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等差数列与等比数列的应用知识点总结等差数列和等比数列是高中数学中常见的两种数列。
它们具有很多重要的应用，在不同的数学问题中发挥着重要的作用。
本文将对等差数列与等比数列的应用进行知识点总结，并探讨它们在实际生活和其他学科中的具体应用。
一、等差数列的应用等差数列是指一个数列中，从第二项起每一项与前一项之差都相等的数列。
其常用的应用有：1. 数列求和公式对于等差数列的前n项和Sn，有求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，其中a1为首项，an为末项，n为项数。
这个公式的应用非常广泛，可以用于求解各种数学问题，比如求等差数列的和、计算时间、距离、速度等问题。
2. 平均数的应用对于等差数列，它的各项的平均数与首末两项的平均数是相等的。
这个特性可以用来解决一些平均数相关的问题，比如求取某一连续数列的平均值等。
3. 等差数列的推广等差数列可以推广到高阶等差数列，即每一项与前一项之差的差值也相等。
这种推广常用于解决一些复杂的数学问题，比如等差数列的前n项和Sm，可以通过差分公式Sm = (m/2)(2a1 + (m-1)d)来求解。
4. 几何问题等差数列在几何问题中也有重要应用，比如解决一些等边三角形、等腰梯形等形状相关的问题时，常常需要利用等差数列的性质进行计算。
二、等比数列的应用等比数列是指一个数列中，从第二项起每一项与前一项的比值都相等的数列。
其常用的应用有：1. 数列求和公式对于等比数列的前n项和Sn，有求和公式Sn = a1(1-q^n)/(1-q)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。
这个公式的应用也非常广泛，可以用于求解各种数学问题，比如计算财务中的复利问题、人口增长问题等。
2. 指数问题等比数列可以与指数问题进行关联。
比如在计算家庭用电量、金融中的复利计算、物理中的指数增长问题等方面，常常需要利用等比数列的特性进行计算。
3. 几何问题等比数列在几何问题中同样有重要应用，比如解决一些等比序列相关的问题，如等比数列构造的等边五角星等。
等差数列与等比数列的应用知识点总结数列是数学中常见的数值排列形式，其中等差数列和等比数列是两种重要的数列类型。
在实际应用中，等差数列和等比数列有着广泛的应用。
本文将对等差数列和等比数列的应用进行总结，旨在帮助读者更好地理解和应用这两个知识点。
一、等差数列的应用等差数列是指数列中相邻两项之间的差值是一个常数的数列。
常见的等差数列应用包括：1. 数学题中的序号与数值计算等差数列常可以用来计算序号与数值之间的关系。
当已知等差数列的首项a，公差d和序号n时，可以快速计算出第n项的数值。
例如：已知等差数列的首项是3，公差是4，求第10项的数值。
根据等差数列的性质可以得到：a10 = a1 + (n-1)d = 3 + (10-1)4 = 39。
2. 时间与距离的计算等差数列可以用来计算时间与距离之间的关系。
例如：一辆汽车从起点出发，每小时行驶50公里，问经过5小时之后，汽车距离起点的距离是多少？根据等差数列的性质可以得到：距离 = 初始距离 + 速度×时间 = 0 + 50 × 5 = 250公里。
3. 金融投资中的本金计算等差数列可以应用于金融投资中的本金计算。
当已知等差数列的首项a，公差d和时间n时，可以计算出在n个周期后的本金。
例如：假设本金为1000，每个月增加100，一年后本金共有多少？根据等差数列的性质可以得到：本金 = 初始本金 + 每周期增加金额 ×周期数 = 1000 + 100 × 12 = 2200。
二、等比数列的应用等比数列是指数列中相邻两项之间的比值是一个常数的数列。
常见的等比数列应用包括：1. 计算复利等比数列可以应用于计算复利。
当已知等比数列的首项a，公比r 和时间n时，可以计算出在n个周期后的本息合计。
例如：某笔投资的初始本金为1000，年利率为5%，求5年后的本息合计。
根据等比数列的性质可以得到：本息合计 = 初始本金 × (1 + 年利率)^周期数 = 1000 × (1 + 0.05)^5 ≈ 1276.28。
等差数列、等比数列的性质及应用（一）主要知识：有关等差、等比数列的结论1．等差数列{}n a 的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S --仍为等差数列．2．等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则q p n ma a a a +=+3．等比数列{}n a 中，若m n p q+=+，则mn p q aa a a ⋅=⋅4．等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S --仍为等比数列．5．两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列．6．