高中数学第二章函数单元小结学案1新人教B版必修1

必修1函数复习 学案知识点解读：1、函数的定义、表示法：2、单调性：会用定义判断或证明函数的单调性 3、奇偶性：（1）奇函数在x=0时有定义，则必有f （0）=0 （2）偶函数f （x ）必有f （-x ）=f （x ）= f （︱x ︱） （3）会用定义证明、判断函数的奇偶性4、反函数：基础达标：1、设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n+2，则在映射f 下，象20的原象是 （A ）2（B ）3（C ）4（D ）52、函数xx x f -+=11)(的定义域为A ，函数)]([x f f y =的定义域为B ，则（A ）B B A = （B ）B A ⊆ （C ）B B A =（D ）B A =3、若函数)(x f 的图象经过)1,0(-，那么)4(+x f 的反函数图象经过点 (A))1,4(-(B))4,1(--(C))1,4(--(D))4,1(-4、已知函数)(x f y =的反函数)(1x f-的定义域为]1,0[，那么函数))((R m m x f y ∈+=的值域是（A ）]1,[m m -- （B ）]0,1[- （C ）]1,0[ （D ）R5、已知函数1)()(32+-+=x a a ax x f 在]1,(--∞上递增，则a 的取值范围是 （A ）3≤a （B ）33≤≤-a （C ）30≤<a （D ）03<≤-a6、已知二次函数c x b a ax x f +++=)()(22的图像开口向上，且1)0(=f ，0)1(=f ，则实数b 取值范围是 (A) ]43,(--∞ (B) )0,43[-(C) ),0[+∞ (D) )1,(--∞参考答案1.C2.B3.B4.C5.D6.D能力提高：1．设()124+-=x x x f ，则()=-01f________2．函数),(1R x mx y ∈+=与)(2R n n x y ∈-=互为反函数的充要条件是___________3．若点)41,2(既在函数bax y +=2的图象上，又在它的反函数的图象上，则a =__________________，b =_________________。

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2．1.1 第1课时变量与函数的概念1．理解函数的概念,了解函数构成的三要素．（难点）2．会求一些简单函数的定义域、值域．(重点、易错点）3．能正确使用区间表示数集．(重点)[基础·初探]教材整理1 变量与函数的概念阅读教材P29～P31“倒数第11行”以上部分,完成下列问题．1．函数的定义设集合A是一个非空的数集,对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作y＝f（x)，x∈A.也经常写作函数f或函数f(x)．2．函数的定义域在函数y＝f(x),x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围（数集A)叫做这个函数的定义域．3．函数的值域如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f(a)或y|x 。

所有函数值构成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．＝a判断（正确的打“√",错误的打“×")（1）函数的定义域和值域一定是无限集合．（）（2)根据函数有定义，定义域中的一个x可以对应着不同的y.( ）（3）f(a）表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量．( ）【答案】(1）×（2)×(3）√教材整理2 区间的概念及表示阅读教材P31“倒数第10行”以下～P32“例1”以上的内容，完成下列问题．1．一般区间的表示设a，b∈R，且a＜b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b｝闭区间[a,b］｛x｜a＜x＜b｝开区间(a，b）｛x|a≤x＜b}半闭半开区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间（a,b]2.特殊区间的表示定义R{x|x≥a}｛x|x＞a｝｛x|x≤a｝{x|x＜a｝符号（－∞，＋∞)［a，＋∞)（a，＋∞)(－∞,a]（－∞，a）填空：（1）集合{x|1〈x≤3}用区间可表示为________；(2)集合｛x｜x>－2}用区间可表示为________；(3)集合{x｜x≤2｝用区间可表示为________．【答案】（1）(1,3] （2）（－2，＋∞）（3)(－∞，2］[小组合作型］函数的概念及应用(1)(2）下列各组函数是同一函数的是( )①f(x)＝错误!与g(x)＝x错误!；②f(x）＝x与g（x)＝x2；③f（x)＝x0与g(x）＝错误!；④f（x)＝x2－2x－1与g（t）＝t2－2t－1。

必修一第二章 函数--教学案2.1.1函数（一）变量与函数的概念 学习目标1. 了解并掌握函数的概念和函数的要素，并会求一些简单函数的定义域和值域，注意搜集日常生活中的实例，整理与分析量与量之间的关系，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。

2. 记录，了解函数模型的广泛应用，树立数学应用观点 自主学习1. 变量的概念：在一个变化过程中，有两个变量x 和y,如果给定了一个x 值，相应的就确定唯一的一个y 值，那么就称y 是x 的函数。

叫自变量， 叫因变量。

例1、s=πr 2其中r 是 ，s 是 。

例2、 I =220R其中R 是 ，I 是 。

2. 函数的概念：设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数。

记作：y=f(x) , x ∈A 。

其中x 叫 。

3. 定义域：函数中自变量x 的允许取值范围 例3、求下列函数的定义域：1）y x=2）y =3）4、 函数的值域：如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作：y=f(a), 或y ︱x=a ，所有的函数值构成的集合{y ︱y=f(x),x A ∈},叫做这个函数的值域。

例4、求函数21()1f x x =+，x R ∈，在0,1,2x =处的函数值和函数的值域。

例5、已知函数f(x)=1－2x ,求f(0), f(-2), f(15)。

5、 函数的三要素：关于函数定义的理解：① 定义域、对应关系是决定函数的二要素，是一个整体，值域由定义域、对应法则唯一确定； ②f (x )与f (a )不同：f (x )表示“y 是x 的函数”;f (a )表示特定的函数值。

常用f (a )表示函数y =f (x )当x =a 时的函数值；③f(x)是表示关于变量x 的函数，又可以表示自变量x 的对应函数值，是一个整体符号，不能分开.符号f 可以看做是对”x ”施加的某种运算步骤或指令.例如，f(x)=3x 2，表示对x 施加“平方后再扩大3倍”的运算。

课题函数与方程——二轮复习专题课上课教师教学知识与技术目标：掌握函数零点确实定及应用。

目标过程与方法目标：培育自主学习、协作研究的能力，提高对数形联合、分类议论、函数与方程等数学思想方法的应意图识。

感情态度与价值观目标：培育学生逻辑思想的谨慎性，加强竞争意识和团队意识。

要点函数零点确立的方法难点图像法教学教课内容师生互动设计思路环节复习稳固达成预习案例题讲解完成研究案1、<2010福建>求函数fxx22x3x0学生到黑板直接从预习的三个问2lnx x0板书解说分题下手，以问题带动析解题思路学生对知识点的回零点的个数()A.0C.2和绘图方法忆，学生在解方程画2、<2011全国新课标>在以下数列区间中,其余同学小图的过程中就在进行函数fx e x4x3的零点所在区间为3,0B.0,11,11,3组议论，并整知识和信息的整理，A. C. D.理出有关知充足调换其参加讲堂444224识点，其余小的踊跃性。

