x )＝x 2－sin x ，则f ′(x )＝2x －cos x >0，则函数f (x )＝x 2－sin x 在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，∀x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，f (x )>f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2－44，所以原命题为真命题的充要条件为a ≤π2－44，而1<π2－44<2，则满足A 选项、C 选项的a 均有a ≤π2－44，a ≤π2－44时a <1和a <π2－44都不一定成立，所以所求的一个充分不必要条件是选项A ，C ．15．(多选)已知两条直线l ，m 及三个平面α，β，γ，则α⊥β的充分条件是( )A ．l ⊂α，l ⊥βB ．l ⊥α，m ⊥β，l ⊥mC ．α⊥γ，β∥γD ．l ⊂α，m ⊂β，l ⊥m15．答案 ABC 解析 由面面垂直的判定可以判断A ，B ，C 符合题意；对于D ，l ⊂α，m ⊂β，l ⊥m ，也可以得到α∥β，D 不符合题意．故选ABC ．16．已知m ，n 是平面α内的两条相交直线，且直线l ⊥n ，则“l ⊥m ”是“l ⊥α”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件16．答案 A 解析 当l ⊥m 时，m ，n 是平面α内的两条相交直线，又l ⊥n ，根据线面垂直的判定定理，可得l ⊥α．当l ⊥α时，因为m ⊂α，所以l ⊥m ．综上，“l ⊥m ”是“l ⊥α”的充要条件．17．在空间中，设m ，n 是两条直线，α，β表示两个平面，如果m ⊂α，α∥β，那么“m ⊥n ”是“n ⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件17．答案 B 解析 当m ⊥n 时，∵m ⊂α，α∥β，则n 与β可能平行，∴充分性不成立；当n⊥β时，∵α∥β，∴n⊥α，∵m⊂α，∴m⊥n，∴必要性成立，∴“m⊥n”是“n⊥β”的必要不充分条件．18．(2021·浙江)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件18．答案B解析由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．故选B．19．若a，b为非零向量，则“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件19．答案C解析因为a⊥b，所以a·b＝0，则(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，所以“a ⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充分条件；反之，由(a＋b)2＝a2＋b2得a·b＝0，所以非零向量a，b垂直，“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的必要条件．故“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充要条件．20．(2021·全国甲)等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n．设甲：q＞0，乙：{S n}是递增数列，则()A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件20．答案B解析当a1＜0，q＞1时，a n＝a1q n－1＜0，此时数列{S n}递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{S n}递增时，有S n＋1－S n＝a n＋1＝a1q n＞0，若a1＞0，则q n＞0(n∈N*)，即q＞0；若a1＜0，则q n＜0(n∈N*)，不存在，所以甲是乙的必要条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．21．若等差数列{a n}的前n项和为S n，则“S2 020＞0，S2 021＜0”是“a1 010a1 011＜0”的() A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件21．答案B解析∵S2 020＝2 020（a1＋a2 020）2＝1 010(a1 010＋a1 011)＞0，S2 021＝2 021（a1＋a2 021）2＝2021a1 011＜0，∴a1 011＜0，∴a1 010＞0，则a1 010a1 011＜0，因此充分性成立；若a1 010a1 011＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1 010＞0，a 1 011＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a 1 010＜0，a 1 011＞0，因此必要性不成立．故选B ． 22．在△ABC 中，“AB 2＋BC 2＝AC 2”是“△ABC 为直角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件22．答案 A 解析 在△ABC 中，若AB 2＋BC 2＝AC 2，则∠B ＝90°，即△ABC 为直角三角形，若△ABC为直角三角形，推不出∠B ＝90°，所以AB 2＋BC 2＝AC 2不一定成立，综上，“AB 2＋BC 2＝AC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充分不必要条件．23．(2020·北京)已知α，β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α＝k π＋(－1)k β”是“sin α＝sin β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件23．答案 C 解析 ①若k 为偶数，设k ＝2n (n ∈Z )，则α＝2n π＋β，有sin α＝sin(2n π＋β)＝sin β；若k为奇数，设k ＝2n ＋1(n ∈Z )，则α＝(2n ＋1)π－β，有sin α＝sin[(2n ＋1)π－β]＝sin(2n π＋π－β)＝sin(π－β)＝sin β．充分性成立．②若sin α＝sin β，则α＝2k π＋β或α＝2k π＋π－β(k ∈Z )，即α＝2k π＋β或α＝(2k ＋1)π－β(k ∈Z )，故α＝k π＋(－1)k β(k ∈Z )．必要性成立．故选C ．24．在△ABC 中，“A >B ”是“cos A <cos B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件24．答案 C 解析 因为A ，B 是△ABC 的内角，且A >B ，所以0<B <A <π，因为y ＝cos x 在(0，π)上单调递减，所以cos A <cos B ，故充分性成立；反之，y ＝cos x 在(0，π)上单调递减，0<A <π，0<B <π，若cos A <cos B ，则A >B ，故必要性成立，所以在△ABC 中，“A >B ”是“cos A <cos B ”的充要条件．25．直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝a 2(a >0)有公共点的充要条件是________．25．答案 a ∈[1，＋∞) 解析 直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，依题意知点(0，1)在圆x 2＋y 2＝a 2内部(包含边界)，∴a 2≥1．又a >0，∴a ≥1．26．