《高等代数》：学习笔记

第10章双线性函数与辛空间10.1复习笔记一、线性函数1．定义设V是数域P上的一个线性空间，f是V到P的一个映射，如果f满足（1）f（α＋β）＝f（α）＋f（β），（2）f（kα）＝kf（α），式中α、β是V中任意元素，k是P中任意数，则称f为V上的一个线性函数．2．性质（1）设f是V上的线性函数，则f（0）＝0，f（－α）＝－f（α）．（2）如果β是α1，α2，…，αs的线性组合：β＝k1α1＋k2α2＋…＋k sαs．那么f（β）＝k1f（α1）＋k2f（α2）＋…＋k s f（αs）．3．矩阵的迹A是数域P上一个n级矩阵．设则A的迹Tr（A）＝a11＋a22＋…＋a nn是P上全体n级矩阵构成的线性空间P n×n上的一个线性函数．4．定理设V是P上一个n维线性空间，ε1，ε2，…，εn是V的一组基，a1，a2，…，a n是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数f使f（εi）＝a i，i＝1，2，…，n．二、对偶空间1．L（V，P）的加法和数量乘法（1）设f，g是V的两个线性函数定义函数f＋g如下：（f＋g）（α）＝f（α）＋g（α），α∈V，f＋g也是线性函数：f＋g称为f与g的和．（2）设f是V上线性函数．对P中任意数k，定义函数kf如下：（kf）（α）＝k（f（α）），α∈V，kf称为k与f的数量乘积，易证kf也是线性函数．2．L（V，P）的性质（1）对V中任意向量α，有而对L（V，P）中任意向量f，有（2）L（V，P）的维数等于V的维数，而且f1，f2，…，f n是L（V，P）的一组基．3．对偶空间（1）定义L（P，V）称为V的对偶空间．由决定的L（V，P）的基，称为ε1，ε2，…，εn的对偶基．V的对偶空间记作V*．（2）对偶基的性质（1）设ε1，ε2，…，εn及η1，η2，…，ηn是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为f1，f2，…，f n及g1，g2，…，g n．如果由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为A，那么由f1，f2，…，f n到g1，g2，…，g n的过渡矩阵为（A'）－1．（2）设V是P上一个线性空间，V*是其对偶空间．取定V中一个向量x，定义V*的一个函数x**如下：x**（f）＝f（x），f∈V*．则x**是V*上的一个线性函数，因此是V*的对偶空间（V*）*＝V**中的一个元素．（3）V是一个线性空间，V**是V的对偶空间的对偶空间．V到V**的映射x→x**是一个同构映射．结论：任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间．三、双线性函数1．定义V是数域P上一个线性空间，f（α，β）是V上一个二元函数，即对V中任意两个向量α，β，根据f都唯一地对应于P中一个数f（α，β）．如果f（α，β）有下列性质：（1）f（α，k1β1＋k2β2）＝k1f（α，β1）＋k2f（α，β2）；（2）f（k1α1＋k2α2，β）＝k1f（α1，β）＋k2f（α2，β）．其中α，α1，α2，β，β1，β2是V中任意向量，k1，k2是P中任意数，则称f（α，β）为V 上的一个双线性函数．2．常用结论（1）欧氏空间V的内积是V上双线性函数；（2）设f1（α），f2（α）都是线性空间V上的线性函数，则f（α，β）＝f1（α）f2（β），α，β∈V是V上的一个双线性函数．（3）设P n是数域P上n维列向量构成的线性空间X，Y∈P n，再设A是P上一个n 级方阵．令f（X，Y）＝X'AY，则f（X，Y）是P n上的一个双线性函数．3．度量矩阵（1）定义设f（α，β）是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数．ε1，ε2，…，εn是V的一组基，则矩阵称为f（α，β）在ε1，ε2，…，εn下的度量矩阵．（2）性质①度量矩阵被双线性函数及基唯一确定．②不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵一定是不同的．③在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，但是在不同基下的度量矩阵是合同的．4．非退化设f（α，β）是线性空间V上一个双线性函数，如果f（α，β）＝0，对任意β∈V，可推出α＝0，f就称为非退化的．双线性函数f（α，β）是非退化的充要条件为其度量矩阵A为非退化矩阵．5．对称双线性函数（1）定义f（α，β）是线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意两个向量α，β都有f （α，β）＝f（β，α），则称f（α，β）为对称双线性函数．如果对V中任意两个向量α，β都有f（α，β）＝－f（β，α），则称f（α，β）为反对称双线性函数．这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵．同样地，双线性函数是反对称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵．（2）性质（1）设V是数域P上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，使f（α，β）在这组基下的度量矩阵为对角矩阵．（2）设V是复数域上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有（3）设V是实数域上n维线性空间．f（α，β）是V上对称双线性函数．则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有（4）V上的对称双线性函数f（α，β）如果是非退化的．则有V的一组基ε1，ε2，…，εn满足前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基称为V的对于f（α，β）的正交基．6．二次齐次函数对称双线性函数与二次齐次函数是1－1对应的．设V是数域P上线性空间，f（α，β）是V上双线性函数．当α＝β时，V上函数f（α，β）称为与f（α，β）对应的二次齐次函数．7．反对称双线性函数性质（1）设f（α，β）是n维线性空间V上的反对称线性函数，则存在V的一组基ε1，ε。

大一高代知识点总结大一高等代数知识点总结高等代数是大一大学数学课程中重要的一部分，它探索了代数结构的各个方面。

在本篇文章中，我将总结大一高等代数课程中的重要知识点，希望对同学们的学习有所帮助。

1. 集合论：集合是高等代数的基础，它描述了元素的集合和它们之间的关系。

常见的集合运算包括并集、交集和补集等。

2. 映射与函数：映射是将一个集合的元素映射到另一个集合的过程。

函数是一种特殊的映射，它将每个输入值都映射到唯一的输出值上。

函数的定义域、值域、图像以及函数的性质是学习中需要注意的重点。

3. 线性方程组：线性方程组是解决线性关系的重要工具。

高等代数中，我们学习了如何使用消元法、矩阵运算以及向量空间的概念来解决线性方程组。

4. 矩阵与行列式：矩阵是一个二维数组，行列式是矩阵的一个标量。

在高等代数中，我们学习了矩阵的运算规则，包括矩阵的加法、减法、乘法和转置等，同时也了解了行列式的计算方法和性质。

5. 向量空间：向量空间是一种具有加法和数乘运算的集合，它满足一定的运算规则。

我们学习了向量空间的性质，如闭合性、结合律等，并掌握了子空间、线性无关、张成空间等概念。

6. 线性变换：线性变换是一种特殊的函数，它保持向量空间的线性结构。

我们学习了线性变换的表示、特征值与特征向量等概念，并应用于矩阵的对角化和相似变换等问题。

7. 特征值与特征向量：特征值与特征向量是矩阵及线性变换中重要的概念。

它们具有许多重要的性质和应用，如对角化、二次型的正负定性等。

8. 正交性与内积空间：正交性是向量空间中重要的概念，它描述了向量之间的垂直关系。

我们学习了内积的定义和性质，并应用于正交基、正交矩阵和施密特正交化等问题。

9. 特殊矩阵与特殊线性变换：在高等代数中，我们还学习了特殊的矩阵和特殊的线性变换，如对称矩阵、正交矩阵、幂等矩阵、厄米特矩阵等，它们在许多领域中都有重要的应用。

总结起来，大一高等代数课程中的知识点包括集合论、映射与函数、线性方程组、矩阵与行列式、向量空间、线性变换、特征值与特征向量、正交性与内积空间、特殊矩阵与特殊线性变换等内容。

《高等代数(上)》：学习笔记这是我自学的笔记做成的电子档，其中有许多注释，尽量深入浅出，以供大家学习。

有些笔误也修正差不多了。

课本和王德明老师的符号略有不同，但意思是一样的，祝大家都能通过考试。

第一章 行列式§1.1 定义D =|2314|=2×4−3×1=5 A =[2314]≡(2314) 这是行列式（或写为|D|）这是矩阵，注意区别{a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3=b 1a 21x 1+a 22x 2+a 23x 3=b 2a 31x 1+a 32x 2+a 33x 3=b 3这是三元线性方程组=|11a 12a 13a 22a 23a 3233|=a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32−a 11a 23a 32−a 12a 21a 33−a 13a 22a 31§1.2 逆序数τ§1.3 n 阶行列式的代数和D =|a 11a 12⋯a 1n a 21a 22⋯a 2n⋯⋯⋯⋯⋯⋯a n1a n2⋯a nn|=∑(a 1j 1a 2j 2⋯a nj n§1.4 行列式性质1、行列式转置值不变： D T =D2、k 可以乘上某行(列)： kD row i3、加法：某行之和 展开为两行列式之和： D row(a+b)=D row(a)+D row(b)4、互换两行(列)：负号 D row i ↔row k =−D5、两行相同(成比例)：零值 D row i =k×row k =06、某行乘以k 加到另一行：值不变D k×row i +row k =D右下斜线为正 左下斜线为负代数和n 阶排列，有n!个逆序数 偶排列，正号 奇排列，负号阶排列§1.5 代数余子式=ij|D|=a k1A k1+a k2A k2+⋯+a kn A kn (k =1,2,⋯,n )即展开第k 行(列)§1.6 范德蒙行列式|D|=|111⋯1a 1a 2a 3⋯a n a 12a 22a 32⋯a n2⋯⋯⋯a 1n−1a 2n−1a 3n−1⋯a nn−1|=∏(a i −a j )第二章 线性方程组§2.1 克莱姆法则D 1=|b 1a 12a 13b 2a 22a 23b 3a 32a 33| D 2、D 3 类似左边 解集：x i =D i D(D ≠0) 当D ≠0时，方程组有唯一解：x 1=D 1D,x 2=D 2D,x 3=D 3D.(D ≠0)§2.2 消元法初等变换：反复对方程进行row 变换，最后剩下一个上三角矩阵。