3、已知函数f x x2x,gx x lnx，构成员进行hx x x1的零点分别为增补，达成预x1、x2、x3,则x1、x2、x3的大小关系习案，达到复为___________.(按从小到大的次序)习旧知的目的。

老师适合点拨加强方法。

1、<2009辽宁高考 12>若x 1 知足自由展现，辩 旨在让学生重视函数2x2x5，x 2 知足2x 2log 2 x-1 5，论形式。

分别与方程的转变和数形 则x1x2=（）难点，分别讨 联合思想的综合应论两个基本用，同时也让学生的57B. 3C.D.4A ． 2方程的根的 研究热忱达到热潮，2求法。

让学生 这道题分别运用了二充足发布自 分法和图像法，表现己的见解。

区间迫近，突出要点。

二分法是近几年高考的热门，让学生理解高考题密切联系教 材。

2若函数fx x 33ax1在x1处取 个人独立展 这是一道已知零点的得极值，示，侧重重申 存在状况求参数值或（1）方程mf(x)如有三个不一样的根，求 借助求单一取值范围问题，并且 m 的取值范围？区间求极值是与导函数的综合应 （2）议论当m 取不一样值时，方程m f(x) 去解决画高 用。

描述：高中数学必修1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 函数 2.1 函数一、学习任务1. 通过同一过程中的变量关系理解函数的概念；了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则），会求一些简单函数的定义域和值域；初步掌握换元法的简单应用．2. 了解映射的概念，能判断一些简单的对应是不是映射．3. 理解函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值，会画函数的图象．4. 理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性；理解函数最大（小）值的概念及其几何意义；了解函数奇偶性的含义．二、知识清单函数的相关概念函数的表示方法 映射函数的定义域的概念与求法函数的值域的概念与求法 函数的解析式的概念与求法分段函数复合函数 函数的单调性函数的最大（小）值 函数的奇偶性三、知识讲解1.函数的相关概念函数的概念设 ， 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数(function)．记作：其中， 叫做自变量，自变量取值的范围（数集 ）叫做这个函数的定义域． 叫做因变量，与 的值相对应的 值叫做函数在 处的函数值，所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域．相同函数的概念A B f Ax B f (x )f :A →B A By =f (x ),x ∈A .x A y x y x {y | y =f (x ),x ∈A }N集合 的函数关系的有（ ）012．数轴表示为（2）{x | 2⩽x⩽8 且8]（3）函数 的图象是由 t 的映射的是（ ）N（2）函数图象如图所示：y的距离 与点y=f(x)如图为函数 的图象，试写出函数解： [1,2]2（5）（图象法）画出。

