江苏省2019高考数学二轮复习专题三解析几何3.3大题考法_椭圆讲义含解析201905231172

高中数学高考几何解析（椭圆双曲线抛物线）课本知识讲解及练习（含答案）第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1.求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝(y1＋y2)2－4y1y2])(k为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2|③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0)⑥(a,0)⑦(0，－b)⑧(0，b)⑨(0，－a)⑩(0，a)⑪(－b,0)⑫(b,0)⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1)⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________x ∈对称轴：⑪________对称中心：⑫________顶点坐标：A 1⑮______，A 2⑯________⑱____________c ＝⑳________|＝21________；线段________；a 叫做双曲线的虚半轴长＞b ＞0)(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF |≥c －a .二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab.三、技法1.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.3.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为：xa±yb＝0.参考答案①之差的绝对值②焦点③焦距④2a<|F1F2|⑤2a＝|F1F2|⑥2a>|F1F2|⑦x≥a或x≤－a⑧y≥a或y≤－a⑨x轴，y轴⑩坐标原点⑪x轴，y轴⑫坐标原点⑬(－a,0)⑭(a,0)⑮(0，－a)⑯(0，a)⑰y＝±ba x⑱y＝±ab x⑲ca⑳a2＋b2212a222b23a2＋b2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)F⑦________⑧________⑨________设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1.应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等②y2＝－2px(p＞0)③x2＝－2py(p＞0)④x2＝2py(p＞0)⑤x轴⑥y轴⑦F(－p2，0)⑧F(0，－p2)⑨F(0，p2)⑩e＝1⑪x＝－p2⑫y＝－p2⑬－y0＋p2⑭y0＋p2⑮y≤0⑯y≥0。

椭圆A组——大题保分练1。

如图，圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半轴相交于两点M,N(点M 在点N的左侧），且MN＝3.（1)求圆C的方程；(2）过点M任作一条直线与椭圆T：错误!＋错误!＝1相交于两点A，B,连结AN，BN,求证：∠ANM＝∠BNM.解:（1）设圆C的半径为r，依题意得，圆心坐标为（r，2)．∵MN＝3,∴r＝错误!，∴r＝错误!，∴圆C的方程为错误!2＋(y－2)2＝错误!。

（2)证明：把y＝0代入方程错误!2＋（y－2)2＝错误!，解得x＝1或x＝4,即点M(1,0)，N(4，0)．①当AB⊥x轴时，由椭圆对称性可知∠ANM＝∠BNM.②当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y＝k（x－1），联立方程错误!消去y,得（k2＋2）x2－2k2x＋k2－8＝0.设A(x1,y1),B(x2，y2),则x1＋x2＝错误!,x1x2＝错误!.∵y1＝k（x1－1）,y2＝k（x2－1)，∴k AN＋k BN＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!.∵（x1－1）（x2－4)＋（x2－1）（x1－4）＝2x1x2－5（x1＋x2）＋8＝错误!－错误!＋8＝0，∴k AN＋k BN＝0，∴∠ANM＝∠BNM。

综上所述,∠ANM＝∠BNM.2．(2018·高邮中学月考)如图,在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：错误!＋错误!＝1（a〉b>0)的左顶点为A(－2，0）,离心率为错误!，过点A的直线l与椭圆E交于另一点B，点C为y轴上的一点．(1)求椭圆E的标准方程;（2）若△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．解：(1)由题意可得：错误!即错误!从而有b2＝a2－c2＝3，所以椭圆E的标准方程为错误!＋错误!＝1.（2)设直线l的方程为y＝k（x＋2)，代入错误!＋错误!＝1，得（3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，因为x＝－2为该方程的一个根，解得B错误!，设C(0，y0)，由k AC·k BC＝－1,得错误!·错误!＝－1，即(3＋4k2）y错误!－12ky0＋（16k2－12）＝0.（＊)由AC＝BC，即AC2＝BC2，得4＋y2，0＝错误!2＋错误!2，即4＝错误!2＋错误!2－错误!y0,即4（3＋4k2）2＝(6－8k2)2＋144k2－24k（3＋4k2)y0，所以k＝0或y0＝错误!，当k＝0时，直线l的方程为y＝0，当y0＝错误!时，代入（＊)得16k4＋7k2－9＝0，解得k＝±错误!，此时直线l的方程为y＝±错误!(x＋2),综上，直线l的方程为y＝0,3x－4y＋6＝0或3x＋4y＋6＝0。

第三讲 大题考法——椭圆题型(一) 直线与椭圆的位置关系主要考查直线与椭圆的位置关系及椭圆的方程、直线方程的求法.[典例感悟][例1] 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．[解] (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±21＋k21＋2k2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2x 2－x 12＝221＋k 21＋2k2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k 1＋2k 2， 从而PC ＝23k 2＋11＋k2|k |1＋2k2. 因为PC ＝2AB ， 所以23k 2＋1 1＋k 2|k |1＋2k 2＝421＋k21＋2k2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.[方法技巧]解决直线与椭圆的位置关系问题的2个注意点(1)直线方程的求解只需要两个独立条件，但在椭圆背景下，几何条件转化为坐标的难度增加，涉及到长度、面积、向量等．(2)直线与椭圆的位置关系处理需要通过联立方程组来处理，联立方程组时要关注相关的点是否能够求解，不能求解的可以用根与系数的关系来处理．[演练冲关]1．(2018·南通、泰州一调)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，两条准线之间的距离为4 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2＋y 2＝89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程．解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由题意得c a ＝22，2a2c＝42，解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝ 2. 所以椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)法一：(设点法)因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以M 为AB 的中点． 因为椭圆的方程为x 24＋y 22＝1，所以A (－2,0)．设M (x 0，y 0)(－2<x 0<0)，则B (2x 0＋2,2y 0)． 所以x 20＋y 20＝89，①2x 0＋224＋2y 022＝1，②由①②得9x 20－18x 0－16＝0， 解得x 0＝－23或x 0＝83(舍去)．把x 0＝－23代入①得y 0＝±23，所以k AB ＝±12，因此直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0或x －2y ＋2＝0.法二：(设线法)因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以M 为AB 的中点．由椭圆方程知A (－2,0)，设B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k x ＋2，得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，所以(x ＋2)[(1＋2k 2)x ＋4k 2－2]＝0， 解得x B ＝2－4k 21＋2k 2.所以x M ＝x B ＋－22＝－4k 21＋2k2， y M ＝k (x M ＋2)＝2k1＋2k2， 代入x 2＋y 2＝89，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1＋2k 22＝89，化简得28k 4＋k 2－2＝0，即(7k 2＋2)(4k 2－1)＝0，解得k ＝±12，所以直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0或x －2y ＋2＝0.2.(2018·南师附中调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右准线l 方程为x ＝4，右焦点F (1,0)，A 为椭圆的左顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M 为椭圆在x 轴上方一点，点N 在右准线上且满足AM ―→·MN ―→＝0且5|AM ―→|＝2|MN ―→|，求直线AM 的方程．解：(1)∵a 2c＝4，c ＝1，∴a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设AM 的方程为y ＝k (x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，x 24＋y23＝1，消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0， ∴x M ＝－16k 24k 2＋3＋2＝6－8k24k 2＋3，y M ＝k (x M ＋2)＝12k4k 2＋3. 而k MN ＝－1k，又∵x N ＝4，∴MN ＝ 1＋1k2|x M －x N |＝1＋1k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪24k 2＋64k 2＋3＝1＋k 2k ·24k 2＋64k 2＋3. 又∵AM ＝1＋k 2|x M －x A |＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪124k 2＋3＝1＋k 2·124k 2＋3，∵5|AM ―→|＝2|MN ―→|，∴51＋k 2·124k 2＋3＝21＋k 2k ·24k 2＋64k 2＋3，∴k ＝1或14，∴AM 的方程为y ＝x ＋2或y ＝14x ＋12.题型(二) 椭圆与圆的综合问题主要考查直线与椭圆的位置关系以及椭圆与圆相结合的问题，主要求椭圆、圆的方程.[典例感悟][例2] (2018·无锡期末)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为22，F 1，F 2分别为左、右焦点，A ，B 分别为左、右顶点，D 为上顶点，原点O 到直线BD 的距离为63.设点P 在第一象限，且PB ⊥x 轴，连结PA 交椭圆于点C ，记点P 的纵坐标为t .(1)求椭圆E 的方程；(2)若△ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积，求直线PA 的方程； (3)求过点B ，C ，P 的圆的方程(结果用t 表示)．[解] (1)因为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，所以a 2＝2c 2，b ＝c ，所以直线DB 的方程为y ＝－22x ＋b ， 又O 到直线BD 的距离为63，所以b1＋12＝63， 解得b ＝1，a ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设P (2，t )，t >0，则直线PA 的方程为y ＝t22(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝t22x ＋2，整理得(4＋t 2)x 2＋22t 2x ＋2t 2－8＝0， 解得x C ＝42－2t 24＋t2， 则点C 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫42－2t 24＋t2，4t 4＋t 2，因为△ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积， 所以△AOC 的面积等于△BPC 的面积，S △AOC ＝12×2×4t 4＋t 2＝22t 4＋t2， S △PBC ＝12×t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－42－2t 24＋t 2＝2t 34＋t2， 则2t 34＋t 2＝22t 4＋t2，解得t ＝ 2. 所以直线PA 的方程为x －2y ＋2＝0.(3)因为B (2，0)，P (2，t )，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫42－2t 24＋t2，4t 4＋t 2，所以BP 的垂直平分线为y ＝t2，BC 的垂直平分线为y ＝2t 2x －2tt 2＋4， 所以过B ，C ，P 三点的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋82t 2＋4，t 2， 则过B ，C ，P 三点的圆的方程为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －t 2＋82t 2＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 22＝t 42t 2＋42＋t 24，即所求圆的方程为x 2－2t 2＋82t 2＋4x ＋y 2－ty ＋8t 2＋4＝0. [方法技巧]椭圆与圆的综合问题的解题策略(1)在椭圆背景下，常会出现给出三点(包含椭圆上的点)求圆的方程，也会出现给出以椭圆上的两点为直径的圆的问题．这里涉及到椭圆上动点如何求解，以及椭圆的弦的处理．(2)以两点为直径的圆，可以用直角三角形处理，也可以用向量数量积处理，这两种方法都是转化为点坐标来处理.(3)运算时要加强“设而不求”思想的渗透，出现多个变量时，要有消元意识和主元思想；在代入运算过程中，不要忘掉整体思想．(4)在研究直线与椭圆相交的问题时，通常有两种方法来设参，一是设点坐标来作为参数，二是设直线的斜率作为参数．在学习中，要通过比较来看应用哪种方法较为简便，以免将问题复杂化．[演练冲关](2018·镇江期末)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，左焦点F (－2,0)，直线l ：y ＝t 与椭圆交于A ，B 两点，M 为椭圆E 上异于A ，B 的点．(1)求椭圆E 的方程；(2)若M (－6，－1)，以AB 为直径的圆P 过点M ，求圆P 的标准方程． 解：(1)因为e ＝ca ＝22，且c ＝2，所以a ＝22，b ＝2. 所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1.(2)设A (s ，t )，则B (－s ，t )，且s 2＋2t 2＝8.① 因为以AB 为直径的圆P 过点M ，所以MA ⊥MB ， 所以MA ―→·MB ―→＝0，又MA ―→＝(s ＋6，t ＋1)，MB ―→＝(－s ＋6，t ＋1)，所以6－s 2＋(t ＋1)2＝0.② 由①②解得t ＝13，或t ＝－1(舍，因为M (－6，－1)，所以t >0)，所以s 2＝709.又圆P 的圆心为AB 的中点(0，t )，半径为AB2＝|s |，所以圆P 的标准方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －132＝709.题型(三)椭圆中的定点、定值问题主要考查直线与椭圆的位置关系及动直线、动圆过定点问题或与动点有关的定值问题.[典例感悟][例3] (2018·江苏六市调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为y ＝x ＋3时，线段PB 1的长为4 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点Q 满足QB 1⊥PB 1，QB 2⊥PB 2.求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值． [解] 设P (x 0，y 0)，Q (x 1，y 1)．(1)在y ＝x ＋3中，令x ＝0，得y ＝3，从而b ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 29＝1，y ＝x ＋3得x 2a 2＋x ＋329＝1.所以x 0＝－6a29＋a 2.因为PB 1＝x 20＋y 0－32＝2|x 0|，所以42＝2·6a 29＋a 2，解得a 2＝18.所以椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.(2)法一：(设点法) 直线PB 1的斜率为kPB 1＝y 0－3x 0， 由QB 1⊥PB 1，所以直线QB 1的斜率为kQB 1＝－x 0y 0－3.于是直线QB 1的方程为y ＝－x 0y 0－3x ＋3. 同理，QB 2的方程为y ＝－x 0y 0＋3x －3. 联立两直线方程，消去y ，得x 1＝y 20－9x 0.因为P (x 0，y 0)在椭圆x 218＋y 29＝1上，所以x 2018＋y 209＝1，从而y 2－9＝－x 202.所以x 1＝－x 02.所以S △PB 1B 2S △QB 1B 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝2.法二：(设线法) 设直线PB 1，PB 2的斜率分别为k ，k ′，则直线PB 1的方程为y ＝kx ＋3. 由QB 1⊥PB 1，直线QB 1的方程为y ＝－1kx ＋3.将y ＝kx ＋3代入x 218＋y 29＝1，得(2k 2＋1)x 2＋12kx ＝0.x 0≠0， 所以k ·k ′＝y 0－3x 0·y 0＋3x 0＝y 20－9x 20＝－12，得k ′＝－12k.由QB 2⊥PB 2，所以直线QB 2的方程为y ＝2kx －3. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ＋3，y ＝2kx －3，解得x 1＝6k2k 2＋1.所以S △PB 1B 2S △QB 1B 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12k 2k 2＋16k 2k 2＋1＝2.[方法技巧]1．定点问题的两种求解方法(1)引进参数法，引进动点的坐标或动直线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)由特殊到一般法，根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．2．定值问题的基本求解方法先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题．[演练冲关]1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F (3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)由题意得，c ＝3，a b＝2，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝2，b ＝1，∴椭圆C 的标准方程为(2)证明：当直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋x 2＋4y 2＝4，2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴Δ＝16(4k 2＋1－m 2)>0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.∵点B 在以线段MN 为直径的圆上，∴BM ―→·BN ―→＝0.∵BM ―→·BN ―→＝(x 1，kx 1＋m －1)·(x 2，kx 2＋m －1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＝0，∴(k 2＋1)4m 2－44k 2＋1＋k (m －1)－8km 4k 2＋1＋(m －1)2＝0，整理，得5m 2－2m －3＝0， 解得m ＝－35或m ＝1(舍去)．∴直线l 的方程为y ＝kx －35.易知当直线l 的斜率不存在时，不符合题意．故直线l 过定点，且该定点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－35. 2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点P (2，－1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过点P 作两条直线分别交椭圆C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若直线PQ 平分∠APB ，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．解：(1)由e ＝c a ＝32，得a ＝2b ， 所以椭圆C 的方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.把P (2，－1)的坐标代入，得b 2＝2，所以椭圆C 的方程是x 28＋y 22＝1.(2) 由已知得PA ，PB 的斜率存在，且互为相反数． 设直线PA 的方程为y ＋1＝k (x －2)，其中k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k x －2，x 2＋4y 2＝8，消去y ，得x 2＋4[kx －(2k ＋1)]2＝8，即(1＋4k 2)x 2－8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－8＝0. 因为该方程的两根为2，x A ，所以2x A ＝42k ＋12－81＋4k2， 即x A ＝8k 2＋8k －21＋4k 2.