北师大版高中数学必修二全册导学案

1.1 基本关系式-北师大版高中数学必修第二册（2019版）教案一、教学目标1.了解基本关系式的定义和意义；2.掌握利用基本关系式解决实际问题的方法；3.培养学生的分析问题和解决问题的能力。

二、教学内容1.基本关系式的定义和基本形式；2.基本关系式在解决实际问题中的应用。

三、教学重点1.掌握基本关系式的定义和基本形式；2.能够熟练地应用基本关系式解决实际问题。

四、教学难点1.理解基本关系式在解决实际问题中的应用；2.能够灵活运用基本关系式解决各种实际问题。

五、教学方法1.通过讲解理论知识，让学生了解基本关系式的定义和基本形式；2.通过模拟实际问题，让学生理解基本关系式在实际问题中的应用；3.通过提问和讨论，培养学生的思维能力。

六、教学过程1.引入：老师可以举一个简单的实际问题，让学生思考如何解决这个问题；2.讲解基本关系式：让学生了解基本关系式的定义和基本形式；3.实际运用：将几个简单的实际问题放在黑板上，让学生利用基本关系式来解决问题；4.练习：布置一些习题，让学生尝试用基本关系式解决问题；5.总结：老师可以让学生总结本课的内容和方法，并提出一些问题，让学生思考。

七、教学评价1.课堂表现：学生的思维活跃程度、参与度、问题提出程度；2.作业完成情况：学生独立完成作业的情况、作业的正确率；3.考试成绩：检验学生对本课内容的理解和掌握情况。

八、教学后记本节课主要介绍了基本关系式的定义和应用，通过实际问题的模拟及提问，让学生掌握了基本关系式的应用方法。

在教学过程中，发现学生的思维能力需要加强，对于一些较难的实际问题需要多指导和练习。

因此，更加注重培养学生的问题思考能力和实际解决问题的能力，提高他们的综合素质。

北师大版高一数学必修二
北师大版高一数学必修二主要包括以下内容：
1. 空间几何：包括点、直线、平面的位置关系，空间几何体的表面积和体积，以及空间向量的概念和运算。

2. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数和正切函数的性质和图像，以及三角恒等变换。

3. 三角恒等变换：包括三角函数的和差化积、积化和差、倍角公式等。

4. 概率与统计：包括随机事件的概率、随机变量及其分布、期望与方差等概念，以及总体与样本的统计调查和数据的收集与整理。

5. 数列与数学归纳法：包括数列的概念和性质、等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，以及数学归纳法的原理和应用。