2.2 一次函数和二次函数自主整理(1)定义:函数y=kx+b(k≠0)叫做一次函数,又叫线性函数;它定义域为R ,值域为R .(2)性质:①函数改变量y 2-y 1与自变量改变量x 2-x 1比值等于常数k;k 大小表示直线与x 轴倾斜程度; ②当k>0时,一次函数为增函数,当k<0时,一次函数为减函数;③当b=0时,一次函数为正比例函数,是奇函数;当b≠0时,一次函数既不是奇函数也不是偶函数;④直线y=kx+b(k≠0)与x 轴交点为(kb -,0),与y 轴交点为(0,b).(1)定义:函数y=ax 2+bx+c(a≠0)叫做二次函数,它定义域为R .(2)性质:①函数图象是一条抛物线,它顶点坐标为(a b 2-,),它对称轴为x=ab 2-. ②当a>0时,抛物线开口向上,函数在x=a b 2-处取得最小值,在区间(-∞,a b 2-］上是减函数,在区间［ab 2-,+∞)上是增函数. ③当a<0时,抛物线开口向下,函数在x=a b 2-处取得最大值,在区间［a b 2-,+∞)上是减函数,在区间(-∞,ab 2-］上是增函数. ④当二次函数图象对称轴与y 轴重合即b=0时二次函数为偶函数,否那么既不是奇函数也不是偶函数.⑤在y=ax 2(a≠0)中,假设a>0,a 越大,抛物线开口越小,a 越小,抛物线开口越大;反之,假设a<0,a 越大,抛物线开口越大,a 越小,抛物线开口越小.总之,y=ax 2(a≠0)中,假设|a|越大,抛物线开口越小,|a|越小,抛物线开口越大.(3)三种形式:①一般式:f(x)=ax 2+bx+c(a≠0),其中a 是开口方向与大小,c 是y 轴上截距,而a b 2-是对称轴.②顶点式(配方式):f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)是抛物线顶点坐标.h=ab 2 ,k=. ③两根式(因式分解):f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)(a≠0),其中x 1、x 2是抛物线与x 轴两个交点横坐标.如果知道一个函数一般形式,可先把所求函数写为一般形式,其中系数待定,然后再根据题设条件求出这些待定系数,这种通过求待定系数来确定变量之间关系式方法称为待定系数法. 高手笔记1.常数函数是较为特殊函数,原因在于在函数解析式y=b 中没有出现自变量x.其实常数函数就是一个多对一映射.注意:当a=0时,函数y=ax 2=0是一个常数函数,其图象即为x 轴.2.式子x=a(a 是一固定常数)虽然含有x,但不能称其为函数,原因在于一个x 对应无穷多个y,不符合函数定义,应将其与y=b 区别开来.3.二次函数是重要根底函数,必须作为重点内容来掌握.应从解析式、定义域、值域、图象、单调性、奇偶性几个方面内容进展把握.4.解决二次函数问题一定要牢牢树立数形结合思想,通过对函数图象分析寻找解决问题思路和分类讨论依据.名师解惑1.如何认识与理解常数函数？剖析:要全面认识一个函数,主要从解析式、定义域、值域、单调性、奇偶性等五个方面来认识,对于常数函数:解析式:当k=0时,y=kx+b 就变成了y=b,这就是常数函数解析式,其中b 是某一固定常数.这个解析式特点在于没有出现自变量x,这也是许多同学对常数函数感到难于理解原因.定义域:自变量x 可以取任意实数.解析式中没有出现x,说明解析式对x 没有要求,可以取任意实数.值域:常数函数值域为{b}.常数函数只有一个函数值b,就是说不管自变量怎么取值,都对应同一个函数值b.图象:因为不管自变量x 取什么值都对应一个函数值b,所以函数图象是平行于x 轴水平直线(特殊情况是x 轴).单调性:因为函数值是固定常数b,没有增减变化,函数图象也是一条水平直线,没有起伏变化,所以常数函数在定义域上没有单调性.奇偶性:定义域为R ,并且f(-x)=f(x)=b,所以一定是偶函数.如果b=0那么既是奇函数又是偶函数.2.如何由函数y=x 2图象变化得到函数y=a·x 2(a≠0)图象？又如何由函数y=ax 2(a≠0)图象变化得到y=a(x+h)2+k(a≠0)图象？再如何由函数y=ax 2(a≠0)图象得到函数y=ax 2+bx+c(a≠0)图象？剖析:(1)二次函数y=a·x 2(a≠0)图象可由y=x 2图象各点纵坐标变为原来a 倍得到,而横坐标保持不变.(2)二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)可由y=ax 2(a≠0)图象向左(或向右)平移|h|个单位,再向上(或下)平移|k|个单位得到.(3)要得到二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)图象,先将其化为y=a(x+h)2+k(a≠0)形式,再通过y=ax 2(a≠0)图象上下左右平移得到.3.二次函数性质常见有哪些综合应用？剖析:(1)关于对称轴问题:假设二次函数f(x)满足f(t+x)=f(t-x),那么f(x)关于直线x=t对称,这一性质对于一般函数也适用.(2)关于二次函数在闭区间上最值问题:当a>0时,f(x)在区间［p,q ］上最大值为M,最小值为m,令x 0=21(p+q). 假设a b 2-<p,那么f(p)=m,f(q)=M; 假设p≤a b 2-<x 0,那么f(ab 2-)=m,f(q)=M; 假设x 0≤a b 2-<q,那么f(p)=M,f(ab 2-)=m; 假设a b 2-≥q,那么f(p)=M,f(q)=m. (3)关于二次方程f(x)=ax 2+bx+c=0实根分布问题:①方程f(x)=0两根中一根比r 大,另一根比r 小a·f(r)<0.②二次方程f(x)=0两根都大于r ⇔③二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根⇔讲练互动【例题1】方程ax-by+c=0(ab≠0)所对应一次函数,当a 、b 满足什么条件时函数为减函数 分析：首先将直线方程化为一次函数y=kx+b 形式,然后根据k>0时函数为增函数,k<0时函数为减函数,进而求得a 、b 所满足条件,即ab<0. 解：把ax-by+c=0整理,得y=b a x+bc , 要使得一次函数为减函数,那么b a <0,即只要a 、b 异号就可以了. 绿色通道处理一次函数问题常把解析式整理成标准形式,然后再求解.变式训练1.直线mx+(m-2)y=3(m≠2,m≠0)所对应一次函数,当函数为增函数时m 满足条件是( )A.0<mB.m<2C.0<m<2解析：把mx+(m-2)y=3整理,得y=x+,要使得一次函数为增函数,那么>0,即只要-m 、m-2同号就可以了,所以易得0<m<2. 答案：C【例题2】二次函数f(x)=ax 2+(2a-1)x+1在区间［23-,2］上最大值为3,求实数a 值. 分析：这是一个逆向最值问题,假设从求最值入手,需分a>0与a<0两大类五种情形讨论,过程烦琐不堪.假设注意到f(x)最值总是在闭区间端点或抛物线顶点处取到,因此先计算这些点函数值,再检验其真假,过程简明.解：(1)令f()=3,得a=21-. 此时抛物线开口向下,对称轴为x=-2,且-2［23-,2］,故a=21-不合题意. (2)令f(2)=3,得a=21,此时抛物线开口向上,对称轴为x=0,闭区间右端点2距离对称轴远些,故a=21符合题意. (3)假设f(23-)=3,得a=32-,此时抛物线开口向下,对称轴为x=47-,闭区间为单调减区间,所以a=-32符合题意. 综上,a=21或a=32-. 绿色通道此题利用特殊值检验法,先计算特殊点(闭区间端点、抛物线顶点)函数值,再检验其真假,思路明了、过程简洁,是解决逆向型闭区间二次函数最值问题一种有效方法.变式训练2.二次函数y=x 2+2ax-3,x∈［1,2］,试求函数最小值.