两个等比数列{}n a 与{}n b 的积、商、倒数的数列{}n n a b ⋅、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列． （二）主要方法：1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和()d q 的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量． 2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n 项和公式的内在联系是解题的关键．（三）例题分析：例1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有13 项；（2）已知数列{}n a 是等比数列,且>0n a ,*n N ∈,354657281a a a a a a ++=，则46a a += 9 ．（3）等差数列前m 项和是30，前2m 项和是100，则它的前3m 项和是 210 ．例2．若数列{}n a 成等差数列，且,()m n S n S m m n ==≠，求n mS +．解：（法一）基本量法（略）；（法二）设2n S An Bn =+，则22(1)(2)An Bn mAm Bm n⎧+=⎪⎨+=⎪⎩(1)(2)-得：22()()n m A n m B m n-+-=-，m n ≠ ， ∴()1m n A B ++=-，∴2()()()n mS n m A n m B n m +=+++=-+．例3．等差数列{}n a 中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为77，偶数项之和为66，11a =，求其项数和中间项. 解：设数列的项数为21n +项， 则121(1)()772n n a a S +++==奇，22()662n n a a S+==偶∴17766S n S n+==奇偶， ∴6n =，∴数列的项数为13，中项为第7项，且711a =．说明：（1）在项数为21n +项的等差数列{}n a 中，2+1=(+1),=,=(2+1)n S n a S na S n a 奇中偶中中；（2）在项数为2n项的等差数列{}n a 中2+11=,=,=()n n n n n S na S na S n a a +++1奇偶．例4．数列{}n a 是首项为1000，公比为110的等比数列，数列{b }n 满足121(lg lg lg )k k b a a a k=+++*()k N ∈，（1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n项和n S '． 解：（1）由题意：410nna-=，∴lg 4n a n =-，∴数列{lg }n a 是首项为3，公差为1-的等差数列， ∴12(1)lg lg lg 32k k k aa a k -+++=-，∴1(1)7[3]22nn n n bn n--=-=由10n n b b +≥⎧⎨≤⎩，得67n ≤≤，∴数列{b }n 的前n项和的最大值为67212SS ==（2）由（1）当7n ≤时，0nb ≥，当7n >时，0nb <，∴当7n ≤时，212731132()244n n n S b b b n n n-+'=+++==-+当7n >时，12n n S b b b b b b '=+++---- 2712112(44n S b b b n n =-+++=-+∴22113(7)4411321(7)44n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪'=⎨⎪-+>⎪⎩．例5*．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{b }n 的前n 项和，对任意自然数n ，有232nn a+=-，41213n nT S n-=，（1）求数列{b }n 的通项公式；（2）设集合*{|2,}nA x x an N ==∈，*{|4,}n B y y b n N ==∈．若等差数列{}n c 任一项1,n c A B c ∈ 是A B 中的最大数，且10265125c -<<-，求{}n c 的通项公式．解：（1）当*2,n n N ≥∈时：114121341213(1)n n n n T S nT S n ---=⎧⎨-=-⎩，两式相减得：41213n n b a -=，∴1334n n b a =+534n =--，又1174b=-也适合上式，∴数列{b }n 的通项公式为n b 534n =--．（2）对任意*n N ∈，223,41252(61)3n n a n b n n =--=--=-+-，∴B A⊂，∴A B B =∵1c 是A B 中的最大数，∴1c 17=-，设等差数列{}n c 的公差为d ，则10179c d=-+，∴265179125d -<-+<-，即527129d -<<-，又4nb 是一个以12-为公差的等差数列， ∴*12()d k k N =-∈，∴24d =-，∴724nc n=-．（四）巩固练习：1．若数列{}n a （N n ∈*）是等差数列，则有数列12nna a a bn+++=（N n ∈*）也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列n {c }是等比数列，且n c >0（N n ∈*），则有n d =12nnC C C ⋅ （N n ∈*）也是等比数列．2．设n S 和n T 分别为两个等差数列的前n 项和，若对任意*n N ∈，都有71427n n S n T n +=+ ，则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是43．说明：2121n n nn a S b T --=．。
