高中数学学案：《空间几何体的体积》必修二

江苏省涟水县第一中学高中数学 空间几何体的体积（一）教学案 苏教版必修2总 课 题 空间几何体的表面积和体积总课时 第16课时 分 课 题分课时第 2 课时教学目标 了解柱、锥、台、球体积的计算公式． 重点难点 柱、锥、台、球体积计算公式的运用．引入新课1．圆锥形烟囱的底面半径是cm 40，高是cm 30．已知每平方米需要油漆g 150，油漆100个这样的烟囱帽的外表面，共需油漆多少千克？（π取14.3，精确到kg 1.0）2．某长方体纸盒的长、宽、高分别为cm 7，cm 5，cm 4，则每层有57⨯个单位正方体，共有4层，因此它的体积为______________________．设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，那么它的体积为________或________． 3．柱体、锥体、台体、球的体积公式：=柱体V ____________________________________________． =锥体V ____________________________________________． =台体V ____________________________________________． =球V _____________________________________________．4．球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大圆的半径等于球半径．球的表面积公式为______________________；这表明球的表面积是球大圆面积的4倍． 例题剖析例 1 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯（如图）共重kg 6．已知毛坯底面正六边形边长是mm 12，高是mm 10，内孔直径是mm 10．那么这堆毛坯约有多少个？（铁的密度是3/8.7cm g ）例2 （12江苏）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =， 则四棱锥11A BB D D -的体积为 cm 3．巩固练习1． 用一张长cm 12、宽cm 8的矩形铁皮围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积．2．已知一个铜质的五棱柱的底面积为216cm ，高为cm 4，现将它熔化后铸成一个正方体铜块，那么铸成的铜块的棱长为多少（不计损耗）？3．若一个六棱锥的高为cm 10，底面是边长为cm 6的正六边形，求这个六棱锥的体积．课堂小结柱、锥、台、球体积计算公式的运用．ABC PO班级：高一（____）班 姓名：____________一 基础题1．圆台上下底面直径分别为cm 10，cm 20，高为cm 2，则圆台的体积为_______3cm ．2．已知矩形的长为a 2，宽为a ，将此矩形卷成一个圆柱，则此圆柱的体积为______．3．长方体相邻的三个面的面积分别为2，3和6，则该长方体的体积为_____．4．若一个圆台的下底面面积是上底面面积的4倍，高是cm 3，体积是363cm π， 则圆台的侧面积是____________．5．若一圆锥的轴截面是边长为a 的正三角形，则该圆锥的内切球的体积为_____．6．已知正三棱锥的侧面积为318，高为3，求它的体积．7．若干体积的水倒入底面半径为cm 2的圆柱形器皿中，量得水平面的高度为cm 6， 若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥器皿中，求水面的高度．。

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积(2)编制：闫利编制时刻：9月5日利用：高二(一、2)班编号：7 学习目标:能够正确应用公式解决柱体、锥体、台体表面积和体积的有关计算问题.自主探讨：例1、(1)正方形边长扩大到原来的n倍,其面积扩大到原来的_____倍; 正方体棱长扩大到原来的n倍,其表面积扩大到原来的_____倍,体积扩大到原来的_____倍.(2)圆半径扩大到原来的n倍,其面积扩大到原来的_____倍; 球半径扩大到原来的n倍,其表面积扩大到原来的_____倍,体积扩大到原来的_____倍.(3)圆柱的底面不变,体积扩大到原来的n倍,则高扩大到原来的______倍; 反之,高不变,底面半径应扩大到原来的_____倍.例2、已知正三棱锥V-ABC中，V A=VB=VC=4，AB=AC=BC=23，求该三棱锥的表面积S和体积V。

A B变式一、如图，长方体ABCD-A’B’C’D’中，截下一个棱锥C-A’DD’，则棱锥C-A’DD’的体积与剩余部份的体积之比为.例3、在Rt△ABC中,AB=3, BC=4,∠B=900，把△ABC绕其斜边AC所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？表面积是多少？例5、已知圆台的上下底面半径别离是2,6，且侧面面积等于两底面面积之和(1)求该圆台的母线长； (2)求该圆台的体积变式一、圆台的上下底面半径和高的比为1:4:4，若母线长为10，则圆台的表面积为 ；变式二、一个正四棱台,其上下底面均为正方形，边长别离为8cm 和18cm ，侧棱长为13cm ，则表面积为 .例4侧视图 俯视图 正视图 侧视图 俯视图 (2). 如图,在四边形ABCD中,0120,=∠⊥ADCADAB,AB=36,CD=4, AD=2, 求四边形ABCD绕AD所在的直线旋转一周所成几何体的表面积和体积.CDA B. 已知正三棱台的上、下底面边长别离是4和6，侧棱长为3，则它的体积是____________ AA C。

课题：空间几何体的体积
一、教学目标：
⒈知识目标：掌握棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积的推导方法，理解祖暅原理，会应用棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式。

⒉能力目标：通过学习祖暅原理，理解祖暅原理的内涵，体验空间与平面问题互相转化的方法，体会到复杂的体积问题怎样转化为简单的体积问题而得到解决，从而提高学生的数学思维能力。

⒊德育目标：学生通过学习祖暅原理，了解我国古代数学家在这方面作出的突出成就，受到爱国主义教育，提高学习数学的兴趣。

二、教学重点与难点：
重点是棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式的推导方法。

难点是对祖暅原理的理解和棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式的应用。

三、教学方法与教学手段：
教学方法：本节课的课型为“新授课”。

虽然学生初中已经学习了圆柱、圆锥的体积的公式，但用的是实验验证的方法，并没有从根本上理解圆柱、圆锥的体积公式的由来，本课采用推导的方法，以长方体的体积公式和祖暅原理为基础推导出几种几何体的体积公式，通过不同形式的探究过程，让学生积极参与到教学活动中来，并且始终处于积极的问题探究和辨析思考的学习气氛中。

