河南省洛阳市汝阳县实验中学2021届高三9月月考数学(文)试卷(扫描版含答案)

2021-2022年高三9月月考 数学文试题 含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.满足，且{}{}12312Ma a a a a =，，，的集合的个数是（ ）A ．1 B ．2C ．3D ．4 2.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P(m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( )A ．4B ．－2C ．4或－4D ．12或－23.在△ABC 中，sinA ·sinB=cos 2,则△ABC 的形状一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形4.复数的共轭复数是( )A. B. C. D.5．若f(x)=- 12+blnx 在[1, +) 上是减函数，则的取值范围是( ) A ． B ． C ．(-,1] D ．6．已知等差数列的前项和为，且则( )A ．11B ．16C ．20D ．287、已知命题：函数在为增函数，：函数在为减函数，则在命题：，：，：和：中，真命题是（ ）A 、，B 、，C 、，D 、，8. 如图是周期为2π的三角函数y ＝f(x)的图象，那么f(x)可 以写成( )A.f(x)＝sin(1＋x)B.f(x)＝sin(－1－x)C. f(x)＝sin(x －1)D. f(x)＝sin(1－x)9．下列命题中，是的充要条件的是（ ）①或；有两个不同的零点；②是偶函数；③；④。

A.①②B.②③C.③④D.①④10.设函数则函数()(log )(01)a g x f x a =<<的单调递增区间是( )A ．B ．C ．D ．12.已知函数是定义在上的偶函数，则“是周期函数”的一个充要条件是（） A.B.，C.D.，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．13. 已知向量，若与垂直，则______.14. 、是双曲线的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点的距离等于9，则点P到焦点的距离等于 .15．已知函数,则函数的图象在点处的切线方程是 .16.给出下列命题：①函数f(x)＝4cos(2x+)的一个对称中心为(,0);②已知函数f(x)＝min{sinx，cosx}，则f(x)的值域为[-1,];③若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ.其中所有真命题的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线的方程为.（1）求曲线C 的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设曲线C 和曲线的交点为、，求.18．（本小题满分12分）设命题P ：函数在区间[-1，1]上单调递减；命题q ：函数的值域是R.如果命题p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求a 的取值范围.19．（本小题满分12分）在中，（1） 求角B 的大小;（2） 求的取值范围.20. （本小题满分12分）已知,],0(,ln 2)(2e x x ax x f ∈-=其中是自然对数的底 .(1)若在处取得极值,求的值；(2)求的单调区间；21．（本小题满分12分）已知数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意的，满足关系式(1）求数列的通项公式；(2）设数列的通项公式是，前项和为，求证：对于任意的正整数，总有22．（本小题满分12分）已知，椭圆C 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，两个焦点为(－1,0)，(1,0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．一、BCBBC CCDDA AD二、13. 2 14. 17 15.4x-y-8=0 16. ①②_三、17. 解：（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为．……5分（2）曲线可化为，表示圆心在，半径的圆，则圆心到直线的距离为，所以．……10分18.解： p 为真命题在上恒成立，在上恒成立-------------------------4分q 为真命题恒成立 ---------------6分由题意p 和q 有且只有一个是真命题P 真q 假 p 假q 真32322a a a a a ⎧⇔⇔≤-≤⎨≤-≥⎩或2或综上所述：--------------------------------------12分19．解:（1）由已知得：，即∴∴-----------------------------------------------------------------5分（2）由（1）得：，故2222cos cos()2cos cos(2)31(cos 21)(cos 22)2212cos 2122sin(2)16A A C A A A A A A A A ππ+-=+-=++-+=++=++ 又 ∴的取值范围是------------------------12分20.(1 ) .由已知, 解得.经检验, 符合题意. ---------------------------------------3分(2) .1) 当时，在上是减函数.---------5分2)当时，2()() ()a aa x xa af xx+-'=.①若，即，则在上是减函数，在上是增函数；②若，即，则在上是减函数. ----10分综上所述，当时，的减区间是，当时，的减区间是，增区间是.-----------------12分21.解（1）由已知得故即故数列为等比数列，且又当时，而亦适合上式-----------------------------------6分 (2）所以--------------------------------12分22解：(1)由题意c ＝1，由定义|F 1A |＋|F 2A | ＝4＋94＋94＝4＝2a ， ∴a ＝2，∴b ＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1. ……4分 (2)设直线AE 方程为：y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1 得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－12＝0 ……6分 设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，因为点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上， 所以x E ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－123＋4k 2，y E ＝kx E ＋32－k ……7分 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代k ，可得x F ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋k 2－123＋4k 2，y F ＝－kx F ＋32＋k . ……9分 所以直线EF 的斜率 k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k (x F ＋x E )＋2k x F －x E ＝12，……11分 即直线EF 的斜率为定值，其值为12.……12分` 31527 7B27 笧32143 7D8F 綏P20534 5036 倶0240096 9CA0 鲠# 35184 8970 襰Gb。

2021年高三第一次（9月）月考数学文试卷含答案班级________ _______姓名___________成绩___________一、选择题：（本大题共8小题；每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.若，则＝（）A.1B.C.D.3.设，，则“”是“”的（）A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件4.若,,则（）A.B.C.D.5.函数的部分图像如图所示，则（）A.B.C.D.6.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A.B. C.D.7.执行下图（见下页）的程序框图，如果输入的，那么输出的（）A.3B.4C.5D.68.在平面直角坐标系中，为坐标原点，设向量，其中＝(3,1)，＝(1,3)．若,且，则点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )二.填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.） 9.已知向量 ，则与夹角的大小为_________. 10.若满足约束条件，则的最小值为 ______.11.已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则=.12.设锐角△的三内角,所对边的边长分别为，且，则的取值范围为_________________. 13.若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是________________. 14.已知函数的单调递减区间是． (1)实数的值为________；(2)若在上为减函数，则实数的取值范围是________．三．解答题 (本大题共6个小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.设函数.(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；(2)当时，函数的最大值与最小值的和为32，求实数的值．16.已知函数是奇函数． (1)求实数的值；(2)设，若函数与的图像至少有一个公共点，求实数的取值范围．17.已知数列的前项和，是等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）令.求数列的前项和.18.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5），[0.5,1），……[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；（3）估计居民月均用水量的中位数.19.已知函数.(1)若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若，求函数在上的最大值和最小值；(3)若，求证：在区间上函数的图像在函数的图像的下方．20.已知，.(1)令，求的单调区间；(2)已知在处取得极大值，求实数的取值范围.xx届高三年级第一次月考数学（文科）答案一、选择题1. D2.D3.C4.B5.A6.A7.B8.A二、填空题9.10.-5 11. -2 12. 13．(-2,2)14.(1)1/3(2)(0,1/3]．三、解答题15.设函数f(x)＝3sin x cos x＋cos2x＋a.(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间； (2)当x ∈[－π6，π3]时，函数f (x )的最大值与最小值的和为32，求实数a 的值． 解析 (1)∵f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＋a ＝32sin2x ＋12(1＋cos2x )＋a ＝32sin2x ＋12cos2x ＋a ＋12＝sin(2x ＋π6)＋a ＋12，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )． 故函数f (x )的单调递增区间为[－π3＋k π，π6＋k π](k ∈Z )． (2)∵－π6≤x ≤π3，∴－π6≤2x ＋π6≤5π6. 当2x ＋π6＝－π6时，函数f (x )取最小值，即f (x )min ＝－12＋a ＋12＝a ； 当2x ＋π6＝π2时，函数f (x )取最大值，即f (x )max ＝1＋a ＋12＝a ＋32. ∴a ＋a ＋32＝32，∴a ＝0.16．已知函数f (x )＝4x＋m2x 是奇函数．(1)求实数m 的值； (2)设g (x )＝2x ＋1－a ，若函数f (x )与g (x )的图像至少有一个公共点，求实数a 的取值范围．解析 (1)由函数f (x )是奇函数可知f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1.(2)函数f (x )与g (x )的图像至少有一个公共点，即方程4x－12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，即方程4x －a ·2x＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x>0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根． 方法一：由于a ＝t ＋1t≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)．方法二：令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1>0，∴只需⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a2>0，解得a ≥2.∴a 的取值范围为[2，＋∞)． 17.已知数列的前n 项和，是等差数列，且. （I ）求数列的通项公式； （II ）令.求数列的前n 项和. 【解析】试题分析：（Ⅰ）依题意建立的方程组，即得.18.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5）， [0.5,1），……[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（I ）求直方图中的a 值；（II ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由； （Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.解析：（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月用水量在[0,0.5]的频率为0.08×0.5=0.04.同理，在[0.5,1)，(1.5,2]，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等组的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06，0.04，0.02.由1–(0.04+0.08+0.21+.025+0.06+0.04+0.02)=0.5×a +0.5×a ， 解得a =0.30.考点：频率分布直方图、频率、频数的计算公式 19.已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若a ＝1，求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(3)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上函数f (x )的图像在函数g (x )＝23x 3的图像的下方．解析 (1)由于函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x＝x ＋1x －1x，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1(舍去)． 当x ∈(0,1)时，函数f (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )单调递增，所以f (x )在x ＝1处取得极小值，极小值为12.(2)当a ＝1时，易知函数f (x )在[1，e]上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (e)＝12e 2＋1.(3)证明：设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23x 3，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝1－x1＋x ＋2x2x，当x >1时，F ′(x )<0，故F (x )在区间(1，＋∞)上是减函数．又因为F (1)＝－16<0，所以在区间[1，＋∞)上F (x )<0恒成立，即f (x )<g (x )恒成立．因此，当a ＝1时，在区间[1，＋∞)上函数f (x )的图像在函数g (x )图像的下方． 20.设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间；(Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围.可得， 则，当时，时，，函数单调递增； 当时，时，，函数单调递增， 时，，函数单调递减.所以当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.当时，，单调递减，所以在处取得极大值，合题意.综上可知，实数a的取值范围为.j33427 8293 芓25836 64EC 擬30024 7548 畈# 32257 7E01 縁27707 6C3B 氻27261 6A7D 橽23327 5B1F 嬟_26006 6596 斖28600 6FB8 澸。