数列的等差数列与等比数列知识点总结数列是数学中经常出现的概念，它是按照一定规律排列的一组数的集合。
其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。
本文将对等差数列和等比数列的基本概念、性质、求和公式以及应用进行总结。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差均相等的数列。
用通项公式表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差。
1. 等差数列的基本概念等差数列中，每一项与它的前一项的差值都相等，这个差值称为公差。
等差数列可以是正差、零差或负差的数列。
2. 等差数列的性质（1）首项和末项之和等于中间项之和的两倍：a1 + an = 2Sn，其中Sn表示前n项和。
（2）任意一项与首项之和等于任意一项与末项之和：ai + aj = a1 + an。
（3）等差数列的前n项和Sn等于首项与末项之和乘以项数的一半：Sn = (a1 + an) × n / 2。
3. 求等差数列的和求解等差数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 + an) × n / 2，其中n 为项数。
4. 等差数列的应用等差数列在实际问题中有广泛的应用，如金融投资、房贷分期还款等均可以利用等差数列的性质进行计算。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比均相等的数列。
用通项公式表示为：an = a1 × r^(n-1)，其中an表示第n项，a1为首项，r为公比。
1. 等比数列的基本概念等比数列中，每一项与它的前一项的比值都相等，这个比值称为公比。
等比数列可以是正比、零比或负比的数列。
2. 等比数列的性质（1）相邻两项之商等于任意一项与首项之商等于任意一项与末项之商：ai/aj = a1/ai = ai/an。
（2）等比数列的前n项和Sn等于首项与末项之差除以公比减1：Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)。
3. 求等比数列的和求解等比数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)，其中r不等于1。
高中数学教学等差数列和等比数列的性质高中数学教学：等差数列和等比数列的性质等差数列和等比数列是高中数学中常见的数列类型，它们有着各自独特的性质和应用。
本文将探讨等差数列和等比数列的性质以及它们在高中数学教学中的重要性。
一、等差数列的性质等差数列是一种数学序列，其中每一项与前一项之差都相等。
等差数列的一般形式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
1. 公差的概念公差d是等差数列中相邻两项之间的差值。
等差数列中的任意两项之间的差值都等于公差d。
公差可以为正数、负数或零。
2. 常见等差数列的性质等差数列有以下一些重要性质：- 求和公式：等差数列的前n项和Sn可表示为Sn = (n/2)(2a1 + (n - 1)d)，其中n为项数。
- 通项公式：等差数列的第n项可表示为an = a1 + (n - 1)d。
- 任意三项关系：等差数列中，已知任意三项，可以通过关系式解出公差d。
- 对称性质：等差数列中，如果一项等于首项与末项的和，那么它的位置是中间项。
- 逆序数列：等差数列的逆序数列也是等差数列，其公差与原序列相等。
二、等比数列的性质等比数列是一种数学序列，其中每一项与前一项之比都相等。
等比数列的一般形式为an = a1 * r^(n - 1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
1. 公比的概念公比r是等比数列中相邻两项之间的比值。
等比数列中的任意两项之间的比值都等于公比r。
公比可以为正数、负数或零。
2. 常见等比数列的性质等比数列有以下一些重要性质：- 求和公式：等比数列的前n项和Sn可表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中n为项数，且公比r不等于1。
- 通项公式：等比数列的第n项可表示为an = a1 * r^(n - 1)。
- 任意三项关系：等比数列中，已知任意三项，可以通过关系式解出公比r。
- 正比例关系：等比数列中，任意两项的比值都等于公比r。