教学手段：采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提高效率。

四、教学过程：。

高中数学：1.3《空间几何体的体积2》教案（苏教版必修2）总课题空间几何体的表面积和体积总课时第17课时分课题空间几何体的体积(二)分课时第 2 课时教学目标初步掌握求体积的常规方法，例如割补法，等积转换等．重点难点割补法，等积转换等方法的运用．?引入新课1．如图，在三棱锥中，已知，，，，且．求证：三棱锥的体积为．2．一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果将冰淇淋全部放入杯中，能放下吗？?例题剖析例1 将半径分别为、、的三个锡球熔成一个大锡球，求这个大锡球的表面积．?巩固练习1．两个球的体积之比为，则这两个球的表面积之比是_____________________．2．若两个球的表面积之差为，两球面上两个大圆周长之和为，则这两球的半径之差为_____________________________．3．如果一个圆柱和一个圆锥的底面直径和高都与球的直径相等．求证：圆柱、球、圆锥体积的比是．?课堂小结割补法，等积转换等方法的运用．?课后训练一基础题1．一个圆锥的底面半径和一个球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为______．2．球面面积膨胀为原来的两倍，其体积变为原来的______________________倍．3．正方体的全面积为，一个球内切于该正方体，那么球的体积是________．4．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为，则这个球的表面积为_______．5．已知：是棱长为的正方体，，分别为棱与的中点，求四棱锥的体积．二提高题6．一个长、宽、高分别为、、的水槽中有水．现放入一个直径为的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中流出？三能力题7．设，，，分别为四面体中，，，的中点．求证：四面体被平面分成等积的两部分．。

江苏省涟水县第一中学高中数学 空间几何体的体积（二）教学案 苏教版必修2总 课 题 空间几何体的表面积和体积总课时 第17课时 分 课 题分课时第 2 课时教学目标 初步掌握求体积的常规方法，例如割补法，等积转换等． 重点难点 割补法，等积转换等方法的运用．引入新课1．如图，在三棱锥ABC P -中，已知BC PA ⊥，l BC PA ==，ED PA ⊥，ED BC ⊥，且h ED =．求证：三棱锥ABC P -的体积为h l V 261=．2．一个圆锥形的空杯子上放着一个半球形的冰激淋，其中球的半径为4cm ， 圆锥的高为12cm ，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗? 例题剖析例1 将半径分别为cm 1、cm 2、cm 3的三个锡球熔成一个大锡球，求这个大锡球的表面积．例2.（13江苏）如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，， 的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ， 则=21:V V ．巩固练习1．两个球的体积之比为27:8，则这两个球的表面积之比是________________． 2．若两个球的表面积之差为π48，两球面上两个大圆周长之和为π12，则这两球 的半径之差为__________________________．3．如果一个圆柱和一个圆锥的底面直径和高都与球的直径相等． 求证：圆柱、球、圆锥体积的比是1:2:3． 课堂小结割补法，等积转换等方法的运用．班级：高一（____）班 姓名：____________一 基础题1．一个圆锥的底面半径和一个球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比 为_ ．3．正方体的全面积为224cm ，一个球内切于该正方体，那么球的体积是____3cm ． 4．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为cm 4，则这个球的表面积为____2cm ． 5．已知：1111D C B A ABCD -是棱长为a 的正方体，E ，F 分别为棱1AA 与1CC 的中点，求四棱锥11EBFD A -的体积．6．如图，三棱锥S ABC -中，已知SA BC ⊥，SA BC a ==，SA DE ⊥，BC DE ⊥，且DE b =，求三棱锥S ABC -的体积．ABCD E S。