从而y A ＝4k 2－4k －14k 2＋1. 把k 换成－k ，得x B ＝8k 2－8k －21＋4k 2，y B ＝4k 2＋4k －14k 2＋1. 计算，得k AB ＝y B －y A x B －x A ＝8k －16k ＝－12，是定值． [课时达标训练]A 组——大题保分练1.如图，圆C 与y 轴相切于点T (0，2)，与x 轴正半轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)，且MN ＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆T ：x 24＋y 28＝1相交于两点A ，B ，连结AN ，BN ，求证：∠ANM ＝∠BNM .解：(1)设圆C 的半径为r ，依题意得，圆心坐标为(r,2)．∵MN ＝3，∴r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22，∴r ＝52， ∴圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋(y －2)2＝254.(2)证明：把y ＝0代入方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋(y －2)2＝254，解得x ＝1或x ＝4，即点M (1,0)，N (4,0)．①当AB ⊥x 轴时，由椭圆对称性可知∠ANM ＝∠BNM .②当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y28＝1消去y ，得(k 2＋2)x 2－2k 2x ＋k 2－8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2k 2k 2＋2，x 1x 2＝k 2－8k 2＋2.∵y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， ∴k AN ＋k BN ＝y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝k x 1－1x 1－4＋k x 2－1x 2－4＝k x 1－1x 2－4＋k x 2－1x 1－4x 1－4x 2－4.∵(x 1－1)(x 2－4)＋(x 2－1)(x 1－4)＝2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋8＝2k 2－8k 2＋－10k22＋8＝0，∴k AN ＋k BN ＝0，∴∠ANM ＝∠BNM . 综上所述，∠ANM ＝∠BNM .2．(2018·高邮中学月考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A (－2,0)，离心率为12，过点A 的直线l 与椭圆E 交于另一点B ，点C 为y 轴上的一点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若△ABC 是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程．解：(1)由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，从而有b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0,因为x ＝－2为该方程的一个根，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k 2，12k 3＋4k 2，设C (0，y 0)，由k AC ·k BC ＝－1， 得y 02·12k3＋4k 2－y 06－8k23＋4k2＝－1， 即(3＋4k 2)y 20－12ky 0＋(16k 2－12)＝0.(*)由AC ＝BC ，即AC 2＝BC 2，得4＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k 22＋⎝⎛⎭⎪⎫y 0－12k 3＋4k 22，即4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 3＋4k 22－24k 3＋4k 2y 0， 即4(3＋4k 2)2＝(6－8k 2)2＋144k 2－24k (3＋4k 2)y 0， 所以k ＝0或y 0＝－2k3＋4k2，当k ＝0时，直线l 的方程为y ＝0，当y 0＝－2k 3＋4k 2时，代入(*)得16k 4＋7k 2－9＝0，解得k ＝±34，此时直线l 的方程为y ＝±34(x ＋2)，综上，直线l 的方程为y ＝0,3x －4y ＋6＝0或3x ＋4y ＋6＝0. 3．(2018·南通、泰州一调)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y ＝2于点Q ，求1OP2＋1OQ 2的值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a2c －c ＝1，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1.所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知OP 的斜率存在．当OP 的斜率为0时，OP ＝2，OQ ＝2， 所以1OP2＋1OQ 2＝1.当OP 的斜率不为0时，设直线OP 的方程为y ＝kx .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ，得(2k 2＋1)x 2＝2，解得x 2＝22k 2＋1，所以y 2＝2k 22k 2＋1，所以OP 2＝2k 2＋22k 2＋1.因为OP ⊥OQ ，所以直线OQ 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，y ＝－1k x 得x ＝－2k ，所以OQ 2＝2k 2＋2.所以12＋12＝2k 2＋12＋12，一个焦点到相应的准线的距离为3，圆与椭圆M 和圆N 均只(1)求椭圆M 的方程和直线l 的方程； (2)试在圆N 上求一点P ，使PBPA＝2 2. 解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a2c －c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，所以b ＝3，所以椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.圆N 的方程为(x －1)2＋y 2＝5，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，① 因为直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆M 只有一个公共点，所以Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0得m 2＝3＋4k 2,② 由直线l ：y ＝kx ＋m 与圆N 只有一个公共点， 得|k ＋m |1＋k2＝5，即k 2＋2km ＋m 2＝5＋5k 2，③将②代入③得km ＝1，④ 由②④且k >0，得k ＝12，m ＝2.所以直线l 的方程为y ＝12x ＋2.(2)将k ＝12，m ＝2代入①，可得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，32. 又过切点B 的半径所在的直线l ′为y ＝－2x ＋2，所以得交点B (0,2)， 设P (x 0，y 0)，因为PBPA＝22， 则x 20＋y 0－22x 0＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫y 0－22＝8，化简得7x 20＋7y 20＋16x 0－20y 0＋22＝0，⑤ 又P (x 0，y 0)满足x 20＋y 20－2x 0＝4，⑥将⑤－7×⑥得3x 0－2y 0＋5＝0，即y 0＝3x 0＋52.⑦将⑦代入⑥得13x 20＋22x 0＋9＝0， 解得x 0＝－1或x 0＝－13，所以P (－1,1)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－913，1913.B 组——大题增分练1．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，右顶点、上顶点分别为A ，B ，原点O 到直线AB 的距离等于ab .(1)若椭圆C 的离心率为63，求椭圆C 的方程； (2)若过点(0,1)的直线l 与椭圆有且只有一个公共点P ，且P 在第二象限，直线PF 2交y 轴于点Q ，试判断以PQ 为直径的圆与点F 1的位置关系，并说明理由．解：由题意，得点A (a,0)，B (0，b )，直线AB 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0﹒ 由题设，得||ab a 2＋b2＝ab ，化简得a 2＋b 2＝1.①(1)因为e ＝c a ＝63，所以a 2－b 2a 2＝23，即a 2＝3b 2.②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝34，b 2＝14，所以椭圆C 的方程为4x 23＋4y 2＝1.(2)点F 1在以PQ 为直径的圆上，理由如下：由题设，直线l 与椭圆相切且l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝kx ＋1消去y 得，(b 2＋a 2k 2)x 2＋2ka 2x ＋a 2－a 2b 2＝0，(*) 则Δ＝(2ka 2)2－4(b 2＋a 2k 2)(a 2－a 2b 2)＝0， 化简得1－b 2－a 2k 2＝0，所以k 2＝1－b2a2＝1，因为点P 在第二象限，所以k ＝1.把k ＝1代入方程(*)，得x 2＋2a 2x ＋a 4＝0， 解得x ＝－a 2，从而y ＝b 2，所以P (－a 2，b 2)﹒从而直线PF 2的方程为y －b 2＝b 2－a 2－c(x ＋a 2)，令x ＝0，得y ＝b 2c a 2＋c ，所以点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2c a 2＋c ﹒从而F 1P ―→＝(－a 2＋c ，b 2)，F 1Q ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2c a 2＋c ，从而F 1P ―→·F 1Q ―→＝c (－a 2＋c )＋b 4c a 2＋c＝c －a 4＋b 4＋c 2a 2＋c ＝c []b 2－a 2b 2＋a 2＋c 2a 2＋c＝0，所以F 1P ―→·F 1Q ―→＝0.所以点F 1在以PQ 为直径的圆上．2.如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2. (1)求k 1k 2的值；(2)记直线PQ ，BC 的斜率分别为k PQ ，k BC ，是否存在常数λ，使得k PQ ＝λk BC ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由；(3)求证：直线AC 必过点Q .解：(1)设B (x 0，y 0)，则C (－x 0，－y 0)，x 204＋y 20＝1，因为A (2,0)，所以k 1＝y 0x 0－2，k 2＝y 0x 0＋2， 所以k 1k 2＝y 0x 0－2·y 0x 0＋2＝y 2x 20－4＝1－14x 2x 20－4＝－14.(2)设直线AP 方程为y ＝k 1(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －2，x 2＋y 2＝4，消去y ，得(1＋k 21)x 2－4k 21x ＋4(k 21－1)＝0， 解得x P ＝2k 21－11＋k 21，y P ＝k 1(x P －2)＝－4k 11＋k 21，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －2，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 21)x 2－16k 21x ＋4(4k 21－1)＝0， 解得x B ＝24k 21－11＋4k 21，y B ＝k 1(x B －2)＝－4k 11＋4k 21，所以k BC ＝y B x B ＝－2k 14k 21－1，k PQ ＝y P x P ＋65＝－4k 11＋k 212k 21－11＋k 21＋65＝－5k 14k 21－1， 所以k PQ ＝52k BC ，故存在常数λ＝52，使得k PQ ＝52k BC .(3)设直线AC 的方程为y ＝k 2(x －2)， 当直线PQ 与x 轴垂直时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－85，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，85，所以k 1＝－12，即B (0,1)，C (0，－1)，所以k 2＝12，则k AQ ＝－85－65－2＝12＝k 2，所以直线AC 必过点Q .当直线PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为y ＝－5k 14k 21－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－5k 14k 21－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65，x 2＋y 2＝4，解得x Q ＝－216k 21－116k 21＋1，y Q ＝16k 116k 21＋1， 因为k 2＝－y B －x B －2＝4k 11＋4k 2121－4k 211＋4k 21－2＝－14k 1， 所以k AQ ＝16k 116k 21＋1－216k 21－116k 21＋1－2＝－14k 1＝k 2，故直线AC 必过点Q . 3．(2018·扬州期末)已知椭圆E 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若椭圆E 2：x 2ma 2＋y 2mb 2＝1(a >b >0，m >1)，则称椭圆E 2与椭圆E 1“相似”．(1)求经过点(2，1)，且与椭圆E 1：x 22＋y 2＝1“相似”的椭圆E 2的方程； (2)若椭圆E 1与椭圆E 2“相似”，且m ＝4，椭圆E 1的离心率为22，P 在椭圆E 2上，过P 的直线l 交椭圆E 1于A ，B 两点，且AP ―→＝λAB ―→.①若B 的坐标为(0,2)，且λ＝2，求直线l 的方程； ②若直线OP ，OA 的斜率之积为－12，求实数λ的值．解：(1)设椭圆E 2的方程为x 22m ＋y 2m＝1，将点(2，1)代入得m ＝2，所以椭圆E 2的方程为x 24＋y 22＝1.(2)因为椭圆E 1的离心率为22，故a 2＝2b 2，所以椭圆E 1：x 2＋2y 2＝2b 2. 又椭圆E 2与椭圆E 1“相似”，且m ＝4，所以椭圆E 2：x 2＋2y 2＝8b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)．①法一：(设线法)由题意得b ＝2，所以椭圆E 1：x 2＋2y 2＝8，椭圆E 2：x 2＋2y 2＝32.当直线l 斜率不存在时，B (0,2)，A (0，－2)，P (0,4)，不满足AP ―→＝2AB ―→，从而直线l 斜率存在，可设直线l ：y ＝kx ＋2，代入椭圆E 1：x 2＋2y 2＝8得(1＋2k 2)x 2＋8kx ＝0， 解得x 1＝－8k 1＋2k 2，x 2＝0，故y 1＝2－4k21＋2k2，y 2＝2，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋2k 2，2－4k 21＋2k 2.又AP ―→＝2AB ―→，即B 为AP 中点，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 1＋2k 2，2＋12k 21＋2k 2， 代入椭圆E 2：x 2＋2y 2＝32，得⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 1＋2k 22＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12k 21＋2k 22＝32， 即20k 4＋4k 2－3＝0，所以k ＝±3010，所以直线l 的方程为y ＝±3010x ＋2. 法二：(设点法)由题意得b ＝2，所以椭圆E 1：x 2＋2y 2＝8，E 2：x 2＋2y 2＝32.由A (x 1，y 1)，B (0,2)，AP ―→＝2AB ―→，即B 为AP 中点， 则P (－x 1,4－y 1)．代入椭圆得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝8，x 21＋24－y 12＝32，解得y 1＝12，故x 1＝±302， 所以直线l 的斜率k ＝±3010， 所以直线l 的方程为y ＝±3010x ＋2. ②由题意得x 20＋2y 20＝8b 2，x 21＋2y 21＝2b 2，x 22＋2y 22＝2b 2，法一：(设点法)由直线OP ，OA 的斜率之积为－12，得y 0x 0·y 1x 1＝－12，即x 0x 1＋2y 0y 1＝0. 又AP ―→＝λAB ―→，则(x 0－x 1，y 0－y 1)＝λ(x 2－x 1，y 2－y 1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 0＋λ－1x 1λ，y 2＝y 0＋λ－1y 1λ，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0＋λ－1x 1λ2＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 0＋λ－1y 1λ2＝2b 2，则x 20＋2(λ－1)x 0x 1＋(λ－1)2x 21＋2y 20＋4(λ－1)y 0y 1＋2(λ－1)2y 21＝2λ2b 2， (x 20＋2y 20)＋2(λ－1)(x 0x 1＋2y 0y 1)＋(λ－1)2(x 21＋2y 21)＝2λ2b 2，所以8b 2＋(λ－1)2·2b 2＝2λ2b 2，即4＋(λ－1)2＝λ2，所以λ＝52.法二：(设线法) 不妨设点P 在第一象限，设直线OP ：y ＝kx (k >0)，代入椭圆E 2：x 2＋2y 2＝8b 2，解得x 0＝22b 1＋2k2，则y 0＝22bk 1＋2k2.直线OP ，OA 的斜率之积为－12，则直线OA ：y ＝－12k x ，代入椭圆E 1：x 2＋2y 2＝2b 2，解得x 1＝－2bk 1＋2k2，则y 1＝b1＋2k2.又AP ―→＝λAB ―→，则(x 0－x 1，y 0－y 1)＝λ(x 2－x 1，y 2－y 1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 0＋λ－1x 1λ，y 2＝y 0＋λ－1y 1λ，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0＋λ－1x 1λ2＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 0＋λ－1y 1λ2＝2b 2，则x 20＋2(λ－1)x 0x 1＋(λ－1)2x 21＋2y 20＋4(λ－1)y 0y 1＋2(λ－1)2y 21＝2λ2b 2， (x 20＋2y 20)＋2(λ－1)(x 0x 1＋2y 0y 1)＋(λ－1)2(x 21＋2y 21)＝2λ2b 2，所以8b 2＋2(λ－1)22b 1＋2k2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2bk1＋2k 2＋2·22bk 1＋2k 2·b 1＋2k2＋(λ－1)2·2b 2＝2λ2b 2， 即8b 2＋(λ－1)2·2b 2＝2λ2b 2，即4＋(λ－1)2＝λ2， 所以λ＝52.4.(2018·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点⎝⎛⎭⎪⎫3，12，焦点为F 1(－3，0)， F 2(3，0)，圆O 的直径为F 1F 2.(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为267，求直线l 的方程． 解：(1)因为椭圆C 的焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．又点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b2＝1，a 2－b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.x 0＞0，y 0＞0)，则x 20＋y 20＝3， ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－x 0y 0x ＋3y消去y ，得(4x 20＋y 20)x 2－24x 0x ＋36－4y 20＝0.(*) 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝(－24x 0)2－4(4x 20＋y 20)·(36－4y 20)＝48y 20(x 20－2)＝0. 因为x 0＞0，y 0＞0， 所以x 0＝2，y 0＝1. 所以点P 的坐标为(2，1)． ②因为△OAB 的面积为267，所以12AB ·OP ＝267，从而AB ＝427.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(*)得x 1,2＝24x 0± 48y 20x 20－224x 20＋y 20， 所以AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 20y 20·48y 20x 20－24x 20＋y 202. 因为x 20＋y 20＝3，所以AB 2＝16x 20－2x 20＋12＝3249， 即2x 40－45x 20＋100＝0，解得x 20＝52(x 20＝20舍去)，则y 20＝12， 因此P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫102，22. 所以直线l 的方程为y －22＝－5⎝ ⎛⎭⎪⎫x －102， 即y ＝－5x ＋3 2.。