2021年高三三校9月联考数学（文）试题含答案本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

第一部分选择题（共50分）一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集,集合,,则集合（）A．B． C．D．2.如果复数为纯虚数,则实数的值 ( )A. 等于1B. 等于2C. 等于1或2D. 不存在3．为假命题,则的取值范围为（）A． B. C. D.4．对某商店一个月30天内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．46，45，56 B．46，45，53C．47，45，56 D．45，47，535．设是两条不同直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是（）A．且则B．且,则C．则D．则6.如图,三棱柱的棱长为2,底面是边长为2的正三角形,,正视图是边长为2 的正方形,俯视图为正三角形,则左视图的面积为（）A．4 B． C． D．27．若是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（）A．B．C．或D．8．函数的图像大致是( )9．在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示平面区域的面积等于2，则的值为（）A. -5B. 1C. 2D. 310．已知函数在点（1,2）处的切线与的图像有三个公共点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第二部分 非选择题（100分）二、填空题：本题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分(一)必做题(11～13题)11．已知向量(3,1),(0,1),(,3),2,a b c k a b c k ===+=若与垂直则 .12．在中，角的对边为，若，则角= .13．数列满足表示前n 项之积,则=_____________.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14. （几何证明选讲选做题）如图所示，是⊙的两条切线，是圆上一点，已知，则= .15. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为（，曲线、曲线的交点为，则弦长为 .三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知向量，函数·，且最小正周期为．（1）求的值；（2）设，求的值．17.（本小题满分12分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者。