1.3.2空间几何体的体积（2）从容说课本课教学的主要内容是：探究球体的体积及表面积计算公式，并能运用柱、锥、台、球的体积计算公式综合解决一些具体的求解体积的问题.球体是异于柱、锥、台的一类特殊的几何体，也是我们生活中比较常见的几何体，对于球的体积计算公式的推导的教学，可以让学生经历“倒沙实验”，通过直观感知发现半球体的体积等于底面半径和高都为球半径的圆柱与圆锥的体积之差.对于球的表面积计算公式的探求，教材中是通过“准锥体”的介绍，让学生体会“无穷”“极限”的思想，教学时应以讲解为主，并注意讲解的速度，让学生慢慢去体会.例2是对物体的三视图、物体直观图的画法以及组合体的体积计算的知识的综合应用，教学时应先组织学生回顾有关知识，并结合这些知识的复习，根据物体的三视图画出物体的直观图，进而分析组合体的结构特征，将其转化为计算柱、锥、台、球等常见几何体的体积.教学重点1.球的体积计算公式及表面积计算公式.2.柱、锥、台、球的体积计算公式的综合应用.教学难点在球的体积、表面积计算公式的推导过程中体会“无穷”“极限”的思想.教具准备多媒体课件、半球面模型、半径和高都等于球半径的圆柱和圆锥、投影仪、打印好的作业.课时安排 1课时三维目标一、知识与技能1.了解球的体积及表面积计算公式的推导过程，能用球的表面积和体积计算公式解决有关问题.2.能用柱、锥、台、球等几何体的体积计算公式解决有关组合体的体积计算问题.二、过程与方法1.通过师生之间、学生与学生之间互相交流，培养学生做一个会与别人共同学习的人.2.通过探究、思考解答例2，培养学生理性思维能力、空间想象能力、观察能力以及判断能力.3.通过推导球的表面积计算公式，学生体会“无穷”“极限”的思想.三、情感态度与价值观1.通过探求球的体积计算公式，培养学生动手实验的能力，体会知识之间的有机联系.2.在教学过程中，通过学生的相互交流，解答例2，增强学生数学交流能力和数学地分析问题、解决问题的能力.3.通过指导学生阅读“体积的近似计算”,让学生不断了解数学、走进数学，增强学生的数学素养，激发学生学习数学的热情.教学过程导入新课师前面我们分别研究了空间中的三类几何体——柱体、锥体、台体的侧面积和体积计算公式,你还记得这些吗？(生口答，师简单板书)师它们的侧面几何体积计算公式的推导过程你还有印象吗？(生互相交流，复习旧知)师在空间中还有哪一类几何体的表面积和体积我们没有研究呢？生球体.师球表面积和体积计算公式是怎样的?能否用同样的方法来研究球的表面积和体积呢？(生思考)师这就是我们本节课所研究的内容.(引入新课)推进新课(一)探究球的体积计算公式师同学们，你们还记得柱体和锥体的体积计算公式的推导方法吗？生根据“同底面积等高的两个几何体体积相等”即祖暅原理推导的.师怎样推导球体的体积计算公式呢？生根据祖暅原理.师你能找到这样的几何模型吗？(生思考)师请同学们拿出你事先准备好的圆柱、圆锥和半球模型.你还记得这些模型之间有什么关系吗？生球的半径与圆柱、圆锥的高和底面半径都相等.师很好，请同学们将圆锥放进圆柱模型中，使圆锥模型的底和圆柱模型的底重合，并给圆柱形模型内装满沙子.(生动手操作)师都准备好了吗？生准备好了.师请把圆柱形模型中的沙子全倒进半球形模型中.(同桌合作完成)师你发现了什么？生刚好倒满.师这一结果说明了什么？生说明它们的体积相等.师你能说得更具体一些吗？(生讨论交流，得出如下结论)21V 球＝πR 2·R -31πR 2·R=32πR 3. 师你能从中得到球的体积计算公式吗？(生讨论得出公式)球的体积计算公式：V 球＝34πR 3. （二）探究球的表面积计算公式师我们已经通过实验求得球的体积计算公式，那么如何求得球的表面积呢？请同学们各抒己见.生可以仿照圆柱、圆锥和圆台的侧面积的求法，设法剪开球面，使其展成平面图形而求得结果.师如果球的表面能展开的话，将会形成怎样的平面图形呢？生如果像家里削水果皮那样（想象水果是个球体），球的表面就会被削下来，然后展开，再进行计算.生削下来的球表面是螺旋状连接的，根本无法展平.另外，条形表面也有一定的弯曲度. 生那可以把条形表面尽可能地削得窄一点，弯曲度也会随之变小，也就接近平面图形了. 生（好像受到了启发）我们要求球的表面积，可以先求半球面的大小,用一组平行于底面圆的平面去截球面，随着平行平面间距离的逐渐减小，原来弯曲的球面就转化为一组圆柱侧面的总和，圆柱侧面积有计算公式，那么再找到这一组圆柱侧面积之间的大小关系，最后求出这所有圆柱侧面积之和，我们要求的球表面积就可以解决了.生我想用一些很小的正方形去贴满球体表面，那么只要求出这些小正方形的面积和，问题也可以解决.……师同学们的想法都很好.要求球的表面积不再能简单地利用已学过的几何体侧面展开的办法了，因为对球体而言，无论怎样剪开，它还是曲面，不可能成为平面图形.大家可以来仔细分析一下刚才几位同学的解题方案，都有一个共同的想法，这就是我们将要在高二进一步学习的极限思想.若把球表面无限分割，将会得到许多近似于平面图形的图形.问题解决已有些眉目，再让咱们大家集思广益，完善求解方法.(生深思)师看来这个问题要解决还是有一定的困难，请同学们回忆一下，在平面几何的学习过程中，求圆的周长公式，我们采取了什么办法？生是用圆内接正多边形的周长来近似地表示它的.师当边数逐渐增加时，正多边形的周长就越来越接近圆的周长.当边数无限增加时，圆内接正多边形的周长就是圆的周长，这正是“以直代曲”的尝试.我们是否可以对此方法稍加改造，来完成球的表面积计算公式的推导？(生思考)师刚才已经有同学提到用一些很小的正方形去贴满球体表面，那么只要求出这些小正方形的面积和，就可以求出球的表面积.