新高考数学复习基础知识专题讲义知识点43 椭圆知识理解一．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.二．椭圆的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大；焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大. 三．椭圆的几何性质－a≤x≤a －b≤x≤b四．直线与椭圆的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程．例：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则： Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离． 五．弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：①|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|=(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]； ②|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|(k ≠0)=⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]. 考向一 椭圆的定义及应用考向分析【例1-1】（2021·全国课时练习）下列命题是真命题的是________.(将所有真命题的序号都填上)①已知定点12(1,0),(1,0)F F -，则满足|PF 1|＋|PF 2|的点P 的轨迹为椭圆； ②已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段； ③到定点12(3,0),(3,0)F F -的距离相等的点的轨迹为椭圆. 【答案】②【解析】①中，因为12(1,0),(1,0)F F -，可得122F F =2，所以点P 的轨迹不存在；②中，因为12124PF PF F F +==，所以点P 的轨迹是线段12F F ；③中，由定点12(3,0),(3,0)F F -的距离相等的点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线，即0x =. 故答案为：②【例1-2】．（2021·上海市奉贤中学）若过椭圆2211612y x +=上焦点1F 的直线交椭圆于点A ，B ，2F 为椭圆下焦点，则三角形2F AB 的周长为___________. 【答案】16【解析】在椭圆2211612y x +=中，4a =由椭圆的定义得12122,2AF AF a BF BF a +=+=所以12124,AF AF BF BF a +++=即22+416AF BF AB a +== 故答案为：16【例1-3】（2021·安徽六安市·六安一中高三月考（理））已如12,F F 是椭圆2212449x y +=的两个焦点，P是椭圆上一点，1234PF PF =，则12PF F △的面积等于（ ）A ．24B ．26C ．．【答案】A【解析】由椭圆方程可得焦点在y 轴上，7a =，b =5c ==， 由椭圆定义可得12214PF PF a +==，又1234PF PF =，则可解得128,6PF PF ==，12210F F c ==，满足2221212PF PF F F +=，则12PF PF ⊥，121212186242PF F PF P SF ⋅=⨯⨯∴==.故选：A. 【举一反三】1．（2021·广西桂林市）设P 是椭圆2222143x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两焦点距离之和为_____.【答案】8【解析】由2222143x y +=，得4a =，由椭圆的定义可得P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为28a =.故答案为：82．（2021·浙江高三其他模拟）已知椭圆2224x y +=上一点P 到其左焦点F 的距离为1，则PF 的中点M 到坐标原点O 的距离为（ ） A ．3B ．32C ．1D ．12【答案】B【解析】易知椭圆的标准方程为22142x y +=．设椭圆的长轴长为2a ，则2a =，设椭圆的右焦点为1F ，连接1PF ，则由椭圆的定义得123PF a PF =-=．在1PFF 中，易知OM 为1PFF 的中位线，所以11322OM PF ==，故选：B ． 3．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中）已知P 是椭圆22193x y +=上的任意一点，若12PF =，则2PF =___________. 【答案】4【解析】由椭圆的方程22193x y +=知：3,a b ==，由椭圆的定义知：1226PF PF a +==，12PF = 所以2164PF PF =-= 故答案为：44．（2021·陕西安康市）已知点(3,A -，P 为椭圆22:143x y C +=上的动点，B 是圆221:(1)1C x y -+=上的动点，则||||PB PA -的最大值为___________.【答案】2【解析】由椭圆22:143x y C +=，可得2,1a b c ===，设右焦点为()'1,0F -，因为P 为椭圆22:143x y C +=上的动点，B 是圆221:(1)1C x y -+=上的动点，所以'||||1||||12||||PB PA PF PA a PF PA -≤+-=+--()'5||||PF PA =-+，3PF PA AF +≥=''=，当且仅当',,A P F 共线时取等号，()52PB PA PF PA -≤-+≤'，故答案为：2.5．（2021·全国课时练习）已知P 是椭圆2214x y +=上的一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=，则12F PF △的面积是______.【解析】在椭圆2214x y +=中，2a =，1b =，c =由椭圆的定义可得1224PF PF a +==，12F F = 在12F PF △中，1260F PF ∠=， 由余弦定理可得()22221212121212122cos603F F PF PF PF PF PF PF PF PF ==+-⋅=+-⋅12163PF PF =-⋅，解得1243PF PF ⋅=，因此，121213sin 602PF F S PF PF =⋅=△故答案为：考向二 椭圆的标准方程【例2-1】（2021·全国单元测试）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－3)和(0，3)，且椭圆经过点(0，4)，则该椭圆的标准方程是（ ）A ．221167x y +=B ．221167y x +=C ．2212516x y +=D ．221259y x +=【答案】B【解析】∵椭圆的焦点在y 轴上，∴可设它的标准方程为22221(0)y x a b a b+=>>．∵28,a ==∴a ＝4，又c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7，故所求的椭圆的标准方程为221167y x +=．故选：B ．【例2-2】（2021·黑龙江大庆市）已知方程221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ ）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．(2,)+∞C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．(1,2)【答案】D【解析】依题意程221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆列不等式，所以2120k k ->->，解得12k <<，所以实数k 的取值范围是()1,2.故选：D 【举一反三】1．（2021·全国课时练习）经过点P (3，0)，Q (0，2)的椭圆的标准方程为（ ）A ．22194x y +=B ．22194y x +=C ．22194x y -=D ．22194y x -=【答案】A【解析】依题意可知3,2a b ==且椭圆焦点在x 轴上，故椭圆方程为22194x y+=.故选：A2．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中）若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．(0，＋∞)B ．(0，2)C ．(1，＋∞)D ．(0，1) 【答案】D【解析】因为方程222x ky +=，即22122+=x y k表示焦点在y 轴上的椭圆， 所以22>k，即01<<k ，所以实数k 的取值范围是(0,1)．故选：D ．3．（2021·湖南岳阳市·岳阳一中）椭圆221y x k+=的一个焦点是(，那么k =（ ）A ．6-B ．6C1D．1【答案】B【解析】因为椭圆221y x k+=上的一个焦点为，在y 轴上，所以1k >，所以15k -=则6k =.故选：B4．（2021·浙江丽水市）“01t <<”是“曲线2211x y t t+=-表示椭圆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】因为曲线2211x yt t +=-为椭圆，所以0101t t t t>⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得01t <<且12t ≠，所以“01t <<”是“01t <<且12t ≠”的必要而不充分条件.故选：B考向三 直线与椭圆的位置关系【例3】（2021·全国课时练习）已知椭圆2241x y +=与直线y x m =+有公共点，则实数 m 的取值范围是 _______ .【答案】m ≤≤【解析】由2241x y y x m⎧+=⎨=+⎩，得225210x mx m ++-=．因为直线与椭圆有公共点，所以()2242010m m ∆=--≥， 即254m ≤，解得m ≤≤．故答案为：m ≤≤． 【举一反三】1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是________．【答案】 [1,5)∪(5，＋∞)【解析】方法一 由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上， 则0<1m≤1且m ≠5，故m ≥1且m ≠5.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0，消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0. 由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立， 即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立， 由于m >0且m ≠5，∴m ≥1且m ≠5.2．直线y ＝kx ＋k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是________．【答案】相交【解析】由于直线y ＝kx ＋k ＋1＝k (x ＋1)＋1过定点(－1，1)，而(－1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．3．（2021·安徽省泗县第一中学）已知椭圆的长轴长是(，0). （1）求这个椭圆的标准方程；（2）如果直线y x m =+与这个椭圆交于两不同的点，求m 的取值范围. 【解析】（1）由已知得2a =c =a =2321b ∴=-=， ∴椭圆的标准方程为2213x y +=． （2）由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解方程组并整理得2246330x mx m ++-=，有两个不同的交点∴222(6)44(33)12(4)0m m m ∆=-⨯⨯-=-->． 解不等式得22m -<<．考向四 弦长【例4】（2021·上海市进才中学高二月考）过椭圆22:143x y C +=的左焦点，斜率为1的直线被椭圆C截得的弦长为________． 【答案】247【解析】设直线与椭圆相交的两个交点坐标为()()1122,,,x y x y椭圆22:143x y C +=的左焦点为()1,0-所以直线的方程为1y x =+则22217880143y x x x x y =+⎧⎪⇒+-=⎨+=⎪⎩所以121288,77x x x x +=-=-247=故答案为：247【举一反三】1．（2021·全国课时练习）求过点(3，0)且斜率为45的直线被椭圆2212516x y +=所截得的线段的长度． 【答案】415【解析】过点(3，0)且斜率为45的直线方程为()435y x =-，设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程代入椭圆方程得()22312525x x -+=， 即x 2－3x －8＝0.∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－8.∴415AB ===. 2．（2021·安徽省泗县第一中学）已知椭圆的长轴长是()，).（1）求这个椭圆的标准方程；（2）如果直线y x m =+与这个椭圆交于A ､B两不同的点，若AB =，求m 的值.【答案】（1）2213x y +=；（2）1m =±. 【解析】（1）由已知得2a =，则a =c =2221b a c =-=所以椭圆的标准方程2213x y +=（2）由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消除y 得2246330x mx m ++-= 因为有两个不同的交点，所以()222(6)44(33)1240m m m ∆=-⨯⨯-=--> 得m 的取值范围为()2,2-由韦达定理得：126342m m x x --+== ，212334m x x -=所以2AB ===解得1m =± 考向五 离心率【例5】（2021·全国课时练习）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A ．12BC【答案】A【解析】不妨设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 为椭圆的上顶点． 依题意可知，△BF 1F 2是正三角形．∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°， ∴1cos602c a ︒==，即椭圆的离心率12e =.故选：A【举一反三】1．（2021·全国高三月考（文））已知点(M 是椭圆22221x y a b+=()0a b >>上的一点，1F ，2F 是椭圆的左、右焦点，若△12MF F 为等腰三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A ．23B ．24C ．12或23D ．23 【答案】D【解析】由△12MF F 为等腰三角形知：当112||||2F M F F c ==，而1(,0)F c -，则22(3)154c c ++=，整理得2280c c --=，解得4c =或2c =-（舍），而242228F M a c a ===-=-，故6a =，此时23c e a ==； 当212||||2F M F F c ==，而2(,0)F c ，则22(3)154c c -+=，整理得2280c c +-=，解得2c =或4c =-（舍），而12224F M a c a ===-=-，故2a =+，此时23c e a ==； 故选：D.2．（2021·浙江高三其他模拟）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P在椭圆上，O 是坐标原点，12123F PF FOP π∠=∠=，则椭圆的离心率是（ ） AB【答案】D【解析】根据12123F PF FOP π∠=∠=以及121PF F OF P ∠=∠，得121PFO F F P ∽△△，于是11121PF F O F F PF =，所以1PF =，又122PF PF a +=，所以22PF a =．在21F FP △中，由余弦定理，得)()()22214222()2c a a =+-⨯-，即2220c a +-=，所以220e -=，因为01e <<，所以椭圆的离心率e =D 3．（2021·江苏启东市）已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则该椭圆的离心率是（ ）A．10B．3C．2D【答案】A【解析】由题意可知：223bc =，即3b c =，所以a ==所以离心率10c e a ===.故选：A1．（2021·江西高三其他模拟（文））如图，P 是椭圆22194x y +=上的一点，F 是椭圆的右焦点且PQ FQ =-，2OQ =，则PF =（ ）强化练习A ．2B ．3D ．4 【答案】A【解析】由22194x y +=可得：3a =因为PQ FQ =-，所以点Q 是线段PF 的中点， 设椭圆的右焦点为F '，则O 是FF '的中点， 所以24PF OQ '==， 由椭圆的定义可知：26PF PF a '+==，所以2PF =， 故选：A.2．（2021·全国课时练习）已知椭圆2211612x y +=的左焦点是F 1，右焦点是F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|∶|PF 2|＝（ ） A ．3∶5B ．3∶4C ．5∶3D ．4∶3 【答案】C【解析】由2211612x y +=＝1可知216a =，212b =，所以22216124c a b =-=-=，所以F 1(－2，0)，F 2(2，0)，∵线段PF 1的中点M 在y 轴上，且原点O 为线段12F F 的中点， 所以2//PF MO ，所以2PF x ⊥轴，∴可设P (2，y )，把P (2，y )代入椭圆2211612x y +=，得29y =.∴|PF 1|5=，|PF 2|＝3.∴12||5||3PF PF =. 故选：C3．（2021·上海市莘庄中学）平面内有两个定点12,F F 和一动点M ，设命题甲：12||||MF MF +是定值，命题乙：点M 的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】若点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点M 到两定点12,F F 的距离之和12|||2|MF MF a =+(0a >，且a 为常数）成立是定值．若动点M 到两定点12,F F 的距离之和12|||2|MF MF a =+(0a >，且a 为常数），当122||a F F ，此时的轨迹不是椭圆．∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B ．4．（2021·重庆）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>在第一象限上的一点P 与椭圆的左、右焦点1F 、2F 恰好构成顶角为120的等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A B ．12C ．2D 【答案】A【解析】因为点P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上位于第一象限的点，12PF PF >，所以，12PF F ∠为锐角，因为12PF F △是顶角为120的等腰三角形，但1221PF F PF F ∠<∠，故21120PF F ︒∠=，所以，2212PF F F c ==，由余弦定理可得12PF ==，由椭圆定理可得1222PF PF c a +=+=，故12c a -==. 故选：A.5．（2021·江苏南通市）设1F ，2F 是椭圆22:13x y C m +=的两个焦点，若椭圆C 上存在点M 满足12120F MF ∠=︒，则m 的取值范围是（ ）A ．[)3044⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦,,B ．[)9044⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦,,C ．[)30,12,4⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．[)90124⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦,,【答案】C【解析】由题意可知，若焦点在x 轴上，223,(0)==>a b m m ，则23=-c m ，椭圆C 上存在点M满足12120F MF ∠=︒，如图所示，则160∠≥︒F MO ，即1tan tan 60∠=≥︒cF MO b，所以≥c ，即33-≥m m ，得34m ≤；若焦点在y 轴上，22,3(3)==>a m b m ，则23c m =-，则160∠≥︒F MO ，即1tan tan 60∠=≥︒cF MO b，所以≥c ，即39-≥m ，得12m ≥； 所以m 的取值范围是[)30,12,4⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦.故选：C.6．（2021·江西高三其他模拟（文））若椭圆22: 15x y C m+=的一个焦点坐标为(1,0)-，则实数m 的值为（ ） A ．9B ．6C ．4D ．1 【答案】C【解析】因为椭圆的焦点(1,0)-在x 轴上， 所以25a =，2b m =，所以2225c a b m =-=-， 所以51m -=，解得4m =. 故选：C7．（2021·福建龙岩市）已知椭圆22212x y a +=的一个焦点为()F ，则这个椭圆的方程是（ ） A ．22132x y +=B ．22142x y +=C ．22152x y +=D ．22162x y +=【答案】C【解析】解：椭圆22212x y a +=的一个焦点为(F ，22b ∴=，c =222325a b c ∴=+=+=，∴椭圆方程为22152x y +=．故选：C ． 8．（2021·江西赣州市）已知椭圆222116x y m+=的右焦点为(2,0)，则m =（ ）A ．．．±．±【答案】C【解析】因为右焦点为(2,0)，故焦点在x 轴上且2164m -=，故m =±，故选：C.9．（2021·广西百色市）“0m >”是“方程22112x y m m+=+表示焦点在x 轴的椭圆”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由题意，方程22112x y m m+=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则满足120m m +>>，解得01m <<；又由当01m <<则必有0m >，但若0m >则不一定有01m <<成立，所以“0m >”是“方程22112x y m m+=+表示焦点在x 轴上的椭圆”的必要非充分条件．故选：B ．10．（2021·河南郑州市）设1F 、2F 分别是椭圆22:1259x y C +=的左、右焦点，O 为坐标原点，点P在椭圆C 上且满足4OP =，则12PF F △的面积为（ ）A ．3B ．．6D ．9【答案】D【解析】在椭圆22:1259x y C +=中，5a =，3b =，则4c =，所以，1228F F c ==，设点()00,P x y ，则22001259x y +=，可得220025259x y =-，4OP ===，解得208116y =，094y ∴=，因此，12PF F △的面积为1212011989224PF F S F F y =⋅=⨯⨯=△. 故选：D.11．（2021·全国高三专题练习）已知1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使得120PF PF ⋅=，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．2⎛ ⎝⎦C ．12⎡⎢⎣⎦D ．22⎣⎦【答案】A【解析】由120PF PF ⋅=得：12PF PF ⊥，∴点P 在以()()12,0,,0F c F c -为直径端点的圆上，由此可得该圆的半径r c b =≥，2222c b a c ∴≥=-，即222c a ≥，22212c e a ∴=≥，12e ∴≤<.故选：A.12．