分析：首先观察到函数图象过(0,-3),再考虑对称轴位置,由于对称轴在不同位置会出现不同结果,所以需要分三种情况讨论.解：y=x 2+2ax-3=(x+a)2-a 2-3,当-a∈(2,+∞),即a<-2时,此时函数在［1,2］上为减函数,故此时最小值为f(2)=4a+1; 当-a∈(-∞,1),即a>-1时,函数最小值为f(1)=2a-2;当-a∈［1,2］,即-2≤a≤-1时,函数最小值为f(-a)=-a 2-3.【例题3】二次函数图象过(0,1)、(2,4)、(3,10)三点,求这个二次函数解析式.分析：是二次函数,且知三个点坐标,所以可以先设出二次函数解析式,用待定系数法求得.解：根据题意设这个二次函数解析式为y=ax 2+bx+c(a≠0),然后将图象所经过三个点坐标分别带入方程,联立三个方程,得解得故f(x)=23x 223-x+1. 绿色通道使用待定系数法解题根本步骤是第一步,设出含有待定系数解析式;第二步,根据恒等条件,列出含待定系数方程或方程组;第三步,解方程或方程组解出待定系数,使问题得到解决.变式训练3.假设f(x)为一次函数,且满足f ［f(x)］=1+2x,那么f(x)解析式为______.解析：f(x)为一次函数,可以使用待定系数法.设f(x)=kx+b,那么f ［f(x)］=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k 2x+kb+b,利用对应系数相等即可求得k=2-,b=2--1或k=2,b=2-1.答案：f(x)=2-x 2--1或f(x)=2x+2-14.〔2007黄冈第一次高三诊断试卷,17〕二次函数f(x)满足条件f(0)=1,及f(x+1)-f(x)=2x.(1)求f(x)解析式;(2)求f(x)在[-1,1]上最值.分析：此题求函数解析式根本方法仍然是待定系数法,但确定待定系数方法是根据代数式恒等对应项系数相等来确定.求函数在给定区间上最值时,要注意对称轴位置.解：(1)由f(0)=1,可设f(x)=ax 2+bx+1.那么由f(x+1)-f(x)=2x,可得2ax+a+b=2x.∴a=1,a+b=0,即b=-1.∴f(x)=x 2-x+1.(2)∵f(x)=x 2-x+1=(x 21-)2+43, 又x∈［-1,1］,∴当x=21时有最小值43,x=-1时有最大值3. 【例题4】二次函数f(x)=ax 2+bx+c,a∈N *,c≥1,a+b+c≥1,方程ax 2+bx+c=0有两个小于1不等正根,那么a 最小值为( )B.3C.4解析：由题意有由于方程有两个小于1不等正根,画图可知0<a b 2-<1,即b 2<4a 2. ∴4ac<b 2<4a 2,即a(a-c)>0.又a∈N *,且c≥1,∴a 最小值为2.答案：A绿色通道一般地,一元二次方程根分布情况问题往往从三个角度加以考虑:Δ符号,对称轴是否在区间内,端点函数值正负.变式训练2+2mx+2m+1=0.假设方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m 范围. 分析：二次方程根问题实质上是讨论二次函数图象与x 轴交点与坐标原点位置关系问题,因此,理解交点及二次函数系数(a ——开口方向,a 、b ——对称轴,c ——图象与y 轴交点)几何意义,掌握二次函数图象特点,是解决此类问题关键.解：条件说明抛物线f(x)=x 2+2mx+2m+1与x 轴交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图,得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=.65,21,,21056)2(024)1(02)1(012)0(m m R m m m f m f f m f ∴65-<m<21-. 教材链接1.［探索与研究］设一次函数y=5x-3,取一系列x值,使得每一个x值总是比前一个大2,然后计算对应y值,这一系列函数值之间有什么关系？对任意一个一次函数都有类似性质吗？答:对于一次函数y=5x-3,取一系列x值总是比前一个大2时,那么有与之对应每一个y值总是比前一个大10;对任意一个一次函数y=kx+b(k>0),假设取一系列x值总是比前一个大m 时(m为正整数),那么有与之对应每一个y值总是比前一个大mk.2.［探索与研究］结合课件1207,对一次函数性质进展探索.答:注意强调一次函数定义中一次项系数k≠0这一条件,当k=0时,函数为y=b,它不再是一次函数,它图象是一条与x轴平行直线,通常称为常值函数.函数值改变量y2-y1与自变量改变量x2-x1比值,称作函数x1到x2之间平均变化率,对一次函数来说它是一个常数,等于这条直线斜率.一次函数y=kx+b(k≠0)单调性与一次项系数正负有关,当k>0时,函数为增函数,当k<0时,函数为减函数.理由如下:设x1、x2是任意两个不相等实数,且x1<x2,那么Δx=x2-x1>0,所以Δy=f(x2)-f(x1)=(kx2+b)-(kx1+b)=k(x2-x1)=kΔx.当k>0时,kΔx>0,所以Δy>0,所以f(x)在R上是增函数;当k<0时,同理可证f(x)在R上是减函数.要准确地作出一次函数图象,只要找准图象上两个点即可,这两个点通常是找图象与坐标轴交点.3.［探索与研究］在同一坐标系中,作函数y=x2,y=(x+1)2,y=(x-1)2,y=x2+1,y=x2-1图象,研究它们图象之间关系.答:列表:x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …y=x2…9 4 1 0 1 4 9 …y=(x+1)2… 4 1 0 1 4 9 16 …y=(x-1)2…16 9 4 1 0 1 4 …y=x2+1 …10 5 2 1 2 5 10 …y=x2-1 …8 3 0 -1 0 3 8 …在同一坐标系中画出这五个图,如图2-2-1所示:图2-2-1通过图象,可知后四个图象都可以由y=x2通过左右上下平移得到,y=(x+1)2由y=x2向左平移一个单位得到;y=(x-1)2由y=x2向右平移一个单位得到,y=x2+1由y=x2向上平移一个单位得到,y=x 2-1由y=x 2向下平移一个单位得到.4.［探索与研究］二次函数y=ax 2+bx+c=a(x+a b 2)2+中a 、b 、c 对函数性质与图象各有哪些影响？ 答:二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)中系数a 、b 、c 决定着函数图象和性质.(1)二次项系数a 决定了函数图象开口方向、开口大小和单调性,当a>0时,开口向上,a 越大,开口越小,函数在对称轴两侧先减后增.当a<0时,开口向下,a 绝对值越大开口越小,函数在对称轴两侧先增后减.(2)b 是否为零决定着函数奇偶性.当b=0时,函数为偶函数;当b≠0且c≠0时,函数既不是奇函数也不是偶函数.(3)c 是否为零决定着函数图象是否经过原点.另外,a 和b 共同决定着函数对称轴,a 、b 和c 三者共同决定着函数顶点位置.5.［探索与研究］请同学们自己探索研究一下,给定哪些条件,才能求出一个具体二次函数.答:运用待定系数法求二次函数解析式时,一般可设出二次函数一般形式y=ax 2+bx+c(a≠0),但如果函数对称轴或顶点坐标或最值,那么解析式可设为y=a(x-h)2+k 会使求解比拟方便.具体来说:(1)顶点坐标为(m,n),可设为y=a(x-m)2+n,再利用一个独立条件求a;(2)对称轴方程x=m,可设为y=a(x-m)2+k,再利用两个独立条件求a 与k;(3)最大值或最小值为n,可设为y=a(x+h)2+n,再利用两个独立条件求a 与h;(4)二次函数图象与x 轴只有一个交点时,可设为y=a(x+h)2,再利用两个独立条件求a 与h.。

