高考数学模拟试卷分章精编-圆锥曲线2

圆锥曲线0223、已知抛物线24y x =的焦点与圆2240x y mx ++-=的圆心重合，则m 的值是 【答案】2-【解析】抛物线的焦点坐标为(1,0)。

圆的标准方程为222()424m m x y ++=+，所以圆心坐标为(,0)2m -，所以由12m-=得2m =-。

24、双曲线2213x y -=的两条渐近线的夹角的大小等于_______ 【答案】3π【 解析】双曲线的渐近线为3y x =±。

3y x =的倾斜角为6π，所以两条渐近线的夹角为263ππ⨯=。

25、设点P 在曲线22y x =+上，点Q 在曲线y =PQ 的最小值为_______【答案】427 【 解析】在第一象限内，曲线22+=x y 与曲线2-=x y 关于直线y =x 对称，设P 到直线y =x 的距离为d ，则|PQ |=2d ，故只要求d 的最小值d =2)(2|2|2||472212+--+-==x x x x y ，当12x =时，d min ,所以|PQ |min4=26、若双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线过点P (1, 2)，则b 的值为_________．【答案】4【 解析】双曲线的渐近线方程为2by x =±，因为点P (1, 2)在第一象限，所以点P (1, 2)在渐近线2b y x =上，所以有22b=，所以4b =。

27、已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m (m >0)到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点在直线MF 上的射影为点P ，则点P 的坐标为 ． 【答案】6448(,)2525【 解析】抛物线的焦点坐标(,0)2p F ，准线方程为2p x =-。

因为1()52pMF =--=，所以解得8p =。

所以抛物线方程为216y x =，即216m =，所以4m =。

即(1,4)M ，则直线MF 的方程为43160x y +-=，斜率为43-。

高考数学模拟试题分类汇编：圆锥曲线三、解答题(第二部分)26、(某某省某某一中高2008届第一次模拟检测)已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的离心率为36，过右焦点F 且斜率为1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，N 为弦AB 的中点。

（1）求直线ON （O 为坐标原点）的斜率K ON ；（2）对于椭圆C 上任意一点M ，试证：总存在角θ（θ∈R ）使等式：OM ＝cos θOA ＋sin θOB 成立。

解：(1）设椭圆的焦距为2c ,因为36=a c ，所以有32222=-ab a ，故有223b a =。

从而椭圆C 的方程可化为：22233b y x =+①………2分 易知右焦点F 的坐标为（0,2b ）， 据题意有AB 所在的直线方程为：b x y 2-=②………3分由①，②有：0326422=+-b bx x ③设),(),,(2211y x B y x A ，弦AB 的中点),(00y x N ，由③及韦达定理有：.422,423200210b b x y b x x x -=-==+=所以3100-==x y K ON ，即为所求。

………5分 (2）显然OA 与OB 可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM ，有且只有一对实数μλ,，使得等式OB OA OM μλ+=成立。

设),(y x M ，由1）中各点的坐标有：),(),(),(2211y x y x y x μλ+=，所以2121,y y y x x x μλμλ+=+=。

………7分又点在椭圆C 上，所以有22212213)(3)(b y y x x =+++μλμλ整理为2212122222212123)3(2)3()3(b y y x x y x y x =+++++λμμλ。

④由③有：43,22322121b x x b x x =⋅=+。

所以 06936)(234)2)(2(332222212*********=+-=++-=--+=+b b b b x x b x x b x b x x x y y x x ⑤又A ﹑B 在椭圆上，故有22222221213)3(,3)3(b y x b y x =+=+⑥将⑤，⑥代入④可得：122=+μλ。

卜人入州八九几市潮王学校圆锥曲线三、解答题(第二局部)41、(·理科)动点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，且满足|AB|=2，点P 在线段AB 上，且).(是不为零的常数t PB t AP =设点P 的轨迹方程为c 。

〔1〕求点P 的轨迹方程C ；〔2〕假设t=2，点M 、N 是C 上关于原点对称的两个动点〔M 、N 不在坐标轴上〕，点Q坐标为),3,23(求△QMN 的面积S 的最大值。

(解)〔1〕设),(),,0(),0,(y x P b B a A〔2〕t=2时，11694922=+y x C 为…………5分 42、(·理科)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，两点M 〔1，—3〕、N 〔5，1〕，假设动点C 满足x y C t ON t OM t OC 4),()1(2=∈-+=的轨迹与抛物线且点R 交于A 、B 两点。

〔I 〕求证：OB OA⊥；〔II 〕在x 轴上是否存在一点)0)(0,(≠mm P ，使得过点P 的直线l 交抛物线x y 42=于D 、E 两点，并以线段DE 为直径的圆都过原点。

假设存在，恳求出m 的值及圆心M 的轨迹方程；假设不存在，请说明理由。

(解)〔I 〕解：由.),()1(NM t NC t ON t OM t OC =∈-+=得R知点C 的轨迹是过M ，N 两点的直线，故点C 的轨迹方程是： 〔II 〕解：假设存在x y l P mm P 4),0)(0,(2=≠交抛物线的直线使得过点于D 、E 两点，并以线段DE 为直径的圆都过原点。

设).,(),,(2211y x E y x D 由题意，直线l 的斜率不为零， 所以，可设直线l 的方程为.m ky x+=代入.044,422=--=m ky y x y 得…………7分此时，以DE 为直径的圆都过原点。