（2021·江苏）若椭圆22x a +22y b =1（a >b >0）的焦距为2，且其离心率为2，则椭圆的方程为（ ）A ．22+=142x yB ．22+=121x yC ．22143+=x yD ．22+=184x y【答案】B【解析】由题意可知：22c =，即1c =，由椭圆的离心率2c e a ==，解得：a = 2221b a c =-= ∴椭圆的标准方程：2212x y +=故选：B13．（2021·全国课时练习）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是（ ）A ．22134x y +=B ．2214x +=C ．22143x y +=D ．2214x y +=【答案】C【解析】依题意知，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且11,2,2c c e a b a ===⇒=== 因此椭圆的方程是22143x y +=.故选：C14．（多选）（2021·山东滨州市·高三一模）已知椭圆22:12520x y M +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，左、右顶点分别是1A ，2A ，点P 是椭圆上异于1A ，2A 的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A ．125PF PF +=B ．直线1PA 与直线2PA 的斜率之积为45- C ．存在点P 满足1290F PF ∠=︒D ．若12F PF △的面积为P 的横坐标为【答案】BD【解析】由题意5,a b c ===，1(F ，2F ，1(5,0)A -，2(5),0A ，短轴一个顶点2B ，12210PF PF a +==，A 错；设(,)P x y ，则2212520x y +=，2220(1)25x y =-，所以1222221420(1)552525255PA PAy y y x k k x x x x =⨯==-⨯=-+---，B 正确；因为22221tan 12OF OB F OB ∠===<，所以22045OB F ︒<∠<︒，从而12222290F B F OB F ∠=∠<︒，而P 是椭圆上任一点时，当P 是短轴端点时12F PF ∠最大，因此不存在点P 满足1290F PF ∠=︒，C 错；(,)P x y，1212132PF F P P S F F y y ===△4P y =，则21612520P x +=，P x =D 正确． 故选：BD ．15．（多选）（2021·武冈市第二中学）已知点(),2P a a -在直线730x ay ++=上，则圆锥曲线221x y a+=的离心率为（ ） ABD．2【答案】AC【解析】∵(),2P a a -在直线730x ay ++=上，所以27230a a -++=, 即22730a a -+=,解得3a =或12a =, 当3a =时，圆锥曲线2213x y +=,为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率e ==, 当12a =时，圆锥曲线22112x y +=,为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆，2e ==, 故选:AC.16．（多选）（2021·山东聊城市）已知五个数1，p ，m ，q ，16成等比数列，则曲线221x y p m+=的离心率可以是（ ）A B ．2C 【答案】AC【解析】由题意416p =，2p =±，4m =，曲线方程为22124x y +=或22124x y +=-，方程为22124x y +=时，离心率为22e ==，方程为22124x y +=-，离心率为22e ==． 故选：AC ．17．（2021·陕西西安市·高三月考（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且倾斜角为30的直线1l 与过2F 的直线2l 交于P 点，点P 在椭圆上，且1290F PF ∠=．则椭圆C 的离心率e =________．1 【解析】如下图所示：由已知条件可知，在12Rt PF F 中，1290F PF ∠=，1230PF F ∠=，21212PF F F c ∴==，则1PF ==，由椭圆的定义可得122PF PF a +=，即12c a ，1c e a ∴===.1.18．（2021·安徽芜湖市·）已知F 1，F 2为椭圆22C :14x y +=的左､右焦点，点P 在椭圆C 上，1260F PF ∠=︒，则12PF PF ⋅=___________. 【答案】43【解析】由椭圆定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝4，利用余弦定理可得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°＝|F 1F 2|2， 所以22121212()312PF PF PF PF F F +-⋅==，解得3|PF 1|·|PF 2|＝4，即12PF PF ⋅=43， 故答案为：4319．（2021·上海市西南位育中学）已知Р为椭圆22195x y +=上的点，1F 、2F ，是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=︒，则12PF PF =_____ 【答案】203【解析】由椭圆22195x y +=，可得()12,0F -、()22,0F由条件可得1226PF PF a +== 由余弦定理可得2221212122cos60F F PF PF PF PF =+-︒所以()21212163PF PF PF PF =+-，即1216363PF PF =-所以12PF PF =203故答案为：20320．（2021·江苏南通市）已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点()4,4M ，若点P 为椭圆C 上的一个动点，则1PM PF -的最小值为____________. 【答案】1【解析】由已知得222224,3,1a b c a b ===-=，2(1,0)F ， 因为2124PF PF a +==，所以124PF PF =-， 所以()12244PM PF PM PF PM PF -=--=+-， 所以当三点2M P F 、、共线时，24PM PF +-最小，即224441PM PF MF +-=-==.故答案为：1.21．（2021·广西百色市）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线)y x c =-与椭圆的一个交点M 满足21122MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于________．1【解析】设直线)y x c =-的倾斜角为α，则tan α=0180α≤<120α∴=．21211212122360090F MF F MF F M F MF M F F F ∴∠=∠=∠∴∠=∴∠=在直角三角12F MF 形中，令1c =，则211,MF MF ===由椭圆定义得122||||1a MF MF =+=∴椭圆的离心率212c e a ===．1．22．（2021·内蒙古赤峰市·高三期末（理））已知椭圆C 的两个焦点分别为1(2,0)F -，2(2,0)F ，离心率为12e =，点P 在椭圆C 上，且1230F PF ∠=，则12F PF △的面积为__________．【答案】24-【解析】由已知得12,2c e ==，所以4a =， 由椭圆定义得12248F P PF +=⨯=，由余弦定理得222121212123cos cos302F P PF F F F PF F P PF +-∠===⨯， 即()2121212216F P PF FP PF P PF +-⨯-=⨯，12F P PF⨯=，则12F PF △的面积为12111sin 3024222S F P PF =⨯⨯=⨯=-故答案为：24-23．（2021·广东梅州市）已知过点31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭的椭圆C 的焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，则椭圆C 的标准方程是___________.【答案】22143x y +=【解析】由题意24a ==，2a =，所以b =,所以椭圆方程为22143x y +=．故答案为：22143x y +=．24．（2021·安徽省临泉第一中学）椭圆22134x y+=的离心率等于______.【答案】12【解析】由题意2,a b ==，所以1c ==，离心率为12c e a ==．故答案为：12．25．（2021·湖南常德市一中高三月考）写一个离心率是椭圆2211612x y +=的离心率4倍且焦点在x 轴上的双曲线标准方程：___________.【答案】2213y x -=(答案不唯一)【解析】有椭圆方程可知216a =，212b =，则216124c =-=，所以椭圆的离心率2142c e a ===，则双曲线的离心率2e =，则双曲线中22cc a a=⇒=，即22224c a a b ==+，得223b a =，令21a =，则23b =，所以满足条件的一个双曲线方程是2213y x -=.故答案为：2213y x -=(答案不唯一)26．（2021·全国高三专题练习）过点(1,2)-的直线l 被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为2，则直线l 的斜率为__________． 【答案】12-【解析】根据题意，圆222210x y x y +--+=的标准方程为22(1)(1)1x y -+-=，其圆心为(1,1)，半径1r =，过点(1,2)-的直线l 被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为2，则直线l 经过圆的圆心， 故直线l 的斜率1211(1)2k -==---；故答案为：12-． 27．（2021·六安市裕安区新安中学）已知椭圆的两个焦点坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭． （1）求椭圆的标准方程；（2）若直线1y x =+与椭圆交于A ､B 两点，求AB 中点的坐标．【答案】（1）221106x y +=；（2）53,88⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【解析】（1）由于椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为()222210x ya b a b+=>>，由椭圆定义知2c =，2a ==所以a =，所以222104b a c =-=-， 所求椭圆标准方程为221106x y +=．（2）设直线与椭圆的交点为()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程2211061x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2810250x x +-=，得1254x x +=-，12258x x =-． 设AB 的中点坐标为()00,x y ，则120528x x x +==-，038y =， 所以中点坐标为53,88⎛⎫- ⎪⎝⎭．28．（2021·河南高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在C 上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过2F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，若1110·3AF BF =，求AB ． 【答案】（1）2212x y +=；（2）||3AB =．【解析】解：（1）因为椭圆C过点33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以2241133a b +=．① 又椭圆C2212c a =，故2222222112b ac c a a a -==-=．② 联立①②得2222411,331,2a b b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得222,1,a b ⎧=⎨=⎩故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）当直线l的斜率不存在时，2222b AF BF a ===，所以211910223AF BF ⋅==≠， 故直线l 的斜率存在，设直线()()1122:(1),,,,l y k x A x y B x y =-．联立22(1),1,2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得()2222214220k x k x k +-+-=， 则22121222422,2121k k x x x x k k -+==++．1AF ====，同理1||BF =． 因为()2121211242182102423x x x x k AF BF k ++++⋅===+，解得21k =，所以11AF BF +==又因为11||AF BF AB++=||3AB =． 29．（2021·吉林长春市·高三二模（文））已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为12，过椭圆右焦点的直线交椭圆于,A B 两点，1AF B △的周长为8,O 为坐标原点， （1）求椭圆的方程；（2）求面积AOB 的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2）32． 【解析】（1）设椭圆半焦距为,c 由题意可知48,2a a ==， 由离心率有21,3c b ==，所以椭圆方程为22143x y +=，（2）设直线:1AB x ty =+，联立方程组221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去x 得()2243690tyty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ， 有12122269,4343t y y y y t t --+==++， 由21OF =，所以OAB的面积2121612S OF y y =⋅-==⨯，函数1()3f x x x=+[)1,x ∈+∞，令121x x >≥， 则()1212121212123111()()33x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为121x x >≥，所以()121212310x x x x x x -->，12())0(f x f x ->。

直线与圆A 组——大题保分练1．已知圆 O ：x 2＋y 2＝4交 y 轴正半轴于点 A ，点 B ，C 是圆 O 上异于点 A 的两个动点． (1)若 B 与 A 关于原点 O 对称，直线 AC 和直线 BC 分别交直线 y ＝4于点 M ，N ，求线段 MN 长度的最小值；(2)若直线 AC 和直线 AB 的斜率之积为 1，求证：直线 BC 与 x 轴垂直．解：(1)由题意，直线 AC 和直线 BC 的斜率一定存在且不为 0，且 A (0,2)，B (0，－2)，AC ⊥BC .1设直线 AC 的斜率为 k ，则直线 BC 的斜率为－ ，k1 所以直线 AC 的方程为 y ＝kx ＋2，直线 BC 的方程为 y ＝－ x －2，k2故它们与直线 y ＝4的交点分别为 M( ，4 )，N (－6k,4)．k23所以 MN ＝|k |≥4 ，当且仅当 k ＝± 时取等号，所以线段 MN 长度的最小值为 4 .6k ＋333(2)证明：易知直线 AC 和直线 AB 的斜率一定存在且不为 0，设直线 AC 的方程为 y ＝kx ＋ 12，则直线 AB 的方程为 y ＝ x ＋2.k4k21－k 24k2k 2－1由Error!解得 C(，同理可得 B.－，1＋k 2)1＋k 2) (－， 1＋k 21＋k 2因为 B ，C 两点的横坐标相等，所以 BC ⊥x 轴．2．已知圆 x 2＋y 2－4x ＋2y －3＝0和圆外一点 M (4，－8)． (1)过 M 作直线交圆于 A ，B 两点，若|AB |＝4，求直线 AB 的方程； (2)过 M 作圆的切线，切点分别为 C ，D ，求切线长及 CD 所在直线的方程． 解：(1)圆即(x －2)2＋(y ＋1)2＝8， 圆心为 P (2，－1)，半径 r ＝2 2.①若割线斜率存在，设 AB ：y ＋8＝k (x －4)， 即 kx －y －4k －8＝0，设 AB 的中点为 N ， |2k ＋1－4k －8| |2k ＋7| 则|PN |＝ ＝ ， k 2＋1 k 2＋1|AB |45由|PN |2＋( 2 )2＝r 2，得 k ＝－， 28AB：45x＋28y＋44＝0.②若割线斜率不存在，AB：x＝4，代入圆方程得y2＋2y－3＝0，y1＝1，y2＝－3符合题意．综上，直线AB的方程为45x＋28y＋44＝0或x＝4.1(2)切线长为 |PM |2－r 2＝ 4＋49－8＝3 5. 以 PM 为直径的圆的方程为 (x －2)(x －4)＋(y ＋1)(y ＋8)＝0， 即 x 2＋y 2－6x ＋9y ＋16＝0.又已知圆的方程为 x 2＋y 2－4x ＋2y －3＝0， 两式相减，得 2x －7y －19＝0， 所以直线 CD 的方程为 2x －7y －19＝0.3．已知直线 l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为 2的圆 C 与 l 相切，圆心 C 在 x 轴上且在直线 l 的右上方．(1)求圆 C 的方程；(2)过点 M (1,0)的直线与圆 C 交于 A ，B 两点(A 在 x 轴上方)，问在 x 轴正半轴上是否存在 定点 N ，使得 x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．5解：(1)设圆心 C (a,0)(2)， a > －|4a ＋10| 则 ＝2⇒a ＝0或 a ＝－5(舍去)．5 所以圆 C 的方程为 x 2＋y 2＝4. (2)当直线 AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Error!得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，2k 2k 2－4 y 1y 2所以 x 1＋x 2＝ ，x 1x 2＝ .若 x 轴平分∠ANB ，则 k AN ＝－k BN ⇒ ＋ ＝0⇒ k 2＋1 k 2＋1 x 1－t x 2－tk x 1－1 k x 2－12k 2－4 2k 2t ＋1 ＋＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒－＋2tx 1－tx 2－tk 2＋1k 2＋1＝0⇒t ＝4，所以当点 N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．4．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆 C 2：(x －4)2＋(y －5)2 ＝4.(1)若直线 l 过点 A (4,0)，且被圆 C 1截得的弦长为 2 3，求直线 l 的方程；(2)设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l 1和 l 2，它们分别 与圆 C 1和 C 2相交，且直线 l 1被圆 C 1截得的弦长与直线 l 2被圆 C 2截得的弦长相等，求所有满 足条件的点 P 的坐标．解：(1)由于直线 x ＝4与圆 C 1不相交，∴直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y ＝k (x －4)，圆 C 1的圆心到直线 l 的距离为 d . ∵l 被圆 C 1截得的弦长为 2 3，2∴d ＝ 22－ 32＝1.|－1－7k | 又由点到直线的距离公式得 d ＝ ， 1＋k 2 7 ∴k (24k ＋7)＝0，解得 k ＝0或 k ＝－ ， 24 ∴直线 l 的方程为 y ＝0或 7x ＋24y －28＝0. (2)设点 P (a ，b )满足条件，由题意分析可得直线 l 1，l 2的斜率均存在且不为 0，1 不妨设直线 l 1的方程为 y －b ＝k (x －a )，则直线 l 2的方程为 y －b ＝－ (x －a )．k∵圆 C 1和圆 C 2的半径相等，且直线 l 1被圆 C 1截得的弦长与直线 l 2被圆 C 2截得的弦长相 等，∴圆 C 1的圆心到直线 l 1的距离和圆 C 2的圆心到直线 l 2的距离相等，1|5＋4－a －b||1－k －3－a －b |k即 ＝，1＋k 2 11＋k 2整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |. ∴1＋3k ＋ak －b ＝±(5k ＋4－a －bk )，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5. ∵ k 的取值有无穷多个， ∴Error!或Error! 解得Error!或Error!51 3 13故这样的点只可能是点 P 1(或点 P 2－ ， .，－2)22 2B 组——大题增分练1.如图，已知以点 A (－1,2)为圆心的圆与直线 l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点 B (－2,0)的动 直线 l 与圆 A 相交于 M ，N 两点，Q 是 MN 的中点，直线 l 与 l 1相交于点 P .(1)求圆 A 的方程；(2)当 MN ＝2 19时，求直线 l 的方程． 解：(1)设圆 A 的半径为 r .由于圆 A 与直线 l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，3|－1＋4＋7|∴r＝＝2 5.5∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．即kx－y＋2k＝0.连结AQ，则AQ⊥MN.∵MN＝2 19，∴AQ＝20－19＝1，|k－2|则由AQ＝＝1，k2＋13得k＝，∴直线l：3x－4y＋6＝0.4故直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.2．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB 的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当OP＝OM时，求证：△POM的面积为定值．解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.―→―→设M(x，y)，则CM＝(x，y－4)，MP＝(2－x,2－y)．―→―→由题设知CM·MP＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)证明：由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，2为半径的圆．由于OP＝OM，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.1因为ON的斜率为3，所以PM的斜率为－，31 8故PM的方程为y＝－x＋.3 34 10又OM＝OP＝2 2，O到l的距离d为，544 10所以 PM ＝2 OP 2－d 2＝ ，51 16所以△POM 的面积为 S △POM ＝ PM ·d ＝ .2 53.