高考数学难点突破_难点12__等差数列等比数列的性质运用等差数列和等比数列是高考数学中经常出现的重要题型，它们的性质运用是高考数学中的难点之一、本文将详细介绍等差数列和等比数列的性质，并针对其常见的应用题进行解析，为大家突破这一难点提供一定的帮助。
1.等差数列的性质及应用（1）首项与公差：设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项为：an = a₁ + (n-1)·d（2）前n项和：设等差数列的前n项和为Sn，那么有以下公式：Sn = n/2·(a₁ + an) = n/2·(2a₁ + (n-1)·d)（3）性质应用1：已知等差数列的前n项和Sn，求首项a₁：将Sn的公式代入，整理得到：Sn=n/2·(2a₁+(n-1)·d)=n/2·(2a₁+n·d-d)化简得到：(2a₁+n·d-d)=(2Sn)/n进一步整理得到：a₁=(2Sn)/n-d（4）性质应用2：已知等差数列的前n项和Sn，求公差d：将Sn的公式代入，整理得到：Sn=n/2·(2a₁+(n-1)·d)=n/2·(2a₁+n·d-d)化简得到：(2a₁+n·d-d)=(2Sn)/n进一步整理得到：d=[2Sn-n·(2a₁+n·d)]/(n-1)2.等比数列的性质及应用（1）首项与公比：设等比数列的首项为a₁，公比为r，则第n项为：an = a₁ · r^(n-1)（2）前n项和：设等比数列的前n项和为Sn，那么有以下公式：Sn=a₁·(r^n-1)/(r-1)（3）性质应用1：已知等比数列的前n项和Sn，求首项a₁：将Sn的公式代入，整理得到：Sn=a₁·(r^n-1)/(r-1)化简得到：a₁=Sn·(r-1)/(r^n-1)（4）性质应用2：已知等比数列的前n项和Sn，求公比r：将Sn的公式代入，整理得到：Sn=a₁·(r^n-1)/(r-1)化简得到：r=(Sn·(r-1))^(1/n)在解答等差数列和等比数列的应用题时，需要根据题目所给条件进行计算，灵活运用上述性质及公式。
等差数列等比数列知识点归纳总结等差数列和等比数列是高中数学中非常重要的概念，它们在解决各种数学问题中都起着重要的作用。
本文将对等差数列和等比数列的基本概念、性质、求和公式以及应用进行归纳总结。
一、等差数列等差数列是指一个数列中的每一项与前一项之间的差都相等。
这个相等的差值被称为等差数列的公差，通常用字母d表示。
1. 基本概念一个等差数列可以以通项公式的形式表示为：an = a1 + (n - 1) * d，其中an表示数列的第n项，a1表示第一项，d表示公差。
2. 性质（1）公差：等差数列的公差d是等差数列中相邻两项的差，公差可以是正数、负数或零。
（2）公式：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1) * d，其中n表示项数。
（3）前n项和：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn = n * (a1 + an) / 2来计算。
3. 应用等差数列广泛应用于数学和物理等领域，常见的应用包括：（1）数学题目中的差额、间隔、递推关系等。
（2）物理问题中的匀速直线运动、连续等差分布等。
（3）经济学中的利润、销售额等。
二、等比数列等比数列是指一个数列中的每一项与前一项之间的比都相等。
这个相等的比值被称为等比数列的公比，通常用字母r表示。
1. 基本概念一个等比数列可以以通项公式的形式表示为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示数列的第n项，a1表示第一项，r表示公比。
2. 性质（1）公比：等比数列的公比r是等比数列中相邻两项的比值，公比可以是正数、负数或零。
（2）公式：等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n表示项数。
（3）前n项和：等比数列的前n项和可以通过求和公式Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)来计算。
3. 应用等比数列也广泛应用于数学和物理等领域，常见的应用包括：（1）数学题目中的倍数关系、增长衰减等。
（2）物理问题中的连续等比分布、指数增长等。
等差数列与等比数列的性质数列在数学中起着重要的作用，它们是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。
其中，等差数列和等比数列是最常见的两种数列类型，它们都有着自身特定的性质和规律。
本文将介绍等差数列和等比数列的性质以及它们在数学中的应用。
一、等差数列的性质等差数列是指数列中相邻两项之差固定的数列。
设数列的首项为a₁，公差为d，则它的一般项可表示为aₙ = a₁ + (n-1)d，其中n为项数。
1.1 等差数列的通项公式等差数列的通项公式可以通过首项和公差来表示。
假设首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为aₙ = a₁ + (n-1)d。
1.2 等差数列的前n项和等差数列的前n项和可以通过项数和首项、末项之和的一半再乘以项数来表示。
设前n项和为Sₙ，则Sₙ = n * (a₁ + aₙ) / 2。
