2016年高考数学圆锥曲线

2016-2018圆锥曲线文数高考真题1．设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2B．2C．2D．42．已知椭圆C：+=1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（）A．B．C．D．3．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．4．椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．5．若a＞1，则双曲线﹣y2=1的离心率的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，2）C．（1，）D．（1，2）6．过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A．B．2C．2D．37．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF 的面积为（）A．B．C．D．8．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．9．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．11．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（）A．B．1 C．D．212．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣B．﹣C．D．213．已知直线l过点（1，0）且垂直于x轴．若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为．14．若双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为，则a=．15．已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则当m=时，点B横坐标的绝对值最大．16．双曲线﹣y2=1的渐近线方程为．17．设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=．18．设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为．19．在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．20．双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y=x，则a=．21．若双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m=．22．在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为．23．设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为．24．已知直线l：x﹣y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|=．25．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若k=1，求|AB|的最大值；（Ⅲ）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C，D和点Q （﹣，）共线，求k．26．如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1（x＜0）上的动点，求△PAB面积的取值范围．28．设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l 与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．29．设抛物线C：y2=2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：∠ABM=∠ABN．30．设椭圆的中心为O，左焦点为F，左顶点为A，短轴的一个端点为B，短轴长为4，△ABF的面积为. （1）求a，b；（2）设直线l与C交于P，Q两点，M（2，2），四边形OPMQ为平行四边形，求l的方程．31．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．32．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为．（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，|FQ|=c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程．35．设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．37．已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．38．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）动直线l：y=kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|．设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．39．在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．41．已知A是椭圆E：+=1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（I）当|AM|=|AN|时，求△AMN的面积; （II）当2|AM|=|AN|时，证明：＜k＜2．。

2012-2016全国卷圆锥曲线解答题(理科)1．(2012年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）设抛物线2=>的焦C x py p:2(0)点为F，准线为l，A CB D两点．∈．已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于,（Ⅰ）若90∠=︒，ABDBFD∆的面积为p的值及圆F的方程．（Ⅱ）若,,A B F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到,m n距离的比值．2．(2013全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知圆22++=，圆M x y:(1)1 22-+=，动圆P与M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．:(1)9N x y(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于,A B两点，当圆P的半径最长时，求||AB．3．(2014年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知点(0,2)A -，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，F 是椭圆的焦点，直线AF ，O 为坐标原点．(Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．4．(2015年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）在直角坐标系xOy 中，曲线2:4x C y =与直线(0)y kx a a =+>交于,M N 两点．(Ⅰ) 当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(Ⅱ) y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由．5．(2016年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题) (本小题满分12分)设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A于,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ． (I)证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；(II)设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于,M N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于,P Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．2012-2016全国卷圆锥曲线解答题(参考答案)1．(2012年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈．已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点． （Ⅰ）若90BFD ∠=︒，ABD ∆的面积为p 的值及圆F 的方程． （Ⅱ）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值．【解析】(Ⅰ)由对称性知BFD ∆是等腰直角三角形，斜边||2BD p =， 点A 到准线l的距离||||d FA FB ===，由1||2ABD S BD d ∆=⨯⨯=2p =．∴圆F 的方程为22(1)8x y +-=．（Ⅱ）由对称性设2000(,)(0)2x A x x p>，则(0,)2p F ．由点,A B 关于点F 对称得200(,)2x B x p p --，从而2022x pp p -=-，所以2203x p =．因此3,)2pA，直线3:2p pp m y x -=+，即02x +=． 又22122x py y x p =⇔=，求导得'x y p ==，即x =，从而切点)6pP ．又直线:6p n y x -=，即0x -=． 故坐标原点到直线,m n距离的比值为23p =．【考点分析】本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，涉及到简单的面积和点到直线的距离等基本计算问题，考查推理论证能力、运算求解能力．2．(2013全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知圆22:(1)1M x y ++=，圆22:(1)9N x y -+=，动圆P 与M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于,A B 两点，当圆P 的半径最长时，求||AB ．【解析】由已知得圆M 的圆心为(1,0)M -，半径11r =，圆N 的圆心为(1,0)N ，半径23r =．设动圆P 的圆心为(,)P x y ，半径为R ．(Ⅰ)因为圆P 与圆M 外切且与圆N 内切，所以1212||||()()4PM PN R r r R r r +=++-=+=，且4||MN >． 由椭圆的定义可知，曲线C 是以,M N 为左，右焦点，长半轴长为23的椭圆(左顶点除外)，其方程为221(2)43x y x +=≠-． (Ⅱ)对于曲线C 上任意一点(,)P x y ，由于||||222PM PN R -=-≤，所以2R ≤． 当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，2R =．∴当圆P 的半径最长时，其方程为22(2)4x y -+=． 当l 的倾斜角为90︒时，l 与y 轴重合，可得||3AB =当l 的倾斜角不为90︒时，由1r R ≠知l 不平行x 轴．设l 与x 轴的交点为Q ， 则1||||QP RQM r =，可求得(4,0)Q -， ∴设:(4)l y k x =+，由l 与圆M 211k =+，解得24k =±． 当24k =时，将224y x =+代入221(2)43x y x +=≠- 整理得27880x x +-=． (*)设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 是(*)方程的两根．所以1287x x +=-，1287x x =-．1218|||7AB x x ∴=-==．当4k =-时，由对称性知18||7AB =．综上，||AB =或18||7AB =． 【考点分析】本小题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力和方程思想．3．(2014年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知点(0,2)A -，椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>，F 是椭圆的焦点，直线AF，O 为坐标原点．(Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．【解析】(Ⅰ)设(),0F c，由条件知2c =，得c =又2c a =，所以2a =，2221b a c =-=，故E 的方程2214x y +=．（Ⅱ）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，方程为2y kx =-， 联立直线与椭圆方程：22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，化简得：22(14k )16120x kx +-+=．∵216(43)0k ∆=->，∴234k >． 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则1212221612,1414k x x x x k k+=⋅=++，∴12PQ x -且坐标原点O 到直线l 的距离为d =．因此OPQS ∆==，令0)t t =>，则244,044OPQ t S t t t t∆==>++． ∵44t t+≥，当且仅当4t t =，即2t =时，等号成立，∴1OPQ S ∆≤．故当2t =，2=，k =±OPQ ∆的面积最大．此时，直线l 的方程为22y x =±-． 【考点分析】本小题主要考查直线、椭圆、函数和不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识和方程思想．4．