怎样把球的表面积和球的其他量联系起来呢？ (生思考)师如果说球的表面积会和球体的其他量联系起来的话，这个量会是谁呢？生球的半径.师怎样才能和球的半径联系上呢？(生讨论交流)师如果连结球体在其面上的小正方形的定点和球心的连线，将会得到怎样的几何体？ (生讨论交流，得出结论)师这些“准”锥体的底面并不是真正的多边形，怎样才能使得这些准锥体更接近于锥体呢？(生讨论交流，引出“极限”的思想)师当这些“准锥体”的底面足够小的时候，就可以近似地看成棱锥.此时这些准棱锥的高是多少呢？(生思考)师若设这些准锥体的底面积分别为S 1、S 2、S 3, …且它们的和趋于球的表面积,于是就有： 球面球＝RS RS RS V R 31313134323=++= π. 师从此能得到球的表面积计算公式吗？(生讨论抽象出公式)球的表面积计算公式：它表明球的表面积是球的大圆面积的4倍.球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大圆的半径等于球半径.师球的表面积由几个几何量来确定？生球的表面积只由球半径的大小决定.S 球面=4πR 2.（三）公式的应用【例1】半径是R的球，如果半径发生了下述变化，则其体积分别增加了多少倍？(1)半径增大到原来的2倍；(2)半径增大了2倍.分析:“增大到”与“增大了”是两个不同的概念.前者是指最终结果，后者还必须再加上原来的一份.解:设变化前后球的体积分别为V,V′，(1)由题意知变化后球的半径为2R，∴V′∶V=(2R)3∶R3=8∶1.∴(V′-V)∶V=7.体积增加了7倍.(2)由题意知变化后球的半径为R+2R=3R，∴V′∶V=(3R)3∶R3=27∶1.∴(V′-V)∶V=26.体积增加了26倍.师解决这类表面积、体积变化问题时，球的体积比必须转化为半径的立方比，球的表面积的比必须转化为半径的平方比.若将球的表面积扩大到原来的3倍，则其半径变为原来的多少倍？体积变为原来的多少倍？【例2】两个球的体积和为12π，这两个球的大圆周长和为6π，求大球的半径与小球的半径差.【例3】一个正方体内接于半径为R的球内，求正方体的体积.解：因为正方体内接于球内，所以正方体的8个定点均在球面上，又正方体和球体都是中心对称图形，所以它们的对称中心必然重合，即球心就是正方体的中心，设正方体的棱长为a，则2R=3a,a=332R.所以，正方体的体积为V=a3=(332R)3=938R3评注:解答该题的关键是根据正方体与球体这两个特殊几何体的性质，找出球体的半径和正方体棱长之间的关系.探究:若一个球和正方体的六个面都相切，求正方体的体积与球的体积的比.【例4】课本第56页例题2.(生组织学生研究图形的结构特征，运用有关知识加以解决)（四）目标检测1.课本练习4、5、6.2.若把一个球的半径扩大为原来的2倍,则球的体积比原来增加的倍数为()A.2倍B.4倍C.22倍D.(22-1)倍3.设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是()A.86πB.646πC.242πD.722π4.（2004江苏高考,4）一个平面截一个球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm，则该球的体积是()A.3100π cm 3B.3208π cm 3C.3500π cm 3D.33416π cm 3 课堂小结球的表面积、体积的计算公式及其应用.布置作业1.课本第60页习题1.3第9、10题.板书设计1.3.2空间几何体的体积(2)球的体积及表面积计算公式公式的应用(例题及学生练习)课堂小结与布置作业活动与探究1.阅读课本57页“体积的近似计算”.2.完成课本第61页第11题.3.已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，这样的三棱柱能否放进一个体积为16π的小球.3.提示:设球半径为R,则34πR 3=16π,R=433,而正三棱柱底面内切圆半径r=63.由于R 6=641294962⨯＝,r 6=24312962766⨯＝,R 6>r 6,∴R>r,不能放进一个体积为16π的小球. 备课资料典型习题1.棱长为a 的正方体内有一个球与这个正方体的12条棱都相切，则这个球的体积是（）A.4πa 3B.4π a 3C.32π a 3D.42π a 3 答案:C2.三棱锥P —ABC 内接于一个球，其底面边长为a ，侧面与底面所成的角为α，求球的体积.答案:(1)设H 是正△ABC 中心,D 是BC 中点,连结P H 并延长交球面于Q ,则P H⊥底面ABC ,PQ 是球的直径.AD ⊥BC ,PD ⊥BC ,则∠PDA 是三棱锥的侧面与底面所成的角,∴∠PDA =α.∵AB =a,∴DH =63a,AH =33 a. P H=63a·ta N α,H Q =2R-63a·ta N α. 又PQ 为球的直径,∠P A Q =90°,由射影定理知AH 2=PH ·HQ ,即(33a)2=63a·ta N α(2R-63a·ta N α). ∴R=ααtan 344tan 2+a,球的体积V=32)tan 4tan (4323a ααπ+. 3.正三棱柱内有一个内切球，已知这个正三棱柱的底面边长为a ，求球的体积.提示:设球半径为R,球心到较近的截面距离为x ,则⎪⎩⎪⎨⎧=++=+22225)1(,8R x R x .得R=3,V=36π.。