6. 解析几何：包括直线的方程、直线的斜率、直线的交点坐标等概念，以及点到直线的距离公式和两条直线的交点坐标。

7. 幂函数、指数函数和对数函数：包括幂函数、指数函数和对数函数的性质和图像，以及函数的单调性和奇偶性。

以上内容仅供参考，具体以北师大版高一数学必修二教材为准。

§3 组合自主整理1.一般地，从n个不同的元素中，_______________，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，我们把有关求_______________问题叫作组合问题.2.我们把_______________，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号_______________表示.3.一般地，考虑C mn 与A mn的关系：把“从n个不同的元素中选出m（m≤n）个元素进行排列”这件事，分两步进行：第一步：从n个不同元素中取出m个元素，一共有_______________种取法.第二步：_______________一共有A mm种排法.根据____________原理，我们得到“从n个不同元素中选出m（m≤n）个元素进行排列”一共有____________种排法.即有A mn=____________.4.C mn =____________=____________=____________，规定:C0n=____________.5.组合数的性质：性质1：____________________________________________________________.性质2：____________________________________________________________.高手笔记1.使用组合数公式时，要注意C mn中m为非负整数，n∈N+，m≤n等限制条件.2.排列与组合的定义中相同的语句是“从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素”.定义中不同的语句是:排列的定义中“按着一定的顺序排成一列”；组合的定义中“并成一组”.3.排列与组合的共同点，就是都要“从n个不同元素中，任取m个元素”，而不同点就是前者要“按照一定的顺序排成一列”，而后者却是“不论怎样的顺序并成一组”.因此，“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志.如，从A、B、C三个元素中，任意取出两个元素的所有排列为：AB，BA，AC，CA，BC，CB；所有组合为：AB，AC，BC.在排列的意义下，AB与BA、AC与CA、BC与CB不同，而在组合的意义下，AB与BA、AC与CA、BC与CB相同.4.公式A mn =C mn·A mm表明从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素的排列数的计算可分为两步：求C mn；再对取出的m个元素进行全排列.因此，从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素的一个组合，是相应的所有排列中的1个.如从A、B、C中取出A、B的排列为AB、BA，组合AB（或BA）是其中的1个.5.公式C mn =!)1()2)(1(mmnnnn+---其形式上的特点是：分子是连续m个自然数之积，最大的数为n，最小的数是（n-m+1）;分母是m！.名师解惑1.如何区别组合与组合数？剖析：“组合数”与“一个组合”是两个不同的概念，“一个组合”是指“从n个不同元素中，任取m （m≤n）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的形式；“组合数”是指“从n 个不同元素中取出m （m≤n）个元素的所有组合的个数”，它是一个数.如，从A 、B 、C 中任取两个元素的所有组合为：AB 、AC 、BC ，它是具体的形式“AB、AC 、BC”；而其组合数是具体的数，AB 、AC 、BC 都算作1，1+1+1=3，即C 23=3.2.如何理解组合数的两个性质?剖析：（1）对C m n =C m n n -的理解：这个性质可以由组合数的定义给出，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n-m 个元素，也就是说，从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，都对应于从n 个不同元素中取n-m 个元素的唯一的一个组合，反过来也如此，因此有C m n =C m n n -.（2）对C 11-+=m n m n C 的理解：把n+1个元素分为不含某元素a 和含某元素a 两类.不含a 这一类，从n+1个元素中取m 个元素的组合，相当于从n 个元素中取m 个元素的组合，组合数为C m n ；含a 的这一类，a 必被取出，从n+1个元素中取m 个元素的组合，相当于从其余的n 个元素中取m-1个元素的组合，组合数为C 1-m n .根据加法原理，有C m n 1+=C m n +C 1-m n .3.解答组合问题时的解题策略是什么？剖析：解答组合应用题的总体思路为：（1）整体分类，对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时使用加法原理.（2）局部分步，整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类的相应结果时，使用乘法原理.（3）考察顺序，区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题，用组合解答，有序的问题属排列问题.（4）辩证地看待“元素”与“位置”.排列、组合问题中的元素与位置，没有严格的界定标准，哪些事物看成元素或位置，要视具体情况而定.有时“元素选位置”，问题解决得简捷；有时“位置选元素”效果会更好.讲练互动【例1】证明：C n n +n n 1++C n n 2++…+C n m n +=C 11+++n m n .分析：本题运用公式C m n 1+=C m n +C 1-m n写出m+1个等式，然后把这些等式两边分别相加，等式两边相同的项消去后即得结论.证明：C n n =C 12++n nC 12111+++++=+n n n n n n C CC 13212+++++=+n n n n n n C C ……C =++++n m n n m n C 1C 11+++n m n把以上m+1个式子相加，即得C n n +n n 1++C n n 2++……+C n m n +=C 11+++n m n .绿色通道:利用性质C m n +C 1-m n=C m n 1+证明等式时，要先将第一项C n n 变成C 12++n n ，然后与第二项nn +n n 1+结合利用组合性质，依次求和可得右端.变式训练1.证明：C m n +3C 333213+++++=++m n m n m n m n C C C .证明：左边=（C m n +C 1+m n）+2（C 1+m n +C 2+m n ）+（C 2+m n +3+m n ）=C 11++m n +2C 21++m n +C 31++m n =（C 11++m n +C 21++m n ）+（C 21++m n +C 31++m n ）=C 22++m n +C 32++m n =C 33++m n =右边.∴等式成立.【例2】从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有多少种？分析：取出的3台电视机中要求至少有甲型与乙型各1台，它包括两种可能：2台甲型与1台乙型、1台甲型与2台乙型，所以可用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决.另外，也可以采用间接法.解法一：从4台甲型电视机中取2台且从5台乙型电视机中取1台有C 24·C 15种取法；从4台甲型电视机中取1台且从5台乙型电视机中取2台有C 14·C 25种取法，所以取出的3台电视机中至少要有甲型与乙型各1台的取法共有C 24·C 15+C 14·C 25=70种.故应选C. 解法二：从所有的9台电视机中取3台有C 39种取法，其中全部为甲型的有C 34种取法，全部为乙型的有C 35种取法，则至少有甲型与乙型各1台的取法有C 39-C 34-C 35=70种.黑色陷阱:解决这类问题最容易出现的错误就是产生重复，比如首先从4台甲型电视机与5台乙型电视机中各取1台，有C 14·C 15种取法，再在剩下的7台电视机中任取1台，有C 17种取法，所以不同的取法共有C 14·C 15·C 17=140种，这种看起来很不错的解法实际上是错误的，因为它产生了重复.避免产生重复的方法就是进行“先分类后分步”.变式训练2.一份考卷有10道考题，分为A 、B 两组，每组5题，要求考生选答6题，但每组最多选4题，问考生有几种选答方法？解：有3种选题方案：A 组选4题、B 组选2题；A 组选2题、B 组选4题及A 、B 组各选3题，故选答方法有2C 45C 25+（C 35）2=200种.【例3】200件产品中有5件是次品，现从中任意抽取4件，按下列条件，各有多少种不同的抽法（只要求列式）？（1）都不是次品；（2）至少有1件次品；（3）不都是次品.分析：第（1）题与顺序无关，都不是次品，即全部是正品，正品有195件；第（2）题与顺序无关，至少有1件次品，即有1件次品，2件次品，3件次品，4件次品四类情况，可用直接法解答，也可用间接法解答；第（3）题与顺序无关，不都是次品，即至少有1件是正品.解：（1）都不是次品，即全部为正品，∴有C 4195种.（2）至少有1件次品，包括1件，2件，3件，4件次品的情况.∴共有C 3195C 15+C 2195C 25+C 1195C 35+C 45种或C 4200-C 4195种.（3）不都是次品，即至少有1件正品，∴共有C 1195C 35+C 2195C 25+C 3195C 15+C 4195种或C 4200-C 45种.绿色通道:解决“至多”或“至少”问题，通常采用直接分类法（简称直接法）和整体排异法（简称间接法）求解.当直接分类讨论的情形较多时，使用整体排异法较简便. 变式训练3.从8名男同学和4名女同学中选出5人组成青年志愿队，按要求各有多少种选法？（1）至少有一名女同学参加；（2）至多有两名女同学参加；（3）男女同学各至少有两名参加.解：（1）法一：“至少有一名”可分为4种情况：1名，2名，3名，4名女同学参加，而题设要求选出5人，因此其余名额不足部分应由男生填补，故至少有一名女同学参加共有N=C 14C 48+C 24C 38+C 34C 28+C 44C 18=736种不同选法.法二：在整体组合C 512中去掉不满足题设要求的组合，即N=C 512-C 58=736种不同选法.（2）法一：直接分类求解.共有N=C 58+C 48C 14+C 38C 24=672种不同选法.法二：整体排异求解. 共有N=C 512-C 44C 18-C 34C 28=672种不同选法.（3）可分两类：一类是2男3女，共有C 28C 34种不同选法；另一类是3男2女，共有C 38C 24种不同选法.根据分类加法计数原理，得符合条件的选法共有C 28C 34+C 38C 24=448种.【例4】6本不同的书分成3堆，每堆2本，共有多少种分法？分析：6本书平均分给甲、乙、丙三人的问题可分为两步来解决，先把这6本书分成3堆，每堆2本，再把分好的3堆给甲、乙、丙三人.解：6本书平均分给甲、乙、丙三人的方法共有26C C 24C 22=15×6=90种.设6本书平均分成3堆的方法有x 种，再将这3堆分给甲、乙、丙3人有A 33种方法，故A 33x=90,解得x=15.即共有15种分法.绿色通道:均匀有序分组的一般结论：n 个元素分成有序的m 组，每组r 个元素，则分法总数为C r r n r n C -r r n C 2-…C r r （其中mr=n ）.均匀无序分组的一般结论：n 个元素分成无序的m 组，每组r 个元素，则分法总数为m mr r r r n r r n r n A C c C C 2--（mr=n ）. 有序分组与无序分组的本质区别在于只分组，还是分组后再分配给别的不同对象. 变式训练4.12个学生平均分成3组，参加制作航空模型的活动，3个教师各参加一组进行指导，问有多少种分组方法？解法一：将12个学生平均分配到3个固定的组（即组有序）中的方法有C 412C 48C 44种. 事实上并无组别的限制，故将12个学生平均分成3组的方法有334448412A C C C 种.3个教师按每组1人分配到各组中去有A 33种方法.由乘法原理，符合题意的分组方法有334448412A C C C ·A 33=C 412C 48=495×70=34 650种. 解法二：3个教师代表甲、乙、丙3个组，先将12个学生选出4人分到甲组，有C 412种不同方法；再将其余8个学生选4人分到乙组有C 48种不同方法.由乘法原理，符合题意的分组方法有C 412·C 48·C 44=34 650种.【例5】现有6本不同的书分给甲、乙、丙三人，（1）甲得1本，乙得2本，丙得3本，共有多少种不同的分法？（2）一人得1本，一人得2本，一人得3本，共有多少种不同的分法？（3）三人中的一人得4本，另外两人各得1本，共有多少种不同的分法？分析：（1）甲从6本中选1本，乙从剩下的5本中选2本，剩下的3本给丙.利用乘法原理.（2）本小题属不均匀分组且有顺序，分两步：分成三组，一组1本，一组2本，一组3本，共有16C C 25C 33种分组方法；再将不同的三组分给三个人，有A 33种分法.解：（1）16C C 25C 33=60种.（2）16C C 25C 33A 33=360种.（3）解法一：从6本书中选出4本给三人中的一人有46C 13C 种分法,剩下2本书给2个人,每人一本有A 22种分法，利用乘法原理,共有46C 13C ·A 22=90种不同的分法. 解法二：将6本书分成3组，一组4本，两组各1本，共有22111246A C C C 种不同分法；再把3组分给三个人，有A 33种分法，利用乘法原理，共有22111246A C C C A 33=90种不同的分法. 绿色通道:本例是分组问题的典型范例，解决分组问题应弄清以下几点：（1）分组对象是否明确;（2）是否平均分组;（3）是否局部平均分组;（4）分组时有无顺序关系.本例中（1）为非均匀分组且分组无顺序；应固定甲、乙、丙的本数；（2）为非均匀分组有顺序；（3）为局部均匀分组有顺序.非均匀无序分组的一般结论是：n 个元素分成m 组，第i 组有r i 个元素（i=1，2，…，m ），分法总数是C .2211m m rr r r r n r n C C -- 变式训练5.6名护士，3名医生，分成三组到甲、乙、丙三村去下乡，每组2名护士，1名医生，共有多少种不同的分法？解法一：首先把护士分配到三村有C 26C 24C 22种，再把医生分配到三村有C 13C 12C 11种. 据乘法原理共有C 26C 24C 22·C 13C 12C 11=540种.解法二：先分组后分配.3名医生各代表一组，将6名护士平均分组有33222426A C C C 种.再分到三名医生代表的三组中有33222426A C C C A 33种，再将这三个组分配到三个村里去，有33222426A C C C A 33A 33=540种.。