如图，已知位于 y 轴左侧的圆 C 与 y 轴相切于点(0,1)，且被 x 轴分成的两段弧长之比为 2∶1，过点 H (0，t )的直线 l 与圆 C 相交于 M ，N 两点，且以 MN 为直径 的圆恰好经过坐标原点 O .(1)求圆 C 的方程；(2)当 t ＝1时，求直线 l 的方程； (3)求直线 OM 的斜率 k 的取值范围．解：(1)因为位于 y 轴左侧的圆 C 与 y 轴相切于点(0,1)，所以圆心 C 在直线 y ＝1上． 又圆 C 与 x 轴的交点分别为 A ，B ，由圆 C 被 x 轴分成的两段弧长之比为 2∶1，得∠ACB ＝ 2π .3 所以 CA ＝CB ＝2，圆心 C 的坐标为(－2,1)． 所以圆 C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.(2)当 t ＝1时，由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y ＝mx ＋1. 由Error!消去 y ， 得(m 2＋1)x 2＋4x ＝0， 解得Error!或Error!－4 m 2－4m ＋1不妨令 M(m 2＋1)，N (0,1)．，m 2＋1因为以 MN 为直径的圆恰好经过 O (0,0)，―→―→ －4 m 2－4m ＋1 m 2－4m ＋1所以OM · ON ＝(， ·(0,1)＝＝0，解得 m ＝2± ，m 2＋1)3m 2＋1m 2＋1故所求直线 l 的方程为 y ＝(2＋ 3)x ＋1或 y ＝(2－ 3)x ＋1.(3)设直线 OM 的方程为 y ＝kx ， |－2k －1| 3由题意，知 ≤2，解得 k ≤ . 1＋k 2 4 1 3 4同理得－ ≤ ，解得 k ≤－ 或 k >0. k 4 3 由(2)知，k ＝0也满足题意．43所以 k 的取值范围是(－∞，－3]∪[0，4 ].4．已知过点A(－1,0)的动直线l与圆C：x2＋(y－3)2＝4相交于P、Q两点，M是PQ中点，l5与直线 m ：x ＋3y ＋6＝0相交于 N .(1)求证：当 l 与 m 垂直时，l 必过圆心 C ； (2)当 PQ ＝2 3时，求直线 l 的方程；―→―→(3)探索 AM · AN 是否与直线 l 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说 明理由．解：(1)∵l 与 m 垂直， 1且 k m ＝－ ，∴k l ＝3，3故直线 l 方程为 y ＝3(x ＋1)，即 3x －y ＋3＝0. ∵圆心坐标(0,3)满足直线 l 方程， ∴当 l 与 m 垂直时，l 必过圆心 C .(2)①当直线 l 与 x 轴垂直时， 易知 x ＝－1符合题意． ②当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y ＝k (x ＋1)，即 kx －y ＋k ＝0， ∵PQ ＝2 3，∴CM ＝ 4－3＝1， |－k ＋3| 4 则由 CM ＝ ＝1，得 k ＝ ， k 2＋1 3 ∴直线 l ：4x －3y ＋4＝0.故直线 l 的方程为 x ＝－1或 4x －3y ＋4＝0.―→ ―→ ―→ ―→ ―→(3)∵CM ⊥MN ，∴ AM · AN ＝( AC ＋ CM )· AN ＝ ―→―→ ―→ ―→ ―→ ―→AC · AN ＋ CM · AN ＝ AC · AN .5 当 l与 x 轴垂直时，易得 N(，－1，－3)―→ 5―→(则AN ＝ 0，－3)，又 AC ＝(1,3)，―→ ―→ ―→ ―→∴ AM · AN ＝ AC · AN ＝－5.当 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y ＝k (x ＋1)，－3k －6 －5k则由Error!得 N(，，1＋3k)1＋3k―→－5 －5k则AN ＝(，，1＋3k)1＋3k―→―→―→―→－5 －15k∴AM·AN＝AC·AN＝＋＝－5.1＋3k1＋3k―→―→综上所述，AM·AN与直线l的斜率无关，6―→―→且AM·AN＝－5.7。

第二讲 大题考法——直线与圆题型(一) 直线与圆的位置关系主要考查直线与圆的位置关系以及复杂背景下直线、圆的方程.[典例感悟][例1] 如图，在Rt △ABC 中，∠A 为直角，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1,1)在直线AC 上，BC 中点为M (2,0)．(1)求BC 边所在直线的方程；(2)若动圆P 过点N (－2,0)，且与Rt △ABC 的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P 中半径最小的圆方程．[解] (1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，AC 与AB 垂直，所以直线AC 的斜率为－3.故AC 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0.设C 为(x 0，－3x 0－2)，因为M 为BC 中点， 所以B (4－x 0,3x 0＋2)．点B 代入x －3y －6＝0，解得x 0＝－45，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，25. 所以BC 所在直线方程为x ＋7y －2＝0.(2)因为Rt △ABC 斜边中点为M (2,0)，所以M 为Rt △ABC 外接圆的圆心． 又AM ＝22，从而Rt △ABC 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. 设P (a ，b )，因为动圆P 过点N ，所以该圆的半径r ＝a ＋22＋b 2，圆方程为(x －a )2＋(y－b )2＝r 2.由于⊙P 与⊙M 相交，则公共弦所在直线m 的方程为(4－2a )x －2by ＋a 2＋b 2－r 2＋4＝0. 因为公共弦长为4，⊙M 半径为22，所以M (2,0)到m 的距离d ＝2，即|24－2a ＋a 2＋b 2－r 2＋4|22－a 2＋b 2＝2， 化简得b 2＝3a 2－4a ，所以r ＝a ＋22＋b 2＝ 4a 2＋4.当a ＝0时，r 最小值为2，此时b ＝0，圆的方程为x 2＋y 2＝4.[方法技巧]解决有关直线与圆位置关系的问题的方法(1)直线与圆的方程求解通常用的待定系数法，由于直线方程和圆的方程均有不同形式，故要根据所给几何条件灵活使用方程．(2)对直线与直线的位置关系的相关问题要用好直线基本量之一斜率，要注意优先考虑斜率不存在的情况．(3)直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系在处理时几何法优先，有时也需要用代数法即解方程组．[演练冲关]已知以点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O为坐标原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程． 解：(1)证明：因为圆C 过原点O ，所以OC 2＝t 2＋4t2.设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，所以S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)因为OM ＝ON ，CM ＝CN ， 所以OC 垂直平分线段MN . 因为k MN ＝－2，所以k OC ＝12.所以2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2.当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝55<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝955> 5.圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， 所以t ＝－2不符合题意，舍去． 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.题型(二) 圆中的定点、定值问题主要考查动圆过定点的问题其本质是含参方程恒有解，定值问题是引入参数，再利用其满足的约束条件消去参数得定值.[典例感悟][例2] 已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A (－5,0)，直线l ：x －2y ＝0. (1)求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；(2)在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在定点B (不同于点A )满足：对于圆C 上任一点P ，都有PB PA为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标．[解] (1)设所求直线方程为y ＝－2x ＋b ， 即2x ＋y －b ＝0. 因为直线与圆C 相切， 所以|－b |22＋12＝3，解得b ＝±3 5.所以所求直线方程为2x ＋y ±35＝0. (2)法一：假设存在这样的点B (t,0)． 当点P 为圆C 与x 轴的左交点(－3,0)时，PB PA ＝|t ＋3|2；当点P 为圆C 与x 轴的右交点(3,0)时，PB PA ＝|t －3|8.依题意，|t ＋3|2＝|t －3|8，解得t ＝－95或t ＝－5(舍去)．下面证明点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PB PA 为一常数． 设P (x ，y )，则y 2＝9－x 2，所以PB 2PA2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋952＋y 2x ＋52＋y 2＝x 2＋185x ＋9－x 2＋8125x 2＋10x ＋25＋9－x 2＝1825·5x ＋172·5x ＋17＝925.从而PB PA ＝35为常数． 法二：假设存在这样的点B (t,0)，使得PBPA为常数λ，则PB 2＝λ2PA 2，所以(x －t )2＋y 2＝λ2[(x ＋5)2＋y 2]，将y 2＝9－x 2代入，得x 2－2xt ＋t 2＋9－x 2＝λ2(x 2＋10x ＋25＋9－x 2)，即2(5λ2＋t )x ＋34λ2－t 2－9＝0对x ∈[－3,3]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋t ＝0，34λ2－t 2－9＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝35，t ＝－95或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，t ＝－5(舍去)．故存在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PB PA 为常数35. [方法技巧]关于解决圆中的定点、定值问题的方法(1)与圆有关的定点问题最终可化为含有参数的动直线或动圆过定点．解这类问题关键是引入参数求出动直线或动圆的方程．(2)与圆有关的定值问题，可以通过直接计算或证明，还可以通过特殊化，先猜出定值再给出证明．[演练冲关]1．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，直线l 1过定点A (1,0)． (1) 若l 1与圆相切，求直线l 1的方程；(2) 若l 1与圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又l 1与l 2：x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，判断AM ·AN 是否为定值．若是，则求出定值；若不是，请说明理由．解：(1)若直线l 1的斜率不存在，即直线l 1的方程为x ＝1，符合题意； 若直线l 1斜率存在，设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0. 由题意知，圆心(3,4)到直线l 1的距离等于半径2，即||3k －4－k k 2＋1＝2，解得k ＝34，则l 1：3x－4y －3＝0.所求直线l 1的方程是x ＝1或3x －4y －3＝0.(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线l 1方程为kx －y －k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0得N ⎝⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1.又因为直线CM 与l 1垂直，故⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ，y －4＝－1k x －3，可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k2，4k 2＋2k 1＋k 2.所以AM ·AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋2k 1＋k 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2k ＋12＝2||2k ＋11＋k 21＋k 2·31＋k2||2k ＋1＝6，为定值．故AM ·AN 是定值，且为6. 2．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .(1)若∠APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，当CD ＝2时，求直线CD 的方程；(3)求证：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 解：(1)设P (2m ，m )，因为∠APB ＝60°，AM ＝1， 所以MP ＝2，所以(2m )2＋(m －2)2＝4， 解得m ＝0或m ＝45，故所求点P 的坐标为P (0,0)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. (2)易知直线CD 的斜率存在，可设直线CD 的方程为y －1＝k (x －2)， 由题知圆心M 到直线CD 的距离为22， 所以22＝|－2k －1|1＋k2， 解得k ＝－1或k ＝－17，故所求直线CD 的方程为x ＋y －3＝0或x ＋7y －9＝0.(3)证明：设P (2m ，m )，MP 的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m2＋1，因为PA 是圆M 的切线，所以经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，故其方程为(x －m )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 2－12＝m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2－12，化简得x 2＋y 2－2y －m (2x ＋y －2)＝0，此式是关于m 的恒等式，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝25.所以经过A ，P ，M 三点的圆必过定点(0,2)或⎝ ⎛⎭⎪⎫45，25. 题型(三)与直线、圆有关的最值或范围问题主要考查与直线和圆有关的长度、面积的最值或有关参数的取值范围问题.[典例感悟][例3] 已知△ABC 的三个顶点A (－1,0)，B (1,0)，C (3,2)，其外接圆为圆H . (1)若直线l 过点C ，且被圆H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点M ，N ，使得点M 是线段PN 的中点，求圆C 的半径r 的取值范围．[解] (1)线段AB 的垂直平分线方程为x ＝0，线段BC 的垂直平分线方程为x ＋y －3＝0. 所以外接圆圆心H (0,3)，半径为12＋32＝10. 圆H 的方程为x 2＋(y －3)2＝10.设圆心H 到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆H 截得的弦长为2，所以d ＝102－1＝3.当直线l 垂直于x 轴时，显然符合题意，即x ＝3为所求；当直线l 不垂直于x 轴时，设直线方程为y －2＝k (x －3)，则|3k ＋1|1＋k 2＝3，解得k ＝43. 所以直线l 的方程为y －2＝43(x －3)，即4x －3y －6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝3或4x －3y －6＝0.(2) 直线BH 的方程为3x ＋y －3＝0，设P (m ，n )(0≤m ≤1)，N (x ，y )． 因为点M 是线段PN 的中点，所以M ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋x 2，n ＋y 2，又M ，N 都在半径为r 的圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －32＋y －22＝r 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋x 2－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋y 2－22＝r 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x －32＋y －22＝r 2，x ＋m －62＋y ＋n －42＝4r 2.因为该关于x ，y 的方程组有解，即以(3,2)为圆心，r 为半径的圆与以(6－m,4－n )为圆心，2r 为半径的圆有公共点，所以(2r －r )2≤(3－6＋m )2＋(2－4＋n )2≤(r ＋2r )2.又3m ＋n －3＝0，所以r 2≤10m 2－12m ＋10≤9r 2对任意的m ∈[0,1]成立． 而f (m )＝10m 2－12m ＋10在[0,1]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤325，10，所以r 2≤325且10≤9r 2.又线段BH 与圆C 无公共点，所以(m －3)2＋(3－3m －2)2>r 2对任意的m ∈[0,1]成立，即r 2<325.故圆C 的半径r 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，4105.[方法技巧]1．隐形圆问题有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程), 从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题．2．隐形圆的确定方法(1)利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆； (2)动点P 对两定点A ，B 张角是90°(k PA ·k PB ＝－1)确定隐形圆； (3)两定点A ，B ，动点P 满足PA ―→·PB ―→＝λ确定隐形圆； (4)两定点A ，B ，动点P 满足PA 2＋PB 2是定值确定隐形圆；(5)两定点A ，B ，动点P 满足PA ＝λPB (λ＞0，λ≠1)确定隐形圆(阿波罗尼斯圆)； (6)由圆周角的性质确定隐形圆． 3．与圆有关的最值或范围问题的求解策略与圆有关的最值或取值范围问题的求解，要对问题条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，要掌握解决问题常使用的思想方法，如要善于利用数形结合思想，利用几何知识，求最值或范围，要善于利用转化与化归思想将最值或范围转化为函数关系求解．[演练冲关]1.(2018·苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A (－1,0)，B (1,2)．(1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程；(2)在圆C 上是否存在点P ，使得PA 2＋PB 2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由． 解：(1)因为圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4， 所以圆心C (2,0)，半径为2. 因为l ∥AB ，A (－1,0)，B (1,2)， 所以直线l 的斜率为2－01－－1＝1，设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，则圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2－0＋m |2＝|2＋m |2.因为MN ＝AB ＝22＋22＝22， 而CM 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22，所以4＝2＋m 22＋2，解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0. (2)假设圆C 上存在点P ，设P (x ，y )， 则(x －2)2＋y 2＝4，PA 2＋PB 2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，x 2＋(y －1)2＝4， 因为|2－2|<2－02＋0－12<2＋2，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交， 所以点P 的个数为2.2．在等腰△ABC 中，已知AB ＝AC ，且点B (－1,0)．点D (2,0)为AC 的中点． (1)求点C 的轨迹方程；(2)已知直线l ：x ＋y －4＝0，求边BC 在直线l 上的射影EF 长的最大值． 解：(1)设C (x ，y )， ∵D (2,0)为AC 的中点． ∴A (4－x ，－y )，∵B (－1,0)，由AB ＝AC ，得AB 2＝AC 2. ∴(x －5)2＋y 2＝(2x －4)2＋(2y )2，整理得(x －1)2＋y 2＝4.∵A ，B ，C 三点不共线，∴y ≠0，则点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)． (2)法一：由条件，易得BE ：x －y ＋1＝0. 设CF ：x －y ＋b ＝0. 当EF 取得最大值时，直线CF 与圆(x －1)2＋y 2＝4相切，设M (1,0)，则M 到CF 的距离为|1－0＋b |2＝2.∴b ＝22－1(舍去)或b ＝－22－1. ∴CF ：x －y －22－1＝0. ∴EF max 等于点B 到CF 的距离 ＝|－1－0－22－1|2＝2＋2.法二：设点M (1,0)，如图，过点C 的轨迹圆心M 作BE ，CF 的垂线，垂足分别为G ，H ，则四边形EFHG 是矩形． ∴EF ＝GH ＝GM ＋MH . 由条件，得MG ＝BM2＝22＝ 2. ∵MH 的最大值为半径2. ∴EF max ＝2＋2.3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程；(3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA ―→＋TP ―→＝TQ ―→，求实数t 的取值范围． 