(2015年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）在直角坐标系xOy 中，曲线2:4x C y =与直线(0)y kx a a =+>交于,M N 两点．(Ⅰ) 当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(Ⅱ) y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由．【解析】（Ⅰ）由题设可得),()M a N a -或(),)M a N a -．又=2xy '，故24x y =在x =在点)a 处的切线方程为y a x -=-0y a --=．24x y x ==-在处的导数值为在点()a -处的切线方程为y a x -=+0y a ++=．0y a --=0y a ++=． (Ⅱ)存在符合题意的点P ．证明如下：设(0,)P b 为符合题意的点，1122(,),(,)M x y N x y ，直线,PM PN 的斜率分别为12,k k ．将y kx a =+代入C 的方程，消去y 整理得2440x kx a --=， 则12,x x 是该方程的两根． 故12124,4.x x k x x a +==- 从而1212121212122()()()y b y b kx x a b x x k a b k k x x x x a--+-+++=+==． 当b a =-时，有120k k +=，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故OPM OPN ∠=∠． 所以点(0,)P a -符合题意．【考点分析】本小题主要考查直线、抛物线和导数的几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力和方程思想．5．(2016年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题) (本小题满分12分)设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(0,1)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ． (I)证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；(II)设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于,M N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于,P Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．【解析】(I)因为AD AC =，EB AC ∥， 故EBD ACD ADC ∠=∠=∠．所以EB ED =， 故EA EB EA ED AD +=+=又圆A 标准方程为()22116x y ++=，从而4AD =，所以4EA EB +=． 由题设得()()1,0,1,0,2A B AB -=，由椭圆的定义可得点E 的轨迹方程为22143x y +=，(0y ≠)； (II)（法一）当l 与x 轴不垂直时，设()():10l y k x k =-≠，()()1122,,,M x y N x y由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()22224384120k x k x k +-+-=． 则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+g所以()212212143k MN x k +=-=+．过点()1,0B 且与l 垂直的直线()1:1m y x k =--，A 到m，所以PQ ==． 故四边形MPNQ的面积为12S MN PQ == 当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ的面积的取值范围为( 当l 与x 轴垂直时，其方程为1x =，3MN =，8PQ = 四边形MPNQ 的面积12．综上，四边形MPNQ的面积的取值范围为⎡⎣．（法二）221:143x y C +=；设:1l x my =+， 因为PQ l ⊥，设():1PQ y m x =--，联立1l C 与椭圆221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=；则()22121|||34M N m MN y y m +=-==+；圆心A 到PQ 距离|11|m d ---==所以||PQ ===，()2212111||||2234MPNQ m S MN PQ m +∴=⋅=⋅+⎡==⎣．【考点分析】主要考查直线与圆的位置关系、椭圆的定义、韦达定理、弦长公式等解析几何常用知识，考查推理论证能力、运算求解能力和方程思想．。

2016 年全国高考数学试题分类汇编：圆锥曲线（理科）一、选择题1、（2016 年四川高考）设 O 为坐标原点， P 是以 F 为焦点的抛物线 y 22px(p 0)上随意一点， M 是线段 PF上的点，且PM =2 MF, 则直线 OM 的斜率的最大值为（ A ）3（B ）2（ C ） 2（ D ）1332【答案】 C2、（ 2016 年天津高考）已知双曲线x 2y 2 =1（ b >024b），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线订交于、 、 、 四点，四边形的 的面积为 2 ，则双曲线的方程为（ ）A B C DABCD b22=1（ B ） x 2222 22（ A ） x3 y4y =1（ C ） xy2 =1（ D ） xy =14 443 4b412【答案】 D3、（ 2016 年全国 I高考）已知方程x 2y 2=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则 n 的取值2–2m +n 3m – n范围是（A ） ( – 1,3)（B ）( –1, 3)（C ） (0,3)（ D ） (0,3)【答案】 A4（、 2016 年全国 I 高考）以抛物线 C 的极点为圆心的圆交C 于 A ，B 两点，交 C 的准线于D ，E 两点 . 已知 | AB |= 4 2 ，| DE|=2 5 ，则 C 的焦点到准线的距离为 （ A ）2 （B ）4（C ）6（D ） 8【答案】 B5、（ 2016 年全国 II 高考）圆 x 2y 2 2 x 8 y 130 的圆心到直线 axy 1 0 的距离为 1，则 a=（）（ A ） 4（ B ）3（ C ）3（ D ）234【答案】 A6、（ 2016 年全国 IIF 1, F 2 是双曲线 E :x 2 y 2M 在 E 上， MF 1 与 x 轴垂高考）圆已知a 2b 2 1 的左，右焦点，点直，sinMF 2 F 11, 则 E 的离心率为（）3（ A）2（B）3（C）3（D） 2 2【答案】 A7、（2016年全国 III高考）已知 O为坐标原点， F 是椭圆 C：x2y21(a b 0) 的左焦点，A，B分别为C a2b2的左，右极点 . P为 C上一点，且PF x 轴.过点A的直线l与线段 PF 交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则 C的离心率为（A）1（B）1（C）2（D）3 3234【答案】 A8、（ 2016 年浙江高考）已知椭圆C：x22x22m2+y=1( m>1) 与双曲线 C：n2– y =1( n>0) 的焦点重合， e ，e 分别为12121， 2 的离心率，则C CA．