第10课时直线和圆的位置关系1.理解直线与圆的位置关系的种类.2.利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离.3.会用方程思想(判别式法)或点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.一艘船在沿直线返回港口的途中,接到台风预报:台风中心位于船正西70千米处,受影响的X围是半径为30千米的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40千米处,如果这艘船不改变航线,那么它是否会受到台风影响?这个问题可归结为直线和圆是否有公共点的问题,也是我们这节课研究的对象.问题1:直线与圆的位置关系有三种:、、.判断直线与圆的位置关系有两种方法:(1)代数法:联立直线方程与圆的方程消去x或y整理成一元二次方程后,计算判别式Δ,当判别式Δ<0时,直线和圆;当判别式Δ=0时,直线和圆 ;当判别式Δ>0时,直线和圆.(2)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系:d<r⇒,d=r⇒,d>r⇒.问题2:过一定点是否都存在圆的切线?如果存在,如何求圆的切线方程?(1)若点在圆内,此时直线和圆相交,不存在圆的切线.(2)若点在圆上,则过该点的切线只有,切线方程求法如下:①直接法,先求该点与圆心的连线的直线的斜率,再利用垂直关系求出切线斜率,最后用点斜式求出切线方程.②设元法,先设出切线方程(注意斜率不存在时的讨论),再利用圆心到切线的距离等于半径,求出所设参数.③公式法,设A(x0,y0)是圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的一点,则过点A的切线方程为:(x-a)(x0-a)+(y-b)·(y0-b)=r2,特别地,当圆心在原点时,即:A(x0,y0)是圆x2+y2=r2上一点,则过点A的切线方程为:.(3)若点在圆外,则过该点的切线有,切线方程求法如下:首先分析斜率不存在是否满足条件,再分析斜率存在时:设斜率为k,写出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径求出斜率,从而求出切线方程.问题3:计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何法:运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.(2)代数法:运用韦达定理及两点距离公式有|AB|= .问题4:用直线与圆的知识解决实际问题的步骤(1)仔细审题,理解题意;(2)引入,建立;(3)用直线与圆的知识解决已建立的数学模型;(4)用结果解释.1.直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是( ).2.自点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线,则切线长为().A. B.3 C.3.若直线y=kx+2与圆(x-2)2+(y-3)2=1有两个不同的交点,则k的取值X围是.4.过原点作圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线,求切线方程.圆的切线方程已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程.求圆的弦长求直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长.利用圆的方程求最值已知实数x,y满足(x-2)2+y2=4,求3x2+4y2的最值.求过点P(4,5)的圆(x-2)2+y2=4的切线方程.已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.当直线l与圆C相交于A,B两点,且AB=2时,求直线l的方程.已知点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上运动,则的最大值为;最小值为.1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是().2.圆C:x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为().A.x+y-2=0B.x+y-4=0C.x-y+4=0D.x-y+2=03.直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切,则实数m等于.4.已知圆x2+y2=8内一点P(-1,2),过点P的直线l的倾斜角为135°,直线l交圆于A、B两点,求AB的长.(2012年·卷) 直线y=x被圆x2+(y-2)2=4截得的弦长为.考题变式(我来改编):第10课时直线和圆的位置关系知识体系梳理问题1:相交相切相离(1)相离相切相交(2)相交相切相离问题2:(2)一条③x0x+y0y=r2(3)两条问题3:(2)·|x A-x B|=问题4:(2)数学符号数学模型(4)实际问题基础学习交流1.A∵d==1<4,∴直线与圆的位置关系是相交.2.B因为过圆外一点作圆的切线,两条切线长相等,故切线长为=3,或2-(-1)=3.3.(0,)依题意有<1,解得0<k<,∴k的取值X围是(0,).4.解:已知圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,所以圆与坐标轴相切,所以切线方程为x=0或y=0.重点难点探究探究一: 【解析】(法一)当点M不在坐标轴上时,设切线的斜率为k,半径OM的斜率为k1,∵圆的切线垂直于过切点的半径,∴k=-.∵k1=,∴k=-.∴经过点M的切线方程是y-y0=-(x-x0),整理得x0x+y0y=+.又∵点M(x0,y0)在圆上,∴+=r2.∴所求的切线方程是x0x+y0y=r2.当点M在坐标轴上时,可以验证上面的方程同样适用.(法二)设P(x,y)为所求切线上的任意一点,当P与M不重合时,△OPM为直角三角形,OP为斜边,∴OP2=OM2+MP2,即x2+y2=++(x-x0)2+(y-y0)2,整理得x0x+y0y=r2.可以验证,当P与M重合时同样适合上式,故所求的切线方程是x0x+y0y=r2.(法三)设P(x,y)为所求切线上的任意一点(M与P不重合),当点M不在坐标轴上时,由OM⊥MP得k OM· k MP=-1,即·=-1,整理得x0x+y0y=r2.可以验证,当点M在坐标轴上时,同样适合上式;当P与M重合时亦适合上式.故所求的切线方程是x0x+y0y=r2.【小结】(1)求圆的切线方程一般有三种方法:①设切线斜率,利用判别式,但过程冗长,计算复杂,易出错,通常不采用此法,但该法却是判断直线和曲线相切的通法,以后会经常用到;②设切线斜率,利用圆心到直线的距离等于半径;③设切点,利用过圆心和切点的直线与切线垂直.前两种方法要验证斜率是否存在.(2)过圆外一点可作圆的两条切线.探究二:【解析】(法一)直线x-y+2=0和圆x2+y2=4的公共点坐标就是方程组的解.根据x-y+2=0得y=x+2,代入x2+y2=4得x2+x=0,解得或∴公共点坐标为(-,1)和(0,2),直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为=2.(法二)如图,设直线x-y+2=0与圆x2+y2=4交于A,B两点,弦AB的中点为M,则OM⊥AB(O为坐标原点),所以OM==,所以AB=2AM=2=2=2.【小结】在本题的两种方法中,前一种方法是代数法,后一种方法是几何法.在处理与直线和圆相交形成的弦的有关问题时,我们经常用到如下解法:(1)设弦的两个端点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),代入圆的方程后寻求坐标与弦的关系,然后加以求解;(2)涉及圆的弦长问题时,为了简化运算,常利用垂径定理或半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形进行运算.探究三:【解析】由(x-2)2+y2=4得y2=4x-x2,所以3x2+4y2=3x2+4(4x-x2)=-x2+16x=-(x-8)2+64,故3x2+4y2在x=8时有最大值64,没有最小值.[问题]在圆的方程中变量x的取值X围是R吗?[结论]将x=8代入圆方程(x-2)2+y2=4,得y2=-32,矛盾,所以上述解法是错误的.因为y2=4-(x-2)2≥0,所以x的取值X围不是R.于是,正确解答如下:由(x-2)2+y2=4得y2=4x-x2≥0,得0≤x≤4,所以3x2+4y2=3x2+4(4x-x2)=-x2+16x=-(x-8)2+64(0≤x≤4),所以当x=y=0时,3x2+4y2取得最小值0;当x=4,y=0时,3x2+4y2取得最大值48.【小结】确定圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的变量的取值X围的方法:先配方,再根据平方项非负来确定.圆的方程中变量的X围一般是以隐含条件的形式出现在试题中,因此在解题时注意挖掘出这个隐含条件.思维拓展应用应用一:把点P(4,5)代入(x-2)2+y2=4,得(4-2)2+52=29>4,即点P在圆(x-2)2+y2=4外.设切线斜率为k,则切线方程为y-5=k(x-4),即kx-y+5-4k=0,又圆心坐标为(2,0),r=2,由圆心到切线的距离等于半径,得=2,解得k=.将k代入所设方程得此时切线方程为21x-20y+16=0.当直线的斜率不存在时,还有一条切线是x=4.因此切线方程为x=4或21x-20y+16=0.应用二:将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方后得到标准方程x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为C(0,4),半径为2.(法一)过圆心C作CD⊥AB交AB于点D,则根据题意和圆的性质,得即:+2=4.解得a=-7或a=-1.即直线l的方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.(法二)联立方程组消去y,得(a2+1)x2+4(a2+2a)x+4(a2+4a+3)=0.Δ=-16(4a+3)>0,即a<-,设此方程的两根分别为x1,x2,由韦达定理知x1+x2=-,x1x2=.由AB=2=,可求出a=-7或a=-1,所以直线l的方程是7x-y+14=0或x-y+2=0.应用三:-因为表示的几何意义是圆上的动点与(2,1)连线的斜率,所以设=k,即kx-y+1-2k=0,当直线与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时=1,解得k=±.所以的最大值为 ,最小值为-.基础智能检测1.B因为圆心(0,0)到直线x-y+1=0的距离d=<1,故直线与圆相交,又(0,0)不在直线上,所以直线不过圆心.2.D因为点P在圆C上,k PC=-,所以切线的斜率为,所以切线方程为y-=(x-1),即x-y+2=0.3.-3或由题设知圆心坐标为(1,0),因为直线与圆相切,所以d==r=,解得m=或-3.4.解:k AB=-1,直线AB的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0.故圆心(0,0)到AB的距离d==,从而弦长|AB|=2 =.全新视角拓展2本题考查直线和圆的位置关系以及简单的平面几何知识.(法一)几何法:圆心到直线的距离为d==,圆的半径r=2,所以弦长为l=2×=2=2;(法二)代数法:联立直线和圆的方程消去y可得x2-2x=0,所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2),(0,0),弦长为=2.。