设p ：ln(2x －1)≤0，q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．26．答案 ⎣⎡⎦⎤0，12 解析 p 对应的集合A ＝{x |y ＝ln(2x －1)≤0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12＜x ≤1，q 对应的集合B ＝{x |(x －a )[x－(a ＋1)]≤0}＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．由q 是p 的必要而不充分条件，知A B ．所以a ≤12且a ＋1≥1，因此0≤a ≤12． 27．若关于x 的不等式|x －1|＜a 成立的充分条件是0＜x ＜4，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)27．答案 D 解析 |x －1|＜a ⇒1－a ＜x ＜1＋a ，∵不等式|x －1|＜a 成立的充分条件是0＜x ＜4，∴(0，4)⊆(1－a ，1＋a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤0，1＋a ≥4，解得a ≥3． 28．已知p ：|x －1|≤2，q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0(a ＞0)，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 28．答案 (0，2] 解析 ∵|x －1|≤2，∴－1≤x ≤3，即p ：－1≤x ≤3．∵x 2－2x ＋1－a 2≥0(a ＞0)，∴x ≤1－a 或x ≥1＋a ，∴q ：1－a ＜x ＜1＋a ，∵p 是q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－a ≥－1，1＋a ≤3，解得0＜a ≤2，∴实数a 的取值范围是(0，2]．29．已知p ：x ≥a ，q ：|x ＋2a |<3，且p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)29．答案 A 解析 因为q ：|x ＋2a |<3，所以q ：－2a －3<x <－2a ＋3，记A ＝{x |－2a －3<x <－2a ＋3}，p ：x ≥a ，记为B ＝{x |x ≥a }．因为p 是q 的必要不充分条件，所以AB ，所以a ≤－2a －3，解得a ≤－1．30．已知p ：实数m 满足3a <m <4a (a >0)，q ：方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________．30．答案 ⎣⎡⎦⎤13，38 解析 由2－m >m －1>0，得1<m <32，即q ：1<m <32．因为p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥1，4a ≤32，解得13≤a ≤38．。

【热点聚焦】常用逻辑用语主要从三个方面考查，分别为充分必要条件的判断、充要条件的探求、由充分条件和必要条件探求参数的取值范围以及全称量词与存在量词．由于充要条件知识载体丰富，因此题目往往具有一定综合性．【重点知识回眸】一、充要条件1.充分条件、必要条件与充要条件的概念p⇒q p是q的充分条件，q是p的必要条件p⇒q，且q p p是q的充分不必要条件p q，且q⇒p p是q的必要不充分条件p⇔q p是q的充要条件p q，且q p p是q的既不充分也不必要条件提醒：A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A，A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，弄清它们区别的关键是分清谁是条件，谁是结论．2.等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．其他情况依次类推．3.充分、必要条件与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．二、全称量词和存在量词1.全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．2.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含有一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，p(x)提醒：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”． 三、简单的逻辑联结词【新教材地区不含此内容！】 1.命题中的或、且、非叫做逻辑联结词． 2.命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断pqp 且q p 或q 非p真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假假真3.提醒：“命题的否定”与“(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．4.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p ∨q ：“有真则真，全假才假”，即p ，q 中只要有一个真命题，则p ∨q 为真命题，只有p ，q 都是假命题时，p ∨q 才是假命题．(2)p ∧q ：“有假则假，全真才真”，即p ，q 中只要有一个假命题，则p ∧q 为假命题，只有p ，q 都是真命题时，p ∧q 才是真命题． (3) p ： p 与p 的真假相反．【典型考题解析】热点一 充分、必要条件的判定【典例1】（2022·天津·高考真题） “x 为整数”是“21x +为整数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不允分也不必要条件【典例2】（2022·浙江·高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【典例3】（2019·天津·高考真题（文））设x ∈R ，则“05x <<”是“11x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【典例4】（2018·北京·高考真题（理））设向量,a b 均为单位向量，则“|3||3|a b a b -=+”是“a b ⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【规律方法】充要条件的三种判断方法：(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据由p ，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题． 热点二 充分条件、必要条件的探求与应用【典例5】（2023·全国·高三专题练习）“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件是（ ） A ．14m >B ．14m <C ．1m <D ． 1m【典例6】（2017·上海·高考真题）已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ，使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（ ）A ．0a ≥B ．0b ≤C ．0cD ．20a b c -+=【典例7】【多选题】（2023·全国·高三专题练习）“关于x 的不等式220x ax a -+> 对R x ∀∈恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A ．