本章整合知识网络专题探究专题一 函数的定义域、值域问题 1．确定函数定义域的主要依据 (1)当f (x )是整式时，定义域为R ；(2)当f (x )是分式时，定义域是使分母不等于0的x 的取值集合； (3)当f (x )是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x 的取值集合； (4)当f (x )是零指数幂时，定义域是使幂的底数非零的x 的取值集合；(5)当f (x )表示实际问题中的函数关系时还应考虑在此实际问题中x 取值的实际意义． 2．函数的值域由函数的对应法则及定义域确定，求函数值域常用的方法(1)配方法；(2)分离常数法；(3)图象法；(4)换元法；(5)单调性法；(6)判别式法等． 【应用1】 求下列函数的定义域： (1)函数y0的定义域为__________；(2)若函数f (x ＋1)的定义域为[－2,3]，则函数y ＝f (2x －1)的定义域为__________．解析：(1)∵由100x x x ≠⎧⎪⎨>⎪⎩＋，－，得x ＜0，且x ≠－1，∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,0)． (2)∵f (x ＋1)的定义域是[－2,3]， ∴－2≤x ≤3，∴－1≤x ＋1≤4，即f(x)的定义域是[－1,4]．又∵－1≤2x－1≤4，∴0≤x≤5 2 .∴y＝f(2x－1)的定义域为5 0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.答案：(1)(－∞，－1)∪(－1,0)(2)5 0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【应用2】(1)函数y＝3121xx-+的值域为__________；(2)函数y＝2x－1的值域为__________．解析：(1)∵y＝3121xx-+＝35(21)2221xx+-+＝32－5221x+，又∵2x＋1≠0，∴5221x+≠0.∴y≠32.∴函数的值域为32y y⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭.(2)由题意得函数的定义域为13,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦.∵y＝2x－1在13,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦在13,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦上是减函数，∴y＝2x－1在13,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦上为增函数，∴当x＝134时，y有最大值112.∴该函数的值域为11,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦.答案：(1)32y y⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭(2)11,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦专题二函数图象的应用函数的图象是变量间的直观反映，能较形象地分析出变量间的变化趋势，更是研究函数性质(最值、单调性)的有力工具，并且函数图象的应用正是体现了数形结合的重要思想，如果能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来，就能促使抽象思维和形象思维的和谐统一，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决．运用数形结合的思想方法解决问题时，一般要遵循等价性、双向性和简单性的原则．【应用1】函数y＝|x＋2|－|x－2|的最小值为__________．解析：方法一：y＝|x＋2|－|x－2|＝42222 4 2.xx xx≤⎧⎪<<⎨⎪≥⎩－，－，，－，，其图象如图所示．由图象，得函数的最小值是－4.方法二：函数的解析式y＝|x＋2|－|x－2|的几何意义是：P是数轴上任意一点，函数y 的值是点P到－2,2的对应点A，B的距离的差，即y＝|P A|－|PB|，如下图所示．观察数轴可得，－|AB|≤|P A|－|PB|≤|AB|，所以函数的最小值为－4.答案：－4【应用2】对于任意的x∈R，函数f(x)表示－x＋3，32x＋12，x2－4x＋3中的较大者，则f(x)的最小值是__________．解析：首先应理解题意，“函数f(x)表示－x＋3，32x＋12，x2－4x＋3中的较大者”是指对某个区间而言，函数f(x)表示y＝－x＋3，y＝32x＋12，y＝x2－4x＋3中最大的一个．其次是找出函数f(x)的表达式，此时可利用函数图象来确定．如图，分别画出函数y=-x+3，y=32x+12，y=x 2-4x+3的图象，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)．从图象观察可得函数f(x)的表达式为f(x)=2243,0,3,01,31,15,2243, 5.x x x x x x x x x x ⎧-+≤⎪-+<≤⎪⎪⎨+<≤⎪⎪-+>⎪⎩ f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1,2)，所以函数f(x)的最小值是2. 答案：2专题三 函数的零点问题 求函数y=f(x)零点的方法 1．转化为求方程f (x )＝0的根．2．转化为求y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．3．将f (x )分解为h (x )－g (x )，则f (x )＝0化为h (x )－g (x )＝0，再化为h (x )＝g (x )，从而转化为两个函数y ＝h (x )与y ＝g (x )图象交点的横坐标．【应用1】 函数f (x )＝x 2－|x －1|零点的个数为__________．解析：本题可转化为函数y ＝x 2与函数y ＝|x －1|的图象交点个数问题，分别画出函数图象，易知交点为2个．答案：2【应用2】 设函数f (x )＝ax ＋2a ＋1(a ≠0)，在－1≤x ≤1上f (x )存在一个零点，求实数a 的取值范围．思路分析：先利用零点存在的判断方法将已知转化为f (－1)·f (1)≤0，再结合函数的图象解不等式即可．解：因为函数f (x )在－1≤x ≤1上存在一个零点， 所以f (－1)·f (1)≤0，即(－a ＋2a ＋1)·(a ＋2a ＋1)≤0， 即(a ＋1)(3a ＋1)≤0.令g (a )＝(a ＋1)(3a ＋1)＝0，得函数g (a )的两个零点是a 1＝－1，a 2＝－13. 作出g (a )的图象如图所示．由图象可知，g (a )≤0时，可得a 的取值范围是－1≤a ≤－13. 专题四 函数的性质及应用研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性及解析式等方面入手，通过对函数性质的研究使问题得以解决．抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数，由于这类函数可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图象集于一身，所以在历年的高考中，以抽象函数为载体，综合考查函数的性质的题经常出现，应引起重视．【应用1】 定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上是减函数，若f (1－m )＜f (m )，求实数m 的取值范围．思路分析：应用函数的奇偶性，将变量1－m 和m 转化到同一个单调区间上，利用函数的单调性求解．解：∵函数f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (|x |)． ∴f (1－m )＝f (|1－m |)，f (m )＝f (|m |)．∴原不等式等价于2221222|1|m m m m ⎧≤≤⎪⎪≤≤⎨⎪>⎪⎩－－，－，－，解得－1≤m ＜12. ∴实数m 的取值范围是11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.【应用2】 已知函数f (x )＝223mx x n++是奇函数，且f (2)＝53.(1)求实数m 和n 的值；(2)判断函数f (x )在(－∞，0)上的单调性，并加以证明．解：(1)∵函数f (x )＝223mx x n++是奇函数，∴对定义域内任意x ，都有f (－x )＝－f (x )，即223mx x n +-+＝－223mx x n++， 比较式子两边得，n ＝0. 又∵f (2)＝53，∴426m +＝53，解得m ＝2. 故实数m 和n 的值分别是2和0.(2)由(1)得f (x )＝2223x x+.此函数在区间(－∞，－1]上是增函数，在区间(－1,0)上是减函数，下面进行证明： 任取x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1＜x 2，则Δx ＝x 2－x 1＞0，∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝222223x x +－211223x x +＝2112122()(1)3x x x x x x --.当x 1＜x 2≤－1时，x 1x 2＞1， ∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0.∴函数f (x )在(－∞，－1]上是增函数； 当－1＜x 1＜x 2＜0时，x 1x 2＜1， ∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＜0.∴函数f (x )在(－1,0)上是减函数．【应用3】 已知f (x )是定义在R 上的不恒为0的函数，且对于任意的a ，b ∈R ，满足f (ab )＝af (b )＋bf (a )．(1)求f (0)，f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性，并证明你的结论．思路分析：题目中给出的是抽象函数，而要求的是比较特殊的值，可以考虑用赋值法，给出具体的值，再根据题意进行判断．解：(1)令a ＝b ＝0，代入f (ab )＝af (b )＋bf (a )，得f (0)＝0·f (0)＋0·f (0)，则f (0)＝0. 令a ＝b ＝1，代入f (ab )＝af (b )＋bf (a )，得f (1)＝1·f (1)＋1·f (1)，则f (1)＝0. (2)f (x )是奇函数．证明如下：由f (1)＝f [(－1)2]＝－f (－1)－f (－1)，得f (－1)＝0.令a ＝－1，b ＝x ，则f (－x )＝f (－1·x )＝－f (x )＋xf (－1)＝－f (x )．又f (x )的定义域为R ，关于原点对称，∴f (x )为奇函数．专题五 闭区间上二次函数的最值问题对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在某个区间[m ，n ]上的最值问题主要分为以下三种情况：1．区间及对称轴均确定的二次函数的最值问题(简称轴定区间定)(1)对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，在区间[m ，n ]上的最值(若顶点固定，区间也固定)有以下结论：①当－2ba＜m 时，f (x )在[m ，n ]上是增函数，最小值为f (m )，最大值为f (n )； ②当m ≤－2b a ≤n 时，最小值为f 2b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭-＝244ac b a -，最大值为f (m )或f (n )（m ，n 离-2ba较远的一处对应的函数值为最大值）； ③当－2ba＞n 时，f (x )在[m ，n ]上是减函数，最小值为f (n )，最大值为f (m )． 当a ＜0时，可仿此讨论．(2)二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得．(3)可画出草图帮助分析解决问题，体现数形结合的思想．【应用1】 二次函数f (x )＝x 2－2x ＋2，当x ∈[t ，t ＋1]时，求f (x )的最小值g (t )． 思路分析：因为对称轴固定，区间不定，此题可从三个方面进行讨论：①区间在对称轴左侧；②区间在对称轴右侧；③对称轴在区间内．解：二次函数f (x )＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，对称轴方程为x ＝1. 当t ＞1时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数， 则g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，g (t )＝f (1)＝1－2＋2＝1； 当t ＋1＜1，即t ＜0时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数， g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1.综上，g (t )＝2222110110.t t t t t t ⎧>⎪≤≤⎨⎪<⎩－＋，，，，＋， 【应用2】 设函数f (x )＝x 2－2|x |－1(－3≤x ≤3)．(1)证明：f(x)是偶函数；(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；(3)求函数的最值．思路分析：解答本题首先根据f(－x)与f(x)的关系判断奇偶性，然后讨论x的范围写出相应解析式，画出函数图象，根据图象判断单调区间，求最值．解：(1)证明：f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，且定义域[－3,3]关于原点对称，所以f(x)是偶函数．(2)当0≤x≤3时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2；当－3≤x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，即f(x)＝22(1)203 (1)230. x xx x⎧≤≤⎪⎨≤<⎪⎩－－，，＋－，－根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如图所示．函数f(x)的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]．f(x)在区间[－3，－1]，[0,1]上为减函数，在[－1,0]，[1,3]上为增函数．(3)当0≤x≤3时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为f(1)＝－2，最大值为f(3)＝2；当－3≤x＜0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为f(－1)＝－2，最大值为f(－3)＝2.所以f(x)的最大值为2，最小值为－2.专题六函数的实际应用数学建模就是把现实生活中具体实例所包含的数学知识、数学规律抽象出来，构成数学模型，根据数学规律进行推理求解，得出数学上的结论，返回解释验证，使实际问题得到合理解决．其思想及操作程序如下：【应用1】某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在如图所示的两条线段上，该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：(1)t(天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；(3)用y(万元)表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？思路分析：由图象和表格可直接写出函数关系式，由(1)(2)问的函数关系式相乘，可得第(3)问的函数关系式，再求最大值即可．解：(1)由题图知，前20天的函数图象是上升的，且过点(0,2)，(20,6)，容易求得直线方程为P＝15t＋2；从20天到30天的函数图象是下降的，且过点(20,6)，(30,5)，求得方程为P＝－110t＋8，故P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式为P＝120205182030.10t t tt t t⎧≤≤∈⎪⎪⎨⎪<≤∈⎪⎩NN ＋，，，－＋，，(2)由表格，易知Q与t满足的一次函数关系式为Q＝－t＋40,0≤t≤30，t∈N.(3)由(1)(2)，可知y＝12(40)020518(40)203010t t t tt t t t⎧⎛⎫+≤≤∈⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-+<≤∈ ⎪⎪⎝⎭⎩NN－＋，，，－＋，，＝221(15)12502051(60)402030.10t t t t t t ⎧≤≤∈⎪⎪⎨⎪<≤∈⎪⎩N N －－＋，，，－－，，当0≤t ≤20时，y max ＝125，此时t ＝15， 当20＜t ≤30时，y 随t 的增大而减小， 且此时y ＜110×(20－60)2－40＝120， 所以在这30天中的第15天，日交易额最大，其值为125万元．。