高等代数课本笔记及其例题详解第一章 多项式1.1 数域定义1.1（数域）：设P 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1. 如果P 中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P 中的数，那么P 就称为一个数域.即：设{}C x x P ∈=，P b a ∈∀,，其中0≠a 且P ∈0,1都有P abab b a b a ∈-+,,,，称P为一个数域. （注：Z 表示全体整数；R 表示全体实数；C 表示全体复数；Q 表示全体有理数；N 表示全体自然数；）例题1. 设(){}Q b a b a Q ∈+=,22证明：()2Q 是一个数域. 证明：1）()22000,2011Q ∈+=+=（其中：Q ∈1,0）2）Q d c b a ∈∀,,,有()()()2222Q d b c a d c b a ∈+++=+++（其中： Q d b c a ∈++,）；()()()2222Q d b c a d c b a ∈-+-=+-+（其中：Q d b c a ∈--,）； ()()()()()22222Q bc ad bd ac d c b a ∈+++=++（其中：Q bc ad bd ac ∈++,2）； 若02≠+b a ，有()22222222222Q b a bcad b a bd ac b a d c ∈--+--=++（其中：Q b a bc ad b a bd ac ∈----22222,22，且0222≠-b a ）. 2Q ∴是一个数域.例题2. 证明：()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧==∈∈++++++=+m j n i Z b a N n m b b b a a a P j i mm n n ,,0;,,0,,,1010 πππππ是一个数域.证明：1) ()πππππP m n ∈++++++=0010011 , ()πππππP mn∈++++++=0000000 2) 显然该集合的和、差、积封闭；若商不封闭，得()πππππππππP d d d c c c b b b a a a tt ss m m n n ∈++++++≠+++++ 101101010,0,得 ()πππππππππππππππππP a a a b b b d d d c c c b b b a a a d d d c c c n n mm t t s s m n n t t s s ∉++++++⋅++++++=++++++++++++ 1010101010101010,这与该集合的积封闭的结论矛盾，故()πP是一个数域.注：最小的数域为有理数域，任何数域都包含有理数域.1.2 一元多项式定义 1.2.1（一元多项式） 设n 是一非负整数. 形式表达式011a x a x a n n n n +++-- ,其中∈n a a a ,,,10 数域P ,称为系数在数域P 中的一元多项式，或者简称为数域P 上的一元多项式. （注：i i x a 称为i 次项; i a 称为i 次项的系数. ）定义1.2.2 （多项式相等）如果在多项式()x f 与()x g 中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么()x f 与()x g 就称为相等，记为()()x g x f =. 系数全为零的多项式称为零多项式，记为0. （注：若0≠n a ，则n n x a 称为多项式的首项；n a 称为首项系数; n 称为多项式的次数，记为()()x f ∂; 零多项式是唯一不定义次数的多项式. ） 性质1.2.1 ()()()()()()()()x g x f x g x f ∂∂≤±∂,max .性质1.2.2 ()()()()()()()x g x f x g x f ∂+∂=⋅∂（其中()0≠x f 且()0≠x g ）. 运算规律：1. 加法交换律：()()()()x f x g x g x f +=+.2. 加法结合律：()()()()()()()()x h x g x f x h x g x f ++=++.3. 乘法交换律：()()()()x f x g x g x f =.4. 乘法结合律：()()()()()()()()x h x g x f x h x g x f =.5. 乘法对加法的分配律：()()()()()()()()x h x f x g x f x h x g x f +=+.6. 乘法消去律：如果()()()()x h x f x g x f =且()0≠x f ，那么()()x h x g =.定义1.2.3 （一元多项式环）所有系数在数域P 中的一元多项式的全体，称为数域P 上的一元多项式环，记为[]x P ，P 称为[]x P 的系数域.1.3 整除的概念性质1.3.1 （带余除法）对于[]x P 中任意两个多项式()x f 与()x g ，其中()0≠x g ，一定有[]x P 中的多项式()()x r x q ,存在，使()()()()x r x g x q x f +=成立，其中()()()()x g x r ∂<∂或者()0=x r ，并且这样的()()x r x q ,是唯一决定的. （注：()x q 通常称为()x g 除()x f 的商；()x r 称为()x g 除()x f 的余式）定义1.3.1（整除）数域P 上的多项式()x g 称为整除()x f ，如果有数域P 上的多项式()x h 使等式()()()x h x g x f =成立. 我们用“()()x f x g ”表示()x g 整除()x f ，用“()x g ()x f ”表示()x g 不能整除()x f .（注：当()()x f x g 时，()x g 就称为()x f 的因式；()x f 称为()x g 的倍式.）定理1.3.1 对于数域P 上的任意两个多项式()()x g x f ,，其中()0≠x g ，()()x f x g 的充分必要条件是()x g 除()x f 的余式为零. 整除性的常用的性质：1. 如果()()x g x f ，()()x f x g ，那么()()x cg x f =，其中0≠c .2. 如果()()x g x f ，()()x h x g ，那么()()x h x f （整除的传递性）.3. 如果()()x g x f i ，r i ,,2,1 =，那么()()()()()()()x g x u x g x u x g x u x f r r +++ 2211其中()x u i 是数域P 上的任意的多项式.（注：()()()()()()x g x u x g x u x g x u r r +++ 2211称为多项式()()()x g x g x g r ,,,21 的一个组合.） 注：两个多项式之间的整除关系不因为系数域的扩大而改变.1.4 最大公因式定义 1.4.1（最大公因式）设()()x g x f ,是[]x P 中两个多项式. []x P 中多项式()x d 称为()()x g x f ,的一个最大公因式，如果它满足下面两个条件：1）()x d 是()()x g x f ,的公因式；2）()()x g x f ,的公因式全是()x d 的因式.（注：两个零多项式的最大公因式就是0） 引理1.4.1 如果有等式()()()()x r x g x q x f +=成立，那么()()x g x f ,和()()x r x g ,有相同的公因式.定理 1.4.1 对于[]x P 中任意两个多项式()()x g x f ,，在[]x P 中存在一个最大公因式()x d ，且()x d 可以表成()()x g x f ,的一个组合，即有[]x P 中多项式()()x v x u ,使()()()()()x g x v x f x u x d +=.（注：两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的；()()()x g x f ,表示首项系数为1的公因式.） 辗转相除法：例题3. 设()343234---+=x x x x x f ，()3210323-++=x x x x g 求()()()x g x f ,，并求()()x v x u ,使()()()()()()()x g x v x f x u x g x f +=,. 解：即：()()()()()()131092595913112x r x q x g x x x x g x f +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=310925952---x x即：()()()()()()22793109259595272212x r x q x r x x x x x g +=++⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=. ()()()327981108153109259521 +⎪⎭⎫⎝⎛--=---=x x x x x r()()()3,+=∴x x g x f .将（1）代入（2）式可得：()()35251532+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫⎝⎛-x x g x x x f x ()()525,1532x x x v x x u +-=-=∴就有()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+.定义1.4.2（互素）[]x P 中两个多项式()()x g x f ,称为互素（也称互质）的，如果()()()1,=x g x f .定理 1.4.2 []x P 中两个多项式()()x g x f ,称为互素的充要条件是有[]x P 中的多项式()()x v x u ,使()()()()1=+x g x v x f x u .定理1.4.3 如果()()()1,=x g x f ，且()()()x h x g x f ，那么()()x h x f .推论1.4.3.1 如果()()x g x f 1，()()x g x f 2，且()()()1,21=x f x f ，那么()()()x g x f x f 21.推广：定义1.4.3 ()x d 称为()()()()2,,,21≥s x f x f x f s 的一个最大公因式，如果()x d 具有下面的性质：2) ()()s i x f x d i ,,2,1, =；3) 如果()()s i x f x i ,,2,1, =ϕ，那么()()x d x ϕ.（注：符号()()()()x f x f x f s ,,,21 表示首项系数为1的最大公因式.）性质1.4.1()()()()()()()()()()x f x f x f x f x f x f x f s s s ,,,,,,,21121 =-性质1.4.2 ()()()()()()()()()()x f x f x f x f x u x f x u x f x u s s s ,,,212211 =+++，其中 ()()()[]x P x u x u x u s ∈,,,21 .性质1.4.3 ()()()()()()()[],,,,1,,,2121x P x u x u x u x f x f x f s s ∈∃⇔=()()()()()()1:2211=+++x f x u x f x u x f x u st s s .1.5 因式分解定理定义1.5.1（不可约多项式） 数域P 上次数的多项式()x p 称为域上的不可约多项式，如果它不能表示成数域P 上的两个次数比()x p 的次数低的多项式的乘积（注：一个多项式是否是不可约是依赖于系数域的）.性质1.5.1 ()x p 在数域[]x P 是不可约多项式，()[]x P x f ∈∀，()()x p x f 当且仅当()0≠=c x f 或()()x cp x f =.即：对于()[]x P x f ∈∀，有()()x f x p 或者()()()1,=x f x p . 定理1.5.1 如果()x p 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式()()x g x f ,，由()()()x g x f x p 一定推出()()x f x p 或者()()x g x p .定理1.5.2（定理1.5.1的推广） 如果()x p 是不可约多项式，若()()()(),21x f x f x f x p s 则()()()(){}x f x f x f x f s i ,,,21 ∈∃使得()()x f x p i .定理1.5.3（因式分解及唯一性定理）数域P 上每一个次数1≥的多项式()x f 都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式()()()()()()()x q x q x q x p x p x p x f s s 2121==，那么必有t s =，并且适当排列因式的次序后有()()s i x q c x p i i i ,,2,1, ==，其中()s i c i ,,2,1 =是一些非零常数.