《§1. 1周期变化习题课》（导学案教师版）胡琪※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※聚焦知识目标1.理解周期函数、周期和最小正周期的概念2.能够判断一个函数是否为周期函数.3.能够利用函数的周期性求值.※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※思维导图※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※回顾概念(1)以相同重复出现的变化叫作(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔，，若重复出现，则为周期现象；否则不是周期现象.题组一周期现象1.(多选)下列变化中是周期现象的是()A.太阳东升西落B.李明每天上午上学的时间C.某高速公路每天通过的车辆数D.天干地支表示年份的次序解：2.(2020广东汕头高一上期末)钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2处，则100分钟后分针指在()A.8处B. 10处C. 11处D. 12处解：3.8的18次方的末位数字是()A.2B.4C.6D.8解：4.造父变星是一类高光度周期性脉动变星，其亮度随时间呈周期性变化.下图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图，由图可知此造父变星亮度变化的周期是()A.5.5天B.7天C. 14天D. 20天解：※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※1.周期函数一般地，对于函数y=f(x)，x∈D，如果存在一个常数T，使得对任意的x∈D、都有x+T∈且满足f(x+T)= 、那么函数y=f(x)称作，非零常数T称作这个函数的2.最小正周期如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y=f(x)的.周期函数定义解读1.周期函数定义的实质：存在一个非零常数T，对定义域内的任意x，均有f(x+T)=f(x)，其2.周期函数定义中的“f(x+T)=f(x)”是对定义域中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足f(x+T)=f(x)，不能说T是y=f(x)的周期.函数周期性的常用结论对y=f(x)定义域内任一自变量x(1)若f(x+a)=-f(x)，则T= （a>0)；(2)若f(x+a)=1/f(x) 则T= （a>0)；(3)若f(x+a)=−1/f(x) ,则T= (a>0).函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数y=f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x=a，x=b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且周期T=2(b-a)(不一定是最小正周期，下同)).(2)如果函数y=f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(a<b)，那么函数y=f(x)是周期函数，且周期T=2(b-a).(3)如果函数y=f(x)(x∈D)在定义域内有一条对称轴x=a和一个对称中心B(b.0)(a<b)，那么函数y=f(x)是周期函数，且周期T=4（b-a）.题组二周期求值1.(求值.周期未知)已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x+5)=f(x)，且当x∈(0，2)时，f(x)=2021x 2，则f(2021)=_.解：2.(求值.周期未知)已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+1)+f(x)=3，当x∈[0，1]时，f(x)=2-x，则f(-2021.5)=_.解：,若f(1)=-5，则f(f(5))的3.(求值.周期未知)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=1f(x)值为＿＿＿.解：4.(求值.周期未知)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+5)，当x∈[-2，0)时，f(x) =−(x+2)2，当x∈[0，3)时，f(x)=x，求f(1)+f(2)+…+f(2021)的值.解：5.（求值.周期未知）已知定义在N上的函数f(n)满足f(n+2)=f(n+1)-f(n).(1)求证f(n)是周期函数，并求出其周期；(2)若f(2)=3，求f(2012)的值解：题组三周期性+奇偶性求值1.(配合奇偶性求值)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2，则f(3)-f(4)等于()A.-1B.1C.-2D.2解：2.已知f(x)在R上为奇函数，且满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为()A.0B.-1C.1D.2解：3.定义域为R的偶函数f(x)为周期函数，其周期为8，当x∈[-4，0]时f(x)=x+1，则f(25)=_. 解：题组四周期性求式1.(周期性求式)函数f(x)是周期为4函数，当x∈[0，2]时，f(x)=x-1，则在[-4，-2]上的解析式解：题组五周期性+奇偶性求解析式1.(配合奇偶性求式)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)=x-1，则不等式f(x）在[2，6]上的解析式为.解：1.(配合奇偶性解不等式)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)=x-1，则不等式xf(x)>0在[-1，3]上的解集为()A.(1,3)B.(-1,1)C.(-1,0)U(1,3)D.(-1,0)U(0,1)解：题组七周期性+奇偶性+单调性比大小1.(配合奇偶性、单调性比大小)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+1)是偶函数，f(x-1)是奇函数，f(x)在[-1.1)上单调递增，则（）A.f(0)>f(2020)>f(2019)B.f(0)>f(2019)>f(2020)C.f(2020)>f(2019)>f(0)D.f(2020)>f(0)>f(2019)解：题组八配合其他性质研究函数图象和性质1.(综合性质）已知偶函数y=f(x)(x∈R)在区间[-1，0]上单调递增，且满足f(1-x)+f(1+x)=0，下列判断：①f(5)=0;②f(x)在[1，2]上单调递减：③函数f（x)没有最小值；④函数f(x)在x=0处取得最大值；⑤f(x)的图象关于直线x=1对称.其中正确的序号是＿＿＿＿.解：2.（综合性质）对任意实数x ，[x]表示不超过x 的最大整数，如[3，6]=3，[-3.4]=-4，关于函数f(x)= [x+13−[x3]],有下列命题：①f(x)是周期函数；②f(x)是偶函数；③函数f(x)的值域为{0，1}，其中正确的命题为() A. ①③B.②C. ①②③D. ①②)解： 3.（综合性质）已知函数f(x)的定义域为R ，且对任意x 1，x 2∈R 都有 f (x 1+x 2)=100f (x 1)f (x 2),则下列结论一定正确的是＿ (1)f(x)是偶函数；(2)f(x)是周期函数；(3)存在常数k ，对任意x ∈R ，都有f(x+1)=kf(x)； (4)对任意m ∈R ，存在x o∈R ，使得f(x o)=m.解：※※※※※※※※※※※※※※※※谢谢欣赏※※※※※※※※※※※※※※※。