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第二章函数复习巩固知识网络知识回顾1.函数由定义域、对应关系和值域三要素构成,其表示方法主要有解析法、图象法、列表法三种，解题时可根据需要而定.2。

单调性、最大(小)值和奇偶性为函数的应用最广泛的三大性质，不仅是我们解决实际问题的基础,也是数学本身的自然要求。

3.一次函数和二次函数数学模型是解决现实生活中问题的有力工具.4.二分法是求方程近似解的一种常用方法。

典例精讲【例1】如图，用长为L的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架,若矩形底边长为2x,求此框架围成的面积y与x的函数关系式,并写出其定义域.思路分析：对“不规则"图形的求积问题,常采用“割补法”化为“规则"图形的求积问题,本题可将框架分割成两部分:一个半圆、一个矩形。

解：∵AB=2x,∴=πx ，AD=22xc L π--。

∴y=22x π+2x·22x c L π--=2)22(x +-π+Lx.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--<<<,2220,220L x x L L x π得0〈x 〈2+πL .∴函数关系式为y=2)22(x +-π+Lx ，定义域为{x|0〈x<2+πL ｝。

温馨提示由实际问题确定的函数的定义域，不但要考虑解析式本身有意义,还要考虑变量的实际意义.【例2】判断下列函数的奇偶性. （1）f(x)=2|2|42----x x ;（2）f （x)=⎩⎨⎧>+≤0.x x),x(10,x x),-x(1解析：(1）由⎩⎨⎧≠--≥-,02|2|,042x x 得-2≤x≤2且x≠0。