（注：()()()()x p x p x cp x f s r s r r 2121=的分解称为标准分解式；已知两个多项式()()x g x f ,的标准分解式，那么()x f 与()x g 的最大公因式()x d 就是那些同时在与的标准式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂的指数等于它在()x f 与()x g 中所带的方幂中的较小的一个.）1.6 重因式定义1.6.1（k 重因式）不可约多项式()x p 称为多项式()x f 的k 重因式，如果()()x f x p k ，而()x p k 1+ ()x f .（注：0=k 时，()x p 不是()x f 的因式；1=k 时，()x p 是()x f 的单因式；1≥k 时，()x p 是()x f 的重因式.）定义1.6.2（微商）设有多项式()0111a x a x a x a x f n n n n ++++=-- .我们规定它的微商（也称导数）是()()1211'1a x n a nx a x f n n n n ++-+=--- . 性质1.6.1 ：1）()()()()()x g x f x g x f '''+=+2）()()()x cf x cf ''=，3）()()()()()()()x g x f x g x f x g x f '''+=，4）()()()()()x f x f m x f m m '1'-=.定义1.6.3（高阶微商）微商()x f '称为()x f 的一阶微商；()x f '的微商()x f ''称为的二阶()x f 微商；等等.()x f 的k 阶微商记为()()x f k .（注：()()n x f =∂ο，则()()c x f n =，()()01=+x f n .）定理1.6.1 如果不可约多项式()x p 是()x f 的k 重因式()1≥k ，那么它是微商()x f '的1-k 重因式.推论1.6.1.1 如果不可约多项式()x p 是()x f 的k 重因式()1≥k ，那么()x p 是()()()()x f x f x f k 1''',,,- 的因式，但不是()()x f k 的因式.推论1.6.1.2 不可约多项式()x p 是()x f 的重因式的充分必要条件为()x p 是()x f 与()x f ' 的公因式.推论 1.6.1.3 多项式()x f 没有重因式的充分必要条件是()x f 与()x f '互素.（注：辗转相除法可用于求解重因式；()()()()x f x f x f ',是一个没有重因式的多项式与()x f 有完全相同的不可约因式.）1.7 多项式函数定义1.7.1（多项式函数）设()()10111 a x a x a x a x f n n n n ++++=--是[]x P 中的多项式，α是P 中的数，在()1中用α代x 所得的数0111a a a a n n n n ++++--ααα 称为()x f 当α=x 时的值，记为()αf .这样一来，多项式就定义了一个数域上的函数.定理1.7.1（余数定理）用一次多项式α-x 去除多项式()x f ，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值()αf .（注：其中()0=αf 时，α=x 是()x f 的一个根或者零点.） 推论1.7.1.1 α是()x f 的根的充分必要条件是()()x f x α-.定义1.7.2（重根）α称为()x f 的重根，如果()α-x 是()x f 的k 重因式.当1=k 时，α称为单根；当1>k 时，α称为重根.定理1.7.2 []x P 中n 次多项式()0≥n 在数域P 中的根不可能多于n 个，重根按重数计算. 定理1.7.3 如果多项式()()x g x f ,的次数都不超过n ，而它们对1+n 个不同的数121,,,+n ααα 有相同的值，即()()1,,2,1,+==n i g f i i αα，那么()()x g x f =.1.8 复系数与实系数多项式的因式分解定理1.8.1（代数基本定理）每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一根（即：复数域上所有次数大于1的多项式全是可约的.）.定理1.8.2（复系数多项式的分解定理）每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.（复系数多项式的标准分解式：()()()()s ls lln x x x a x f ααα---= 2121，其中C s ∈≠≠≠ααα 21，+∈Z l l l s ,,,21 ）定理1.8.3 如果α是实系数多项式()x f 的复根，那么α的共轭数α也是()x f 的根. 定理1.8.4（实系数多项式因式分解定理）每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积（即是说：实数域上只含有一次不可约多项式和含二次共轭复根不可约多项式）.1.9 有理系数多项式定理 1.9.1 每个次数1≥的有理系数多项式都能唯一地分解成不可约的有理系数多项式的乘积.定义1.9.1（本原多项式）如果一个非零的整系数多项式()011b x b x b x g n n n n +++=-- 的系数01,,,b b b n n -没有异于的公因子，也就是说，它们是互素的，它就称为一个本原多项式.（任意一个非零的有理系数多项式()x f 都可以表示成一个有理数r 与一个本原多项式()x g 的乘积：()()x rg x f =）定理1.9.2（高斯（Gauss ）引理）两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理1.9.3 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.推论1.9.3.1 设()()x g x f ,是整系数多项式，且()x g 是本原的. 如果()()()x h x g x f =，其中()x h 是有理系数多项式，那么()x h 一定是整系数的.定理1.9.4 设()011a x a x a x f n n n n +++=-- 是一个整系数多项式，而sr 是它的一个有理根，其中s r ,互素，那么必有n a s ，0a r .特别地，如果()x f 的首项系数1=n a ，那么()x f 的有理根都是整根，而且是0a 的因子. 例题4. 求方程032234=-+-x x x 的有理根. 解：令()32234-+-=x x x x f 得：24=a 的因子为：2,1±±30=a 的因子为：1±，3± ()x f ∴的有理根可能为：21±，23±，1±，2±.判别根的方法一：0321≠-=⎪⎭⎫⎝⎛-f （不为()x f 的根，舍弃）；0221≠-=⎪⎭⎫⎝⎛f （不为()x f 的根，舍弃）； ()021≠-=-f （不为()x f 的根，舍弃）； ()01=f （为()x f 的根）； 021523≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f （不为()x f 的根，舍弃）； 042723≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛f （不为()x f 的根，舍弃）；()0332≠=-f （不为()x f 的根，舍弃）； ()0252≠=f （不为()x f 的根，舍弃）； 1∴为032234=-+-x x x 方程的有理根.方法二：即2-=x 不是方程032234=-+-x x x 的根.…………经带余除法计算可得：1=x 为032234=-+-x x x 方程的有理根.方法三：21 22002-即21=x 不是方程032234=-+-x x x 的根. …………经综合除法计算可得：1=x 为032234=-+-x x x 方程的有理根.定理1.9.5（艾森斯坦（Eisenstein ）判别法）设()011a x a x a x f n n n n +++=-- 是一个整系数多项式.如果有一个素数p ，使得1. p n a ；2. 021,,,a a a p n n --；3. 2p 0a .那么()x f 在有理数域上不可约的.例题5.证明()153+-=x x x f 在有理数域上不可约. 证明：依题意可得()x f 的有理根可能为：1±.又()31-=f ,()51-=-f 都不为零1±=∴x 都不是()x f 的有理根，即()x f 在有理数域上不可约的.1.10 多元多项式定义1.10.1（n 元多项式）设P 是一个数域，n x x x ,,,21 是n 个文字. 形式为n k nk k x x ax 2121的式子，其中P a ∈，n k k k ,,,21 是非负整数，称为一个单项式. 由以上一些单项式的和∑nnn k k k k nk k k k k x x x a,,,21212121 就称为n 元多项式，或者简称多项式.（注：若两个单项式中相同文字的幂全一样，那么它们就称为同类项.）定义1.10.2（元多项式环）所有系数在数域P 中的n 元多项式的全体，称为数域P 上的n元多项式环，记为[]n x x x P ,,21.（注：n k k k +++ 21称为单项式n k nk k x x ax 2121的次数；系数不为零的单项式的最高次数就称为这个多项式的次数.多元多项式的排列顺序方法：字典排列法；）定理1.10.1 当()0,,,21≠n x x x f ，()0,,,21≠n x x x g 时，乘积()()n n x x x g x x x f ,,,,,,2121 的首项等于()n x x x f ,,,21 的首项与()n x x x g ,,,21 的首项的乘积.推论1.10.1.1 如果,,,2,1,0m i f i =≠那么m f f f 21的首项等于每个i f 的首项的乘积. 推论1.10.1.2 如果()()0,,,,0,,,2121≠≠n n x x x g x x x f ，那么()()0,,,,,,2121≠n n x x x g x x x f .（两个齐次多项式的乘积是齐次多项式，乘积的次数等于因子的次数的和.）1.11 对称多项式定理1.11.1（一元多项式根与系数的关系）设()n n n a x a x x f +++=- 11是[]x P 中的一个多项式.如果()x f 在数域P 中有个根n ααα,,,21 ，那么就可以分解成()()()()n x x x x f ααα---= 21.将其展开即得根与系数的关系如下：()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-+++=+++=-∑-n n n k k k k i in n n a i a a a j i αααααααααααααααα 211312122111121，的乘积之和个不同的所有可能的. 定义1.11.1（对称多项式）n 元多项式()n x x x f ,,,21 ，如果对于任意的n j i j i ≤≤≤1,,，都有()()n i j n j i x x x x f x x x x f ,,,,,,,,,,,,11 =，那么这个多项式称为对称多项式. 定理1.11.2 对于任意一个n 元对称多项式都有一个n 元多项式()n y y y ,,,21 ϕ，使得()()n n x x x f σσσϕ,,,,,,2121 =.（其中⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=----n n nn n n n n n n x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x 21322211211131212211σσσσ称为n 元初等对称多项式.）例题6. 把三元对称多项式333231x x x ++表为321,,σσσ的多项式. 解：令()333231321,,x x x x x x f ++=得首项为：31x 对应的有序数对()0,0,3，()()332133323131333231321,,x x x x x x x x x x x x f ++-++=-++=∴σ()132123223132222132122163g x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-=得首项：2213x x 对应的有序数对()0,1,2.()()32123223132222132122132123223132222132122121133633x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x g +++++++-+++++-=+σσ23213g x x x =-=对应数对()1,1,1又0332=+σg ()3213132133,,σσσσ+-=∴x x x f .