河南省洛阳市汝阳县2020-2021学年高三上学期联考数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}4A x x =<，{}B x x x ==，则AB =（ ） A ．(]2,4 B ．[)1,2-C ．[]0,4D ．[)0,4 2．已知复数3i z =+，则2z z -在复平面内对应的点的坐标为（ ）A ．()5,5-B ．()5,5-C ．()5,5D ．()5,5-- 3．已知数列{}n a 是等差数列，且2342a a a π++=，则3a =（ ）A ．3πB ．23πC ．πD ．43π 4．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，112PF F F ⊥，216PF F π∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．2 D ．125．执行如图所示的程序框图，则输出x 的值为（ ）A ．179B ．180C ．181D ．1826．我国在有效防控疫情的同时积极有序推进复工复产，各旅游景区也逐渐恢复开放．某4A 景区对重新开放后的月份x 与该月游客的日平均人数y （单位：千人/天）进行了统计分析，得出下表数据：若y 与x 线性相关．且求得其线性回归方程为2y x =-，则表中t 的值为（ ）A ．4.7B ．4.8C ．5D ．无法确定 7．若函数()32252f x x x m =-+-是定义在R 上的奇函数，则()f x 的图像在点()(),m f m 处的切线方程为（ ）A ．2700x y +-=B ．320x y -+=C ．2300x y -+=D ．320x y ++=8．已知函数()sin 022f x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象过点⎛ ⎝⎭，则()f x 图象的一个对称中心为（ ）A ．1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()1,0 C ．4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．()2,09．古希腊时期，人们把宽与长之比为12的矩形称为黄金矩形，把这个比值12称为黄金分割比例．下图为希腊的一古建筑.其中部分廊、檐、顶的连接点为图中所示相关对应点，图中的矩形ABCD ，EBCF ，FGHC ，FGJI ，LGJK ，MNJK 均近似为黄金矩形.若A 与D 间的距离大于18.7m ，C 与F 间的距离小于12m ．则该古建筑中A 与B 间的距离可能是（ ）0.618≈，70.6180.38≈，30.6180.236≈）A ．29mB ．29.8mC ．30.8mD ．32.8m10．在正项数列{}n a 中，1238a a a ⋅⋅=，且21121log log 2n n a a ++=，令1log log n n n a a b +={}n b 的前2020项和2020S =（ ）A ．20192020B ．20192021C ．20202021D ．2021202211．已知双曲线T ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与T 在第一、三象限内分别交于点M ，N ，四边形12F MF N 的面积为60，周长为34，则双曲线T 的离心率为（ ）A ．135B ．137C ．125D ．7512．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱111ABC A B C -为一个“堑堵”，底面ABC 是以AB 为斜边的直角三角形且5AB =，3AC =，点P 在棱1BB 上，且1PC PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥P ABC -的外接球表面积为（ ）A ．45π2 BC ．30πD ．45π二、填空题13．已知向量a ，b 的夹角为60°，22a b ==，则()a b b +⋅=______. 14．若实数x ，y 满足约束条件1010240x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪+-≥⎩，则23z x y =+的最小值是______.15．我国的旅游资源丰富，是人们假期旅游的好去处，小五现从大理、黄果树瀑布、阳朔、张家界和青海湖中任选两处去旅游，则恰好选中青海湖的概率为______.16．已知函数(),0,ln ,0,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程()()102f x a f x a ⎡⎤-⋅--=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦恰有5个不相等的实数根，则实a 的取值范围是______.三、解答题17．为了解决消费者在网购退货过程中和商家由于运费问题产生的纠纷，某保险公司推出退货“运费险”.消费者在购买商品时可选择是否购买运费险.当购买运费险的消费者退货时，保险公司将按约定对消费者的退货运费进行赔付.该保险公司随机调查了100名消费者，统计数据如下：（1）请将上面列联表补充完整，并求若在农村消费者和城镇消费者中按分层抽样抽取一个容量为15的样本时，农村消费者和城镇消费者各应抽取的人数；（2）是否有95%的把握认为消费者购买运费险与城镇农村有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.18．在ABC 中，BC =D 在线段AB 上.（1）若ADC ∠为锐角，4B π=，DC DA ==求角A 的大小； （2）若34BD AD =，5AC =，3CD =，求线段AB 的长. 19．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，在梯形ABEF 中，//AF BE ，AF AB ⊥，22AB BE AF ===，平面ABEF ⊥平面ABCD .（1）证明：BD ⊥平面AFC ；（2）若多面体BCDEF ，ADC ∠为锐角，求ADC ∠的大小. 20．已知函数()()2122x f x x e x x =-+-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()()21442a af x x a x ⎛⎫≥+-++⎪⎝⎭对任意()2,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.21．已知()1,0F ，以线段FP 为直径的圆恒与y 轴相切，动点P 的轨迹记为曲线T . （1）求曲线T 的方程；（2）设直线l 经过点()2,0与曲线T 交于M ，N 两点，问：在x 轴上是否存在一点Q ，使得直线QM ，QN 的倾斜角互补？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.22．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos ,sin x r y r αα=⎧⎨=⎩（α为参数，0r >），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos 44θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）分别求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程，并求当直线l 与圆C 相切时r 的值；（2）动点P ，Q 分别在直线l 与圆C 上，若r =PQ 长度的最小值． 23．设不等式4214x x x -++≤的解集为M ．（1）求集合M ；（2）若a ，b M ∈，证明：224ab a b -≥-．参考答案1．D【分析】先求出集合B ，再根据交集定义即可求出.【详解】 由题得{}{}0B x x x x x ===≥， 则{}[)040,4A B x x ⋂=≤<=.故选：D.【点睛】本题考查交集的运算，属于基础题.2．C【分析】由题化简可得：()()()213255z z z z i i i -=-=++=+，即可可得. 【详解】由题得()()()213255z z z z i i i -=-=++=+， 在复平面内对应的点的坐标为()5,5，故选：C.【点睛】本题考查了复数和复平面上的点对应关系，考查了复数的运算性质，属于基础题. 3．B【分析】由等差数列的性质可直接求解.【详解】{}n a 是等差数列，∴234332πa a a a ++==，则32π3a =. 故选：B.【点睛】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题.4．A【分析】由题意可得：12112tan 3PF PF F F F ∠==，所以22223b b ac ac ==，化简即可得解. 【详解】由题意可得：12112tan PF PF F F F ∠==，所以2222b b a c ac ==a =，所以c e a ==. 故选：A .【点睛】本题考查了椭圆离心率的计算，考查了椭圆通径长，属于基础题.5．C【分析】根据程序框图可知：输出的x 的值为使不等式51506x >成立的最小整数，求解即可得到. 【详解】由程序框图可知：输出的x 的值为使不等式51506x >成立的最小整数， 解得180x >，故输出的x 的值为181.故选：C.【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，解题关键为理解程序框图的内在含义，考查了转化思想，计算量不大，属于基础题.6．B【分析】求得x 、y 的值，将点(),x y 的坐标代入回归直线方程，可求得实数t 的值.【详解】 由表格中的数据可得457864x +++==， 1.9 3.2 6.111.244t t y ++++==， 将点(),x y 的坐标代入回归直线方程得11.26244t +=-=，解得 4.8t =. 故选：B.【点睛】 本题考查利用样本中心点求参数，考查计算能力，属于基础题.7．D【分析】依题意可得()00f =，即可求出参数m ，再求出函数的导数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；【详解】解：由题意得()020f m =-=，所以2m =，所以()3225f x x x =-，则()2625f x x '=-，所以()21f '=-，又()2165034f =-=-，所以所求的切线方程为()()342y x --=--，即320x y ++=．故选：D ．【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题.8．C【分析】将⎛⎝⎭代入函数可得π3ϕ=，则()ππsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()ππ23x k k π+=∈Z 即可求得对称中心.【详解】由题知()0sin 2f ϕ==，又π02ϕ<<，所以π3ϕ=，则()ππsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令()ππ23x k k π+=∈Z ，则()223x k k =-∈Z ， 当1k =时，43x =， 即4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，可验证其他选项不正确.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查了求三角函数的对称中心，计算量不大，属于基础题. 9．C【分析】由矩形ABCD 和EBCF 是黄金矩形，由边长的比求出AB 范围即可得．【详解】 由黄金矩形的定义可知0.618AD AB ≈，20.6180.38BC CF CF AB BC AB⋅=≈≈，所以18.730.260.6180.618AD AB m ≈>≈，1231.580.380.38CF AB m ≈<≈，即()30.26,31.58AB ∈，对照各选项，只有C 符合．故选：C ．【点睛】本题考查数学文化，考查学生的阅读理解能力，转化与化归能力，创新意识．属于基础题． 10．C【分析】由对数的运算可得数列{}n a 是等比数列，进而可求出()11n b n n =+，利用裂项相消法可求得2020S 【详解】因为21121log log 2n n a a ++=.所以2122log log log n n a a +-=，所以1n na a += 即数列{}n a为公比的等比数列， 由1238a a a ⋅⋅=，得22a =，所以22n nn a a -==，所以()1111log log 11n n n a a b n n n n +===-++，所以20201111120201223202020212021S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和，是基础题. 11．B 【分析】根据题意可知四边形12F MF N 为矩形，然后根据双曲线的定义及矩形12F MF N 的面积为60，列出关于1MF ，2MF 的关系式，解出1MF ，2MF ，则可得出a ，c 的值，然后得出离心率. 【详解】因为点M 在以12F F 为直径的圆上，则12MF MF ⊥，则四边形12F MF N 是矩形，根据题意可得：12121260,17,,MF MF MF MF MF MF ⎧⋅=⎪+=⎨⎪>⎩解得112MF =，25MF=， 所以：2227a MF MF =-=，213c ==，所以137e =， 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线的定义及应用，考查双曲线离心率的求解问题，难度一般，根据条件得出各边长的几何关系是关键. 12．D 【分析】利用基本不等式可求1APC 的面积最小值为18，再根据几何体的特征可得AP 为外接球的直径，从而可求外接球表面积. 