01a << B ．01a ≤≤C ．103a <<D ．0a ≥【总结提升】充分、必要条件的探求方法(与范围有关)先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件． 热点三 利用充分、必要条件求参数的取值范围【典例8】（2023·全国·高三专题练习）若“2340x x -->”是“223100x ax a -->”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是_________. 【总结提升】利用充要条件求参数的两个关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍． 热点四 全称命题、特称命题的否定与真假判断【典例9】（2020·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（ ） A ．10>且34> B ．12>或45> C ．x R ∃∈，cos 1x >D ．x R ∀∈，20x ≥【典例10】（2016·浙江·高考真题（理））命题“*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x ≥”的否定形式是 A ．*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x < B ．*,x R n N ∀∈∀∈，使得2n x < C ．*,x R n N ∃∈∃∈，使得2n x <D ．*,x R n N ∃∈∀∈，使得2n x <【典例11】（2022·全国·高三专题练习）已知命题p ：0x R ∃∈，01x =-或02x =，则（ ） A ．p ⌝：x R ∀∈，1x ≠-或2x ≠ B ．p ⌝：x R ∀∈，1x ≠-且2x ≠ C ．p ⌝：x R ∀∈，1x =-且2x =D ．p ⌝：0x R ∃∉，01x =-或02x =【典例12】（2021·全国·高考真题（理））已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨【典例13】（2023·全国·高三专题练习）已知命题p ：[]21,2,1x x a ∀∈+≥，命题q ：[]1,1x ∃∈-，使得210x a +->成立，若p 是真命题，q 是假命题，则实数a 的取值范围为 _____. 【总结提升】1．全称命题与特称命题的否定(1)改量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(2)否结论：对原命题的结论进行否定． 2．全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题 真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题真存在一个对象使命题真否定为假3．根据全(特)称命题的真假求参数的思路与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．【精选精练】一、单选题1．（2020·山东·高考真题）已知a ∈R ，若集合{}1,M a =，{}1,0,1N =-，则“0a =”是“M N ⊆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2023·全国·高三专题练习）已知命题p ：∀x ＞0，总有（x +1）ln x ＞1，则¬p 为（ ） A ．∃x 0≤0，使得（x 0+1）ln x 0≤1 B ．∃x 0＞0，使得（x 0+1）ln x 0≤1 C ．∃x 0＞0，总有（x 0+1）ln x 0≤1 D ．∃x 0≤0，总有（x 0+1）ln x 0≤13．（2023·全国·高三专题练习）已知()sin f x x x =-，命题P ： 0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，则（ ）A ．P 是假命题，()0,02P x f x π⎛⎫∀∈≥ ⎪⎝⎭￢：，B ．P 是假命题，()000,02P x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭￢：，C ．P 是真命题，()0,02P x f x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭￢：，＞D ．P 是真命题，()000,02P x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭￢：，4．（2021·天津·高考真题）已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2021·北京·高考真题）已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．（2021·全国·高考真题（理））等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．（2022·北京·高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．（2020·浙江·高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10.（2017·山东·高考真题（文））已知命题p ：x R ∃∈，210x x -+≥；命题q ：若22a b <，则.a b <下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝11．（2021·陕西·西安中学高三期中）已知命题“R x ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,3)- C ．(3,)-+∞D ．(3,1)-12．（2023·全国·高三专题练习）“2log (1)0x +<”成立的一个必要而不充分条件是（ ） A ．112x -<<-B ．0x >C ．10x -<<D ．0x <二、多选题13．（2023·全国·高三专题练习）若“2340x x +-<”是“222()330x k x k k -+++≥”的充分不必要条件，则实数k 可以是（ ） A ．8- B ．5- C ．1 D ．4三、填空题14．（2018·北京·高考真题（理））能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．15．（2023·全国·高三专题练习）若“对任意实数02，π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ，sin ≤x m ”是真命题，则实数m 的最小值为__.16．（2023·全国·高三专题练习）若命题“∃x ∈R ，使得x 2﹣（a +1）x +4≤0”为假命题，则实数a 的取值范围为__.17．（2020·全国·高考真题（理））设有下列四个命题： p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l . 则下述命题中所有真命题的序号是__________. ①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝ 四、解答题18．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式102x x+≥-的解集为条件p ，关于x 的不等式222310x mx m m +---<（23m >-）的解集为条件q ． (1)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围； (2)若p 的充分不必要条件是q ，求实数m 的取值范围．。