m>n且e e >1 B ．m>n且e e <1 C ．m<n且e e >1 D ．m<n且e e <112121212【答案】 A二、填空题1、（ 2016 年北京高考）双曲线x2y21（a0 ， b0 ）的渐近线为正方形OABC的边 OA，OC所在的直线，a2 b 2点 B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a_______________.【答案】 22、（ 2016 年山东高考）已知双曲线E： x2y21（ a＞， b＞），若矩形 ABCD的四个极点在 E 上， AB，a2b200的中点为E 的两个焦点，且 2||=3|| ，则E的离心率是 _______.CD AB BC 【答案】 2【分析】由题意 BC = 2c ，所以 AB = 3c ，于是点329c2，c c－2= 1（ c,) 在双曲线 E 上，代入方程，得24b 2a在由 a2+ b2 = c2得 E 的离心率为 e = c= 2，应填 2. a3、（ 2016 年上海高考）已知平行直线l1 : 2x y 1 0,l 2 : 2x y 10 ，则 l1,l 2的距离_______________【答案】2554、（ 2016 年浙江高考）若抛物线y2=4上的点到焦点的距离为 10，则到轴的距离是 _______ ．x M M y【答案】 9三、解答题1、（ 2016 年北京高考）已知椭圆 C：x2y2 1 （a b 0 ）的离心率为3， A( a,0) ，B(0, b) ，O(0,0) ，a2b22OAB 的面积为 1.（1）求椭圆 C的方程；（2）设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点 M，直线 PB与x轴交于点 N.求证： AN BM为定值 .【分析】⑴由已知，c 3,1ab 1 ，又 a2b2c2，a22解得 a2, b1,c 3.x2y21.∴椭圆的方程为4⑵方法一：设椭圆上一点 P x0 , y0，则x2y21.y042y0 .直线 PA ： y2x 2 ,令x0 ，得y Mx0x0 2∴ BM12 y0 x02直线 PB ： y y01x 1,令 y0 ，得 x Ny0x0.x01∴ AN2x0 y01AN BM2x012 y0 y01x02x0 2 y0 2 x02y02 x02y01x2 4 y24x0y4x8y400x0 y0 x02y022x2将0y01代入上式得AN BM =4故 AN BM 为定值.方法二：设椭圆上一点 P2cos,sin，PA: y sinx2, 令x0 ，得y Msin直线2cos21. cossin cos1∴ BM 1 cos直线 PB : y sin 1 x1, 令y0，得 x N2cos.2cos1sin2sin2cos2∴AN1sinAN BM2sin2cos2sin cos1 1sin1cos222sin2cos2sin cos1sin cos sin cos4故 AN BM 为定值.2、（ 2016 年山东高考）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C：x2y2 1 a＞b＞0的离心率是3，抛物线a2b22：2E x 2 y 的焦点F是C的一个极点.（I ）求椭圆C的方程；（II ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不一样的两点A，B，线段AB的中点为D，直线 OD与过 P且垂直于 x 轴的直线交于点M.（ i ）求证：点M在定直线上;（ ii）直线 l 与y轴交于点G，记△PFG 的面积为 S1，△PDM的面积为 S2，求S1的最大值及获得最大值S2时点 P的坐标.【分析】 (Ⅰ)由离心率是3 ，有 a 2 = 4b 2 ，2又抛物线 x 2 = 2 y 的焦点坐标为F(0, 1 ) ，所以 b = 1 ，于是 a = 1，2 2所以椭圆 C 的方程为 x 2 + 4 y 2 = 1 ．m 2 ( Ⅱ ) （ i ）设 P 点坐标为 P （m,), (m > 0) ，2由 x 2 = 2 y 得 y ′= x ，所以 E 在点 P 处的切线 l 的斜率为 m ，所以切线 l 的方程为 y = mx －m 2， 2设 A( x 1 , y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ， D (x 0 , y 0 ) ，2 将 y = mx －m代入 x 2 + 4 y 2 = 1，得2（1 + 4m 2 ) x 2－ 4m 3 x + m 2－1 = 0 ．于是 x 1 + x 2 =4m 3 2 ， x 0 = x 1+ x 2= 2m 3 2 ，1+ 4m 2 1 + 4m又 y 0 m 2 －m 2= mx 0－=2，22(1 + 4m )于是直线 OD 的方程为 y = －1x ．4m联立方程 y = －1x 与 x = m ，得 M 的坐标为 M(m, － 1 ) ．4m41 所以点 M 在定直线 y = － 上．4（ ii m 2中，令 x = 0 ，得 y = －m 2）在切线 l 的方程为 y = mx －，22m 2m 21即点 G 的坐标为 G(0, － 2 ) ，又 P(m, 2 ) ， F(0,2 ) ，所以 S 1 =1m ×GF=m(m 2 + 1)24；再由D(2m 3,－m 2) ，得4m 2+1 2(4m 2+ 1)S 2 = 1 2m 2 + 1 2m 3 + m=m(2m 2 +1) 22 ×4× 4m 2 +1 8(4m 2 + 1)于是有S 1 2( 4m 2 +1)(m 2 +1)S 2 =( 2m 2 +1)2．1S 12(t － )(t +1)1 1令 t = 2m 2+1，得=2t 2=2+ －t 2S 2t当 1 =1 时，即 t =2 时， S 1获得最大值 9 ．t2 S 2 4此时 m2=1， m = 2 ，所以 P 点的坐标为 P( 2 , 1 ) ．222 4所以S 1的最大值为 9 ，获得最大值时点P 的坐标为 P( 2 , 1) ．S 242 43、（ 2016 年上海高考）有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到 F 点或河边运走。

2015（新课标全国卷2）（11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（A ）√5 （B ）2 （C ）√3 （D ）√2（15）已知双曲线过点），（3,4，且渐近线方程为x y 21±=，则该双曲线的标准方程为 。

20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>> 的离心率为22,点()2,2在C 上.（I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.C(2,2)Y X OMB A20．（本小题满分12分）理科已知椭圆C ：2229(0)x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M 。

（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由。