【详解】解法一：由“堑堵”的定义可知，ABC 为直角三角形，故4BC ==，易知1AC PC ⊥，又1PC PC ⊥，1PC PC P ⋂=，所以1PC ⊥平面APC ，而AP ⊂平面APC ，于是得1AP PC ⊥． 设1BB z =，BP t =，则1B P z t =-，则AP ==1PC ==1AC ==由1AP PC ⊥，得()222925161z t z +=+++-，整理得16z t t=+， 所以()22212161616PC z t x=+-=+，所以1112APC S AP PC =⋅==△18≥=，当且仅当22400t t=，即t =1APC 的面积取得最小值18． 此时AP ==设三棱锥P ABC -的外接球半径为R ，因为AC CP ⊥，AB BP ⊥，故线段AP 为外接球的直径， 故所求外接球的表面积454π45π4S =⨯=． 故选：D ．解法二：令11PCB C PB θ∠==∠，则14sin C P θ=，4cos CP θ=，AP == 又因为AC ⊥平面11CBB C ，所以1AC C P ⊥，又1CP C P ⊥． 所以1C P ⊥平面ACP ，所以190C PA ∠=︒．1APC的面积1111422sin APC S C P AP θ=⋅=⋅=△===当且仅当2210064tan tan θθ=时，1APCS △取最小值， 此时tan θ=，AP ===． 在三棱锥P ABC -中，因为90ACP ABP ∠=∠=︒，取AP 中点为O ， 则12OC OB AP OA OP ====， 故O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，所以AP 为外接球直径，224ππ45πO S R AP ===球． 故选：D ． 【点睛】本题考查空间中几何图形面积的计算、几何体外接球的表面积计算，注意根据几何体的特征合理确定球心的位置，本题属于较难题. 13．2 【分析】先利用数量积的运算律展开，再计算即得解. 【详解】由题得()221cos 6012a b b a b b +⋅=⋅+=⋅⋅︒+=. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算律和计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．5 【分析】画出不等式组表示的平面区域，根据图形即可判断取最小值的点. 【详解】由约束条件得可行域如图中阴影部分所示，由10240x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得()2,3A -，由图知，当直线23z x y =+经过点A 时，z 取得最小值为495-+=. 故答案为：5. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题. 15．25【分析】利用古典概型的概率公式求解. 【详解】依次将大理、黄果树瀑布、阳朔、张家界和青海湖编号为1，2，3，4，5， 则从中任选两处的所有可能情况有1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5，共10种，恰好选中青海湖的情况有()1,5，()2,5，()3,5，()4,5，共4种， 则由古典概型的概率公式得所求概率为42105=. 故答案为：25【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】作出函数()f x 的大致图象，函数()f x 与直线y a =及直线12y a =+的交点个数即为方程()()102f x a f x a ⎡⎤-⋅--=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦的根的个数，数形结合求出满足条件的a 的范围. 【详解】作出函数()f x 的大致图象如图所示，由已知关于x 的方程()f x a =或()12f x a =+恰有5个不相等的实数根，则01,11,2a a <<⎧⎪⎨+≥⎪⎩解得1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,1 2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查利用两函数图像的交点研究方程的根，属于中档题.17．（1）答案见解析；农村消费者应抽取6人，城镇消费者应抽取9人；（2）有. 【分析】（1）根据列联表上的数据，进行补充即可；（2）将数据代入()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++计算，在表中进行对比即可得解.【详解】解：（1）列联表如下：农村消费者应抽取156100⨯=人；城镇消费者应抽取60159100⨯=人.（2）()221007573334.167 3.84110904060K⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为消费者购买运费险与城镇农村有关. 【点睛】本题考查了列联表的补全以及独立性检验，考查了数据的计算，属于基础题. 18．（1）3π；（2）7. 【分析】（1）在BCD △中利用正弦定理求出sin BDC ∠，则可得BDC ∠，进而可根据三角形的形状求出结果；（2）设3BD t =，4AD t =，分别在BDC ，ADC 中应用余弦定理计算可得t ，进而可得线段AB 的长. 【详解】解：（1）在BCD △中，由正弦定理得：sin sin BC CDBDC B=∠则sin sin 2BC BBDC CD⋅∠===，因为ADC ∠为锐角，所以BDC ∠为钝角， 所以2π3BDC ∠=， 所以π3ADC ∠=， 又DA DC =，所以ACD △为等边三角形， 所以π3A =； （2）设3BD t =，4AD t =，分别在BDC ，ADC 中应用余弦定理，得()()22391849250233243t t t t +-+-+=⨯⨯⨯⨯，解得1t =（1t =-舍去）， 所以77AB t ==. 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，考查学生计算能力，是基础题.19．（1）证明见解析；（2）3π. 【分析】（1）先由面面垂直的性质定理得到AF ⊥平面ABCD ，再利用线面垂直的判断定理得到结论；（2）该几何体由三棱锥F ADC -与四棱锥C ABEF -组合而成，设A 到CD 的距离为d ，则C 到AB 的距离也为d ，利用体积相等可求出d =.【详解】（1）证明：因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，AF AB ⊥，平面ABEF平面ABCD AB =，所以AF ⊥平面ABCD ， 又BD ⊂平面ABCD ， 所以AF BD ⊥.又因为四边形ABCD 为菱形， 所以BD AC ⊥， 又AFAC A =，所以BD ⊥平面AFC .（2）解：该几何体由三棱锥F ADC -与四棱锥C ABEF -组合而成. 设A 到CD 的距离为d ，则C 到AB 的距离也为d ，则()11112112232323BCDEF F ADC C ABEF V V V d d --=+=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，解得d =sin 2ADC ∠=， 可得π3ADC ∠=. 【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定定理以及利用体积求角问题.属于较易题. 20．（1）单调递减区间为(),1-∞，单调递增区间为()1,+∞；（2）31,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（1）求导得到()()()11xf x x e '=-+，再根据导数的正负判断单调性得到答案.（2）整理得到2e x x a -≥，取()()22ex x h x x -=>，求导得到单调区间，计算函数的最大值得到答案. 【详解】（1）依题意()()()()()1111xx f x ex x x e '=-+-=-+，当(),1x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 的单调递减区间为(),1-∞，单调递增区间为()1,+∞. （2）当2x >时，()()21442a af x x a x ⎛⎫≥+-++⎪⎝⎭恒成立， 即()()222e 14422xa a a x x ax x a x ⎛⎫-+-≥+-++ ⎪⎝⎭， 即()()222e 442x a x x x x --+=-≥， 即2e xx a -≥恒成立，即max 2e x x a -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.令()()22e x x h x x -=>，则()()123e ex x x x h x ---'==， 易知()h x 在区间()2,3内单调递增，在区间()3,+∞内单调递减， 所以()()3max 13e h x h ==，所以31e a ≥. 所以实数a 的取值范围是31,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了利用导数求函数单调区间，不等式恒成立问题求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，参数分离得到2e xx a -≥是解题的关键. 21．（1）24y x =；（2）存在，()2,0-.（1）设(),P x y ，则FP 的中点为1,22x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意得222111222x x y ++⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理即可得解；（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()()20y k x k =-≠，联立()22,4,y k x y x ⎧=-⎨=⎩整理得()22224440k x k x k -++=，假设存在点(),0Q a ，使得0QM QN k k +=，再结合韦达定理即可求得定值，再判断直线l 的斜率不存在时亦然即可. 【详解】（1）设(),P x y ，则FP 的中点为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭， 由题意得222111222x x y ++⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得24y x =，即曲线T 的方程为24y x =.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()()20y k x k =-≠，()11,M x y ，()22,N x y .联立()22,4,y k x y x ⎧=-⎨=⎩整理得()22224440k x k x k -++=，所以212244k x x k ++=，124x x =，假设存在点(),0Q a ，由直线QM ，QN 的倾斜角互补可得：0QM QN k k +=，所以12120y y x a x a+=--， 即()()()()()()()1212122121212122240k x x a x x a y x a y x a x a x a x x a x x a -+++⎡⎤-+-⎣⎦==---++， 所以()()12122240x x a x x a -+++=，所以()2482440a a k ⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭恒成立，所以只需2a =-，此时点()2,0Q -.当直线l 的斜率不存在时，()2,0Q -符合题意.综上，存在点()2,0Q -，使得直线QM ，QN 的倾斜角互补.【点睛】本题考查了直线和椭圆的定点问题，关键点是利用韦达定理搭桥建立各个量之间的关系进行计算，计算量较大，属于较难题.22．（1）222x y r +=；40x y --=，r =（2）min PQ =【分析】（1）消参得到圆的普通方程，再根据公式将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程，计算出圆心到直线的距离，即可得解；（2）首先求出圆心到直线的距离d ，则min PQ d r =-，即可得解；【详解】解：（1）因为圆C 的参数方程为cos ,sin x r y r αα=⎧⎨=⎩（α为参数，0r >）， 所以圆C 的普通方程为222x y r +=．πcos 44θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得cos sin 4ρθρθ-=， 所以直线l 的直角坐标方程为40x y --=，圆心C 到直线l 的距离d ==所以当r d ==l 与圆C 相切.（2）圆心C 到直线l的距离d ==故min PQ d r =-==【点睛】本题考查参数方程与普通方程、直角坐标方程与极坐标方程的转化，属于中档题.23．（1）[)2,M =+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）利用零点分段法，去绝对值，再解不等式；（2）利用做差法，()224ab a b ---，再通过变形和0比较大小，证明不等式.【详解】（1）解：原不等式可化为1,4224x x x x<-⎧⎨---≤⎩ 或14,4224x x x x -≤≤⎧⎨-++≤⎩或4,4224,x x x x >⎧⎨-++≤⎩解得x ∈∅或24x ≤≤或4x >，所以厦不等式的解集[)2,M =+∞，（2）证明：()()()()()()()()22422222222ab a b ab b a b a a a b ---=---=---=--， 因为a ，b M ∈，所以2a ≥，2b ≥．所以()()220a b --≥，所以224ab a b -≥-．【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，不等式证明，重点考查零点分段法，做差法，属基础题型,。