课后习题1. 用()x g 除()x f ，求商()x q 与余式()x r ：1）()1323---=x x x x f ，()1232+-=x x x g ； 解：()9113-=∴x x q ，()99+-=x r . 2）()524+-=x x x f ，()22+-=x x x g解：()12-+=∴x x x q ，()75+-=x x r . 3）()1434--=x x x f ，()132--=x x x g 解：()1032++=∴x x x q ，()929+=x x r . 4）()13235-+-=x x x x f ，()233+-=x x x g . 解：()x g233+-x x22+x()22+=∴x x q ，()562-+=x x x r . 5）()x x x x f 85235--=，()3+=x x g 解：带余除法：()109391362234+-+-=∴x x x x x q ，()()3327-=-=f x r . 6）()x x x x f --=23，()i x x g 21+-=. 解：综合除法：i 21-1 i 2- i 25-- i 89+-()i x r 89+-=∴，()i ix x x q 2522---=. 2. m ，p ，q 适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+321 解：方法一：带余除法：12-+mx xm x -即：()()m q x p m x r ++++=12，又q px x mx x ++-+321()0=∴x r 可得⎩⎨⎧-==++q m p m 012. 2）q px x mx x ++++2421. 解：方法二：待定系数法：设商为：()c bx x x q ++=2，又由q px x mx x ++++2421可得：()()q px x x q mx x ++=++2421即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=++=+q c b m c p m b c b m 010.()⎩⎨⎧=-=+-∴0112q m p m q . 3. 把()x f 表成0x x -的方幂和，即表成()() +-+-+22010x x c x x c c 的形式：1）()5x x f =，10=x ；解：辗转相除法：即：()()()111234+++++-=x x x x x x f .即：()()()()[]()()()1154321154321123223+-++++-=+++++--=x x x x x x x x x x x f()()()()[]()()()()()11511063111510631122322+-+-+++-=+-++++--=∴x x x x x x x x x x x f()()()()[])()()()()115110110411151101041123423+-+-+-++-=+-+-+++--=x x x x x x x x x x x f ()()()()()1151101101512345+-+-+-+-+-=x x x x x ()()()()()()1151101101512345+-+-+-+-+-=∴x x x x x x f .2）()3224+-=x x x f ，20-=x 解：综合除法：2-2-2- 2-14a = 38a =-()()()()()11124122181234+---+---=∴x x x x x f . 3）()()i xx i ix x x f ++-+-+=7312234，i x -=0. 解：综合除法：i - i - i - i -即：()()()()()()i i x i x i i x i i x x f 57512234+++-++-+-+=. 4. 求()x f 与()x g 的最大公因式：1）()143234---+=x x x x x f ，()123--+=x x x x g 解：带余除法：即：1322即：()()()1434121322+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+----=x x x x x g又：()()1121322++-=---x x x x()()()1,+=∴x x g xf .2）()1434+-=x x x f ，()1323+-=x x x g . 解：带余除法：即：()()()2312+--=x x x g x f .即：()()13213232-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=xx x x g .即：41942729132232-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-x x x .()()()1,=∴x g x f .3）()11024+-=x x x f ，()124624234+++-=x x x x x g . 解：即：()()x x f x g 242423-=即：()()12232124241624223++-⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-=x x x x x x x f .即：()93292889323241223241624223++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=++-x x x x x x x .即：12192426328827932928812232+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++-x x x x . ()()()1,=∴x g x f .5. 求()x u ，()x v 使()()()()()()():,x g x f x g x v x f x u =+1）()242234---+=x x x x x f ，()22234---+=x x x x x g . 解：()13即：()()()221223 -++-=x x x x x g()()32223 x x x x -=- ()()()2,2-=∴x x g x f将（1）代入（2）得：()()()()2212-=+++-x x g x x f x即：取()1--=x x u ，()2+=x x v 可得：()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+.2）()951624234++--=x x x x x f ,()45223+--=x x x x g 解：即：()()622--=x x x g x f 即：()()()213139362 +-⎪⎭⎫⎝⎛+-+--=x x x x x g()()()39619362 ++-=+--x x x x()()()1,-=∴x x g x f ，将（1）式代（2）式得：()()()()1322311312-=--+--x x g x x x f x .即：取()()131--=x x u ，()()322312--=x x x v 就有：()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+. 3）()144234++--=x x x x x f ，()12--=x x x g 解：即：1232 -+-=x x x g x f()()()()2312 ++-=x x x g()()()1,=∴x g x f将（1）式代入（2）式得：()()13233123=--+++-x g x x x x f x 即取()()131+-=x x u ，()()233123--+=x x x x v 就有：()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+. 6. 设()()u x x t x x f 22123++++=，()u tx x x g ++=3的最大公因式是一个二次多项式，t ，u 的值. 解：又()()u x x t x x f 22123++++=，()u tx x x g ++=3的最大公因式是一个二次多项式()()u tx x u x t x t +++-++∴3221.即()()()()[]()c x u x t x t u tx x t ++-++=+++21123即：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-+=++-u t cu t t t c u t c t 112012解得：⎩⎨⎧=-=04u t ，或⎪⎩⎪⎨⎧=+=02321u i t ，或⎪⎩⎪⎨⎧=-=0231u i t ，或⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=i u i t 11721121，或⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=i u i t 1172111. 7. 证明：如果()()x f x d ，()()x g x d ，且()x d 为()x f 与()x g 的一个组合，那么()x d 是()x f 与()x g 的一个最大公因式.证明：()x d 为()x f 与()x g 的一个组合即：()()()()()x d x g x v x f x u =+.又()()x f x d ，()()x g x d ，即()x d 是()x f 与()x g 的一个公因式.()()x f x h ∀，且()()x g x h 则()()x d x h ()x d ∴是()x f 与()x g 的一个最大公因式.8. 证明：()()()()()()()()()x h x g x f x h x g x h x f ,,=，（()x h 的首项系数为1）. 证明：()()()()x f x g x f , ，()()()()x g x g x f ,()()()()()()x h x f x h x g x f ,∴，()()()()()()x h x g x h x g x f ,. 即：()()()()x h x g x f ,是()()x h x f 与()()x h x g 的一个公因式. 又()()()()()()()()()x g x f x g x v x f x u st x v x u ,:,=+∃. 则()()()()()()()()()()x h x g x f x h x g x v x h x f x u ,=+()()()x h x f x c ∀，()()()x h x g x c 有()()()()()x h x g x f x c ,. 即()()()()x h x g x f ,是()()x h x f 与()()x h x g 的一个最大公因式. 又()x h 的首项系数为1.()()()()()()()()()x h x g x f x h x g x h x f ,,=∴.9. 如果()x f ，()x g 不全为零，证明：()()()()()()()()1,,,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x g x f x g x g x f x f .证明：()()()()x f x g x f , ,()()()()x g x g x f ,且()x f ，()x g 不全为零.()()()0,≠∴x g x f ，又()x u ∃，()x v ()()()()()()()x g x f x g x v x f x u st ,:=+()()()()()()()()()()1,,=+∴x g x f x g x v x g x f x f x u .即：()()()()()()()()1,,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x g x f x g x g x f x f 成立. 10.证明：如果()x f ，()x g 不全为零，且()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+，那么()()()1,=x v x u .证明：()()()()x f x g x f , ,()()()()x g x g x f ,且()x f ，()x g 不全为零.且()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+()()()0,≠∴x g x f ()()()()()()()()()()1,,=+∴x g x f x g x v x g x f x f x u ()()()1,=x v x u .11.证明：如果()()()1,=x g x f ，()()()1,=x h x f ，那么()()()()1,=x h x g x f . 证明：()()()1,=x g x f ，()()()1,=x h x f .