1.3 等差数列的性质等差数列具有以下性质：（1）相邻两项之差相等；（2）任意三项成等差数列；（3）n个连续的自然数之和为n²；（4）若等差数列的和等于某项的积，则这些项必为等差数列。
二、等比数列的性质等比数列是指数列中相邻两项之比固定的数列。
设数列的首项为a₁，公比为q，则它的一般项可表示为aₙ = a₁ * q^(n-1)，其中n为项数。
2.1 等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以通过首项和公比来表示。
假设首项为a₁，公比为q，则等比数列的通项公式为aₙ = a₁ * q^(n-1)。
2.2 等比数列的前n项和等比数列的前n项和可以通过项数和首项、末项之差再除以公比再加1来表示。
设前n项和为Sₙ，则Sₙ = (a₁ * (q^n - 1)) / (q - 1)。
2.3 等比数列的性质等比数列具有以下性质：（1）相邻两项之比相等；（2）任意三项成等比数列；（3）若等比数列的前n项和存在，则当n趋向无穷时，和趋向于无穷；（4）若等比数列的各项均为正数，且和存在，则公比q必定在0到1之间。
三、等差数列与等比数列的应用等差数列与等比数列在数学中有着广泛的应用。
等差数列与等比数列的性质与应用数列是数学中一个重要的概念，它由一系列按特定规律排列的数所组成。
在数列中，等差数列和等比数列是两种常见的形式，它们都有着独特的性质和广泛的应用。
本文将探讨等差数列和等比数列的性质，并介绍其在数学和实际生活中的应用。
一、等差数列的性质与应用等差数列是指数列中相邻两项之差保持相等的数列。
等差数列的通项公式可以用来表示第n项与首项之间的关系，其形式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等差数列的性质如下：1. 公差：等差数列中相邻两项的差称为公差，常用字母d表示。
公差决定了等差数列中每一项之间的差距大小。
2. 前n项和：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn=n(a1+an)/2来计算，其中Sn表示前n项的和，a1为首项，an为第n项。
3. 性质应用：等差数列的性质在数学中有着广泛的应用。
例如，等差数列可以用来求解数字排列问题、时间序列问题等。
此外，在数学类题目中，等差数列也经常用于证明数学关系和推导数学公式。
二、等比数列的性质与应用等比数列是指数列中相邻两项之比保持相等的数列。
等比数列的通项公式可以用来表示第n项与首项之间的关系，其形式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
等比数列的性质如下：1. 公比：等比数列中相邻两项的比称为公比，常用字母r表示。
公比决定了等比数列中每一项与前一项的比值大小。
2. 前n项和：等比数列的前n项和可以通过求和公式Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)来计算，其中Sn表示前n项的和，a1为首项，r为公比。
3. 性质应用：等比数列的性质在数学和实际生活中都有重要应用。
在数学中，等比数列可以用来模拟人口增长、金融投资、质量衰减等问题。
在实际生活中，等比数列的应用更为广泛，例如在经济领域中用于分析利润、销售额、成本等指标的变化规律。
三、等差数列与等比数列的联系与区别等差数列和等比数列都是有序排列的数列，它们之间存在联系与区别。
等差等比数列知识点归纳总结数学中的数列是一系列按照一定规律排列的数的集合。
在数列中，等差数列和等比数列是两种常见的形式。
它们具有一些特定的性质和规律，对于理解数学的推理和应用领域都具有重要意义。
本文将对等差数列和等比数列的知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和运用这些概念。
一、等差数列的概念和性质等差数列是指数列中的相邻两项之差保持恒定的数列。
每一项与它的前一项之差称为等差d。
等差数列通常表示为{a，a + d，a + 2d，...}，其中a是首项，d是公差。
等差数列具有以下性质：1. 公差：等差数列的公差是相邻两项之差，常用字母d表示。
2. 通项公式：等差数列的通项公式可以通过首项和公差来表示。
通项公式为an = a + (n - 1)d，其中an表示第n项，a表示首项，d表示公差。
3. 首项和末项：等差数列的首项为a，末项为an。
4. 求和公式：等差数列的前n项和可以使用求和公式来表示。
求和公式为Sn = (n/2)(a + an)，其中Sn表示前n项和。
5. 通项之和：对于相等间隔的等差数列，任意两项之和都等于首项和末项的和。
二、等比数列的概念和性质等比数列是指数列中的相邻两项之商保持恒定的数列。
每一项与它的前一项之比称为公比r。
等比数列通常表示为{a，ar，ar^2，...}，其中a是首项，r是公比。
等比数列具有以下性质：1. 公比：等比数列的公比是相邻两项之比，常用字母r表示。
2. 通项公式：等比数列的通项公式可以通过首项和公比来表示。
通项公式为an = a * r^(n-1)，其中an表示第n项，a表示首项，r表示公比。