2021年高三9月测试数学（文）试题含答案本试卷分选择题和非选择题两部分共24题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡.第Ⅰ卷选择题（60分）一、选择题（共60分，每小题5分）1.设集合，，，则=A． B． C． D．2.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A. B. C. D.3．设函数，若，则A. B. C. D.4. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．其中，“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程.则在这段时间内，该车每千米平均耗油量为A．升 B．升 C．升 D．升5. 下列命题，正确的是A. 命题“，使得”的否定是“，均有”B. 命题“存在四边相等的空间四边形不是正方形”，该命题是假命题C. 命题“若，则”的逆否命题是真命题D. 命题“若，则”的否命题是“若，则”6.已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是A.若，垂直于同一平面，则与平行B.若，平行于同一平面，则与平行C.若，不平行，则在内不存在与平行的直线D.若，不平行，则与不可能垂直于同一平面7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A. B.C. D.58. 设R，定义符号函数则函数的图象大致是正视图侧视图9．若函数图象上的任意一点的坐标满足条件，则称函数具有性质，那么下列函数中具有性质的是A． B． C． D．10. 如图，在正方体中，、分别是、的中点，则下列说法错误的是A． B．C． D．平面11．已知函数，，则是的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．不是充分条件，也不是必要条件12.已知函数是定义在上的函数, 若存在区间，使函数在上的值域恰为，则称函数是型函数．给出下列说法：①函数不可能是型函数；②若函数是型函数, 则，；③设函数是型函数, 则的最小值为；④若函数是型函数, 则的最大值为．下列选项正确的是A．①③ B．②③ C．①④ D．②④第Ⅱ卷非选择题（90分）二、填空题（共20分，每小题5分）13. 函数的定义域为．14. 若定义在R上的可导函数是奇函数，且对，恒成立．如果实数满足不等式，则的取值范围是 .15. 三棱锥中，三条侧棱,底面三边,则此三棱锥外接球的表面积是 .16. 若函数有且只有一个零点，则的取值范围是 .三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知命题：“方程恰好有两个不相等的负根”；命题：“不等式存在实数解”．若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．18.（本小题满分12分）已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间和极值；(Ⅱ)求函数闭区间上的最小值.19.（本小题满分12分）已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万只还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款手机万只并全部销售完，每万只的销售收入为万元，且(Ⅰ) 写出年利润(万元)关于年产量(万只)的函数解析式；(Ⅱ) 当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．20.（本小题满分12分）在三棱柱中，侧棱底面，为的中点，，，.(Ⅰ)求证：平面；（Ⅱ）求多面体的体积.21.（本小题满分12分）已知函数， (为常数)．(Ⅰ) 函数的图象在点)处的切线与函数的图象相切，求实数的值；(Ⅱ) 若函数在定义域上存在单调减区间，求实数的取值范围；(Ⅲ) 若，，且，都有成立，求实数的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，是⊙的一条切线，切点为，都是⊙的割线，(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)证明：∥.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，射线与曲线交于（不包括极点）三点.(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)当时，求三角形的面积．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲(Ⅰ) 求证：；(Ⅱ) 若是不全相等的实数，求证：.答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B BDDCCA A C D13. 14. 15. 16.19.解：(1) 当0<x ≤40，W ＝xR(x)－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40；当x>40，W ＝xR(x)－(16x ＋40)＝－40 000x －16x ＋7 360.所以，W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x>40.(2) ① 当0<x ≤40，W ＝－6(x －32)2＋6 104，所以W max ＝W(32)＝6 104；② 当x>40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600， 当且仅当40 000x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，W 取最大值为5 760.综合①②知，当x ＝32时，W 取最大值为6 104. 20．(Ⅰ) 证明：连接B 1C 交BC 1于O ，连接OD ．∵ O ，D 分别为B 1C 与AC 的中点， OD 为△AB 1C 的中位线， OD//AB 1．又∵ AB 1平面BDC 1， OD 平面BDC 1，∴ AB 1//平面BDC 1．（Ⅱ）解：连接A 1B ，取BC 的中点E ，连接DE ，如图． ∵ A 1C 1=BC 1，∠A 1C 1B=60º， ∴ △A 1C 1B 为等边三角形． ∵ 侧棱BB 1⊥底面A 1B 1C 1， ∴ BB 1⊥A 1B 1，BB 1⊥B 1C 1， ∴ A 1C 1=BC 1=A 1B ==．∴ 在Rt △BB 1C 1中， B 1C 1==2，于是，A 1C 12= B 1C 12+A 1B 12， ∴ ∠A 1B 1C 1=90º，即A 1B 1⊥B 1C 1， ∴ A 1B 1⊥面B 1C 1CB ． 又∵ DE//AB//A 1B 1，∴ DE ⊥面B 1C 1CB ，即DE 是三棱锥D-BCC 1的高． ∴ = ==．∴ 321111111-⨯=-=∆--BB S V V V C B A C BC D ABC C B A =．21．解：(1) 因为f(x)＝lnx ，所以f ′(x)＝1x ，因此f ′(1)＝1，所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y ＝x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝12x 2－bx ，得x 2－2(b ＋1)x ＋2＝0.由Δ＝4(b ＋1)2－8＝0，得b ＝－1± 2. (还可以通过导数来求b)(2) 因为h(x)＝f (x)＋g(x)＝lnx ＋12x 2－bx(x ＞0)，所以h ′(x)＝1x ＋x －b ＝x 2－bx ＋1x，由题意知h ′(x)＜0在(0，＋∞)上有解，因为x ＞0，设u(x)＝x 2－bx ＋1，因为u(0)＝1＞0， 则只要⎩⎪⎨⎪⎧b 2＞0，－b 2－4＞0，解得b ＞2，OE所以b的取值范围是(2，＋∞)．(3) 不妨设x1＞x2，因为函数f(x)＝lnx在区间[1,2]上是增函数，所以f(x1)＞f(x2)，函数g(x)图象的对称轴为x＝b，且b＞2.当b≥2时，函数g(x)在区间[1,2]上是减函数，所以g(x1)＜g(x2)，所以|f(x1)－f(x2)|＞|g(x1)－g(x2)|等价于f(x1)－f(x2)＞g(x2)－g(x1)，即f(x1)＋g(x1)＞f(x2)＋g(x2)，等价于h(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx＋12x2－bx在区间[1,2]上是增函数，等价于h′(x)＝1x＋x－b≥0在区间[1,2]上恒成立，等价于b≤x＋1x在区间[1,2]上恒成立，所以b≤2. 又b≥2，所以b＝2；Z25554 63D2 插 r]38056 94A8 钨25108 6214 戔22875 595B 奛23684 5C84 岄29657 73D9 珙?24Y。