()x u 1∃∴，()x v 1，()x u 2，()x v 2使得：()()()()()1111 =+x g x v x f x u ()()()()()2122 =+x h x v x f x u . 由（1）式与（2）式相乘可得：()()()()()()()()()()()()()()()121212121=+++x h x g x v x v x f x g x u x v x h x v x u x f x u x u即()()()()1,=x h x g x f .12. 设()x f 1， ，()x f m ，()x g 1， ，()x g n 都是多项式，而且()()()1,=x g x f ji()n j m i ,,1;,,1 ==.求证：()()()()()1,11=x g x g x f x f nm.证明：由11题可得：()()()1,=x g x f ，()()()1,=x h x f ()()()()1,=⇒x h x g x f 又()()()1,=x g x f j i （其中m i ,,1 =；n j ,,1 =）可得，对于i 取m ,,2,1 中的任何一个固定值有：()()()()1,1=x g x g x f n i . 再将()()x g x g n 1看作一个整体可得：()()()()()1,11=x g x g x f x f n m . 13. 证明：如果()()()1,=x g x f ，那么()()()()()1,=+x g x f x g x f . 证明：()()()1,=x g x f 故有：()()()()1=+x g x v x f x u .即：()()()()()()()()()()()()()()()()1=++-=+-+x g x f x v x f x v x u x g x v x f x v x f x v x f x u()()()()1,=+∴x f x g x f ；同理可得：()()()()1,=+x g x f x g()()()()()1,=+∴x g x f x g x f .14. 求下列多项式的公共根：()12223+++=x x x x f ，()12234++++=x x x x x g . 解：()()()212+-=∴x x x f x g 即：()()()112+++=x x x x f()()()1,2++=∴x x x g x f 令：012=++x x 解得：2311i x +-=；2312ix --=. 即：()x f 与()x g 的公共根为：2311i x +-=和2312ix --=.（提示：公共根出现在多项式的公因式中.）15. 判别下列多项式有无重因式： 1）()842752345-+-+-=x x x x x x f解：()()()x x x x x x x x f 1524421205'2234+-=+-+-=又()()()1284275232345++-=-+-+-=x x x x x x x x x f即：()()()()22',-=x x f x f ()x f ∴有三重因式：2-x2）()34424--+=x x x x f解：()124484'33-+=x x x f即：()()()1',=x f x f ()x f ∴没有重因式. 16.求t 值使()1323-+-=tx x x x f 有重根.解：依题意可得：待定系数法：当有()x f 重根时，可得重根为有理根时，此时只能取重根为：1±=α.当重根为：1=α 1可得：3=t .当3=t 时，()()3231133-=-+-=x x x x x f 此时1=x 是()x f 的三重根；当重根为：1-=α1-解得：5-=t ，当5-=t 时，()()()141153223--+=---=x x x x x x x f 与1-=x 为重根矛盾，舍去.设重根为二重时得()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+-=323163'22t x x t x x x f()()()()()()()()()12,''131,'',+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x f x f x x f x f x f x f 即得：021'=⎪⎭⎫⎝⎛-f .解得：415-=t . 17.求多项式q px x ++3有重根的条件.解：()()()()()()()()132,'3','3,',23≠⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=q px x f x f x f x f p x q px x x f x f 得： ()x f q px'32+即得：027423=+q p . 18.如果()11242++-Bx Ax x ，求A ，B .解：依题意可由综合除法可得：1 1A A 2B A +3 B A 24+由()11242++-Bx Ax x 可得：⎩⎨⎧=+=++02401B A B A 解得：⎩⎨⎧-==21B A .19.证明：!!212n x x x n++++ 不能有重根.证明：令()!!212n x x x x f n ++++= 得：()()!1!21'12-++++=-n x x x x f n反证法：设()x f 的重根为α得：()()⎩⎨⎧==0'0ααf f 即：()()0'=-ααf f 0!=∴n nα得：0=α 又()010≠=f 矛盾.∴!!212n x x x n++++ 不能有重根.20.如果a 是()x f '''的一个k 重根，证明a 是()()()[]()()a f x f a f x f ax x g +-+-=''2的一个3+k 重根.证明：依题意可得：()()()[]()()0''2=+-+-=a f a f a f a f aa a g ()()()[]()()0'''22'''=--++=a f a f aa a f a f a g()()()()()a f a f aa a f a f a g '''''22''2''''--++=又()0'''=a f ()0''=∴a g()()()()02'''21'''4=-+-=a f a a a f a g又a 是()x f '''的一个k 重根a ∴是()x g '''的一个k 重根. 又()()()()0''''''====a g a g a g a g∴a 是()()()[]()()a f x f a f x f ax x g +-+-=''2的一个3+k 重根. 21.证明：0x 是()x f 的k 重根的充分必要条件是()()()()0'0100====-x f x f x f k ，而()()00≠x f k证明： 0x 是()x f 的k 重根()()x f x x k0-∴即()x g ∃，使得：()()()x g x x x f k0-=，其中0x x -不整除()x g()()()()()x g x x x g x x k x f kk ''010-+-=∴-可得：()()x f x x k '10--()0'0=∴x f同理由此类推可得到：()()()()0'0100====-x f x f x f k 若()()00=x f k 得：()()()x f x x k 0-()()x f x x s k s10+--⇒其中k s ≤，即()()x f x x k 10+-这与0x 是()x f 的k 重根矛盾.()()00≠∴x f k反之显然成立.∴0x 是()x f 的k 重根的充分必要条件是()()()()0'0100====-x f x f x f k ，而()()00≠x f k .22.举例说明断语“如果a 是()x f '的m 重根，那么a 是()x f 的1+m 重根”是不对的. 解：例如：()()111111+-=+m a x x f 则()()()ma x m x f -+=1'a 是()x f '的m 重根，但a 不是()x f 的1+m 重根.23. 证明：如果()()n x f x 1-，那么()()n n x f x 1-. 证明：令：n x y =得：()()y f x 1-即()()011==f f n ∴()()y f y 1-即()()n n x f x 1-.24. 证明：如果()()()323121x xf x f x x +++，那么()()x f x 11-，()()x f x 21-证明：.令：012=++x x 解得：2311i x +-=，2312ix --= 又()()()323121x xf x f x x +++即：()()()32311x f x f x x +-，()()()32312x f x f x x +-()()()()⎩⎨⎧=+=+∴0032223213121311x f x x f x f x x f 即：()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=+-+0123110123112121f i f f i f 又0323112311≠-=--+-i i i即该方程程组只有唯一零解：()()⎩⎨⎧==010121f f∴()()x f x 11-，()()x f x 21-.25. 求多项式1-n x 在复数域范围内和在实数范围内的因式分解. 解：在复数域上分解：()()()111----=-n n x x x x εε 其中ni n ππε2sin 2cos +=. 在实数范围内因式分解：当n 为奇数：()()[]()[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++--=-+---111112222222212x x x x x x x x n n n n nεεεεεε 其中：n i i n i πεε2cos2=+-为一个实数，21,,2,1-=n i . 当n 为偶数时：()()()[]()[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++--+=-+---1111112222222212x x x x x x x x x n n n n nεεεεεε 26. 求下列多项式的有理根： 1）1415623-+-x x x解：令()1415623-+-=x x x x f 则()x f 的有理根可能为：1±，2±，7±，14±.由综合除法计算得：1即：()41-=f同理：()361-=-f ，()762-=-f ，()02=f ，()7567-=-f ，()1407=f ，()414414-=-f()176414=f∴1415623-+-x x x 多项式的有理根为：2.2）157424---x x x解：令()157424---=x x x x f 则的有理根可能为：41±，21±，1± 将根挨个代入原式得：641114154174144124-=--⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f同理：6417141-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，021=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ，521-=⎪⎭⎫⎝⎛f ，()11=-f ，()91-=f∴157424---x x x 多项式的有理根为：21-.3）3111462345----+x x x x x解：令()3111462345----+=x x x x x x f 则()x f 的有理根可能为：1±，3±由带余除法计算得：即：()01=-f 同理：()321-=f ，()963-=-f ，()03=f .∴3111462345----+x x x x x 多项式的有理根为：1-，3. 27. 下列多项式在有理数域上是否可约？ 1）12+x解：不可约；理由如下：依题意可得令()12+=x x f 则()x f 的有理根可能为：1± 又()()0211≠=-=f f 即1±不为()x f 的有理根∴多项式12+x 在有理数域上是不可约的.（二次有理多项式在有理数域上可约的话必有有理根）2）2128234++-x x x解：不可约；理由如下： 取素数2=p 得： （1）p 41a =.（2）38a p =-，212a p =，10a p =，02a p = （3）42=p 02a =由艾森斯坦判别法可得：多项式2128234++-x x x 是不可约的. 3）136++x x解：不可约；理由如下：令()136++=x x x f ，1+=y x 得：原多项式39182115623456++++++=y y y y y y 这时只要取3=p 可由艾森斯坦判别法得出：39182115623456++++++y y y y y y 不可约；∴136++x x 不可约.4）1++px x p ，p 为奇素数；解：令1+=y x 作转化，再由艾森斯坦判别法判别不可约； 5）144++kx x ，k 为整数. 解：同4），不可约：。