§4　简单计数问题1．进一步理解计数原理和排列、组合的概念．(重点)2．能够运用原理和公式解决简单的计数问题．(难点)[基础·初探]教材整理　简单计数问题阅读教材P18～P21，完成下列问题．1．计数问题的基本解法(1)直接法：以________为考察对象，先满足________的要求，再考虑________(又称元素分析法)．或以________为考察对象，先满足________的要求，再考虑________(又称位置分析法)．(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出所有的方法数，再减去不符合要求的方法数．【答案】　(1)元素　特殊元素　其他元素　位置　特殊位置　其他位置2．解决计数问题应遵循的原则先________后一般，先________后排列，先________后分步，充分考虑元素的特殊性，进行合理的分类与分步．【答案】　特殊　组合　分类5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少一个球，若甲球必须放入A盒，则不同放法总数是( )A．120 B．72 C．60 D．36【解析】　分两类：第一类，A盒只有甲球，则余下4个球放入3个不同的盒子中，243每个盒子至少一个球，此时4个球应分为2,1,1三组，有C种，每一种有A种放法，共2434有C A种放法；第二类，A盒中有甲球和另1球，则有A种排法．由分类加法计数原理，2434得共有放法总数C A＋A＝60种．【答案】　C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]排列问题　某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( )A．504种　B．960种C．1 008种D．1 108种【精彩点拨】　先安排甲、乙，再考虑丙、丁，最后安排其他员工．214【自主解答】　(1)若甲、乙安排在开始两天，则丁有4种选择，共有安排方案A C A 4＝192种；2144(2)若甲、乙安排在最后两天，则丙有4种选择，共有A C A＝192种；(3)若甲、乙安排在中间5天，选择两天有4种可能，2143若丙安排在10月7日，丁有4种安排法，共有4×A C A＝192种；213133若丙安排在中间5天的其他3天，则丁有3种安排法，共有4×A C C A＝432种．所以共有192＋192＋192＋432＝1 008种．【答案】　C1．本小题用到分类讨论的方法，按照特殊元素(甲、乙在一起，丙、丁不在特殊位置)进行讨论．2．较复杂的排列问题要注意模型化归，转化为常用的方法．[再练一题]1．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字，且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是( ) 【导学号：62690018】A．72 B．96 C．108 D．14432【解析】　第一步将2,4,6全排，有A种；第二步分1,3相邻且不与5相邻，有A A 23332233种；1,3,5均不相邻，有A种．故总的排法为A(A A＋A)＝108种，故选C.【答案】　C组合问题　某班有54位同学，其中正、副班长各1名，现选派6名同学参加某科课外小组，在下列各种情况中，各有多少种不同的选法？(只列式不计算)(1)正、副班长必须入选；(2)正、副班长只有1人入选；(3)正、副班长都不入选；(4)正、副班长至多有1人入选；(5)班长以外的某3人不入选；(6)班长有1人入选，班长以外的某2人不入选．【精彩点拨】　这是一道有限制条件的组合问题，先处理特殊元素，然后考虑一般元素．【自主解答】　(1)先选正、副班长，再从剩下的52人中选4人．由分步乘法计数原2452理，得C·C种．(2)先从正、副班长中选1人，再从剩下的52人中选5人．由分步乘法计数原理，得12552C·C种．02652(3)因为正、副班长都不选，因此从剩下的52人中选6人，共C·C种，即C652种．1255202652(4)只有一个班长入选，或两个班长都不入选，故共有C·C＋C·C种，或6542452C－C·C种．03651651(5)某3人可除外，故共有C·C种，即C种．120255012550(6)C·C·C种，即C·C种．解答组合应用题的总体思路1．整体分类，对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时使用加法原理．2．局部分步，整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类的相应结果时，使用乘法原理．[再练一题]2．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的分配方案共有( )A ．252种B ．112种C ．20种D ．56种【解析】　不同的分配方案共有C C ＋C C ＋C C ＋C C ＝112(种)．275374473572【答案】　B[探究共研型]排列、组合的综合应用探究1　从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相乘，有多少个不同的结果？完成的“这件事”指的是什么？【提示】　共有C ＝＝6(个)不同结果．244×32完成的“这件事”是指：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相乘．探究2　从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相除，有多少个不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？【提示】　共有A －2＝10(个)不同结果．这个问题属于排列问题．完成的“这件事”24是指：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相除．探究3　完成“从集合{0,1,2,3,4}中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类，还是先分步？有多少个不同的结果？【提示】　由于0不能排在百位，而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法，所以完成这件事需按0是否在个位分类进行．第一类：0在个位，则百位与十位共A 种排法；第二类：0不在个位且不在百位，则需先从2,4中任选一个排个位再从剩下24非零数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共C C C ＝18(种)不同的121313结果，由分类加法原理，完成“这件事”共有A ＋C C C ＝30(种)不同的结果．24121313　有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．【精彩点拨】　(1)按选中女生的人数多少分类选取．(2)采用先选后排的方法．(3)先安排该男生，再选出其他人担任4科课代表．(4)先安排语文课代表的女生，再安排“某男生”课代表，最后选其他人担任余下三科的课代表．【自主解答】　(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有352345135C C＋C C种，后排有A种，352345135共(C C＋C C)·A＝5 400种．474(2)除去该女生后，先选后排，有C·A＝840种．47144(3)先选后排，但先安排该男生，有C·C·A＝3 360种．3613(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3336133人全排有A种，共C·C·A＝360种．解决排列、组合综合问题要遵循两个原则1．按事情发生的过程进行分步．2．按元素的性质进行分类．解决时通常从以下三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．[再练一题]3．某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案共有( )A．16种 B．36种 C．42种 D．60种24232【解析】　若选择了两个城市，则有C C A＝36种投资方案；若选择了三个城市，则343有C A＝24种投资方案，因此共有36＋24＝60种投资方案．【答案】　D[构建·体系]1．(2016·长武高二检测)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A ．14B ．24C ．28D ．48【解析】　(间接法)：6人中选派4人的组合数为C ，其中都选男生的组合数为C .464所以至少有1名女生的选派方案有C －C ＝14(种)．464【答案】　A2．在1,2,3,4,5这五个数字所组成的没有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有( )A ．6个B ．9个C ．12个D ．18个【解析】　由题意知，所求三位数只能是1,3,5或2,3,4的排列，共有A ＋A ＝12(个)．33【答案】　C3．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种(用数字作答). 【导学号：62690019】【解析】　6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有A 种方法，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有A 种方法，所以425共有：A ·A ＝480.425【答案】　4804．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．【解析】　有C ·C ·A ＝36种满足题意的分配方案．其中C 表示从3个乡镇中任132421324选定1个乡镇，且其中某2名大学生去的方法数；C表示从4名大学生中任选2名到上一2步选定的乡镇的方法数；A表示将剩下的2名大学生分配到另2个乡镇去的方法数．【答案】　365．车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，问有多少种选派方法．【解】　法一：设A，B代表两名老师傅．454A，B都不在内的选派方法有：C·C＝5(种)；A，B都在内且当钳工的选派方法有：2254C·C·C＝10(种)；A，B都在内且当车工的选派方法有：24524C·C·C＝30(种)；A，B都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有：223534C·A·C·C＝80(种)；A，B有一人在内且当钳工的选派方法有：12354C·C·C＝20(种)；A，B有一人在内且当车工的选派方法有：124534C·C·C＝40(种)．所以共有45422542452422353412354124534C·C＋C·C·C＋C·C·C＋C·A·C·C＋C·C·C＋C·C·C＝185(种)选派方法．法二：5名钳工有4名被选上的方法有：4546C·C＝75(种)；5名钳工有3名被选上的方法有：354512C·C·C＝100(种)；25245名钳工有2名被选上的方法有：C·C·C＝10(种)．所以一共有75＋100＋10＝185(种)选派方法．我还有这些不足：(1)　(2)　我的课下提升方案：(1)　(2)　学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为( )25262526A．C C　B．C A2522622526C．C A C A D．A A25【解析】　分两步进行：第一步，选出两名男选手，有C种方法；第二步，从6名女262526生中选出2名且与已选好的男生配对，有A种．故有C A种．【答案】　B2．某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的素菜，用餐者可以按下述方法搭配午餐：①任选两种荤菜，两种素菜和白米饭；②任选一种荤菜，两种素菜和蛋炒饭，则每天不同午餐的搭配方法有( )A．22种B．56种C．210种D．420种24271427【解析】　按第一种方法有C C种不同的搭配方法，按第二种方法共有C C种不同24271427的搭配方法，故共有C C＋C C＝6×21＋4×21＝210种搭配方法，故答案选C.【答案】　C3．将A，B，C，D四个球放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且A，B两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有( )A．15B．18C．30D．36243【解析】　间接法，所有的不同放法有C·A种．A，B两球在同一个盒子中的放法22432种数为3×A，满足题意的放法种数为C A－3×A＝6×6－3×2＝36－6＝30.【答案】　C4．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为( )A ．360B ．520C ．600D ．720【解析】　当甲或乙只有一人参加时，不同的发言顺序的种数为2C A ＝480，当甲、354乙同时参加时，不同的发言顺序的种数为A A ＝120，则不同的发言顺序的种数为2523480＋120＝600，故选C.【答案】　C5．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有( )A ．23个B ．24个C ．18个D ．6个【解析】　各位数字之和为奇数可分两类：都是奇数或两个偶数一个奇数，故满足条件的三位数共有A ＋C A ＝24个．3133【答案】　B 二、填空题6．现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A ，B 风景区门票各2张，C ，D 风景区门票各1张，则不同的分配方案共有________种. 【导学号：62690020】【解析】　6位游客选2人去A 风景区，有C 种，余下4位游客选2人去B 风景区，26有C 种，余下2人去C ，D 风景区，有A 种，所以分配方案共有C C A ＝180(种)．24226242【答案】　1807．用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个(用数字作答)．【解析】　分两种情况：第一类：个、十、百位上各有一个偶数，有C A ＋C A C ＝90个；13323314第二类：个、十、百位上共有两个奇数一个偶数，有C A C ＋C C A C ＝234个．共233141323313有90＋234＝324个．【答案】　3248．某餐厅供应盒饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种为________种．(结果用数值表示)【解析】　在5种不同的荤菜中选出2种的选择方式的种数是C ＝＝10.因选255×42择方式至少为200种，设素菜为x 种，则有C C ≥200.即≥20，化简得x(x －1)2x 25x x －12≥40，解得x≥7.所以至少应准备7种素菜．【答案】　7三、解答题9．3名男同志和3名女同志到4辆不同的公交车上服务．(1)若每辆车上都要有人服务，但最多安排男女各一名，有多少种不同的安排方法？(2)若男女各包两辆车，有多少种安排方法？34【解】　(1)先将3名男同志安排到车上，有A种方法，在未安排男同志的那辆车上1323341323安排一名女同志，有C种方法，还有2名女同志有A种安排方法．共有A C A＝432种安排方法．2323(2)男同志分2组有C种方法，女同志分2组有C种分法，将4组安排到4辆车上有423234A种方法．共有C C A＝216种安排方法．10．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球．【解】　(1)每个小球都有4种方法，根据分步乘法计数原理，共有46＝4 096种不同放法．(2)分两类：第1类，6个小球分3,1,1,1放入盒中；第2类，6个小球分2,2,1,1放36143262424入盒中，共有C·C·A＋C·C·A＝1 560(种)不同放法．1424(3)法一：按3,1,1,1放入有C种方法，按2,2,1,1，放入有C种方法，共有1424C＋C＝10(种)不同放法．法二：(挡板法)在6个球之间的5个空中插入三个挡板，将6个球分成四份，共有35C＝10(种)不同放法．[能力提升]1．(2015·四川高考)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A．144个B．120个C．96个D．72个【解析】　分两类进行分析：第一类是万位数字为4，个位数字分别为0,2；第二类是万位数字为5，个位数字分别为0,2,4.当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，341334共有2A个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有C A个偶341334数．故符合条件的偶数共有2A＋C A＝120(个)．【答案】　B2．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有1双同色的取法有( )23A．240种B．180种C．120种D．60种【解析】　取一双同色手套有C种取法，在剩下的5双手套中取2只不同色的手套，16有C22种取法，由分步乘法计数原理知，恰好有一双同色手套的取法有C C·22＝240 251625种．【答案】　A3．(2016·孝感高级中学期中)正五边形ABCDE中，若把顶点A，B，C，D，E染上红、黄、绿、黑四种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有________种．【解析】　若用三种颜色，有C A种染法，若用四种颜色，有5·A种染法，则不同15344的染色方法有C A＋5·A＝240(种)．15344【答案】　2404．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？【解】　(1)先排前4次测试，只能取正品，有A种不同测试方法，再从4件次品中46选2件排在第5和第10的位置上测试，有C A＝A种测法，再排余下4件的测试位置，24224有A种测法．4所以共有不同测试方法A·A·A＝103 680种．46244(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法C·C·A＝576种．16344。