…………10分 设弦DE 的中点为).(21),(21),,(2121y y y x x xy x M +=+=则 43、(一中·理科)椭圆的一个顶点为A 〔0，-1〕，焦点在x 轴上．假设右焦点到直线022=+-y x 的间隔为3．（1）求椭圆的方程，（2）设椭圆与直线)0(≠+=k m kx y 相交于不同的两点M 、N ．当AN AM =时，求m 的取值范围．(解)〔1〕依题意可设椭圆方程为1222=+y ax ，那么右焦点F 〔0,12-a 〕由题设322212=+-a 解得32=a 故所求椭圆的方程为1322=+y x〔2〕设P 为弦MN 的中点，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x m kx y 得0)1(36)13(222=-+++m mkx x k 由于直线与椭圆有两个交点，,0>∆∴即1322+<k m ①13322+-=+=∴k mk x x x N M p 从而132+=+=k mm kx y p p mkk m x y k pp Ap 31312++-=+=∴又MN AP AN AM ⊥∴=,，那么kmk k m 13132-=++-即1322+=k m ②把②代入①得22m m>解得20<<m 由②得03122>-=m k 解得 21>m ． 故所求m 的取范围是〔2,21〕．44、(梁寨08－09高三年级调研考试)菱形ABCD 的顶点A C ，在椭圆2234xy +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1．〔Ⅰ〕当直线BD 过点(01)，时，求直线AC 的方程；〔Ⅱ〕当60ABC∠=时，求菱形ABCD 面积的最大值．解：〔Ⅰ〕由题意得直线BD 的方程为1y x =+．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥．于是可设直线AC 的方程为y x n =-+．由2234x y y x n⎧+=⎨=-+⎩，得2246340x nx n -+-=． 因为A C ，在椭圆上，所以212640n ∆=-+>，解得n <<．设A C ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，， 那么1232nx x +=，212344n x x -=，11y x n =-+，22y x n =-+．所以122ny y +=．所以AC 的中点坐标为344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，．由四边形ABCD 为菱形可知，点344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，在直线1y x =+上，所以3144n n =+，解得2n =-． 所以直线AC 的方程为2y x =--，即20x y ++=．〔Ⅱ〕因为四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=，所以AB BC CA ==．所以菱形ABCD 的面积2S =． 由〔Ⅰ〕可得22221212316()()2n AC x x y y -+=-+-=，所以2316)433S n n ⎛=-+-<< ⎝⎭． 45、(潮南区08－09第一学期期末高三级质检)椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F 〔c,0〕〔c>0〕的准线 〔准线方程x ＝2a c±,其中a 为长半轴，c 为半焦距〕与x 轴交于点A ，FA OF 2=，过点A 的直线与椭圆相交于点P 、Q 。

20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：圆锥曲线综合（二） 班级学号姓名一、目标要点：掌握求曲线方程的常用方法：直接法、定义法、转移法、参数法等。

二、目标训练：1.在直角坐标系中，和两坐标轴都相切的圆的圆心轨迹方程是( )(A)y=x (B)y=|x|(x≠0) (C)x 2-y 2=0 (D)x 2-y 2=0(x≠0)2.如果点(a,b)在曲线y=x 2+3x+1上,那么点(a+1,b+2)所在的曲线方程是( )(A)y=x 2+5x+3 (B)y=x 2+x-3 (C)y=x 2+x+1 (D)y=x 2-x+1 3．过椭圆22194x y +=内一点P (1, 0)作动弦AB ，则AB 的中点M 的轨迹方程是 ( )（A ）4x 2+9y 2－4x =0（B ）4x 2+9y 2+4x =0 （C ）4x 2+9y 2－4y =0 （D ）4x 2+9y 2+4y =04．过点A (2, 1)的直线与双曲线2x 2－y 2=2交于P , Q 两点，则线段PQ 中点M 的轨迹方程是( )（A ）2x 2－y 2－4x +y =0（B ）2x 2－y 2+4x +y =0（C ）2x 2－y 2+4x －y =0（D ）2x 2－y 2－4x －y =05．过抛物线y 2=4x 的顶点O 的两弦OA , OB 互相垂直，则AB 中点M 的轨迹方程是( )（A ）y 2=2x （B ）y 2=2x +4（C ）y 2=2x －4（D ）y 2=2(x －4)6．已知点F (41, 0)，直线l : x =－41，点B 是l 上的动点，若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线相交于点M ，则点M 的轨迹是 （ ）（A ）双曲线 （B ）椭圆 （C ）圆 （D ）抛物线7．若将曲线y=f （x ）向左平移，使原曲线上的点P （2，3）变为P ′（1，3），则这时曲线的方程变为（ ）(A) y=f(x)+1 (B) y=f(x)-1 (C) y=f(x+1) (D)y=f(x-1)8．已知双曲线过坐标原点O ，它的一个焦点是F (4, 0)，实轴长为2，则它的中心的轨迹方程是 ()（A ）(x －2)2+y 2=9 (x ≠5)（B ）(x －2)2+y 2=1 (x ≠3)（C ）(x －2)2+y 2=9或(x －2)2+y 2=1（D ）(x －2)2+y 2=9(x ≠5)或(x －2)2+y 2=1(x ≠3)9．过原点的椭圆的一个焦点为F (1, 0)，其长轴长为4，则另一个焦点的轨迹方程是( )（A ）x 2+y 2=9 （B ）x 2+y 2=9(x ≠－3)（C ）x 2+y 2=9(x ≠3)（D ）x 2+y 2=9(x ≠±3)10．已知△ABC 两顶点坐标分别为A(－2,0)、B(0,－2),第三个顶点C 在曲线y=3x 2－1上移动, 则△ABC 重心的轨迹方程为________。