3. 首项和末项：等比数列的首项为a，末项为an。
4. 求和公式：等比数列的前n项和可以使用求和公式来表示。
求和公式为Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n项和。
5. 通项之积：对于相等间隔的等比数列，任意两项之积都等于首项和公比的幂次方之积。
难点 12 等差数列、等比数列的性质运用等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前 n 项和公式的引申. 应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解 决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视.高考中也一直重点考 查这部分内容.●难点磁场 (★★★★★)等差数列{an}的前 n 项的和为 30，前 2m 项的和为 100，求它的前 3m 项的 和为_________. ●案例探究［例 1］已知函数 f(x)= 1 (x<－2). x2 4(1)求 f(x)的反函数 f-－1(x);(2)设 a1=1, 1 =－f－-1(an)(n∈N*),求 an; a n 1(3)设 Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1－Sn 是否存在最小正整数 m,使得对任意 n∈N*,有 bn< m 25成立？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由. 命题意图：本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力，属★★★★★级题目. 知识依托：本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题. 错解分析：本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列{1 an2}为桥梁求an,不易突破.技巧与方法：(2)问由式子 1 an11 an24得1a2 n11 an2=4,构造等差数列{1 an2},从而求得 an,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想.解：(1)设 y=1 ,∵x<－2,∴x=－ x2 441 y2,即 y=f－-1(x)=－41 y2(x>0)(2)∵ 1 an141 an2,1 an121 an24，∴{1 an2}是公差为4的等差数列，∵a1=1,1 an2=1 a12+4(n－1)=4n－3,∵an>0,∴an=1 .4n 3(3)bn=Sn+1－Sn=an+12= 1 ,由 bn< m ,得 m> 25 ,4n 1254n 1设 g(n)= 25 ,∵g(n)= 25 在 n∈N*上是减函数，4n 14n 1∴g(n)的最大值是 g(1)=5,∴m>5,存在最小正整数 m=6,使对任意 n∈N*有 bn< m 成立. 25［例 2］设等比数列{an}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和 的 4 倍，且第二项与第四项的积是第 3 项与第 4 项和的 9 倍，问数列{lgan}的前多少项和最 大？(lg2=0.3,lg3=0.4)命题意图：本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力.属★★★★★级题目.知识依托：本题须利用等比数列通项公式、前 n 项和公式合理转化条件，求出 an;进而 利用对数的运算性质明确数列{lgan}为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解.错解分析：题设条件中既有和的关系，又有项的关系，条件的正确转化是关键，计算易出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方.技巧与方法：突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前 n 项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列 Sn 是 n 的二次函数，也可由函数解析式求最值. 解法一：设公比为 q,项数为 2m,m∈N*,依题意有 a1 (q2m 1) q 1a1q (q2m 1) q2 1(a1q) (a1q3 ) 9(a1q2 a1q3 )化简得 4q q 11a1q2 9(1 q),解得q1 3.a1 108设数列{lgan}前 n 项和为 Sn,则 Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn－1=lga1n·q1+2+…+(n－1)=nlga1+ 1 n(n－1)·lgq=n(2lg2+lg3)－ 1 n(n－1)lg322=(－ lg 3 )·n2+(2lg2+ 7 lg3)·n222lg 2 7 lg 3可见，当 n=2 时，Sn 最大.lg 3而2 lg27 2lg340.3 70.4=5,故{lgan}的前5项和最大.lg 32 0.4解法二：接前，a1 108 1,于是lgan=lg［108(1)n－1］=lg108+(n－1)lg1,q 333∴数列{lgan}是以 lg108 为首项，以 lg 1 为公差的等差数列，令 lgan≥0,得 2lg2－(n－4)lg3 3≥0,∴n≤ 2lg 2 4lg 3 2 0.3 4 0.4 =5.5.lg 30.4由于 n∈N*,可见数列{lgan}的前 5 项和最大. ●锦囊妙计1.