4空间图形的基本关系与公理【教学目标】1.理解空间中点、线、面的位置关系；2.理解空间中平行直线、相交直线、异面直线、平行平面、相交平面等概念；3.掌握三个公理及推论，并能运用它们去解决有关问题；4.会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质．【重点难点】掌握三个公理及推论，并能运用它们去解决有关问题【教法教具】以讲学稿为依托的探究式教学方法,多媒体教学【教学课时】 2课时【教学流程】自主学习（课前完成，含独学和质疑）1．空间点与直线的位置关系(1)如果点P在直线a，记作P∈a.(2)如果点P在直线a，记作P∉a.2．空间点与平面的位置关系(1)如果点P在平面α，记作P∈α.(2)如果点P在平面α，记作P∉α.3．空间两条直线的位置关系(1)平行直线：如果直线a和b在同一个平面内，但没有，这样的两条直线叫作平行直线，记作a∥b.(2)相交直线：如果直线a和b有且只有公共点P，这样的两条直线叫作相交直线，记作a∩b＝P.(3)异面直线：如果直线a和b不同在平面内，这样的两条直线叫作异面直线．4．空间直线与平面的位置关系(1)直线在平面内：如果直线a与平面α有个公共点，我们称直线a在平面α内，记作aα.(2)直线与平面相交：如果直线a与平面α有且只有公共点P，我们称直线a与平面α相交于点P，记作a∩α＝P.(3)直线与平面平行：如果直线a与平面α没有，我们称直线a与平面α平行，记作a∥α.5．空间平面与平面的位置关系(1)平行平面：如果平面α与平面β没有，我们称平面α与平面β是平行平面，记作α∥β.(2)相交平面：如果平面α和平面β不重合，但有，我们称平面α与平面β相交于直线l，记作α∩β＝l.6．公理1如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．7．公理2经过的三点，有且只有一个平面．或简单说成：不共线的三点确定一个平面．8．公理3如果两个的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．9．公理2的推论推论1：经过一条直线和这条，有且只有一个平面；推论2：经过两条直线，有且只有一个平面；推论3：经过两条直线，有且只有一个平面．合作探究：（对学、群学）探究点一空间点、线、面的位置关系导引观察下面三个长方体回答下列问题．思考 1 观察长方体，你能发现长方体有多少个顶点？多少条棱？多少个面？棱所在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？例1 将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示：α∩β＝l，A∈l，ABα，ACβ.跟踪训练1 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)lα，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α；Q∈l，Q∈α.探究点二空间图形的公理思考1 实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．从经验中我们能得到什么结论呢？思考2 如何用符号语言表示公理1？公理1有怎样的用途？思考3 生活中经常看到用三角架支撑照相机；测量员用三角架支撑测量用的平板仪；有的自行车后轮旁只安装一只撑脚．上述事实和类似经验可以归纳出平面怎样的性质？思考4 如何用符号语言表示公理2？公理2有怎样的用途？思考5 如图所示，直线BC外一点A和直线BC能确定一个平面吗？为什么？思考6 如图所示，两条相交直线能不能确定一个平面？为什么？思考7 如图所示，两条平行直线能不能确定一个平面？为什么？思考8 我们已经看到各种棱柱、棱锥的每两个相交的面之间的交线都是直线段，由此你能总结出怎样的结论？思考9 如何用符号语言表示公理3？公理3有怎样的用途？例2 已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面．跟踪训练2 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．探究点三共线问题例3 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示．求证：P、Q、R三点共线．跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE、D1F、DA三线交于一点．【达标拓展】（检测、拓展）1．若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则( )A．C∈αB．C αC．ABαD．AB∩α＝C2．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )A．3 B．4 C．5 D．63．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________部分．4．如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．【学后反思】【练案】一、基础过关1．下列图形中，不一定是平面图形的是( )A．三角形B．菱形C．梯形D．四边相等的四边形2．空间中，可以确定一个平面的条件是( )A．两条直线B．一点和一条直线C．一个三角形 D．三个点3．如图所示，用符号语言可表示为( )A．α∩β＝m，nα，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，nα，A m，A nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n4．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有( ) A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条 D．1条或2条或3条5．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．6．已知α∩β＝m，aα，bβ，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．7.如图，梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．二、能力提升8．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是( )A．0B．1C．1或4D．无法确定9．空间中A，B，C，D，E五个点，已知A，B，C，D在同一平面内，B，D，C，E在同一平面内，那么这五点( )A．共面B．不一定共面C．不共面D．以上都不对10．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是________．①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒aβ；②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN；③A∈α，A∈β⇒α∩β＝A；④A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合．11.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O1是A1C1与B1D1的交点，长方体体对角线A1C交截面AB1D1于点P.求证：O1，P，A三点在同一条直线上．12.已知a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线，求证：a，b，c，d共面．三、探究与拓展13.在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.求证：EF，GH，BD交于一点．。