高等代数笔记与做题思路总结一、行列式相关（5题）1. 计算三阶行列式begin{vmatrix}1 2 3 4 5 6 7 8 9end{vmatrix}解析：- 按第一行展开，begin{vmatrix}1 2 3 4 5 6 7 8 9end{vmatrix}=1×begin{vmatrix}5 6 8 9end{vmatrix}-2×begin{vmatrix}4 6 7 9end{vmatrix}+3×begin{vmatrix}4 5 78end{vmatrix}- 计算二阶行列式begin{vmatrix}ab cdend{vmatrix}=ad - bc- begin{vmatrix}5 6 8 9end{vmatrix}=5×9-6×8 = 45 - 48=- 3- begin{vmatrix}4 6 7 9end{vmatrix}=4×9 - 6×7=36 - 42=-6- begin{vmatrix}4 5 7 8end{vmatrix}=4×8 - 5×7=32 - 35=-3- 所以原行列式=1×(-3)-2×(- 6)+3×(-3)=-3 + 12-9 = 02. 已知n阶行列式D = λ^n+a_1λ^n - 1+·s+a_n-1λ + a_n，求D的第一行元素的代数余子式之和。

解析：- 根据行列式按行展开定理D=a_i1A_i1+a_i2A_i2+·s+a_inA_in（i为行标）- 令λ = 1，构造一个新的行列式D_1，它的第一行元素全为1，其余元素与D 相同。