高考数学总复习：圆锥曲线2（含答案）1．（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，右焦点F 也是抛物线24y x=的焦点． （1）求椭圆方程；（2）若直线l 与C 相交于A 、B 两点． ①若2AF FB =u u u r u u u r，求直线l 的方程；②若动点P 满足OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，问动点P 的轨迹能否与椭圆C 存在公共点？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．2．（12分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，右准线l 交x 轴于点A ，且122AF AF =u u u r u u u u r．（Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）过1F 、2F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点（如图所示），试求四边形DMEN 面积的最大值．3．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e ，左、右焦点分别为1F 、2F ，点P ，点2F 在线段1PF 的中垂线上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于M 、N 两点，直线2F M 与2F N 的倾斜角分别为α，β，且αβπ+=，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．4．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e ，点F 为椭圆的右焦点，点A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，点M 为椭圆的上顶点，且满足1MF FB =u u u u r u u u rg ．（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线l ，当直线l 交椭圆于P 、Q 两点时，使点F 恰为PQM ∆的垂心．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．5．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，且短轴长为2．（1）求椭圆的方程；（2）若与两坐标轴都不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且23OA OB =u u u r u u u r g ，23AOB S ∆=，求直线l 的方程．参考答案1.解：（1）根据(1,0)F ，即1c =，据c a=得a =b =， 所以所求的椭圆方程是22132x y +=．（2）①当直线l 的斜率为0时，检验知2AF FB ≠u u u r u u u r．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．， 根据2AF FB =u u u r u u u r得1(1x -，12)2(1y x -=-，2)y 得122y y =-．设直线:1l x my =+，代入椭圆方程得22(23)440m y my ++-=， 故12122244,2323m y y y y m m +=-=-++，得1222842323m my y m m =-=++， 代入122423y y m =-+得222844()()232323m m m m m -=-+++，即228123m m =+，解得m =l 的方程是1x y =+． ②问题等价于是不是在椭圆上存在点P 使得OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r成立．当直线l 是斜率为0时，可以验证不存在这样的点， 故设直线方程为:1l x my =+．用①的设法，点P 点的坐标为12(x x +，12)y y +， 若点P 在椭圆C 上，则221212()()132x x y y +++=，即22221122112222132x x x x y y y y +++++=，又点A ，B 在椭圆上，故222211221,13232x y x y +=+=，上式即12122103x xy y ++=，即12122330x x y y ++=，由①知222212121212222448(1)(1)()111232323m m m x x my my m y y m y y m m m =++=+++=--+=-++++， 代入12122330x x y y ++=得22216122302323m m m -+-+=++，解得212m =，即m =当m =122423m y y m +=-=+121213()2222x x m y y +=++=-+=；当m =122423m y y m +=-+，121213()2222x x m y y +=++=-+=． 故C上存在点3(,2P 使OP OA OB =+成立，即动点P 的轨迹与椭圆C 存在公共点，公共点的坐标是3(,2．2.解：（Ⅰ）由题意，12||22F F c ==u u u u r，2(A a ∴，0)， Q 1222AF AF F =∴u u u r u u u u r为1AF 的中点23a ∴=，22b =即椭圆方程为22132x y +=．（Ⅱ）当直线DE 与x轴垂直时，2||2b DE a ==，此时||2MN a ==，四边形DMEN 的面积为||||42DE MN =g ． 同理当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积为||||42DE MN =g ． 当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，设:(1)DE y k x =+，代入椭圆方程，消去y 得：2222(23)6(36)0k x k x k +++-=．设1(D x ，1)y ，2(E x ，2)y ，则212221226233623k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以，12||x x -所以，12|||DE x x =-=，同理，222211)1)1)||1323()2k k MN k k-++==+-+． 所以，四边形的面积222222113(1)24(2)||||1312226()13k DE MN k k S k k k+++===+++g g ，令221u k k =+，得24(2)44136136u S u u +==-++ 因为2212u k k =+…， 当1k =±时，962,25u S ==，且S 是以u 为自变量的增函数， 所以96425S <„． 综上可知，96425S 剟．即四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为9625．3.解：（1）由椭圆C的离心率e得c a =c ， 椭圆C 的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c 又点2F 在线段1PF 的中垂线上 122||||F F PF ∴=，∴222(2)(2)c c =+-解得1c =，22a =，21b =，∴2212x y +=椭圆的方程为．（2）由题意，知直线MN 存在斜率，设其方程为y kx m =+．由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得222(21)4220k x kmx m +++-=．设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则△222(4)4(21)(22)0km k m =-+-… 即22210k m -+…则2121222422,2121km m x x x x k k -+=-=++，且221212,11F M F N kx m kx m k k x x ++==-- 由已知αβπ+=，得2212120,011F M F N kx m kx m k k x x +++=+=--即． 化简，得12122()()20kx x m k x x m +-+-=∴222224()2202121m km m k k m k k ----=++g 整理得2m k =-． ∴直线MN 的方程为(2)y k x =-，因此直线MN 过定点，该定点的坐标为(2,0)4.解：（1）根据题意得，(,0)F c ，(,0)A a -，(,0)B a ，(0,)M b∴(,),(,0)MF c b FB a c =-=-u u u u r u u u r∴21MF FB ac c =-=-u u u u r u u u rg （2分）又c e a ==∴a∴221c -=21c ∴=，22a =，21b =∴椭圆C 的方程为2212x y +=．（4分） （2）假设存在直线l 满足条件，使F 是三角形MPQ 的垂心． 因为1MF K =-，且FM l ⊥， 所以11k =，所以设PQ 直线y x m =+， 且设1(P x ，1)y ，2()Q x ，2y 由2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y ，得2234220x mx m ++-=△221612(22)0m m =-->，2212124223,33m m m x x x x -<+=-=． 22222121212122242()()()333m m m y y x m x m x x m x x m m --=++=+++=-+=．（8分） 又F 为MPQ ∆的垂心， PF MQ ∴⊥，∴0PF MQ =u u u r u u u u rg又1122(1,),(,1)PF x y MQ x y --=-u u u r u u u u r∴2221121221121242220333m m PF MQ x y x x y y x x m x x y y m m --=+--=++--=-+--=u u u r u u u u r g ∴24033m m --+=， ∴24340,,13m m m m +-==-=（10分）经检验满足23m <（11分）∴存在满足条件直线l 方程为：10x y -+=，3340x y --=（12分）10x y -+=Q 过M 点 即MP 重合 不构成三角形，3340x y ∴--=满足题意．5.解：（1）短轴长22b =，1b =，ce a ==又222a b c =+，所以1a c ==，所以椭圆的方程为2212x y +=（2）设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，222)22y kx my x y =+⎧⎨+=⎩， 消去y 得，1222222122412(12)42202212mk x x k k x mkx m m x x k -⎧+=⎪⎪++++-=⎨-⎪=⎪+⎩g ，121223OA OB x x y y =+=u u u r u u u r g 即2223222123m k k --=+即2212129108||||23AOBm k S m x x ∆=+=-== 即222229(12)(12)m k m k +-=+ 22222229(12)(12)9108m k m k m k ⎧+-=+⎨=+⎩， 解得21k =，22m =，所以y x =±±。