高中数学 第2章《解析几何初步》2直线与圆、圆与圆的位置关系（2）
导学案 北师大版必修2
使用说明
1.课前根据学习目标，认真阅读课本第83页到第84页内容，完成预习引导的内容.
2.课堂上（最好在课前完成讨论）发挥学习小组作用，积极讨论，大胆展示，完成合作探究部分.
学习目标
1、能根据两个圆的方程，判断两个圆的位置关系；
2、能根据两个圆的位置关系，求有关直线或圆的方程；
学习重点 用两点间距离公式判断计算连心线长并判断两圆的位置关系.
学习难点 判断两圆的位置关系.
一、自主学习
【预习导引】
【基础演练】
1. 判断下列各题中两圆的位置关系：
（1）4)1y (1x 22=-+-）（和8)3y (x 2
2=-+；
（2）9)3y (2x 22=-++）（和06y 4x 4y x 22=++-+；
（3）08y 8x 2y x 22=-+++和02y 4x 4y x 22=--++
2. 已知两圆9y )3x (22=+-与m 4)2y (x 22+=-+，问m 为何值时，两圆外切.
二、合作探究
1.在直角坐标系中画出圆1)1y (1x 22=-+-）（与9)2y (x 22=-+的图形，并说明它们的位
置关系.
2. 已知两圆0x 6y x 22=-+与k y 4y x 2
2=-+，问k 为何值时，两圆相切.
3. 已知两圆10y x 22=+和20)3y (1x 22=-+-）（交于B ,A 两点，求直线AB 的方程.
四.收获及疑问
【小结】
1.圆与圆的位置关系：
2.圆与圆的位置关系的判定：
【疑问】。

高中数学 第2章《解析几何初步》1两条直线的位置关系导学案北师大版必修2【学习目标】1.理解两条直线平行与垂直的充要条件；2.能根据直线的方程判断两条直线的位置关系.【重点难点】重点：理解直线平行与垂直的充要条件，能判断两条直线的位置关系. 难点：直线斜率为零或不存在时的位置关系讨论.【自主学习】1.两条直线平行：如果两条不重合的直线1l ：11b x k y +=和2l ：22b x k y +=（21b b ≠）若12//l l ，则 ；反之，若21k k =，则 .如果两条直线的斜率都不存在，那么它们的位置关系是或 .2.两条直线垂直：设两条直线1l ：11b x k y +=和2l ：22b x k y +=若12l l ⊥，则 ；反之，若1-k k 21=∙，则 .特别地，如果一条直线1l 的斜率不存在．．．且方程为x=a ，另一条直线2l 的斜率为0且方程为y=b,那么它们的位置关系是 .3.判断下列各对直线是否平行或垂直：（1）1l ：2x 3y +=与2l ：5x 3y +=；（2）1l ：1x 2y +=与2l ：x 3y =；（3）1l ：6y 3x 5=+与2l ：5y 5x 3=-；（4）1l ：2x 4y +=与2l ：3x 41-y +=；（5）1l ：3y =与2l ：15x =（6）1l ：2x =与2l ：7x =【合作探究】1.已知直线09y 4x 3=--与02y 2ax =++垂直，求a 的值.2.求m 的值，使过点A(m,1),B(-1,m)的直线与过点P(1,2), Q(-5,0)的直线.（1）平行；（2）垂直.【课堂小结】。