2015（新课标全国卷1）（5）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y ²=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个焦点，则|AB|= （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12（5）（理）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -= 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF ∙2MF ＜0，则y 0的取值范围是 （A ）（-33，33） （B ）（-36，36） （B ）（C ）（223-，223） （D ）（233-，233） （16）已知F 是双曲线C ：x 2-82y =1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A （0,66）.当△APF 周长最小是，该三角形的面积为（14）一个圆经过椭圆141622=+y x 错误！未找到引用源。

2016年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 （12圆锥曲线与方程）一、选择题1.（2016全国Ⅰ文）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】B【解析】试题分析：如图,由题意得在椭圆中,11OF c,OB b,OD 2b b 42===⨯= 在Rt OFB ∆中,|OF ||OB||BF ||OD |⨯=⨯,且222a b c =+,代入解得22a 4c =,所以椭圆得离心率得1e 2=,故选B.考点：椭圆的几何性质【名师点睛】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等式,再转化为关于a,c 的齐次方程,方程两边同时除以a 的最高次幂,转化为关于e 的方程,解方程求e .2.（2016全国Ⅰ理）已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是 ( )（A ）()1,3- （B）(- （C ）()0,3 （D）( 【答案】A考点：双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c 不是c,这一点易出错.x3.（2016全国Ⅰ理）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=DE|=则C 的焦点到准线的距离为 ( )(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【答案】B考点：抛物线的性质.【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.4.（2016全国Ⅱ文） 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k =（ ）（A ）12 （B ）1 （C ）32（D ）2 【答案】D考点： 抛物线的性质，反比例函数的性质.【名师点睛】抛物线方程有四种形式，注意焦点的位置. 对函数y =kx(0)k ≠，当0k >时，在(,0)-∞，(0,)+∞上是减函数，当0k <时，在(,0)-∞，(0,)+∞上是增函数.5.（2016全国Ⅱ理）已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（ ）（A （B ）32（C （D ）2【答案】A考点：双曲线的性质.离心率.【名师点睛】区分双曲线中a ，b ，c 的关系与椭圆中a ，b ，c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0，1)．6.（2016全国Ⅲ文、理）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴..过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ba或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．7.（2016四川文）抛物线24y x =的焦点坐标是（ ） (A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0)【答案】D【解析】试题分析：由题意，24y x =的焦点坐标为(1,0)，故选D. 考点：抛物线的定义.【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单的性质是我们重点要掌握的内容，一定要熟记掌握．8. （2016四川理）设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为 （A（B ）23（C（D ）1 【答案】C【解析】试题分析：设()()22,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则22,2.2p FP pt pt ⎛⎫=-⎪⎝⎭由已知得13FM FP =，22,2362,3p p p x t pt y ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩， 22,332,3p p x t pt y ⎧=+⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，22112122OM t k t t t ∴==≤=++，()max 2OM k ∴=，故选C. 考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用．【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点P 的坐标，利用向量法求出点M 的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把k 斜率用参数t 表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值．9.（2016天津文）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为（ ） （A ）1422=-y x （B ）1422=-y x （C ）15320322=-y x （D ）12035322=-y x【答案】A【解析】试题分析：由题意得2212,11241b x yc a b a =⇒==⇒-=，选A.考点：双曲线渐近线【名师点睛】求双曲线的标准方程关注点：(1)确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值，常用待定系数法．(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)．②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．10.（2016天津理）已知双曲线2224=1x yb-（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）（A）22443=1yx-（B）22344=1yx-（C）2224=1x yb-（D）2224=11x y-【答案】D考点：双曲线渐近线【名师点睛】求双曲线的标准方程关注点：(1)确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)．②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．11.（2016浙江理）已知椭圆C1：22xm+y2=1(m>1)与双曲线C2：22xn–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（）A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1 C．m<n且e1e2>1 D．m<n且e1e2<1【答案】A考点：1、椭圆的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质．【易错点睛】计算椭圆1C 的焦点时，要注意222c a b =-；计算双曲线2C 的焦点时，要注意222c a b =+．否则很容易出现错误．二、填空1。