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积(1)
编制：闫利编制时间：9月4日使用：高二(1、2)班编号：6 学习目标：掌握柱、锥、台表面积、体积的计算公式并会灵活运用，会求简单组合体的表面积和体积。

一、 自主学习：学习教材P23-26内容
1.棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？
自学P24例1.
2. 圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？
=圆柱侧S ____________; =圆柱表S
=圆锥侧S ____________; =圆锥表S
=圆台侧S ____________; =圆台表S
自学P25例2.
3. 柱体、锥体、台体的体积如何计算？（分别写出计算公式）
=柱体V ____________
=锥体V ____________
=台体V ____________
自学P26例3.
4. 组合体的表面积和体积如何计算？
二、思维拓展：
1. 已知几何体的三视图如图所示, 求该几何体的表面积和体积.
2. 如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其中有一个高为xcm的内接圆柱（1）试用x表示圆柱的侧面积
（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？。

高中数学必修二 空间几何体的体积学案1．3.2 空间几何体的体积空间几何体的度量是几何研究的重要内容之一，在生活中有着重要应用的不仅是度量几何体的表面积还有度量体积．如下图，在一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？在实际操作中如何解答呢？1．几何体的体积是几何体占有空间部分的大小，其主要性质有：①完全相同的几何体的体积相等；②体积相等的几何体叫等积体；③两个等积体的形状不一定相同；④底面积相等、高相等的两个柱体(或锥体)体积相等．2．①棱柱的体积公式：V 棱柱＝Sh (S 为底面面积，h 为柱体的高)； ②棱锥的体积公式：V 棱锥＝13Sh (S 为底面面积，h 为棱锥的高)；③棱台的体积公式：V 3S ′、S 为两底面面积，h为棱台的高)．3．①圆柱的体积公式：V 圆柱＝Sh ＝πR 2h (R 为底面圆的半径，h 为圆柱的高)；②圆锥的体积公式：V 圆锥＝13Sh ＝13πR 2h (R 为底面圆的半径，h 为圆锥的高)；③圆台的体积公式：V 3＝13π(r 2＋rR ＋R 2)h (r 、R为两底面圆半径，h 为圆台的高)．4．球的体积公式：V 球＝43πR 3(R 为球半径)，表面积公式为：S 球＝4πR 2．棱体、锥体、台体和球的体积公式 ①柱体的体积公式：V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为柱体的高)；②锥体的体积公式：V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为锥体的高)；③台体的体积公式：V 台体＝13(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′、S 为两底面面积，h 为台体的高)；④球体的体积公式：V 球＝43πR 3(R 为球半径)．祖暅原理——“幂势既同，则积不容异”是推出以上公式的基础，由此我们不难概括出多面体和旋转体的体积性质：①完全相同的几何体的体积相等；②体积相等的几何体叫等积体；③两个等积体的形状不一定相同；④底面积相等、高相等的两个柱体(或锥体)体积相等．等积转化是今后求相关几何体的体积的重要策略．对于柱、锥、台的体积公式可以从它们间的转化关系上加强记忆：对于球体的体积公式可以类比锥体的体积公式形象地记忆为13(4πR2)·R，其中4πR2为球的表面积．基础巩固知识点一棱柱、棱锥和棱台的体积1．(2014·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是(B)A．72 cm3 B．90 cm3C ．108 cm3D ．138 cm3解析：先根据三视图画出几何体，再利用体积公式求解．该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示． V ＝V 三棱柱＋V 长方体＝12×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm3)．2．已知高为3的直棱柱ABCA 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如右图所示)，则三棱锥B 1ABC 的体积为________．解析：∵S △ABC ＝34×12＝34，B 1到底面ABC 的距离即为三棱锥的高等于3，∴VB 1－ABC ＝13S △ABC ·h ＝13×34×3＝34.答案：343．已知某个几何体的三视图如下图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．解析：由三视图知几何体为四棱锥，底面为边长等于20 cm 的正方形，高为20 cm.故V ＝13×202×20＝8 0003(cm3)．答案：8 0003 cm3知识点二 圆柱、圆锥和圆台的体积4．圆台OO ′的上、下底面半径分别为1和2，高为6，则其体积为________． 解析：由圆台的体积公式得：V ＝13π(r 2＋rR ＋R 2)h ＝14π.答案：14π5．圆锥的母线长为l ，高为12l ，则过圆锥顶点的最大截面面积为________．解析：易得圆锥底面半径为32l ，故轴截面的顶角为23π，从而过圆锥顶点的最大截面是顶角为π2的等腰直角三角形．答案：12l 26．(2014·天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.解析：根据三视图还原出几何体，利用圆柱和圆锥的体积公式求解． 根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4 m ，高为2 m 的圆锥，下部是一个底面直径为2 m ，高为4 m 的圆柱．故该几何体的体积V ＝13π×22×2＋π×12×4＝203π(m3)．答案：203π知识点三 球的表面积和体积7．两球的体积之和是12π，它们的大圆周长之和是6π，则两球的半径之差是________．解析：设两球半径分别为r 1、r 2，则 ⎩⎪⎨⎪⎧43πr 13＋43πr 23＝12π，2π（r 1＋r 2）＝6π.∴r 1＝1，r 2＝2.故r 2－r 1＝1. 答案：18．把半径分别为3 cm 、4 cm 、5 cm 的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为________．解析：由体积公式得43πR 3＝43π×33＋43π×43＋43π×53，R ＝6 cm. 答案：6 cm9．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，求球的表面积和体积．解析：如右图，设球的半径为R ，则O ′O ＝12R ，由AB ＝BC ＝CA ＝2，得小圆半径r ＝23×32×2＝233，则32R ＝233，R ＝43，故S 球＝4πR 2＝649π，V 球＝43πR 3＝25681π.∴球的表面积为649π，体积为25681π.能力升级综合点一 多面体体积的综合应用10．在三棱锥ABCD 中，P 、Q 分别在棱AC 、BD 上，连接AQ 、CQ 、BP 、PQ ，若三棱锥ABPQ 、BCPQ 、CDPQ 的体积分别为6、2、8，则三棱锥ABCD 的体积为________．解析：如右图，VA －BPQVB －CPQ ＝62，VB －APQVB －CPQ ＝S △APQS △CPQ ＝62，类似地VA －DPQVCDPQ ＝VDAPQVDCPQ ＝S △APQS △CPQ ＝62. 其中VCDPQ ＝8. ∴VA －DPQ 8＝62.∴VA －DPQ ＝24.∴VA －BDC ＝6＋2＋8＋24＝40. 答案：4011．如下图，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面一边A 1B 1作一个平行于对棱AB 的平面A 1B 1EF ，这个平面分三棱台成两部分的体积之比为________．解析：设棱台的高为h ，上底面积为S ，则下底面积为4S . ∴V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，V 柱A 1B 1C 1FEC ＝Sh .∴V 柱A 1B 1C 1FEC V 台－V 柱A 1B 1C 1FEC ＝Sh 73Sh －Sh＝34.答案：34或43综合点二 旋转体体积的综合应用12．把一个圆分为两个扇形，一个顶角为120°，另一个顶角为240°，把它们卷成两个圆锥，则两个圆锥的体积之比为________．解析：设圆的半径为R ，则第一个圆锥底面周长为C 1＝2πR 3，∴r 1＝R3.同理，C 2＝4πR 3，∴r 2＝2R 3.又母线为R ，∴h 1＝223R ，h 2＝53R .∴V 1＝13πr 12h 1＝2281πR 3，V 2＝13πr 22h 2＝4581πR 3.故V 1V 2＝1 10. 答案：1 1013．如右下图，在等腰三角形ABC 中，E 、F 分别为两腰AB 、AC 的中点，AD ⊥BC ，EH ⊥BC ，FG ⊥BC ，D 、H 、G 分别为垂足，若将三角形ABC 绕AD 旋转一周所得的圆锥的体积为V ，求其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与V 的比值．解析：由题意画出图形，如图，设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则圆柱的高为h 2，底面半径为r2.所以V －V 柱V ＝1－V 柱V ＝1－π⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22·h213πr 2h ＝1－38＝58.综合点三 实际制作中的圆锥体积14．如下图，在边长为23的正方形中，剪下了一个扇形和一个圆，以此扇形和圆分别作圆锥的侧面和底面，求所围成的圆锥的体积．解析：设扇形半径为x ，圆的半径为r ，则扇形弧长等于圆的周长，即14×2x＝2r ，∴x ＝4r .又AC ＝x ＋r ＋2r ＝232，∴r ＝2325＋2＝52－2.∴圆锥的高h ＝x 2－r 2＝15r ＝15×(52－2)． ∴圆锥体积V ＝13πr 2×h ＝13π×(52－2)2×15×(52－2) ＝153×(52－2)3π.。