高考数学模拟题汇编《圆锥曲线》专项练习题-带答案一 单选题1．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知点F 是双曲线2219y x -=的左焦点 点P 是双曲线上在第一象限内的一点 点Q 是双曲线渐近线上的动点 则PF PQ +的最小值为（ ） A ．8B ．5C ．3D ．22．（23-24高三上·辽宁大连·期末）已知曲线“()()22:log 2024log 20241a b C x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的一个充分非必要条件是（ ） A ．0a b << B ．1a b << C ．32a b << D ．1b a <<3．（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）已知双曲线22:124x y C -=的左 右焦点分别为1F 2F .过2F 作其中一条渐近线的垂线 垂足为P 则1PF =（ ） A 3B ．3C ．2D ．44．（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）圆锥曲线的发现与研究起源于古希腊 阿波罗尼奥斯（前262-前190）的《圆锥曲线论》全书8篇 共487个命题. 16世纪天文学和物理学揭示了圆锥曲线是自然界物体运动的普遍性形式. 17 18世纪随着射影几何学和解析几何学的创立发展 18世纪40年代瑞士数学家欧拉给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述. 现有圆锥PO '顶点为P 底面圆心为O ' 母线与底面直径的长度相同. 点A 在侧面上 点B 在底面圆周上 MN 为底面直径 二面角A MN B --为30. 已知平面AMN 与圆锥PO '侧面的交线是某椭圆的一部分 则该椭圆的离心率为（ ） A ．22B 3C ．12D 5二 多选题5．（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）直线3x ty =+过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点 且与C 交于M N 两点 则（ ） A ．3p =B ．6pC ．MN 的最小值为6D ．MN 的最小值为126．（23-24高三上·辽宁大连·期末）已知椭圆22:143x y E +=左焦点F 左顶点C 经过F 的直线l 交椭圆于,A B 两点（点A 在第一象限） 则下列说法正确的是（ ）A ．若2AF FB = 则l 的斜率6k =B ．4AF BF +的最小值为274C ．以AF 为直径的圆与圆224x y +=相切D ．若直线,AC BC 的斜率为12,k k 则1294k k ⋅=-7．（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）已知点A B 在双曲线C ：221x y -=上 点()00,M x y 是线段AB 的中点 则（ ）A ．当22001x y ->时 点A B 在双曲线的同一支上B ．当22000x y -<时 点A B 分别在双曲线的两支上C ．存在点A B 使得22000x y -=成立D ．存在点A B 使得220001x y <-<成立三 填空题8．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知F 为拋物线21:4C y x =的焦点 过点F 的直线l 与拋物线C 交于不同的两点A B 拋物线在点,A B 处的切线分别为1l 和2l 若1l 和2l 交于点P 则225||PF AB +的最小值为 .9．（23-24高三上·辽宁大连·期末）如图所示 在圆锥内放入两个球12,O O 它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切 切点圆分别为12,C C .这两个球都与平面α相切 切点分别为12,F F 丹德林（G .Dandelin ）利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆 12,F F 为此椭圆的两个焦点 这两个球也称为G .Dandelin 双球.若圆锥的母线与它的轴的夹角为3012,C C 的半径分别为2 5 点M 为2C 上的一个定点 点P 为椭圆上的一个动点 则从点P 沿圆锥表面到达M 的路线长与线段1PF 的长之和的最小值是 .10．（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）点A 在圆()2232x y -+=上 点B 在抛物线24y x =上 则线段AB 长度的最小值为 . 四 解答题11．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>经过31,,(2,0)2D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点.作斜率为12的直线与椭圆G 交于,A B 两点（A 点在B 的左侧） 且点D 在直线l 上方. (1)求椭圆G 的标准方程(2)证明：DAB 的内切圆的圆心在一条定直线上.12．（23-24高三上·辽宁大连·期末）已知抛物线2:2(0)G x py p =>经过点()2,1 经过点()0,2的直线l 与抛物线G 交,A B 两点 过,A B 两点作抛物线G 的切线相交于点P Q 为线段AB （,A B 两点除外）上一动点 直线PQ 与抛物线G 交,C D 两点.(1)若PAB 的的面积为123 求直线l 方程(2)求证：PC PD CQDQ=.13．（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左 右焦点分别为1F 2F 过点1F 作x 轴的垂线 并与C 交于A B 两点 过点2F 作一条斜率存在且不为0的直线与C 交于M N 两点||3AB = 1F MN △的周长为8.(1)求C 的方程.(2)记1A 2A 分别为C 的左 右顶点 直线1A M 与直线AB 相交于点P 直线2A N 与直线AB 相交于点Q 12PA A △和12QA A △的面积分别为1S 2S 试问12S S 是否为定值？若是 求出该定值 若不是 请说明理由.14．（23-24高三上·辽宁辽阳·期末）在平面直角坐标系xOy 内 已知定点()2,0F 定直线3:2l x = 动点P 到点F 和直线l 的距离的比值为233记动点P 的轨迹为曲线E ． (1)求曲线E 的方程．(2)以曲线E 上一动点M 为切点作E 的切线l ' 若直线l '与直线l 交于点N 试探究以线段MN 为直径的圆是否过x 轴上的定点．若过定点．求出该定点坐标 若不过 请说明理由．15．（23-24高三上·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中 已知点()12,0F - ()22,0F 点P 满足1226PF PF +=. 记P 的轨迹为C . (1)求C 的方程 (2)已知点()3,1A 设点M N 在C 上 且直线MN 不与x 轴垂直 记1k 2k 分别为直线AM AN 的斜率.（ⅰ）对于给定的数值λ（R λ∈且13λ≠） 若12k k λ= 证明：直线MN 经过定点 （ⅱ）记（ⅰ）中的定点为Q 求点Q 的轨迹方程.参考答案：1．B【分析】设右焦点为G 根据双曲线的定义可得2PF PQ PG PQ +=++ 再根据三角形性质结合点到线的距离求解即可. 【详解】设右焦点为()10,0G又由对称性 不妨设Q 在渐近线30x y -=上.根据双曲线的定义可得22PF PQ PG PQ GQ +=++≥+ 当且仅当,,P G Q 三点共线时取等号.又当GQ 与渐近线垂直时取最小值 为22310331GQ ==+ 故PF PQ +最小值为5.故选：B 2．C【分析】若()()22:log 2024log 20241a b C x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆 得出对应a b 关系 结合充分条件与必要条件的性质即可得.【详解】若()()22:log 2024log 20241a b C x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆则有log 20240log 20240log 2024log 2024a b a b >⎧⎪>⎨⎪>⎩ 即11a b a b>⎧⎪>⎨⎪<⎩ 即1a b << 故A D 选项为既不充分也不必要条件 B 选项为充要条件 C 选项为充分非必要条件 故C 选项符合要求. 故选：C. 3．B 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为0ay bx ±= 其中2,2a b == 所以()2,0F c 到0ay bx ±=的距离为22bc b a b=+ 因此2PF b =2OF c = 22PF b == 则()()2222OP F O PF a =-=由222222112212||||022OP OF PF OP OF PF OP OF OP OF +-+-+=⋅⋅得()22221212||2(26)16PF PF OP OF +=+=⨯+= 解得123PF =.故选：B4．B【分析】根据条件 确定椭圆的长轴长和椭圆上一点 求出b 再求c 可得椭圆的离心率.【详解】如图：（图一）为空间几何体的直观图 （图二）为平面POB 截空间几何体的剖面图 （图三）为以椭圆长轴所在直线为x 轴 长轴中垂线为y 轴的平面图形.易得(图二)中线段AD 的长为椭圆长轴长 不妨设圆锥底面半径为2 则4PB =由题意可知PBE △为正三角形 30AOB ︒∠= 60PBO ︒∠=所以PB AD ⊥ 所以1,3AB AO == 所以3AP = 所以332AD a == 所以在（图三）中32N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 将32N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入22221x y a b +=中解得32b = 所以222793422c a b =-- 所以332e 33c a ===. 故选：B 5．BD【分析】先根据题意及直线3x ty =+过定点(3,0)即可判断A B 再根据抛物线的性质知直线垂直于x 轴MN 取得最小值 进而即可判断C D ．【详解】对于A B 由直线3x ty =+与x 轴的交点坐标为(3,0) 则32p 即6p 故A 错误 B 正确对于C D 当直线垂直于x 轴 即0=t 时 MN 取得最小值 且最小值为212p =．故C 错误 D 正确．故选：BD ． 6．BCD【分析】对于A 联立直线l 的方程与椭圆方程 结合韦达定理以及2AF FB =即可验算 对于B 由弦长公式 韦达定理可得1111AF BF +为定值 结合基本不等式之“乘1法”即可判断 对于C 结合椭圆定义以及两点间距离公式即可判断C 对于D 由韦达定理以及斜率公式即可判断 D.