示范教案整体设计教学分析木节课是对第二章的基木知识和方法的总结和归纳，从整体上来把握木章，使学生的基木知识系统化和网络化，基木方法条理化.木帝内容，用集合定义函数，将函数拓展为映射, 层层深入，环环相扌II,组成了一个完整的整体.三维目标通过总结和归纳函数的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力.重点难点教学重点：①函数的基本知识.②含有字母问题的研究.③抽象函数的理解.教学难点：①分类讨论的标准划分.②抽象函数的理解.课吋安排1课时教学过程导入新课函数的概念和性质以及二次函数是高考的必考内容z—,为了系统学握木章知识，教师直接点出课题.推进新课新知探究提出问题I出i出本章的知识结构图.讨论结果：思路1例1求函数y==的最人值和最小值.分析：把变量y 看成常数，则函数的解析式可以整理成必有实数根的关于x 的方程，利 用判别式的符号得关于y 的不等式，解不等式得y 的取值范围，从而得函数的最值.解：(判别式法)由得如一3x+4y=0,TxWR,・••关于x 的方程yx?—3x+4y=0必有实数根.当y=0吋，则x = 0,故y=0是一•个函数值；当歼0时，贝IJ 关于x 的方程yx 2 —3x+4y=0是一元二次方程， 则有△=(—3)2—4><4『之0,9 33•••OVy 2镭_4-y<0 或 0<V-4, 3 3综上所得，一壬泾亍.3x 3 3・••函数丫=缶的最小值是—*最人值是十a* 乙—1— hx —I~ c点评：形如函数『=dx 2 + ex + /d^0),当函数的定义域是R (此吋e 2—4df<0)吋，常用判 别式法求最值，其步骤是：①把y 看成常数，将函数解析式整理为关于x 的方程的形式mx? + nx+k=O ；②分类讨论m=0是否符合题意；③当n#0吋，关丁• x 的方程mx 2 + nx+k=0 中有xeR,则此一元二次方程必有实数根，得n 2-4mk>0即关于y 的不等式，解不等式组 此不等式组的解集与②屮y 的值取并集得函数的值域，从而得函数的最人值和最小值.例2函数f(x)=x 2—2ax+a 在区间(—co, 1)上有最小值，则函数g(x)=¥^在区间(1, +s) X 上一定()A.冇绘小值B.冇最大值C.是减函数D.是增函数解析：函数f(x)=x 2—2ax+a 的对称轴是直线* = 8,由于函数f(x)在开区间(—co, 1)上有 最小值，所以直线x=a 位于区间(—00, 1)内，即a<l.g(x)=^=x+p —2,下而用定义法判 X X 断函数g(x)在区间(1, +◎上的单调性.设 1VX1VX2，则 g(X!)-g(x 2) = (x 1+Y ~ 2)-(X 2 +7— 2) =(X! -x 2) + (7—7) Xl X2 Xi A2=(X1 一X2)( 1 _金)=(x 1 -X2)x ：；2 a ，T 1 <Xi<x 2^ />Xi —x 2<0t XiX 2> 1 >0.乂Ta< 1, /.X|X 2>a./•x 1x 2—a>0.:.g(xj)—g(x 2)<0.g(xi)<g(x 2).・・・函数g(x)在区间(1, +oo)上是增函数，函数g(x)在区间(1, +8)上没有最值.故选D. 答案：D点评：定义法判断函数f(x)的单调性步骤是：①在所给区间上任取两个变量X 】、X2；②比应用示例n 2—4mk>0,m?^0.较f(xj 与f(X2)的大小，通常利用作差比较它们的大小，先作差，后将差变形，变形的手段是 通分、分解因式，变形的结杲常是完全平方加上一个常数或因式的积(商)等；③由②中差的符 号确定函数的单调性.注意：函数f(x)在开区间D 上是单调函数，则f(x)在开区间D 上没有最 大值，也没有最小值.例3求函数f(x)=J?二T 的单调区间.分析：函数f(x)是复合函数，利用口诀“同增异减”來求单调区问. 解：函数的定义域是(-00, -1]U U U±是减函数. 即函数f(x)的单调递增区间是.点评：复合函数是指由若干个函数复合而成的函数，它的单调性与构成它的两数的单调 性有密切联系，其单调性的规律为：“同增界减”，即复合函数y=f,如果y = f(u), u=g(x)有 相同的单调性时，函数y=f 为增函数，如果具冇相异(即相反)的单调性，则函数y=f 为减函 数.讨论复合函数单调性的步骤是：①求复合函数的定义域；②把复合函数分解成若干个常 见的基本初等函数并分别判断其单调性；③依据复合函数的单调性规律口诀：“同增片减"，判 断出复合函数的单调性或写出其单调区间.注意：木题如果忽视函数的定义域，会错课地得到单调递增区间是.其避免方法是讨论 函数的性质要遵守定义域优先的原则.思路2例1某商场以100元/件的价格购进一•批衬衣，以高于进价的价格岀售，销售有淡季与旺 季Z 分，通过市场调査发现：•①销售聚r(x)(件)与衬衣标价x(元/件)在销售旺季近似地符合函数关系：r(x) = kx+b 1；在 销售淡季近似地符合函数关系：r(x)=kx+b 2，其中k<0, b )>0, b 2>0Kk. 1小b?为常数;② 在销•售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最人销伟利润；③ 若称①中r(x)=0时的标价x 为衬衣的“临界价格”，则销•售旺季的“临界价格”是销售淡 季的“临界价格''的1.5倍.请根据上述信息，完成下面问题： (1)填写表格小空格的内容：(2)在销售淡季，该商场要获得最人销售利润，衬衣标价应定为多少元才合适？分析：(1)销售总利润y=销售量r(x)x 每件利润，每件利润=标价一进价；(2)转化为求二 次函数y=f(x)的最大值，由条件②③求出b2与k 的关系，应用二次函数的知识求解.解：(1)在销售旺季,y=(kx+bi)(x-100)=kx 2-(100k-bi)x-100bi ； 在销售淡季,y=(kx+b 2)(x-100)=kx 2-(100k-b 2)x- 100b 2. 故表榕为：数■关系销售季节标价 (尤/件)销 Wftr(^)(件) (含*厲或您)不同季廿的销售总利润)•(元) 与标价x()C/件)的甬数关系式1旺季 Xr(.v) = kx +/打 y = kx 2 - ( 1 (X)A* - )x - KX)A ( 淡季Xr (A ) = kx +1^>• = kx 2 - ( IO()A' - b 2 ).v - IOO62b k(2)Vk<0, b )>0, b 2>0,・・・一菽>0，-^>0. ・・・50—金>0,50-翠>0.标价（5E/件）销售量(件) (含筑打或爲)r(x) =kx +6,不同季节的销售总利润y (元) 与标价X (元/件)的函数关系式旺季则在销售旺季，y=kx2 — (100k—bJx—100b|,・••当*=1°°；「= 50_瓠寸,利润y取最大值；在销售淡季，y=kx'—(100k—b2)x—100b2，・••当x」"；乂 = 50_金时,利润y取最大值.由②知，在销售旺季，商场以140元/件价格出售时，能获得最大利润.因此在销售旺季，当标价x=50—昜=140时，利润y取最人值.・・・b| = 180k.・•・此时销售量为r(x)=kx-180k.令kx-180k=0,得x=180,即在销售旺季，衬衣的“临界价格”为180元/件.2・•・山③知，在销售淡季，衬衣的“临界价格”为180运=120元/件・可见在销传淡季，当标价x=120元/件时，销售量为r(x)=kx+b2=0.・・・120k+b2=0.・・・¥= —120.・•・在销售淡季，当标价x = 50—菇50+60=110元/件时，利润y取得最大值.