阶段性综合检测（四）解析几何初步圆锥曲线方程时间120分钟满分150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·晋中一模)已知直线的倾斜角的余弦值是12，则此直线的斜率是()A.3B．－ 3C.32D．±3解析：设倾斜角为α，则cosα＝12，sinα＝1－cos2α＝32，∴斜率k＝tanα＝sinαcosα＝ 3.答案：A2．(2015·于都一模)已知过A(－1，a)，B(a,8)两点的直线与直线2x－y＋1＝0平行，则a的值是()A．5 B．2C．－10 D．17解析：依题意得k AB＝8－aa＋1＝2，解得a＝2.答案：B3．(2015·丰台一模)过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4解析：方法一：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.∵圆心C在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a.∵|CA |2＝|CB |2，∴(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2， ∴a ＝1，b ＝1，∴r ＝2，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 方法二：∵k AB ＝1＋1－1－1＝－1且AB 的中点为(0,0)， ∴AB 的垂直平分线方程为y ＝x . 由⎩⎨⎧y ＝x x ＋y －2＝0可得圆心坐标为(1,1)， ∴半径r ＝(1－1)2＋(1＋1)2＝2， 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 答案：C4．(2015·白山联考)当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：把直线方程化为(－x －y ＋1)＋a (x ＋1)＝0， 令⎩⎨⎧ －x －y ＋1＝0，x ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2， ∴直线过定点C (－1,2)，∴圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，化为一般式为x 2＋y 2＋2x －4y ＝0. 答案：C5．(2015·北京房山区一模)过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝9交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －2y ＋3＝0D ．x －y ＋1＝0解析：若∠ACB 最小，则CM ⊥l ，可知C (2,0)， ∴k CM ＝2－01－2＝－2，∴直线l 的斜率为k ＝12，∴直线l 的方程为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0答案：C6．(2015·诸城一中月考)已知a＞b＞0，e1，e2分别为圆锥曲线x2a2＋y2b2＝1和x2a2－y2b2＝1的离心率，则lg e1＋lg e2的值() A．大于0且小于1 B．大于1 C．小于0 D．等于0解析：可知e1＝1－(ba)2，e2＝1＋(ba)2，∴lg e1＋lg e2＝lg(e1e2)＝lg(1－b2a2)·(1＋b2a2)，∵(1－b2a2)(1＋b2a2)＜[(1－b2a2)＋(1＋b2a2)2]＝1，∴lg e1＋lg e2＜lg1＝0. 答案：C7．(2015·山东实验中学诊断)抛物线y2＝8x的焦点到双曲线x212－y24＝1的渐近线的距离为()A．1 B. 3C.33 D.36解析：抛物线的焦点为F(2,0)，渐近线方程为y＝±33x，即3x±3y＝0，故焦点F到双曲线渐近线的距离为d＝233＋9＝1.答案：A8．(2015·许昌模拟)已知抛物线x2＝43y的准线过双曲线x2m2－y2＝－1的焦点，则双曲线的离心率为()A.324 B.3104C. 3D.3 3解析：易知抛物线的准线方程为y ＝－3，双曲线x 2m 2－y 2＝－1的焦点坐标为(0，±m 2＋1)，∴m 2＋1＝3＝c 2，∴c ＝3，∴双曲线的离心率为e ＝31＝ 3.答案：C9．(2015·贺兰一中期末)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 242－y 232＝1 B.x 2132－y 252＝1 C.x 232－y 242＝1D.x 2132－y 2122＝1解析：对于椭圆C 1，a ＝13，c ＝5，曲线C 2为双曲线，c ＝5，a ＝4，b ＝3，故其标准方程为x 242－y 232＝1.答案：A10．(2015·兰州模拟)已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 右支上的一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．24B ．36C ．48D ．96解析：∵双曲线C ：x 29－y 216＝1中，a ＝3，b ＝4，c ＝5， ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)． ∵|PF 2|＝|F 1F 2|，∴|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝6＋10＝16.作PF 1边上的高AF 2，则|AF 1|＝8，∴|AF 2|＝6，答案：C11．(2015·孝感一中期末)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172 B ．3 C. 5D.92解析：利用抛物线的定义，连接点(0,2)和抛物线的焦点F (12，0)交抛物线于点P ，则点P 使所求距离最小，其最小值为(0－12)2＋(2－0)2＝172.答案：A12．(2015·莱芜期末)点P 到点A (12，0)，B (a,2)及到直线x ＝－12的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是( )A.12 B.32 C.12或32D ．－12或12解析：∵点P 到点A (12，0)与到定直线x ＝－12的距离相等，∴点P 在以A 为焦点，以直线x ＝－12为准线的抛物线上，同时在线段AB 的垂直平分线上，结合图形可知适合条件的点B 的坐标为(－12，2)和(12，2)，故a ＝－12或12. 答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。