【详解】易知：()()121,0,1,0F F - 对于A 若112AF F B = 显然直线1l 的斜率存在且大于0设直线()()11122:1,,,,l x my A x y B x y =- 联立椭圆方程221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简整理得()2234690m y my +--= 显然12122269Δ0,,,3434m y y y y m m ->+==++ 又()()1111221,,1,AF x y F B x y =---=+ 故122y y =-由122122126349342m y y m y y m y y ⎧+=⎪+⎪-⎪=⎨+⎪=-⎪⎪⎩解得245m = 又0k > 故5k = A 错误 对于B 由点A 在x 轴的上方 显然120,0y y ><又2211121,1AF m y BF m y =+=-+2122211121211111AF BF m y m y m y y +=+⋅+⋅+⋅⋅()()()2221122221221214434391134m y y y y m m m y y m +⎡⎤-+-⋅⎣⎦+===++⋅⋅+ 故()111111311444AF BF AF BF AF BF ⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭11111111443327552444BF AF BF AF AF BF AF BF ⎛⎛⎫ =++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝当且仅当11114BF AF AF BF = 即112AF BF =时取等 B 正确对于C 设()11,A x y 1AF 的中点为P 则111,22x y P -⎛⎫⎪⎝⎭又()221211442x AF y OP -=+=由椭圆定义知：21||||222AF AF += 即1||||22AF OP =-又224x y +=的圆心为(0,0)O 半径为2 故以1AF （AF ）为直径的圆与圆224x y +=相切 C 正确对于D 2121212122222698124,,,34343434m m y y y y x x x x m m m m ---++==+==++++ ()()()212122*********934124822244243434AC BCy y y y m k k m x x x x x x m m -+⋅====--+-++++++⋅+++ D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：判断B 选项的关键是首先得出1111AF BF +为定值 判断C 选项的关键是结合椭圆定义以及圆相切的条件 从而即可顺利得解. 7．ABC【分析】分类谈论 对直线AB 是否存在斜率的时候 讨论弦的中点问题.【详解】若直线AB 不存在斜率 设直线方程为：0x x = 代入221x y -=得：2201y x =-当01x >或01x <-时 ()0,0M x 是弦AB 的中线 此时A B 关于x 轴对称 且在双曲线的同一支上22001x y ->若直线AB 存在斜率 设直线方程：()00y y k x x -=-⇒()00y kx y kx =+-代入221x y -=得：()220010x kx y kx ⎡⎤-+--=⎣⎦整理得：()()()22200001210k x k y kx x y kx ------=. 因为直线AB 与双曲线有两个不同的交点 所以：210k -≠且()()()222000024110k y kx k y kx ⎡⎤⎡⎤∆=----+>⎣⎦⎣⎦所以：22220000120k k x kx y y --+-<设()11,A x y ()22,B x y 则()0012221k y kx x x k -+=-由1202x x x +=⇒()0002221k y kx x k -=-⇒00x k y = 所以： 222200000000001?2?·0x x x x x y y y y y ⎛⎫⎛⎫--+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒()()2222000010x y x y ⎡⎤--->⎣⎦ ⇒2200x y -<或22001x y ->.故D 不成立 又()2012211y kx x x k -+=-()22000220y x y x y-+=-当22000x y -<时 120x x < A B 两点分别在双曲线的两支上当22001x y ->时 120x x > A B 两点在双曲线的同一支上.故AB 成立当000x y ==时 ()1,0A - ()1,0B 可使命题成立 故C 正确. 故选：ABC 8．10 【分析】设直线AB 方程为1y kx =+ ()()1122,,,A x y B x y 联立抛物线方程得出韦达定理 再利用导数的几何意义求解,AP BP 方程 联立,AP BP 可得()2,1P k - 再代入225||PF AB+根据基本不等式求解最小值即可. 【详解】2:4C x y =的焦点为()0,1 设直线AB 方程为1y kx =+ ()()1122,,,A x y B x y .联立直线与抛物线方程有2440x kx --= 则()212122444AB y y k x x k =++=++=+.又214y x =求导可得12y x '= 故直线AP 方程为()11112y y x x x -=-.又21114y x =故21111:24AP y x x x =- 同理22211:24BP y x x x =-.联立21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可得()()2212121124x x x x x -=- 解得122x x x += 代入可得1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭代入韦达定理可得()2,1P k - 故244PF k +故()22222252525||44244104444PF k kAB k k +=++≥+⨯=++ 当且仅当22254444k k +=+ 即12k =±时取等号.故答案为：10 【点睛】方法点睛：如图 假设抛物线方程为22(0)x py p => 过抛物线准线2p y =-上一点00(,)P x y 向抛物线引两条切线 切点分别记为,A B 其坐标为1122(,),(,)x y x y . 则以点P 和两切点,A B 围成的三角形PAB 中 有如下的常见结论:结论1.直线AB 过抛物线的焦点F . 结论2.直线AB 的方程为0002()2y yx x pp y y +==+. 结论 3.过F 的直线与抛物线交于,A B 两点 以,A B 分别为切点做两条切线 则这两条切线的交点00(,)P x y 的轨迹即为抛物线的准线. 结论4.PF AB ⊥. 结论5.AP PB ⊥.结论6.直线AB 的中点为M 则PM 平行于抛物线的对称轴. 结论7.2PF AF BF =⋅.9．6【分析】在椭圆上任取一点P 连接VP 交球1O 于Q 交球2O 2C 于点R 根据111O PF O PQ ≌可知1PF PQ = 则1PF d PQ d PQ PR QR +=+≥+= 由此可求得最小值.【详解】解：在椭圆上任取一点P 连接VP 交球1O 于点Q 交球2O 于点R连接111112,,,,O Q O F PO PF O R 在11ΔO PF 与1ΔO PQ 中有： 111O Q O F = （1r 为圆1C 的半径 2r 为圆2C 的半径 ）11190O QP O F P ∠=∠=1O P 为公共边 所以111O PF O PQ ≅ 所以1PF PQ =设点P 沿圆锥表面到达M 的路线长为d 则1PF d PQ d PQ PR QR +=+≥+= 当且仅当P 为直线VM 与椭圆交点时取等号 125261sin302r r QR --=== 所以最小值为6. 故答案为：6.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是证明111O PF O PQ ≅得出 1=PF PQ 从而1PF d PQ d PQ PR QR +=+≥+= 转化为 ,,V P M 三点共线时求QR .102【分析】先求出圆心和半径 再由两点间距离公式和配方法求出即可. 【详解】圆()2232x y -+=的圆心()3,0C 2r =设(,2,0B m m m ≥ 则()()()222min 3221822AB BC r m mm =-=-+=-+211．(1)22143x y +=(2)解析见详解【分析】（1）根据E 点坐标 可知2a = 再将D 点坐标代入椭圆方程 可求b 的值 从而得到椭圆的标准方程.（2）分析出AD BD k k =- 得到ADB ∠的平分线就是过D 点且与x 轴垂直的直线 也就是所求三角形内切圆圆心所在的直线.【详解】（1）因为椭圆焦点在x 轴上 且过点()2,0E 所以2a = 有椭圆过点31,2D ⎛⎫⎪⎝⎭所以219144b+=⇒23b =.故椭圆G ：22143x y +=. （2）如图：设直线AB 的方程为12y x t =+ 联立方程组：2212143y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去y 得： 22134122x x t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭整理得：2230x tx t ++-=.由0∆>得：()22430t t -->⇒24t <.设()11,A x y ()22,B x y 则：12x x t +=- 212·3x x t =-. 又111111313231222·1121ADy x t x t kx x x -+-+-===--- 22231·21BD x t k x +-=-. 因为：AD BD k k +=1212232311··2121x t x t x x +-+-+--()()()()()()1221122312311·211x t x x t x x x +--++--=--()()()()()1212122242231·211x x t x x t x x +-+--=--()()()()2123223011t t t t x x -----==-- 所以：ADB ∠的角平分线为：1x =. 故DAB 的内切圆圆心一定在直线1x =上.【点睛】关键点点睛：把问题转化为证明0AD BD k k += 从而得到ADB ∠的角平分线是定直线 进而说明DAB 的内切圆圆心在直线上.这个转化是关键.12．(1)2y x =±+ (2)证明见解析【分析】（1）由题意设直线AB 方程为2y kx =+ 将该直线的方程与抛物线的方程联立 列出韦达定理 得弦长AB 利用导数求得切线AP 与BP 的方程 得出P 点坐标 计算点P 到直线AB 距离d 由11232PAB S AB d =⨯=△k 的值 可得解 （2）方法一：设()()()003344,,,,,Q x y C x y D x y 设(),,1,1PC CQ PD DQ λμλμ==≠-≠- 可得33,x y 的表达式 代入抛物线方程化简 结合点()00,Q x y 在直线AB 上 求得0λμ+= 即可证得结论.