即在销售淡季，商场要获得最大利润，应将衬衣的标价定为110元/件合适.点评：在应用问题屮，需解决利润最大、成本最少、费用最少等问题吋，常常通过建立数学模型，转化为求函数最值的问题.其步骤是：①阅读理解，审清题意.读题要做到逐字逐句，读懂题小的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相丿应的数学问题；②引进数学符号，建立数学模型.如果条件屮没有设未知数，那么要设自变虽为x,函数为y,必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变屋表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识及其他相关知识建立关系式，在此革础上将实际问题转化为求函数最值问题，即所谓建立数学模型；③利川数学的方法将得到的常规函数问题(即数7模型)予以解答，求得结果；④将所得结果再转译成具体问题的答案.例2求函数y=|x + 2| —|x—2|的最小值.分析：思路1：画出函数的图象，利用函数最小值的儿何意义，写出函数的最小值；思路2：利丿IJ绝对值的儿何意义，转化为数轴上的儿何问题：数轴上到±2两点的距离和的最小值.解：方法1(图象法):—4, x<—2,y=|x+2|—|x—2|=" 2x, — 2<x<2,其图象如下图所示..4, x>2.由图象得，函数的最小值是一4,最大值是4.方法2(数形结合法)：函数的解析式y=|x+2| —|x—2|的儿何意义是：y是数轴上任意一点P到±2的对应点A、B的距离的差，即y=|PA| — |PB|,如下图所示，—C 5-2 0 2观察数轴可得一|AB|W|PA| — |PB|mAB|,即函数y=|x+2|—|x—2|有最小值一4,最人值4.点评：求函数最值的方法：图象法：如果能够画出函数的图象，那么可以依据函数最值的儿何意义，借助图彖写出最值.其步骤是：①画函数的图象；②观察函数的图象，找出图象的最高点和最低点，并确定它们的纵处标；③山最高点和最低点的纵处标写出函数的最值.数形结合法：如果函数的解析式含有绝对值或根号，那么能将函数的解析式赋予几何意义，结合图形利用其几何意义求最值•其步骤是：①对函数的解析式赋予几何意义；②将函数的最值转化为儿何问题；③应用儿何知识求最值.例3定义在(一1,1)上的函数f(x)满足:对任意x、ye(-l,l),都有f(x)+f(y)=f(y^).(1)求证：函数f(x)是奇函数；(2)若当xW(T,0)时，有f(x)>0,求证：f(x)在(一1,1)上是减函数.分析：⑴定义法证明，利用赋值法获得f(0)的值进而取x=—y是解题关键；(2)定义法证明，具中判定尸丄的范围是关键.1—X1X2证明:⑴函数f(x)定义域是(一1,1),. . x+y 人0+0由f(x) + f(y) = f(y^),令x=y=0,得f(0) + f(0) = f(y而，・・・f(0) = 0.x—X令丫=一X,得Kx)+f(—X)=K 2)=K0) = 0,1 X/.f(—x)=—f(x).・・・f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减,令0VxiVx2<l,则f(X])-f(x2) = f(X])+f(-x2)=Kt [)=f(-二[),1 X|X2 1 X]X2V0<X|<X2< 1，/.X2 —X|>OJ — X|X2>0.1-X1X2 •乂(X2-X1)-(1—X1X2)=(X2-1)(X1+l)<0,•\0<x2—Xi<l —X|X2.A-1<-.X2 X| <0.由题意知f(~.X2 X')>0,1—X1X2 1—XiX2・・・f(X])>f(X2).・・・f(x)在(0,1)上为减函数.又f(x)为奇函数，・・・f(x)在(—1,1)上也是减函数.点评：对丁抽象函数的单调性和奇偶性问题，必用单调性和奇偶性的定义来解决，即定义法是解决抽彖函数单调性和奇偶性问题的通法；判断抽彖函数的奇偶性与单调性时，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.知能训练1.已知二次函数f(x)满足条件f(0) = l和f(x+l)-f(x)=2x.⑴求f(x);(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.分析：⑴由于已知f(x)是二次函数，川待定系数法求f(x)； (2)结合二次两数的图.象，写出最值.解：⑴设f(x)=ax2+bx + c,由f(0)=l,可知c=l.而f(x+1)—"x)=—(ax?+bx+c) = 2ax+a+b.由f(x+1)—f(x) = 2x,可得2a=2, a+b=0.因而a= 1, b= —1.故f(x)=x2—x+1.(2) '： f(x)=x2-x+l=(x -㊁尸+-,・••当xW吋，f(x)的最小值是f'(x)的最大值是f(—1) = 3.2.己知函数f(x)对任意x、yWR 都有f(x+y) = f(x) + f(y),且x>0 时,f(x)<0, f(l)=- 2.(1)判断函数f(x)的奇偶性.(2)当xW时，函数f(x)是否有最值？如果有，求岀最值；如果没有，请说明理由.分析：本题中的函数f'(x)是抽象函数，则用定义法判断f(x)的奇偶性和单调性.⑴首先利用赋值法求得f(0),再利用定义法判断f(x)的奇偶性；(2)利用定义法判断函数f(x)在内的单调性，利用单调法求出最值.解：(l)・・・f(x+y) = f{x)+f(y),・・・f(0) = f(0)+f(0)・・・・f(o)=o.而0=x—x,因此0 = f(0)=f(x—x) = f(x)+f(—x),即Kx)+R—x)=0 R —x)=—Rx)・・・・函数f(x)为奇函数.(2)设Xi<X2，由f(x+y)=f(x)+f(y),知f(X2 - Xi) = f(X2)+ f(-Xj = f(X2)-f(Xi),VX]<X2， X2 —X] >0.又当x>0 时，f(x)<0,・・・f(X2 — Xi) = f(X2)— f(X])V0.・,.f(x2)<f(x1).・・・f(X】)>f(X2)・函数f(x)是定义域上的减函数，当xE时，函数f(x)有最值.当x=-3时，函数有最大值f(-3)；当x=3时，函数冇最小值f(3).f(3)=f(l+2)=f(l)+f(2)=f(l) + f(l + l) = f(l)+f(l)+f(l)=3f(l)=-6,R — 3)=—f(3)=6.・••当x=—3时，函数冇最大值6；当x=3时，函数冇最小值一6.拓展提升问题：某人定制了一批地砖.每块地砖(如图卩所示)是边长为0.4米的正方形ABCD,点E、F分别在边BC和CD上，ACFE> AABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成Z\CFE、AABE和四边形AEFD的三种材料的毎平方米价格之比依次为3 ： 2 ： 1.若将此种地砖按图乙所示的形式铺设，能使中间的深色阴彩部分成四边形EFGH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？分析：⑴由于四块地砖拼出了四边形EFGH,只需证HJ]ACFE> ZXCFG、ZXCGH、ACEH 为等腰直角三角形即叭(2)建立数学模型，转化为数学问题.设CE = x,每块地砖的费川为W,求出函数W=f(x)的解析式，转化为讨论求函数的最小值问题.解：(1)图乙可以看成是由四块图甲所示地砖绕点C按顺时针旋转90。