解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25， 所以圆心M (6,7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切， 所以0＜y 0＜7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ， 所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22，所以25＝m ＋525＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0. (3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2,4)，T (t,0)，TA ―→＋TP ―→＝TQ ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.② 将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上， 从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点， 所以5－5≤[t ＋4－6]2＋3－72≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221.因此，实数t 的取值范围是[2－221，2＋221 ]． [课时达标训练]A 组——大题保分练1．已知圆O ：x 2＋y 2＝4交y 轴正半轴于点A ，点B ，C 是圆O 上异于点A 的两个动点． (1)若B 与A 关于原点O 对称，直线AC 和直线BC 分别交直线y ＝4于点M ，N ，求线段MN 长度的最小值；(2)若直线AC 和直线AB 的斜率之积为1，求证：直线BC 与x 轴垂直．解：(1)由题意，直线AC 和直线BC 的斜率一定存在且不为0，且A (0,2)，B (0，－2)，AC ⊥BC .设直线AC 的斜率为k ，则直线BC 的斜率为－1k ， 所以直线AC 的方程为y ＝kx ＋2，直线BC 的方程为y ＝－1kx －2， 故它们与直线y ＝4的交点分别为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ，4，N (－6k,4)． 所以MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6k ＋2k ≥43，当且仅当k ＝±33时取等号，所以线段MN 长度的最小值为4 3. (2)证明：易知直线AC 和直线AB 的斜率一定存在且不为0，设直线AC 的方程为y ＝kx ＋2，则直线AB 的方程为y ＝1kx ＋2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＋y 2＝4解得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋k 2，21－k 21＋k 2，同理可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋k 2，2k 2－11＋k 2. 因为B ，C 两点的横坐标相等，所以BC ⊥x 轴． 2．已知圆x 2＋y 2－4x ＋2y －3＝0和圆外一点M (4，－8)．(1)过M 作直线交圆于A ，B 两点，若|AB |＝4，求直线AB 的方程；(2)过M 作圆的切线，切点分别为C ，D ，求切线长及CD 所在直线的方程．解：(1)圆即(x －2)2＋(y ＋1)2＝8，圆心为P (2，－1)，半径r ＝2 2.①若割线斜率存在，设AB ：y ＋8＝k (x －4)，即kx －y －4k －8＝0，设AB 的中点为N ，则|PN |＝|2k ＋1－4k －8|k 2＋1＝|2k ＋7|k 2＋1， 由|PN |2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝r 2，得k ＝－4528， AB ：45x ＋28y ＋44＝0.②若割线斜率不存在，AB ：x ＝4，代入圆方程得y 2＋2y －3＝0，y 1＝1，y 2＝－3符合题意．综上，直线AB 的方程为45x ＋28y ＋44＝0或x ＝4.(2)切线长为|PM |2－r 2＝4＋49－8＝3 5.以PM 为直径的圆的方程为(x －2)(x －4)＋(y ＋1)(y ＋8)＝0，即x 2＋y 2－6x ＋9y ＋16＝0.又已知圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y －3＝0，两式相减，得2x －7y －19＝0，所以直线CD 的方程为2x －7y －19＝0.3．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C (a,0)⎝⎛⎭⎪⎫a >－52， 则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍去)． 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝4，y ＝k x －1，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k x 1－1x 1－t＋k x 2－1x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2k 2－4k 2＋1－2k 2t ＋1k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4， 所以当点N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P 的坐标．解：(1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，∴直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d . ∵l 被圆C 1截得的弦长为23，∴d ＝ 22－32＝1.又由点到直线的距离公式得d ＝|－1－7k |1＋k2，∴k (24k ＋7)＝0，解得k ＝0或k ＝－724， ∴直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，由题意分析可得直线l 1，l 2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )． ∵圆C 1和圆C 2的半径相等，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等， ∴圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k －3－a －b |1＋k 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5＋1k 4－a －b 1＋1k 2，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |.∴1＋3k ＋ak －b ＝±(5k ＋4－a －bk )，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5.∵k 的取值有无穷多个，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝52，b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－32，b ＝132，故这样的点只可能是点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或点P 2－32，132. B 组——大题增分练1.如图，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当MN ＝219时，求直线l 的方程．解：(1)设圆A 的半径为r .由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴r ＝|－1＋4＋7|5＝2 5. ∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．即kx －y ＋2k ＝0.连结AQ ，则AQ ⊥MN . ∵MN ＝219，∴AQ ＝20－19＝1，则由AQ ＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34，∴直线l ：3x －4y ＋6＝0. 故直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.2．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当OP ＝OM 时，求证：△POM 的面积为定值．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM ―→＝(x ，y －4)，MP ―→＝(2－x,2－y )．由题设知CM ―→·MP ―→＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)证明：由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于OP ＝OM ，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以PM 的斜率为－13， 故PM 的方程为y ＝－13x ＋83. 又OM ＝OP ＝22，O 到l 的距离d 为4105， 所以PM ＝2OP 2－d 2＝4105， 所以△POM 的面积为S △POM ＝12PM ·d ＝165. 3.如图，已知位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)，且被x 轴分成的两段弧长之比为2∶1，过点H (0，t )的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且以MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)当t ＝1时，求直线l 的方程；(3)求直线OM 的斜率k 的取值范围．解：(1)因为位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)，所以圆心C 在直线y ＝1上．又圆C 与x 轴的交点分别为A ，B ，由圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为2∶1，得∠ACB ＝2π3. 所以CA ＝CB ＝2，圆心C 的坐标为(－2,1)．所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.(2)当t ＝1时，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝mx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝mx ＋1，x ＋22＋y －12＝4，消去y ， 得(m 2＋1)x 2＋4x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4m 2＋1，y ＝m 2－4m ＋1m 2＋1. 不妨令M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 2＋1，m 2－4m ＋1m 2＋1，N (0,1)． 因为以MN 为直径的圆恰好经过O (0,0)，所以OM ―→·ON ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 2＋1，m 2－4m ＋1m 2＋1·(0,1)＝m 2－4m ＋1m 2＋1＝0，解得m ＝2±3，故所求直线l 的方程为y ＝(2＋3)x ＋1或y ＝(2－3)x ＋1.(3)设直线OM 的方程为y ＝kx ， 由题意，知|－2k －1|1＋k2≤2，解得k ≤34. 同理得－1k ≤34，解得k ≤－43或k >0. 由(2)知，k ＝0也满足题意．所以k 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34. 4．已知过点A (－1,0)的动直线l 与圆C ：x 2＋(y －3)2＝4相交于P 、Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：x ＋3y ＋6＝0相交于N .(1)求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ；(2)当PQ ＝23时，求直线l 的方程；(3)探索AM ―→·AN ―→是否与直线l 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由． 解：(1)∵l 与m 垂直，且k m ＝－13，∴k l ＝3， 故直线l 方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0.∵圆心坐标(0,3)满足直线l 方程，∴当l 与m 垂直时，l 必过圆心C .(2)①当直线l 与x 轴垂直时， 易知x ＝－1符合题意．②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0，∵PQ ＝23，∴CM ＝4－3＝1，则由CM ＝|－k ＋3|k 2＋1＝1，得k ＝43， ∴直线l ：4x －3y ＋4＝0.故直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.(3)∵CM ⊥MN ，∴AM ―→·AN ―→＝(AC ―→＋CM ―→)·AN ―→＝AC ―→·AN ―→＋CM ―→·AN ―→＝AC ―→·AN ―→.当l 与x 轴垂直时，易得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－53，则AN ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－53，又AC ―→＝(1,3)， ∴AM ―→·AN ―→＝AC ―→·AN ―→＝－5.当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋1，x ＋3y ＋6＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k －61＋3k ，－5k 1＋3k ， 则AN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋3k ，－5k 1＋3k ， ∴AM ―→·AN ―→＝AC ―→·AN ―→＝－51＋3k ＋－15k 1＋3k＝－5. 综上所述，AM ―→·AN ―→与直线l 的斜率无关，且AM ―→·AN ―→＝－5.。

第四讲 专题提能——“解析几何”专题提能课提能点 一防止思维定式，实现“移花接木”失误1因忽视方程的标准形式而失误[解析] y ＝2ax 2(a <0)可化为x 2＝12a y ，则焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18a .[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18a[点评] 本题易错如下：由抛物线方程为y ＝2ax 2，知抛物线的对称轴为y 轴，2p ＝－2a ，所以p ＝－a ，p 2＝－a2，所以它的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2.求解此类问题的关键是：首先要准确理解概念，正确识记抛物线的标准方程：y 2＝2px 、y 2＝－2px 、x 2＝2py 、x 2＝－2py ，对于抛物线方程有关的题目要首先将方程变为标准形式，然后在此基础上正确求出抛物线的焦参数p .在求焦参数时要注意p >0，标准方程中一次项系数的绝对值为2p ，求出p 后再研究抛物线的几何性质，结合图形去考虑.失误2因忽视圆方程本身的限制条件而失误范围是________________．[解析] 把圆的方程化为标准方程得，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝16－34k 2，所以16－34k 2>0，解得－833<k <833.又点(1,2)应在已知圆的外部，把点代入圆方程得，1＋4＋k ＋4＋k 2－15>0，即(k －2)(k ＋3)>0，解得k <－3或k >2.综上，k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，－3∪⎝⎛⎭⎪⎫2，833.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，－3∪⎝⎛⎭⎪⎫2，833[点评] 本题易错在于忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑D 2＋E 2－4F >0.本例应把圆的方程化为标准方程后，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0，列出关于k 的不等式，求出不等式的解集，然后由过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关于k 的关系式，求出不等式的解集，综上，求出两解集的交集即为实数k 的取值范围.失误3因忽视斜率不存在的情况而失分[例3] 已知过点(1,2)的直线l 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，弦长AB ＝23，求直线l 的方程．[解] 当过点(1,2)的直线l 斜率不存在时，满足要求，所以方程x ＝1满足题意；当过点(1,2)的直线l 存在斜率时，记l 的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，由弦长为23可得圆心到直线的距离为1，则d ＝|2－k |1＋k2＝1，解得k ＝34，所以直线l 的方程为y －2＝34(x －1)，即3x －4y ＋5＝0.所以所求直线l 的方程为x ＝1和3x －4y ＋5＝0.[点评] 本题学生易错在于忽略了斜率不存在的情况，在用斜率研究直线方程首先考虑斜率不存在的情况．给定弦长，一般都有两解，除非弦长值就是直径的值，此时只有一解．提能点 二灵活运用策略，尝试“借石攻玉”策略1利用对称性解决椭圆中焦点三角形问题[例1] 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆2a 2＋2b2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率为________．[解析] 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b 2，x 2a 2＋y2b 2＝1，可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2， C ⎝⎛⎭⎪⎫32a ，b 2.由F (c,0)，得FB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a －c ，b 2，FC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ，b 2.又∠BFC ＝90°，所以FB ―→·FC ―→＝0，化简可得2a 2＝3c 2，即e 2＝c 2a 2＝23，故e ＝63.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b2，x 2a 2＋y2b 2＝1，可得B ⎝⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，所以BC ＝3a ，由椭圆的焦半径公式得BF ＝a －ex B ＝a ＋e ·32a ，CF ＝a －ex C ＝a －e ·32a ， 又∠BFC ＝90°，所以BF 2＋CF 2＝BC 2， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋e ·32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －e ·32a 2＝(3a )2， 式子两边同除以a 2可得e 2＝23，即e ＝63.[答案]63[点评] 本题中B ，C 两点是关于y 轴对称，对称性的运用对线段的求解和坐标求解有很大帮助.策略2利用有界性处理圆锥曲线中的存在性问题[例2] 若双曲线a 2－b2＝1(a >0，b >0)右支上存在一点P 到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，则该双曲线离心率的取值范围为______________．[解析] 记双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，设点P 到右准线的距离为d ，则由题意得点P 到左焦点的距离为PF 1＝6d ，由于PF 1－PF 2＝2a ，所以PF 2＝6d －2a ，所以6d －2a d ＝c a ，所以d ＝2a 26a －c ，又因为d ≥a －a 2c，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a 26a －c≥a －a 2c ，6a －c >0，解之得此双曲线的离心率e 的取值范围是(1,2]∪[3,6)． [答案] (1,2]∪[3,6)[点评] 一般地，根据“存在一点…”这样的条件求解离心率的取值范围问题，主要是先利用几何条件建立关于a ，b ，c 的方程，再根据椭圆、双曲线和抛物线上点的坐标的有界性来求解．提能点三系统数学思想，实现“触类旁通”函数方程思想——解决平面几何中的最值问题[典例] 在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C 1：|x |a ＋|y |b＝1(a >b >0)所围成的封闭图形的面积为42，曲线C 1上的点到原点O 的最短距离为223.以曲线C 1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C 2.(1)求椭圆C 2的标准方程；(2)设AB 是过椭圆C 2中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．若M 是l 与椭圆C 2的交点，求△AMB 的面积的最小值．[解] (1) 由题意得⎩⎨⎧2ab ＝42，ab a 2＋b 2＝223.解得a 2＝8，b 2＝1.所以所求椭圆C 2的标准方程为x 28＋y 2＝1.(2)法一：设M (x ，y )，则A (λy ，－λx )(λ∈R ，λ≠0)． 因为点A 在椭圆C 2上，所以λ2(y 2＋8x 2)＝8，即y 2＋8x 2＝8λ2.①又x 2＋8y 2＝8.②①＋②得x 2＋y 2＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1λ2.所以S △AMB ＝OM ·OA ＝|λ|(x 2＋y 2) ＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫|λ|＋1|λ|≥169.当且仅当λ＝±1，即k AB ＝±1时，(S △AMB )min ＝169.