方法二：设()()()3344,,,,,Q Q Q x y C x y D x y 设直线PQ 方程为()()22,y m x k m k +=-≠ 与抛物线方程联立方程组 根据根与系数的关系 结合||,||,||,||PC DQ PD CQ 的表达式 计算可证得出结论． 【详解】（1）已知抛物线2:2(0)G x py p =>经过点()2,1 所以抛物线2:4G x y = 设()()1122,,,A x y B x y 由题意可知直线AB 斜率存在 设直线AB 方程为2y kx =+联立方程组242x yy kx ⎧=⎨=+⎩ 可得2480x kx --= 所以21212Δ16320,4,8k x x k x x =+>+==-所以弦长22212111632AB k x k k +-=++ 12y x '=所以切线AP 方程：()11112y y x x x -=- 即2111124y x x x =-①同理可得切线BP 方程：2221124y x x x =-② 联立①和②方程组21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得：122,22x x x k y +===- 所以()2,2P k - 又因为点P 到直线AB 距离22421k d k+=+所以()232222242111163242123221PABk S AB d k k k k +=⨯=++⨯=+=+△可得21k = 即1k =± 所以直线AB 方程为2y x =±+.（2）方法一：设()()()003344,,,,,Q x y C x y D x y 设(),,1,1PC CQ PD DQ λμλμ==≠-≠-所以()()3303032,2,x k y x x y y λ-+=-- 所以03032121k x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩代入抛物线方程得：()()()2002412k x y λλλ+=+-+化简得()()22200004448480,x y kx y k λλ-+-+++= 同理()()22200004448480x y kx y k μμ-+-+++=即,λμ是方程()()22200004448480x y x kx y x k -+-+++=的两根因为点()00,Q x y 在直线AB 上 即004480kx y -+=所以方程化为()222004480x y x k -++= 可得0λμ+=即PC PD CQDQ=成立.方法二：设()()()3344,,,,,Q Q Q x y C x y D x y由题意知直线PQ 的斜率存在 设直线PQ 方程为：()()22,y m x k m k +=-≠联立方程组()2422x yy m x k ⎧=⎪⎨+=-⎪⎩ 可得24880x mx km -++= ()23434Δ164880,4,88m km x x m x x km =-+>+==+因为22341,1Q PC m k x DQ m x +-=+- 22431,1Q PD m k x CQ m x +-=+-因为()()()()344320,20Q Q k x x x k x x x -->--> 所以||||||||PC DQ PD CQ -222234431111Q Q m k x m x m k x m x =+-+-+-+-()()()23434341422Q m k x x x k x x x x ⎡⎤=+---++⎣⎦()()()()221448164124Q Q m k m x km m k m x km ⎡⎤⎡⎤=+-++=+-++⎣⎦⎣⎦③由两条直线联立：()222y m x k y kx ⎧+=-⎨=+⎩可得24Q km x k m +=-+ 代入③可知()()22441240km PC DQ PD CQ m k m km k m +⎡⎤-=+-++=⎢⎥-+⎣⎦即PC PD CQDQ=成立.13．(1)22143x y +=(2)12S S 是定值 定值为19【分析】（1）根据通径以及焦点三角形的周长即可联立求解,,a b c（2）联立直线与椭圆方程 根据直线方程可得,P Q 坐标 即可由三角形的面积公式化简求解. 【详解】（1）将x c =-代入2222:1(0)x y C a b a b +=>>可得2b y a=± 所以223,48,b aa ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得2a = 3b = 故C 的方程为22143x y += （2）12S S 为定值 定值为19.理由如下：依题可设直线MN 的方程为(1)y k x =- ()11,M x y ()22,N x y联立方程组221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得()22223484120k x k x k +-+-= 则2122834k x x k +=+ 212241234k x x k -=+. 易知1(2,0)A - 2(2,0)A 直线AB 的方程为=1x - 则直线1A M 的方程为()1122y y x x =++ 令=1x - 得()1111122P k x y y x x -==++ 同理可得()222231322Q k x y y x x ---==--.()()()()()()1112111212212112122212122211312322312k x x x x PF S x x x x S QF x x x x x x k x x -+----+====-+-+----()()2121212121212112462111341218323239334k x x x x x x k k x x x x x x k ---+-++===-++---+. 故12S S 为定值 且该定值为19.14．(1)2213x y -=(2)定点(2,0)T 理由见解析【分析】（1）设点(,)P x y 是所求轨迹E 上的任意一点 根据题意 列出方程 即可求解 （2）设l '的方程为y mx n =+ 联立方程组 根据Δ0= 求得22130n m +-= 得到3mx n=- 求得31(,)m M n n -- 再联立两直线 求得33(,)22N m n + 设(,0)T t 结合0TM TN ⋅=恒成立 化简得到(2)(26)0t nt n m -++=恒成立 求得t 的值 即可求解.【详解】（1）解：设点(,)P x y 是所求轨迹E 上的任意一点 因为定点()2,0F 定直线l ：32x =动点P 到点F 和直线l 2322(2)2332x y x -+=- 化简得2213x y -=所以曲线E 的方程为2213x y -=.（2）解：因为直线l '与l 相交 所以l '的斜率存在 可设l '的方程为y mx n =+ 联立方程组2213y mx n x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ 整理得222(13)6330m x mnx n ----=则222(6)4(13)(33)0mn m n ∆=-----= 可得22130n m +-=即2213m n -=-且2213n m += 所以222690n x mnx m ---= 即2(3)0nx m += 所以3m x n =-则222331m n m y mx n n n n n-=+=-+==- 所以31(,)m M n n --联立方程组32y mx nx =+⎧⎪⎨=⎪⎩解得32y m n =+ 即33(,)22N m n + 假设以线段MN 为直径的圆过x 轴上一定点 设为(,0)T t 则TM TN ⊥ 所以0TM TN ⋅=恒成立 即3133,,022m t t m n n n ⎛⎫⎛⎫---⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得3313()()()()022m t t m n n n ---+-+= 即2933310222m m m t t t n n n-+-+--= 整理得29632320m mt nt nt m n -+-+--=即22326120nt nt n mt m --+-= 即(2)(26)0t nt n m -++=恒成立 要使得(2)(26)0t nt n m -++=恒成立 则2t = 所以恒过定点(2,0)T 即以线段MN 为直径的圆过x 轴上一定点(2,0)T .【点睛】方法总结：解答圆锥曲线的定点 定值问题的策略：1 参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量 即确定题目中核心变量（通常为变量k ） ②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系 得到关于k 与,x y 的等式 再研究变化量与参数何时没有关系 得出定点的坐标2 由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时 常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点 再证明该定点与变量无关. 15．(1)22162x y +=(2)（ⅰ）证明见解析 （ⅱ）3y =（除去点(3,1)-）【分析】（1）根据椭圆的定义 写出点P 的轨迹方程（2）设直线MN 的方程 与椭圆方程联立 得2631M N km x x k +=-+ 223631M N m x x k -=+ 用k 表示m 可得直线所过定点 消去定点中的参数 得Q 点的轨迹方程.【详解】（1）因为121226PF PF F F +=>所以P 的轨迹是以1F 2F 为焦点的椭圆 设方程为22221x ya b+=(0)a b >>则226a = 2c = 222a c b -= 所以26a = 22b = C 的方程为22162x y +=.（2）设直线MN 的方程为：y kx m =+ 31k m +≠点M N 满足22162x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩即M x N x 满足222(31)6360k x kmx m +++-= 则2222364(31)(36)0k m k m -+-> 且2631M N km x x k +=-+ 223631M N m x x k -=+. （ⅰ3133(3)(3)3(31)N M N M M N M N k m x x x x k m -+==----++所以12313(31)k m k k k m λ-+==++ 得31(31)31m k λλ+=-+- 直线MN 的方程为：313131(31)(3)313131y kx k k x λλλλλλ+++=-+=---- 所以直线过定点3131(3)3131λλλλ++---. （ⅱ）由313313131Q Q x y λλλλ+⎧=⎪⎪-⎨+⎪=-⎪-⎩得3Q Q y x =（其中3Q x ≠ 所以点Q 的轨迹方程为直线3y x =（除去点(3,1)-）. 【点睛】关键点睛：设直线MN 的方程为：y kx m =+ 因为要证明过定点 所以需要建立m 和k 之间的关系式 在方程中消去一个 可得直线所过定点.。