江苏省射阳县盘湾中学高中数学空间几何体的体积（第2课时）教
案苏教版必修2
教学目标：了解球的体积及表面积计算公式的推导过程，能用公式解决相关问题，能处理组合体的体积计算。

教学重点：球的体积及表面积计算公式及其应用
教学难点：公式推导过程中体会“无穷”“极限”思想
教学过程：
一、问题情境，学生活动：
准备三个容器：一个底面半径和高均为R的圆柱；一个底面半径和高均为R的圆锥；一个半径为R的半球，比较三个几何体的体积的关系。

二、知识建构：
1、V球=___________________________________
2、S球=____________________________________
推导过程：
三、知识运用：
例1、半径为R 的球，如果半径发生了下述变化，则体积分别增加了多少倍？
（1）半径增加到原来的2倍（2）半径增大了2倍
小结：
例2、两个球的体积之和为12π，这两个球的大圆周长和为6π，求大球的半径与小球的半径差。

小结：
例3、一个正方体内接于半径为R的球内，求正方体的体积。

小结：
练习：书P60 5、6
四、回顾反思：
知识：思想方法：
五、作业布置：
书P60 习题1.3 6、7。

空间几何体的体积（1）教学目标（1）了解柱、锥、台的体积公式，能运用公式求解有关体积计算问题； （2）了解柱体、锥体、台体空间结构的内在联系，感受它们体积之间的关系； （3）培养学生空见想象能力、理性思维能力以及观察能力． 教学重点柱、锥、台的体积计算公式及其应用． 教学难点运用公式解决有关体积计算问题． 教学过程 一、问题情境 1．情境：回忆初中学过的计算长方体的体积公式．V abc =长方体或V Sh =长方体． 2．问题：两个底面积相等、高也相等的棱柱，它们的体积是否一样？ 二、学生活动取一摞书堆放在桌面上，组成一个长方体，然后改变一下形状，比较改变形状前后这摞书的体积． 三、建构数学1．棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积．柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S 和高h 的积，即V Sh =柱体．2．类似于柱体，底面积相等、高也相等的两个锥体，它们的体积也相等．棱锥的体积公式可把一个棱柱分成三个全等的棱锥得到，由于底面积为S ，高为h 的棱柱的体积V Sh =棱锥，所以13V Sh =锥体． 3．台体（棱台、圆台）的体积可以转化为锥体的体积来计算．如果台体的上、下底面面积分别为S S '，，高为h，可以推得它的体积是1()3V h S S '=台体． 4．柱体、锥体、台体的体积公式之间关系如下：11()()(0)33V Sh S S V h S S S V Sh '''=⇐===⇒=柱体台体锥体．四、数学运用 1．例题：例1． 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg ．已知底面六边形边长是12mm ，高是10mm ，内孔直径是10mm ．那么约有毛坯多少个？（铁的比重是37.8/g cm ）分析 六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由此比重算出一个六角螺帽毛坯的重量即可．解：因为23312610 3.7410(),V mm =⨯⨯≈⨯正六棱柱 233103.14()100.78510(),2V mm =⨯⨯≈⨯圆柱 所以一个毛坯的体积为333333.74100.78510 2.9610() 2.96()V mm cm =⨯-⨯≈⨯=．约有毛坯 35.810(7.8 2.96)251⨯÷⨯≈（个）．答：这堆毛坯约有251个．例2． 在长方体1111ABCD A B C D -用截面截下一个棱锥11C A DD -，求11C A DD -的体积与剩余部分的体积之比．解：将长方体看成四棱柱1111ADD A BCC B -，设它的底面11ADD A 的面积为S ，高为h体积为V Sh =．棱锥11C A DD -的底面积为12S ， 高为h ，因此棱锥11C A DD -的体积1111326V Sh Sh =⨯=．所以棱锥11C A DD -的体积与剩余部分的体积之比为15． 说明：棱柱的体积等于底面积与高的乘积，而长方体的各个面均可以作为底面，因此可以灵活“选底”．2．练习：（1）在ABC ∆中，2, 1.5,120AB BC ABC ==∠=（如图）． 若将ABC ∆绕直线BC 旋转一周，求形成的旋转体的体积． （2）课本56页第1，2，3，4． 五、回顾小结：柱体、锥体、台体体积计算公式及其之间的关系． 六、课外作业：课本第60页第2、5、8、9、10题．空间几何体的体积（2） 教学目标（1）了解球的体积及表面积计算公式的推导过程，能用球的表面积和体积公式解决 有关问题；（2）能用柱、锥、台、球等几何体的体积计算公式解决有关组合体的体积计算公式； （3）体会祖暅原理和积分思想． 教学重点1． 球的体积计算公式及表面积计算公式． 2． 柱、锥、台、球的体积计算公式的综合应用． 教学难点在球的体积、表面积计算公式的推导过程中体会“无穷”“极限”的思想． 教学过程 一、问题情境 1．情境：练习：正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，求此三棱锥的体积． 回忆柱体、锥体、台体体积计算公式，以及体积的推导过程．2．