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题的既快捷又方便的工具，应有意识去应用.2.在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.3.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)等比数列{an}的首项 a1=－1,前 n 项和为 Sn,若 S10 31 ，则 lim Sn 等于S5 32n()A.2B. 2C.2D.－233二、填空题2.(★★★★)已知 a,b,a+b 成等差数列，a,b,ab 成等比数列，且 0<logm(ab)<1,则 m 的取值 范围是_________.3.(★★★★)等差数列{an}共有 2n+1 项，其中奇数项之和为 319，偶数项之和为 290， 则其中间项为_________.4.(★★★★)已知 a、b、c 成等比数列，如果 a、x、b 和 b、y、c 都成等差数列，则a c =_________. xy三、解答题5.(★★★★★)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差 d 的取值范围；(2)指出 S1、S2、…、S12 中哪一个值最大，并说明理由. 6.(★★★★★)已知数列{an}为等差数列，公差 d≠0,由{an}中的部分项组成的数列a b1 ,a b2 ,…,a bn ,…为等比数列，其中 b1=1,b2=5,b3=17.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)记Tn=C1 nb1+C2 nb2+C3 nb3+…+Cn nbn,求limn4nTn bn.7.(★★★★)设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1=b1=1,a2+a4=b3,b2·b4=a3,分别求出 {an}及{bn}的前 n 项和 S10 及 T10.8.(★★★★★){an}为等差数列，公差 d≠0,an≠0,(n∈N*),且 akx2+2ak+1x+ak+2=0(k∈N*) (1)求证：当 k 取不同自然数时，此方程有公共根；(2)若方程不同的根依次为 x1,x2,…,xn,…,求证：数列 1 , 1 , , 1 为等差数列. x1 1 x2 1 xn 1参考答案难点磁场解法一：将 Sm=30,S2m=100 代入 Sn=na1+ n(n 1) d,得： 2ma1m(m 1) 2d30① 2ma12m(2m 2 1)d100②解得 d40 m2, a110 m20 m2, S3m3ma13m(3m 2 1)d210解法二：由S3m3ma13m(3m 2 1)d3m[a1(3m 1)d 2]知，要求S3m只需求m［a1+ (3m 1)d ］,将②－①得 ma1+ m(3m 1) d=70,∴S3m=210.22解法三：由等差数列{an}的前 n 项和公式知，Sn 是关于 n 的二次函数，即 Sn=An2+Bn(A、B 是常数）.将 Sm=30,S2m=100 代入，得Am 2 Bm 30 A(2m)2B2m100 AB 20 m2 10 m,∴S3m=A·(3m)2+B·3m=210解 法 四 ： S3m=S2m+a2m+1+a2m+2+ … +a3m=S2m+(a1+2md)+ … +(am+2md)=S2m+(a1+ …+am)+m·2md=S2m+Sm+2m2d.由解法一知d=40 m2,代入得S3m=210.解法五：根据等差数列性质知：Sm,S2m－Sm,S3m－S2m 也成等差数列，从而有：2(S2m－Sm)=Sm+(S3m－S2m)∴S3m=3(S2m－Sm)=210解法六：∵Sn=na1+ n(n 1) d, 2∴ Sn =a1+ n(n 1) dn2∴点(n, Sn )是直线 y= (x 1)d +a1 上的一串点，由三点(m, Sm ),(2m, S2m ),(3m, S3m )n2m2m3m共线，易得 S3m=3(S2m－Sm)=210.解法七：令 m=1 得 S1=30，S2=100，得 a1=30,a1+a2=100,∴a1=30,a2=70∴a3=70+(70－30)=110∴S3=a1+a2+a3=210答案：210歼灭难点训练一、1.解析：利用等比数列和的性质.依题意， S10 31 ，而 a1=－1,故 q≠1, S5 32∴ S10 S5 31 32 1 ,根据等比数列性质知 S5，S10－S5，S15－S10,…,也成等比数S53232列，且它的公比为 q5,∴q5=－ 1 ,即 q=－ 1 .322∴lim Snn a1 1 q2. 