2021届河南省洛阳市高三期中考试数学（文）试题一、单选题1．设全集{}|15U x N x =∈-<<，集合{}13A =，，则集合U C A 的子集的个数是（ ） A. 16 B. 8 C. 7 D. 4 【答案】B【解析】因为{}{}|1501234U x N x =∈-<<=，，，，， {}13A =，，所以{}024U C A =，，，集合U C A 的子集的个数是32=8 ，故选B.2．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()1,1和()2,1-，则21z z =（ ） A. 1322i + B. 1322i -+ C. 1322i - D. 1322i --【答案】C【解析】由复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()1,1,2,1-，得121i,2i z z =+=-，则()()()()212i 1i 2i 131+i 1i 1i 2z i z -+--====+- 1322i -，故选C.3．设m R ∈，是 “2m =”是“1,,4m 为等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】2m =时， 1,2,4为等比数列，而1,,4m 为等比数列时， 2m =或2m =-，即2m =，可以得到“1,,4m ”为等比数列，而1,,4m 为等比数列不使得到2m =一定成立，所以“2m =”是“1,,4m ”为等比数列的充分不必要条件，故选A. 4．已知函数()[][]2,0,1{,0,1x f x x x ∈=∉，若()()2f f x =，则x 取值的集合为（ ）A. ∅B. {}|01x x ≤≤C. {}2D. {}|201x x x =≤≤或 【答案】D【解析】当[]0,1x ∈时， ()2f x =， ()()22f f x f ⎡⎤==⎣⎦，合题意，当[]0,1x ∈时，()()(),2f x x f f x f x x ⎡⎤====⎣⎦， x ∴取值的集合为{| 2 x x =或}01x ≤≤，故选D.5．设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面,则下列四个命题中错误．．的为：( ) A.若a b ⊥，,a b αα⊥⊄，则//b α B. 若//a α，a β⊥，则αβ⊥ C.若a β⊥，αβ⊥，则//a α D.若a b ⊥，,a b αβ⊥⊥，则αβ⊥ 【答案】C【解析】试题分析：若a b ⊥，,a b αα⊥⊄，则//b α，正确； 若//a α，a β⊥，则αβ⊥，正确；若a β⊥，αβ⊥，则//a α或 a α⊂，即C 错误； 若a b ⊥，,a b αβ⊥⊥，则αβ⊥正确，综上知，选C. 【考点】平行关系、垂直关系6．设等差数列{}n a 满足3835a a =，且10a >， n S 为其前n 项和，则数列{}n S 的最大项为（ ） A. 15S B. 16S C. 29S D. 30S 【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， 3935a a =， ()()113257a d a d ∴+=+，化为12290a d +=， 10,0,a d >∴<∴等差数列{}n a 单调递减， ()112n n n S na d -=+()()2129225152222n n d d n d n d -⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭， ∴当15n =时，数列{}n S 取得最大值，故选A. 7．等比数列{}n a 中， 1102,4a a ==，函数()()()()1210f x x x a x a x a =---，则()0f '=（ ） A. 62 B. 92 C. 122 D. 152 【答案】D【解析】在等比数列{}n a 中，由1102,4a a ==，得110293847a a a a a a a a ==== 356242a a =⨯=， 函数()()()()1210...f x x x a x a x a =---是11个因式的乘积，展开后含x 的项仅有()1210...a a a x ，其余的项x 的指数均大于等于2， ()'f x ∴中的常数项仅有1210...a a a ，()()53151210'0...22f a a a ∴===，故选D.8．已知函数()sin 01y a bx b b =+>≠且的图象如图所示，那么函数()log b y x a =+的图象可能是（ ）A. B.C.D.【答案】D【解析】由函数sin y a bx =+图象，可由sin y bx =向上平移a 各单位，由图知， 1a >，根据图象可知sin y a bx =+的周期2,2T b bππ=，排除A 、B ；而()log y b x a =+，由log b y x =向上平移a 各单位，选项中只有D 符合题意，故选D.9．某几何体的三视图如图所示，图中小方格的长度为1，则该几何体的体积为（ ）A. 60B. 48C. 24D. 20 【答案】C【解析】由三视图知：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图，三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥和三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形， ∴几何体的体积11134534330624232V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=，故选C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力以及棱锥与棱柱的体积公式，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.10．已知函数()()sin cos sin f x x x x =+，则下列说法不正确的为（ ） A. 函数()f x 的最小正周期为πB. ()f x 在37,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减 C. ()f x 的图象关于直线8x π=-对称D. 将()f x 的图象向右平移8π，再向下平移12个单位长度后会得到一个奇函数的图象【答案】D【解析】函数()()2sin cos sin sin cos sin f x x x x x x x =+=+11cos2122cos2222222x sin x sin x x ⎫-=+=-+⎪⎪⎝⎭12242sin x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ()f x ∴的最小正周期为2,T A ππω==∴正确； 37,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 32,422x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， ()f x 是单调递减， B∴正确；当6x π=-时， ()12442f x sin ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 122=-+为最小值， 6x π∴=-是()f x 的对称轴， C 正确；将()f x 的图象向右平移8π，再向下平移12个单位长度后会得y x =的图象，它是偶函数， D 错误，说法不正确的为D ，故选D .11．在平面直角坐标系xoy 中，已知点()()()2,3,3,2,1,1A B C ，点(),P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，设(),,OP mAB nCA m n R =-∈，则2m n +的最大值为 （ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】()()()2,3,3,2,1,1A B C ,()()1,1,1,2AB AC ∴=-=--,(),OP mAB nCA m n R ∴=-∈()(),2,m n m n x y =---=,23{{ 23x ym m n x m n y x yn -=-=⇒--=--=, 2m n x y +=-,设x y z -=，画出,,A B C 连线的表示的区域，如图，平移直线y x z =-，当直线经过()3,2B 时， z 有最大值321-=，故选B. 【方法点晴】本题主要考查转化与划归思想以及线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属于难题题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.12．已知定义在1,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的函数()f x ，满足()1f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且当[]1,x π∈时()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在1,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1,ln e ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦B. {}ln ,ln 0ππππ⎛⎤⋃⎥⎝⎦ C. []0,ln ππ D. {}1,ln 0e ππ⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】()1f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭, []1,x π∈时， ()ln f x x =， 1,1x π⎛⎤∴∈- ⎥⎝⎦时， []()1111,,ln f f x x x x π⎛⎫∈== ⎪⎝⎭，()ln f x x =-， ()g x 零点，就是()y f x =与y ax =的交点，画出两函数图象，如图，由图知，ln OA k ππ=过原点与ln y x =相切的直线斜率为1e ，所有直线与曲线有一个交点的a 的范围是{}1,ln 0e ππ⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦，故选D. 【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式以及函数与方程思想、数形结合思想，属于难题. 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题13．已知()()2,2,1,0a b =-=，若向量()1,2c =与a b λ+共线，则λ=__________． 【答案】3【解析】()()2,2,1,0a b =-=,()()()+2,2+1,02+,2a b λλλ∴=-=-,由向量()1,2c =与a b λ+共线，得()12220λ⨯-⨯-+=，解得3λ=，故答案为3.14．若函数在其定义域内为奇函数，则实数__________．【答案】或【解析】在定义域上为奇函数，，即，根据等式恒成立可得，或，故答案为.15．已知()11sin 22f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，数列{}n a 满足()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则2017a =__________． 【答案】1009【解析】因为sin y x =的图象关于原点对称， ()1122f x sin x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象由sin y x =向上平移12个单位，向右平移12个单位， ()f x ∴的图象关于11,22⎛⎫⎪⎝⎭对称， ()()11f x f x ∴+-=， ()()()()1101==...=10=1n f f ff f f n n ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()110...1n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()111...0n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，两式相加可得，()()()()11201...10n n a f f f f f f n n ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤=++++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ()()()()1120...102018n n a f f n f f f f n n ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤=++++++= ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 1009n a =，故答案为1009.16．已知菱形ABCD 边长为2， 060A =，将ABD ∆沿对角线BD 翻折形成四面体ABCD ，当四面体ABCD 的体积最大时，它的外接球的表面积为__________．【答案】203π【解析】当平面ABD ⊥平面CBD 时，四面体体积是最大，当体积最大时，设ABD ∆外心为2O ， CBD ∆外心为1O ，过12,O O ，分别作平面面CBD 与平面ABD 的垂线交于O ，则O 即是外接球的球心，22225333R OC ⎛⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，外接球表面积22043R ππ=，故答案为203π. 【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和求出半径.三、解答题17．设函数()21cos sin 22f x x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）当,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最值．【答案】（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）见解析【解析】试题分析：（1）先根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式可将()f x 化为cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用余弦函数的单调性解不等式即可得结果；（2）由34x ππ-≤≤，可得52336x πππ-≤+≤，结合余弦函数的图象可得()f x 的最值.试题解析：（1）()211cos21cos ?sin ?cos 2222xf x x x x x x π+⎛⎫=-+-=-- ⎪⎝⎭cos2cos 2223x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭． 由222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，得222233k x k ππππ-≤≤+，∴63k x k ππππ-≤≤+，所以()f x 的单调递减区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）∵34x ππ-≤≤， ∴52336x πππ-≤+≤， 当()20,cos 21,33x x f x ππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭取到最大值1，此时6x π=-；当()52,cos 2363x x f x πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭取得最小值4x π=． 18．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前三项和为6，且248,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使1415n S <的n 的最大值． 【答案】（1）n a n =．（2）13．【解析】试题分析：（1）根据等差数列{}n a 的前三项和为6，且248,,a a a 成等比数列列出关于首项1a 、公差d 的方程组，解方程组可得1a 与d 的值，从而可得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得()11111n b n n n n ==-++，利用裂项相消法求和后，解不等式即可得结果.试题解析：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意有12324286{a a a a a a ++==，即1212{a d d a d +=-=，由0d ≠，解得11{1a d ==，所以n a n =． （2）由（1）可得()11111n b n n n n ==-++，所以()111111122311n S n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++=-⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．解1141115n -<+，得14n <， 所以n 的最大值为13． 【方法点晴】本题主要考查等差数列、等比数列的综合运用以及裂项相消法求和，属于中档题.裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；②1k=；③()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；④()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.19．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()()2,,cos ,cos m c b a n A C =-=，且m n ⊥．（1）求角A 的大小；（2）若3a b c =+=，求ABC ∆的面积．【答案】（1）3A π=．（2 【解析】试题分析：（1）由m n ⊥，得()2cos cos 0c b A a C -+=，根据正弦定理、两角和的正弦公式及诱导公式可得1cos 2A =，从而可得结果；（2）由3a b c =+=，结合余弦定理可得2bc =，利用三角形面积公式可得结果. 试题解析：（1）由m n ⊥，得·0m n =， 即()2cos cos 0c b A a C -+=，由正弦定理，得()sin 2sin cos sin cos 0C B A A C -+=， 所以2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+， ()2sin ?cos sin B A A C =+，2sin cos sin B A B =，因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以1cos 2A =． 因为0A π<<，所以3A π=．（2）在ABC ∆中，由余弦定理，得()22222cos 33a b c bc b c bc π=+-=+-，又3a b c =+=，所以393bc =-，解得2bc =，所以ABC ∆的面积11sin 2232S bc π==⨯=．【方法点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 20．已知函数()()32,,f x x ax bx c a b c R =+++∈．（1）若函数()f x 在1x =-和2x =处取得极值，求,a b 的值；（2）在（1）的条件下，当[]2,3x ∈-时， ()2f x c >恒成立，求c 的取值范围．【答案】（1）3{ 26a b =-=-；（2）(),10-∞-．【解析】试题分析：（1）求出导函数()f x '，利用()10f '-=，且()2f '=0，解方程组可求得3{ 26a b =-=-；（2）利用导数研究函数()f x 的单调性，可得函数()f x 在[]2,3x ∈-时， ()f x 的最小值为10c -，只需102c c ->即可求c 的取值范围. 试题解析：（1）由题可得 ， ()232f x x ax b =++'， ∵函数()f x 在1x =-和2x =处取得极值， ∴1,2-是方程2320x ax b -+=的两根，∴2 123 {123ab-+=--⨯=，∴3{26ab=-=-；（2）由（1）知()32362f x x x x c=--+，()2336f x x x'=--，当x变化时，()(),f x f x'随x的变化如下表：x-2 ()2,1---1 ()1,2- 2 ()2,3 3()f x'+ 0 - 0 +()f x2c-增72c+减10c-增92c+∴当[]2,3x∈-时，()f x的最小值为10c-，要使()2f x c>恒成立，只要102c c->即可，∴10c<-，∴c的取值范围为(),10-∞-．21．如图，四棱锥P ABCD-中，底面四边形ABCD是直角梯形，090ADC∠=，ADP∆是边长为2的等边三角形，Q是AD的中点，M是棱PC的中点，1,3,6BC CD PB===．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求三棱锥B PQM-的体积．【答案】（1）见解析（2）14． 【解析】试题分析：（1）由090ADC ∠=，可得 QB AD ⊥，由勾股定理可知PQ QB ⊥，从而可得BQ ⊥平面PAD ，进而根据面面垂直的判定定理可得结论；（2）连接CQ ，先证明PQ ⊥平面ABCD ，再根据等积变换可得1122B PQM P BQC M BQC P DQC P BQC P BQC V V V V V V ------=-=-=，从而可得结果.试题解析：（1）∵底面四边形ABCD 是直角梯形， Q 是AD 的中点， ∴1,//BC QD AD BC ==，∴四边形BCDQ 为平行四边形， ∴//CD BQ ， ∵090ADC ∠=， ∴QB AD ⊥，又22,PA PD AD Q ===，是AD 的中点，故3PQ =， 又3,6QB CD PB ===∴222PB PQ QB =+，由勾股定理可知PQ QB ⊥， 又PQ AD Q ⋂=， ∴BQ ⊥平面PAD ， 又BQ ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）解：连接CQ ， ∵2PA PD ==， Q 是AD 的中点， ∴PQ AD ⊥， ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，∴PQ ⊥平面ABCD ，又M 是棱PC 的中点，故1122B PQM P BQC M BQC P DQC P BQC P BQC V V V V V V ------=-=-=，而112BQC PQ S ==⨯=，∴111·332P BQC BQC V S PQ -∆===， ∴111224B PQM V -=⨯=．22．已知函数()f x 为偶函数，当0x ≥时， ()x f x ae =，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为20ebx y a -+-=． （1）求,a b 的值；；（2）若存在实数m ，对任意的[]()1,1x k k ∈>，都有()2f x m ex +≤，求整数k 的最小值． 【答案】（1）2a b ==．（2）2．【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程y aex =，根据此方程与20ebx y a -+-=重合可得,a b 的值；（2））因为()f x 为偶函数，所以存在实数m ，对任意的[]()1,1x k k ∈>，都有()2f x m ex +≤，等价于以ln 1ln 1x x m x x ---≤≤-++在[]1,k 上恒成立，设()ln 1g x x x =-++， ()ln 1h x x x =---，利用导数研究函数的单调性求出()min g x 与()max h x ，只需令()()min max g x m h x ≤≤即可得结果. 试题解析：（1）0x >时， ()()(),1,1x f x ae f ae f ae ===''， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()()111y f f x '-=-， 即y aex =．又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为20ebx y a ++-=， 所以2a b ==．（2）因为()f x 为偶函数，且当0x ≥时， ()x f x ae =， 那么()2xf x e =，由()2f x m ex +≤得22x meex +≤，两边取以e 为底的对数得ln 1x m x +≤+，所以ln 1ln 1x x m x x ---≤≤-++在[]1,k 上恒成立， 设()ln 1g x x x =-++， 则()1110x g x x x'-=-+=≤（因为[]1,x k ∈） 所以()()min ln 1g x g k k k ==-++，设()ln 1h x x x =---，易知()h x 在[]1,k 上单调递减， 所以()()max 12h x h ==-，故2ln 1m k k -≤≤-++，若实数m 存在，必有ln 3k k -+≥-，又1k >，所以2k =满足要求，故所求的最小正整数k 为2．。