法二：假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线的方程为y ＝kx (k ≠0)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 2＝1，y ＝kx ，得x 2A ＝81＋8k 2，y 2A ＝8k 21＋8k2，所以OA 2＝x 2A ＋y 2A ＝81＋8k 2＋8k 21＋8k 2＝81＋k 21＋8k 2，AB 2＝4OA 2＝321＋k 21＋8k2.又由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 2＝1，y ＝－1k x ，解得x 2M ＝8k 2k 2＋8，y 2M ＝8k 2＋8，所以OM 2＝81＋k 2k 2＋8.由于S 2△AMB＝14AB 2·OM 2＝14·321＋k 21＋8k2·81＋k2k 2＋8＝641＋k221＋8k 2k 2＋8≥641＋k 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋8k 2＋k 2＋822＝641＋k228141＋k22＝25681， 当且仅当1＋8k 2＝k 2＋8时等号成立，即k ＝±1时等号成立，此时△AMB 面积的最小值是S △AMB ＝169.当k ＝0时，S △AMB ＝12×42×1＝22>169；当k 不存在时，S △AMB ＝12×22×2＝22>169.综上所述，△AMB 面积的最小值为169.[点评] 第(2)问中有关三角形面积的计算一般用以下几种方式：(1)以弦长为底，点到弦所在直线距离为高；(2)正弦定理；(3)如果弦所在直线过定点且顶点也为定点，可以将面积进行分割．一般地，如果建立关于k 的函数，可以用导数的方法或换元处理后用基本不等式方法；如果建立的关于(x ，y )的函数可以直接用基本不等式或消元后转化成二次函数．提能点四强化一题多法，激活“解题思维”1．多角度几何条件求解离心率[例1] 如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，离心率为e ，设A ，B 是椭圆上关于原点对称的两点，AF 的中点为M ，BF 的中点为N ，原点O 在以线段MN 为直径的圆上，设直线AB 的斜率为k ，若0<k ≤33，求椭圆离心率e 的取值范围． [解] 法一：设MN 交x 轴与点C ， ∵AF 的中点为M ，BF 中点为N ， ∴MN ∥AB ，FC ＝CO ＝12，∵A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点， ∴CM ＝CN ，∵原点O 在以线段MN 为直径的圆上， ∴CO ＝CM ＝CN ＝12.∴OA ＝OB ＝c ＝1.∵OA >b ，∴a 2＝b 2＋c 2<2c 2， ∴e ＝c a >22. 设A (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，x 2＋y 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝a 22－a 2，y 2＝1－2a 2＋a 4.∵0<k ≤33，∴0<1－2a 2＋a 4a 22－a 2≤13，解得1<a ≤62， ∴e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1，∴椭圆离心率e 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1. 法二：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＋y 2＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋k 2＝1，x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋k 2b 2＝1⇒1＋k 2＝1a 2＋k 2b2.∵e ＝1a ，∴a ＝1e ，b 2＝a 2－1＝1e2－1，∴1＋k 2＝e 2＋k 2e 21－e 2，∴k 2＝1－e 222e 2－1. ∵0<k 2≤13，∴0<1－e 222e 2－1≤13.解得63≤e <2，又e <1，∴63≤e <1， ∴椭圆离心率e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1. 法三：设∠BAF ＝α，则2c sin α＋2c cos α＝2a ，∴e ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4，∠BOF ＝2α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6，∴α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π12，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，32，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，62，∴e ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1. ∴椭圆离心率e 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1. [点评] 动直线可以通过联立方程建立k 与坐标的关系，再得出与e 的关系；也可以构建几何意义，利用几何图形得出关系；也可以转化为角，利用三角函数求解．2．多角度的求解直线过定点[例2] 过椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点A 作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．[解] 法一：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN ：y ＝kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，则Δ>0，且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.由AM ⊥AN ，得y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝－1， 即(k 2＋1)x 1x 2＋(km ＋2)(x 1＋x 2)＋m 2＋4＝0， (k 2＋1)4m 2－41＋4k 2＋(km ＋2)－8km 1＋4k2＋m 2＋4＝0，化简得5m 2－16km ＋12k 2＝0，∵k ≠0，∴5⎝ ⎛⎭⎪⎫m k 2－16m k＋12＝0，解得m k ＝65或mk＝2(舍去)，直线MN ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65，过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0. 法二：设直线AM ：y ＝k (x ＋2)(k ≠0)，则直线AN ：y ＝－1k(x ＋2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，x 24＋y 2＝1消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0，则－2x M ＝16k 2－41＋4k 2，∴x M ＝2－8k 21＋4k 2，y M ＝4k1＋4k2.所以点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2，4k 1＋4k 2，同理点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－84＋k 2，－4k 4＋k 2，所以k MN ＝4k 1＋4k 2＋4k4＋k 22－8k 21＋4k 2－2k 2－84＋k2＝5k41－k2，所以直线MN 的方程为y －4k1＋4k 2＝5k41－k2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2－8k 21＋4k 2， 令y ＝0，得x ＝2－8k 21＋4k 2－161－k 251＋4k 2＝－61＋4k251＋4k2＝－65，所以直线MN 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0. 法三：(考查极端位置、特殊位置确定出定点，从而转化为一般性证明题) 同法二知，x M ＝2－8k 21＋4k 2，x N ＝2k 2－84＋k 2，令2－8k 21＋4k 2＝2k 2－84＋k 2⇒k 2＝1，此时2－8k 21＋4k 2＝－65， ∴直线MN 过定点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.当k 2≠1，k CM ＝4k1＋4k 22－8k 21＋4k 2＋65＝5k41－k2，k CN ＝－4k 4＋k22k 2－84＋k 2＋65＝5k41－k2. ∴k CM ＝k CN ，∴M ，N ，C 三点共线，即直线MN 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0. [点评] 直线过定点问题，可以设出直线方程y ＝kx ＋m ，得出k 与m 的关系，从而得到过定点；也可以直接用k 表示出新直线的方程，再求过定点；也可以先特殊得出定点，再用三点共线来论证一般情形．[课时达标训练]A 组——易错清零练1．过点P (2，－1)且倾斜角的正弦值为513的直线方程为________________________．解析：设所求直线的倾斜角为α，则由题设知sin α＝513，因为0≤α<π，所以cos α＝±1－sin 2α＝±1213，所以tan α＝sin αcos α＝±512，则所求直线方程为y ＋1＝±512(x －2)，即5x －12y －22＝0或5x ＋12y ＋2＝0.答案：5x －12y －22＝0或5x ＋12y ＋2＝02．若椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是________． 解析：因为短轴长为2，即b ＝1，所以a ＝2，则椭圆的中心到其准线的距离是433. 答案：4333．设双曲线的渐近线为y ＝±32x ，则其离心率为________．解析：由题意可得b a ＝32或b a ＝23，从而e ＝ca＝1＋b 2a 2＝132或133.答案：132或1334．若关于x 的方程 1－x 2＝a (x －1)＋1有两个不相等的实数根，那么实数a 的取值范围是________．解析：作出函数y ＝1－x 2的图象，它是单位圆的上半部分，作出直线y ＝a (x －1)＋1，它是过点A (1,1)的直线，由图象可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B 组——方法技巧练1．已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.解析：由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|m 2＋1.由|AB |＝23得⎝⎛⎭⎪⎫3m －3m 2＋12＋(3)2＝12，解得m ＝－33.又直线l 的斜率为－m ＝33，所以直线l 的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π6.在Rt △CDE 中，可得|CD |＝|AB |cos π6＝23×23＝4.答案：42.如图，设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．解析：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝1－b 2， 则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1―→＝3F 1B ―→，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3x 0＋3c ，－b 2＝3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得251－b 29＋19b 2＝1，解得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y22＝1.答案：x 2＋32y 2＝13．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c,0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．解析：法一：设椭圆的另一个焦点F 1(－c,0)，如图，连结QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝b cx 交于点M ，又题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ ，O 为线段F 1F 的中点，∴F 1Q ∥OM ，∴F 1Q ⊥QF ，F 1Q ＝2OM . 在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝MF OM ＝bc，OF ＝c . 解得OM ＝c 2a ，MF ＝bc a ，故QF ＝2MF ＝2bc a ，QF 1＝2OM ＝2c2a.由椭圆的定义QF ＋QF 1＝2bc a ＋2c 2a＝2a ，整理得b ＝c ，∴a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝22. 法二：设Q (x 0，y 0)，则FQ 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋c 2，y 02，k FQ ＝y 0x 0－c .依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ y 02＝b c ·x 0＋c2，y 0x 0－c ·bc ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝c 2c 2－a 2a 2，y 0＝2bc2a 2.又因为(x 0，y 0)在椭圆上，所以c 22c 2－a 22a 6＋4c4a 4＝1.令e ＝c a，则4e 6＋e 2＝1，故离心率e ＝22. 答案：224．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上存在一点M ，它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍，则椭圆离心率的最小值为________.解析：由题意，设点M 的横坐标为x ，根据焦半径公式得，a ＋ex ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c －x ，x ＝2a2c －ae ＋2，有－a ≤2a2c －a e ＋2≤a ，不等式各边同除以a ，得－1≤2ac －1e ＋2≤1，则2e－1≤e ＋2，即e 2＋3e －2≥0，又0<e <1，所以17－32≤e <1，所以椭圆离心率的最小值为17－32. 答案：17－325．已知点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上，求x 2＋2xy ＋3y 2的最大值和最小值． 解：圆x2＋y 2＝1的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ.则x 2＋2xy ＋3y 2＝cos 2θ＋2sin θcos θ＋3sin 2θ＝1＋cos 2θ2＋sin 2θ＋3×1－cos 2θ2＝2＋sin 2θ－cos 2θ＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π4， 则当2θ－π4＝2k π＋π2，即θ＝k π＋3π8(k ∈Z )时，x 2＋2xy ＋3y 2取得最大值，为2＋2；当2θ－π4＝2k π－π2，即θ＝k π－π8(k ∈Z )时，x 2＋2xy ＋3y 2取得最小值，为2－ 2.6.设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22，求该椭圆的标准方程．解：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c 2＝a 2－b 2. 由|F 1F 2||DF 1|＝22，得|DF 1|＝|F 1F 2|22＝22c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1|·|F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22.由DF 1⊥F 1F 2，得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322， 所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22， 故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.所以所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.C 组——创新应用练1．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，不难验证PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.答案：52．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________．解析：如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)．设E (0，m )，由PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |，则|MF |＝m a －ca.① 又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m a ＋c2a.② 由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ，∴e ＝c a ＝13.答案：133．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．解析：依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt △OMA 中，因为∠OMA ＝45°，故|OA |＝|OM |sin 45°＝22|OM |≤1，所以|OM |≤2，则x 20＋1≤2，解得－1≤x 1≤1. 答案：[－1,1]4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c，则该椭圆离心率的取值范围为________．解析：在△MF 1F 2中，|MF 2|sin ∠MF 1F 2＝|MF 1|sin ∠MF 2F 1，而sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c，∴|MF 2||MF 1|＝sin ∠MF 1F 2sin ∠MF 2F 1＝a c.① 又M 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∴|MF 1|＋|MF 2|＝2a .②由①②得，|MF 1|＝2ac a ＋c ，|MF 2|＝2a2a ＋c .显然|MF 2|>|MF 1|，∴a －c <|MF 2|<a ＋c ，即a －c <2a2a ＋c <a ＋c ，整理得c 2＋2ac －a 2>0，∴e 2＋2e －1>0，又0<e <1， ∴2－1<e <1. 答案：(2－1,1)5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0，1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．解：(1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称， 故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上． 因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22.则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)． 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得 (4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋m －1x 1＋x 2x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l过定点(2，－1)．6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的中心在原点O ，右焦点F 在x 轴上，椭圆与y 轴交于A ，B 两点，其右准线l 与x 轴交于T 点，直线BF 交椭圆于C 点，P 为椭圆上弧AC 上的一点．(1)求证：A ，C ，T 三点共线；(2)如果BF ―→＝3FC ―→，四边形APCB 的面积最大值为6＋23，求此时椭圆的方程和P 点坐标．解：(1)证明：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，①则A (0，b )，B (0，－b )，T ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0， AT ：x a 2c ＋yb ＝1，②BF ：x c ＋y－b＝1，③联立②③，解得交点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2ca 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，代入①得：⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3a 2＋c 22b 2＝4a 2c 2＋a 2－c 22a 2＋c 22＝1.满足①式，则C 点在椭圆上，A ，C ，T 三点共线． (2)过C 作CE ⊥x 轴，垂足为E (图略)，则△OBF ∽△ECF . ∵BF ―→＝3FC ―→，CE ＝13b ，EF ＝13c ，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4c 3，b 3，代入①得：⎝ ⎛⎭⎪⎫43c 2a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 32b2＝1，∴a 2＝2c 2，b 2＝c 2.设P (x 0，y 0)，则x 0＋2y 20＝2c 2， 此时C ⎝⎛⎭⎪⎫4c 3，c 3，AC ＝235c ，S △ABC＝12·2c ·4c 3＝43c 2，直线AC 的方程为x ＋2y －2c ＝0， 点P 到直线AC 的距离为d ＝|x 0＋2y 0－2c |5＝x 0＋2y 0－2c5， S △APC ＝12d ·AC ＝12·x 0＋2y 0－2c 5·235c ＝x 0＋2y 0－2c3·c .只需求x 0＋2y 0的最大值．∵(x 0＋2y 0)2＝x 20＋4y 20＋2·2x 0y 0≤x 20＋4y 20＋2(x 20＋y 20)＝3(x 20＋2y 20)＝6c 2， ∴x 0＋2y 0≤6c ， 当且仅当x 0＝y 0＝63c 时，(x 0＋2y 0)max ＝6c . ∴四边形的面积最大值为6－23c 2＋43c 2＝6＋23c 2＝6＋23， ∴c 2＝1，a 2＝2，b 2＝1，此时椭圆方程为x 22＋y 2＝1，P 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫63，63.。