3答案：B 二、2.解析：解出 a、b,解对数不等式即可. 答案：(－∞,8)3.解析：利用 S 奇/S 偶= n 1 得解. n答案：第 11 项 a11=29 4.解法一：赋值法. 解法二：b=aq,c=aq2,x= 1 (a+b)= 1 a(1+q),y= 1 (b+c)= 1 aq(1+q),2222a c xy=ay cx xy1 2a2q(1 q) 1 a2q2 (1 21 a2q(1 q2 )q)=2.4答案：2a3 a1 2d 12,三、5.(1)解：依题意有：S12 12a11211 d 20S13 13a113 12 2d0解之得公差 d 的取值范围为－ 24 ＜d＜－3. 7(2)解法一：由 d＜0 可知 a1>a2>a3>…>a12>a13,因此，在 S1，S2，…，S12 中 Sk 为最大值的条件为：ak≥0且ak+1＜0,即a3 a3 (k (k 3)d 2)d 0 0∵a3=12,∴kd kd 3d 2d 12 12，∵d＜0,∴2－12 d＜k≤3－12 d∵－ 24 ＜d＜－3,∴ 7 ＜－ 12 ＜4,得 5.5＜k＜7.72d因为 k 是正整数，所以 k=6,即在 S1，S2，…，S12 中，S6 最大.解法二：由 d＜0 得 a1>a2>…>a12>a13，因此，若在 1≤k≤12 中有自然数 k,使得 ak≥0,且 ak+1＜0,则 Sk 是 S1，S2，…，S12 中的最大值.由等差数列性质得，当 m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q 时，am+an=ap+aq.所以有：2a7=a1+a13= 2 S13＜0,∴a7＜0,a7+a6=a1+a12= 1 S12>0,∴a6136≥－a7>0,故在 S1，S2，…，S12 中 S6 最大.解法三：依题意得：Snna1n 2(n 1)dn(122d )d 2(n2n) d [n 1 (5 24)]2 d (5 24)2 , d 0,[n 1 (5 24)]2 最小时，Sn 最大；22 d 8 d2d∵－ 24 ＜d＜－3,∴6＜ 1 (5－ 24 )＜6.5.从而，在正整数中，当 n=6 时，［n－ 1 (5－ 24 )］72d2d2 最小，所以 S6 最大. 点评：该题的第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易.第(2)问难度较高，为求{Sn}中的最大值 Sk,1≤k≤12,思路之一是知道 Sk 为最大值的充要条件是 ak≥0 且 ak+1＜0，思路之三是可视 Sn 为 n 的二次函数，借助配方法可求解.它考查了等价转化的数 学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点.而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解.6.解：(1)由题意知 a52=a1·a17，即(a1+4d)2=a1(a1+16d) a1d=2d2,∵d≠0,∴a1=2d,数列{ abn}的公比q=a5 a1a1 4d a1=3,∴ abn =a1·3n－1①又abn=a1+(bn－1)d=bn 21a1②由①②得 a1·3n－1= bn 1 ·a1.∵a1=2d≠0,∴bn=2·3n－1－1. 2(2)Tn=C1 nb1+C2 nb2+ …+Cn nbn=C1 n(2 · 30 － 1)+C2 n·(2·31 －1)+…+Cn n(2 · 3n －1－1)=2 3(C1 n+C2 n·32+…+Cn n·3n)－(C1 n+C2 n+…+Cn n)=2［(1+3)n－1］－(2n－1)= 32 ·4n－2n+ 1 ,33limn4nTn bn2 4n 2n 12 (1)n 1 (1)nlimn3 4n2 3n13 1lim 3 n 1 123 ( 3 )n1 4 (1)n2. 32447.解：∵{an}为等差数列，{bn}为等比数列，∴a2+a4=2a3,b2·b4=b32, 已知 a2+a4=b3,b2·b4=a3,∴b3=2a3,a3=b32, 得 b3=2b32,∵b3≠0,∴b3= 1 ,a3= 1 .24由 a1=1,a3= 1 ，知{an}的公差 d=－ 3 ,48∴S10=10a1+ 10 9 d=－ 55 .28由 b1=1,b3= 1 ,知{bn}的公比 q= 2 或 q=－ 2 ,222当q 2 2时,T10b1(1 1q10 ) q31 32(22 );当q 2 2时,T10b1(1 1q10 ) q31 32(22 ).8.证明：(1）∵{an}是等差数列，∴2ak+1=ak+ak+2,故方程 akx2+2ak+1x+ak+2=0 可变为(akx+ak+2)(x+1)=0, ∴当 k 取不同自然数时，原方程有一个公共根－1.(2）原方程不同的根为 xk= ak2 ak 2d 1 2dakakak 1 ak , xk 1 2d 1 1 ak1 ( ak ) ak ak1 d 1 (常数)xk1 1 xk 1 2d2d2d2d 2{ 1 }是以 1 为公差的等差数列 .xk 12。
