圆锥曲线
一、知识结构
1.方程的曲线
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.
点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上⇔f(x0,y 0)=0；
点P0(x0,y0)不在曲线C上⇔f(x0,y0)≠0
两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则
f1(x0,y0)=0
点P0(x0,y0)是C1，C2的交点⇔
f2(x0,y0) =0
方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.
2.圆
圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1)标准方程
圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是
(x-a)2
+(y-b)2
=r 2
圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是
x 2
+y 2
=r 2
(2)一般方程
当D 2
+E 2
-4F ＞0时，一元二次方程
x 2
+y 2
+Dx+Ey+F=0
叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2
E ），半径是
2
4F
-E D 22+.配方，将方程
x 2
+y 2
+Dx+Ey+F=0化为
(x+2D )2+(y+2
E )2=44
F -E D 22+
当D 2
+E 2
-4F=0时，方程表示一个点
(-2D ,-2
E
); 当D 2
+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.
点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则
｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2
02
0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系
①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交⇔有两个公共点 直线与圆相切⇔有一个公共点 直线与圆相离⇔没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法
(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=
2
2
C Bb Aa B
A +++与半径r 的大小关系来判
定.
3.椭圆、双曲线和抛物线基本知识
椭 圆 双曲线 抛物线
轨迹条件
{M ｜｜MF 1｜+｜MF 2｜=2a,｜F 1F 2｜＜2a} {M ｜｜MF 1｜-｜MF 2｜. =±2a,｜F 2F 2｜＞2a}. {M ｜ ｜MF ｜=点M 到直线l 的距离}. 圆 形
标准方程
22a x +2
2
b y =1(a ＞b ＞0) 22a x -2
2
b y =1(a ＞0,b ＞0)
y 2=2px(p ＞0)
顶 点
A 1(-a,0),A 2(a,0);
B 1(0,-b),B 2(0,b)
A 1(0,-a),A 2(0,a)
O(0,0)
轴
对称轴x=0,y=0
长轴长：2a 短轴长：2b
对称轴x=0,y=0 实轴长：2a 虚轴长：2b 对称轴y=0
焦 点
F 1(-c,0),F 2(c,0) 焦点在长轴上 F 1(-c,0),F 2(c,0) 焦点在实轴上 F(
2
P
，0) 焦点对称轴上
焦 距
｜F 1F 2｜=2c ，
c=b2-a2
｜F 1F 2｜=2c, c=b2a2
准 线
x=±c
a 2
准线垂直于长轴，且在椭圆外.
x=±c
a 2
准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.
x=-
2
p
准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.
离心率 e=
a c
,0＜e ＜1 e=
a
c
,e ＞1 e=1
曲
线 性 质
4.圆锥曲线的统一定义
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率.
当0＜e＜1时，轨迹为椭圆，当e=1时，轨迹为抛物线当e＞1时，轨迹为双曲线
5.坐标变换
坐标变换在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.
坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴.
坐标轴的平移公式设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则
x=x′+h x′=x-h
(1) 或(2)
y=y′+k y′=y-k公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式.
方程焦点焦线对称轴
椭圆
2
2
h)
-
(x
a
+
2
2
k)
-
(y
b
=1(±c+h,k)x=±
c
a2
+h
x=h
y=k 2
2
h)
-
(x
b
+
2
2
k)
-
(y
a
=1(h,±c+k)y=±
c
a2
+k
x=h
y=k
双曲线
2
2
h)
-
(x
a
-
2
2
k)
-
(y
b
=1(±c+h,k)=±
c
a2
+k
x=h
y=k 2
2
k)
-
(y
a
-
2
2
h)
-
(x
b
=1(h,±c+h)y=±
c
a2
+k
x=h
y=k
抛物线(y-k)2=2p(x-h)(2
p
+h,k)x=-
2
p
+h y=k (y-k)2=-2p(x-h)(-2
p
+h,k)x=
2
p
+h y=k (x-h)2=2p(y-k)(h, 2
p
+k)y=-
2
p
+k x=h (x-h)2=-2p(y-k)(h,- 2
p
+k)y=
2
p
+k x=h