2021-2022年高三9月月考数学文试题含答案一、选择题 (本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填填写在答题卷上)1.设集合,，则等于（）A． B． C． D．2. 已知，则“是的等比中项”为“是的等差中项”的 ( )A．充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件3．已知复数是虚数单位，则复数的虚部是 ( )A． B． C． D．4. 函数的定义域为（）A. B.C. D.5. 右面的程序框图输出S的值为（）A．2 B.6 C．14 D.306.函数的零点所在的大致区间是（）A．（3，4）B．（2，e） C．（1，2） D．（0，1）7.某同学根据自己的样本数据研究变量之间的关系，求得，对的线性回归方程为.请你根据已知数据估计当时的值为（）A.1.5B.1.6C.1.7D.1.88.函数与在同一直角坐标系下的图像大致是( ）9．对于任意，则满足不等式的概率为（）A. B. C. D. 开始否是输出结10．定义在上的函数为偶函数且关于对称，当时，，则=+⋅⋅⋅+++)9()2()1()0(f f f f （ ）A 、0B 、1C 、2D 、3第Ⅱ卷（主观题 共100 分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分,把答案写在相应位置上）11.对数函数2014)2013(log 2++=x y 的恒过定点为 。

12. 已知，且，则 。

13.已知为钝角，且，则 。

14.已知函数，则15. 已知函数, 若, 则实数的取值范围 .三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16.（本题满分13分）设函数x x x x x f cos )cos(3cos sin )(π+-=17、（本题满分13分）在中，内角对边分别是，已知向量1),2sin 2,2(cos ),2sin ,2cos 2(-=⋅-==→→→→n m A A n A A m . (1)求的值；(2)若，求的值.18.（本题满分13分)某学校进行体检，现得到所有男生的身高数据，从中随机抽取50人进行统计（已知这50人身材均介于到之间），现将抽取结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，……，第八组，并按此分组绘制如下图所示的频率分布直方图，其中，第六组和第七组还没有绘制完成，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人。

师范大学附中2021届高三数学9月月考试题 文〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕{A x y ==，集合 {}ln cosB x y x ==，那么A B =〔 〕A. 2,2()42k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭B. 2,2()42k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭C. 2,2()4k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭D. 2,2()4k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合,A B 再求交集即可 【详解】由题5sin cos 022,44x xkx kk Z ，故522,44A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ cos 02222x kx k，故2222B x k x k k Z ππππ⎧⎫=-<<+∈⎨⎬⎩⎭， A B =2,2()42k k k Z ππππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭应选：B【点睛】此题考察集合的交集运算，纯熟求解三角不等式是关键，是根底题2.a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b -等于〔 〕A. 7B. 10C. 13D. 4【答案】A 【解析】此题主要考察的是向量的求模公式。

由条件可知==，所以应选A 。

sin()cos()()22y x x ϕϕϕπ=++<的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个奇函数的图象，那么ϕ的值是( )A. -34πB. -4π C.4π D.2π 【答案】B 【解析】 【分析】利用倍角公式变形，再由函数图象的平移求得平移后的函数解析式，结合奇函数g 〔0〕=0求解φ的取值． 【详解】y ＝sin 〔x 2ϕ+〕cos 〔x 2ϕ+〕()122sin x ϕ=+， 沿x 轴向左平移8π个单位，得g 〔x 〕1224sin x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．由g 〔0〕0=，得4π+φk π=，即φ4k ππ=-+，k ∈Z ．当k ＝0时，φ4π=-； ∴φ的取值是4π-．应选：B ．【点睛】此题主要考察函数y ＝A sin 〔ωx +φ〕的图象变换规律，考察正弦函数的性质，属于根底题．4.1213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1ln2b =，，那么〔 〕 A. a bc >>B. c a b >>C. b a c >>D.b c a >>【答案】B 【解析】 【分析】由1213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭∈〔0，1〕，b ＝ln12=-ln 2＜0，103221c =>=，即可得出大小关系． 【详解】1213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭∈〔0，1〕，b ＝ln12=-ln 2＜0，103221c =>= ∴b ＜a ＜c ． 应选：B ．【点睛】此题考察了指数与对数运算性质及其指数对数函数的单调性，考察了推理才能与计算才能，属于根底题．sin 0f x x在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，那么ω的取值范围是( )A. 0≤ω≤23B. 0≤ω≤32C.23≤ω≤3 D.32≤ω≤3 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦函数的单调减区间，确定函数的单调减区间，根据函数f 〔x 〕＝sin ωx 〔ω＞0〕在区间32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，建立不等式，即可求ω取值范围． 【详解】令22k ππ+≤ωx 322k ππ≤+〔k ∈Z 〕，那么22k ππωω+≤x 322k ππωω≤+ ∵函数f 〔x 〕＝sin ωx 〔ω＞0〕在区间32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，∴223k πππωω+≤且3222k πππωω+≥ 当0k =满足题意，∴332ω≤≤ 应选：D ．【点睛】此题考察正弦函数的单调性，考察解不等式，考察学生的计算才能，属于根底题．R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[]3,2--上是增函数，假设,αβ是锐角三角形的两个内角，那么〔 〕 A. (cos )(cos )f f αβ> B. (sin )(sin )f f αβ< C. (sin )(cos )f f αβ> D. (sin )(cos )f f αβ<【答案】D 【解析】 【分析】根据f 〔x +2〕＝f 〔x 〕，得函数的周期为2，在[﹣3，﹣2]上是减函数，可得f 〔x 〕在[﹣1，0]上为减函数，由f 〔x 〕为偶函数，得f 〔x 〕在[0，1]上为单调增函数．再根据α，β是锐角三角形的两个内角，利用三角函数诱导公式化简可得答案． 【详解】由题意：可知f 〔x +2〕＝f 〔x 〕， ∴f 〔x 〕是周期为2的函数， ∵f 〔x 〕在[﹣3，﹣2]上为减函数，∴f 〔x 〕在[﹣1，0]上为减函数，又∵f 〔x 〕为偶函数，根据偶函数对称区间的单调性相反， ∴f 〔x 〕在[0，1]上为单调增函数． ∵在锐角三角形中，π﹣α﹣β2π＜∴π﹣α﹣β2π＜，即2ππαβ+＞＞，∴2π＞α2＞π-β＞0， ∴sin α＞sin 〔2πβ-〕＝cos β；∵f 〔x 〕在[0，1]上为单调增函数． 所以f 〔sin α〕＞f 〔cos β〕， 应选：D ．【点睛】此题主要考察了函数的奇偶性和周期性的应用，以及三角函数的图象和性质，综合性较强，涉及的知识点较多．属于中档题．7.四个函数：①sin y x x =；②cos y x x =；③cos y x x =；④2xy x =⋅的图象(局部)如下，但顺序被打乱，那么按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是A. ④①②③B. ①④②③C. ③④②①D.①④③② 【答案】B 【解析】 【分析】先分析四个函数奇偶性，再讨论函数对应区间上函数值正负，即可进展判断选择. 【详解】①sin y x x =为偶函数，所以对应第一个图； ②cos y x x =为奇函数，且3,22x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时函数值为负，所以对应第三个图； ③cos y x x =为奇函数，且0x >时函数值恒非负，所以对应第四个图； ④2x y x =⋅为非奇非偶函数，所以对应第二个图.【点睛】此题考察函数奇偶性以及函数数值，考察根本分析与判断求解才能，属基此题.()()sin f x A x =+ωϕ，0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的局部图象如下图，那么使()()0f a x f a x +--=成立的a 的最小正值为〔 〕A.3πB.4π C.6π D.12π【答案】C 【解析】 【分析】结合图象由最值可求A ，由f 〔0〕＝2sin φ＝1，可求φ，结合图象及五点作图法可知，ω11126ππ⨯+=2π，可求ω，再求出函数的对称轴方程即可求解． 【详解】结合图象可知，A ＝2，f 〔x 〕＝2sin 〔ωx +φ〕， ∵f 〔0〕＝2sin φ＝1，∴sin φ12=， ∵|φ|2π＜，∴φ6π=，f 〔x 〕＝2sin 〔ωx 6π+〕，结合图象及五点作图法可知，ω11126ππ⨯+=2π， ∴ω＝2，f 〔x 〕＝2sin 〔2x 6π+〕，其对称轴x 162k ππ=+，k ∈Z ，∵f 〔a +x 〕﹣f 〔a ﹣x 〕＝0成立，∴f 〔a +x 〕＝f 〔a ﹣x 〕即f 〔x 〕的图象关于x ＝a 对称，结合函数的性质，满足条件的最小值a 6π=应选：B ．【点睛】此题主要考察了由y ＝A sin 〔ωx +φ〕的图象求解函数解析式，解题的关键是正弦函数性质的灵敏应用．2,0()21,0x e x f x x x x -⎧≤=⎨--+>⎩，假设2(1)(1)f a f a -≥-+，那么实数a 的取值范围是〔 〕A. [2,1]-B. [1,2]-C. (,2][1,)-∞-+∞D. (,1][2,)-∞-+∞【答案】A 【解析】 【分析】由函数()2,021,0x e x f x x x x -⎧≤=⎨--+>⎩的表达式即可判断()f x 在R 上递减，利用单调性可得：211a a -≤-+，解不等式即可。