圆锥曲线高考真题模拟1. （2010上海文数）23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知椭圆Γ的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，(0,)A b 、(0,)B b -和(,0)Q a 为Γ的三个顶点.（1）若点M 满足1()2AM AQ AB =+，求点M 的坐标；（2）设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线22:l y k x =于点E .若2122b k k a⋅=-，证明：E 为CD 的中点；（3）设点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，如何构作过PQ 中点F 的直线l ，使得l 与椭圆Γ的两个交点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=12PP PP PQ +=？令10a =，5b =，点P 的坐标是（-8，-1），若椭圆Γ上的点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=，求点1P 、2P 的坐标. 解析：(1) (,)22a b M -；(2) 由方程组122221y k x px y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得方程2222222211()2()0a k b x a k px a p b +++-=，因为直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点， 所以>0，即222210a k b p +->，设C (x 1,y 1)、D (x 2,y 2)，CD 中点坐标为(x 0,y 0)，则212102221201022212x x a k px a k b b py k x p a k b ⎧+==-⎪+⎪⎨⎪=+=⎪+⎩，由方程组12y k x py k x =+⎧⎨=⎩，消y 得方程(k 2k 1)x p ，又因为2221b k a k =-，所以2102222112202221a k p px x k k a k b b p y k x y a k b ⎧==-=⎪-+⎪⎨⎪===⎪+⎩， 故E 为CD 的中点；(3) 因为点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，所以点F 在椭圆Γ内，可以求得直线OF 的斜率k 2，由12PP PP PQ +=知F 为P 1P 2的中点，根据(2)可得直线l的斜率2122b k a k =-，从而得直线l 的方程． 1(1,)2F -，直线OF 的斜率212k =-，直线l的斜率212212b k a k =-=，解方程组22112110025y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y ：x 22x 480，解得P 1(6,4)、P 2(8,3)．2.（2010湖南文数）19.（本小题满分13分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km 的A 、B 两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A 、B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（图4）。