问题：在空间几何体里面还有球的表面积和体积没有研究过，能否用研究柱、锥、台的表面积和体积公式的方法来研究球的表面积和体积呢？ 二、建构数学1运用祖暅原理类似的方法我们还能证实这样一个结论：一个地面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积与一个半径为R 的半球的体积相等．由此得到223112233V R R R R R πππ=-=球，所以343V R π=球．这个结论可以通过“倒沙实验”得到．2．设想一个球由许多顶点在球心，底面都在球面上的“准锥体”组成，这些“准锥体”的底面并不是真正的多边形，但只要这些“准锥体”的底面足够地小，就可以把它们近似地看成棱锥．这时，这些“准锥体”的高趋向于球半径R ，底面积123,,,S S S ……的和趋向于球面积，所有这些“准锥体”的体积的和趋向于球的体积，因此312341113333R V RS RS RS π==+++球 (1)3RS =球面，所以24S R π=球面．三、数学运用 1．例题：例1． 如图是一个奖杯的三视图（单位：cm ），试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积（精确到0．01cm ）．BA C解：采用斜二测画法．先画底座，这是一个正四棱台；再画杯身，是长方体；最后画出球体．因为153V=⨯⨯⨯≈22正四棱台（15+1511+11）851.667，6818864V=⨯⨯=长方体，243113.0973Vπ=⨯≈球，所以这个奖杯的体积为：31828.76()V V V V cm=++≈正四棱台长方体球．说明：计算组合体的体积时，考虑将其转化为计算柱、锥、台、球等常见几何体的体积．例2．一个正方体内接于半径为R的球内，求正方体的体积．解：因为正方体内接于球内，所以正方体的8个定点均在球面上，又正方体和球体都是中心对称图形，所以它们的对称中心必重合，即球心就是正方体的中心，设正方体的棱长为a，则2323,3R a a R==．所以，正方体的体积为3332383()39V a R R===．2．练习：（1）课本57页第5、6题．（2）一个平面截一个球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，求该球的表面积和体积．四、回顾小结：1．球的表面积以及体积公式；2．运用柱、锥、台、球的表面积和体积公式求一些组合体的表面积和体积．五、课外作业：课本第60页第6、7题．补充：1.棱长为a的正方体内有一个球与这个正方体的12条棱都相切，求这个球的体积．2．已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，这样的三棱柱能否放进一个体积为16π的小球？为什么？五、课外作业：课本第60页第6、7题．补充：1.棱长为a的正方体内有一个球与这个正方体的12条棱都相切，求这个球的体积．2．已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，这样的三棱柱能否放进一个体积为16π的小球？为什么？。

棱锥的体积（2）教学目标：1、进一步掌握椎体的体积公式及应用。

2、2、了解割补法在求几何体体积中的作用，能运用割补法对几何体进行简单的拼补或切割以达到求几何体体积的目的。

3、在提供的问题情境及解决问题的提示下，通过独立思考，小组讨论等方法，自主探索问题的答案，提高学生的空间想象能力和分析问题的能力。

教学重点、难点：1、求空间几何体体积的规范解题。

2、割补法的灵活运用。

教学过程：一、典例回顾例题：三棱锥S-ABC中，SA,SB,SC三条侧棱两两垂直，且满足SA=SB=SC=1，求此三棱锥的体积。

“直接代体积公式”“等体积转化”【设计意图】：1、回顾棱锥的体积公式，引出求体积的基本方法——直接代公式。

2、复习正棱锥的基本概念和基本结论，等边三角形中高、面积、重心等基本问题。

3、强化求体积解答题的规范，先找高，再证明，最后才计算。

4、通过转化顶点，重新确定垂线与垂面，引出求棱锥体积的第二种方法——等体积转化。

二、素养提升变式1：三棱锥S-ABC中，各棱长都为，求此三棱锥的体积。

“直接代公式” “补体法”【设计意图】： 1、 在例题的基础上稍做变化，将正三棱锥变为正四面体。

由于正四面体是正三棱锥的一种特殊类型，所以方法一——直接代公式法在本题中依旧可行，让学生体会其中的“变”与“不变”。

2、 转换顶点的方法在这题中就失效了。

3、 回顾之前正方体的研究，在正方体中有一些特殊的三棱锥，我们既要能拿得出来，也要能放得进去。

由此引出求棱锥体积的第三种方法——补体法。

4、 再反思刚才的例题，能不能也用补体法解决呢？还能再次巩固一些正方体中关于点线面的经典结论。

变式2：三棱锥S-ABC ，SA=BC=5，SB=AC =， SC=AB=，求三棱锥的体积。

提示：分别以三组对棱作为一长方体的相对面的对角线，将原三棱锥补成一个长方体，如图，则V S-ABC =V 长方体-4V 。

设长方体长宽高分别为a 、b 、c ，则有： 20543614543543413425222222=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=⇒⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+-ABC S V c b a c b c a b a `ABS S -所以三棱锥S-ABC的体积为2021方单位）。