- 那么D_1按第一行展开D_1=A_11+A_12+·s+A_1n- 又因为D_1也是n阶行列式，且D_1 = 1^n+a_1×1^n - 1+·s+a_n-1×1+a_n- 所以第一行元素的代数余子式之和为1 + a_1+·s+a_n3. 证明：若一个n阶行列式D中零元素的个数多于n^2-n个，则D = 0。

高等代数知识点总结高等代数是数学中非常重要的一个分支，它涉及到了许多抽象的概念和理论。

在学习高等代数的过程中，我们需要掌握一些基本的知识点，这些知识点对于我们理解和运用高等代数都具有重要的意义。

本文将对高等代数中的一些重要知识点进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一领域的知识。

首先，我们需要了解高等代数中的一些基本概念。

代数结构是高等代数中的一个重要概念，它包括群、环、域等。

群是一个集合，配上一个二元运算，满足封闭性、结合律、单位元和逆元的性质。

环是一个集合，配上两个二元运算，满足加法封闭性、乘法封闭性、分配律和单位元的性质。

域是一个集合，配上两个二元运算，满足加法和乘法构成交换群的性质。

了解这些代数结构的定义和性质对于我们理解高等代数中的各种代数系统具有重要的意义。

其次，我们需要掌握高等代数中的线性代数知识。

线性代数是高等代数中的一个重要分支，它涉及到向量空间、线性变换、特征值和特征向量等概念。

向量空间是线性代数中的一个重要概念，它包括了一组满足一些性质的向量，例如加法封闭性、数乘封闭性和满足向量空间公理的性质。

线性变换是一个向量空间到自身的映射，它保持了向量空间的线性结构。

特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，它们在矩阵对角化、矩阵相似等问题中起着重要的作用。

另外，我们还需要了解高等代数中的一些重要定理和结论。

比如，矩阵的特征值和特征向量定理、矩阵的对角化定理、矩阵的相似对角化定理等。

这些定理和结论对于我们理解矩阵的性质和运用矩阵进行计算都具有重要的意义。

最后，我们需要掌握高等代数中的一些重要技巧和方法。

比如，矩阵的运算技巧、线性方程组的解法、矩阵的特征值和特征向量的计算方法等。

这些技巧和方法对于我们解决实际问题和进行高等代数的计算都具有重要的意义。

总之，高等代数是数学中非常重要的一个分支，它涉及到了许多抽象的概念和理论。

在学习高等代数的过程中，我们需要掌握一些基本的知识点，包括代数结构、线性代数、重要定理和结论，以及一些重要的技巧和方法。

高等代数知识点总结一、群论群是高等代数中最基本的代数结构之一，它是一个集合和上面的一个二元运算构成的代数系统。

群满足以下四个性质：1. 封闭性：对于群G中的任意两个元素a和b，它们的乘积ab也属于G。

2. 结合律：对于群G中的任意三个元素a、b和c，有(a·b)·c = a·(b·c)。

3. 存在单位元：存在一个元素e∈G，对于任意元素a∈G，有a·e = e·a = a。

4. 存在逆元：对于群G中的任意元素a，存在一个元素b∈G，使得a·b = b·a = e。

群的性质有很多重要的结论，比如：每个群都有唯一的单位元，每个元素都有唯一的逆元，乘法运算满足左消去律和右消去律等。

群还有很多重要的概念和定理，比如：子群、陪集、拉格朗日定理、卡曼定理等。

二、环论环是一个比群更一般化的代数结构，它包括一个集合和上面的两个二元运算：加法和乘法。

环满足以下性质：1. 集合对加法构成一个阿贝尔群。

2. 乘法满足结合律。

3. 分配律成立，即对于环R中的任意三个元素a、b、c，有a·(b+c) = a·b + a·c和(b+c)·a = b·a + c·a。

环还有一些重要的概念和定理，比如：整环、域、多项式环、欧几里德环、唯一因子分解整环等。

三、域论域是一个更加一般化的代数结构，它是一个集合和上面的两个二元运算：加法和乘法。

域满足以下性质：1. 集合对加法构成一个阿贝尔群。

2. 非零元素对乘法构成一个阿贝尔群。

3. 分配律成立。

域是代数学中一个非常重要的概念，它是线性代数和代数几何的基础。

高等代数还包括一些其他的内容，比如：线性代数、模论、范畴论等。

线性代数是代数学的另一个重要分支，它研究的是向量空间和线性变换等代数结构。

模论是研究环上模结构的代数学分支，它是线性代数的一种推广。

1. 多项式除法（1）)(x f ＝1323---x x x )(x g ＝1232+-x x 普通带余除法 )(x f ＝（31x -97）)(x g -926x -92（2）)(x f ＝522+-x x )(x g ＝22+-x x∴)(x f ＝（12-+x x ）)(x g 75+-x2.（3）综合除法)(x f ＝x x x --23 )(x g ＝1-x +2i…………………∴)(x q ＝i ix x 2522--- )(x r ＝i 89+-3.整除（1）若12++x x 1f )(3x +x 2f )(3x 则)1(-x 1f )(x )1(-x 2f )(x 证：设12++x x 的两个复根为αβ 即α＝231i +- β＝231i-- 由于 3x -1＝)1(-x （12++x x ） 所以 3α＝ 1 3β＝ 1 因为12++x x ＝)(α-x )(β-x 且))((βα--x x 1f )(3x +x 2f )(3x故有⎩⎨⎧=+=+0)()(0)()(32313231βββαααf f f f 即⎩⎨⎧=+=+0)1()1(0)1()1(2121f f f f βα 解得 )1(1f ＝0 )1(2f ＝0 所以 )1(-x 1f )(x )1(-x 2f )(x （2）如果 )1(-x )(n x f 那么)1(-n x )(nx f证明：Θ )1(-x )(n x f 所以 1是)(nx f 的根，于是)1(nf ＝)1(f ＝0即)1(-x )(x f 故存在多项式)(x g 使得)(x f ＝)1(-x )(x g 从而 有)(n x f ＝)1(-n x )(n x g 此即)1(-n x )(n x f（3）1-nx 复域 实域 因式分解 解①令：k ε＝n k π2cos+i nk π2sin （k ＝0 1……1-n ）1-n x 复域内恰有n 个根k ε （k ＝0 1……1-n ） 1-n x ＝)1(-x )(1ε-x )(2ε-x ……)(1--n x ε②实域：-k ε＝k n -εk ε+k n -ε＝k ε+-k ε＝2nk π2cos2)(k n k -+εε-4＝2nk π2cos-4π0 （k ＝ 1……1-n ） 故 2x -（k ε+k n -ε）x +1 是实数域上的不可约多项式 当n 为奇数时，有1-n x ＝)1(-x [2x -)(11-+n εεx +1]……..[ 2x -)(2221--+n n εεx +1]当n 为偶数时，有1-n x ＝)1(-x )1(+x [2x -)(11-+n εεx +1]……..[ 2x - )(2222+-+n n εεx +1]＝)1(-x )1(+x ∏-=221n k [2x -2x nk π2cos+1] 4.有理根)(x f =n a n x +1-n a 1-n x +……+0a 是一个整系数多项式 而sr是一个有理根则s n a r 0a例：)(x f =157424---x x x若)(x f 有有理分肥，遇有理分化为既约分数后其分母为首项系数度4因数，而分子必为常数项-1的因数，所有可能 的有理根为1，-1，21，-2141，-41验证有)1(f ＝-9)1(-f ＝1)21(f ＝-5)21(-f ＝0)41(f ＝-64171)41(-f ＝-6411故-21是)(x f 的有理根，又综合除法…….∴-21是)(x f 的2重根5.最大公因式：（1）若（)(x f ，)(x g ）＝1，证明：对任意正整数n （)(x f ，)(x g n）＝1 （2）（)(x f ，)(x g ）＝1，（)(x f ，)(x h ）＝1，证明（)(x f ，)(x g )(x h ）＝1 证明：法2.反证 若设（)(x f ，)(x g )(x h ）＝)(x d ∂（)(x d ）φ0且)(x p 是)(x d的一个不可约多项式，则)(x p )(x f ，)(x p )(x g )(x h ，但因（)(x f ，)(x g ）＝1，所以)(x p 不整除)(x g ，∴)(x p )(x h 这与（)(x f ，)(x h ）＝1矛盾，∴（)(x f ，)(x g )(x h ）＝1（3）若（)(x f ，)(x g ）＝1，那么（)(x f )(x g ，)(x f +)(x g ）＝1 证明：由于（)(x f ，)(x g ）＝1，∴存在多项式)(x u )(x v 使得)(x u )(x f +)(x v )(x g ＝1∴)(x u )(x f -)(x v )(x f +)(x v )(x f +)(x v )(x g ＝（)(x u -)(x v ）)(x f +)(x v （)(x f +)(x g ）＝1 同理)(x u )(x f +)(x v )(x g -)(x u )(x g +)(x u )(x g ＝ （)(x v -)(x u ）)(x g +)(x u （)(x f +)(x g ）＝1 由互素的充要条件知()(x f ,)(x f +)(x g )=1 ()(x g ,)(x f +)(x g )=1若（)(x f )(x g ，)(x f +)(x g ）＝)(x d ，∂（)(x d ）φ0且)(x p 是)(x d 的一个不可约多项式，则)(x p )(x f )(x g 且)(x p [)(x f +)(x g ] 又()(x f ,)(x f +)(x g )=1， ∴ )(x p )(x g 这与()(x g ,)(x f +)(x g )=1 矛盾，∴（)(x f )(x g ，)(x f +)(x g ）＝1（4）若（)(x f i ，)(x g j ）＝1 （i ＝1，2…. m ，j ＝1，2…..n ）则 （)(1x f …..)(x f m ，)(1x g ……)(x g n ）＝1证明 由于（)(1x f ，)(x g j ）＝1 （j ＝1，2…..n ）首先证明若（)(1x f ，)(x g j ）＝1，（)(1x f ，)(x g i ）＝1 （i ，j ＝1，2…n ） 则（)(1x f ，)(x g i )(x g j ）＝1，若不然，设（)(1x f ，)(x g i )(x g j ）＝)(x d∂（)(x d ）φ0且)(x p 是)(x d 的一个不可约多项式，则)(x p )(1x f 且)(x p )(x g i )(x g j又（)(1x f ，)(x g j ）＝1， 则)(x p )(x g i 这与（)(1x f ，)(x g i ）＝1矛盾，∴（)(1x f ，)(x g i )(x g j ）＝1 重复此过程，得到（)(1x f ，)(1x g ……)(x g n ）＝1同理可证（)(x f i ，)(1x g ……)(x g n ）＝1 （i ＝2…. m ）再次反复应用上述证明过程，便可得到（)(1x f …..)(x f m ，)(1x g ……)(x g n ）＝1 二，行列式6.（1）44332211a b a b b a b a ＝＝＝＝＝4411a b b a 3322a b b a（2）12+n a ba bc b aba＝c n a ba b b a ba 2＝cab b a 22-n a bab b a b a＝c （2a +2b ）'22-n D7.nD =nnn a a a a a a a a ---------11111111133221⇒nn a a -+10＝1-n D +n )1(-n a ......1an D =1-n D +n )1(-n a ......1a ＝…….＝1-1a +1a 2a +………..+ n )1(-1a …n a8. n D =xz y x zyx zy x ++++1111＝（x +1）1-n D -y z 2-n D又 y z ＝x ∴n D =（x +1）1-n D -x 2-n D整理得 n D -1-n D ＝………＝nx8.基础解系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++033450622032305432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x解：其系数矩阵A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--133456*********11111对其只作行的初等变换A →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------62210622106221011111→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00000000006221011111 原方程与⎩⎨⎧=+++=++++06220543254321x x x x x x x x x 同解令3x ＝1，4x ＝5x ＝0 得 1η＝（1，-2，1，0，0） 令3x ＝5x ＝0，4x ＝1 得 2η＝（1，-2，0，1，0） 令3x ＝4x ＝0，5x ＝1 得 3η＝（5，-6，0，0，1） 则1η2η3η是方程组的一个基础解系，全部解为x ＝1c 1η+2c 2η+3c 3η （1c ，2c ，3c 为任意常数）（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=-++-=-+-=--+0742420436240203543215432143215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x解：其系数矩阵A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------74242436240121113011→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----5102200156601222013011→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000390001222013011∴原方程与⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-+-=--+039022035454325421x x x x x x x x x x 同解，令2x ＝1， 5x ＝0 得 1η＝（-1，1，1，0，0） 令2x ＝0， 5x ＝1得 2η＝（2，0，-65，31，1） 则1η2η是方程组的一个基础解系，全部解为x ＝1c 1η+2c 2η （1c ，2c 为任意常数）9.证明：1α2α3α无关的充要条件1α+2α，2α+3α，3α+1α线性无关 （1）证明：设有线性关系式1k （1α+2α）+2k （2α+3α）+3k （3α+1α）＝0即（1k +2k ）2α+（1k +3k ）1α+（2k +3k ）3α＝0 由题设1α2α3α线性无关∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k 解得1k ＝2k ＝3k ＝0 ∴1α+2α，2α+3α，3α+1α线性无关当奇数个线性无关向量1α…. 12+n α，则1α+2α，2α+3α，……. n 2α+12+n α，12+n α+1α也线性无关证明:设有线性关系式1k （1α+2α）+2k （2α+3α）+……+12+n k （12+n α+1α）＝0 即 （1k +12+n k ）1α+（1k +2k ）2α+….+ （n k 2+12+n k ）12+n α＝0 又由1α…. 12+n α线性无关，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+++0 012221121n n n k k k k k k 其系数矩阵A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11 (00)01.....000...............00 (1110) (01)其行列式A ＝2≠0 其方程组只有零解1k ＝……＝12+n k ＝0 ∴1α+2α，2α+3α，……. n 2α+12+n α，12+n α+1α线性无关（3）若有偶数个线性相关向量1α…. n 2α⇒1α+2α，2α+3α，……. n 2α+1α相关， 若有偶数个线性无关向量1α…. n 2α⇒1α+2α，2α+3α，……. n 2α+1α也相关， 证明：设有线性关系式1k （1α+2α）+2k （2α+3α）+……+n k 2（n 2α+1α）＝0 （1） 即（1k +n k 2）1α+（1k +2k ）2α+….+ （n k 2+12-n k ）n 2α＝0 （2） 又①若1α…. n 2α线性相关，即（2）式中存在不为零的系数，不妨设为1k +2k 不为零，则1k ，2k 至少一个不为零即1k ，2k ……n k 2不全为零 ，∴1α+2α，2α+3α，……. n 2α+1α相关 ②若1α…. n 2α线性无关，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+-0 002122121n n nk k k k k k 其系数矩阵A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11 (00)01 (00)0...............00 (1110) (01)则 A ＝11 001 (00)0...............00 (110).....1+12)1(+-n 11 01.....001...............00 (100).....11＝0∴方程组存在非零解 即1k ，2k ……n k 2不全为零 ∴1α+2α，2α+3α，……. n 2α+1α相关10.设1β＝1α，2β＝1α+2α，……，r β＝1α+…..+ r α 且1α…. r α线性无关，证明1β，…..，r β线性无关证明： （1β，…..，r β）＝（1α，…. ，r α）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛11......001.....0011...........11 (10)11 (1)1设上述矩阵为A ，A 为上三角阵，显然A ≠0，∴A 可逆 即（1α，…. ，r α）＝（1β，…..，r β）1-A设1-A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n a a a a a a 1221111............ 则1-A A ＝E 解得1-A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---11......1...11 ∴（1α，…. ，r α）＝（1β，…..，r β）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---11......1 (11)∴1α，…. ，r α也可以被1β，…..，r β线性表出即1α，…. ，r α与1β，…..，r β等价，它们秩相等，又1α…. r α线性无关，∴1β，…..，r β线性无关11. 设秩（1α，…. ，r α）＝r πn ，且i α≠0，i ＝1，2，….，n 证明：存在 j α（2≤j ≤n ）使得 i α可由1α…1-j α，1+j α…n α线性表示（2）设1α，…. ，s α的秩为r ，证明：1α，…. ，s α中任意r 个线性无关向量都构成它的一个极大线性无关组证明：1i α….. r i α是1α，…. ，s α的一个线性无关组又向量组1i α….. ri αj α（j ＝1，2，….，s ）是线性相关的，否则，原向量组秩超过了r1i α….. ri αj α线性相关，则存在不全为零 的一组数1k ，2k ……1+r k 使得1k 1i α+…r k r i α+1+r k j α＝0 若1+r k ＝0 则由1k ，2k ……r k 不全为零 知1i α….. ri α相关与1i α….. ri α的选取矛盾，∴1+r k ≠0即j α＝-11+r k （1k 1i α+…r k r i α）∴1i α….. r i α是1α，…. ，s α的一个极大线性无关组，又由1i α….. r i α任意性知，命题成立。