2021年高三第一次（9月）月考数学文试卷含答案班级________ _______姓名___________成绩___________一、选择题：（本大题共8小题；每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.若，则＝（）A.1B.C.D.3.设，，则“”是“”的（）A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件4.若,,则（）A.B.C.D.5.函数的部分图像如图所示，则（）A.B.C.D.6.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A.B. C.D.7.执行下图（见下页）的程序框图，如果输入的，那么输出的（）A.3B.4C.5D.68.在平面直角坐标系中，为坐标原点，设向量，其中＝(3,1)，＝(1,3)．若,且，则点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )二.填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.） 9.已知向量 ，则与夹角的大小为_________. 10.若满足约束条件，则的最小值为 ______.11.已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则=.12.设锐角△的三内角,所对边的边长分别为，且，则的取值范围为_________________. 13.若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是________________. 14.已知函数的单调递减区间是． (1)实数的值为________；(2)若在上为减函数，则实数的取值范围是________．三．解答题 (本大题共6个小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.设函数.(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；(2)当时，函数的最大值与最小值的和为32，求实数的值．16.已知函数是奇函数． (1)求实数的值；(2)设，若函数与的图像至少有一个公共点，求实数的取值范围．17.已知数列的前项和，是等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）令.求数列的前项和.18.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5），[0.5,1），……[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；（3）估计居民月均用水量的中位数.19.已知函数.(1)若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若，求函数在上的最大值和最小值；(3)若，求证：在区间上函数的图像在函数的图像的下方．20.已知，.(1)令，求的单调区间；(2)已知在处取得极大值，求实数的取值范围.xx届高三年级第一次月考数学（文科）答案一、选择题1. D2.D3.C4.B5.A6.A7.B8.A二、填空题9.10.-5 11. -2 12. 13．(-2,2)14.(1)1/3(2)(0,1/3]．三、解答题15.设函数f(x)＝3sin x cos x＋cos2x＋a.(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)当x ∈[－π6，π3]时，函数f (x )的最大值与最小值的和为32，求实数a 的值．解析 (1)∵f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＋a ＝32sin2x ＋12(1＋cos2x )＋a ＝32sin2x ＋12cos2x ＋a ＋12＝sin(2x ＋π6)＋a ＋12，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )．故函数f (x )的单调递增区间为[－π3＋k π，π6＋k π](k ∈Z )．(2)∵－π6≤x ≤π3，∴－π6≤2x ＋π6≤5π6.当2x ＋π6＝－π6时，函数f (x )取最小值，即f (x )min ＝－12＋a ＋12＝a ；当2x ＋π6＝π2时，函数f (x )取最大值，即f (x )max ＝1＋a ＋12＝a ＋32.∴a ＋a ＋32＝32，∴a ＝0.16．已知函数f (x )＝4x＋m2x 是奇函数．(1)求实数m 的值； (2)设g (x )＝2x ＋1－a ，若函数f (x )与g (x )的图像至少有一个公共点，求实数a 的取值范围．解析 (1)由函数f (x )是奇函数可知f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1.(2)函数f (x )与g (x )的图像至少有一个公共点，即方程4x－12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，即方程4x －a ·2x＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x>0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根． 方法一：由于a ＝t ＋1t≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)．方法二：令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1>0，∴只需⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a2>0，解得a ≥2.∴a 的取值范围为[2，＋∞)． 17.已知数列的前n 项和，是等差数列，且. （I ）求数列的通项公式； （II ）令.求数列的前n 项和. 【解析】试题分析：（Ⅰ）依题意建立的方程组，即得.18.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5）， [0.5,1），……[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（I ）求直方图中的a 值；（II ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由； （Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.解析：（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月用水量在[0,0.5]的频率为0.08×0.5=0.04.同理，在[0.5,1)，(1.5,2]，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等组的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06，0.04，0.02.由1–(0.04+0.08+0.21+.025+0.06+0.04+0.02)=0.5×a +0.5×a ， 解得a =0.30.考点：频率分布直方图、频率、频数的计算公式 19.已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若a ＝1，求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(3)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上函数f (x )的图像在函数g (x )＝23x 3的图像的下方．解析 (1)由于函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x＝x ＋1x －1x，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1(舍去)． 当x ∈(0,1)时，函数f (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )单调递增，所以f (x )在x ＝1处取得极小值，极小值为12.(2)当a ＝1时，易知函数f (x )在[1，e]上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (e)＝12e 2＋1.(3)证明：设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23x 3，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝1－x 1＋x ＋2x2x，当x >1时，F ′(x )<0，故F (x )在区间(1，＋∞)上是减函数．又因为F (1)＝－16<0，所以在区间[1，＋∞)上F (x )<0恒成立，即f (x )<g (x )恒成立．因此，当a ＝1时，在区间[1，＋∞)上函数f (x )的图像在函数g (x )图像的下方． 20.设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间；(Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围.可得， 则，当时，时，，函数单调递增； 当时，时，，函数单调递增， 时，，函数单调递减.所以当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.当时，，单调递减，所以在处取得极大值，合题意.综上可知，实数a的取值范围为.。

2021年高三9月月考数学文试题含答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、定义集合的一种运算：其中，若，，则中的所有元素数字之和为（）A．9 B．14 C．18 D．212、已知平面向量，若与共线，则（）A． B． C． D．3、“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4、函数的单调递减区间是（）A． B． C． D．5、已知函数，则函数的值域是（）A． B． C． D．6、将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的解析式是（）A． B．C． D．7、函数的一个零点所在区间为（）A ．B ．C ．D ．8、在平面直角坐标系中，已知，点C 在第一象限内，且，若，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．9、R 上的奇函数满足，当时，，则（ ）A ．B ．2C ．D ．10、已知()[)[]211,010,1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，则下图中函数的图象错误的是（ ）A B C D11、已知，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．12、当时，函数的图象在直线的上方，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷 （共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分，把最简答案填写在答题卡相应的位置上）13、令，如果对的真命题，则的取值范围是14、已知，函数，若实数满足，则的大小关系为15、曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为16、若sin x x ==，则三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17、（本题满分10分）已知方程有两个不等的负根；方程无实根，若或为真，且为假，求实数的取值范围．18、（本题满分12分）已知函数()2sin cos sin f x x x x =+．（1）的值；（2）若，求的最大值及相应的的值．19、（本题满分12分）已知函数()()2,(2ln )(0)f x x g x a x a x=-=->，若曲线与曲线在处的斜线斜率相同，求的值，并判断两条切线是否为同一直线．20、（本题满分12分）已知和，且，求的值．21、（本题满足12分）已知函数，当时，恒有（1）求证：是奇函数；（2）如果为正实数，，并且，求求在区间上的最值．22、（本题满分12分）已知函数为正数（1）求函数的单调区间；（2）若对认识均有成立，求实数的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．D2．A3．A4．A5．C6．B7．B8．A9．A10．D11．C12．C二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分，把最简答案填写在答题卡相应的位置上）13．a＞1 ．14．m＜n ．15．y=4x±．16．．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．解：由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，若p为真，则其等价于，解可得，m＞2；若q为真，则其等价于△＜0，即可得1＜m＜3，若p假q真，则，解可得1＜m≤2；若p真q假，则，解可得m≥3；综上所述：m∈（1，2]∪[3，+∞）．18．解：（Ⅰ）∵f（x）=sinxcosx+sin2x，∴，…（1分）= …（4分）=1．…（6分）（Ⅱ）f（x）=sinxcosx+sin2x=，…（8分）==，…（9分）由得，…（11分）所以，当，即时，f（x）取到最大值为．…（13分）19．解：函数的导数为f′（x）=1+，g′（x）=，∵曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在x=1处的斜线斜率相同，∴f′（1）=g′（1），即1+2=﹣a，解得a=﹣3，此时f′（1）=g′（1）=3，f（1）=1﹣2=﹣1，即切点为（1，﹣1），则对应的切线方程为y+1=3（x﹣1），即y=3x ﹣4．g（x）=﹣3（2﹣lnx），g（1）=﹣6，切点为（1，﹣6），则对应的切线方程为y+6=3（x ﹣1），即y=3x﹣9．则两条切线不是同一直线．20．解：由已知得=，∴=+（sinθ+cosθ）2=+（cosθ+sinθ）2=∴=，∴cosθ﹣sinθ=．∴，化为＞0．∵π＜θ＜2π，∴．∴=．∴．21．证明：（1）证明：令x=y=0，则f（0）=2f（0）∴f（0）=0，令y=﹣x，得：f（x）+f（﹣x）=f（0），∴f（x）+f（﹣x）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．（2）（2）解：设x1＜x2，且x1，x2∈R．则f（x2﹣x1）=f（x2+（﹣x1））=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2）﹣f（x1）．∵x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＜0．∴f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x）在R上单调递减．∴f（﹣2）为最大值，f（6）为最小值．∵f（1）=﹣，∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2[f（1）+f（2）]=﹣3．∴f（x）在区间[﹣2，6]上的最大值为1，最小值为﹣3．22．解：（1）∵f（x）=∴f′（x）=，令f′（x）=0，∵a＞0，∴x1=0，x2=3，f′（x）＞0，得0＜x＜3；f′（x）＜0，得x＜0或x＞3，f（x）在（﹣∞，0]上为减函数，在[0，3]上为增函数，在[3，+∞）上为减函数；（2）由（1）知，f（x）在[0，3]上为增函数，在[3，4]上为减函数，∴函数f（x）在[0，4]上有极大值f（3）=也是最大值，又∵f（0）=﹣a＜0，f（4）=11ae﹣4＞0，∴f（0）＜f（4），∴f（x）在[0，4]上的最小值为﹣a，∴要使得函数f（x）对任意x1，x2∈[0，4]均有|f（x1）﹣f（x2）|＜1成立，只需|f（3）﹣f（0）|＜1即可，∴+a＜1，∵a＞0，∴0＜a＜．。