1.3.2空间几何体的体积【学习目标】了解柱、锥、台、球体积的计算公式【课前预习】1．圆锥形烟囱的底面半径是cm30．已知每平方米需要油漆g40，高是cm150，油漆100个这样的烟囱帽的外表面，共需油漆多少千克？（π取14.3，精确到1.0）kg2．某长方体纸盒的长、宽、高分别为cm7⨯个单位4，则每层有55，cm7，cm正方体，共有4层，因此它的体积为______________________．设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积为__________或___________．3．柱体、锥体、台体、球的体积公式：V____________________________________________．=柱体V____________________________________________．=锥体V____________________________________________．=台体V_____________________________________________．=球4．球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大圆的半径等于球半径．球的表面积公式为____________________；这表明球的表面积是球大圆面积的4倍【课堂研讨】例1、有一堆相同规格的六角螺帽毛坯（如图）共重kg 6．已知毛坯底面正六边形边长是mm 12，高是mm 10，内孔直径是mm 10．那么这堆毛坯约有多少个？（铁的密度是3/8.7cm g ）例2、正棱锥的底是内接于一圆柱下底的正六边形，而其顶点为圆柱上底的中心． 已知棱锥的高为cm 6，体积为3312cm ，求此圆柱的全面积．【学后反思】 A B C D E F O O 1。

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积(1)
编制：闫利编制时间： 9 月 4 日使用：高二(1、2)班编号：6学习目标：掌握柱、锥、台表面积、体积的计算公式并会灵巧运用，会求简单组合体的表面积和体积。

一、自主学习：学习教材P23-26 内容
1.棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面睁开图是什么？怎样计算它们的表面积？
自学 P24 例 1.
2.圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们的侧面睁开图是什么？怎样计算它们的表面积？
S圆柱侧____________;S圆柱表
S圆锥侧____________;S圆锥表
S圆台侧____________;S圆台表
自学 P25 例 2.
3.柱体、锥体、台体的体积怎样计算？（分别写出计算公式）
V柱体____________
V锥体____________
V台体____________
自学 P26 例 3.
4.组合体的表面积和体积怎样计算？
二、思想拓展：
1. 已知几何体的三视图如下图, 求该几何体的表面积和体积.
2. 如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为 6cm ，在此中有一个高为xcm 的内接圆柱（1）试用 x 表示圆柱的侧面积
（2）当 x 为什么值时，圆柱的侧面积最大？。

1.3.2 空间几何体的体积教学目标：1．了解柱、锥、台的体积公式，能运用公式求解有关体积计算问题；2．了解柱体、锥体、台体空间结构的内在联系，感受它们体积之间的关系；3．培养学生空间想象能力、理性思维能力以及观察能力．教材分析及教材内容的定位：通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体和台体的体积之间的关系，体会数与形的完美结合．教学重点：柱、锥、台的体积计算公式及其应用．教学难点：运用公式解决有关体积计算问题．教学方法：通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体和台体的体积之间的关系，体会数与形的完美结合教学过程：一、问题情境类似于用单位正方形的面积度量平面图形的面积，我们可以用单位正方体（棱长为1个长度单位的正方体）的体积来度量几何体的体积．一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍，那么这个几何体的体积的数值就是多少．长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积为V=abc或V长方体=Sh长方体（这里，S，h分别表示长方体的底面积和高．）二、学生活动阅读课本P59“祖暅原理”．思考：两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）的体积如何？三、建构数学1．柱体的体积．棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积．V 柱体= sh 2．锥体的体积．类似地,底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等．13V sh =锥体 3．台体的体积．上下底面积分别是S’,S ,高是h ，则1('')3V h S SS S =++台体 柱体、锥体、台体的体积公式之间有怎样的关系呢？4．球的体积．一个底面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积与一个半径为R 的半球的体积有什么样神奇的关系呢？——相等．223112233V R R R R R πππ=-=球，所以343V R π=球． 四、数学运用例1 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是37.8/kg cm )六角螺帽共重6kg ，已知底面是正六边形，边长为12mm,内孔直径为10mm ，高为10mm ，问这堆螺帽大约有多少个（π 取3．14，可用计算器）？分析：六角螺帽的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由密度算出一个六角螺帽的质量．解：223331012610 3.14()102956() 2.956()42V mm cm =⨯⨯⨯-⨯⨯≈=, 所以螺帽的个数为61000(7.8 2.956)260⨯÷⨯≈（个）答：这堆螺帽大约有260个．例2 圆锥形封闭容器，高为h ，圆锥内水面高为11,3h h h =,若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为2h ,求2h ． 分析：圆锥正置与倒置时，水的体积不变，另外水面是平行于底面的平面，此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体，它们的体积之比为对应高的立方比．解：3283()27S AB S CD h V V h --== 1333332219191919::2727273V V V h h h h h V ⎛⎫∴===∴== ⎪⎝⎭水水锥锥倒置后： 例3 用刀切一个近似球体的西瓜，切下的较小部分的圆面直径为30 cm ，高度为5 cm ，该西瓜体积大约有多大?练习：1．直三棱柱ABC -A ′B ′C ′各侧棱和底面边长均为a ，点D 是CC ′上任意一点，连结A ′B ，BD ，A ′D ，AD ，则三棱锥A －A ′BD 的体积是多少？2．将一个正三棱柱形的木块，旋成与它等高并且尽可能大的圆柱形，则旋去部分的体积是原三棱柱体积的 倍；3．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容1．理解柱体、锥体、台体之间的关系；2．球的表面积和体积公式．中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。