高等代数教学笔记4：矩阵 I对于一般的线性方程组 (行列式为零或方程与未知量不一样多), Cramer 法则不能 (直接) 应用, 于是需要新的方法, 对方程组的系数进行处理. 代数学处理问题的方式一般是整体考虑, 记为数域上的m×n 矩阵的全体,先研究这个集合的整体性质, 然后再分别考虑特殊的矩阵. 而在代数层面上,集合的整体性质是通过其中的运算关系来展示的, 所以我们需要研究矩阵集合上的运算.矩阵的运算在上有自然定义的加法运算并且满足如下性质.问题4.1(1) 交换律: A + B = B + A;(2) 结合律: (A + B) + C = A + (B + C);(3) 零矩阵: 0 + A = A, 这里的 0 是所有元素都是 0 的矩阵;(4) 负元 (可以定义减法): 存在 B 使得 B + A = 0. (唯一的! 记为 -A.)这些性质的验证非常简单, 不过有必要提醒一下: 从现在开始, 我们会慢慢走进抽象的数学领域, 当然, 这个抽象的过程是一步步实现的, 不能一蹴而就.最自然的抽象过程是在很多数学对象中寻找共性, 提炼出来就是一个抽象的数学概念. 比如, 上述的四个性质是代数学中所讨论的加法的共性, 这一类对象以后会有一个共同的名字——Abel 群; 更一般地, 只满足~(2)-(4), 不满足交换律的对象就是今后需要研究的群.在上可以定义数乘运算◦ (通常省略):数乘运算不再是矩阵内部的运算, 而是常数与矩阵之间的运算. 而上有加法和乘法运算, 上有刚刚定义的加法运算, 因此我们需要考虑所有这些运算之间的关系. 另外, 数域中有一个特殊元素 1, 它在数乘中的地位也是比较特殊的. 这些结合起来就自然有如下问题.问题4.2 (5) 单位 1: 1 ◦ A = A;(6) (结合律) (kl) ◦ A = k ◦ (l ◦ A);(7) (分配律一) k ◦ (A + B) = k ◦ A + k ◦ B;(8) (分配律二) (k + l) ◦ A = k ◦ A +l ◦ A.我们将会发现, 满足加法和数乘运算及如上性质 (1) − (8) 的研究对象越来越多, 比如前面提到的数域、多项式、平面向量、空间向量等, 它们最终融汇成一个抽象的概念——线性空间, 这将把高等代数的研究提到一个新的高度.矩阵中更重要的运算自然是 Cayley 利用变量替换方式引入的矩阵乘法. 按照惯例, 我在上课时让学生们计算了两三个变量时的替换, 并且要求他们在课堂上计算出结果. 这不是一个困难的过程, 学生们基本能得到结果, 如下图所示.由此得到一般矩阵的乘法规则. 不过, 奇怪的是, 即使用上面这个比较直观的图来表示矩阵乘法, 学生们还是能够很快忘掉矩阵乘法怎么作, 其中的原因耐人寻味.定义了矩阵乘法, 首先考虑一下其自身性质.问题 4.3 (1) 矩阵乘法没有交换律, 举例有三个层次的原因: 交换了不能相乘、交换顺序能相乘但结果的阶数不同、方阵相乘也不一定可换.(2) 矩阵乘法满足结合律 (两种观点: 直接验证或从变量替换两次的角度看).(3) 单位矩阵: , 其中.(4) 逆矩阵 (类似于倒数) 不一定存在.问题4.4如果对任意, 都有 BA = A, 是否一定有?矩阵乘积中的每一个元素都是一个求和, 这样的求和用行矩阵与列矩阵相乘更为简洁直观, 应用起来也会方便很多.问题4.5 (1) A,B 的乘积 AB 的第 i 行第 j 列元素是用矩阵乘法表示(实际上, 以后看到求和号都可以转换为矩阵乘法!).(2) A,B,C 的乘积 ABC 的第 i 行第 j 列元素如何用矩阵表示?问题4.6 (1) 矩阵乘法与加法有分配律.(2) 矩阵乘法与数乘有结合律.(3) 矩阵乘法与转置: (AB)′= B′A′.矩阵与线性方程组利用矩阵运算, 我们可以重新理解线性方程组.问题4.7 (1) 方程组的形式:(2) 矩阵乘法: 记 A 为其系数矩阵,则有矩阵乘法形式(3) 列向量的加法与数乘: 记 A 的列向量为则有这里蕴含着列向量之间的关系——线性相关性.(4) 行向量: 记为 A 的行向量, 则第 i 个方程可以简单记为方阵与多项式矩阵中最值得研究的是方阵, 数域上 n 阶方阵的全体记为, 它将成为高等代数课程的主要研究对象. 在深入研究之前, 我们需要与前面学过的多项式和行列式理论联系一下. 中有加法、数乘和乘法等三种运算, 这与多项式理论有相通之处.问题4.8对任意, 我们定义:(1) 证明:(2) 对任意我们记称为A 的多项式. 证明:(3) 对任意, 有. 其中的问题 (3) 是矩阵多项式的既简单又重要的性质. 首先, 矩阵乘法的麻烦之处是交换律的缺失, 而矩阵的多项式却具有交换性; 其次, 我们将会发现,对于给定矩阵 A, 很多与 A 有关的重要矩阵都是 A 的多项式, 这将是矩阵研究中的一个重要突破口! 我们可以用如下问题来表述.问题4.9设, 定义映射证明: 对任意, 有对于上述映射, 如下问题对以后会很有用.问题4.10 (1) 是单射吗? 或者, 集合有什么特点? 这与我们前文研究多项式的因式分解时考虑的一些集合很相似!(2) 的像是什么? 是满射吗?剧透一下: 前面我们多次提到了更一般地, 对于n 阶方阵,是一个神奇的多项式, 因为它满足 f(A) = 0! 不信就去验证 (超级大坑!).最后举一个我们熟悉的例子: Fibonacci 数列这个递推关系可以用矩阵乘法来表达这似乎没什么. 我们再增加一项有问题4.11 证明:由 (1) 或 (2), 求 Fibonacci 数列的通项公式就转化成求矩阵于是就要发展矩阵理论求这样的矩阵的 n 次幂, 这是后话.方阵与行列式前面考虑广义 Laplace 展开的时候, 就得到了所谓的行列式的乘积公式.问题4.12设, 则|AB| = |A||B|.广义 Laplace 展开实际上是把两个 n 阶行列式的乘积转化成一个 2n 阶的行列式. 这个想法非常有用. 我们今后会处理各种矩阵问题, 有时需要同时处理好几个矩阵, 如果能用一种合理的方式把这些矩阵放到同一个大的矩阵里, 我们就只需要处理一个矩阵即可, 这就是分块矩阵的思想. 还有另一个简单粗暴的想法: 把 |AB| 按列展开为很多行列式的和, 仔细观察这些行列式的特点!上述问题其实还可以推广.问题4.13设. 若 m > n, 则 |AB| = 0; 麻烦在于 A,B 都不是方阵, 那就把它们补充成方阵但不能改变它们的乘积, A 要添加一些列, B 要添加一些行, 怎么添加?有了这个结论, 我们就可以计算一些特殊的行列式.问题4.14 计算行列式:这个行列式当然可以用行列式技巧计算 (比如拆项、镶边等), 不过, 用矩阵乘法的观点来看会容易的多. 类似的有问题4.15计算行列式:上式中的矩阵实际上是A′A, 其中不过, 如果换一下顺序就不一样了:问题4.16 (Cauchy 不等式) 设, 证明:Cauchy 不等式可能在中学就遇到过, 证明方法也不难: 配成平方和! 不过, 观察一下这些平方和, 它们与行列式有关系吗? 实际上关系很紧密. 我们有如下更一般的情形.问题 4.14 (Binet-Cauchy 公式) 设证明: 当m < n 时,注意到再用广义Laplace 展开即可. 这样就把A,B 的乘积问题转化成一个矩阵去研究, 这种方法在矩阵理论中是常用的. 特别地, 上式的右边我们有了一个简单的表达式, 把复杂矩阵分解为四块, 这样的形式简单且容易操作, 这是我们今后要经常使用的矩阵分块技巧.特别地, 我们有问题4.18设, 则. 当 m = 2 时就是 Cauchy 不等式.。