§3　组合第1课时　组合与组合数公式1．理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系．(易混点)2．理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算．(重点)3．会解决一些简单的组合问题．(难点)[基础·初探]教材整理1　组合的概念阅读教材P 12～P 13“练习1”以上部分，完成下列问题．一般地，从n 个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素________，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．【答案】　为一组下面几个问题中属于组合问题的是( )①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组合无重复数字的两位数的方法．A ．①③B ．②④C ．①②D ．①②④【解析】　①②为组合问题，与顺序无关，③④为排列问题，与顺序有关．【答案】　C教材整理2　组合数的概念、公式、性质阅读教材P 13“练习1”以下至P 16部分，完成下列问题．组合数定义从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________的个数，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数表示法________乘积式C ＝________＝________mn 组合数公式阶乘式C ＝________mn 性质C ＝________，C ＝________mn m n ＋1备注①n，m∈N ＋且m≤n；②规定：C ＝10n 【答案】　所有组合　C mn Am nAm m C n n －1 n －2 … n －m ＋1 m ！n ！m ！ n －m ！n －m n C ＋C mn m －1n1．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________．【解析】　甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C ＝＝3.233×22【答案】　32．C ＝________，C ＝________.261718【解析】　C ＝＝15，266×52C ＝C ＝18.1718118【答案】　15　18[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]组合的概念　判断下列各事件是排列问题还是组合问题．(1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？【精彩点拨】　要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．【自主解答】　(1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别．1．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．2．区分有无顺序的方法把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．[再练一题]1．从5个不同的元素a ，b ，c ，d ，e 中取出2个，写出所有不同的组合．【解】　要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：由此可得所有的组合为ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de.组合数公式的应用　(1)式子可表示为( )n n ＋1 n ＋2 … n ＋100100！A ．A B ．C 100n ＋100100n ＋100C ．101C D ．101C 100n ＋100101n ＋100(2)求值：C ＋C .5－n n 9－n n ＋1【精彩点拨】　根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明．【自主解答】　(1)分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n ＋100，最小的为n ，故n n ＋1 n ＋2 … n ＋100 100！＝101·n n ＋1 n ＋2 … n ＋100101！＝101C .101n ＋100【答案】　D (2)由组合数定义知：Error!所以4≤n≤5，又因为n∈N ＋，所以n ＝4或5.当n ＝4时，C ＋C ＝C ＋C ＝5；5－n n 9－n n ＋1145当n ＝5时，C ＋C ＝C ＋C ＝16.5－n n 9－n n ＋10546关于组合数计算公式的选取1．涉及具体数字的可以直接用公式C ＝＝计m n Am n Am m n n －1 n －2 … n －m ＋1m ！算．2．涉及字母的可以用阶乘式C ＝计算．mn n ！m ！ n －m ！3．计算时应注意利用组合数的性质C ＝C 简化运算．mn n －m n[再练一题]2．求等式＝中的n 值．C 5n －1＋C 3n －3C 3n －3195【解】　原方程可变形为＋1＝，C ＝C ，C 5n －1C 3n －31955n －11453n －3即n －1 n －2 n －3 n －4 n －5 5！＝·，化简整理，得n 2－3n －54＝0.解此二次方程，得145 n －3 n －4 n －5 3！n ＝9或n ＝－6(不合题意，舍去)，所以n ＝9为所求．[探究共研型]组合的性质探究1　试用两种方法求：从a ，b ，c ，d ，e 5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？【提示】　法一：从5人中选出3人参加数学竞赛，剩余2人参加英语竞赛，共C ＝35＝10(种)选法．5×4×33×2×1法二：从5人中选出2人参加英语竞赛，剩余3人参加数学竞赛，共C ＝＝10(种)不同选法．255×42经求解发现C ＝C .推广到一般结论有C ＝C .3525m n n －m n 探究2　从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？【提示】　共有C ＝＝210(种)选法．61010×9×8×7×6×56×5×4×3×2×1探究3　在探究2中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？由探究2、3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？【提示】　若队长必须参加，共C ＝126(种)选法．若队长不能参加，共C ＝84(种)5969选法．由探究2、3发现从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类加法计数原理可得：C ＝C ＋C .6105969一般地：C ＝C ＋C .m n ＋1m n m －1n (1)计算C ＋C ＋C ＋…＋C 的值为( )34353632 016A ．C B ．C 42 01752 017C ．C －1D ．C －142 01752 017(2)解方程3C ＝5A ；7x －32x －4(3)解不等式C ＞C .4n 6n 【精彩点拨】　恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式．【自主解答】　(1)C ＋C ＋C ＋…＋C 34353632 016＝C ＋C ＋C ＋…＋C 2 016－C 4343534＝C ＋C ＋...＋C －1＝ (4)53532 016＝C ＋C －1＝C －1.42 01632 01642 017【答案】　C(2)由排列数和组合数公式，原方程可化为3·＝5·， x －3 ！ x －7 ！4！ x －4 ！ x －6 ！则＝，即为(x －3)(x －6)＝40.3 x －3 4！5x －6∴x 2－9x －22＝0，解得x ＝11或x ＝－2.经检验知x ＝11是原方程的根，x ＝－2是原方程的增根．∴方程的根为x ＝11.(3)由C ＞C ，得4n 6n Error!⇒Error!⇒Error!又n∈N ＋，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．1．性质“C ＝C ”的意义及作用mn n －m n2．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C 中的m∈N ＋，n∈N ＋，且n≥m 确定m ，n 的范围，因此求解后要m n 验证所得结果是否符合题意．[再练一题]3．(1)化简：C －C ＋C ＝________；9m 9m ＋18m (2)已知C －C ＝C ，求n 的值．7n ＋17n 8n 【解析】　(1)原式＝(C ＋C )－C ＝C －C ＝0.9m 8m 9m ＋19m ＋19m ＋1【答案】　0(2)根据题意，C －C ＝C ，7n ＋17n 8n 变形可得C ＝C ＋C ，7n ＋18n 7n由组合数的性质，可得C ＝C ，故8＋7＝n ＋1，7n ＋18n ＋1解得n ＝14.[构建·体系]1．下列四个问题属于组合问题的是( )A ．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作B ．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数C ．从全班同学中选出3名同学出席深圳世界大学生运动会开幕式D ．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员【解析】　A ，B ，D 项均为排列问题，只有C 项是组合问题．【答案】　C2．若A ＝12C ，则n 等于( )3n 2n A ．8 B ．5或6C ． 3或4D ．4【解析】　A ＝n(n －1)(n －2)，C ＝n(n －1)，3n 2n 12所以n(n －1)(n －2)＝12×n(n －1)．12由n∈N ＋，且n≥3，解得n ＝8.【答案】　A3．C ＋C 的值为________. 【导学号：62690012】5868【解析】　C ＋C ＝C ＝＝＝84.5868699！6！×3！9×8×73×2×1【答案】　844．6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手______次．【解析】　每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手C ＝15次．26【答案】　155．已知C ，C ，C 成等差数列，求C 的值．4n 5n 6n 12n 【解】　由已知得2C ＝C ＋C ，5n 4n 6n 所以2·＝＋，n ！5！ n －5 ！n ！4！ n －4 ！n ！6！ n －6 ！整理得n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14，要求C 的值，故n≥12，所以n ＝14，12n 于是C ＝C ＝＝91.121421414×132×1我还有这些不足：(1)　(2)　我的课下提升方案：(1)　(2)　学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．以下四个命题，属于组合问题的是( )A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C ．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D ．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地【解析】　从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．【答案】　C2．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为( )A ．4B ．8C ．28D ．64【解析】　由于“村村通”公路的修建，是组合问题．故共需要建C ＝28条公路．28【答案】　C3．组合数C (n>r≥1，n ，r∈N ＋)恒等于( )r n A.C B ．(n ＋1)(r ＋1)C r ＋1n ＋1r n －1r n －1C ．nrC D.C r n－1nr r n－1【解析】　C ＝·＝＝C .n r r n －1n r n －1 ！ r －1 ！ n －r ！n ！r ！ n －r ！r n 【答案】　D4．满足方程Cx 2－x 16＝C 的x 值为( )5x －516A ．1,3,5，－7B ．1,3C ．1,3,5D ．3,5【解析】　依题意，有x 2－x ＝5x －5或x 2－x ＋5x －5＝16，解得x ＝1或x ＝5；x ＝－7或x ＝3，经检验知，只有x ＝1或x ＝3符合题意．【答案】　B5．异面直线a ，b 上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是( )A ．20B ．9 C ．C D ．C C ＋C C 3924152514【解析】　分两类：第1类，在直线a 上任取一点，与直线b 可确定C 个平面；第214类，在直线b 上任取一点，与直线a 可确定C 个平面．故可确定C ＋C ＝9个不同的平151415面．【答案】　B 二、填空题6．C ＋C ＋C ＋…＋C 的值等于________．0314251821【解析】　原式＝C ＋C ＋C ＋…＋C ＝C ＋C ＋…＋C ＝C ＋C ＝C ＝C ＝7 041425182115251821172118211822422315.【答案】　7 3157．设集合A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，则集合A 中含有3个元素的子集共有________个.【导学号：62690013】【解析】　从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A 的子集，则共有C ＝10个35子集．【答案】　108．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)【解析】　从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C ＝210种分法．410【答案】　210三、解答题9．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？【解】　从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的最小三位数共有C ＝＝20个．366×5×43×2×110．(1)求式子－＝中的x ；1Cx 51Cx 6710Cx 7(2)解不等式C >3C .m －18m 8【解】　(1)原式可化为：－＝，∵0≤x≤5，∴x 2－23x ＋42＝0，x ！ 5－x ！5！x ！ 6－x ！6！7·x ！ 7－x ！10·7！∴x＝21(舍去)或x ＝2，即x ＝2为原方程的解．(2)由>，8！ m －1 ！ 9－m ！3×8！m ！ 8－m ！得>，∴m>27－3m ，19－m 3m ∴m>＝7－.27414又∵0≤m－1≤8，且0≤m≤8，m∈N，即7≤m≤8，∴m＝7或8.[能力提升]1．已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有( )A ．36个B ．72个C ．63个D ．126个【解析】　此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点23个数即为所求，所以交点为C ＝126个．49【答案】　D2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有( ) 【导学号：62690014】A ．140种B ．84种C ．70种D ．35种【解析】　可分两类：第一类，甲型1台、乙型2台，有C ·C ＝4×10＝40(种)取1425法，第二类，甲型2台、乙型1台，有C ·C ＝6×5＝30(种)取法，共有70种不同的取2415法．【答案】　C3．对所有满足1≤m<n≤5的自然数m ，n ，方程x 2＋C y 2＝1所表示的不同椭圆的个数mn 为________．【解析】　∵1≤m<n≤5，所以C 可以是mn C ，C ，C ，C ，C ，C ，C ，C ，C ，C ，其中C ＝C ，C ＝C ，C ＝C ，C ＝C ，∴121323142434152535451323143415452535方程x 2＋C y 2＝1能表示的不同椭圆有6个．mn 【答案】　64．证明：C ＝C .mn nn －m m n －1【证明】　C ＝·n n －m m n －1n n －m n －1 ！m ！ n －1－m ！＝n ！m ！ n －m ！＝C .mn。