(浙江省2021届高考模拟试题汇编(二模))圆锥曲线解答题一、解答题1.(浙江省绍兴市2021届高三下学期4月适应性考试数学试题)已知抛物线C. : A-2=4y 和椭圆q：§+§ = i如图，经过抛物线G焦点r的直线，分别交抛物线q和椭圆G于A, B, C, O四点，抛物线G在点A, 〃处的切线交于点P.(1)求点P的纵坐标；(2)设汩为线段A8的中点，PM交0于点Q, BQ交"于点「记△TCEUQBP的面积分别为(i)求证：。

为线段PM的中点;C 8(ii)若裳=〒求直线，的方程.10.(浙江省台州市高三下学期4月二模数学试题)已知点F为椭圆C：y + r=)的左焦点，记点P到直线/：x = -2的距离为d,且号PFI.(I )求动点〃的轨迹方程；(I I )过点户作椭圆C的两条切线必，PB,设切点分别为AW)/。

"况)，连接AFBF.t(i)求证：直线必方程为工/ + 2凹)，-2 = ()；(ii)求证：AFLFB.11.（浙江省杭州市高三下学期4月二模数学试题）如图,已知抛物线C,:x2 = y在点A 处的切线/与椭圆C2：y+}'2=1相交，过点A作/的垂线交抛物线C于另一点们直线OB（。

为直角坐标原点）与/相交于点。

，记人3，）。

、心,无），且-',>0.(2)的取值范围.12.（浙江省嘉兴市平湖市高三下学期4月模拟测试数学试题）已知直线l:y = kx+rn(k <0)与椭圆y21交于A, B两点，且线段AB的中点P恰好在抛物线 C 2 :y 2 =-^-x±. ok（2）若过点户的直线/'与抛物线G 的另一交点为。

，且/_L/，，求面积的取值范 围.（1）若抛物线G 的焦点坐标为 （£o ）,就的值;13.（浙江省温州市高三下学期3月适应性测试数学试题）如图,过点F（1，O）和点顼4,0）的两条平行线4和12分别交抛物线r = 4X于A, 3和C,。

圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程．（2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程. 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．5、已知点P 是圆x 2+y 2=4上一个动点，定点Q 的坐标为（4，0）． （1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程．6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。

2021-2022年高考数学模拟试卷分项第02期专题07圆锥曲线一、选择题1．【xx黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知抛物线：的焦点为，是上一点，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，如图，由抛物线的几何意义，可知，所以，所以，故选D。

点睛：首先将抛物线化为标准方程，求得焦点和准线，利用抛物线的几何意义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，求得点的值，代回抛物线方程求得的值。

要求学生对抛物线的几何意义熟悉掌握。

2．【xx黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知双曲线：（，）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，则，所以，即，所以，故选D。

3．【xx福建四校联考】已知椭圆的上下左右顶点分别为，且左右焦点为，且以为直径的圆内切于菱形，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．4．【xx 福建四校联考】设点是双曲线的右焦点，点到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为，则双曲线的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】B点睛：双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为 (即)，应注意其区别与联系.5．【xx 广西贺州桂梧高中联考】过双曲线()222210,0x y a b a bΩ-=>>：的右焦点作轴的垂线，与在第一象限的交点为，且直线的斜率大于2，其中为的左顶点，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】， ，∴()()22212AMFMb c a c ak e AF a c a a c a a--=====->++，∴.选B. 6．【xx 陕西西安长安区联考】已知直线与圆交于不同的两点是坐标原点，且有，那么的取值范围是 A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：设的中点为，则，因为，所以，所以，因为，所以，因为直线与圆交于不同的两点，所以，所以，即，解得，故选C ．考点：直线与圆的位置关系；向量的应用．7．【xx 湖南株洲两校联考】已知双曲线E ： ﹣=1（a ＞0，b ＞0），点F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足|PF |=3|F Q|，若|OP |=b ，则E 的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B11,,,PF a OP b OF c ∴===在中， 112,3,PQ b QF a PF a === 则，整理得 则双曲线的离心率故答案选点睛：题目中关于原点的对称点为，那么四边形为平行四边形，再根据双曲线定义和已知条件判定直角三角形，利用即可求出双曲线的离心率。