椭圆A 组——大题保分练1.如图，圆C 与y 轴相切于点T (0，2)，与x 轴正半轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)，且MN ＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆T ：x 24＋y 28＝1相交于两点A ，B ，连结AN ，BN ，求证：∠ANM ＝∠BNM .解：(1)设圆C 的半径为r ，依题意得，圆心坐标为(r,2)． ∵MN ＝3，∴r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22，∴r ＝52， ∴圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋(y －2)2＝254.(2)证明：把y ＝0代入方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋(y －2)2＝254，解得x ＝1或x ＝4，即点M (1,0)，N (4,0)．①当AB ⊥x 轴时，由椭圆对称性可知∠ANM ＝∠BNM .②当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y28＝1消去y ，得(k 2＋2)x 2－2k 2x ＋k 2－8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2k 2k 2＋2，x 1x 2＝k 2－8k 2＋2.∵y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， ∴k AN ＋k BN ＝y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝k x 1－x 1－4＋k x 2－x 2－4＝k x 1－x 2－＋k x 2－x 1－x 1－x 2－.∵(x 1－1)(x 2－4)＋(x 2－1)(x 1－4)＝2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋8＝k 2－k 2＋2－10k2k 2＋2＋8＝0， ∴k AN ＋k BN ＝0，∴∠ANM ＝∠BNM . 综上所述，∠ANM ＝∠BNM .2．(2018·高邮中学月考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A (－2,0)，离心率为12，过点A 的直线l 与椭圆E 交于另一点B ，点C 为y 轴上的一点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若△ABC 是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程．解：(1)由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，从而有b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0,因为x ＝－2为该方程的一个根，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k 2，12k 3＋4k 2，设C (0，y 0)，由k AC ·k BC ＝－1， 得y 02·12k3＋4k 2－y 06－8k23＋4k2＝－1， 即(3＋4k 2)y 20－12ky 0＋(16k 2－12)＝0.(*)由AC ＝BC ，即AC 2＝BC 2，得4＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k 22＋⎝⎛⎭⎪⎫y 0－12k 3＋4k 22，即4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 3＋4k 22－24k 3＋4k 2y 0， 即4(3＋4k 2)2＝(6－8k 2)2＋144k 2－24k (3＋4k 2)y 0， 所以k ＝0或y 0＝－2k3＋4k2，当k ＝0时，直线l 的方程为y ＝0，当y 0＝－2k 3＋4k 2时，代入(*)得16k 4＋7k 2－9＝0，解得k ＝±34，此时直线l 的方程为y ＝±34(x ＋2)，综上，直线l 的方程为y ＝0,3x －4y ＋6＝0或3x ＋4y ＋6＝0.3．(2018·南通、泰州一调)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y ＝2于点Q ，求1OP2＋1OQ 2的值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a2c －c ＝1，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1.所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知OP 的斜率存在．当OP 的斜率为0时，OP ＝2，OQ ＝2， 所以1OP2＋1OQ 2＝1.当OP 的斜率不为0时，设直线OP 的方程为y ＝kx .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ，得(2k 2＋1)x 2＝2，解得x 2＝22k 2＋1，所以y 2＝2k 22k 2＋1，所以OP 2＝2k 2＋22k 2＋1.因为OP ⊥OQ ，所以直线OQ 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，y ＝－1k x 得x ＝－2k ，所以OQ 2＝2k 2＋2.所以1OP 2＋1OQ 2＝2k 2＋12k 2＋2＋12k 2＋2＝1.综上，可知1OP2＋1OQ 2＝1.4．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，一个焦点到相应的准线的距离为3，圆N 的方程为(x －c )2＋y 2＝a 2＋c 2(c 为半焦距)，直线l ：y ＝kx ＋m (k >0)与椭圆M 和圆N 均只有一个公共点，分别设为A ，B .(1)求椭圆M 的方程和直线l 的方程； (2)试在圆N 上求一点P ，使PBPA＝2 2. 解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a2c －c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，所以b ＝3，所以椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.圆N 的方程为(x －1)2＋y 2＝5，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，① 因为直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆M 只有一个公共点， 所以Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0得m 2＝3＋4k 2,② 由直线l ：y ＝kx ＋m 与圆N 只有一个公共点， 得|k ＋m |1＋k2＝5，即k 2＋2km ＋m 2＝5＋5k 2，③将②代入③得km ＝1，④ 由②④且k >0，得k ＝12，m ＝2.所以直线l 的方程为y ＝12x ＋2.(2)将k ＝12，m ＝2代入①，可得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，32. 又过切点B 的半径所在的直线l ′为y ＝－2x ＋2，所以得交点B (0,2)， 设P (x 0，y 0)，因为PBPA＝22， 则x 20＋y 0－2x 0＋2＋⎝⎛⎭⎪⎫y 0－322＝8，化简得7x 20＋7y 20＋16x 0－20y 0＋22＝0，⑤又P (x 0，y 0)满足x 20＋y 20－2x 0＝4，⑥将⑤－7×⑥得3x 0－2y 0＋5＝0，即y 0＝3x 0＋52.⑦将⑦代入⑥得13x 20＋22x 0＋9＝0， 解得x 0＝－1或x 0＝－913，所以P (－1,1)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－913，1913.B 组——大题增分练1．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，右顶点、上顶点分别为A ，B ，原点O 到直线AB 的距离等于ab .(1)若椭圆C 的离心率为63，求椭圆C 的方程； (2)若过点(0,1)的直线l 与椭圆有且只有一个公共点P ，且P 在第二象限，直线PF 2交y 轴于点Q ，试判断以PQ 为直径的圆与点F 1的位置关系，并说明理由．解：由题意，得点A (a,0)，B (0，b )，直线AB 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0﹒ 由题设，得||ab a 2＋b2＝ab ，化简得a 2＋b 2＝1.①(1)因为e ＝c a ＝63，所以a 2－b 2a 2＝23，即a 2＝3b 2.②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝34，b 2＝14，所以椭圆C 的方程为4x 23＋4y 2＝1.(2)点F 1在以PQ 为直径的圆上，理由如下：由题设，直线l 与椭圆相切且l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝kx ＋1消去y 得，(b 2＋a 2k 2)x 2＋2ka 2x ＋a 2－a 2b 2＝0，(*) 则Δ＝(2ka 2)2－4(b 2＋a 2k 2)(a 2－a 2b 2)＝0， 化简得1－b 2－a 2k 2＝0，所以k 2＝1－b2a2＝1，因为点P 在第二象限，所以k ＝1.把k ＝1代入方程(*)，得x 2＋2a 2x ＋a 4＝0， 解得x ＝－a 2，从而y ＝b 2，所以P (－a 2，b 2)﹒从而直线PF 2的方程为y －b 2＝b 2－a 2－c(x ＋a 2)，令x ＝0，得y ＝b 2c a 2＋c ，所以点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2c a 2＋c ﹒从而F 1P ―→＝(－a 2＋c ，b 2)，F 1Q ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2c a 2＋c ，从而F 1P ―→·F 1Q ―→＝c (－a 2＋c )＋b 4c a 2＋c＝c －a 4＋b 4＋c 2a 2＋c ＝c []b 2－a 2b 2＋a 2＋c 2a 2＋c＝0，所以F 1P ―→·F 1Q ―→＝0.所以点F 1在以PQ 为直径的圆上．2.如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2. (1)求k 1k 2的值；(2)记直线PQ ，BC 的斜率分别为k PQ ，k BC ，是否存在常数λ，使得k PQ ＝λk BC ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由；(3)求证：直线AC 必过点Q .解：(1)设B (x 0，y 0)，则C (－x 0，－y 0)，x 204＋y 20＝1，因为A (2,0)，所以k 1＝y 0x 0－2，k 2＝y 0x 0＋2， 所以k 1k 2＝y 0x 0－2·y 0x 0＋2＝y 2x 20－4＝1－14x 2x 20－4＝－14.(2)设直线AP 方程为y ＝k 1(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －，x 2＋y 2＝4，消去y ，得(1＋k 21)x 2－4k 21x ＋4(k 21－1)＝0，解得x P ＝k 21－1＋k 21，y P ＝k 1(x P －2)＝－4k 11＋k 21， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －2，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 21)x 2－16k 21x ＋4(4k 21－1)＝0， 解得x B ＝k 21－1＋4k 21，y B ＝k 1(x B －2)＝－4k 11＋4k 21，所以k BC ＝y B x B ＝－2k 14k 21－1，k PQ ＝y Px P ＋65＝－4k 11＋k 21k 21－1＋k 21＋65＝－5k 14k 21－1， 所以k PQ ＝52k BC ，故存在常数λ＝52，使得k PQ ＝52k BC .(3)设直线AC 的方程为y ＝k 2(x －2)， 当直线PQ 与x 轴垂直时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－85，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，85，所以k 1＝－12，即B (0,1)，C (0，－1)，所以k 2＝12，则k AQ ＝－85－65－2＝12＝k 2，所以直线AC 必过点Q .当直线PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为y ＝－5k 14k 21－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－5k 14k 21－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65，x 2＋y 2＝4，解得x Q ＝－k 21－16k 21＋1，y Q ＝16k 116k 21＋1，因为k 2＝－y B－x B －2＝4k 11＋4k 21－4k 211＋4k 21－2＝－14k 1，所以k AQ ＝16k 116k 21＋1－k 21－16k 21＋1－2＝－14k 1＝k 2，故直线AC 必过点Q . 3．(2018·扬州期末)已知椭圆E 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若椭圆E 2：x 2ma 2＋y 2mb 2＝1(a >b >0，m >1)，则称椭圆E 2与椭圆E 1“相似”．(1)求经过点(2，1)，且与椭圆E 1：x 22＋y 2＝1“相似”的椭圆E 2的方程；(2)若椭圆E 1与椭圆E 2“相似”，且m ＝4，椭圆E 1的离心率为22，P 在椭圆E 2上，过P 的直线l 交椭圆E 1于A ，B 两点，且AP ―→＝λAB ―→.①若B 的坐标为(0,2)，且λ＝2，求直线l 的方程； ②若直线OP ，OA 的斜率之积为－12，求实数λ的值．解：(1)设椭圆E 2的方程为x 22m ＋y 2m＝1，将点(2，1)代入得m ＝2，所以椭圆E 2的方程为x 24＋y 22＝1.(2)因为椭圆E 1的离心率为22，故a 2＝2b 2，所以椭圆E 1：x 2＋2y 2＝2b 2. 又椭圆E 2与椭圆E 1“相似”，且m ＝4，所以椭圆E 2：x 2＋2y 2＝8b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)．①法一：(设线法)由题意得b ＝2，所以椭圆E 1：x 2＋2y 2＝8，椭圆E 2：x 2＋2y 2＝32.当直线l 斜率不存在时，B (0,2)，A (0，－2)，P (0,4)，不满足AP ―→＝2AB ―→，从而直线l 斜率存在，可设直线l ：y ＝kx ＋2，代入椭圆E 1：x 2＋2y 2＝8得(1＋2k 2)x 2＋8kx ＝0， 解得x 1＝－8k 1＋2k 2，x 2＝0，故y 1＝2－4k21＋2k2，y 2＝2，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋2k 2，2－4k 21＋2k 2.又AP ―→＝2AB ―→，即B 为AP 中点，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 1＋2k 2，2＋12k 21＋2k 2， 代入椭圆E 2：x 2＋2y 2＝32，得⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 1＋2k 22＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12k 21＋2k 22＝32， 即20k 4＋4k 2－3＝0，所以k ＝±3010，所以直线l 的方程为y ＝±3010x ＋2. 法二：(设点法)由题意得b ＝2，所以椭圆E 1：x 2＋2y 2＝8，E 2：x 2＋2y 2＝32.由A (x 1，y 1)，B (0,2)，AP ―→＝2AB ―→，即B 为AP 中点， 则P (－x 1,4－y 1)．代入椭圆得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝8，x 21＋－y 12＝32，解得y 1＝12，故x 1＝±302， 所以直线l 的斜率k ＝±3010， 所以直线l 的方程为y ＝±3010x ＋2. ②由题意得x 20＋2y 20＝8b 2，x 21＋2y 21＝2b 2，x 22＋2y 22＝2b 2，法一：(设点法)由直线OP ，OA 的斜率之积为－12，得y 0x 0·y 1x 1＝－12，即x 0x 1＋2y 0y 1＝0. 又AP ―→＝λAB ―→，则(x 0－x 1，y 0－y 1)＝λ(x 2－x 1，y 2－y 1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 0＋λ－1x 1λ，y 2＝y 0＋λ－1y 1λ，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0＋λ－1x 1λ2＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 0＋λ－1y 1λ2＝2b 2，则x 20＋2(λ－1)x 0x 1＋(λ－1)2x 21＋2y 20＋4(λ－1)y 0y 1＋2(λ－1)2y 21＝2λ2b 2， (x 20＋2y 20)＋2(λ－1)(x 0x 1＋2y 0y 1)＋(λ－1)2(x 21＋2y 21)＝2λ2b 2，所以8b 2＋(λ－1)2·2b 2＝2λ2b 2，即4＋(λ－1)2＝λ2，所以λ＝52.法二：(设线法) 不妨设点P 在第一象限，设直线OP ：y ＝kx (k >0)，代入椭圆E 2：x 2＋2y 2＝8b 2，解得x 0＝22b 1＋2k2，则y 0＝22bk 1＋2k2.直线OP ，OA 的斜率之积为－12，则直线OA ：y ＝－12k x ，代入椭圆E 1：x 2＋2y 2＝2b 2，解得x 1＝－2bk 1＋2k2，则y 1＝b1＋2k2.又AP ―→＝λAB ―→，则(x 0－x 1，y 0－y 1)＝λ(x 2－x 1，y 2－y 1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 0＋λ－x 1λ，y 2＝y 0＋λ－y 1λ，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0＋λ－x 1λ2＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 0＋λ－y 1λ2＝2b 2，则x 20＋2(λ－1)x 0x 1＋(λ－1)2x 21＋2y 20＋4(λ－1)y 0y 1＋2(λ－1)2y 21＝2λ2b 2， (x 20＋2y 20)＋2(λ－1)(x 0x 1＋2y 0y 1)＋(λ－1)2(x 21＋2y 21)＝2λ2b 2，所以8b 2＋2(λ－1)22b 1＋2k2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2bk1＋2k 2＋2·22bk 1＋2k 2·b 1＋2k2＋(λ－1)2·2b 2＝2λ2b 2， 即8b 2＋(λ－1)2·2b 2＝2λ2b 2，即4＋(λ－1)2＝λ2， 所以λ＝52.4.(2018·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C过点⎝⎛⎭⎪⎫3，12，焦点为F 1(－3，0)， F 2(3，0)，圆O 的直径为F 1F 2.(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为267，求直线l 的方程． 解：(1)因为椭圆C 的焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．又点⎝⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b 2＝1，a 2－b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. 因为圆O 的直径为F 1F 2， 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝3.(2)①设直线l 与圆O 相切于点P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，则x 20＋y 20＝3， 所以直线l 的方程为y ＝－x 0y 0(x －x 0)＋y 0， 即y ＝－x 0y 0x ＋3y 0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－x 0y 0x ＋3y 0消去y ，得 (4x 20＋y 20)x 2－24x 0x ＋36－4y 20＝0.(*) 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点， 所以Δ＝(－24x 0)2－4(4x 20＋y 20)·(36－4y 20)＝48y 20(x 20－2)＝0.因为x 0＞0，y 0＞0，所以x 0＝2，y 0＝1.所以点P 的坐标为(2，1)．②因为△OAB 的面积为267， 所以12AB ·OP ＝267，从而AB ＝427. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(*)得x 1,2＝24x 0± 48y 20x 20－x 20＋y 20， 所以AB 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 20y 20·48y 20x 20－24x 20＋y 202. 因为x 20＋y 20＝3，所以AB 2＝16x 20－2x 20＋12＝3249， 即2x 40－45x 20＋100＝0，解得x 20＝52(x 20＝20舍去)，则y 20＝12， 因此P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫102，22. 所以直线l 的方程为y －22＝－5⎝ ⎛⎭⎪⎫x －102， 即y ＝－5x ＋3 2.。